Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Komleerande eorimaerial oh ugifer ill kursen Ljud i byggnad oh samhälle VTAF Teknisk akusik, LTH. Enfrihesgradssysem. Vågubredning 3. Transmission oh reflekion 4. Ljudisolering ugifer
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF. Enfrihesgradssyseme SDOF De enkla massa-fjäder-syseme, eller sdof-syseme (single degree of freedom, enfrihesgradssyem) är e grundläggande begre inom akusik oh mekanik. Med god försåelse för dea har man e värdefull verkyg för a analysera resonana sysem. Man kan ill exemel se en laas svängningsformer, moder, som sdof-sysem. I enkla fall ser man dessa som enskilda sysem som evenuell är kolade ill varandra, mdof-sysem (muli degree of freedom, flerfrihesgradssysem). SDOF-sysem är okså vikig för a förså hur vibraionsisolering fungerar. u Figur SDOF, enkelfrihesgradssysem Vi ska i dea kaiel härleda oh lösa ekvaionerna för de enkla massa-fjädersyseme, sam inroduera vissa begre som vi kommer a behöva längre fram i kursen. Inledande samband Innan vi börjar ska vi behandla några få grundläggande samband när de gäller harmoniska funkioner. Vi änker oss e godyklig harmonisk idsförlo. u( Figur Harmonisk idsförlo I Figur ser vi idsförloe, där T är eriodid, A är amliud, u( är någon variabel, exemelvis förskjuningen som funkion av iden, oh fas är en fasid. Maemaisk kan man skriva idsförloe som:
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF u( Aos () T Fasändringen är här beskriven med en fasvinkel. En enkel jämförelse mellan fasiden fas oh fasvinkeln ger a fas () T Om vi isälle för eriodid inroduerar frekvens f, enhe /s = Hz, så a: f (3) T så kan vi skriva lie läare: u( Aos f (4) Vanligen inroduerar man även en vinkelfrekvens = f, ( omega ) med enheen rad/s. Då har vi: u( Aos (5) Isälle för en osinusfunkion kan idsförloe beskrivas med en sinusfunkion: Asin / Asin u( Aos (6) där är en ny fasvinkel, förskjuen 9 från. Man kan okså beskriva idsförloe med både en sinus oh en osinus: A sin A os u( Aos (7) Nu börjar vi med de enkla svängningssyseme. 3
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Ekvaion i idsled Diskrea komonener Från Byggnadsmekanikens avsni om dynamik (ka 4 i Inrodukion ill srukurmekaniken) har vi sö å sdof-sysemes re olika komonener, massa, fjäder oh dämare.. Massa u, a Figur 3 Massan För en sel kro med massa M gäller enlig Newons röreslelag a F = Ma, där F är en ålagd kraf oh a är selkroens aeleraion: d u( a( u ( (8) d Selkroen har samma förskjuning i alla unker, oh om vi änker oss förskjuningar i endas en dimension kan den därför rereseneras med en frihesgrad. Massan är således en unkmassa.. Fjäder u u Figur 4 Fjädern En deformaion l av en ideal (linjär oh masslös) fjäder, med längden l (i viloläge) oh fjäderkonsan K, svarar mo en kraf F = K l, roorionell mo fjäderns deformaion. Då vi i dea försa exemel Frihesgraden rereseneras av förskjuningen u, vilke skall beeknas som en förskjuning run en jämviksunk (eller arbesunk. Vi använder ine beekningen x eller x då vi behöver denna beekning som koordina längre fram när vi diskuerar vågubredning 4
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF ännu bara har en frihesgrad, belägen vid massan, kan deformaionen beskrivas av förskjuningen vid denna frihesgrad, oh därmed är krafen roorionell mo förskjuningen, F = K u. 3. Dämare u, v Figur 6. Dämaren En ideal dämare, med dämkonsanen R, svarar mo en kraf F = R v om den ryks samman eller sräks u med en deformaionshasighe v (deformaionshasighe relaiv väggen). Om vi har en frihesgrad så gäller å samma sä som innan a F = R v du( v( u ( (9) d Newons rörelselag Vi kan nu kombinera de re elemenen ill e massa-fjäder sysem. För a ill en början slia yngdkrafen låer vi svängande syseme vibrera, eller svänga, horisonell. Vidare är syseme åverka av en yre drivande kraf F(. u( u( Figur 5 Friläggning av massan I varje ögonblik måse Newons rörelselag vara ufylld, d v s: F( F ( F ( Ma( () K R Vi säer in uryken för fjäderkrafen oh dämkrafen enlig unk oh 3 ovan: Denna har dok ingen beydelse, som vi kommer a se senare, yngdkrafen ger en saisk förskjuning som bara flyar arbesunken. 5
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF F( Ku( Rv( Ma( () Ma( Rv( Ku( F( Mu ( Ru ( Ku( F( () Den sis använda formen av uryke är vanlig förekommande, oh är rakisk då förskjuningen u är den obekana variabeln. Lösning Den allmäna lösning av ekvaionen ovan har ges exemelvis i boken Analys i en variabel oh besår av en homogen lösning oh en arikulär lösning. Den homogena lösningen besår av en exoneniell avklingande harmonisk svängning 3, medan arikulärlösningen besår av en harmonisk svängning med samma frekvens som drivningen, men evenuell fasförskjuen ill denna. De finns några olika ekvivalena begre för de båda lösningarna: Parikulär Tvungen, driven Seady sae Homogen Fri Transien Tabell Ekvivalena namn För ydligheens skull visar vi hur man ar fram dessa lösningar även här. Homogen lösning: Mu h ( Ru h ( Kuh( (3) R K u h ( u h ( uh( (4) M M Vi inroduerar nu några hjälsorheer: K (5) M K f M (6) 3 Man kan som e exemel änka sig a man släer dörrarna i V-huses foajé från öe ugångsläge. Dörrarna kommer då a svänga fram oh illbaka några gånger ills rörelsen har dö u. 6
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF R MK (7) där är den odämade egenfrekvensen (egenligen egenvinkelfrekvensen med enheen rad/s), f är den odämade egenfrekvensen (med enheen Hz), ( äa ) är en dimensionslös dämkonsan, likaså ( sigma ) vilke gör a vi kan skriva om ekvaion 4: u ( u ( u ( (8) h h h Den karakerisiska ekvaionen ill ekvaion 8 ges av: r r (9) < medför a r i id d () Här är d den dämade resonansfrekvensen. Lösningen ill den homogena ekvaionen är då: id id Ae A e e B sin( B os( uh( e d d () där A, A, B oh B är konsaner som besäms med hjäl av begynnelsevillkor. Den sisa likheen fås med Eulers formler (se ekvaion 3-3). Parikulärlösningen, som visar förskjuningen vid åverkan av drivande kraf, skall nu besämmas. Angressäe är a ansäa en förskjuning som liknar krafen, beräkna de vå derivaorna, oh sedan säa in dessa uryk i ekvaionen oh lösa u de obekana koeffiienerna. Om den drivande krafen är en harmonisk kraf med vinkelfrekvensen oh F( = F driv os(, så ansä u ( D sin( D os( ) () Dos( D sin( ) (3) u ( ( D sin( D os( ) (4) u Insäning i ekvaion ger: Mu ( Ru ( Ku ( F os( (5) driv 7
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF M K D sin( D os( RD os( D sin( D sin( D os( F os( driv (6) Vi ska nu lösa u konsanerna D oh D. Vi har i högerlede en ensam osinuserm, medan i vänserlede har vi både sinus- oh osinusermer. Konsanerna måse nu väljas så a dea går iho vid alla idunker. Om vi ser sinusermerna som en koordina oh osinusermerna som en annan koordina, så kan vi änka oss a följande vådimensionella vekordiagram beskriver robleme. Figur 6 Visare Vi kan nu sälla u e ekvaionssysem med vå ekvaioner (vå obekana), en för sinusermerna oh en för osinusermerna: M D RD KD M D RD KD F driv (7) Om man löser u D oh D, så har vi arikulärlösningen D D R K M R K M K M R F F driv driv (8) u ( D sin( D os( Om man inför = K/M ser man a K M M( ), vilken försvinner vid resonans ( ), vilke vi ska åerkomma ill. Den oala lösningen ges av u( = u ( + u h(. Som e exemel visar vi idshisorien för u h(, u ( oh u( för e fall (M = 5 kg, R = 375 Ns/m, K = 4.44 5 N/m, F( = F driv sin(, = rad/s oh F driv = 5 N, oh begynnelsevillkoren u() =, v() = ). 8
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF uh u u = uh + u Figur 7 Homogen, arikulär oh oal lösning Efer en viss id, seady sae, har den homogena lösningen klinga av. Då är u( u (. I akusiska sammanhang är de därför ofas u ( som är av inresse. De maskiner som vibrerar oh fläkar som går genererar ofa monoona ljudbilder där arikulärlösningen är dominerande över den homogena lösningen. De är därför vanlig a man endas berakar arikulärlösningen av robleme, oh så kommer vi a (ill sörsa delen) göra i forsäningen. Men då behöver vi en bäre meod för a lösa dessa ekvaioner. Komlex amliud Övergång ill frekvensled För a komma vidare behöver vi en ny ansas för a få arikulärlösningen (i forsäningen borser vi allså från den homogena lösningen, så vi skriver ine u index ). Vi har sedan idigare a lösa: Mu ( Ru ( Ku( F( (9) 9
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Vi kommer a göra en ansas med komlexa al, oh nu har vi krafen 4 F( i F driv os( Re Fdrive enlig Eulers ekvaioner, som lyder: e i os( ) isin( ) os( ) e i sin( ) i e e i i e i (3) (3) (3) Till ansas söker vi nu en funkion som liknar krafen. Vi vill då ha realdelen av en funkion som besår i av en harmonisk erm, e, oh en amliud framför den harmoniska ermen. Denna amliudfunkion kan generell se vara en funkion av frekvensen (vinkelfrekvensen) oh dessuom komlex. De är denna nya funkion som vi kallar komlex amliud, oh beeknar med u ~ ( ), där vågekne indikerar a de är en ny funkion, vidare är den en funkion av. Vi gör allså följande ansas, oh deriverar: Ansä: u( Re u~ ( ) e i i u ( Re u~ ( ) e i u ( Re u~ ( ) e i (33) (34) (35) Insa i ekvaion ger dea: Mu ( Ru ( Ku( Fdriv os( (36) M Re i i i u e R i u e K u e F e i ~ ( ) Re ~ ( ) Re ~ ( ) Re Realdelsoeraorn Re{} verkar å alla ermer, oh kan därför lyfas u: Re i i i M u e Ri u e Ku e F e i ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) Re driv driv (37) (38) 4 De bör åekas a de även är möjlig a välja imaginärdelen, vilke mosvarare a krafen är en sinus isälle för en osinus, eller med andra ord en fasskillnad å 9. I akusiken väljer man ofa realdelen efersom de ofa känns naurligare a a realdelen av de komlexa resulae för a kunna göra en fysikalisk olkning.
