SDOF Enfrihesgradssyseme De enkla massa-fjäder-syseme, eller sdof-syseme (single degree of freedom, enfrihesgradssyem) är e grundläggande begrepp inom akusik och mekanik. Med god försåelse för dea har man e värdefull verkyg för a analysera resonana sysem. Man kan ill exempel se en plaas svängningsformer, moder, som sdof-sysem. I enkla fall ser man dessa som enskilda sysem som evenuell är kopplade ill varandra, mdof-sysem (muli degree of freedom, flerfrihesgradssysem). SDOF-sysem är också vikig för a förså hur vibraionsisolering fungerar. u Figur SDOF, enkelfrihesgradssysem Vi ska i dea kapiel härleda och lösa ekvaionerna för de enkla massa-fjädersyseme, sam inroducera vissa begrepp som vi kommer a behöva längre fram i kursen. Inledande samband Innan vi börjar ska vi behandla några få grundläggande samband när de gäller harmoniska funkioner. Vi änker oss e godycklig harmonisk idsförlopp. u( Figur Harmonisk idsförlopp I Figur ser vi idsförloppe, där T är periodid, A är ampliud, u( är någon variabel, exempelvis förskjuningen som funkion av iden, och fas är en fasid. Maemaisk kan man skriva idsförloppe som:
u( Acos () T Fasändringen är här beskriven med en fasvinkel. En enkel jämförelse mellan fasiden fas och fasvinkeln ger a fas () T Om vi isälle för periodid inroducerar frekvens f, enhe /s = Hz, så a: f (3) T så kan vi skriva lie läare: u( Acos f (4) Vanligen inroducerar man även en vinkelfrekvens = f, ( omega ) med enheen rad/s. Då har vi: u( Acos (5) Isälle för en cosinusfunkion kan idsförloppe beskrivas med en sinusfunkion: Asin / Asin u( Acos (6) där är en ny fasvinkel, förskjuen 9 från. Man kan också beskriva idsförloppe med både en sinus och en cosinus: A sin A cos u( Acos (7) Nu börjar vi med de enkla svängningssyseme.
Ekvaion i idsled Diskrea komponener Från Byggnadsmekanikens avsni om dynamik (kap 4 i Inrodukion ill srukurmekaniken) har vi sö på sdof-sysemes re olika komponener, massa, fjäder och dämpare.. Massa u, a Figur 3 Massan För en sel kropp med massa M gäller enlig Newons röreslelag a F = Ma, där F är en pålagd kraf och a är selkroppens acceleraion: d u( a( u ( (8) d Selkroppen har samma förskjuning i alla punker, och om vi änker oss förskjuningar i endas en dimension kan den därför represeneras med en frihesgrad. Massan är således en punkmassa.. Fjäder u u Figur 4 Fjädern En deformaion l av en ideal (linjär och masslös) fjäder, med längden l (i viloläge) och fjäderkonsan K, svarar mo en kraf F = K l, proporionell mo fjäderns deformaion. Då vi i dea försa exempel Frihesgraden represeneras av förskjuningen u, vilke skall beecknas som en förskjuning run en jämvikspunk (eller arbespunk. Vi använder ine beeckningen x eller x då vi behöver denna beeckning som koordina längre fram när vi diskuerar vågubredning 3
