= x 2 y, med y(e) = e/2. Ange även existens-

Relevanta dokument
(4x 3 + y)y + x(x 3 + 2y) dy dx = 0

x + 9y Skissa sedan för t 0 de två lösningskurvor som börjar i punkterna med koordinaterna

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + 2y 13z = 4 4x y + 17z = 5

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

x 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

a5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Studiehandledning till. MMA022 Differentialekvationer för lärare. läsåret 2010/11

3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

1. Beräkna determinanten

Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7

2. Skissa minst en period av funktionskurvan y 1 = 2 sin(4x/3). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

dy dx = ex 2y 2x e y.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 17 januari 2013

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

1. (a) Beräkna gränsvärdet (2p) e x + ln(1 x) 1 lim. (b) Beräkna integralen. 4 4 x 2 dx. x 3 (x 1) 2. f(x) = 3. Lös begynnelsevärdesproblemet (5p)

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

= = i K = 0, K =

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

y(0) = e + C e 1 = 1

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

d dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

y = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 12 januari 2016 Skrivtid:

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim

x 2 2(x + 2), f(x) = by utilizing the guidance given by asymptotes and stationary points. γ : 8xy x 2 y 3 = 12 x + 3

MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN

MMA127 Differential och integralkalkyl II

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

2(x + 1) x f(x) = 3. Find the area of the surface generated by rotating the curve. y = x 3, 0 x 1,

där γ är den i medurs led genomlupna tjocka halvcirkeln (x 1) 12 + (y 1) 12 = 1, x 1, från punkten A : (1, 0) till punkten B : (1, 2).

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

n 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

2. Bestäm en ON-bas i det linjära underrummet [1 + x, 1 x] till P 2 utrustat med skalärprodukten

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Program: DATA, ELEKTRO

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Uppgift 1. Bestäm definitionsmängder för följande funktioner 2. lim

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

Transkript:

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare Datum: juni 010 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 5 poäng. Den maximala poängsumman är således 40. För betget G krävs minst 0 poäng, och för betget VG minst 0 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tdliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Lös differentialekvationen x + ( ) = 0 med () = 1 och () =. Ange även existensintervallet för lösningen.. Bestäm den talföljd { n } n=0 som satisfierar differensekvationen n 7 n 1 + 10 n = 0, och begnnelsevillkoren 0 = 1 = 1. = x, med (e) = e/. Ange även existens-. Lös differentialekvationen x d dx + intervallet för lösningen. 4. En hastigt insjuknad person med hög feber behöver omedelbart diagnosticeras. Man har endast tillgång till en relativt långsam termometer och behöver därför kunna räkna ut febern innan termometern stabiliserats vid febertemperaturen. Det antages att termometerns temperaturförändring per tidsenhet vid varje tidpunkt är proportionell mot skillnaden mellan termometerns temperatur och temperaturen i det medium som omsluter mätpunkten. Ett rimligt antagande är också att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i personens kropp. Termometern hålls normalt i rumstemperatur (0 grader). Tre () sekunder efter det att termometern har förts in i munnen hos den sjuke avläses 0 grader. Ytterligare tre sekunder senare är termometers utslag 5 grader. Med hjälp av insamlade data görs en snabb beräkning av den sjukes temperatur. Vad kommer man fram till, dvs hur hög feber har den sjuke personen? 5. Differentialekvationen ( /x + x) dx + (x + ln d = 0 har en integrerande faktor som bara beror av. Bestäm den allmänna lösningen (på åtminstone implicit form). 6. Lös begnnelsevärdesproblemet + 4 + 4 = 0 + 16e x, (0) = 4, (0) =, (0) = 1. 7. För vilka begnnelsevärden på konvergerar lösningar till differentialekvationen d = ln( ) ln( 7)? dx Ange förekommande gränsvärden lim (. x 8. Differentialekvationen x (10x + 1) + 5(5x + 1) = 0 har en lösning på formen e ax. Bestäm för x > 0 den allmänna lösningen till differentialekvationen.

MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA0 Differentialekvationer för lärare BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 009/10 Tentamen 010-06-0 1. = x 1+ ln( x 1) I E = ( 1, ) POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter p: Korrekt genomförd första integrering utifrån substitutionen ( = u(, med ett allmänt uttrck för ( som resultat 1p: Korrekt BV-anpassat uttrck för ( 1p: Korrekt gjord andra integrering 1p: Korrekt angivet existensintervall 1 n n+. n = (5 ), n 0 1p: Korrekt Z-transformering av differensekvationen p: Korrekt förberedelse för inverstagning p: Korrekt inverstagning. x = ln( e I E = ( e, 1 ) 1p: Korrekt identifiering av DE som en homogen ekvation med påföljande gjord substitution ( = xu(, eller som en Bernoulli-ekvation med påföljande gjord substitution ( = u( p: Korrekt lösning av DE för hjälpstorheten u 1p: Korrekt lösning av BVP 1p: Korrekt angivet existensintervall 4. o 40 1p: Korrekt formulerad och allmänt löst differentialekvation för temperaturen hos termometern vid tidpunkten t p: Korrekt omsättning av de uppmätta värdena p: Korrekt härledning av uttrcket för febertemperaturen 5. [ x + ln( ] = C där C är en konstant p: Korrekt funnen integrerande faktor för DE p: Korrekt funnen hjälpfunktion (potentialfunktion) till den exakta DE 1p: Korrekt funnen allmän (implicit) lösning till DE 6. 1 x 11 x e x x ) = + 5 + ( + e 1p: Korrekt allmän lösning till motsvarande homogena DE 1p: Korrekt ansättning av en partikulärlösning till DE p: Korrekt funnen partikulärlösning till DE 1p: Korrekt lösning till BVP 7. Lösningar konvergerar om begnnelsevärdet 7 BV uppfller < BV 8, lim ( = x, < BV <, = 7. BV p: Korrekt bestämt intervall för de begnnelsevärden som leder till konvergens, varav 1p för korrekt bestämt intervall för och korrekt bestämda stationära punkter till DE, och 1p för korrekt bestämda tecken på derivatorna till. 1p: Ett av gränsvärdena korrekt förklarat och angivet 1p: Det andra gränsvärdet korrekt förklarat och angivet 8. 5x 5x = C1 e + C x e 1p: Funnit lösningen p: Korrekt genomförd variation av parameter p: Korrekt sammanställd allmän lösning till DE 5x 1 = e till DE