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF ~ ( ~ ( ~ ( i i M u ) e Riu ) e Ku ) e i F driv e i (39) Vidare ingår den harmoniska 5 i ermen e i alla uryk oh kan därmed förkoras bor: M ~ u ( ) Riu~ ( ) Ku~ ( ) (4) F driv F u~ ( driv ) (4) ( K M ) Ri Om man inför = K/M ser man a K M M( ), vilken försvinner vid resonans ( ), oh u ~ ( ) blir då myke sor. i Med hjäl av ansasen, väsenligen e, så har differenialekvaionen av andra ordningen blivi en vanlig andragradsekvaion med avseende å u ~ ( ). De lösa uryke u ~ ( ) som vi kan kalla komlex förskjuningsamliud eller förskjuningssekra, innehåller väsenligen all syseminformaion som man kan behöva. Vågekne över den komlexa amliuden indikerar a vi har en ny funkion, oh denna är komlex oh är ine längre en funkion av iden, medan beyder a funkionen är en funkion av vinkelfrekvensen 6. Vi kan okså se de som om vi har gjor en sors ransform från idsfunkioner ill komlexa frekvensfunkioner. En mer allmän övergång från idsfunkioner ill frekvensfunkioner får man med Fourierransformen. Med Fourierransformen kan man behandla godykliga idsförlo, ine bara seady sae som vi gör här. De visar sig dok a när man väl dividerar bor drivningen, vilke vi srax ska göra, så blir resulae desamma. Den enklase ansasen ger allså ine bara e enkel resula, uan även e hel generell resula, oberoende av drivningen. Om vi vill kan vi nu åergå ill idsfunkionen (idslane med hjäl av ansasen: Fdriv u( Re e ( K M ) R i Fdriv Re ( K M ) R Fdriv ( K M ) R i K M R i os( isin( K M os( R sin( (4) Denna lösning är densamma som i ekvaion 8. 5 Med harmoniska funkioner, eller harmoniska förlo, menas sin( oh os(, som har fördelen a vara i varandras derivaa, sam e, som är sin egen derivaa. Den senare kan okså kallas komlex harmonisk. De harmoniska förloen låer som rena oner. I musikläran har dok harmonisk en vidare definiion 6 = f [rad/s] vinkelfrekvensen, f = /T [Hz = /s] frekvens, T [s] eriodid, all gäller för drivningen.
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Ofas nöjer man sig dok med a beraka syseme i frekvenslane. Även om vi har se a den harmoniska (ransiena) lösningen ine selar någon roll i de långa loe, så kan man yka a vi har gjor en allvarlig begränsning av eorin då vi endas ser å arikulärlösningen ill harmoniska funkioner (sinussvängningar). Så är dok ine falle. Inom akusiken unyjar man ofa de fakum a varje idsvarierande funkion, med hjäl av Fourierransform eller Fourierserier, kan beskrivas som en summa av enkla sinusfunkioner med olika frekvens, amliud oh fas. De beyder a en godyklig ålagd kraf F( kan ersäas med e, ofa sor, anal enkla sinusfunkioner. Så isälle för a försöka hia en ny lösning ill differenialekvaionen (ekvaion ) för varje ny kraf, så löser man den, som vi nu har gjor, för varje harmonisk funkion. Den akuella krafens sekrum, vilke fås med Fourierransformen, kan sedan läggas ill. Dea behandlas närmare i område som kallas linjära sysem. Komlex räkning Vi unyjade härvid några räkneregler för komlexa al, oh de kan vara å sin las a åerge dessa: Figur 8 Komlexa al Imaginära enheen: i 3, i, i i,... i i (43) Komlexa al: z x iy (44) Addiion: z x iy x iy x x iy z y z (45) Mulilikaion x iy x iy x x y y ix y x z y (46) Komlex konjuga:
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF z * x iy (47) Division: z z z z x x y y ix y x y * (48) * zz x y Amliud oh fasvinkel är vikiga begre: Figur 9 Amliud oh fas Amliud (eller absolubelo): A z x y (49) Fas (allid i radianer!): y aran (5) x Ur figur Figur 9 kan man då se a: x Aos( ), y Asin( ) (5) Med hjäl av Eulers former, ekvaion 3-3, oh enhesirkeln så har vi vidare: 3
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Figur Enhesirkeln i z x iy Ae A os( ) isin( ) (5) i z z A A e (53) z z i A A e (54) Överföringsfunkioner Vi åergår nu ill a ia å resulae av de komlexa räkningarna, ekvaion 4 gav den komlexa förskjuningsamliuden, vilken beror å sorleken av den ålagda krafen F u~ ( driv ) (55) ( K M ) R i Ofa vill man beraka sysemen, i dea fall vår massa-fjäder-sysem, uan a man ser de yre förhållandena, såsom i dea fall krafen (vilken kan vara en funkion av frekvensen). Om vi normerar förskjuningen med avseende å den drivande krafen, så får vi e uryk som bara beror av sysemes sorheer M, R oh K, sam vinkelfrekvensen. Man har då kvar en komlex kvo C dyn u~ ( ) ( ) (56) F ( ) ( K M ) R i driv Vi kan kalla denna kvo för sysemes dynamiska vekhe, då en sor kvo (vekhe ger en sor förskjuning för en lien kraf. Den omvända kvoen kan vi kalla dynamisk syvhe K dyn Fdriv( ) ( ) M R i K u~ (57) ( ) 4
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Allmän brukar man kalla kvoer mellan komlexa amliuder (sekra), i samma unk eller i en annan unk i e viss sysem för överföringsfunkion H() om de är kvoer mellan usignal oh insignal. ~ si ( ) usignal H ij( ) ~ (58) s ( ) insignal i Med signal menas i dea fall de båda variabla ermerna i e uryk, i vår fall är krafen insignal medan förskjuningen är usignal. Övriga aramerar, massa, fjäder oh dämare, illhör syseme. Signalbegree anyder a de båda variablerna är mäbara, oh a man kan besämma sysemes egenskaer genom a mäa dessa signaler. Den dynamiska syvheen, K dyn, är i dea fall ydligen ine en överföringsfunkion, då den är en kvo mellan insignal oh usignal oh ine vär om. Den dynamiska vekheen, C dyn, är däremo en äka överföringsfunkion. De är okså möjlig a definiera andra överföringsfunkioner som ugår från massans hasighe eller aeleraion. Dea illusreras i abell nedan illsammans med benämningen av resekive överföringsfunkion. Av dessa kommer framförall imedansen a diskueras framöver. Förskjuning u Hasighe v Aeleraion a C dyn ( ) u~ ( ~ ) F( ) Y( ) v~ ( ~ ) F( ) N( ) a~ ( ~ ) F( ) Dynamisk vekhe ~ F( ) K dyn ( ) u~ ( ) Dynamisk syvhe Tabell Kvoer i frekvenslane Mekanisk admians ~ F( ) Z( ) v~ ( ) Mekanisk imedans Mekanisk aelerans ~ F( ) M dyn ( ) a~ ( ) Dynamisk massa Har man en överföringsfunkion så ar man enkel fram de övriga, ex genom a använda a v ~ ( ) i u~ ( ), se ekvaion 33-35. Man bör komma ihåg a överföringsfunkioner endas gäller för linjära sysem, de vill säga när sekrume är oberoende av amliuden. I sådana sysem överförs således en ren on (sinusfrekvens) oberoende av alla andra befinliga oner. Dea är en sor förenkling som ine gäller om man arbear med idsfunkioner, då sörningar i olika idunker åverkar varandra. Vidare beyder dea a överföringsfunkioner exerimenell kan besämmas aningen genom a man saka sveer med krafens frekvens (sinussve) eller genom a man sänder in en signal som innehåller alla söka frekvenser å en gång. En sådan signal kallas brus, oh om den kvadrerade signalens amliud är konsan för samliga frekvenser kallas de vi brus. A reresenera dessa komlexa dynamiska kvoer grafisk kan man göra å olika sä. De vanligase i alernaive är a änka sig uryke å formen C Ae, där A är amliuden oh fasen. dyn 5
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF u~ ( ) A Cdyn( ) (59) F ( ) K M R i driv K M R Im C aran Re C ( ) R aran K M dyn dyn( ) Vid de odämade sysemes resonans, = (K/M) ½, har amliuden (näsan) e maximum oh fasen är /, de vill säga 9 efer drivningen. K (6) M (6) A Cdyn( ) R Im C aran Re C dyn dyn ( ) aran ( ) (6) (63) De är vanlig a man använder logarimisk skala å axlarna. Denna reresenaion som illusreras i Figur kallas Bode-diagram. Figur Bode-diagram för överföringsfunkionens amliud oh fas För frekvenser under resonansfrekvensen ( ) så dominerar fjädersyvheen, amliuden är horisonell oh fasen är noll. Om vi sedan ökar frekvensen ills vi närmar oss resonans ( ) så ar bidragen från fjäderermen oh massermen u varandra oh vi får resonans där amliuden besäms av 6