ännu bara har en frihesgrad, belägen vid massan, kan deformaionen beskrivas av förskjuningen vid denna frihesgrad, och därmed är krafen proporionell mo förskjuningen, F = K u. 3. Dämpare u, v Figur 6. Dämparen En ideal dämpare, med dämpkonsanen R, svarar mo en kraf F = R v om den rycks samman eller sräcks u med en deformaionshasighe v (deformaionshasighe relaiv väggen). Om vi har en frihesgrad så gäller på samma sä som innan a F = R v du( v( u ( (9) d Newons rörelselag Vi kan nu kombinera de re elemenen ill e massa-fjäder sysem. För a ill en början slippa yngdkrafen låer vi svängande syseme vibrera, eller svänga, horisonell. Vidare är syseme påverka av en yre ande kraf F(. u( u( Figur 5 Friläggning av massan I varje ögonblick måse Newons rörelselag vara uppfylld, d v s: F( F ( F ( Ma( () K R Vi säer in urycken för fjäderkrafen och dämpkrafen enlig punk och 3 ovan: Denna har dock ingen beydelse, som vi kommer a se senare, yngdkrafen ger en saisk förskjuning som bara flyar arbespunken. 4
F( Ku( Rv( Ma( () Ma( Rv( Ku( F( Mu ( Ru ( Ku( F( () Den sis använda formen av urycke är vanlig förekommande, och är prakisk då förskjuningen u är den obekana variabeln. Lösning Den allmäna lösning av ekvaionen ovan har ges exempelvis i boken Analys i en variabel och besår av en homogen lösning och en parikulär lösning. Den homogena lösningen besår av en exponeniell avklingande harmonisk svängning 3, medan parikulärlösningen besår av en harmonisk svängning med samma frekvens som ningen, men evenuell fasförskjuen ill denna. De finns några olika ekvivalena begrepp för de båda lösningarna: Parikulär Tvungen, en Seady sae Homogen Fri Transien Tabell Ekvivalena namn För ydligheens skull visar vi hur man ar fram dessa lösningar även här. Homogen lösning: Mu h ( Ru h ( Kuh( (3) R K u h ( u h ( uh( (4) M M Vi inroducerar nu några hjälpsorheer: K (5) M K f M (6) 3 Man kan som e exempel änka sig a man släpper dörrarna i V-huses foajé från öppe ugångsläge. Dörrarna kommer då a svänga fram och illbaka några gånger ills rörelsen har dö u. 5
R MK (7) där är den odämpade egenfrekvensen (egenligen egenvinkelfrekvensen med enheen rad/s), f är den odämpade egenfrekvensen (med enheen Hz), ( äa ) är en dimensionslös dämpkonsan, likaså ( sigma ) vilke gör a vi kan skriva om ekvaion 4: u ( u ( u ( (8) h h h Den karakerisiska ekvaionen ill ekvaion 8 ges av: r r (9) < medför a r i id d () Här är d den dämpade resonansfrekvensen. Lösningen ill den homogena ekvaionen är då: id id Ae A e e B sin( B cos( uh( e d d () där A, A, B och B är konsaner som besäms med hjälp av begynnelsevillkor. Den sisa likheen fås med Eulers formler (se ekvaion 3-3). Parikulärlösningen, som visar förskjuningen vid påverkan av ande kraf, skall nu besämmas. Angreppssäe är a ansäa en förskjuning som liknar krafen, beräkna de vå derivaorna, och sedan säa in dessa uryck i ekvaionen och lösa u de obekana koefficienerna. Om den ande krafen är en harmonisk kraf med vinkelfrekvensen och F( = F cos(, så ansä u p ( D sin( D cos( ) () Dcos( D sin( ) (3) u p ( ( D sin( D cos( ) (4) u p Insäning i ekvaion ger: Mu ( Ru ( Ku ( F cos( (5) p p p 6
M K D sin( D cos( RD cos( D sin( D sin( D cos( F cos( (6) Vi ska nu lösa u konsanerna D och D. Vi har i högerlede en ensam cosinuserm, medan i vänserlede har vi både sinus- och cosinusermer. Konsanerna måse nu väljas så a dea går ihop vid alla idpunker. Om vi ser sinusermerna som en koordina och cosinusermerna som en annan koordina, så kan vi änka oss a följande vådimensionella vekordiagram beskriver probleme. Figur 6 Visare Vi kan nu sälla upp e ekvaionssysem med vå ekvaioner (vå obekana), en för sinusermerna och en för cosinusermerna: M D RD KD M D RD KD F (7) Om man löser u D och D, så har vi parikulärlösningen D D R K M R K M K M R F F (8) u p( D sin( D cos( Om man inför = K/M ser man a K M M( ), vilken försvinner vid resonans ( ), vilke vi ska åerkomma ill. Den oala lösningen ges av u( = u p ( + u h (. Som e exempel visar vi idshisorien för u h (, u p ( och u( för e fall (M = 5 kg, R = 375 Ns/m, K = 4.44 5 N/m, F( = F sin(, = rad/s och F = 5 N, och begynnelsevillkoren u() =, v() = ). 7
u h u p u = u h + u p Figur 7 Homogen, parikulär och oal lösning Efer en viss id, seady sae, har den homogena lösningen klinga av. Då är u( u p (. I akusiska sammanhang är de därför ofas u p ( som är av inresse. De maskiner som vibrerar och fläkar som går genererar ofa monoona ljudbilder där parikulärlösningen är dominerande över den homogena lösningen. De är därför vanlig a man endas berakar parikulärlösningen av probleme, och så kommer vi a (ill sörsa delen) göra i forsäningen. Men då behöver vi en bäre meod för a lösa dessa ekvaioner. Komplex ampliud Övergång ill frekvensled För a komma vidare behöver vi en ny ansas för a få parikulärlösningen (i forsäningen borser vi allså från den homogena lösningen, så vi skriver ine u index p). Vi har sedan idigare a lösa: Mu ( Ru ( Ku( F( (9) 8
Vi kommer a göra en ansas med komplexa al, och nu har vi krafen 4 F( i F cos( Re Fe enlig Eulers ekvaioner, som lyder: e i cos( ) isin( ) cos( ) e i sin( ) i e e i i e i (3) (3) (3) Till ansas söker vi nu en funkion som liknar krafen. Vi vill då ha realdelen av en funkion som besår i av en harmonisk erm, e, och en ampliud framför den harmoniska ermen. Denna ampliudfunkion kan generell se vara en funkion av frekvensen (vinkelfrekvensen) och dessuom komplex. De är denna nya funkion som vi kallar komplex ampliud, och beecknar med u ~ ( ), där vågeckne indikerar a de är en ny funkion, vidare är den en funkion av. Vi gör allså följande ansas, och deriverar: Ansä: u( Re u~ ( ) e i i u ( Re u~ ( ) e i u ( Re u~ ( ) e i (33) (34) (35) Insa i ekvaion ger dea: Mu ( Ru ( Ku( F cos( (36) M Re i i i u e R i u e K u e F e i ~ ( ) Re ~ ( ) Re ~ ( ) Re Realdelsoperaorn Re{} verkar på alla ermer, och kan därför lyfas u: Re i i i M u e Ri u e Ku e F e i ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) Re (37) (38) 4 De bör påpekas a de även är möjlig a välja imaginärdelen, vilke mosvarare a krafen är en sinus isälle för en cosinus, eller med andra ord en fasskillnad på 9. I akusiken väljer man ofa realdelen efersom de ofa känns naurligare a a realdelen av de komplexa resulae för a kunna göra en fysikalisk olkning. 9
~ ( ~ ( ~ ( i i M u ) e Riu ) e Ku ) e i F e i (39) Vidare ingår den harmoniska 5 i ermen e i alla uryck och kan därmed förkoras bor: M ~ u ( ) Riu~ ( ) Ku~ ( ) (4) F F u~ ( ) (4) ( K M ) Ri Om man inför = K/M ser man a K M M( ), vilken försvinner vid resonans ( ), och u ~ ( ) blir då mycke sor. i Med hjälp av ansasen, väsenligen e, så har differenialekvaionen av andra ordningen blivi en vanlig andragradsekvaion med avseende på u ~ ( ). De lösa urycke u ~ ( ) som vi kan kalla komplex förskjuningsampliud eller förskjuningsspekra, innehåller