OROGONL KOMPLEMEN ILL E UNDERRUM Definiion 7 Lå ara e underrum i R n De orogonala omlemene ill är mängden a de eorer i R n om är orogonala mo alla eorer i : n { R : för alla i } n Sa : Om an å är en eor R orogonal mo alla eorer i om och enda om är orogonal mo alla n Bei: na a R är orogonal mo alla d och Då är c c c och därmed c c c ------------------------------------------------------------------------- Koneenen: De orogonala omlemene ill underrumme an an i beämma genom a löa eme nmärning För a mina beräning an i a bor beroende eorer bland d urca an u u u där u u u är linjär oberoende och därmed en ba ill Ugif a Beäm om an b Beäm en ba ill De är uenbar a en ba ill beår a u och u allå är Sida a 7
an Lå Vi löer eme u u d en fri ariabel / / Därmed är / } / { an R och därmed är / en ba ill Sar a / an b En ba ill är / Ugif a Beäm om an 6 b Beäm en ba ill Vi öer eorer om är inelräa mo : baeorer och 6 Sida a 7
Vi a beämma alla om är orogonala mo : baeorer och 6 Vi löer eme 6 6 8 å ledande ariabler: och llå är } { an R Därmed bildar eorerna om är uenbar oberoende en ba i Sar: a an b En ba ill är Ugif Lå Sida a 7
Beäm a Im b Im och c Ker a Med elemenära radoeraioner får i ~ ~ om imlicerar a den redje olonnen beror a de föra å Därmed Im an b Vi löer eme b en fri ariabel Därmed Im an c För För a beämma Ker löer i eme d eialen med oanående b Hära och därmed Ker an Im Sar: a Im an Sida a 7
b Im an c Ker an Im nmärning: De är uenbar a för arje mari gäller Ker Im EGENSKPER: a De orogonala omlemene är e underrum ill R n b Enda nolleorn ligger i både och d { } c dim dim n d Ugif Beia oanående egenaer a d Löning Vi beiar a och d a ligger i eferom för alla i Om u och ligger i då ligger ocå dera umma u i eferom u u för arje i Om u ligger i då ligger ocå λ u i eferom λ u λ u för arje i och iar a är e underrum ill R n b Lå ara en eor om ligger i både och orogonal mo alla eorer i Därför är orogonal mo ig jäl llå d om är eialen med VSB c na a dim och a bildar en ba ill Då är lia med löningmängden ill eme eller där beecnar marirodu mellan och Varje eor om ligger i är Seme an ria å formen där Sida a 7
Eferom rader i är lin oberoende eorer de bildar baen i å är rang dim Enlig dimenionaen är rang dimkern Eferom Ker har i dim dim n VSB d En godclig eor i är orogonal mo alla eorer i enlig definiionen a och därför ligger eorn i Därmed är e underrum ill eller lia med Enlig egenaen c gäller följande: dim dim n dim n- dim * Om i illämar c å har i dim dim n dim n- dim ** * och ** ger dim dim *** om illamman a e underrum ill eller lia med iar a är fai lia med VSB Ugif Viig Lå ara en m n mari Beia a Im Ker Lå n beecnar olonner i Noera a Im an n Den orogonala omlemene beämmer i genom a löa eme där n n Vi an ba beecning i arje eaion från alärroduen ill mariroduen i och ange eme å mariform d ar löningar bildar Ker n llå är Im Ker VSB Eemel Vi an illurera oanående åående med e eemel Sida 6 a 7
Lå Beäm Im Lå beecnar olonner i Noera a Im an Den orogonala omlemene beämmer i genom a löa där d * Vi er a olonner i ger radeaioner i eme å a eme an ria om d om i iade oan Med andra ord er i i dea eemel a Im Ker Om i löer eme * eemeli med Gaumeoden får i Im an Ker Sida 7 a 7