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF dämningen. Över resonans ( ) dominerar bidrage från massermen, amliuden luar med konsan luning i en log-log skala (64) C dyn (65) K M R i M log log( ) log( M ) log( ) log( M ) M (66) Luningen är således - dekader 7 er dekad frekvens. Dea är e myke vikig rakisk resula, som därför har få e ege namn, masslagen. De beyder a över resonansen kommer förskjuningen ~ minska myke snabb med ökande frekvens, u ( ) (ekne beyder roorionell mo ). Vi kan okså se a de finns en unk över resonans där förskjuningen är lika sor som den saiska förskjuningen, oh över denna unk kommer förskjuningen a vara mindre än den saiska. Dea fakum unyjas vid vibraionsisolering. Om vi iar å fasdiagramme så ser vi a fasen är noll vid rikig låga frekvenser, de vill säga förskjuningen har samma fas som drivningen. Vid resonans är fasen -/, allså ligger förskjuningen 9 efer drivningen. Över resonans närmar sig fasen -, vilke beyder a förskjuningen är i mofas mo drivningen, förskjuningen ligger 8 efer drivningen. Dea förhållande kan lä konrolleras exerimenell med en vik oh en gummisnodd. Fäs viken i gummisnodden, som du fäser i e finger, så a du får e massa-fjäder-sysem. För du handen långsam u oh ner, så följer viken med handen. Ökar du frekvensen ills du kommer ill resonansn, där vibraionen är som sörs, så ligger förskjuningen hos massan 9 efer handen. Ökar du frekvensen ännu mer så kommer handen oh massan a röra sig i mofas. Resonaorer I dea avsni ska vi ia lie närmare å några resonana sysem som kan beskrivas med de enkla massa-fjädersyseme. Vi börjar med a vända å massa-fjädersyseme, så a vi får med yngdkrafen. Vi ska visa a dea ine selar någon roll. Tyngdkrafen Vi vänder nu allså å massa-fjädersyseme: 7 En dekad är desamma som en iooens. 7
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF umg( umg( Figur Sående resonaorer Som vanlig måse Newons rörelselag gälla i varje ögonblik F( F F Mg Ma( (67) K R Vi för in uryken för fjäderkrafen oh dämkrafen, de vill säga F K( = K u( oh F R( = R v( Mu ( Ru ( Ku( F( Mg (68) Vi ser a vi har en differenialekvaion där drivningen besår av en harmonisk kraf F( oh en saisk kraf Mg. Till arikulärlösningen, vilken är den vi i försa hand är inresserade av, ansäer vi då a förskjuningen besår av en harmonisk del oh en saisk del, u o( = u( + u s(, där den saiska fås av den säning som massan saisk orsakar: u s konsan u oh u (69) s s Mg Kus Mg us (7) K Den harmoniska delen fås å samma sä genom a bara lösa ekvaionen för den harmoniska krafen: Mu ( Ru ( Ku( F( (7) Men då dea reis är den ekvaion som vi har ägna oss å hiills, så kan vi anse a dess lösning är given. Tyngdkrafen ger ydligen en saisk förskjuning som bara flyar arbesunken. Om fjädern är olinjär i vissa områden kan dok vissa arbesunker vara a föredra. Så är dok ine falle här, så man kan borse från yngdkrafen i vibraionsberäkningar. Vibraionsisolering Som e försa exemel å e enkel massa-fjädersysem i en alikaion ska vi nu ia å vibraionsisolering. Vi kan änka oss a e indusriföreag har be oss lösa e vibraionsroblem som de har. En roerande maskin med viss exenriie sår fasskruvad å e syv bjälklag, vilke orsakar vibraioner i bjälklage som vidare ger buller oh vibraionsskador. Fabrikören i fråga ber oss, som 8
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF konsuler, minska robleme. Vad ska vi göra? Vi börjar med a ana a underlage är orörlig, de vill säga a maskinen är fas insänd. Dea är en förenkling som i allmänhe ine är hel gilig, men för joka beongbjälklag, 5-3 mm, är anagande ofas rimlig. För läa räbjälklag är emellerid anagande veksam. Vi frilägger nu maskinen: Figur 3 Friläggning av maskin innan ågärd Rörelselagen ger nu, då vi ine har någon förskjuning eller aeleraion (fläkens ram oh hölje anas så sill): ( F ( F u (7) Vi ser a den kraf som orsakas av maskinens exenriie F( går rak ner i bjälklage, F u( = F(, där index u sår för uan vibraionsisolering. Om vi ansäer harmoniska sörningar, ~ F F e i ( ) Re ( ) oh som innan borser från realdelsoeraorn oh den harmoniska ermen, som ~ ~ är gemensam för alla ermer, så kan vi skriva F( ) F ( ). Vi änker oss nu a vi säer maskinen å gummiklossar eller sålfjädrar. Vi änker oss vidare a dämning kan ingå i fjädrarna. Om vi använder fyra fjädrar blir den sammanlagda fjädersyvheen K = K i. Desamma gäller för dämningen. u u( u( Figur 4 Friläggning av maskin efer ågärd 9
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Rörelselagen måse som vanlig råda: F( F ( F ( Ma( (73) K R Dea är samma ekvaion som vi har behandla idigare. Vi är inresserade av arikulärlösningen, oh lösningen gavs i ekvaion 4. Förskjuningen, beskrive i frekvenslane, blev: M ~ u ( ) Riu~ ( ) Ku~ ( ) F ( ) (74) driv F u~ ( driv ) (75) ( K M ) R i Men nu är vi rimär inresserade av krafen som går ner i bjälklage när vi har lag ill fjädern oh dämaren, oh vi ve a krafen mo underlage kan beskrivas som summan av krafen från fjädern oh krafen från dämaren, F m( = F K( + F R(, där index m sår för med vibraionsisolering. I frekvenslane blir dea: ~ ~ ~ F ( ) F ( ) F ( ) Ku~ ( ) R iu~ ( ) (76) m K R ~ F ~ F m driv ( ) ( ) ~ Fm ( ) K Ri ~ (77) F ( ) ( K M ) Ri u Vi har ydligen få e uryk som ger oss kvoen mellan krafen mo underlage med vibraionsisolering mo krafen mo underlage uan vibraionsisolering. De vikiga i denna y av vibraionsisoleringsroblem är a amliuden av vibraionen minskar med ågärden. Absolubeloe av kvoen ovan brukar benämnas insäningsdämning eller inserion loss, medan ransmissionsal T 8 eller ransmissibiliy används om de handlar om kvo mellan drivning oh underlag, T ~ Fdriv ( ) ~ F ( ) m (78) A beräkna ransmissionsale oh insäningsdämningen lämnas som övning. Om ransmissionsale är så har ingen förändring ske, oh om T < så har en förbäring ske, de vill säga en minskning av krafens amliud har ske, medan om T > så känner underlage en sörre amliud än den ursrungliga, allså en försämring. Nedan visas hur ransmissionsale kan se u. Vi har här sa förlusfakorn = R/ M, där resonansfrekvensen som vanlig är = (K/M) ½. Frekvensen är sedan normerad mo resonansfrekvensen så a resonans allid sker vid / =. 8 T sår här för ransmissionsal oh ine för eriodid.
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Figur 5 Transmissionsal, normerad frekens oh olika värden å förlusfakorn, Vi kan nu se a T > vid /, oh vi får ydligen ingen förbäring med hjäl av vibraionsisoleringen run resonansfrekvensen eller vid lägre frekvenser, / <. Däremo får man allid en förbäring över resonansfrekvensen. Vidare ser man a dämaren mes smear u beeende, så a effeken vid resonans ine blir så sor. Om vi åergår ill vår ursrungliga roblem med fabrikören så löser vi de genom a a reda å den dominerande frekvensen i den drivande krafen F(, vi kan beekna den med maskin, vilken roligen är den samma som roaionsfrekvensen, sam maskinens vik M. Sedan dimensionerar vi fjädersyvheen K så a resonansfrekvensen för syseme = (K/M) ½ << maskin. De gäller allså a ha så veka fjädrar som möjlig, vilke kan vara svår i rakiken.
