Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Relevanta dokument
Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning det finns ett tal k så att A=kB

DIFFERENTIALEKVATIONER AV FÖRSTA ORDNINGEN

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

Program: DATA, ELEKTRO

TENTAMEN HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

17.10 Hydrodynamik: vattenflöden

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008

TENTAMEN TEN2 i HF1006 och HF1008

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till MVE016 Matematisk analys i en variabel för I yy 1 + y 2 = x.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

MATEMATIK OCH MAT. STATISTIK 6H3000, 6L3000, 6H3011 TEN

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014

TENTAMEN HF1006 och HF1008

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Planering för Matematik kurs D

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

TENTAMEN HF1006 och HF1008

TENTAMEN HF1006 och HF1008

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

vinkelräta (1p) då a r = (0,1,0), b r =(0,1,2k) och c r =(1,0,1)? b) Beräkna arean av triangeln ABC då (2p) A= ( 3,2,1), B=(4,3,2) och C=(3,3,3)

Matematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Y=konstant V 1. x=konstant. TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e x2 /4 2) = 2) =

Tentamen i Envariabelanalys 2

= = i K = 0, K =

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Lösningar till Matematisk analys

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik D (MA1204)

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

b) (2p) Bestäm alla lösningar med avseende på z till ekvationen Uppgift 3. ( 4 poäng) a ) (2p) Lös följande differentialekvation ( y 4) y

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

13 Potensfunktioner. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

3.1 Derivator och deriveringsregler

Gamla tentemensuppgifter

PRÖVNINGSANVISNINGAR

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

Tillämpad Matematik I Övning 3

20 Gamla tentamensuppgifter

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Matematisk Modellering Övning 2

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

= 0 genom att införa de nya

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Repetitionsprov på algebra, p-q-formeln samt andragradsfunktioner

UPPSALA UNIVERSITET Envariabelanalys IP1/Hösten L.Höglund, P.Winkler, S. Zibara Ingenjörsprogrammen Tel: , ,

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Allt du behöver veta om exponentialfunktioner

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

Tillämpad Matematik III Övning ODE

Repetitionsuppgifter. Geometri

Transkript:

