HYDRAULIK Grundläggande ekvationer I Rolf Larsson, Tekn Vattenresurslära För VVR145, 23 mars, 2016
NASA/ Astronaut Photography of Earth - Quick View VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 2
Innehåll 1. Introduktion; tillämpningar 2. Klassificering av flöden 3. Visualisering 4. Laminär/turbulent strömning 5. Angreppssätt 6. Kontinuitetsekvationen 7. Exempel VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 3
1. Introduktion; tillämpningar Vattenförsörjning (ledningar, pumpar...) Avloppsvatten (ledningar, pumpar...) Vattenkraft (dammar, kanaler, tunnlar...) Infrastruktur (hamnar, vägar, järnvägar...) Översvämning (Se separat fil med bilder) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 4
2. Klassificering av flöden Flöden klassificeras mht variation i Tid: Stationär strömning (varierar ej med tiden) Icke-stationär strömning (varierar med tiden) Kvasi-stationär strömning (varierar obetydligt med tiden) Rum: Likformig strömning (varierar ej i strömningsriktningen) Olikformig strömning (varierar i strömningsriktningen) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 5
Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), likformig strömning Ex. Stationär (flöde Q konstant i tiden), olikformig strömning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 6
Ex. Ickestationär (flöde Q varierar i tiden), likformig strömning Ex. Ickestationär, olikformig strömning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 7
3. Visualisering Strömlinje (streamline): En linje vars tangent i varje punkt har samma riktning som hastighetsvektorn. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 8
Strömrör (streamtube): En grupp av strömlinjer som tillsammans spänner upp ett imaginärt rör. Av definitionerna följer: inget flöde genom strömrörets väggar VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 9
Strömnät (flow net): Strömlinjer och potentiallinjer. T.ex. för grundvattenströmning. Partikelbana (pathline): Definieras av en partikel som passivt följer med i flödet. Stråklinje (streakline): Erhålles om man kontinuerligt injicerar färg i en punkt i ett flöde. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 10
4. Laminär/turbulent strömning Laminär strömning Flöde längs parallella linjer i skikt (grekiska laminae) Skjuvspänning bestäms av viskositet genom ττ = μμ dddd dddd (4.2) Turbulent strömning Oregelbundna, slumpmässiga rörelser Skjuvspänning bestäms av turbulensens egenskaper Strömingen genererar kraftig omblandning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 11
Reynolds experiment illustrerar laminär/turbulent strömning Strömningen visualiseras mha injicerat färgämne Vid låga flöden: laminärt Vid höga flöden: turbulent VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 12
Reynolds tal Reynolds generaliserade sina resultat genom att introducera ett dimensionslöst tal Re VD ρvd = = ν µ (4.3) Där ν = µ/ρ, V=Q/A ν = kinematisk viskositet (m 2 /s) µ = dynamisk viskositet (Ns/m 2 = Pa s) D = längdskala (m) = (för rör) diameter V = medelhastighet (m/s) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 13
Reynolds tal för rörströmning Laminar strömning: Re < 2000 Övergång: Re = 2000 to 4000 Turbulent strömning : Re > 4000 Två trösklar: Övre kritisk hastighet övergång från laminär till turbulent strömning Undre kritisk hastighet övergång från turbulent till laminär strömning VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 14
Kritiskt Reynolds R c Avgör vid vilka strömningsförhållanden som strömning går från laminär till turbulent eller tvärtom Beror på geometrin Re VD ρvd = = ν µ 1. Parallella väggar R c 1000 / D = avstånd mellan väggarna 2. Bred kanal : R c 500 /D = djup 3. Strömning runt sfär : R c 1 /D = sfärens diameter VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 15
5. Angreppssätt Lagrangesk betraktelse: Strömningen beskrivs med egenskaper för flödespartiklar (rörligt kooordinatsystem) Eulersk betraktelse: Strömningen beskrivs via karakteristika i punkter (fixt kooordinatsystem) Eulersk betraktelse är normalt mer användbar. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 16
Fluidsystem och kontrollvolym Fluidsystem: viss märkt massa inom en sluten imaginär yta (Lagrangesk betraktelse) Kontrollvolym: viss fix volym inom en sluten imaginär (kontroll)yta (Eulersk betraktelse) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 17
6. Kontinuitetsekvationen Baseras på principen om massans bevarande (conservation of mass) Stationär strömning ρ 1 V 1 A 1 = ρ 2 V 2 A 2 (m 1 = m 2 ) m 1 m 2 Inkompressibel strömning V 1 A 1 = V 2 A 2 (4.4) or Q 1 = Q 2 (Q = V A) Control volume Fluid system volume V: Medelhastighet (m/s) A: Tvärsnitts-area (m 2 ) Q: Flöde (m 3 /s) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 18
Kontinuitetsekvationen tillämpad på rörledning med varierande diameter Q 1 Q 2 Q 1 =V 1 A 1 Q 2 =V 2 A 2 Control volume V 1 A 1 = V 2 A 2 eller Q 1 = Q 2 VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 19