väsenligen all syseminformaion som man kan behöva. Vågeckne över den komplexa ampliuden indikerar a vi har en ny funkion, och denna är komplex och är ine längre en funkion av iden, medan beyder a funkionen är en funkion av vinkelfrekvensen 6. Vi kan också se de som om vi har gjor en sors ransform från idsfunkioner ill komplexa frekvensfunkioner. En mer allmän övergång från idsfunkioner ill frekvensfunkioner får man med Fourierransformen. Med Fourierransformen kan man behandla godyckliga idsförlopp, ine bara seady sae som vi gör här. De visar sig dock a när man väl dividerar bor ningen, vilke vi srax ska göra, så blir resulae desamma. Den enklase ansasen ger allså ine bara e enkel resula, uan även e hel generell resula, oberoende av ningen. Om vi vill kan vi nu åergå ill idsfunkionen (idsplane med hjälp av ansasen: F u( Re e ( K M ) R i F Re ( K M ) R F ( K M ) R i K M R i cos( isin( K M cos( R sin( (4) Denna lösning är densamma som i ekvaion 8. 5 Med harmoniska funkioner, eller harmoniska förlopp, menas sin( och cos(, som har fördelen a vara i varandras derivaa, sam e, som är sin egen derivaa. Den senare kan också kallas komplex harmonisk. De harmoniska förloppen låer som rena oner. I musikläran har dock harmonisk en vidare definiion 6 = f [rad/s] vinkelfrekvensen, f = /T [Hz = /s] frekvens, T [s] periodid, all gäller för ningen.
Ofas nöjer man sig dock med a beraka syseme i frekvensplane. Även om vi har se a den harmoniska (ransiena) lösningen ine spelar någon roll i de långa loppe, så kan man ycka a vi har gjor en allvarlig begränsning av eorin då vi endas ser på parikulärlösningen ill harmoniska funkioner (sinussvängningar). Så är dock ine falle. Inom akusiken unyjar man ofa de fakum a varje idsvarierande funkion, med hjälp av Fourierransform eller Fourierserier, kan beskrivas som en summa av enkla sinusfunkioner med olika frekvens, ampliud och fas. De beyder a en godycklig pålagd kraf F( kan ersäas med e, ofa sor, anal enkla sinusfunkioner. Så isälle för a försöka hia en ny lösning ill differenialekvaionen (ekvaion ) för varje ny kraf, så löser man den, som vi nu har gjor, för varje harmonisk funkion. Den akuella krafens spekrum, vilke fås med Fourierransformen, kan sedan läggas ill. Dea behandlas närmare i område som kallas linjära sysem. Komplex räkning Vi unyjade härvid några räkneregler för komplexa al, och de kan vara på sin plas a åerge dessa: Figur 8 Komplexa al Imaginära enheen: i 3, i, i i,... i i (43) Komplexa al: z x iy (44) Addiion: z x iy x iy x x iy z y z (45) Muliplikaion x iy x iy x x y y ix y x z y (46) Komplex konjuga:
z * x iy (47) Division: z z z z x x y y ix y x y * (48) * zz x y Ampliud och fasvinkel är vikiga begrepp: Figur 9 Ampliud och fas Ampliud (eller absolubelopp): A z x y (49) Fas (allid i radianer!): y arcan (5) x Ur figur Figur 9 kan man då se a: x Acos( ), y Asin( ) (5) Med hjälp av Eulers former, ekvaion 3-3, och enhescirkeln så har vi vidare:
