Tentmen i elektromgnetisk fältteori för E måndg, 6 dec 3, kl. 8-3, Vic:A-C Del : flervlsfrågor (p) OBS. Endst svr (A)-(E) efterfrågs. Ingen motivtion behövs i Del.. Guss lg kn inte nvänds för tt förenkl beräkningen v det elektrisk fältet från (A) en sttisk elektrisk punktlddning (B) en oändligt lång linje med jämnt fördeld elektrisk lddning (C) ett oändligt stort pln med jämnt fördeld elektrisk lddning (D) en sttisk elektrisk punktdipol (E) en lednde sfär med jämnt fördeld elektrisk lddning. Två elektrisk lddningr -3q och +q är plcerde som i figuren nedn. Vr sk en tredje lddning plcers så tt den inte upplever någon krft från de två övrig lddningrn? OBS. 5.4, 3.73-3q +q x (A) Det är omöjligt (B) x 3 (C) x 5 (D) x 3 /.5 (E) Inget v ovnstående lterntiv Sid v 6
3. En oändligt stor lednde pltt i x- plnet hr en tlddningsdensitet s. Vd är storleken v D fältet (elektrisk förskjutningen) vid ett vstånd från plnet? (A) C/m (B) s C/m (C) S C/m S (D) C/m (E) Inget v ovnstående lterntiv 4. Vilket v följnde påståenden är flskt: (A) Amperes krft lg F II melln två strömförnde kretsr. dl 4 C C dl N definierr den mgnetisk krften (B) Guss lg D C/m är en v Mxwells ekvtioner. 3 I (C) Biot-Svrts lg B 4 mgnetfält. C ' dl ' (D) Coulombs lg N lddningr. (E) En v Mxwells ekvtioner ursprunglig form. T definierr hur strömförnde kretsr producerr qq F ger den elektrisk krften melln två sttisk elektrisk 4 D H är Amperes kretslg i sin t J A/m Sid v 6
5. Fem positiv lddningr v storleken +q är slumpmässigt fördelde längs tn v en virtuell sfär med rdien. Vd är den elektrisk potentilen och strkn v det elektrisk fältet E i centrum v sfären? (A) Potentilen är V och det elektrisk fältets strk är V/m. 5q 4 (B) Potentilen är V (C) Potentilen är V 5q 4 (D) Potentilen är V 5q 4 och det elektrisk fältets strk är V/m. och det elektrisk fältets strk är okänd. 5q 4 och det elektrisk fältets strk är V/m. (E) Både potentilen och det elektrisk fältet är okänd. 6. En pln våg infller mot en pln gränst melln två dielektrisk medium med olik permittivitet och permebilitet. Vilk rndvillkor (prllell i x- plnet eller vinkelrät mot tn längs xeln) är nödvändig för tt uttrck de reflekterde och utsänd vågorn i termer v storleken hos den infllnde vågen? x dielektrisk medium dielektrisk medium E x H I: Kontinuerligt elektriskt fält E prllellt med tn II: Kontinuerligt elektriskt fält E vinkelrätt mot tn III: Kontinuerligt mgnetiskt fält H prllellt med tn IV: Kontinuerligt mgnetiskt fält H vinkelrätt mot tn Sid 3 v 6
(A) endst I (B) endst III (C) I och II (D) I och III (E) II och IV E E. jt jk 7. En elektromgnetisk våg som utbreder sig i -riktningen ges v, t e V/m För en cirkulärt polriserd våg är E proportionell mot OBS..4 (A) x (B) x j (C) x (D) j x (E) Inget v ovnstående lterntiv 8. Betrkt följnde sklär funktion är tintegrlen S f, där är positionsvektorn och. Vd f ds för en sfär med rdien centrerd vid origo O, där ds är telementet med riktning vinkelrätt mot tn S. Antg tt f (A) (B) (C) (D) 4 (E) 4 är definierd. Sid 4 v 6
Del : beräkningr (4p) Problem En linjärpolriserd pln våg hr det elektrisk fältet E(, t) E cos t k V/m där k k, k / c rd/m,,, m n n Vågen utbreder sig i vkuum. Ledning: Använd krtesisk koordinter x i beräkningen. ) Bestäm det mgnetisk fältet H (, t) A/m b) Bestäm strålningsvektorn P (, ) E(, ) H(, ) W/m t t t x Problem Två mteril vrs konduktivitet är och fller utrmmet melln en circulärclindrisk stv och ett circulärclindriskt rör. Stven och röret hr längden L och är tillverkde v ett mteril vrs konduktivitet är oändlig (perfekt ledre). Stvens tterrdie är b och rörets innerrdie är. Bestäm resistnsen melln inneledren (stven) och tterledren (röret). b Sid 5 v 6
