Linköpings Universitet Hållfasthetslära, IK TENTAMEN i Hållfasthetslära; grundkurs, TMMI17 2001-08-17 kl 08-12 Kursen given lp 4, lå 2000/01 Examinator, ankn (013-28) 1116 Tentamen Tentamen består av två delar: Del 1, Utan hjälpmedel: Fyra st en-poängsfrågor som ska besvaras direkt på tesen. Då Del 1 (fyra sidor) lämnas in till vakten fås Del 2 ut. Del 2: Med hjälpmedel. roblemdel bestående av 4 st tre-poängsuppgifter. Hjälpmedel T Dahlberg: Teknisk hållfasthetslära, Studentlitteratur 1997 för Del 2 T Dahlberg: Komplement till Kap 16 i läroboken B Sundström: Handbok och formelsamling i hållfasthetslära, KTH, Sthlm eller G Hedner: Formelsamling i hållfasthetslära, KTH, Sthlm, Tabeller: Tefyma, hysics Handbook, och ordböcker. Miniräknare i fickformat (med beräkningsdel och fönster i en enhet och utan möjlighet att kommunicera med andra delar såsom bandspelare och/eller skrivare). I kursmaterialet får mindre marginalanteckningar göras, men inga längre stycken får skrivas in, såsom härledningar, lösta exempel mm. Betyg Lösningar Resultat Granskning För godkänd kurs krävs godkänd tentamen och godkänd laborationskurs. Följande betyg ges: Betyg oäng på tentamen 3 6-8 4 9-11 5 12-16 Lösningar anslås på avdelningens anslagstavla (B-korridoren, ingång 15 och 17) efter skrivningens slut. Rättningsprotokoll anslås på avdelningens anslagstavla senast 2001-08-31 Granskningstiden utgår 2001-10-30. Därefter delas skrivningarna ut i teknologfacken. OBS! Den här sidan behöver du inte lämna in. Behåll den för att minnas givna data
TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMHL07, 2001-08-17 kl 08-12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... 1. Vad är det som skiljer begreppen "teknisk spänning" och "sann spänning" åt? LÖSNING OCH SVAR HÄR: 2. Vad är skjuvcentrum? LÖSNING OCH SVAR HÄR: 1
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... A L, E, I, A B M R B 3. En balk, längd L, böjstyvhet EI, är fast inspänd till vänster och fritt upplagd till höger (stöd B), se figur. Balken belastas med ett moment M i högeränden. Bestäm stödreaktionen R B vid stödet B. Elementarfall för konsolbalk x z w(x) w(x) = L3 6EI w(l) = L3 3EI 3 x 2 L x 3 2 L 3 w (L) = L2 z w(x) M x w(x) = ML2 w(l) = ML2 x 2 L 2 w (L) = ML EI LÖSNING OCH SVAR HÄR: 2
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... 4. Rita ett Haigh-diagram och förklara hur det används. LÖSNING OCH SVAR HÄR: 3
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) (1) L, E, A (2) /2 L, E, A /2 (3) L, E, A 5. Tre stänger (E-modul E, area A, längd L) monteras med vinkel π/2 mellan stängerna, se figur. Bärverket belastas med en kraft som bildar vinkeln α med lodlinjen. Bestän de stångkrafter som uppkommer i bärverket. A B C 6. En balk (längd 2L, böjstyvhet EI) är fast inspänd i ändarna A och C och vilar på ett stöd i mitten (B). Mitt på ena halvan belastas balken med en last (N). Bestäm snittmomentet i B och inspänningsmomenten i A och C. 7. En detalj till ett flygplan (JAS-40 Truten) utsätts under en flygning för en belastningssekvens som innehåller följande lastamplituder (vid växlande last) σ a = 200, 175 och 100 Ma. Antalet cykler vid respektive belastningsnivå är n = 15, 30 och 3000. Materialets Wöhlerkurva i det här aktuella belastningsområdet följer sambandet σ a = 55logN + 400 (med σ a i Ma) Bestäm delskadan D på detaljen för en belastningssekvens (en flygning) och bestäm sedan hur många sekvenser (flygningar) detaljen kan belastas med. k m a k L 8. En vertikal stång, längd L, bär en plattform enligt figur. Stången hålls i sitt vertikala läge av två fjädrar (styvhet k) på höjden a, se figur. Vilken (punkt-)massa m kan man lägga på plattformen utan att anordningen mister sin stabilitet. (Stångens egentyngd, liksom massans volym, kan försummas.) 4
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... 1. Vad är det som skiljer begreppen "teknisk spänning" och "sann spänning" åt? LÖSNING OCH SVAR HÄR: Lösning: Begreppet "teknisk spänning" definieras för en stång som σ = /A 0, där är lasten och A 0 är den ursprungliga tvärarean. Begreppet "sann spänning" definieras för en stång som σ = /A, där är lasten och A är den aktuella tvärarean, d v s den reducerade tvärarea man får då hänsyn tas till tvärkontraktionen. Man använder således olika tvärareor vid definition av de två begreppen. 2. Vad är skjuvcentrum? LÖSNING OCH SVAR HÄR: Lösning: Den punkt lasten (tvärkraften) ska ha sin verkningslinje igenom för att tvärsnittet ska utsättas för enbart böjning (och ingen vridning). 5