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Vikiga formler ka Enfrihesgradssyeme med en massa, fjäder oh en dämare leder ill rörelseekvaionen Mu ( Ru ( Ku( F( Som har en oal lösning som besår av en homogen oh en ariklär del, u( = u h( + u (. Den homogena lösningen är id id Ae A e e B sin( B os( uh( e d där den odämade resonansfrekvensen, dämkonsanen oh dämade resonansfrekvensen förs in K R M MK d d oh arikulärlösningen för en drivande kraf i F( F os( Re F e är driv driv u ( D sin( D os( D D R K M R K M K M R F F driv driv Parikulärlösningen uryk å komlex form blir u Re i Fdriv i u ~ ( ) e e ( ( K M ) R i Tyngdkrafen (om närvarande) skaar en saisk säning med sräkan Mg u s K Dynamisk vekhe definieras som kvoen mellan komlex förskjuning oh komlex kraf C dyn ( ) u~ ( ~ ) F( ) C dyn kan, som andra överföringsfunkioner, åskådliggöras med e Bodediagram där man loar amliud oh fas A Cdyn( ) R Im C aran Re C dyn dyn ( ) aran ( ) ~ F Transmissionsale T är kvoen mellan drivande kraf oh kraf som går ner i underlage, T ~ F driv m ( ) ( )
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Ugifer ka. Två ariklar rör sig med harmoniska rörelser. = u ( Aos( u ( Aos( ) där 6 a) Vad är frekvensen för de båda rörelserna? b) Vad är eriodiden? ) Den senare arikeln ligger aningen efer den försa i id, en fasskillnad. Uryk denna i en idsskillnad. d) Vid vilka idunker har ariklarna sina maximala absolua hasigheer oh aeleraioner? e) Beräkna amliuden för ariklarnas aeleraion om A = m. f) Om vi adderar signalerna, vid vilken fasskillnad mellan de båda kommer vi a få usläkning? Vid vilken fasskillnad kommer de a försärka varandra maximal? g) Uryk de båda rörelserna u oh u å komlex form som är bruklig inom akusiken, allså a de är realdelen av rörelserna som anges ovan.. Skriv om följande komlexa al å formen a) 3+4i b) (3+4i)/(4+3i) ) +i d) i e) - i Ae oh besäm A oh. 3
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 3. En flaska kan ses som e massa-fjäder-sysem, en Helmholz-resonaor där den lilla volymen i halsen verkar som en massa oh den sora verkar som en fjäder enlig Figur 6. u Figur 6 En vanlig 33 l ölflaska modellerad som e SDOF-sysem. Massan M är massan för lufen i flaskhalsen oh syvheen K kan urykas som K S P V där S är värsnisarean för flaskhalsen oh V volymen för flaskans kro. En vanlig ölflaska har följande ungefärliga dimensioner: Boen har radien r = 6 mm oh höjd H = 4 mm. Flaskhalsen har en höjd å H = 7 mm oh en radie å r = mm. Räkna med a densieen för luf är =.93 kg/m 3 oh dessuom behövs =.4 för våaomiga gaser oh amosfärsryke är P =.3 5 Pa. a) Besäm resonansfrekvensen för flaskan, d v s onen man hör när man blåser å flaskhalsens kan. b) Besäm resonansfrekvensen om de sår m öl i boen av flaskan. 4. Hur lång från väggen ska man laera en m jok erforerad räanel med S/S =. om man ska däma ljud vid Hz. (dvs, när hålighe + bakomliggande lufmassa fungerar som en Helmholzresonaor) 4
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 5. Beraka följande svängande sysem besående av en massa med en fjäder oh en dämare som usäs för en kraf F(. Följande daa gäller för sorheerna: M = kg, K = 4 N/m, R = Ns/m. Figur 7 E enkel dynamisk sysem a) Säll u differenialekvaionen för rörelsen (förskjuningen = u(). b) Hur inverkar graviaionen å rörelsen? ) Beräkna sysemes odämade oh dämade egenfrekvens, resekive. d) Besäm den komlexa förskjuningen ~ ( ) ~ e) Besäm överföringsfunkionen C ( ). dyn u om i F os( Re e (. f) Besäm sysemes mekaniska imedans Z(). g) Besäm sysemes svar, lösningen u(, för F( = oh begynnelsevärdena u() = oh u ( ). h) Besäm sysemes svar för F( = oh begynnelsevärdena u() = oh u ( ). i) Hur skulle man ren rakisk kunna åsadkomma begynnelsevillkoren i g) oh h)? j) Hur kommer svängningsrörelsen a ändras om man säer R =, allså ar bor dämningen? d Svar ka. a) f = 5 Hz b) T =. s ) fas = 6.7 ms d) v max vid =.5 +.n, där n = -, -,,,,... a max vid =.n, där n = -, -,,,,... v max vid =.667 +.n, där n = -, -,,,,... a max vid =.67 +.n, där n = -, -,,,,... 5
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF e) a max = a max = 9.87 m/s f) Usläkning vid = + n, försärkning vid = n g) u = Ae iω oh u = Ae i(ω-φ). a) z = 5e i.97 b) z = e i.84 ) e i/4 d) e i/ e) e iπ 3. a) f = 5 Hz b) f = Hz 4. l = 5 m. 5. a) Mu ( Ru ( Ku( F( b) Den förskjuer bara jämviksunken nedå med sräkan u s = F/K. ) = rad/s, d rad/s d) e) f) F u~ ( driv ) ( K M ) R i = u~ ( ) ( ) ( K M ) R i ( C dyn ( 4 ( K M ) R i ( Z( ) i 4 4 ) i ) i ) i i e g) u( sin, d d h) ( ) u e sin os, d d i) Begynnelsehasigheen i g) kan ges genom a illföra en imuls ill massan, ex genom e hammarslag. Begynnelseförskjuningen i h) kan ges genom a lyfa u massan sräkan u = m oh sedan släa den från vila. j) Vid odämad svängning kommer massan a svänga uan a förlora energi, d v s för allid. 6
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF. Endimensionell vågubredning Här kommer vågekvaionen för framför all longiudinalvågor a as fram. När vi har få fram vågekvaionen oh en lösningsmeodik kommer vi a behandla endimensionella longiudinalvågor i luf. Här behandlas även skjuvvåg oh böjvåg i fasa maerial. Härledning av vågekvaionen, longiudinalvåg i en sång Vi änker oss a vi skär u en lien del av en sång, frilägger denna oh säller u Newons rörelseekvaion. Sångbien har längden dx. Vidare har vi en ubredd massa er längdenhe = S, där är densieen oh S är värsnisarean. På den ena sniyan vid koordinaen x verkar en kraf F(x) oh å den andra sniyan vid x+dx verkar samma kraf lus en viss förändring av denna, F(x+dx), vilke kan Tayloruveklas oh aroximeras med F(x+dx) F+F/xdx. Förskjuningen av den vänsra sniyan beeknas u(x) medan förskjuningen av den högra sniyan då blir u(x+dx), som å samma sä aroximeras med u(x+dx) u(x)+u/xdx. dx F F+F/xdx x u(x) x+dx u (x)+u/xdx Figur 8 Friläggning av sångelemen Vi säller nu u rörelseekvaionen som säger a summan av kraferna ska vara lika med massan gånger yngdunkens aeleraion F ( ) F F dx ma () x Om dx är myke lie kan vi vidare aroximera förskjuningen av massans yngdunk med u(x+dx/) u(x). Allså har vi m dx () oh 7
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF u a u (3) Rörelseekvaionen kan nu förenklas ill F dx dx u (4) x F x u (5) För a komma vidare behöver vi nu yerligare en ekvaion som relaerar kraferna med förskjuningarna. Från Byggnadsmekaniken känner vi ill Hookes lag, som säger a sänningarna är roorionella med öjningarna E (6) där E är elasiiesmodulen oh värkonrakionen försummas. Vidare är sänning desamma som kraf er yenhe oh öjning desamma som förskjuning er längdenhe. Vi måse dok beaka a osiiv sänning är dragen, medan vi har sa krafen ryk, så vi får ha negaiv eken å krafen: F (7) S Töjning förhåller sig ill förskjuningen som u (8) x Den söka relaionen mellan kraferna oh förskjuningarna är således u F ES (9) x Om vi deriverar ekvaion (9) en gång med avseende å x oh soar in i ekvaion (5), så har vi sluligen vågekvaionen för en longiudinalvåg i en sång: u ES x u () u u x E () 8
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Vågekvaionen är ydligen en andra ordningens ariell differenialekvaion. För a lösa den behövs vå begynnelsevillkor oh vå randvillkor. De flesa vågekvaioner, så som ransversalvågen i en giarrsräng, en orsionsvåg i en svarv eller elekriska vågor, har denna form. Böjvågen i en balk har dok e anna useende, den är av fjärde ordningen. Ofa använder man sig av förskjuningshasigheen v = u/ i sälle för förskjuningen u. I sådana fall blir vågekvaionen isälle v v x E () efersom derivaan / verkar lika å alla ermer. Ekvaion (5) oh (9) blir i dea fall F x v (3) F v ES x (4) vilke ser lie snyggare u, då relaionerna är symmeriska (kom ihåg a = S). Dessa ekvaioner brukar kallas fälekvaionerna. Deriverar vi nu ekvaion (3) med avseende å x oh ekvaion (4) med avseende å, så har vi F x v (5) x F v ES x (6) oh om vi soar in den ena i den andra F x F ES (7) F x F E (8) så får vi vågekvaionen igen, men denna gång med krafen F som variabel. De är ydligen likgilig vilken variabel man använde, oh man använder lämligen den som lämar sig bäs för robleme i fråga. För vågor i fasa maerial är de vanligas a använda förskjuning som variabel. De olika variablerna brukar benämnas fälvariablerna. 9
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Vågubredning Men vad är då en våg? Figur 9 Vågubredning i en maa. Vi kan änka oss vå ersoner som skakar en maa, vi kallar dem A oh B. Vi änker oss vidare a B håller sin kan silla medan A gör en löslig rörelse uå vid sin kan. Resen av maan vill nu följa med i denna rörelse, med början med de unker å maan som är närmas A. Rörelsen forsäer sedan a srida sig med en konsan hasighe ills den når B. Om A forsäer a skaka sin ände u oh ned, oh rovar olika ak i skakande, olika frekvens, så kommer de finna a om man skakar snabb så blir ulsen, eller våglängden, kor oh om man skakar långsam så blir våglängden lång. Men oavse vilken frekvens de skakar med så kommer sridningshasigheen a vara densamma. Med andra ord, händelsen a röra sig uå srider sig längs maan med en viss hasighe som vi kan kalla, vågubredningshasighe. De känns naurlig a beror å maans vik oh hur hår A oh B drar i maan, hur sor sänningen är. Är massan sor, ung maa, ransoreras vågen långsam. Är sänningen sor går vågen snabb. Den iniiella förskjuningen kommer a reeeras vid en unk belägen en sräka x från A, oh dea sker efer x/ sekunder, de vill säga den id de ar för vågen a ubreda sig sräkan x. De är vikig a inse a ingen massa ransoreras av vågen, vad som ransoreras är endas möjligheen ill rörelse. Massan i maan rör sig endas u oh sedan ner igen. I exemle med maan ovan var förskjuningen uå medan vågubredningen går mellan A oh B, vilke är en ransversalvåg. I exemle med sången var vågubredningen oh förskjuningen rikad å samma håll, en longiudinalvåg. Nedan visas exemel å hur harmoniska ransversal- oh longiudinalvågor kan se u. I den övre figuren är våglängden, arikelförskjuningen w i y-led sam våghasigheen T markerad. I den undre figuren är våglängden, arikelförskjuningen u i x-led sam våghasigheen L markerad. 3
