2002-01-18:anek ENAMEN I HÅFASHESÄRA FÖR I1 MME170 18 januari 2002 08.5 1.5 (5 timmar) ärare: ars Sonnerup, tel: 070 850689 Maimal poäng är 18. För gokänt krävs 9 poäng. Betyg ges sammanvägt me el A i kursen (statik). AMÄN Hjälpmeel 1. äroböcker i hållfasthetslära och mekanik. 2. Hanböcker, formelsamlingar, elementarfall och sammanfattningsbla i hållfasthetslära, matematik och fysik. Dock ej sammanfattningar me lösta eempel.. Orböcker och språkleikon. Alla metagna böcker måste vara skrivna på svenska, engelska eller tyska; e får innehålla normala marginalanteckningar (inklusive omskrivningar av ingåene formler), men inga lösningar till problemuppgifter. ösa anteckningar, varken hanskrivna eller tryckta, är inte tillåtna. Unantaget är uppkopierae elementarfall,. Miniräknare me tangentbor och sifferfönster i en enhet (periferienheter, såsom t.e skrivare och banspelare, tillåts inte). Vi tveksamma fall: kontakta skrivningsvakten innan hjälpmelet använs. ärare ars Sonnerup, tel 070 850689 ösningar Anslås på anslagstavlan vi ingången till institutionens lokaler (2a våningen i söra trappuppgången, nya maskinhuset) månagen en 21/1. Betygsättning En fullstänig och korrekt lösning på en uppgift ger poäng enligt va som anges på uppgiftslappen. Smärre fel leer till poängavrag. Ofullstänig lösning, många fel, eller metofel leer till att uppgiften inte ger något poäng. Normalt görs en helhetsbeömning av skrivningen när poängsätts; en snäll beömning av en lösning kan kompenseras av en hårare beömning på en annan. Maimal poäng på tentan är 18 och betyg på enna el av kursen ges enligt följane schema: ÖSNINGAR poäng betyg poäng betyg poäng betyg 9.0 1.0 17 5.0 10. 1. 18 5. 11.5 15.5 12.8 16.8 Resultatlista Anslås på samma ställe som lösningarna senast freagen en 1/2 2002. Granskning Månag en /2 kl. 12.00. lats meelas på kursens hemsia samt på rättningslistor (p.g.a. ombyggnation i M-huset) änk på: Uppgifterna är inte ornae efter svårighetsgra välj ut e uppgifter u tycker att u behärskar och börja me essa. Ange varifrån u hämtar e ekvationer som använs. Om u gör antaganen utöver va som anges i uppgiftsteten: förklara essa. Beöm om möjligt rimligheten i ina lösningar. Om u tycker resultatet verkar orimligt, men inte kan hitta några fel i lösningen eller tror att u räknat rätt, så påpeka etta. Kontrollera imensionen i ina svar en lösning me fel imension i svaret ger inga poäng. Skriv så att en som ska rätta kan läsa ( v s skriv tyligt) och ge förklaringar så att beräkningarna går att följa. Rita tyliga figurer; et måste framgå va som är positiva/negativa riktningar på krafter, förskjutningar, etc.
UGIFER 1. En balk me längen 2 och böjstyvheten EI, är fast inspän i bägge änar och belasta me en utbre last enligt figur 1. Bestäm stömomenten och! (p) M A M B M A M B vilket, me integrationskonstanterna (6) och (7) ger M -- ( 5 15 2 + 12 2 2 ) (9) 0 vilket, me 0 och 2 och moment efinierae enligt figur 1 (omvänt mot va som anges som positivt moment i Gere imoshenko) ger: 2 M A M B ----- 15 (Alternativt löses uppgiften me hjälp av elementarfall) (10) figur 1 Dubbelsiigt fast inspän balk belasta me en utbre, linjärt varierane last. ösning 1: asten kan beskrivas me ekvationen q ( ) q 0 1 -- (1) me -korinaten efiniera från vänster till höger (reservation för teckenkonventioner). Elastiska linjens ekvation: Ranvillkor: EIv IV q q 0 1 -- Integrering ger 1 v ----- EI 5 ----- + q ----- A---- B 2 + + ---- + C + D 120 0 2 6 2 (2) () v( 0) v' ( 0) v( 2) v' ( 2) 0 () De två första ranvillkoren i () ger irekt att C D 0 i (). Resterane två ranvillkor i () ger (5) ÖSNINGAR 2. En stång, me längen, arean A och gjor av ett material me elasticitetsmoulen E och värmeutvigningskoefficient α, hänger vertikalt me ena änen vilane på änen av en konsol, me längen 2 och böjstyvheten EI, enligt figur 2. Vi temperaturen 0 är konsolen helt horisontell. Den vertikala stången utsätts nu för en temperaturföränring,. Beräkna änneböjningen av konsolen, δ, p g a enna temperaturlast! Antag små eformationer och försumma inverkan av friktion mellan stång och konsol. (p) EI 2 a,e,a, figur 2 Vertikal stång vilane på en konsol och utsatt för en temperaturhöjning. ösning 2: För konsolen belasta me en punktlast i änen gäller 8 A -- q 120 0 8 B --q 120 0 2 Böjmomentet ges av M EIv'' (6) (7) (8) 8 δei δ -- (11) EI 8 Förlängningen av stången uner temperaturlast ges av δ α( ) (12) 2 (5)