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uttrck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Text Formell beskrivning A är proportionell mot B det finns ett tal k så att A=kB A är proportionell mot B och C A=kBC (för ett tal k) A är omvänt proportionell mot B k A= B (för ett tal k) A är proportionell mot summan, A= k( B C) differensen, A= k( B C) produen, A= kbc kvoten, B av B och C A= k (för ett tal k) C Funionens förändringshastighet ( (eller (x) ) Funionen förändras med hastigheten A ( =A Funionen förändras med hastigheten som är proportionell mot A ( =ka Funionen förändras med hastigheten som k är omvänt proportionell mot A ( A Funionens förändras med hastigheten ( ka( B C) som är proportionell mot produen mellan A och (B C) Uppgift. Ställ upp en differential ekvation för funionen ( om a) Funionen ( förändras med hastigheten (som är lika med) (. b) Funionen ( förändras med hastigheten som är proportionell mot (. c) Funionen ( förändras med hastigheten som är proportionell mot t. d) Funionen ( förändras med hastigheten som är omvänt proportionell mot (. e) Funionen ( förändras med hastigheten som är proportionell mot differensen mellan t och (. Svar: k a) ( (, b) ( k( c) ( d) ( e) ( k( t ( ) ( Uppgift. Ett radioaivt ämne sönderfaller med hastigheten som är proportionell mot den mängd av ämnet som finns kvar. a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver förloppet. Sida av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 b) Av gram blir det kvar. 9 gram efter 00 år. Hur många gram blir kvar efter 0 år. d Svar a) k( b) den allmänna lösningen är Ce. Villkoret ( 0) C och därmed e 00k.9 Från ( 00). 9 har vi.9 e k ln( ) 0.000. 00 t Alltså e 0.000. Härav (0). Svar b). I följande uppgift används Newtons avsvalningslag: Om en kropp med temperaturen T 0 placeras i en omgivning med temperaturen T R, kommer kroppens temperaturer ( att förändras med hastigheten som är proportionell mot skillnaden mellan föremålets temperatur och omgivnings temperatur. Med andra ord har vi följande ekvation ( k( ( T ) med beggnelsevillkor : R (0) T 0 Uppgift. Ett föremål med temperaturen 00 C har efter en minut i rumstemperatur ( C) svalnat till 40 Hastigheten med vilken temperaturen sjunker är proportionell mot skillnaden mellan föremålets temperatur och rumstemperaturen. a) Bestäm föremålets temperatur som funion av tiden b) Efter hur lång tid blir föremålets temperatur 0? d d d k( ( ) k k ln C D e Startvillkoret ( 0) 00 D 78 78 e k 8 k 8 Villkoret ( ) 40 40 78 e e k ln 0. 4 78 78 0.4t Svar a) 78 e 78 e ln(8/78) b) ( 0 78 e 0 e 8/ 78 ln(8/78) t k t 7.46 min Svar b) t 7. 46 min Sida av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Uppgift 4. I nedanstående vattentank finns 00 liter r vatten. Vid t=0 finns det d 00 g salt i tanken. Tanken tillförs vatten med hastigheten 0 liter per timme och saltinnehåll 4 g per liter. Efter ordentlig omröring förs ut vatten med hastighetenn 0 liter per timme. Låt (t ) beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t ( d v s efter t timmar). a) Ställ upp en differentialekvation för ( ( och bestäm (. b) Hur mcket salt finns i tanken efter timmar och 0 min. Svara i antalet gram (avrunda till heltal gram). a) Låt ( beteckna antalet g salt i tanken vid tiden t Förändringshastighet blir då (. Dessutom gäller ( H in H ut H in visar hur många gram salt per timme tillförs tanken. H visar hur många gram salt per timmee förs ut ur tanken. ut liter gram där H in 0 timmee 4 liter gram 80 timme Vid tiden t finns det ( gram salt i 00 liter vatten. Därför är densitet d vid tiden t ( ( gram ( gram lika medd r volmen( 00liter 00 liter (notera att vattenvolmen förblir konstantt eftersom 0 liter förs in och 0 liter förs u Därmedd liter ( gram 0( gram H ut 0 : timme 00 liter 00 timme Nu, frånn ( H in H ut ( ( 0 4 0 00 ( 0.