2015-06-08 Tentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. KTH Mekanik OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas! Problemtentamen 1. Ett homogent halvcylinderskal hålls i jämvikt på ett horisontellt, strävt underlag med ett horisontellt snöre. Snöret har spännkraften P i figuren, på gränsen till glidning. Det finns vid glidningsgränsen ett samband mellan skalets lutning och friktionstalet µ. Bestäm detta. Undersök speciellt fallet att glidning inträffar då lutningsvinkeln är π/2. Ledning: Masscentrum för skalet befinner sig på avståndet d = 2r /" från centrum längs symmetrilinjen i figuren. 2. En partikel med massan m befinner sig i ett glatt, horisontellt rör. Röret är smalt och fast monterat i en centralkropp, som roterar med den konstanta vinkelhastigheten " kring en vertikal axel. Centralkroppen är cylindrisk och har radien R, som i figuren. Bestäm partikelns radiella accelerationskomponent på radiella avstånd r>r. Härled även en formel som beskriver hur normalkraftens horisontella komponent på partikeln beror av den radiella hastighetskomponenten. Använd den radiella koordinaten r och bortse från normalkraftens vertikala komponent som har storleken mg, där g är tyngdaccelerationen. 3. En kommunikationssatellit med massan m befinner sig i en elliptisk bana kring jorden med min- och maxhöjder över jordytan som i figuren. På vilket avstånd från jordytan har satelliten en fart v som är v=v A / 2, där v A är den högsta farten i banan? Tyngdaccelerationen g vid jordytan är känd. 4. En cylinder med massan m hänger i en fjäder med fjäderkonstanten k som skall bestämmas. Under cylindern sitter en viskös dämpare med en kraftkonstant c. Bestäm fjäderkonstanten k så att rörelsen blir kritiskt dämpad. Bestäm också cylinderns maximala förflyttning nedåt om den släpps från ett läge där fjädern är ospänd. Tyngdaccelerationen g får användas.
Teoritentamen 5. P h A 2a a) En homogen låda står på ett strävt horisontellt plan och belastas av den horisontella kraften P enligt figuren. Lådan har massan m. Identifiera krafter som verkar på lådan. Obs: Krafters verkningslinjer är viktiga. Tyngdaccelerationen g är känd. b) Betrakta ett system av ändligt många krafter F i som verkar i respektive angreppspunkter r i. Definiera kraftsystemets totala kraftmoment med avseende på en godtycklig punkt och visa att för två godtyckliga momentpunkter A och B gäller den så kallade "sambandsformeln för kraftmoment". (2p) 6. a) Vad menas med begreppet "ekvimomenta kraftsystem"? b) Formulera lagen om kraftens impuls. Definiera ingående storheter. c) Härled rörelseekvationen för en partikelpendel i vertikalplanet, dvs sambandet mellan vinkelaccelerationen och vinkeln. Använd partikelmassan m och pendellängden l för denna pendel. 7. a) Bevisa momentlagen för en partikel med massa m som påverkas av en kraft F. Definiera ingående storheter. b) Formulera minst två av Keplers lagar för planetrörelser. c) Visa att en satellitrörelses transversella acceleration försvinner i en plan elliptisk bana kring jorden. Försumma kraftverkan från andra himlakroppar än jorden. 8. a) Ett rakt svängande system beskrivs av ekvationen x + c x + bx = a, där a, b och c är konstanter. För vilka värden på dessa konstanter betecknas systemet som kritiskt, respektive svagt dämpat? Ange även svängningens jämviktsläge. (2p) b) Vilka (om någon) av följande är grundstorheter i mekaniken: Kraft, acceleration, rörelsemängd, tyngdacceleration? /Thylwe
1. SG1130 Mekanik I, baskurs P1, M1 2015-06-08 Problemlösningar (förslag) Vi inför beteckningar enligt figuren. Jämvikt på gränsen till glidning ger omedelbart: = mg och P = µmg. Momentjämvikt med avseende på cirkelcentrum ger dessutom: $ & 2 ' µ % rmg # rp) " ( sin* # rµmg = 0, dvs: sin" = 2 # $ µ. För att speciellt kunna erhålla sin" =1, krävs minst friktionstalet: µ = 1 ". 2. Lösning: I rörelseplanet (horisontellt) finns bara en normalkraft från rörets vägg(ar). Den kraften är transversell. ewton 2 (radiellt): ma r = m r " r# 2 ( ) = 0. Dvs det finns ingen radiell acelleration. ( ) =. Denna formel beskriver hur Men, ewton 2 (transversellt) säger: m 2 r " normalkraften i horisontalplanet beror av den radiella hastighets komponenten r. 3. Lösning: Farten är störst vid det minsta avståndet till jorden, dvs på avståndet 2R från jordens centrum. Där är hastigheten transversell och farten kan betecknas v A. Energiprincipen, samt banenergin för känd storaxel ger: " mgr = m 6 2 v A 2 " mgr => 2 v A = 2gR 3. Med farten v = gr blir energifördelningen något annorlunda: 3 " mgr = m # gr& % ( " mgr2, där r är det sökta avståndet från kraftcentrum. Löses detta 6 2 $ 3 ' r avstånd ut fås: r = 3R. Höjden över jordytan blir 2R. Kolla satellitens läge i figuren. Lösning med v A inte uträknad är också godkänt.
