MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt. TEN4 Datum: 7 november 0 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Linjal Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN6 eller alternativt (det äldre) TEN4. Provet består av fem stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 4 poäng. För godkänd-betygen, 4, och 5 krävs erhållna poängsummor om minst 9, respektive 7 poäng. Om den erhållna poängen benämns S b, och den vid tentamen TEN5/TEN erhållna S a, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S a, S b 9 och S a + S b 4 S a, S b 9 och 4 S a + S b 5 4 S a + S b 54 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i.. Antag att vektorerna f, f, f utgör en bas i rummet. För vilka β är uppsättningen vektorer g, definierade enligt linjärt oberoende? g = f + βf + 4f, g = f 4f + f, g = f + 5f + βf,. Beräkna determinanten 4 5 6 4 5 6 5 5 6 5 4 6 5 4.. Bestäm på parameterfri form ekvationen för det plan π som innehåller skärningen mellan planen π : x+y z = och π : x y+4z =, och som är vinkelrätt mot planet π : 6x y + z = 7. (HON-system) 4. Lös ekvationen arg ( 0( ) i)z = π i 6 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. 5. Bestäm koordinaterna för den på linjen λ : (x, y, z) = ( + t, t, + t) belägna punkt Q som ligger närmast punkten P : (5,, ). (ON-system)
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 0/4 Tentamen TEN6 / TEN4 0--07. Vektorerna g är linjärt oberoende om och endast om 7, POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter p: Korrekt formulerat en testekvation för huruvida de tre vektorerna g är linjärt oberoende eller ej, korrekt grupperat termerna som en linjärkombination av basvektorerna f, f, f, och korrekt utifrån det faktum att en uppsättning basvektorer är linjärt oberoende dragit slutsatsen att alla de tre koefficienterna i linjärkombinationen av f, f, f måste vara lika med noll p: Korrekt successivt eliminerat i det uppkomna ekvationssystemet (eller korrekt gjort motsvarande beräkning av determinanten för koefficientmatrisen) p: Korrekt efter successiv eliminering (eller determinantberäkning), från det uppkomna ekvationssystemet (eller determinantberäkningen) dragit slutsatsen att de tre vektorerna g är linjärt oberoende om och endast om den triviala lösningen fås allena (eller att den beräknade determinanten är skild från noll) p: Korrekt från det uppkomna villkoret 0 0 funnit att 7,. 96 ---------------------------- Ett möjligt scenario --------------------------------------- p: Korrekt subtraherat någon av raderna (t.ex. den första) från de övriga raderna p: Korrekt omskrivit determinanten så att tre av raderna har en varsin nolla i kolonn p: Korrekt omskrivit determinanten så att en triangulär form med nollor på någon sida om diagonalen har uppnåtts p: Korrekt utifrån den triangulära formen utvecklat den resterande determinanten med diagonalelementen som faktorer i slututtrycket ------------------------------ Övriga scenarier ----------------------------------------- Poängsättning i övriga lösningsscenarier görs genom att i görligaste mån identifiera fyra poänggivande kriterier som i sin proportionering och i sin helhet motsvarar de i ovanstående lista. ()
. : 8x 9y 0z 7 p: Korrekt identifierat en av punkterna i skärningen, exempelvis P : (,, 0), och därmed även funnit en (referens)punkt i planet p: Korrekt funnit en vektor som är parallell med skärningen, exempelvis e e e, och därmed även funnit en vektor parallell med planet, samt korrekt från ekvationen för planet identifierat en normalvektor till, exempelvis 6e e e, och därmed även funnit ytterligare en vektor parallell med planet (men ej parallell med den först funna vektorn) --------------------- Resterande scenario, variant -------------------------------- p: Korrekt genom en vektorprodukt av de två funna vektorerna bestämt en normalvektor till p: Korrekt som en skalärprodukt lika med noll formulerat ekvationen för planet, samt renskrivit ekvationen --------------------- Resterande scenario, variant -------------------------------- p: Korrekt på parameterfri form med en determinant formulerat det villkor som bestämmer vilka punkter som ingår i planet p: Korrekt utvecklat determinanten och renskrivit ekvationen för planet --------------------- Resterande scenario, variant -------------------------------- p: Korrekt på parameterform formulerat ekvationen för p: Korrekt eliminerat parametrarna i parameterformen, och på parameterfri form funnit ekvationen för planet 4. arg( z) 4 n, dvs en rät linje från (exklusive) origo och i riktningen 4 p: Korrekt utvecklat högerledet till en summa av delargument p: Korrekt evaluerat de olika delargumenten p: Korrekt funnit slututtrycket för arg(z ) p: Korrekt i det komplexa talplanet illustrerat lösningsmängden 9 5. Q : ( 5,0, ) p: Korrekt bestämt en vektor u som kan representeras av den riktade sträckan P 0 P där P 0 är en punkt på linjen, och korrekt identifierat en vektor v som är parallell med linjen, allt med syfte att bestämma den ortogonala projektionen av u på v p: Korrekt bestämt den ortogonala projektionen av u på v, dvs korrekt bestämt den vektor som kan representeras av den riktade sträckan P 0 Q (varav p för korrekt evaluerade skalärprodukter) p: Korrekt bestämt koordinaterna för den på linjen belägna punkt Q som ligger närmast punkten P ()