MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Relevanta dokument
MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Övningstentamen i MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Övningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

MA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,

Tentamen i Envariabelanalys 2

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Allt du behöver veta om exponentialfunktioner

Repetitionsuppgifter

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

Tentamen i Matematik 1 DD-DP08

Planering för Matematik kurs D

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tillämpad Matematik I Övning 1

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga motiveringar. f(x) = arctan x.

Kontrollskrivning KS1T

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Matematik CD för TB = 5 +

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

20 Gamla tentamensuppgifter

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Tillämpad Matematik I Övning 3

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Gamla tentemensuppgifter

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström LMA222a Matematik DAI1 och EI1

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Mer om generaliserad integral

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

x 1 1/ maximum

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

Tentamen i Matematik 1 HF1901 (6H2901) 22 aug 2011 Tid: :15 Lärare:Armin Halilovic

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

PRÖVNINGSANVISNINGAR

MVE465. Innehållsförteckning

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

MA2001 Envariabelanalys

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

SF1625 Envariabelanalys

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Tillämpad Matematik I Övning 4

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

TENTAMEN. Rättande lärare: Sara Sebelius & Håkan Strömberg Examinator: Niclas Hjelm Datum:

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

9 Geometriska begrepp

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

Transkript:

MA Tillämpad Matematik I, 7.hp, 9--8 Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.. Beräkna absz z, då z och z betyder komplexkonjugat. (p) Lösningsförslag: Låt w z ab z :, ab så absw w a b. w z z.z, Absw, a b 7 c d e Inget av a till d.. Lös ekvationen z 7 z, där z betyder komplexkonjugat. (p) Lösningsförslag: Ansätt z a b. Utnyttja sedan kravet på likhet mellan komplexa tal. Alltså z 7 ab z a b a b : Likhet e : a b a bab ab Im : b a a b. Solvez 7 z z a b c d e Inget av a till d. ätt svarsalternativ: b. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Geometrisk (prototyp)summa med kvoten q. För n termer är summan n då n. i i a b 7 c 7 d 9 e Inget av a till d.. Bestäm V f till funktionen f x x, D f,. (p) Lösningsförslag: ita f x x x x x x x x x x, D f,, så har vi direkt V f, 6. Plot Abs x, x,,, Plotange, 6, AxesLabel x, PlotLabels fx 6 x f x a V f, 6 b V f, 6 c V f, 6 d V f, 6 e Inget av a till d.

. Sök x så att 9 6 7 6 7 x. (p) Lösningsförslag: Primtalsfaktorisera baserna och ta hjälp av potenslagarna 9 6 7 6 7 x 6 7 6 7 6 x 6 x x. Detta klarar naturligtvis vår bästa kompis oxå Solve9 6 7 6 7 x, x, eals x a 8 b 7 c 6 d e Inget av a till d. 6. Sök x så att x lnx. (p) Lösningsförslag: Logaritmlagar, x lnx lnxlnxln lnx lnx eller lnx, varav x eller x. Solvex Logx, x, eals x, x ätt a, b, c, d ln e Inget av a till d. svarsalternativ: b 7. Låt f xlnsin x. Bestäm f ' Π. (p) Lösningsförslag: x lnsin x lnlnsinx x cosx. Så f ' Π sinx tanx tan Π. DLog Sinx,x.x Π tanx a b c d e Inget av a till d. 8. Låt f xx x. Bestäm f ' x. (p) Lösningsförslag: x xx x lnxx x xlnx xlnx lnxx x xx lnx. Dx x,x x x logx a x x lnx b x x lnx c x x ln d x x lnx e Inget av a till d. 9. Låt f x x. Bestäm f '. (p) x Lösningsförslag: x x Kvotregeln, K & SD xx x x x x x 8. x D x,xsimplify.x x x 8 ätt svarsalternativ: e a b c d 6 e Inget av a till d.. Givet kurvan Πxy cos Π x. Sök y t i punkten x y då x. (p) t