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) A L, E, I, A B M R B 3. En balk, längd L, böjstyvhet EI, är fast inspänd till vänster och fritt upplagd till höger (stöd B), se figur. Balken belastas med ett moment M i högeränden. Bestäm stödreaktionen R B vid stödet B. Elementarfall för konsolbalk x z w(x) w(x) = L3 6EI w(l) = L3 3EI 3 x 2 L x 3 2 L 3 w (L) = L2 z w(x) M x w(x) = ML2 w(l) = ML2 x 2 L 2 w (L) = ML EI Lösning: Ta bort stödet till höger och lägg in en stödreaktion (kraft) riktad nedåt. Elementarfall ger balkändens utböjning δ. Man får δ = L3 3EI + ML2 Men stödet ger att δ = 0, vilket ger = 3M / 2L. Slutligen fås R B = = 3M / 2L. 6
DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 4. Rita ett Haigh-diagram och förklara hur det används. Lösning: Haighdiagrammet anger hur a u A2 utmattningsgränsen σ u varierar med lastens up (spänningens i materialet) medelvärde. Ju högre A1 medelvärde, desto lägre (i regel) m spänningsamplitud kan tillåtas. Då belastningen up s B (spänningen i materialet) är sådan att arbetspunkten A = A 1 (spänningen i materialet) hamnar under utmattningsgränsen (eventuellt den reducerade utmattningsgränsen) förväntas ingen utmattning (oändlig livslängd), medan om arbetspunkten (A = A 2 ) hamnar utanför kurvan fås utmattning efter kortare eller längre tid. 7
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) (1) L, E, A (2) /2 L, E, A /2 (3) L, E, A 5. Tre stänger (E-modul E, area A, längd L) monteras med vinkel π/2 mellan stängerna, se figur. Bärverket belastas med en kraft som bildar vinkeln α med lodlinjen. Bestän de stångkrafter som uppkommer i bärverket. S1 cos S2 sin S 3 Lösning: Dela upp kraften i komponenter: en komponent i vertikal led, cosα, och en i horisontell led, sinα. Eftersom stängerna (1) och (3) är horisontella, kommer stång (2) att ensam få bära den vertikala lasten cosα. Således blir S 2 = cosα (jämvikt i vertikal led). å grund av symmetri kommer lasten sinα att fördelas lika mellan stängerna (1) och (3). Man får S 1 = sinα /2 (dragkraft) och S 3 = sinα /2 (tryckkraft). 8
/TD M A DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) A B C A som ger eller O M B AB B B M B O BC MC C 6. En balk (längd 2L, böjstyvhet EI) är fast inspänd i ändarna A och C och vilar på ett stöd i mitten (B). Mitt på ena halvan belastas balken med en last (N). Bestäm snittmomentet i B och inspänningsmomenten i A och C. Lösning: Snitta i B och inför snittmomentet M B. Elementarfall ger M A = M B /2 och M C = 3L /16 M B /2. Momentet M B bestäms ur villkoret att Θ AB = Θ BC. Man får Θ AB = M B L 3EI M A L 6EI = Θ = L 2 3 BC 6EI 8 M B L 3EI M C L 6EI M B L 3EI M B L 2 6EI = L 2 16EI M B L 3EI 3L 16EI M B 2 M B L EI 1 3 1 12 + 1 3 1 12 = L 2 EI varur löses M B = L /16, som ger M A = L /32 och M C = 3L /16 L /32 = 5QL /32 (med riktningar enligt figur). (Här har använts elementarfall för en i båda ändar fritt upplagd balk. Andra elementarfall kan också användas.) 1 16 1 32 L 6EI 9
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) 7. En detalj till ett flygplan (JAS-40 Truten) utsätts under en flygning för en belastningssekvens som innehåller följande lastamplituder (vid växlande last) σ a = 200, 175 och 100 Ma. Antalet cykler vid respektive belastningsnivå är n = 15, 30 och 3000. Materialets Wöhlerkurva i det här aktuella belastningsområdet följer sambandet σ a = 55logN + 400 (med σ a i Ma) Bestäm delskadan D på detaljen för en belastningssekvens (en flygning) och bestäm sedan hur många sekvenser (flygningar) detaljen kan belastas med. Lösning: Sambandet σ a = 55logN + 400 ger livslängd N = N i vid varje belastningsnivå. Belastningen σ a = 200 Ma ger N 1 = 4329 cykler, σ a = 175 Ma ger N 2 = 12 328 cykler och σ a = 100 Ma ger N = 284 800 cykler. Delskadan av en belastningssekvens blir 15 4329 + 30 12 328 + 3000 1 = 0, 0164 = 284 800 60, 8 Antalet sekvenser till brott blir S = 1 D = 60, 8 10
DEL 2 - (roblemdel med hjälpmedel) k m a k L 8. En vertikal stång, längd L, bär en plattform enligt figur. Stången hålls i sitt vertikala läge av två fjädrar (styvhet k) på höjden a, se figur. Vilken (punkt-)massa m kan man lägga på plattformen utan att anordningen mister sin stabilitet. (Stångens egentyngd, liksom massans volym, kan försummas.) F mg F a Lösning: Systemet med massan m ges en liten störning (snedställning) α. De två fjädrarna vill återföra systemet till sitt ursprungliga läge. Kraften i fjädrarna blir F = kasinα. Det återförande momentet M åt blir M åt = 2F acosα = 2 k asinα acosα. unktmassan kommer att ge ett utböjande moment M ut som blir M ut = mg Lsinα. Jämvikt i utböjt läge ger M åt M ut = 0, som ger 2k asinα acosα mg Lsinα = 0 Inför att α är en liten vinkel, det ger cosα = 1 och sinα = α. Man får som ger m = 2ka 2 /gl. L α(2k a 2 mg L) = 0 11