--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip ilder ritade av Veronica Wåtz. Givet: k () L Sökt: Lösning: et står att ska beräknas med hjälp av energimetod baserad på komplementär elastisk W tot energi. Castiglianos :a sats, F.S..9, s. () en komplementära elastiska energin behövs, och för raka linjärelastiska balkar gäller att: x N b T v F.S. 6., s. 67 W balk dx EA EI GA GK EK () x Obs! Notera att det här bara är komplementära energin i balken, glöm inte fjädern! I det här fallet har vi bara böjmoment. (tvärkraftstermen är i regel försumbar för låga tunna balkar) x b W balk dx (4) x EI Snabb repetition från grundhållfen, finns i F.S. 6.. d x dx dt x q x dx q T konstant linjär. Obs! Lutningen knycker till vid punktkrafter såsom fjädern. Inom områden där varierar linjärt fås en enkel integral, som finns löst som F.S. 6., s. 67. x x x x A C W balk A A C C () Område A- Område -C Notera att L i F.S. står för längden på området, inte längden på balken.
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se Fjäderns komplementära energi måste också tas med i den totala komplementära energin. Notera att W W fjäder W om det är linjärelastiskt. N N N L (6) k EI Nu ser uttrycket för totala komplementära energin ut såhär: L N L L EI (7) W tot W balk A- W fjäder W balk -C A A C C ags för lite grundhållf! Frilägg och ställ upp ekvationer för global jämvikt: Kraftjämvikt N (8) omentjämvikt NL (9) (Samtidigt identifierar man att A, C.) Global jämvikt gav bara ekvationer, men vi har obekanta,, N, dvs. det är statiskt obestämt. Här kan minsta arbetets princip användas. Välj ut en av dessa storheter som den statiskt obestämda. Eftersom exempelsamlingen valt i sin lösning tänkte jag välja N. rincipen är detsamma; lös ut ett uttryck för N ur storheter. W N tot, där W tot bara får innehålla N och kända
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se Eftersom momenten A och C redan är identifierade och uttryckta i bekanta storheter är det bara kvar att uttrycka i något vi kan jobba vidare med. et görs enklast genom att snitta upp och se vad den blir. Från momentjämvikt i del ser man att () (7) L N L L 4 N L () del del fjäder Vi vet redan att NL från tidigare jämvikt, så sätt in det *räkna räkna* L N L W tot 6 NL (bara N och kända storheter kvar) () W N L tot L NL N Nu har vi ett uttryck för N att sätta in i (). L W tot 6 L L L L 6 L L 4EI () (4) Äntligen! Ett uttryck för W tot L () och (4) EI W tot som kan användas i Castiglianos :a sats. Kom ihåg att kolla dimensionerna/enheterna! Nmm Nm ok! 4 N m m Nm
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se. Fjäderelement med OF/Nod ilder ritade av Veronica Wåtz. Givet: aterialdata : k k k k4 k k () andvillkor: F F 4 () Notera att för varje nod, för varje frihetsgrad, är antingen förskjutningen eller kraften bestämd. Fria noder, t ex nr i det här fallet, kan ses som noder med pålagd kraft, där kraften helt enkelt råkar vara. å alla platser där förskjutningen är, finns det en okänd reaktionskraft. Notera även att stänger och fjädrar är exakt samma sak, fast för stänger använder man fjäderkonstanten k Sökt: esterande okända förskjutningar och reaktionskrafter i systemet. EA L. Lösning: Vi vill kunna använda F K. Systemet består av 4 noder, och eftersom varje nod bara kan förflytta sig i sidled har vi bara frihetsgrad per nod (problem i ). 4 4 skvallrar om hur långa de globala vektorerna blir, samt sidlängden på den kvadratiska styvhetsmatrisen. F k k k k4 k k k k4 F k k k k 4 k k k k 4 () F k k k k 4 k k k k4 F4 k4 k4 k4 k44 4 4 k4 k4 k4 k44 F K () Jämför med fjäderekvationen F k. Frihetsgrad = degree of freedom (OF) på engelska. 4
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se Vi behöver uppenbarligen den globala styvhetsmatrisen, vilket börjar med att man tar fram styvhetsmatriser för varje enskilt element. recis som för globala systemet har elementet sin egen ekvation, Fe Ke e. (4) Elementstyvhetmatrisen beräknas allmänt sett med den enkla formeln K e, i ki. () En förklaring till varför den ser ut såhär kan fås genom att skriva ut (4) lite mer i klartext: F k d d F k d d e, i e, e, e, i e, e, Om d ökar lite, dvs. nod rör sig lite åt höger, kläms fjädern ihop. Kraften man måste lägga på nod för att klämma ihop fjädern är förstås ki d. Samma resonemang gäller för d, men en rörelse åt höger i nod betyder utdragning, därav motsatt tecken. Gör ett liknande tankeexperiment för kraften i nod för andra raden i elementstyvhetsmatrisen. Eftersom alla fjädrar i det här systemet har samma fjäderkonstant kommer elementstyvhetsmatrisen se likadana ut. Elementen innehåller dock olika noder, vilket kommer in vid assembleringen. Som exempel kan vi ta element, som innehåller de globala noderna och 4. ela upp styvhetsmatrisen och sätt in dem på motsvarande plats i den globala styvhetsmatrisen. et här är alltså element :s inverkan på hela systemets beteende. Hela globala styvhetsmatrisen fås om man summerar alla elementens inverkan, det är det här som kallas assemblering. K k k k k (7) Ke, Ke, Ke, Ke, (6) Notera att elementets nummer inte påverkar något, det är bara nodernas numrering som avgör var värdena ska sättas in.