( 800 (*) med begnnelsevillkoret: ( 0) 000. Först homogenadelen: Den karaeristiskaa ekvationenn för den homogena delen: r 0. 0 r 0. t /0 Härav H ( Ce Vi ansätter ( A och därmed ( t ) 0. p har vi ekvationen p Sida av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 4 Substitution i (*) ger 0.A 80 A 800 och därmed p ( t ) 800. t /0 Den allmänna lösningen är ( Ce 800 Villkoret ( 0) 00 medför C=700 t /0 och (tt ) 700e 800. t /0 Svar a) ( 700e 800. b) (.)= ( 700e 800 4 Uppgift. En vatten behållare, vars volm är 00 liter, innehåller 00 liter rent vatten. Vatten som innehåller gram/ liter av en förorening f tillförs med hastighetenn liter /min. Föroreningen blandar sig väl med vattnet. Av det blandade vatten bortförs liter l per min. a) Anta att behållaren innehåller gram av föroreningen efter t minuter. m Ställ upp en differentialekvationn som beskriver detta samband. b) Hur lång tid beskriver din ekvation förloppet på ett korre sätt? c) Lös differentialekvationen. Från början finns det 00 l vatten i behålaren. Varje minut tillförs l och bortförs l vatten. Därmed växer vattenmängd med liter per minut Efter t minuter fins det V vatten 00 t 00 t liter vatten i behålaren. Behållaren är flld med vatten efter 00 minuter (Då finns det 00 +00*= =00 liter vatten i behålaren.) a) Låt ( vara mängden av föroreningen i behålaren efter t minuter. Då gäller d H till H bort, där H är mängden (i gram) av föroreningen som tillförs behålaren per minut och tilll H bort är mängden (i gram) av föroreningen som bortförs behålaren per minut. (Notera att i varje liter vid tiden t finns ( /(00 t ) gram av föroreningef en.) Därmed har vi följande samband d 00 t (*) (0) 0 (rent vatten vid t 0) Sida 4 av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Modellen gäller under 00 minuter. ( Behålaren är flld med vatten efter 00 minuter, vi saknar information om vad som händer efter detta.) Vi löser ekvationen eller 00 t. 00 t Integrerande faor är dx 00 t ln(00t ) e ( 00 ( ) ln(00 ) F e P x dx t e e Den integrerande faorn substituerar vi i formeln ( x) F ( C F Q( x) dx) och får ( x) e ln(00t ) ( x) (00 ( x) (00 ( x) (00 ( C ( C e ln(00t ) (00 dx) dx) (00 ) ( C ) ( C (00 ) t ( x) C(00 (00 C ( x) 000 t (00 Villkoret ( 0) 0 ger C 000 0 (00 0) 000 t Svar: 0 C 00000 40 000 000 (00 40 000 000 d a) 00 t (0) 0 b) 00 minuter 40 000 000 c) 000 t (00 Uppgift 6. En sfärisk snöboll med radien l m smälter på ett dgn till den mindre snöbollen med radien 0.8 m. Vi antar, att volmen av snöbollen minskar med en hastighet, som är proportionell mot snöbollens area. Vi förutsätter, att bollen behåller sin sfäriska form under hela smältperioden. Sida av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 6 a) Bestäm en differentialekvation för radien R som funion av tiden t b) Lös differentialekvationen med avseende på R( c) Beräkna efter hur lång tid snöbollen är helt borta. 4 (Tips: volmen V= R, arean A= 4R ) dv 4 ka dr dr R 4kR k Svar: a) R ( k b) R( C R(0) C och k 0. R() 0.8 alltså R ( 0.t c) 0.t 0 t Uppgift 7. En behållare har formen av en kon med spetsen nedåt enligt figuren. Från början är behållaren flld med vatten till höjden,0 cm. Vattnet rinner ut genom ett litet hål i botten. Utflödet är 0,0 h cm /s, där h är vattnets höjd i cm. Hur lång tid tar det innan behållaren är tom? 4,0 h Vattenvolmen V( uppfller ekvationen blir dv 0,0 h (*) Ekvationen (*) har två obekanta funioner V( och h(. För att lösa ekvationen måste vi eliminera en av dem. Formeln för volmen av en kon ger V r h, där r är vattentans radie. På grund av 4 -vinkeln gäller r = h och alltså h V. I ekvationen har vi två obekanta V( och h(. Vi eliminerar V. Sida 6 av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 7 ( h( ) Vi deriverar sambandet V ( och får ( med hjälp av kedjeregeln ) dv h dh dh h som vi substituerar i ekv (*) : dh h 0, 0 h (ekv ) Vi separerar variabler ( h och t ) och får 0,0 h dh (ekv ). 