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF w u Figur Exemel å ransversalvåg oh longiudinalvåg. Hur ska man då beskriva vågubredningen? Vi åergår ill exemle med longiudinalvågen i en sång. Vi beskrev här förskjuningarna i en unk med u, där u både är en funkion av rumme oh iden. u u( x, (9) Om vi nu iar i en seifik unk å sången, säg x =, där vi driver sången med en besämd förskjuning u driv så har vi där endas en variabel u(, u ( () driv Vi har idigare sag a vad som karakeriserar en våg är a rörelsen forsäer a srida sig med en konsan hasighe, som vi kallar. Vid en annan osiion x =x å sången kommer därför samma idshisoria a inräffa som för drivosiionen, men försena å grund av gångiden x /. Vågformen förändras allså ine u x, udriv( x / ) () ( Hel allmän, för en godyklig osiion, har då förskjuningen redueras ill en funkion av en variabel x/. Vi har dok missa a vågen i allmänhe kan gå både framå, i osiiv x-rikning, som bakå, i negaiv x-rikning. Allså behöver vi lägga ill en bakågående våg, vilken kan beskrivas med en variabel + x/ u( x, u ( x / ) u( x / ) () 3
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Ovansående funkion kallas d Alembers lösning oh är lösningen ill vågekvaionen å den mes generella formen. Vi har sag a vågformen ine ändrar sig beroende å var oh när vi berakar den, oh a alla delar av vågen rör sig med samma hasighe. För en given idshisoria vid x =, så kan man få vågformen, de vill säga mosvarande x-beroende vid en given idunk (jämför med foografi), genom a överföra varje förskjuning vid x =, ill x-skalan med hjäl av hasigheen, se figuren nedan. Funkionerna för förskjuningens -beroende oh förskjuningens x-beroende kommer då a bli segelbilder av varandra. Maemaisk kan man se dea som en konsekvens av a - oh x-ermerna i argumene x/ har olika eken. u(x, u(x,) u(x, ) u(x, 3) Figur Tids- oh rumsberoende för våg. Vi har nu förs härle vågekvaionen oh sedan resonera oss fram ill hur lösningen ill denna bör se u. Genom a säa in den anagna lösningen i ekvaionen, så kan vi se om den sämmer. För enkelhes skull anar vi a vi endas har en framågående våg, för bakågående våg gäller samma sak. Ana 3
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF u( x, u ( x / ) u u u ( x / ) u ( / ) x x x u u u ( x / ) u ( x / ) (3) Här beyder derivaa med avseende å hela argumene, de vill säga u/ ( x/). Insa i vågekvaionen ger dea E u u (4) oh för a dea ska gälla så måse våghasigheen vara E (5) vilke verkar rimlig, då e yngre medium ger en långsammare våg, medan e syvare medium ger en snabbare våg. Harmoniska vågor Vi har nu visa a funkioner av formen u(x/) löser vågekvaionen oh a våghasigheen besäms med hjäl av elasiieen oh densieen. Ofa är de dok rakisk a begränsa sig ill harmoniska funkioner efersom varje godyklig funkion kan beskrivas med hjäl av harmoniska funkioner. Vi anar nu a drivningen är en harmonisk funkion u(, u ( uˆ os( (6) driv driv Om vi vill ha en lösning ill vågekvaionen å denna form behöver vi bara bya u mo x/. u( x, uˆ drivos( ( x/ )) (7) Genom a införa en ny erm k, som vi kallar vågal, kan skrivsäe förenklas k / u( x, uˆ driv os( kx) (8) Vågale k har ydligen samma beydelse för rumsberoende som har för idsberoende. Vi skriver u de båda frekvensermerna jäme varandra f (9) T f k (3) 33
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF De leder ill e enkel samband mellan våglängd oh frekvens f (3) Här är T eriodid oh våglängd. Figur. Periodid T oh våglängd. Andra vågyer i fasa maerial I exemle med sången ovan har vi borse från värkonrakionen. Om maeriale i sången är isoro med värkonrakionsale får vi korrigera vågekvaionen ill u u x E( ) (3) oh våghasigheen blir då isälle ( ) E (33) Skjuvvågor På samma sä som med longiudinalvågen ovan kan man sälla u mosvarande vågekvaion för skjuvvågor. Som innan använder man rörelselagen, fas nu i verikalled, oh skjuvsänning isälle för normalsänning. Vågekvaionen blir då w w x G (34) där w är förskjuningen i värrikningen 9 oh G maeriales skjuvmodul. Den har samma lösning som ovan, 9 Ofa använder man sig av v för a beskriva ransversell förskjuning, men här saras den ill hasighe i longiudinell rikning. 34
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF w w( x, wˆ os( ( x/ )) (35) med våghasigheen G (36) För isoroa maerial är våghasigheen för ransversella skjuvvågor lägre än för longiudinella rykvågor efersom E G (37) Böjvågor Vågekvaionen för böjvågor i balkar såväl som laor härleds med hjäl av elasiska linjens ekvaion. Den skiljer sig från de ovansående genom a den besår av fjärde rumsderivaan av förskjuningen isälle för andraderivaan som ovan 4 w w B S (38) 4 x Där B är balkens böjsyvhe, för rekangulär värsni 3 bh B EI E (39) oh S är balkens värsnisarea. I en lång balk är vågekvaionens (harmoniska) lösning w w( x, wˆ os( kx) (4) vilke är samma som för longiudinella vågor. När man säer in lösningen i vågekvaionen kan man lösa u våghasigheen f som f k B S Eh 4 4 (4) Vad man kan observera här är de vikiga resulae a våghasigheen är beroende av frekvensen, ju högre frekvens deso snabbare går vågen. Våghasigheens frekvensberoende kallas disersion oh sambande ovan kallas disersionsrelaion. För de idigare nämnda vågyerna är ju våghasigheen samma oavse frekvens. När de gäller våghasighe för böjvågor måse man skilja man mellan fashasighe f oh gruhasighe g. Den förra anger hur snabb informaion i vågen (fasen) forlanar sig, medan den senare hur energin forlanar sig. De förhåller sig så a g = f 35
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Vidare kan man observera a om frekvensen går mo oändligheen, vilke är fysikalisk möjlig, så går hasigheen okså mo oändligheen, vilke ine är fysikalisk möjlig då informaion ine kan färdas snabbare än ljuse. Dessförinnan säer dok eorin begränsningar i a anagandena hos balkeorin som ligger ill grund för elasiska linjens ekvaion ine längre gäller. Våglängden, som ska vara beydlig längre än balkens joklek, minskar med högre frekvens. Figur från boken Ljud oh vibraioner (Bodén m fl.) Egensvängningar i balkar Egensvängningar i balkar inräffar om balkens våglängd (uböjningsformen) sämmer överens med avsånde mellan söden, se figuren nedan. För en fri ulagd balk gäller a den lägsa egenfrekvensen inräffar om exak en halv våglängd ryms å balkens längd, L = /. Då är f k (4) Figur 3. Uböjningsform för lägsa egenfrekvensen i böjsvängningen. Från de uryken kan vi lösa u egenfrekvensen för den lägsa egenfrekvensen 36
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF f Eh (43) L Man får allså en egenfrekvens för svängning i horisonalled oh en för svängning i verikalled genom a bya u h från höjd ill bredd. Högre egenfrekvenser, den n:e, kan man få genom a muliliera f med n, där n =, 3, 4 osv, så a f n = f n. Mes rörelseenergi finner man dok vid den lägsa egenfrekvensen, så den är mes inressan a sudera oh läas a hia. För en konsolbalk ser svängningarna lie annorlunda u Figuren är från boken Ljud oh vibraioner (Bodén m fl.) oh visar olika svängningsformer som är kolade ill resekive egenfrekvens. Den vikigase är i regel den lägsa då den innehåller mes rörelseenergi. De kan dok vara vikig om någon drivfrekvens skulle sammanfalla med någon av egenfrekvenserna. Den här yen av svängningar behandlas mera uförlig i kursen Srukurdynamik som ges vid Byggnadsmekanikavdelningen. Endimensionell vågubredning i fluider De fenomen man framför all behandlar i akusiken är vågubredning i fluider, nämligen ljudvågor i luf. Med fluider menar man medier som ine ar u skjuvsänningar, de vill säga gaser oh väskor. Således gäller de ekvaioner som vi kommer a a fram här både för ljudubredning i luf oh i vaen. För a hia vågekvaionen skär vi u en infiniesimal srimla av fluiden, frilägger denna, säller u rörelseekvaionen oh ser vad som händer. Fluidelemene har längden dx. Vidare har vi en massa er volymsenhe, de vill säga densie. På den ena sniyan verkar e ryk (x) = F/S oh å den andra verkar samma ryk lus en viss förändring av denna, (x + dx) (x) + /xdx. Förskjuningen av den vänsra sniyan beeknas med vibraionshasigheen v gånger e lie idsillsko d, så u = v d, medan förskjuningen av den högra sniyan beeknas (v+v/xdx)d. De bör här åekas a med vibraionshasighe så menar vi den del av fluidens hasighe som flukuerar, vi ar allså ine med de konsana flöde från exemelvis vind, fläkar eller srömmande vaen. 37