4. Lösning: Inför origo för ospänd fjäder. Fjäderkraften F k = "kx. Dämpningskrafter F c = "c x, samt tyngdkraften nedåt. ewtons 2:a lag: m x = mg " kx " c x. Svängningsekvationen: x + c x + k { m { m x = g. 2"# n Svängningsparametrarna är här införda i ekvationen. aturliga vinkelfrekvensen för svängningen: " n = k m. # n 2 a) Kritisk dämpning kräver " =1, så att i svängningsekvationen gäller c m = 2 k m, dvs k = c 2 4m. (2p) b) Svängningsrörelsen bestäms från den allmänna rörelsen: x( t) = ( B + Ct)e -" n t + x j, där jämviktsäget är x j = mg. Begynnelsevillkoren är x 0 k ( ) = 0, x ( 0) = 0: Då bestäms först konstanten B: B = " mg. Sedan behövs uttrycket för begynnelsehastigheten: k x # ( 0) = %" mg $ k + Ct & ( e -) nt = C + mg ' k ) n. För att detta skall kunna vara noll krävs: C = " mg k # n. Rörelsen är nu bestämd: x ( t ) = " mg k ( 1+# t n )e-# n t + mg k. Vid maxutslag blir hastigheten noll, dvs x ( t) = mg k " ( 1+" t n n )e-" n t # mg k " n e-" n t = mg k " 2 nte -" n t som blir noll när t = ". Läget vid den tiden är jämviktsläget x j = mg. Förflyttningen är alltså som mest från origo till k jämviktsläget. (svar) /Thylwe
Teoridelen 5a) Fritionskraft f, tyngdkraft mg och normalkraft. ormalkraften verkar på avståndet x>a räknat från vänstra, nedre hörnet. I figuren har införts en kantlängd 2b för lådans höjd. 2a P h A x mg (2b) f b) Ett kraftsystem kan alltid skrivas som ett antal krafter F j med motsvarande angreppspunkter r j (även för kraftparsmoment). I momentpunkten A mäter vi det totala momentet M A = $ r j " r A, för samma krafter. ([ ] # F j ) I momentpunkten B fås: M B = $ [ r j " r B ] # F j ( ) Skillnaden blir i detta fall: ([ ] # F j ) M A " M B = $ r j " r A " r j + r B = $ (r B " r A ) # F j = (r B " r A ) # $ F j. ( ) Detta uttryck kan lätt förenklas om vi inför totala kraften F = " F j samt relativa läget r AB = r B " r A. Sambandet blir: M A = M B + r AB " F. 6a) Kraftsystemen som är ekvimomenta har parvis lika totala moment i varje momentpunkt. Kraftsystemen har lika kraftsumma. t 1 b) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, Kratens impuls I = " F dt. Impulslagen "p = I med "p = p ( t 1 ) # p ( t 0 ). t 0
c) Lösning: Med trådkraft och tyngdkraft identifierade i figuren fås ur t ex energiprincipen: 1 2 m ( l " ) 2 # mglcos" = E, där E är den totala konstanta energin. Genom att tidsderivera fås ett samband som är oberoende av hur rörelsen börjar (begynnelsevillkor). Dvs ml 2 " " + mgl" sin" = 0, som kan förenklas till rörelseekvationen (pendelekvationen): " + g sin" = 0. l 7a) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemängdsmoment H O = r " p. Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella. ewtons 2:a lag: p = F medför att r " p = r " F. Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi inför kraftmomentet enligt definitionen M O = r " F. b) K1: Planeterna rör sig i (plana) elliptiska banor runt solen, med solen i ena brännpunkten. K2: Planeterna rör sig med konstant sektorhastighet. K3: Omloppstiden och storaxeln i banan beror av vanrandra enligt formeln: T 2 = konst a 3, där konstanten är samma för alla planeter. c) Gravitationskraften är radiell. ewtons 2:a lag ger i transversell riktning: ma " = F " = 0, dvs a " =0. Alternativt: Dubbla sektorhastigheten: h = r 2 ". Den är konstant. Transversell acceleration: a " = r " +2r". Derivering av h ger 0 = 2r r " + r 2 " = r 2r " + r " ( ) Vi ser att den transversella accelerationen är 0, ty r är inte 0. 8a) Svängningsekvationen för dämpad svängning: x + 2"# n x + # 2 n x = a. I aktuellt fall görs identifieringar: " n = b, " = c. Alla positiva värden på b och c 2 b som satisfierar: c = 2 b (kritiskt dämpat), 0 < c < 2 b (svagt dämpat). I jämviktsläget kan massan ligga still, med hastighet och acceleration lika med 0. Detta ger ur svängningsekvationen jämviktsläget: x j = a/b. 8b) Inga av dessa. /Thylwe
SG1130 Mekanik-P, B, M SG1130 Mekanik I, baskurs P1, M1 2015-06-08 Bedömningar OBS: Alla införda ekvationer och symboler skall motiveras!! Följande moment i typiska redovisningar av uppgifter kan leda till poängavdrag. En viss tolerans gällande moment M, B och S finns. Helhetsbedömningen av flera uppgifter kan innebära att ett poängavdrag (gällande M, B och S) drabbar bara en av flera uppgifter. M (motivering): -1p Typ: Otydliga motiveringar, motsägelsefulla ekvationer, odefinierade symboler, felaktiga definitioner. MF (missuppfattning): -1p -3p Typ: Blandar ihop olika storheters definitioner. B (beteckning): -1p Typ: Vilseledande, felaktiga beteckningar. Skalär/vektor. Komposanter i stället för komponenter etc. S (svar): -1p -3p Typ: Ofullständigt svar, ''okända storheter'' eller oförklarade beteckningar kvar i svaret, etc. L (logik): -1p Typ: Ologiska matematiska operationer. Dividerar med vektorer, fel multiplikation med vektorer. K (krafter/kinematik) : -1p Typ: Bristfällig analys av krafter/kinematik. D (dimension): -1p -2p Typ: Sortfel i svar eller viktiga ekvationer.