Föreläsning 2 1 Matematiska grundbegrepp Fält kalärfält: Vektorfält: Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär Exempel: Temperaturen i olika punkter i rummet, T r,t ( ) = T ( x, y, z,t) Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor Exempel: Lufthastigheten i olika punkter i rummet, v( r,t) = v x, y, z,t ( ) = v x r,t v x, v y, v z är skalärfält.!" ( ),v y ( r,t),v z ( r,t) # $ E, D, B, H, strömtätheten J, polarisationen P, magnetiseringen M är alla vektorfält. Potentialen V, laddningstätheten ρ, den elektriska energitätheten W e, den magnetiska energitätheten W m, är alla skalärfält. Lite om vektorer: A vektor  = A A = A A enhetsvektor A = A A Kryssprodukt A! B vektor med längd A " B "sin#! skalärprodukt: A!B skalär, A!B = AB cos" θ B
Föreläsning 2 2 Beteckningar:! vektor som pekar ned genom papperet! vektor som pekar upp från papperet öppna ytor ˆn! ˆn! slutna ytor För slutna ytor pekar alltid normalen, ˆn, ut från ytan, ut från området där materialet finns.
Föreläsning 2 3 Cartesiskt koordinatsystem (fast koordinatsystem) ˆx! ˆx = ŷ! ŷ = ẑ! ẑ = 1 ˆx! ŷ = ˆx! ẑ = ŷ! ẑ = 0 ˆx " ŷ = ẑ;!ŷ " ẑ = ˆx;!ẑ " ˆx = ŷ ˆx " ẑ = #ŷ;!ẑ " ŷ = # ˆx;!ŷ " ˆx = #ẑ Infinitesimal förflyttning, infinitesimalt vektoriellt linjeelement dl = dxˆx + dyŷ + dzẑ av speciellt intresse då två av koordinaterna är fixa och den tredje tillåts variera: x varierar, y och z fixa: dl = dxˆx; y varierar, x och z fixa: dl = dyŷ; z varierar, x och y fixa: dl = dzẑ Volymselement d! = dx "dy "dz Infinitesimalt ytelement d = d ˆn av speciellt intresse då en av koordinaterna är fix: x = x 0, fix: d = ± dy!dz ˆx; y = y 0, fix: d = ± dx!dz ŷ; z = z 0, fix: d = ± dx!dy ẑ
Föreläsning 2 4 Cylindriskt koordinatsystem (rörligt koordinatsystem) ˆR! ˆR = ˆ"! ˆ" = ẑ! ẑ = 1 ˆR! ˆ" = ˆR! ẑ = ˆ"! ẑ = 0 ˆR # ˆ" = ẑ;! ˆ" # ẑ = ˆR;!ẑ # ˆR = ˆ" ˆR # ẑ = $ ˆ";!ẑ # ˆ" = $ ˆR;! ˆ" # ˆR = $ẑ ˆR = ˆR (!);!! ˆ! = ˆ! (!) Infinitesimal förflyttning, infinitesimalt vektoriellt linjeelement dl = dr ˆR + Rd! ˆ! + dzẑ av speciellt intresse då två av koordinaterna är fixa och den tredje tillåts variera: R varierar,! och z fixa: dl = dr ˆR;! varierar, R och z fixa: dl = R 0 d! ˆ!; z varierar, R och! fixa: dl = dzẑ Volymselement d! = dr " Rd# "dz Infinitesimalt ytelement d = d ˆn av speciellt intresse då en av koordinaterna är fix: R = R 0, fix: d = ± R 0 d! "dz ˆR;! =! 0, fix: d = ± dr "dz ˆ!; z = z 0, fix: d = ± RdR "d! ẑ
Föreläsning 2 5 färiskt koordinatsystem (rörligt koordinatsystem) ˆr! ˆr = ˆ"! ˆ" = ˆ#! ˆ# = 1 ˆr! ˆ" = ˆr! ˆ# = ˆ"! ˆ# = 0 ˆr $ ˆ" = ˆ#;! ˆ" $ ˆ# = ˆr;! ˆ# $ ˆr = ˆ" ˆr $ ˆ# = % ˆ";! ˆ# $ ˆ" = % ˆr;! ˆ" $ ˆr = % ˆ# ˆr = ˆr (!,");!! ˆ! = ˆ! (!,");! ˆ" = ˆ" (") Infinitesimal förflyttning, infinitesimalt vektoriellt linjeelement dl = drˆr + rd! ˆ! + r sin!d" ˆ" av speciellt intresse då två av koordinaterna är fixa och den tredje tillåts variera: r varierar,! och " fixa: dl = drˆr;! varierar, r och " fixa: dl = r 0 d! ˆ!; " varierar, r och! fixa: dl = r 0 sin! 0 d" ˆ" Volymselement d! = dr "rd# "r sin#d$ = r 2 sin#d#d$dr Infinitesimalt ytelement d = d ˆn av speciellt intresse då en av koordinaterna är fix: r = r 0, fix: d = ± r o 2 sin!d!d" ˆr;! =! 0, fix: d = ± r sin! 0 drd" ˆ!; " = " 0, fix: d = ± rdrd! ˆ"
Föreläsning 2 6 Flödesintegraler Maxwells första ekvation har en flödesintegral som sitt vänsterled:!" D!d =!" D!d ˆn = Q ekv!2 :1 Flödet av D-fältet ut genom den slutna ytan är lika med den totala inneslutna laddningen. Hur mycket laddnings som finns utanför ytan påverkar inte resultatet. Flödet från dessa laddningar passerar både in genom ytan och ut genom den. På differentialform är ekvationen,! "D = #, där ρ är laddningstätheten. Den fysikaliska bilden är att fältlinjer utgår från laddningar och då gäller att tätheten av punkter där fältlinjer startar är relaterad till tätheten av laddningar och därmed till laddningstätheten. Maxwells tredje ekvation har också en flödesintegral som sitt vänsterled,!" B!d =!" B!d ˆn = 0 ekv!2 : 3 och på differentialform,! "B = 0 säger att flödet av B-fältet genom alla slutna ytor är noll. Flödet passerar både in genom ytan och ut genom den. Inga fältlinjer startar eller slutar någonstans. Alla fältlinjer bildar slutna kurvor. Det finns inga magnetiska monopoler.