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF dx +/xdx x v d x+dx (v+v/xdx)d Figur 4. Fluidelemen med jokleken dx. Vi säller u rörelseekvaionen för fluidelemene ( ) F F F dx ma x (44) Vi använder ryk isälle för kraf, så: S S dx S ma x (45) Om dx är myke lie så kan vi ana a massans förskjuning kan beskrivas enbar med u eller v d: m S dx (46) v a (47) Rörelseekvaionen kan nu förenklas ill x v (48) För a komma vidare behöver vi nu yerligare en ekvaion som kan relaera kraferna med förskjuningarna. I falle med en sång använde vi Hookes lag. När de gäller fluider, eller åminsone om vi begränsar oss ill gaser, så får vi använda den allmänna illsåndslagen för gaser. I falle med väskor kan man hia mosvarande samband, som vi dok ine ar u här. Vi börjar dok med a beskriva förändringen i vibraionshasigheen i relaion ill öjningen: u v (49) x x 38
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF I Hookes lag har sänningen s oh öjningen samma eken. Dea beror å a dragning är osiiv sänning medan ryk är negaiv. Mosvarigheen ill Hookes lag i luf måse därför ha negaiv eken. Vi kan då skriva: D (5) där D är bulkmodulen (eller volymsyvheen). Vad vi nu behöver är e uryk för denna. Från fysikkursens avsni om gasfysik känner vi ill a allmänna gaslagen vid adiabaisk komression kan skrivas som PV konsan (5) där P är ryk, V är volym oh är kvoen mellan värmekaaieerna = C /C v. För våaomiga gaser, som luf, är =.4. Vi använder här sor boksav för ryke P. Dea beror å a de här handlar om de oala ryke, som är ubygg ave konsan amosfärsryk P sam e vibraionsillsko ( som vi är inresserade av, P = P + (. Vi logarimerar oh deriverar nu gaslagen för a få e användbar uryk. ln( PV ) ln(konsan ln( P) ln( V ) ln(konsan P P V V ln( P) ln( V ) ln(konsan (5) Tidsdifferenialen d finns i alla led oh kan därför förkoras bor. Vidare kan vi aroximera de båda andra differenialerna dp oh dv med differenser P P V P V (53) V P V Man kan nu se a P = P( P() = ( oh a V/V. Således har vi ( ( (54) P Som en sisa aroximaion anar vi a man för små rykförändringar kan ersäa de oala ryke P i nämnaren med de konsana amosfärsryke P ( ( (55) P Vi flyar om så a vi kan idenifiera bulkmodulen En adiabaisk illsåndsförändring beyder, som ni ve från fysikkursen, a roessen sker uan värmeransor eller värmeförluser, de vill säga förlusfri i vår fall. Då man vill a hänsyn ill förluser, som i absorbener, änker man sig isälle isoerma illsåndsändringar, PV=konsan. 39
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 4 ) ( ) ( P D P (56) Om vi kombinerar ekvaion (49) med idsderivaan av ekvaion (56) så får vi den andra fälekvaionen x v P ) ( (57) Om vi soar in ekvaion (57) i (48), så har vi sluligen vågekvaionen för en longiudinalvåg i luf (i en väskevåg får vi använda en annan bulkmodul D): P x x v P x v x x v P v x (58) Som innan kan vi skriva vågekvaionen för den fälvariabel som vi vill använda i varje seifik fall. Dessa skriver vi dok ine u denna gång. Ur ekvaion (58) kan vi vidare idenifiera våghasigheen: x P (59) För luf kan vi nu lä beräkna våghasigheen. Lufens densie är =.8 kg/m 3 vid C oh normal amosfärsryk som är P =.3 5 Pa. Konsanen som relaerar värmekaaieerna för konsan ryk oh konsan volym, är =.4 för våaomiga gaser som luf. Således är ljudubredningshasigheen för luf: 347 m/s.8.3.4 5 (6) Lufens densie är dok beroende av emerauren, så om man vill vara noggrann får man modifiera formeln för ljudhasigheen: 73 33.4 73 ) ( T T T P (6) där T denna gång är emerauren i grader Celsius. Vanligvis räknar man dok med = 34 m/s, vilke mosvarar 8-9C. Om vi har en allmän fluid får vi isälle använda bulkmodulen D (6)
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF För sövaen vid C är bulkmodulen D =.8 9 Pa. Som idigare kan man använda andra fälvariabler än ryke i vågekvaionen, ill exemel arikelhasigheen v. Vanligen beskriver man ljude med ryke (x,, men arikelhasigheen används okså vilke vi snar ska se. Harmonisk lösning ill vågekvaionen i luf En harmonisk lösning ill vågekvaionen i luf uryk i ryk är ( x, ˆ os( kx) (63) för en våg som forskrider i osiiv x-rikning, eller uryk i komlex form ( x, ˆ e i( kx) (64) Om man vill a reda å vad arikelhasigheen är kan man använda rörelseekvaionen v x ik e i i( kx) v d x e i( kx) ik e i( kx) d (65) Dea är e vikig resula oh konsanerna framför uryke brukar få en egen beekning. Vi definierar därför den seifika akusiska imedansen Z, eller vågimedansen, som kvoen mellan de komlexa ryke oh den komlexa hasigheen i den framåskridande vågen: Z (66) v Imedansen är i allmänhe en komlex sorhe oh innehåller allså både amliud oh fas. För en endimensionell våg som färdas i osiiv x-rikning blir Z Z en reell sorhe Z v (67) För en våg som forskrider i negaiv x-rikning kan man visa a imedansen blir Z (68) v Imedans kan beskrivas som e mosånd ill rörelse, en hög imedans i medie innebär a de krävs e hög ryk för a åsadkomma en viss arikelhasighe. Mekanikens mosvarighe ill Var observan å a arikelhasigheen v(x, = u(x,/ skiljer sig från våghasigheen. Den förra är hasigheen i varje ögonblik för fluidelemene eller arikeln som befinner sig vid x oh den senare är hasigheen med vilken vågrörelsen ubreder sig. 4
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF imedansen är syvhe, allså kraf genom förskjuning eller mosånd mo deformaion. Vi kan okså se de som en överföringsfunkion som diskuerades i avsnie om SDOF. Vid ljudövergångar mellan olika medier är de förhållande mellan mediernas imedanser som avgör hur myke av ljudenergin som ransmieras in i de nya medie oh hur myke som reflekeras. Vid C oh normal lufryk (oh inge anna anges) brukar man räkna med imedansen för luf Z luf = 45 Pas/m oh för sövaen Z sövaen =.48 6 Pas/m. För fasa maerial brukar man isälle använda sig av mekanisk vågimedans, som definieras F Z (69) v Ljudryksnivå Vid rakiska ändamål är de osmidig a använda rykamliuden ˆ som må å ljudsyrkan. De är vanlig inom signalområde använda effekivvärde för rykfunkionen isälle, T ~ ( d (7) T Där ~ kallas effekivvärde eller rms-värde (roo-mean-square roen ur idsmedelvärde av ryke i kvadra. För en eriodisk signal, vilke vi kan ugå ifrån i akusiska sammanhang, så gäller a ~ = ˆ. Ine heller dea är så rakisk smidig efersom ljudryke har så sor sännvidd. Därför införde man idig måe ljudryksnivå som definieras som ~ ~ 5 log log L där Pa ref (7) ref ref L sår för ljudnivå oh index indikerar a de är ljudryksnivån, ill skillnad från andra som visas senare. I regel säger man lie korare ljudnivå oh då är de underförså a de är ljudryksnivån som avses då denna är vanligas använd. Enheen för ljudnivå är deibel, db. Ljudinensie oh ljudeffek Ljudinensieen definieras som ljudenergi er idsenhe som asserar genom en areaenhe vinkelrä mo ubredningsrikningen. Från grundkursen i mekanik får vi uryke för effek i varje ögonblik som ( F( v( (7) där ( är ljudeffeken i W, F( är krafen som verkar å areaenheen oh v( är arikelhasigheen. Ljudinensie är allså effek er areaenhe 4
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF d ( I( I( (73) ds S om energin är jämn fördelad över yan S. Vi kan skriva den momenana ljudinensieen som I( ( v( (74) Preis som med ryk oh hasighe är de mer användbar med idsmedelvärde av ljudinensieen I T T ( v( d (75) Tidsmedelvärde av effeken (om energin är jämn fördelad över S) är S T T ( v( d (76) Om vi begränsar oss ill en endimensionell vågrörelse som färdas i osiiv x-rikning så kan vi skriva ryke oh arikelhasigheen å komlex form enlig ( x, e ˆ i( kx) (77) oh v( x, ve ˆ i( kx) ˆ e i( kx) (78) Då blir idsmedelvärde av inensieen i en akuell unk I T T ( v( d T T ( d ~ (79) där ~ är rykes effekivvärde. Preis som man kan definiera ljudryksnivå definierar man okså ljudinensiesnivå enlig I I L log där W/m I Iref (8) ref Där I är absolubeloe av ljudinensiesnivåns idsmedelvärde. I ref är referenssorheen för ljudinensie. De går även a å mosvarande sä definiera ljudeffeksnivån som log L där W ref (8) ref 43
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Vikiga formler ka Rörelseekvaionen i fluider oh fasa medier är x v Vidare gäller för fluider sambande mellan ryk oh arikelhasighe v P x För fasa medier har vi mosvarande samband mellan kraf oh förskjuning u F ES x Vågekvaionen för longiudinella vågor i en dimension uryk i ljudryk är x där P är ubredningshasigheen för rykvågen i luf, =.4 oh P är amosfärsryk. I fasa medier är ubredningshasigheen för longiudinella vågor E. Även arikelförskjuning, arikelhasighe, öjning eller kraf kan användas isälle för ryk som fälvariabel i vågekvaionen. Den allmänna lösningen ill vågekvaionen är ( x, ( x/ ) ( x/ ) Den harmoniska lösningen å vågekvaionen å komlex form (för fysikalisk olkning, a realdelen av resulae är ( x, ˆ e i( kx) ˆ e i( kx) där ˆ oh ˆ är rykamliuderna för vågorna som ubreder sig i osiiv resekive negaiv rikning. är vinkelfrekvensen oh k är vågale. De ger f Seifik akusisk imedans definieras som Z v 44
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 45 För en framåskridande våg i luf (endimensionell ubredning i osiiv x-rikning) blir den seifika akusiska imedansen v Z För skjuvvågor kan man uryka vågekvaionen med den ransversella förskjuningen w w G x w där G För böjvågor i balkar oh laor blir vågekvaionen i en dimension 4 4 w S x w B där 3 bh E B för rekangulär värsni oh ubredningshasigheen (fasens) 4 S B k f Ljudenergi resekive ljudinensie I är S I v F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( v I Uifrån ljudryke definieras ljudnivån som Pa där ~ log 5 ref ref L Ljudeffeknivå oh ljudinensiesnivå beräknas uifrån resekive idsmedelvärde enlig ref L log oh ref I I I L log där ref = - W oh I ref = - W/m. Tidsmedelvärdena är T d v T S ) ( ) ( oh T d v T I ) ( ) ( För en våg som forlanar sig i osiiv x-rikning gäller a I ~.