Förlängningen av en stång utsatt för en punktlast i änen ges av δ (1) EA Den kraft som verkar på stångänen ges av (11). Kombination av (11) och (1) ger δei δi δ ---- 8 - EA 8 2 A Kompatibiliteten ger att δ δ δ vilket, me (12) och (1) ger δi δ α( ) - 8 2 δ A (1) (15) 8Aα( ) (16) 8A 2 + I. Den fritt upplaga balken i figur a har ett rektangulärt tvärsnitt enligt figur b. Den belastas me en vertikal last i sektionen och en horisontell last i sektionen 2. Båa lasterna har magnituen. Beräkna största böjnormalspänningen i balken! (p) Notera att stöen ritats som s k gaffelstö i perspektivritningen. Detta betyer inget annat än att e beter sig som fritt upplaga ( triangel- och rull- ) stö i såväl vertikal som horisontell riktning. a z b z h/2 y h c figur Fritt upplag balk belasta me vertikal och horisontell punktlast ÖSNINGAR 2 R A, R, (17) B -- M y -- ( ) Horisontell last: 2 R A --, R, (18) B M z ----- Yttröghetsmomenten är H I y --- H H H, I (19) 2 12 2 z ----- H 12 --- 2 H 96 I tvärsektionen fås maimal böjnormalspänning i punkten y H, z H 2. Denna ges i sektionen mellan lasterna från (17), (18) och (19) som σ ma M z M y y - z I z I y ----- H -- H H --- --- H --- 2 96 2 H ( + ) maväre i intervallet fås för kanske kan inses irekt). Här är σ ma 20 H (20) (vilket (21). En ael me soli cirkulär tvärsektion är belasta me ett vriane moment,, vilket angriper mitt på stången, se figur. Bestäm vi vilken magnitu på stången börjar plasticera (1p), vi vilken vrivinkel etta inträffar (1p), samt et maimala vrimomentet ma en genomplasticerae stången kan ta upp (1p). Stången är av ett material me skjuvmoul G och skjuvflytgräns. τ y 2 ösning : Det inses att et maimala böjmomentet måste finnas i spannet mellan lasterna (eventuellt kan man inse mer än så, se nean). De störeaktioner och böjmoment som fås i sektionerna mellan lasterna ges av: Vertikal last: figur Soli ael utsatt för vriane moment,. ösning : Friläggning ger snittkrafterna (5)
M va M vb 2 (22) Maimal skjuvspänning i tvärsektionen fås av 16M v 8 τ ma - (2) π -- π (etta gäller i hela aelns läng). a) Vi begynnane plasticering är τ ma τ y, vilket, me (2), ger: 8 π τ τ y -- y (2) π -- 8 b) Vrivinkeln vi begynnane plasticering fås ur ( 2) π τ y 2 2τ y φ ---- (25) GI p 16 G π ----- G c) värsnittets maimala vrimomentkapacitet ges av 2πr τ y M vp ---- Kombination av (26) och (22) ger π τ y ma 2M vp -- 6 (26) (27) 5. Den tunnväggiga, slutna cylinern i figur 5 är utsatt för ett inre övertryck, p, ett vriane moment, πp, samt en ragane aialkraft πp 2, se figur 5. Bestäm största huvuspänning i en punkt på ytterytan av cylinern. (p) p t /20 ÖSNINGAR r πp τ ϕ ----- 20 - I p 2 π t 2 π ---- av rag 0 p (0) N πp σ --- - 2 20 ---- 20p (1) A πt π Här är -koorinaten i cylinerns längsriktning och ϕ i omkretsriktning. Detta ger en spänningsmatris enligt σ(, ϕ, r) 25 0 0 0 10 0 0 0 0 p Huvuspänningarna (förutom σ 12 σ r 0 σ + σ ϕ σ σ ϕ, 2 2 2 ± + τ 2 ϕ 25 + 10 25 10 ----- ± ----- 2 + 0 2 2 2 p (2) ) ges av () vilket ger en största huvuspänningen som 5 + 5 265 σ 1 ---- p 58.2 p 2 () 6. En pelare är belata me en vertikal last i toppen och montera enligt figur 6. Notera att mittstöet enbart förhinrar förskjutning i papperets plan, mean änstöen stöjer såväl i papperets plan som ut ur planet. Välj proportionerna hos pelarens rektangulära tvärsektion ( v s bestäm konstanten α ), så att hållfastheten för knäckning ut ur papperets plan blir lika stor som för knäckning i papperets plan. (p) figur 5 unnväggig, sluten cyliner belasta me inre övertryck, p, vriane moment, och aialkraft,. ösning 5: De spänningar som fås är: Av tryck pr p 20 σ ϕ ----- t ---- 2 10p pr p 20 σ ----- 2t ----- 2 2 5p av vrining (28) (29) (5)
värsektion h αh figur 6 elare me rektangulär tvärsektion belasta me tryckane aialkraft,. ösning 6: Kritisk last för knäckning ut ur planet: u π 2 EI u π 2 EI u cr -- ( 2) 2 -- 2 Kritisk last för knäckning i planet i cr π 2 EI i - 2 Sätt essa kritiska laster lika stora (5) (6) ÖSNINGAR i u π 2 EI i π 2 EI u cr cr - 2 -- 2 I i Vi har yttröghetsmomenten som I u ---- (7) ( αh) I h α i ----- h αhh -----, I αh (8) 12 12 u --- 12 12 Kombination av (7) och (8) ger α h ----- 12 αh α 12 1 -- 2 (9) 5 (5)