Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Relevanta dokument
Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Veckans tal

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM232)

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

FFM232, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Föreläsning 2 1. Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor. ( ) = T ( x, y, z,t) ( ) = v x

Integraler av vektorfält Mats Persson

* Läsvecka 1 * Läsvecka 2 * Läsvecka 3 * Läsvecka 4 * Läsvecka 5 * Läsvecka 6 * Läsvecka 7 * Tentamenssvecka. Läsvecka 1

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

1.1 Gradienten i kroklinjiga koordinatsystem

Kroklinjiga koordinater och räkning med vektoroperatorer. Henrik Johanneson/(Mats Persson)

TATA44 Lösningar 26/10/2012.

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 8 januari, 2007

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

FFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar

Strålningsfält och fotoner. Våren 2016

Tenta svar. E(r) = E(r)ˆr. Vi tillämpar Gauss sats på de tre områdena och väljer integrationsytan S till en sfär med radie r:

Elektrodynamik. Elektrostatik. 4πε. eller. F q. ekv

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Föreläsning 8. Ohms lag (Kap. 7.1) 7.1 i Griffiths

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Övning 6, FMM-Vektoranalys, SI1140

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

1.1 Stokes sats. Bevis. Ramgard, s.70

Föreläsning 16, SF1626 Flervariabelanalys

Lösningar till tentamen i Elektromagnetisk fältteori för Π3 & F3

Poissons ekvation och potentialteori Mats Persson

TATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

OMTENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

Tentamensskrivning i Ellära: FK4005e Fredag, 11 juni 2010, kl 9:00-15:00 Uppgifter och Svar

TENTAMEN I VEKTORANALYS SI1146 och SI1140 Del 1, VT18

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

9. Magnetisk energi [RMC 12] Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund 9.1

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Integranden blir. Flödet ges alltså av = 3

Formelsamling. Elektromagnetisk fältteori för F och Pi ETE055 & ETEF01

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Föreläsning 13, SF1626 Flervariabelanalys

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)

u = 3 16 ǫ 0α 2 ρ 2 0k 2.

A = D. r s r t dsdt. [(1 + 4t 2 ) 3/2 1]dt (1) där det sista steget fås genom variabelbytet u = 1 + 4s 2. Integralen. (1 + 4t 2 ) 3/2 dt

1.15 Uppgifter UPPGIFTER 21. Uppgift 1.1 a) Visa att transformationen x i = a ikx k med. (a ik ) =

ANDREAS REJBRAND Elektromagnetism Coulombs lag och Maxwells första ekvation

Repetition kapitel 21

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

Tentamen Modellering och simulering inom fältteori, 21 oktober, 2006

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00

Vektoranalys II. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Fysik TFYA68. Föreläsning 2/14

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

1 Vektorer och tensorer

Integraler av vektorfalt. Exempel: En partikel ror sig langs en kurva r( ) under inverkan av en kraft F(r). Vi vill

Övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Skriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (EITF85)

Föreläsning , , i Griffiths Vi kommer nu till hur elektromagnetiska vågor genereras!

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Hydrodynamik Mats Persson

Tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 24 augusti, 2009, kl

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till seminarieuppgifter

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

1 Några elementära operationer.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

Bra tabell i ert formelblad

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

Svaren på förståelsedelen skall ges direkt på tesen som ska lämnas in

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Tentamen i El- och vågrörelselära,

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

VIKTIGA TILLÄMPNINGAR AV GRUNDLÄGGANDE BEGREPP

Tentamen i El- och vågrörelselära,

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Svaren på förståelsedelen skall ges på tesen som skall lämnas in.

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Allmant behover vi tre parametrar u 1 u 2 u 3 for att beskriva engodtycklig punkt i rummet. Vi kan

21 Flödesintegraler och Gauss sats

5 Gauss sats. div. dv = A V. Noterbart är att V AdV = A ˆNdS, dvs Gauss sats, har strukturella likheter med b df

Kursprogram för ETE110 Modellering och simulering inom fältteori, läsåret 2008/2009

Övningsuppgifter/repetition inom elektromagnetism + ljus (OBS: ej fullständig)

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Svar till övningar. Nanovetenskapliga tankeverktyg.

Transkript:

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM23 och FFM232) Tid och plats: Måndagen den 29 oktober 208 klockan 00-800, Maskinsalar Lösningsskiss: Christian Forssén Detta är enbart en skiss av den fullständiga lösningen Det kan innebära att vissa mellansteg i uträkningarna, som egentligen är nödvändiga för en komplett lösning, inte redovisas Svara på följande tre delfrågor (endast svar skall ges): (a) Vad är ytintegralen S F d S, där F = z 2 ẑ och S är ytan till enhetssfären (x 2 + y 2 + z 2 = ) med normalvektor ˆr? (b) Skissa nivåytorna φ =, 0, för skalärpotentialen φ(x, y) = x 2 y 2 i området x [ 2, 2], y [ 2, 2] Skissa också den fältlinje (inkl riktning) som går genom punkten (x, y) = (, ) (c) Beräkna +π cos(x)δ(x)dx, där δ(x) är en endimensionell deltafunktion π (3 poäng per korrekt besvarad deluppgift, 0 poäng för alla tre) (a) S F d S = 0 (notera att fältet är symmetriskt runt z = 0, dvs det som strömmar in i nedre halvplanet kommer att strömma ut i det övre) (b) (c) Kom ihåg skalningsegenskapen hos deltafunktioner (kan visas genom variabelsubstitution i integralen x = x) Detta ger +π π cos(x)δ(x)dx = cos(0) =