Strömning i grenledning Instationär kanalströmning Q 1 + Q 2 + Q 3 = 0 eller V 1 A 1 + V 2 A 2 + V 3 A 3 = 0 (Q,V med olika tecken beroende på flödesriktning) VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 20 d(vol)/dt = Q 1 Q 2 Vol = Volym vatten i kanalen mellan sektion 1 och 2
7. Exempel VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 21
I1: When 0.0019 m 3 /s of water flow in a 76 mm pipeline at 20 C, is the flow laminar or turbulent? VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 22
I2: What is the maximum speed at which a spherical sand grain of diameter 0.254 mm may move through water (20 C) and the flow regime be laminar? VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 23
I4: Water flows in a pipeline composed of 75 mm and 150 mm pipe. Calculate the mean velocity in the 75 mm pipe when that in the 150 mm pipe is 2.5 m/s. What is its ratio to the mean velocity in the 150 mm pipe? VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 24
I5: Using the control volume in the fig. find the mixture flowrate and density if freshwater (ρ 1 = 1000 kg/m 3 ) enters section 1 at 50 l/s, while saltwater (ρ 2 = 1030 kg/m 3 ) enters section 2 at 25 l/s. VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 25
TACK FÖR IDAG! VVR015 Hydraulik/ Grundläggande begrepp I 23 mar 2016 / 26
HYDRAULIK Grundläggande ekvationer II VVR145, 27 mars, 2019 Rolf Larsson & Erik Nilsson Tekn Vattenresurslära
Innehåll 1. Bernoullis ekvation (B.E.) 2. Tillämpning (Venturimeter) 3. Giltighet B.E. och energi-ekvationen 4. Korrektionsfaktor α 5. Exempel VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 2
1. Bernoullis ekvation (B.E.) F = ma = ρq(v 2 V 1 ) Total energi = Lägesenergi + Tryckenergi + Rörelseenergi För ideal vätska (ingen energiförlust, konstant densitet): H = z + p ρg + V2 2g = constant Härledning: - Se Hamill Proof 4.3 VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 3
1. Bernoullis ekvation (B.E.) H = z + p ρg + V2 2g (4.23) H: energihöjd (m, energi per vätskans tyngd) z: vertikal nivå relativt godtycklig referensnivå (m) p: tryck (Pa) ρ : densitet (kg/m 3 ) V: hastighet (m/s) g: gravitationsacceleration (m/s 2 ) För enheten Nm istället för m, H x M x g [ Nm ] VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 4
Bernoullis ekvation (B.E.) H = z + p ρg + V2 2g De tre termerna i B.E. benämns: H = (energi)höjd ett mått på totalt (mekanisk) energiinnehåll Z = geometrisk höjd ett mått på lägesenergi p/ ρg = tryckhöjd ett mått på tryckenergi V 2 /2g = hastighetshöjd ett mått på rörelseenergi H = z + p ρg + V2 2g z + p ρg definierar energilinjen (energy line) definierar trycklinjen (hydraulic grade line) VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 5
Trycknivå: h = P 1 ρg Energinivå: H = P 2 2 + V 2 ρg 2g 1. 2. VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 6
H = z + p ρg + V2 2g definierar energilinjen (energy line) z + p ρg definierar trycklinjen (hydraulic grade line) VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 7
2. Tillämpning (Venturimeter) Jämför Figur 5.1 i boken! H VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 8
Venturimeter forts. H B.E. 1 2 z 1 + p 1 ρg + V 2 1 2g = z 2 + p 2 ρg + V 2 2 2g Kont. Ekv 1 2 Med horis ledning z 1 = z 2 ger de två ekv ovan V 1 A 1 = V 2 A 2 H = p 1 ρg p 2 ρg = V 2 2 2g V 2 1 2g H = V 1 2 2g A 1 A 2 2 1 V 1 = A 1 A 2 2gH 2 1 Dvs eftersom Q = V 1 A 1 och A 1, A 2 är kända så kan vi mäta flödet genom att mäta H VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 9
3. Giltighet B.E. Bernoullis ekvation gäller Längs en strömlinje För en ideal vätska (energiförluster försummas) Stationärt flöde (förändras ej över tid) Inkompressibelt flöde (konstant densitet) Om vi inkluderar energiförluster och räknar över hela tvärsnitt så får vi Energiekvationen (mekanisk energi) z 1 + p 1 ρg + V 2 1 2g = z 2 + p 2 ρg + V 2 2 2g + h f 12 (4.24) Där h f 12 är energiförlust mellan 1 och 2, och hastigheterna är medelhastigheter i resp. sektion VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 10
4. Korrektionsfaktor α Hastighetshöjden i e-ekv baseras på medelhastighet. Termen representerar transport av rörelseenergi. Den tecknas 1 2 Qu 2 Eftersom hastigheten varierar i tvärsnitt så gäller egentligen: transport av rörelseenergi = A 1 2 3 u da Korrektionsfaktorn α tar hänsyn till skillnaden enligt ovan H = z + p + αv2 ρg 2g Se ekv 4.26: VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 11
5. Exempel VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 12
I9: If crude oil flows through this pipeline and its velocity at A is 2.4 m/s, where is the oil level in the open tube C? Z VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 13
I16* Channel and gate are 1 m wide (normal to the plane of the paper). Calculate q 1, q 2, and Q 3. 1 2 Z 3 VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 14
Z y A B x CCl4 nivå flyttas med flöde VVR015 Hydraulik / Grundläggande ekvationer ll 27 mar 2019 / 15