Matematiska vetenskaper Lösningsförslag till tentamen Göteborgs universitet 07-0-7, 8:30 :30 NBAM00: Naturvetenskapligt basår Matematik, del Uppgift (mha vektorer Man bildar vektorer AB (3, 3, AC (7, och BC (, (a Sidolängderna är ju vektorernas längder: AB AB 3 + (3 8 3 le BC BC + 3 le AC AC 7 + 50 5 le (b Vinklarna kan bestämmas mha skalärprodukten: cos α cos β AB AC AB AC BA BC BA BC 37+(3 3 5 (3+3 3 8 30 3 5 Således är α arccos(3/5 0 0 Således är β 90 cosγ CB CA CB CA ((7+(( 5 3 0 5 Således är γ arccos(/5 (c ABC är rätvinklig med kateterna 3 le och le Arean 3 ae Uppgift (utan vektorer (a Sidolängderna bestäms mha avståndsformeln: a BC (8 + (3 ( 3 le b AC (8 + (3 50 5 le c AB ( + ( 8 3 le (b Vinklarna bestäms mha cosinussatsen: a b +c bc cos α blir alltså 3 50+860 cos α därifrån man får att cos α 36 60 3 5 Då är α arccos 3 5 b a +c ac cos β blir alltså 50 3+88 cos β därifrån man får att cos β 0 8 0 Då är β 90 c a +b ab cosγ blir alltså 8 3+5080 cosγ därifrån man får att cosγ 6 80 5 Då är γ arccos 5 (c Areasatsen ger: A ac sin β 3 8 sin 90 ae
Uppgift (Substitutionsmetoden Från första ekvationen får man att z x 5 Detta sätts in i :a ekvationen och därifrån löser man ut x + + 3(x 5 6 8x + 8x Nu sätter man z x 5 och 8x in i 3:e ekvationen och löser ut x: 3x + ( 8x (x 5 5 7x + 6 5 7x x 3 När man tagit reda på x:et, så kan man beräkna och z: 8 3 3, z 3 5 6 5 Ekvationssstemet löses av x 3, 3 och z Uppgift (Eliminationsmetoden x z 5 x z 5 x + +3z 6 +z 3x + z 5 x + 0 z 5 7z 7 7 +z +z x + 0 x + 0 z z 3 3 x + 0 x 3 Ekvationssstemet löses av x 3, 3 och z Uppgift (Eliminationsmetoden Omordna ekvationerna och sedan eliminera +x +3z 6 +x +3z 6 +3x z 5 x z x z 5 x z 5 +x +3z 6 +x 3 3 x z x 3 x 3 7z 7 7 3 z z Ekvationssstemet löses av x 3, 3 och z
Uppgift 3 (a Enligt satsen om heltalsrötter är någon av delarna till 9 en lösning till ekvationen Det är alltså x ±, ±3 och ±9 som ska prövas: x ger 9 + 9 3 9 + 9 0 0 x är ingen rot! x ger 9 + 9 ( ( ( 3 9 9 + 0 En rot har hittats! Struntar i x ±3 och x ±9 T x är en rot är polnomet 9 + 9x x x 3 delbart med (x + enligt faktorsatsen Efter att man utfört polnomdivision, så ser man att Konjugatregeln ger att 9 + 9x x x 3 (x + (9 x 9 x 3 (x (3 + x(3 x Nu har man faktoruppdelat vänsterledet av den ursprungliga ekvationen 9 + 9x x x 3 (x + (3 + x(3 x och detta ska vara lika med noll En produkt är lika med noll om och endast om någon av dess faktorer är lika med noll Då får vi tre rötter: x, x 3/ samt x 3/ (b Man får gärna utnttja faktoruppdelningen från (a: Man sammanställer en teckentabell: 9 + 9x x x 3 0 (x + (3 + x(3 x 0 x 3/ 3/ x + - - - 0 + + + 3 + x - 0 + + + + + 3 x + + + + + 0 - (x + (3 + x(3 x + 0-0 + 0 - Från teckentabellen läser man av att VL 0 då x 3/ eller x 3/ OBS: Det är ett grovt fel att