Lösningsförslag: Derivera implicit, sätt in numeriska värden. Lös slutligen ut y t. DΠ xt yt Cos Π xt,t. xt, yt, x't Solve Π yt x t Π xt yt y t Πxt x t sin Π xt Π y t ΠΠ y t a b c d e Inget av a till d.. Betrakta den styckvis konstanta funktionen f x i figuren. Beräkna sedan f x x. p x f x Lösningsförslag: Dela upp integrationsområdet så att integranden är konstant k i varje intervall, då är a b kx k a b x kb a. Så f x x 8. x x x x 8 a b 8 c d 6 e Inget av a till d. ätt svarsalternativ: b x. Beräkna x. (p) x x Lösningsförslag: Vi får x x x x x x x xlnx ln ln lnln. x x x log log a lnln b lnln c ln d ln6 e Inget av a till d. x. Beräkna x. (p) x Lösningsförslag: Variabelsubstitution. Sätt u x, så har vi u xx, med gränserna x u u u och x ö u ö x. Nu är det bara att meka ihop det hela x x x u x u lnu lnln ln. x x x log a ln b ln c ln d ln e Inget av a till d.. Viola säljer potatis på torget. Hon har funnit att efterfrågan K kg beror av priset p kr/kg enligt Kp p. Vilket pris p ska Viola sätta på potatisen för att maximera inkomsten? (p) Lösningsförslag: Violas inkomst av försäljningen blir PppKp, vilket inses genom dimensionsanalys krkgkgkr. K p ;P pk p p

Innan man ska optimera brukar det vara bra att pigga upp sig med en liten titt på kurvorna för att se om modellen är sund. PlotK, P, p,, 8, PlotStyle Brown, ed, AxesLabel "pkrkg", "Kkg,Pkr" Kkg,Pkr 6 8 pkrkg Så optimalt pris DP, p Solve, p 6 p p a b c d 6 e Inget av a till d.. Genom att rotera grafen till yxx, x, ett varv kring y axeln skapas en skål. Sök dess volym. p Lösningsförslag: Dela upp i tunnväggiga rör. Vid x har ett sådant volymen V Πxyyxx. Lägg sedan samman Π x x x Π ätt svarsalternativ: b a Π b Π c Π 7 d Π e Inget av a till d. Del B poäng med fokus på modellering och Mathematica. 6. Ett tryckeri har pressar. En press klarar kopior i timman och kostar 6 kr att starta. Timkostnaden att övervaka pressar i drift består av en fast kostnad kr samt kr per press. Hur många pressar ska man starta för att hantera en beställning på miljon kopior så billigt som möjligt? 6. Antag att vi startar n st pressar. Då blir trycktiden T timmar och kostnaden K kr för att hantera beställningen. Spara i ekv. (p) Lösningsförslag: Efter en stund funderande får vi ekv T,K 6 n n T n T, K n T 6 n n ätt a ekv T n n b ekv T,K 6 n T n c ekv T,K 6 n n T n d ekv T,K 6 n T n n e Inget av a till d. svarsalternativ: e

7. Lös ekvationssystemet med avseende på T och K. Spara som regler i TÅK. (p) Lösningsförslag: Typisk övning med Solve. TÅK Solveekv, T, K T n, K 6 n 8 n n a TÅK Solveekv, T, K b TÅK. Solveekv, T, K c TÅK Solveekv,T,K d TÅK Solveekv, T, K e Inget av a till d. 8. ita T, n,, i rött. Pynta axlarna! (p) Lösningsförslag: ita på med Plot. PlotK. TÅK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" 86 8 8 8 78 76 Kkr n a PlotK. TÅK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" b PlotTÅK. K,n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" c PlotTÅKK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" d PlotK. TÅK, n,,, PlotStyle ed, AxesLabel "n", "Kkr" e Inget av a till d. 9. Bestäm optimala antalet pressar. (p) Lösningsförslag: Derivera och sök nollställe till derivatan. nopt SolveDK. TÅK, n, n n, n a nopt SolveDTÅK, n, n b nopt SolveDK. TÅK, n, n c nopt SolveDTÅK. K,n, n d nopt SolveDK. TÅK, n e Inget av a till d.. Bestäm kostnad och drifttid. Välj den andra av två lösningar i nopt. (p) Lösningsförslag: Sätt in optimalt antal i regeln från Solve så får vi ett snyggt själdokumenterande svar. LastTÅK. nopt ätt svarsalternativ: e ätt svarsalternativ: e ätt T, K 7 a TÅK. nopt b LastTÅK. nopt c nopt. TÅK d TÅK. TakenOpt, e Inget av a till d. svarsalternativ: b. En m lång ståltråd viks till en likbent triangel. Bestäm basen b då arean är maximal. (p) Lösningsförslag: Det är bara att teckna arean och maximera. Inte helt oväntat ska tråden vikas till en liksidig triangel.

