Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik om modelleringen faser och modellförenkling Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Modellyper Informaionseknologi Deerminisisk - Sokasisk Dynamisk - Saisk Tidskoninerlig - Tidsdiskre Aggregerad ordinära diffar - Fördelad pariella diffar Förändringsorienerad - Händelsesyrd Röas pp i krsen Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Informaionseknologi Deerminisisk Sokasisk En modell är sokasisk om den berakar sannolikhesbegrepp. Annars är modellen deerminisisk. Händelse A förorsakar deerminisisk Händelse B Händelse A förorsakar med sannolikhe sokasisk Händelse B Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Några vikiga yper av maemaiska modeller Informaionseknologi Tidsdiskrea modeller 0,1,2, Variabeln k anv i kompendie för diskre id Tidskoninerliga modeller [ 0, ;, Modeller kan vara diskrea av sysemes nar eller vara en approimaion av en koninerlig modell. Kasala icke-kasala Kasal: Usignalen vid en idpnk beror endas på insignalen vid samma idpnk och insignalens idigare värden. I icke-kasala sysem beror signalen på insignalens framida värden. Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Blockschemamodeller Informaionseknologi E blockschema visar: ppdelning av fnkioner delsysemen, blocken påverkan mellan blocken Blockscheman är: användbara för a srkrera pp kvaliaiv knskap gångspnk för maemaisk modellbygge Simlink i Malab är e blockschemaorienera simleringsverkyg. Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Blockschema: ekologisk sysem Informaionseknologi En maemaisk modell beskriver befolkningsmängden i en sad m h a följande variabler: befolkningsmängden P levnadssandard M inflyning ill saden C hälsovård S sjkdomar D bakerier B avfall G Möjliga kasala samband: 1. PaGaBaDaP 2. PaMaCaP 3. PaMaSaDaP 4. PaMaSaBaDaP Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Konsaner, variabler, paramerar Informaionseknologi Konsaner: sorheer i modellen som ine ändras med iden Sysemparamerar: konsaner som är givna av syseme Designparamerar: konsaner som kan väljas för a ge modellen önskade egenskaper Variabler signaler: sorheer i modellen som varierar i iden Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Inerna och eerna variabler Informaionseknologi Eern variabel: en variabel som påverkar modellen an a själv påverkas av modellens övriga variabler Inern variabel: en variabel i modellen som ine är signal eller eern signal Sörsignal: en eern variabel i modellen som vi ine kan påverka kan vara mäbar eller icke-mäbar Typisk modell insignal Sysem sörsignal v signal y Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Modeller för idskon. dynamiska sysem Informaionseknologi Maemaiska modeller för dynamiska sysem kan beskrivas av differenial- och differensekvaioner vilkas lösningar är fnkioner av id. g y n, y n 1,..., y, m, m 1,..., 0 där g. är en godycklig olinjär fnkion och y k k d d d d k k k k y [ 0,,, eern beskrivning Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Informaionseknologi Tidskoninerliga LTI sysem LTIlinjär och idsinvarian.,...,,..., 1 1 1 1 b b b y a y a y m m m o n n n + + + + + + Informaionseknologi Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Informaionseknologi Inern beskrivning, illsåndsvariabler mera info på föreläsning 6 och 7 Inern beskrivning: försa ordningens kopplade differenialekvaioner Informaionseknologi Insiionen för informaionseknologi www.i..se 1 n M inerna variabler illsånd; n i i,..., 1, illsåndsvekor;,. f 1 m M insignalsvekor; vekorfnkion;,,, 1 f f f n M inern modellbeskrivning;
Informaionseknologi Tillsåndsmodeller Koninerlig id,,. h y f 1 n M 1 m M 1 y y y p M Informaionseknologi Insiionen för informaionseknologi www.i..se Linjära modeller illsånd, n-dimensionell vekor y signal, p-dimensionell vekor insignal, m -dimensionell vekor D C h B A f,, + + m p n p m n n n R D R C R B R A,,, Om A,B,C,D är konsana mariser så är modellen LTI
