Tentamen Dataanalys och statstk för I den 5 jan 06 Tentamen består av åtta uppgfter om totalt 50 poäng. Det krävs mnst 0 poäng för betyg, mnst 0 poäng för och mnst 0 för 5. Eamnator: Ulla Blomqvst Hjälpmedel: halmersgodkänd mnräknare, Matematsk statstk (nte den ljusblå) av Ulla Dahlbom och Håkan Blomqvsts formelsamlng. Boken eller formelsamlngen får nte nnehålla egna antecknngar. Jour: Besöker tentamen c:a kl 0.00 Lycka tll! Uppgft : nta att man har två händelser och B. För dessa gäller att P( B ) = 0.6, P(B ) = 0. och P( B) = 0.. Beräkna P() och P(B). Uppgft : I en lten dagsgrupp fnns 5 barn. Beräkna sannolkheten att mnst av barnen har samma födelsedag. nta att året har 65 dagar och att alla födelsedagar är lka sannolka. Uppgft : nta att antal blar som kör n på en bensnstaton är Possonfördelat med en genomsnttlg ankomstfrekvens på blar på 0 mnuter. En nyanställd person räknar antal blar som anländer en vss tmma. a) Vad är sannolkheten att det kommer mnst blar tll bensnstatonen under denna tmma? b) nta att en bl just har kört n på bensnstatonen. Hur lång td kan man förvänta sg att det tar tlls nästa bl kommer? c) nta att den nyanställde personen har väntat på nästa bl mnuter. Vad är sannolkheten att han/hon får vänta ytterlgare 0 mnuter? ( poäng) Uppgft : Lvslängden,, hos en radoaktv atom har frekvensfunktonen e för 0 f() = 0 för 0 a) Beräkna P( < E()) om är okänd. b) Vad är väntevärdet och varansen för om =? Uppgft 5: Man har 00 reella tal som man har beräknat med 5 korrekta decmaler, vlket nnebär att felet varje tal lgger ntervallet ( 0.5 0-5, 0.5 0-5 ). Beräkna sannolkheten att felet summan av dessa tal tll stt absolutbelopp är mndre än 0.5 0 -. Felen de olka talen kan antas vara oberoende och rektangelfördelade det angvna ntervallet.
Uppgft 6: Längden av en bräda mäts en gång med en tumstock, en gång med en tumstock B och en gång med en tumstock. Kalla de uppmätta längderna för, B och. Motsvarande stokastska varabler, B och har väntevärdet lka med plankans verklga längd, men har bara en tredjedel så stor standardavvkelse som och B. Vlken av nedanstående förslag är bäst om man vll skatta den sanna längden? Svaret måste motveras för att du skall få poäng. a) c) B B 5 b) d) 7 Uppgft 7: En glassförsäljare har noterat följande försäljnng under en -dagars perod jul: försäljnng Dag tusentals kr temp o väderlek kodad väderlek. solsken 0.6 regn 0 5. solsken. 0 solsken I tabellen är väderleken kodad varabeln med solsken = och regn = 0. Glassförsäljaren vll kunna uppskatta morgondagens försäljnng genom att ttta på väderleksrapporten kvällen före där såväl temperatur som väderleken anges. a) Hjälp honom genom att skatta koeffcenterna a, b och b en multpel regressonsmodell ŷ = a + b + b där är temperaturen och är den kodade väderleken. b) nta att väderprognosen en kväll sa att vädret nästa dag skulle vara solgt med en temperatur på 5 o. nvänd den multpla regressonsmodellen för att uppskatta försäljnngen den dag som prognosen gäller. Uppgft : En vss vät kan ha vta, skära eller röda blommor. Betrakta avkomman tll plantorna med skära blommor. Enlgt en teor bör 5% av dotterplantorna ha vta blommor, 50% skära blommor och 5% röda blommor. Man observerade vd ett tllfälle att av 0 dotterplantor hade vta blommor, skära blommor och 6 röda blommor. Testa om ovanstående teor kan vara falsk. nvänd 5%:s sgnfkansnvå.