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se K k k (8) ed styvhetsmatrisen känd och insatt i () får vi: k 4 (9) Kolla på alla rader där förskjutningarna inte är. et ger lika många rader, dvs ekvationer, som okända förskjutningar. Om förskjutningen är okänd från randvillkoren, så är kraften känd (värt att nämnas igen). et här ger ett ganska enkelt ekvationssystem. k k k k Notera att det här fungerar som om vi skulle stryka alla rader där kraften är okänd, och alla motsvarande kolonner. Här stryks raderna och 4, och därmed även kolonnerna och 4. Ekvationssystemet () kan reduceras så att man kan lösa ut alla okända frihetsgrader. () k k red red red K F red red red 4 F K 8k k () Glöm inte att invertera k när förskjutningarna löses ut! När frihetsgraderna är kända är det bara att utföra matrismultiplikationen med styvhetsmatrisen för att få ut krafterna. F K 4 k 8 k ½ ½ () Notera att global jämvikt är uppfyllt F i. 6
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se. Fjäderelement med OF/Nod ilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. Givet: aterialdata : k k, k k, k k () andvillkor (se bilden under för nodnumrering): F F 4 6 recis som i uppgift., och alla andra uppgifter, så är vet man alltid antingen förskjutning eller pålagd kraft för alla frihetsgrader. Sökt: Förskjutningar och reaktionskrafter. Lösning: En mycket bra start är att döpa systemets noder och frihetsgrader så att man kan referera till dem. Vi döper sakerna såhär: FE kommer att fungera oavsett hur man väljer att numrera, men smart numrering av noderna ger smalare diagonal i styvhetsmatrisen efter assemblering, vilket gör den snabbare att invertera. För att bygga en tegelvägg behövs först tegelstenar, så vi börjar med elementstyvhetsmatriserna så att vi har något att bygga den globala matrisen med. Till skillnad från uppgift. kan noderna förflyttas i både x- och y-led nu. et blir lite mer att göra, men det är inte svårare än att följa formlerna från formelbladet. 7
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se Från formelbladet: Eftersom vi fått längder givna borde det undre alternativet enklast att använda. För element : L 6a 9a a l 4a a 4 m a a () l l m 6 a l m m 9 () K e, 6 6 9 9 a a k k a a 6 6 9 9 (4) å samma sätt: a a a a k, Ke, k a a a a k, Ke, k a a () (6) 8
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se Assemblering! Stycka upp styvhetsmatrisen som i uppgift.. Eftersom det är flera frihetsgrader nu per nod så får varje nod en egen matris istället för bara ett litet element, principen är dock detsamma. lacera de fyra delarna på motsvarande noder som elementet innehåller. Element tre innehåller t ex noderna och, och därför hamnar bitarna som här nere i matrisen till höger. 6 6 9 9 6 6 6 6 9 9 k 6 K k 9 9 9 9 Som vanligt i FE tar vi fram den här: F K 6 6 9 9 k 6 4 9 9 6... så att vi kan reducera den till... k 9 7 k 9 9 7k 4 (7) (8) Sätt in (8) i (7) och utför multiplikationen så ramlar reaktionskrafterna ut. 4 6 6 6 9 9 7 k 6 4 9 9 7 k 4 7 4 7 4 7 6 4 7 9