Maximize b b b,b, b ätt svarsalternativ: b a Maximize b b b,b b Maximize b b b,b c Maximize b b b,b d Maximize b b b,b e Inget av a till d.. Bestäm arean för en cirkel med radien. p Lösningsförslag: Arean med smala rektanglar A x x. Π x x PowerExpand a x x b Π r r c x x d Π r r e Inget av a till d.. Bestäm omkretsen för en cirkel med radien. p Lösningsförslag: Omkretsen, där en liten bit s rθ r' Θ Θ Θ Θ om Θ är bågvinkeln, så Π Θ Π a x Π Π x b Π r r c Θ d Π r Θ e Inget av a till d.. Bestäm volymen för ett klot med radien. p Lösningsförslag: Välj små cylindrar. Vid x har den lilla cylindern en radie y som ges av x y. Så med formel V Πy x Π Π x x 6

a Π x x b Π x x c Π x x x d Π x x e Inget av a till d.. Lille Bo bygger en solid konformad sandkaka på stranden. Kakans höjd är H m och basradien är m. Se figur Bestäm det arbete som Bo uträttat om vi vet att sandens densitet är Ρ kgm. Att lyfta en massa m höjden h kräver arbetet E mgh. p Lösningsförslag: Att lyfta ett sandmynt med rätt radie r på plats vid höjden h kräver arbetet E ghm ghρv ghρπr h. r Återstår bara att fixera rh med hjälp av likformiga trianglar Hh, för att Bo ska kunna sätta igång. H Hg hρπ H H h h Π gh Ρ ätt svarsalternativ: b H a ghρπ h H H h b ghρπ H H h h H c ghρπhh H h d ghρπ h H h e Inget av a till d. 6. En rektangulär pappskiva med måtten ab och massan m är uppriggad enligt figur. Sök masströghetsmomentet J m r m då den roterar kring axeln x a. p b y a x Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ m. Klipp sedan upp triangeln i smala rektangulära strimlor bx. Bidraget till ab masströghetsmomentet från en sådan är J r m x a Ρbx. Nu är det bara att lägga samman. J a J x a m ab b x J 7 a m 8 J a a J x a x m b x ab b J a J x a m ab b x J a c J x a m b x ab d J a J a x a m b x e Inget av a till d. ab 7. En triangulär dammlucka enligt figur ska bära trycket från vattnet som varierar enligt pyρgynm, där y är djupet under vattenytan. 7. Strimla luckan i y led, by. Bestäm strimlans bredd b vid y med lämpligt geometrisamband. Spara b som regel. (p) Lösningsförslag:: Låt luckans bredd vara b vid djupet y. Likformiga trianglar ger då och y b, Ok! bavy Solve b y,bfirst b y varav b y. Test: y b b y 7

a bavy Solve b,y y b bavy Solve b c bavy Solve b y d bavy Solve b 8. Bestäm tryckkraften på den lilla strimlan vid djupet y. (p) y,y y,y e Inget av a till d. Lösningsförslag: På djupet y har vi den lilla rektangelarean A by på vilken den lilla tryckkraften F pya verkar. py da. da b dy, py Ρgy. bavy dyg Ρ y y a py da. da b dy, py Ρgy. bavy b py da. bavy. da b dy; py Ρgy c py da. da b dy, py Ρgy. bavy d py da. da b dy, py Ρgy. bavy e Inget av a till d. 9. Bestäm tryckkraften F på luckan. (p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag över dammluckan. F F dy y a c F 8 g Ρ F F dy b F F y F F dy d F F y dy e Inget av a till d.. Bestäm vridmomentet M kring en axel i luckans plan vid vattenytan som orsakas av vattentrycket. (p) Lösningsförslag: Det är bara att lägga samman alla små bidrag M yf över dammluckan. M M y dy y a c M 68 g Ρ F y F dy b M F yy M M y dy d M y M y dy e Inget av a till d. 8