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Ugifer ka. En on med frekvensen f = 5 Hz ubreder sig i luf. Beräkna a) vinkelfrekvensen. b) eriodiden T. ) våglängden. d) vågale k.. Ugå från följande maerialdaa. Ämne/maerial Densie [kg/m 3 ] E-modul / Bulkmodul [Pa] Luf (C).8 4 3 (P ) Sövaen (C) 998.8 9 Sål 78 9 Beong 3 6 9 Trä (i fiberrikningen) 5 9 Tabell 3 Densie oh syvhe för olika ämnen/maerial. Besäm våghasighe oh imedans (Z = /v för fluider, resekive Z = F/v för fasa medier) för vågor i följande medium: a) Luf vid C, b) Luf vid C, ) Sövaen vid C. d) Sål, longiudinell våg i irkulär sång med diameern 5 mm. e) Sål, kvasilongiudinell våg (värkonrakion försummas ine, =.3) i samma sång. f) Sål, skjuvvåg i samma sång. g) Longiudinell våg i räelare med värsnismå 55 mm. h) Beong (uan armering) med värsnie 44 mm. 46
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 3. Visa a den komlexa rykfunkionen ( x, e ˆ i( kx) ufyller den endimensionella vågekvaionen i luf genom a säa in i x (Ledning: sä in rykfunkionen i vågekvaionen oh derivera, använd a = f.) 4. Våghasigheen för en ransversell våg i en sräng är m/s. Vi änker oss en ike-harmonisk våg. Den ransversella förskjuningen vid osiionen x = är u(, =.( - 3 ) m när iden är mellan < < s, oh för alla andra idunker är u(, =. a) Ria förskjuningen som en funkion av iden vid osiionen x =. b) Ria förskjuningen som en funkion av läge vid iden = s. (ledning: använd d Alembers lösning för a uryka förskjuningen å formen u(x, ) Vad är de maemaiska uryke för förskjuningen som en funkion av iden vid läge x = m? Vad är förskjuningen vid denna osiion vid idunkerna =, =.5 oh = 3 s? d) Hur sor är den ransversella hasigheen vid x = m oh =.5 s? e) Hur sor är srängens luning vid x = m oh =.5 s? 5. För en lan våg som färdas i osiiv x-rikning är Z + =. Använd Newons rörelselag oh beräkna Z - för en lan våg som färdas i negaiv z-rikning. 6. Ljudinensie oh resekive idsmedelvärde för en lan våg definieras som I( x, ( x, v( x, oh I ( v( d T oh ljudinensiesnivån som T L I log I I ref där I ref W/m Besäm uifrån dea e samband mellan ljudryksnivå L oh ljudinensiesnivå L I. Ana en osiiv våg oh rumsemeraur. Vad händer om de båda förväxlas? =45 Pas/m. 47
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 7. En kolv i vänsra änden av e ihålig rör (vid x = ) svänger med en förskjuning som funkion av iden u( uˆos(, däruˆ. mm oh = 8 rad/s. En ljudvåg srids i röre, som har en värsnisarea är S =. m oh kan anas oändlig lång. a) Besäm v( x, för den endimensionella vågen som forlanas i röre uryk å komlex form. Hur sor är hasighesamliuden? b) Besäm ( x,, de vill säga den komlexa rykfunkionen för vågen. ) Besäm ljudnivån i röre. d) Besäm idsmedelvärde av ljudinensieen I för vågen. e) Besäm ljudeffeken som sänds u av kolven (in i röre. 8. En irkulär sålsång med diameern 5 mm åverkas av en drivande kraf i ena änden där x = så a F i (, Fdriv (, Fdrive, där F driv = kn oh = rad/s. Krafen orsakar en forskridande våg i x-rikningen. Besäm a) (x, b) (x, ) u(x, d) v(x, e) Besäm Z sål uifrån resulae i d). 9. Järnvägsräls å svenska sambanan har följande daa: värsnisarean S = 63.7-4 m oh yröghesmomene Ib = 45-8 m 4. Maerialdaa för sål är E = GPa, =.3 oh = 78 kg/m 3. Beräkna böjvågens våglängd vid frekvenserna Hz, khz oh khz. (Exemel 6-8 från boken Ljud oh vibraioner Bodén m fl.). En sållaa med jokleken mm svänger genom a böja sig oh sänder u ljud. För vilken frekvens är våghasigheen samma för luf som för böjvågen i laan? (Här kan de vara bra a snegla å avsnie om koinidens i laboraionsanvisning.) Över denna frekvens kallas de suersonisk område.. Beräkna koinidensfrekvensen för en gisskiva med koinidensal 3 m/s oh jokleken 3 mm. 48
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF. Järnvägsräls moneras å unga beongsyllar. Syllarna laeras i sårbredden med e inbördes avsånd a å ungefär.65 m. Varje sylls massa medför a ubredningen av de böjvågor som genereras då åges hjul rullar å rälen försvåras. Vid de frekvenser där halva böjvåglängden i rälen är lika med e hel anal syllavsånd a kan dok böjvågorna sridas å sora avsånd från källans. Vilken är den lägsa av dessa frekvenser? (Exemel 6- från boken Ljud oh vibraioner Bodén m fl.) 3. I gamla wesernfilmer kan man se hur ågrånarna lyssnar efer åge genom lyssna å rälsen. Fungerar dea verkligen i verkligheen? 49
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Svar ka. a) = 34 rad/s b) T = ms ) =.68 m d) k = 9.4 rad/m. a) = 344 m/s Z = 45 Pas/m b) = 33 m/s Z = 48 Pas/m ) = 48 m/s Z =.48 6 Pas/m d) = 56 m/s Z = 77.6 3 Pasm e) = 483 m/s Z = 74. 3 Pasm f) = 34 m/s Z = 48. 3 Pasm g) = 447 m/s Z = 34.9 3 Pasm h) = 336 m/s Z =.4 6 Pasm 4. 5
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF ). u(, u(,) u(,.5).5 u(,3) d) v(,.5) =.5 m/s e) (,.5) = -.5 rad ( ) ( ) 3, annars [m] 6. L I = L.6 db, allså försumbar skillnad! 7. a) b) v( x,.96 e ( x, 38.9 e i( kx ) i( kx ) m/s Pa ) L 3 db d) I. 87 W/m e) 8. 7 mw 8. a) ( x, 59 e b) ( x,.55 e ) u( x,.645e i( kx) i( kx) kpa i( kx ) srain mm d) v( x,.9 e i( kx) mm/s e) Z = 77.6 3 Pasm 9. b = 4. m vid Hz, b =.34 m vid khz oh b =.4 m vid khz. f = 6 khz. f =.5 khz. f = 7 Hz 3. Ja, de fungerar i verkligheen. Ljude färdas längre sräka genom sålrälen dels efersom maerialdämningen i såle är lien oh dels för a vågubredningen är endimensionell ill skillnad från den sfäriska ubredningen i luf. 5
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF 3. Reflekion oh ransmission Tidigare har vi behandla vågubredning i homogena medier uan a gå närmare in å vad som sker i övergången från e medium ill e anna, eller vad som sker vid ränderna. Dea ska vi närmare gå in å här. Vi kan ill exemel änka oss en sång av sål som övergår i brons, eller en sång som är fri i ena änden oh fas insänd i den andra. Vi kan okså änka oss en ljudvåg i luf som faller in mo en beongvägg eller vaenya. Reflekion vid rand Vi börjar med a hel allmän fundera över vad som kommer a ske när en våg når fram ill en ideal rand. Vi änker oss en våg i form av en uls av godyklig form oh a förskjuningen som vågen orsakar kan beskrivas med en hasighesfunkion v(x,, som i bilden nedan ( = ). Innan vågulsen har nå fram ill randen så kan vågen beskrivas enbar med en framåskridande vågfunkion v(x, = v +( x/). Vågulsen forsäer sedan framå oh når fram ill en hård rand ( = ). Med en hård rand menas här en sel vägg av e maerial som har myke sörre imedans än lufen oh därför reflekerar all ljudenergi. Vid en övergång mellan vå medier måse vissa randvillkor vara ufyllda. De är randvillkor i ryk (eller kraf oh de är randvillkor i hasighe (eller förskjuning). Genom a ia å en infiniesimal smal bi med randen i mien kan man se a ryke (eller krafen) å båda sidorna om randen måse vara lika oh a hasigheen (eller förskjuningen) i de båda medierna å båda sidor om oh inill randen måse vara lika. Vi kallar de koninuie i ryk oh hasighe. Dea måse gälla vid alla ögonblik. Vi uryker de som ( x, ( x, () oh v( x, v( x, () där x = - innebär reis vid randen i de vänsra medie oh x = + innebär reis vid randen fas å den högra sidan. I falle där de ena medie är en sel ya ve vi a den är orörlig, de vill säga v(x= +, =. För en ljudvåg som faller in mo en sel vägg gäller allså a arikelhasigheen reis inill väggen måse vara noll vid samliga ögonblik. 5
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF v( x/ ) Figur 5. Reflekion vid hård rand. För a få dea randvillkor a gå iho så måse vi lägga ill en bakågående våg med negaiv eken som är lika sor som den framågående vågen, v( + x/) = v -( + x/). Den bakågående vågen är då den reflekerade vågen. Hela hasighesfäle kan allså beskrivas som v( x, v ( x/ ) v( x/ ) (3) Om nu hasighesrandvillkore ska vara ufyll måse hasigheen vara noll vid randen, allså v (, v ( v ( (4) v ( v ( (5) så a v( x, v ( x/ ) v( x/ ) (6) Om vi ugår från en harmonisk vågfunkion som vi uryker å komlex form med den framåskridande oh den bakåskridande ermen v( x, vˆ e i( kx) vˆ e i( kx) (7) Genom a brya u amliuden oh idsdelen av den harmoniska svängningsrörelsen kan vi skriva dea som ikx ikx i e e e v( x, v (8) ˆ Med Eulers former kan denna relaion skrivas om som 53