Lösningsskiss, tentamen FFM23/FFM232 208-0-29 2 Ett vektorfält F är givet i sfäriska koordinater som F = a cos θ r 3 ˆr + sin θ ˆθ r 3 Bestäm a så att fältet blir virvelfritt (ignorera singulariteten i r 0) Bestäm potentialen φ (0 poäng) Rotationen blir F = r 2 sin θ ˆr rˆθ r sin θ ˆϕ r θ ϕ = sin θ (a 2) ˆϕ r a cos θ r 3 sin θ r 3 0 Fältet är alltså virvelfritt (konservativt) då a = 2 Skalärpotentialen får vi ur sambandet F = φ Generella lösningar till respektive differentialekvation kan tecknas direkt: r φ = a cos θ φ( r) = a cos θ + f r 3 2r 2 (θ, ϕ), r θφ = sin θ φ( r) = cos θ + f r 3 r 2 2 (r, ϕ), ϕ φ = 0 φ( r) = f 3 (r, θ) Med a = 2 ser vi att de första två ekvationerna bara blir konsistenta då f (θ, ϕ) = f 2 (r, ϕ) g(ϕ), och att den tredje ekvationen i sin tur ger att lösningen måste vara oberoende av ϕ så att g(ϕ) = C Svar: φ = cos θ r 2 + C 3 Använd indexnotation för att visa följande gradientlikheter (a) (r 2 ) = 2 r (b) ( ) r = ˆr r 2 (c) (r 2ˆr) = r där r är längden på ortsvektorn r (3 poäng per korrekt besvarad deluppgift, 0 poäng för alla tre) (bevis utan indexnotation kan också ge poäng, dock maximalt 6 poäng) Fysik, Chalmers Page 2 Examinator: C Forssén

Lösningsskiss, tentamen FFM23/FFM232 208-0-29 (a) i r j r j = 2δ ij r j = 2r i, vilket motsvarar vektorn 2 r 2δ ij r j (b) i (r j r j ) /2 = = r 2 (r k r k ) 3/2 i vilket motsvarar vektorn r/r 3 = ˆr/r 2 r 3, (c) i (r j r j ) /2 r i = 2 2 δ ikr k (r m r m ) /2 r i + 3 (r j r j ) /2 = (r j r j ) /2 + 3 (r j r j ) /2 = (r j r j ) /2, vilket motsvarar r Maxwells ekvationer är E = ɛ 0, () E = B t, (2) B = 0, (3) B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E t () (a) Använd Faradays induktionslag, U = dφ/dt, för att visa Maxwells andra ekvation E = B Notera att Φ är det magnetiska t flödet genom en yta S (normalytintegral för magnetfältet B) och U är den inducerade spänningen längs randen S (vägintegral för det elektriska fältet E) (5 poäng) (b) Använd Maxwells ekvationer för att visa att kontinuitetsekvationen / t = j är uppfylld för ( r, t) = elektrisk laddningstäthet och j( r, t) = elektrisk strömtäthet (5 poäng) Se kurskompendium, avsnitt 2 5 Ett cylindriskt skal kan betraktas som oändligt långt med innerradie 0 och ytterradie Det värms från insidan med en linjevärmekälla som ger upphov till Neumannrandvillkoret ˆ q =0 = w 0 / 0, där [w 0 ] = Wm Skalets konstanta värmekonduktivitet är λ På utsidan kyls skalet av enligt ˆ q = = α (T ( ) T 0 ), där α och T 0 är konstanter med rätt enheter Finn ett uttryck för den stationära temperaturfördelningen i cylinderskalet, dvs för 0 (0 poäng) Fysik, Chalmers Page 3 Examinator: C Forssén