utnttja rötterna som funnits i (a för att göra faktoruppdelningen 9 + 9x x x 3 (x + (x + 3 (x 3 eftersom man då tappat bort den negativa faktorn som stått framför x 3 Å andra sidan går det alltså bra att faktoruppdela polnomet med hjälp av dess rötter på följande sätt: 9 + 9x x x 3 (x + (x + 3 (x 3 I teckentabellen måste man då ta hänsn till den negativa faktorn (eller så dela hela olikheten med och vända på olikhetstecknet
Uppgift Enligt faktorsatsen kan man faktoruppdela z az + b (z z (z z Utveckla högerledet och samla ihop termerna med lika exponent: (z z (z z z zz zz + z z z (z + z z + z z Man har alltså fått fram identiteten z az + b z (z + z z + z z När man jämför koefficienterna vid motsvarande potenser av z, får man följande likheter: z : z : a (z + z z 0 : b z z Alltså, a z + z och b z z VSB Uppgift 5 (a 8 8 t 7 6 6 8 /8 t (7/8/8 t 0 6 8/6 t 6/8 t 7/6 (0//6 6 9/8 t 6 0/6 8 9 37 8 t 3 5 3 6 8 3 t 8 t 3 6 (b lg 5 lg 0 + lg + ln ( 5 ln 0 lg(5 lg 0 + lg + lg lg 0 lg ( 00 lg 0 0 Uppgift 6 (a Man ska hitta skärningspunkterna av hperbeln och linjen medan talet m ska väljas sådant att det endast finns en skärningspunkt (tangeringspunkt Sätt in m x i hperbelns ekvation: x(m x x mx + 0 x m x + 0 En andragradsekvation har precis en lösning om diskriminanten (dvs det tal som står under rottecknet i pq formeln är lika med noll D ( p q m 6 ska vara lika med noll Ekvationenm /6 0 löses avm ±8 Det finns två möjliga värden påm så det finns två olika linjer (av den önskade ekvationen som tangerar hperbeln, nämligen 8 x och 8 x (b Man sätter m 8 och hittar skärningspunkten precis som i början ovan: x(8 x x 8x + 0 x x + 0 (x 0 Således x och 8 Om m 8, så har tangeringspunkten koordinaterna (, Sedan sätter man m 8 och hittar skärningspunkten: x(8 x x + 8x + 0 x + x + 0 (x + 0 Således x och 8 ( Om m 8, så är (, tangeringspunkten
Uppgift 7 (a Additionsformeln ger sin 75 sin(30 + 5 sin 30 cos 5 + cos 30 sin 5 (b Omvandla radianer till grader: 7 π π + 5 π 80 + 5 π 80 π 3 + + 6 80 + 5 80 80 + 5 5 80 + 75 55 Det framgår från enhetscirkeln att vinkeln ligger i 3:e kvadranten och då kan man bestämma att cos 55 cos(80 + 75 cos 75 Således behöver man räkna ut cos 75 cos 75 cos(30 + 5 cos 30 cos 5 sin 30 sin 5 Man har alltså fått att 3 6 cos 7 6 π cos 55 cos 75 6 Uppgift 7 (Alternativ lösning till (b mha trig-ettan Som ovan får man att cos 7 π cos 75 Sedan används den trigonometriska ettan för att räkna ut cos 75 : cos 75 Således är Uppgift 8 sin 75 6 8 3 6 ( + 6 8 3 6 3x + x + (3x + (x + x Då blir gränsvärdet 3x + x + lim x 0 lim x 0 x 3 cos 7 π 3 + 6 + 6 6 3 6 3 3x + + x + / / konjugatregeln 3x + + x + 3x + + x + 3x + + x + x ( lim x 0 x 3x + + x + lim x 0 3x + + x + där standardgränsvärdet sin z z då z 0 använts med z x 3x + + x + 6 8 + 3 6 3 0 + + 0 +,