Problem 3 En tunn, cirkulär ring med rdie är upplddd med en jämnt fördeld totllddning Q. På ringens smmetrixel, på vståndet från ringens centrum, finns ett litet metllklot (rdie ). Metllklotet hr den totl lddningen Q. Hur stort ttre rbete krävs for tt för metllklotet till ringens centrum vi kurvn definierd v x. Ledning: W QV Problem 4 En mgnetisk dipol med dipolmomentet m m är plcerd i origo O (,, ) (se nedn). I x-plnet ligger en tunn, metllisk ring med rdie b och centrum längs -xeln. ingen hr resistnsen och försumbr självinduktns. ingen rör sig med konstnt hstighet υ längs -xeln. Vd är den inducerde strömmen It i ringen till belopp och riktning? Antg tt d b och tt t (ringen psserr (- d,, ) vid tiden t = ). Ledning: Uttrck cos,sin som funktioner v d och. m = m d b Sid 6 v 6
Tentmen i elektromgnetisk fältteori för E måndg, 6 dec 3, kl. 8-3, Vic:A-C Solutions Del (pt). Answer: (D). It is ver difficult to use Guss lw to clculte the electric field of point dipole.. Answer: (E), since t x 3 /.5 field is non-ero there. x 3 /.5 or negtive, it does not mtter. 3. Answer: (B), b using Guss lw the force on the third chrge is not ero, since the is the right nswer. The third chrge cn be positive 4. Answer: (E). Ampere s lw in its originl form is onl vlid for sttic fields. 5. Answer: (C). Potentil field ( sclr field) is onl dependent on the sie of the chrges nd the distnce (no direction involved), wheres the electric field ( vector field) depends on the exct plcement of the chrges (direction is involved). 6. Answer: (D), see boundr conditions for E nd H fields in Formelsmling (pges nd 6). 7. Answer: (B). There should be j offset in time phse between the two wves nd the mgnitude should be the sme for circulr polrition. 8. Answer: (D). If we compre this formul to electric potentil Notice tht the integrl is Guss lw, S S S Pge of 7 V q 4, then q 4. q E ds V ds V ds 4
Del (4pt) Problem (pt) () In Crtesin Coordintes, E(, t) E cos t k V/m E( x,,, t) E cos t k E (, t) V/m Since k,,,, k x k This is -polrised plne wve propgting in the negtive xis. In the complex form nd with cos t s reference phse E( ) E e jk H( ) E( ) (from formelsmling) j x But E( ) x E e jk E e x Ee jk jk jk x H( ) E( ) j j x k Ee jk E e jk x jk jk Ee x c k E H (, t) x cos t k A/m Pge of 7
Check with regeln om högersstem k E H (formelsmling) Left hnd side : k n ight hnd side : E H x (b) P (, t) E(, t) H (, t) E cos W/m t k Problem (pt) Notice the smmetr in the problem: onl the conductivit vries between the four sectors. All other prmeters remin the sme. This mens we onl need to solve for one of the four sectors. Also notice tht the four sectors (resistnces,, 3, 4, respectivel) re connected in prllel between the terminls (i.e., outer nd inner conductors). The generl formul for clculting resistnce is: l S Solving for the resistnce of one of four sectors, i.e., Sector Pge 3 of 7
Note tht the elementl resistnce d chnge in the rdil direction. For given rdius r, dr d / 4 S r L S 3 d ln / dr b L r L b b smmetr Note: There ws mistke in the text, nd b re swpped with respect to the figure, so ccept both nswers. Similrl, nd 4 differ from nd 3 onl b the conductivit (i.e., insted of ) 4 ln / b L Therefore, the equivlent totl resistnce for the prllel resistors is b 3 4 ln / L ln / b L Pge 4 of 7
Problem 3 (pt) Work done is independent of the pth tken nd depends onl on the potentil t the strt nd the end positions. dl d r V l 4 C dl, r Q l, dl d, r V 4 Q W Q V V Q 5 4 5 J Problem 4 (pt) To clculte the mgnetic flux t in the smll loop, since d b, the mgnetic field is nerl constnt within the loop, nd pproximted b the vlue t the center of the loop, t from the mgnetic dipole. m 3 cos sin 4 B r But 8 (x- plne) Pge 5 of 7
sin cos r x cos sin x Define the unit vector of the surfce element to be ds b (in the direction of velocit) t d b B s B S mb 3 cos sin 4r But we hve cos sin r d t r d r r m = m d b t 5/ t d 4 d mb t Therefore the induced emf cn be clculted s follows: emf d t dt Pge 6 of 7
4 t 5 t t d mb 5/ 7/ 4 d t 4 d t 4d 4 7/ t t 5d 4 mb t d t mb t 4 d t 3mb t 4 d t 7/ 7/ 9d 6 t 3d t V 7/ 3 A emf 3 mb t I d t 4 d t positive xis (b Len lw)., in the clockwise direction s viewed from Pge 7 of 7