Lösningsskiss, tentamen FFM23/FFM232 208-0-29 Vid stationärlösningen gäller Laplaces ekvation T = 0 i hela området Problemets geometri avslöjar att T = T () så att T = ( T ) = 0 T () = C log() + D Notera att lösningen även kan skrivas C log(/ C ), vilket egentligen är snyggare då C blir en integrationskonstant med dimension längd Vi fortsätter dock med ovanstående och kontrollerar dimensionen på slutet Vi konstaterar att värmeströmmen ges av temperaturgradienten enligt q = λ T = λc ˆ Randvillkoret vid = 0 ger alltså att C = w 0 /λ så att q = w 0 ˆ Randvillkoret vid = ger därefter eller w 0 = α ( w 0 λ log( ) + D T 0 ), D = w 0 α + T 0 + w 0 λ log Efter insättning och förenkling blir svaret T () = w [ ( 0 λ + log + T 0 λ α Vi konstaterar att [w 0 ] = Wm, [α] = WK m 2 och [λ] = WK m så att dimensionen på svaret blir Kelvin b + 6 Betrakta fältet F = ˆ och beräkna normalytintegralen F ds, där är ytan till en kub med utåtriktad normal och sidlängd a centrerad vid z-axeln Vi har att a b och söker ett approximativt uttryck för normalytsintegralen (explicita korrektioner till och med ordning b2 a 2 skall inkluderas) Fysik, Chalmers Page Examinator: C Forssén

Lösningsskiss, tentamen FFM23/FFM232 208-0-29 Vi konstaterar att fältet är singulärt längs = 0 Här redovisas tre alternativa lösningsstrategier Det enklaste för denna uppgift är att utföra ytintegralen direkt (alternativ ) Men det kan vara illustrativt att kika på lösningarna med Gauss sats där man måste hantera singulariteten, som i detta fall inte är en linjekälla Alternativ : Vi utför ytintegralen över de sex sidorna till kuben Vi noterar först att flödesintegralen är noll över topp- och bottenytorna med normalriktning i z-led eftersom ±ẑ ˆ = 0 De övriga fyra ytorna kommer att ge lika stora bidrag pga symmetrin Vi studerar enbart ytintegralen över ytan S med x = a/2 och normalriktning ˆx b + I ˆ ds S Vi har att ˆ d S = ˆ ˆxdydz = a/2 dydz Integranden kan Taylorutvecklas och vi konstaterar att a b på ytan: [ ( b + = + b b = + O Vi får alltså att [ I = + O [ a a3 dydz = + O 2 2 a, där vi har utnyttjat att a på ytan Den sökta integralen blir ( F ds b = I = 2a [ 3 + O Fysik, Chalmers Page 5 Examinator: C Forssén a

Lösningsskiss, tentamen FFM23/FFM232 208-0-29 Alternativ 2: Bilda en sluten yta från kuben genom att införa en cylinderyta S ɛ (vars radie ɛ b) som omsluter z-axeln (notera att normalriktningen är ˆ) samt två små hål där cylinderytan möter topp- och bottensidorna av kuben Vi kallar denna nya, slutna yta för ɛ + S ɛ och den innesluter en volym V ɛ som är lika med kubens volym minus den lilla cylindervolymen På denna yta kan vi utan problem använda Gauss sats och vi finner att F ds = F dv ɛ+s ɛ V ɛ Vi noterar också att F ds = F dv F ds ɛ V ɛ S ɛ F ds = lim F ds, ɛ 0 ɛ så det som återstår är att räkna ut HL av ekv (5) i gränsen ɛ 0 Beräkna divergensen då 0: F = [ 2 2 (F ) = b + = 2 = 2 + O + b Låt oss dela upp volymsintegralen i HL av ekv (5) i två områden: Det första (V ) är ett cylinderskal från = ɛ till = a; det andra (V 2 ) är resterande hörnområden som behövs så att V + V 2 = V ɛ Vi får att lim ɛ 0 V F dv = = πa a 0 a z=0 2π a ϕ=0 =0 2 + b / ddϕdz [ 3 + b = πa ] a + b 2 0 = 2πa 3 [ b2 a 2 + O Fysik, Chalmers Page 6 Examinator: C Forssén (5)

Lösningsskiss, tentamen FFM23/FFM232 208-0-29 Volymen V 2 sträcker sig över ett område (med volymen a 3 πa 3 ) där vi har att a b Vi får därför att [ ( F b dv = 2(a 3 πa 3 ) + O, V 2 a så att lim F dv = 2a 3 [ π b2 ɛ 0 V ɛ a + O 2 Ytintegralen i HL av ekv (5) blir S ɛ F d S = a z=0 2π b 2 ϕ=0 ɛ Slutligen finner vi att ( F ds = lim F dv ɛ 0 V ɛ Alternativ 3: Analysera singulariteten då 0 F = b2 a + ɛ b ɛdϕdz = 2πb 2 a S ɛ + b = b2 ) [ F ds = 2a 3 + O [ + O, + ɛ b vilket ger att singulariteten beter sig som en linjekälla med styrka 2πb 2 Inför ett sådant singulärt fält F s 2πb2 ˆ och studera 2π F = F F s + F s F ns + F s, där singulariteten har subtraherats bort i Fns så att dess bidrag till ytintegralen kan behandlas som vanligt med Gauss sats ( F ns ds = F b ns dv = 2a [ 3 + O V (enligt divergensutträkningen ovan) Bidraget från den singulära termen (vanlig linjekälla) blir F s ds = 2πb 2 a, och svaret blir som ovan F ds = F ns ds + a ( F s ds b = 2a [ 3 + O Fysik, Chalmers Page 7 Examinator: C Forssén