Föreläsning 2 7 Linjeintegraler De integraler som ingår i Maxwells ekvationer på integralform är alla antingen linjeintegraler eller ytintegraler. I alla fallen är integranden en skalärprodukt och således en skalär. Ytintegralerna är födesintegraler dvs. beskriver ett flöde genom en yta. Vi kommer också att stöta på integraler där integranden är vektorvärd. Då gäller det att se upp. Man bör då använda sig av ett fast koordinatsystem, det cartesiska. Definition av konservativt kraftfält:!" F!dl = 0 för varje sluten kurva C ekv 3 : 2 C Det innebär att linjeintegralen mellan två punkter är densamma oavsett utmed vilken kurva mellan de två punkterna man integrerar. För ett konservativt kraftfält kan man definiera en potentiell energi. Definition av potentiell energi: akt W p =! # F "dl ekv!3 : 3 ref Potentiella energin kan bara bestämmas på en konstant när. Referenspunkten är den punkt man har valt som referens, där potentiella energin är satt lika med noll. Den aktuella punkten är den punkt där man önskar veta hur stor potentiella energin är. Inversen till ekvationen ger att F =!"W p =!gradw p ekv!3 : 4
Föreläsning 2 8 Förutom de fyra vektorfälten E, D, B och H, innehåller Maxwells ekvationer ytterligare ett, nämligen strömtätheten J. Den dyker upp i en flödesintegral i den fjärde ekvationen, I = " J!d = J!d ˆn ". Flödet av strömtätheten genom en yta är strömmen genom ytan, laddning som passerar genom ytan per tidsenhet. En öppen yta har ju två sidor och två ytnormaler. Ytnormalen i den här ekvationen bestäms av i vilken riktning kurvan C genomlöper randen till ytan i vänsterledet av Maxwells fjärde ekvation. Volymsintegraler Förutom linjeintegraler och ytintegraler måse vi behärska volymsintegraler. Tex. ges sambandet mellan högerleden av Maxwells första ekvation i integral- och differentialform av en volymsintegral, Q = #!d". " Vektorvärd integrand I alla integraler vi har diskuterat hittills har intergranderna varit skalärer. Det är inte alltid fallet. Vi kan ha exempel där! Adl;!! Adl;!! Ad;!! Ad;!! Ad", C C " där dl = dl,!d = d och!d! är skalärer. Här är det lätt att göra misstag om man inte är försiktig. Det säkraste sättet är att utrycka alla storheter i det cartesiska koordinatsystemet där koordinataxlarna är fasta i rummet.
Föreläsning 2 9 Källor Q, laddning. C(oulomb) (As) ρ, laddningstäthet, laddning per volymsenhet. C/m 3 =As/m 3 ρ s, ytladdningstäthet. C/m 2 =As/m 2 ρ l, linjeladdningstäthet. C/m=As/m (Påminnelse: grundenheterna: kg, m, s, A) I, ström eller strömstyrka. A J, strömtäthet eller volymströmtäthet. A/m 2. Obs! Ej tröm per volymsenhet. J s, ytströmtäthet. A/m Hur ska vi tänka för att komma ihåg dessa? För laddningsfallet börjar vi med en laddning i en punkt. Vi sprider ut den utmed en kurva som då får linjeladdningstätheten ρ l. Vi sprider ut den vidare över en yta som då får ytladdningstätheten ρ s. Vi sprider ut laddningen ytterligare över en volym som då får volymsladdningstätheten ρ. För strömfallet börjar vi med en ström I genom en tunn tråd. Vi sprider ut den över en yta (vi låter den t.ex. gå utmed en metallfolie) som då får ytströmtätheten J s. Vi sprider ut strömmen ytterligare så att den går genom en volym som då får en volymströmtäthet J.