Saionära lösningar Informaionseknologi För 0 0 och en given fnkion eiserar de en enydig lösning ; 0, 0,. som också kallas en rajekoria för syseme modellen. 0 konsan f 0, 0 0. f 0, Ana a och 0 är en lösning ill Usignalen blir 0 0 y y0 h 0, 0 då gäller 0, 0 är en saionär singlär, jämvikspnk pnk ill syseme Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Sabilie allmän Informaionseknologi Beroende på egenskaper hos f, 0 kan lösningen för iniialvärde 1 0 ppföra sig på olika sä. 0 om är asympoisk sabil gäller 0 0,, 0 om global asympoisk sabil, så gäller de för alla 1 1 för 1 som är nära 0 Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Sabilie för LTI-sysem Informaionseknologi Asympoisk sabilie kan användas men ofa vanligare med insignal-signal sabilie lä a kolla, se Kap 3: E sysem är insignal-signalsabil b o om en begränsad insignal ger en begränsad signal. sid 25 i kompendie Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Tidsdiskrea LTI sysem Informaionseknologi Linjär differensekvaion y 1 k + a1 y k 1 +,..., + an y k n bo k + b k 1 +,..., + bm k m Usignalen vid en viss idsdiskre idpnk beror av signalens värde vid andra äldre idsdiskrea idpnker sam på insignalens värde vid e anal idsdiskrea idpnker. Insignal-signalsabilie defineras pss som för idskoninerliga sysem och är lä a konrollera, Kap 4 Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Informaionseknologi Tillsåndsmodeller för idsdiskrea LTI modeller Kap 5 Pss som för koninerliga LTI men derivaan av illsånden ersäs med näsa värde på illsånden: k + 1 F k + G k y k H k + D k Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Modellbyggandes faser ej i kompendie Informaionseknologi Hr gå från e sysem fysisk, eknisk, biologisk.. ill en modell av formen. f, y h, Tre faser kan rskiljas: 1. Srkrering av probleme. 2. Basekvaioner as fram. 3. Tillsåndmodell formas. För seriös modellering använd daorsöd, e Modelica se www.modelica.org Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Fas 1- srkrering Informaionseknologi Sysemavgränsningar Uppdelning av delsysem, ria blockscheman Specificera syfe: Modellnoggrannhe Usignaler av inresse Orsakssamband: Vilka variabler påverkar andra variabler? Vad finns för eerna signaler? Vilka sorheer är i sor konsana? Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Fas 2 forma basekvaioner för delsysemen Informaionseknologi Balansekvaioner. E Massflöde in - massflöde pplagrad massa/idsenhe. Konsiiva relaioner - samband mellan variabler av olika yp. E: Ohms lag, gaslagen men även eperimenell besämda relaioner. Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Fas 3 forma illsåndsmodell Informaionseknologi Välj ppsäning av illsåndsvariabler Uryck idsderivaan av varje illsånd som fnkion av illsåndsvariabler och insignaler. Uryck signalerna som fnkion av illsåndsvariabler och insignaler. Typiska val av illsåndsvariabler: Variabler som svarar mo pplagring av olika sorheer. E: Läge lägesenergi, Hasighe kineisk energi, Temperar ermisk energi, Nivåer volym. Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Modellförenkling ej i kompendie Informaionseknologi Försmma små effeker och nyja approimaiva samband. Linjärisering eori senare kring inressan arbespnk. Förenkla snabb och långsam dynamik syfe avgör inressan idsskala: Snabb dynamik ersäs med algebraisk samband: Långsam dynamik approimeras med en konsan. Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Modellförenkling ej i kompendie Informaionseknologi Aggregering; slå ihop "liknande" illsånd. Analyiska meoder för modellredkion finns. Hvdide : Tillsånd som näsan ine påverkar signalen kan vara veiga a eliminera, se minreal och modred i Malab. Insiionen för informaionseknologi www.i..se
Sammanfaning Informaionseknologi Differenial- eller differensekvaioner används ofa för modellering av dynamiska sysem. För enkla sysem är de narlig a man härleder en differenialekvaion differensekvaion. Tillsåndsmodeller är dock behändiga vid modellering och analys av dynamiska sysem, särskil för sysem av högre ordning Insiionen för informaionseknologi www.i..se