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF i i( / ) kxe ˆ v sinkx e v ( x, ivˆ sin (9) De inressana är a vi har e vågmönser som är en funkion av läge. Vid de osiioner där sinusfunkionen är eller kommer rörelsen a vara sor medan i de osiioner där sinusfunkionen är så kommer inge a röra sig. Vi har en sående våg, ill skillnad från en forskridande våg. Vid en ir eller skar brygga reflekeras de infallande vågorna myke väl, oh e sående vågmönser ukommer. När man har mer än en rand (i e endimensionell fall) kan de sående vågmönsre assa exra bra med ränderna oh man får resonans, vilke vi srax åerkommer ill. För a a reda å var hasigheen är maximal oh var den är noll så löser vi ekvaionen ( x ) sin kx () vilke har lösningen kx n () n n n x () k där n =,,,... osv. Minusekne kommer av a vi befinner oss ill vänser om väggen, allså x <. Som väna, oh som randvillkore föreskriver, är arikelhasigheen allid noll vid x =, men okså vid e jämn anal halva våglängder u från randen. En unk där svängningen allid är noll kallas nod. Mi emellan hasighesnoderna, där sinusfunkionen är maximal, är svängningen maximal, vilke kallas buk. Dessa ligger vid x n (3) 4 där n =,,,... osv. 54
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Figur 6. Hasighesnoder oh bukar Dea är e vikig resula som vi kommer a se senare. De visar sig a om vi ska försöka absorbera ljudvågen som kommer in mo en hård vägg med en absorben, ill exemel en mineralullslaa, så ska vi försöka laera den i en hasighesbuk, där mes rörelseenergi kan överföras ill absorbenen, allså /4 u från väggen. I en hasighesnod kommer ingen rörelseenergi a överföras. Mer om dea i kaile om rumsakusik. Vad innebär då dea för ryke? Med hjäl av imedansen i båda rikingarna kan vi skriva rykfunkionen som vˆ ( x, e i( kx) vˆ e i( kx) vˆ ikx ikx i e e e (4) som okså den kan skrivas om med Eulers ekvaioner ikx ikx i i e e e ˆ os( kx e vˆ ( x, ) (5) oh seiell vid randen, där osinusermen blir i (, e (6) ˆ Vid randen har allså rykfunkionen e maximum, en rykbuk, där amliuden är dubbel så sor som för den infallande vågen. Tryknoder hiar vi när vi löser ekvaionen os( kx ) ( x ) (7) kx n (8) 55
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF n n x n (9) k k 4 där n =,,,... osv. Maximum, rykbukar, hiar vi däremellan vid x = /,, 3/ osv. Vi kan okså observera i figuren a randvillkore för ljudryke vid en hård rand är x x () De läses rumsderivaan för rykfunkionen, insa x =, är noll. Allså, luningen för rykamliuden i Figur 7 är noll vid den hårda yan. De kan okså visas med hasighesrandvillkoren oh rörelselagen. Dea har en myke vikig rakisk konsekvens vid mäning av ljudnivå i närheen av hårda yor. Om man har en infallande våg där man ska mäa ljudnivå med en mikrofon (som mäer ljudryke som faller in mo en hård ya, ill exemel en husvägg, så kommer märesulae a bero å hur lång från yan man mäer. Säer man mikrofonen inill yan mäer man en rykamliud som är dubbel så sor som endas den infallande vågens (de senare kallas frifälsvärde). Man kan se de som a den infallande vågen inerfererar konsrukiv med den reflekerade. Figur 7. Tryknoder oh bukar. 56
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Två hårda randyor Nu ska vi undersöka vad som händer om vi säller vå hårda yor mi emo varandra, en vid x = oh en vid x = L. Forfarande begränsar vi oss ill endimensionell vågubredning. Vi säller åer u vågekvaionen med ryk som fälvariabel x () Vi ansäer en lösning besående av en harmonisk idsberoende fakor oh en lägesberoende fakor å den mes generella formen i ( x, ( x) e () Säer vi in denna ansas i vågekvaionen får vi ( x) e x i ( x) e i (3) ( x) k x ( x) (4) Dea kallas Helmholz ekvaion i en dimension oh är en ordinär andra ordningens differenialekvaion. Dea gör robleme enklare a arbea med, oh ofa används denna ekvaion direk. Differenialekvaionen har den allmänna lösningen ( x) Asin( kx) Bos( kx) (5) Vi säer nu in för de givna randvillkoren a rumsderivaan för rykfunkionen ska vara noll vid vänsra randen x x (6) x x Ak os( kx) Bk sin( kx) Ak os() Bk sin() Ak x (7) A oh därför blir ( x) Bos( kx). Rumsderivaan ska vara noll okså vid den andra randen 57
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF x xl Bk sin( kx) xl Bk sin( kl) (8) vilke innebär a sin( kl ) (9) n L L knl n kn n (3) L k n n n där n =,, 3, De vi har räkna u är allså de k n resekive n för vilken vågekvaionen har en lösning som är skild från noll. Dessa k n oh n svarar mo egenfrekvenserna f n n n L (3) Dea innebär allså a vi har resonans vid dessa frekvenser, f, f, f 3 osv. Preis som för sdofsyseme så innebär resonans här a om vi sänder u ljud i rumme med en drivfrekvens som är lika med någon av rummes resonansfrekvens så kommer syseme rumme a försärka den signalen. De kan man enkel undersöka själv genom a sjunga med olika oner i e kakla badrum. Vissa oner kommer a ljuda myke högre oh ydligare än andra. När man rikar en sådan on har man hia en resonansfrekvens, eller egenfrekvens. För varje egenfrekvens hör en form å amliudkurvan som är lägesdelen av lösningen å vågekvaionen för resekive f n. Den kan vi uryka som n ( x) B os x (3) L där B är den konsana amliuden. Den fullsändiga rykfunkionen är allså n f e i n ( x, Bos x (33) L där vi lag ill den harmoniska delen med f n. I figuren nedan ser vi de re försa egenmoderna som svarar mo de re lägsa egenfrekvenserna. Våglängden för den lägsa egenfrekvensen blir = L. 58
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Figur 8. Egenmoder, eller svängningsformer, för ryk vid egensvängning. Vi kan se mosvarande modformer för hasighesfunkionen, fas förskjuen så a den allid är noll vid ränderna. Hasighesmoderna är likadana som egensvängningarna i en sräng. Figur 9. Egenmoder för hasigheen vid egensvängning. 59
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Sex hårda randyor Om vi löser samma roblem i re dimensioner, i e rum med skokarongsform oh dimensionerna L, B oh H, kommer egenfrekvenserna a bli f n, n, n x y z nx L ny B nz H (34) Här kan n x, n y oh n z ana alla helalsvärden. Nu är modformerna ine bara endimensionella i någon av rikningarna (endas e n ) uan vågorna kan även ubreda sig diagonal i någo lan (vå s n ) eller uefer rymddiagonalen (samliga re n ). Figur 3. Vågubredning för diagonal svängningsform. Egenfrekvenserna uräder gles i början, vid de låga frekvenserna, men blir äare oh äare ju högre u i frekvens man kommer. De innebär a ju lägre i frekvens man iar, deso mera kommer ljudnivån a variera för olika osiioner i rumme beroende å om man hiar en nod eller en buk. För högre frekvenser är de äare mellan egenfrekvenserna, både i frekvens oh i fysisk avsånd oh ljudfäle kan anses som mera slummässig. Egensvängningar i balkar oh laor behandlas i e ege avsni senare. 6
Ljud i byggnad oh samhälle / VTAF Reflekions- oh ransmissionsfakorer Ovan har vi ugå från sela väggar som reflekerar all inkommande ljud. Men i rakiken kommer allid en viss andel av ljudryke oh ljudinensieen a ransmieras genom väggen. Hur myke som ransmieras avgörs av förhållande i imedans mellan de båda medierna, som vi snar ska se. När en ljudvåg räffar en skiljeya mellan vå medier, ex luf oh vaen, kommer en del av den infallande vågens effek a reflekeras oh en del a ransmieras. I Figur 3 berakar vi skiljeyan mellan e medium med vågimedansen Z = oh e medium med vågimedansen Z =. Figur 3. Infallande våg mo skiljeya mellan vå olika media. I medium har vi en lan våg ( x, ˆ e i i i( kx) (35) som faller in vinkelrä mo en lan skiljeya vid x = (index i sår för infallande) oh en reflekerad våg (index r) ( x, r ˆ e r i( kx) (36) Toal ljudryk i medium är allså våg o i r. I medium har vi enbar en ransmierad lan ( x, ˆ e i( kx) (37) När vi berakar hasigheen för vå ariklar reis vid vänser om randen o(, oh reis ill höger om randen ( +, så måse de vara lika för alla idunker, vilke kallas koninuie i ryk ˆ i ˆ ˆ (38) r Med hjäl av imedansen kan vi uryka vågorna som hasigheer 6