0 Integrera: h dh h 0 eller t C Från h(0)= får vi C (**) 48.68 och därmed h 0 t 48.68 0 C Behållaren är tom om h=0 dvs t C =0. Härav t 0 0 Svar: 0 s dv Metod. Vi eliminerar h ur ekvationen 0,0 h. h V dv V h = 6. Insättning ekvationen ger 0,0 V, dvs dv 9,9.V 6 Differentialekvationen kan separeras: V 6 dv 9. 9. Integration ger V 9. 9t C.,0 Vid tiden 0 är volmen V =. Detta ger C = tömmas får vi genom att sätta V = 0 t = Uppgift 8. C 0 s. 0.9 6,0 6 6 6 6. Tiden för behållaren att Det har regnat under en längre tid. Vatten har helt fllt ett 00 m långt och m brett dike. Dikets vertikala genomskärningsprofil har V-form, i form av en halv kvadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång. Regnet har upphört vid tidpunen t = 0. Antag att diket neill är helt tät så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning uppåt och att avdunstningshastigheten (i m /dag) är proportionell mot den fria vattentans area. Vid t=0 finns det V(0) =00m vatten i diket ( dvs. helt fllt dike). Efter en dag finns det kvar 90 m Sida 7 av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 8 dvs V()= 90 m. När är diket torrlagt? Låt h( vara vattenhöjden vid tiden t > 0,, med t mättt i dagar ochh låt A( beteckna den fria vattentans area. Enligt förutsättningarna gällerr dv ka (*) Om h betecknar vattnets höjd då gäller h h V ( 00 00h och A ( h 00 00 h. dv dv dh dh Vi beräknar 00 h. dh Ekvationen (*) kan nu skrivas som dhh 00h k 00 h t dh k eller Härav h k t C (**) Från villkoren V(0) ) =00, V( )= 0 och sambandet V ( 00h har vi villkoren för höjden: h ( 0) och h( ) 0.0. Substitutionen i (**) ger C och k ( 0. ). Därför D h ( 0. ) t är vattenhöjden vit tiden t. C Höjden är 0 om k t C 0 dvs om t k Svar:.4 dagar 0. 0..4 dagar. Sida 8 av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 9 Allmänt om avdunstning från en behållare. Om avdunstning av vatten som ligger i en behållare (en skål, ett dike och dl. ) är proportionell mot vattentans area då kan problemet beskrivas med ekvationen dh k (ekv a) oavsett vilken form har behålaren. Detta får vi från ekvationen dv ka (*) genom att ersätta dvs dv dv dh dh A( h) i (*) dh dh A( h) ka( h). Förkortning med A (h) ger dh k (ekv a). Härav h C och resultat beror ej av behålarens form. Notera att vi har använt formeln dv A(h) som framgår efter derivering av den kända dh skivformeln för volmberäkning: V h h0 dv d A(. Alltså A( A( h) dh dh. h h0 Uppgift 9. Antalet invånare i ett land är 0 miljoner och växer nu med hastigheten,0% per år. Anta att tillväxthastigheten ökar linjärt från,0% till,0% under de kommande 0 åren. a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver tillväxten. b) Lös differentialekvationen och beräkna antalet invånare om,0 år. (p) Förändringshastigheten är en funion av tiden (se figur eller använd formeln f ( x) ( x x)) x x där 0.0 f ( x) 0.0 x 0.0 0.00 x 0 Därför f ( x), f(x) 0,0 0,0 0 k= x 0,0 0 Sida 9 av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 d dx (0.0 0.00x) d dx d 0.0 0.00x 0.0 0.00x dx ln 0.0x 0.000x C 0 e (0) 0 0e 0.0x0.000x C 0.0x0.000x 0.0 () 0e Svar: 6 miljoner De D 0 0.000 0.0x0.000x.9 6 miljoner Uppgift 0. Tangenten till kurvan (x) i punen B(x,) skär x axeln i punen C (se figuren). Vidare vet man att AC Bestäm alla kurvor (x) sådana att arean av triangeln ABC är lika med (för varje pun B(x,) på kurvan (x) ). Arean av triangeln ABC= ger ekvationen AC AB AC AB 0 0 0 0. Alltså har vi två ekvationer: 0 och 0 Ekvationen 0 löser vi med hjälp av variabelseparation. 0d Från dx har vi 0d dx, 0 x C, Sida 0 av

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 0 x C 0 x C På liknande sätt löser vi 0 och får 0 x C Alltså har vi följande lösningar: 0 0 och x C x C Svar: 0 x C och 0. x C Sida av