Lösnngar tll Dataanalys och statstk 06005 Uppgft : P( B ) = 0.6, P(B ) = 0. och P( B) = 0.. nvänd de Morgans sats P( B) = P( B) = 0. = 0. P(B ). = P( B ) P( ) = 0. P( ) = 0. 0. P( B P( B ) ). = P(B ) dvs P( ) P() P(B ) = P(B) = 0.6 P(B ) = 0. 0.6 Uppgft : = mnst barn har samma födelsedag. = nget av barnen har samma födelsedag P() = P( ) = 65 6 6 6 6 0.979 = 0.07 65 65 65 65 65 Uppgft : = antal blar = Po( = blar/0 mn) a) Räkna om tll antal blar/ 60 mnuter. = bl/ 60 mn P( ) = P( ) = e - ( 0! 0 ) 0.0005 = 0.9995!! b) = tden mellan två blar = Ep( = blar/0 mn) E() = 0 mnuter blar 5 mn bl = 5 mn c) Räkna om tll mnuter. = 0. blar/mn P( ) P( ) P( ) P(> >) = P( ) P( ) P( ) e e 0. 0. e 00. 0.5
Uppgft : = lvslängden = eponentalfördelad E() = / 0 F() = e för för 0 0 a) P( < E()) = P( < /) = F( ) = e = e - 0.6 b) E() = / = / = 0.5 Var() = / = / = 0.5 Uppgft 5: = felets storlek är R[ 0.5 0-5, 0.5 0-5 ] f() = ovanstående nterval 5 ba 0 E() = 0 på grund av symmetrn b Var() = f()d E( ) = a 5 0.50 5 0.50 0 d = 5 0 5 0.50 5 0.50 5 = 0.50 0 Eftersom antal fel är stort (n= 00) så kommer centrala gränsvärdessatsen att användas = summan av 00 fel = + +.. + 00 E() = E() + E() +.. + E(00) = 00 0 = 0 0 0.50 Var() = Var() +. + Var(00) = 00 = 0.5 0 0.50 0 0.50 0 P( 0.5 0 ) = P( < Z < ) = P( < Z < ) = 0.50 0.50 P(Z< ) P(Z< ) = P(Z< ) ( P(Z< ) = 0. ( 0.) = 0.66 Uppgft 6: S( ) S( B ) och S( ) Var ( ) och Var ( ) B Var( ) 9 V söker den sammanvägnngen där summan av vkterna = och varansen är mnst Fortsättnng uppgft 6 på nästa sda
Fortsättnng uppgft 6 B a) Summan av vkterna: väntevärdesrktg B Varansen: Var( ) [ Var( ) Var( B ) Var( )] 9 9 ( ) 0.5 9 9 b) Summan av vkterna: väntevärdesrktg Varansen: Var ( ) 0. 9 B c) Summan av vkterna: väntevärdesrktg 5 5 B Varansen: Var ( ) [Var( ) Var( B ) 9 Var( )] 5 5 9 ( ) 0. 5 9 5 7 d) 7 Summan av vkterna: väntevärdesrktg 7 Varansen: Var ( ) [Var( ) 9Var( )] 6 9 5 ( ) 0.00 6 9 576 Välj alternatv d) dvs 7 Uppgft 7: y = försäljnng hundratals kronor = temperatur, = kodad vädervarabel n = = 7 = = 99 = y = 90. = 66 y = 9 y = 69.6 a) normalekvatonerna ger följande ekvatonssystem: Fortsättnng uppgft 7 på nästa sda
Fortsättnng uppgft 7 a 7b b 90. 7a 99b 66b 9 a 66b b 69.6 E[] E[] a b 0.6 7a 99b 66b 9 a 66b b 69.6 E[] E[] a b 0.6 a 97b 5. a 66b b 69.6 E[] E[] a b 0.6 56b 9. a 66b b 69.6 b a b 9. 0. 56 9. 0.6. 56 9. 69.6. 66 56.57 Modellen blr ŷ =. + 0. +.6 b) = 5 o = (solsken) ŷ =. + 0. 5 +.6 =.6 Uppgft : Steg : H0: fördelnngen 0.5 0.50 0.5 H: nte fördelnngen 0.5 0.50 0.5 df = (k-) = (-) = Steg : = 0.05 5.99 Steg : Välj testvarabeln 6 O E E Steg : V ställer nu upp de observerade och de förväntade värdena en tabell. Fortsättnng uppgft på nästa sda
Fortsättnng uppgft vta skära röda Totalt Obs antal, O 6 0 p 0.5 0.50 0.5 Förväntat antal, E 5 70 5 0 5 70 6 5 5 70 5.6 < 5.99 Värdet hamnar acceptansområdet. Steg 5: H0 kan nte förkastas. Undersöknngen motsäger nte hypotesen att färgen på dotterplantorna har den fördelnng som teorn säger.