Figur Enhescirkeln i z x iy Ae A cos( ) isin( ) (5) i z z A A e (53) z z i A A e (54) Överföringsfunkioner Vi åergår nu ill a ia på resulae av de komplexa räkningarna, ekvaion 4 gav den komplexa förskjuningsampliuden, vilken beror på sorleken av den pålagda krafen F u~ ( ) (55) ( K M ) R i Ofa vill man beraka sysemen, i dea fall vår massa-fjäder-sysem, uan a man ser de yre förhållandena, såsom i dea fall krafen (vilken kan vara en funkion av frekvensen). Om vi normerar förskjuningen med avseende på den ande krafen, så får vi e uryck som bara beror av sysemes sorheer M, R och K, sam vinkelfrekvensen. Man har då kvar en komplex kvo C dyn u~ ( ) ( ) (56) F ( ) ( K M ) R i Vi kan kalla denna kvo för sysemes dynamiska vekhe, då en sor kvo (vekhe ger en sor förskjuning för en lien kraf. Den omvända kvoen kan vi kalla dynamisk syvhe K dyn F( ) ( ) M R i K u~ (57) ( ) 3
Allmän brukar man kalla kvoer mellan komplexa ampliuder (spekra), i samma punk eller i en annan punk i e viss sysem för överföringsfunkion H() om de är kvoer mellan usignal och insignal. ~ si ( ) usignal H ij( ) ~ (58) s ( ) insignal i Med signal menas i dea fall de båda variabla ermerna i e uryck, i vår fall är krafen insignal medan förskjuningen är usignal. Övriga paramerar, massa, fjäder och dämpare, illhör syseme. Signalbegreppe anyder a de båda variablerna är mäbara, och a man kan besämma sysemes egenskaper genom a mäa dessa signaler. Den dynamiska syvheen, K dyn, är i dea fall ydligen ine en överföringsfunkion, då den är en kvo mellan insignal och usignal och ine vär om. Den dynamiska vekheen, C dyn, är däremo en äka överföringsfunkion. De är också möjlig a definiera andra överföringsfunkioner som ugår från massans hasighe eller acceleraion. Dea illusreras i abell nedan illsammans med benämningen av respekive överföringsfunkion. Av dessa kommer framförall impedansen a diskueras framöver. 4
Förskjuning u Hasighe v Acceleraion a C dyn ( ) u~ ( ~ ) F( ) Y( ) v~ ( ~ ) F( ) N( ) a~ ( ~ ) F( ) Dynamisk vekhe ~ F( ) K dyn ( ) u~ ( ) Dynamisk syvhe Tabell Kvoer i frekvensplane Mekanisk admians ~ F( ) Z( ) v~ ( ) Mekanisk impedans Mekanisk accelerans ~ F( ) M dyn ( ) a~ ( ) Dynamisk massa Har man en överföringsfunkion så ar man enkel fram de övriga, ex genom a använda a v ~ ( ) i u~ ( ), se ekvaion 33-35. Man bör komma ihåg a överföringsfunkioner endas gäller för linjära sysem, de vill säga när spekrume är oberoende av ampliuden. I sådana sysem överförs således en ren on (sinusfrekvens) oberoende av alla andra befinliga oner. Dea är en sor förenkling som ine gäller om man arbear med idsfunkioner, då sörningar i olika idpunker påverkar varandra. Vidare beyder dea a överföringsfunkioner experimenell kan besämmas aningen genom a man saka sveper med krafens frekvens (sinussvep) eller genom a man sänder in en signal som innehåller alla söka frekvenser på en gång. En sådan signal kallas brus, och om den kvadrerade signalens ampliud är konsan för samliga frekvenser kallas de vi brus. A represenera dessa komplexa dynamiska kvoer grafisk kan man göra på olika sä. De vanligase i alernaive är a änka sig urycke på formen C Ae, där A är ampliuden och fasen. dyn u~ ( ) A Cdyn( ) (59) F ( ) K M R i K M R Im C arcan Re C ( ) R arcan K M dyn dyn( ) Vid de odämpade sysemes resonans, = (K/M) ½, har ampliuden (näsan) e maximum och fasen är /, de vill säga 9 efer ningen. K (6) M (6) A Cdyn( ) R (6) 5
Im C arcan Re C dyn dyn ( ) arcan ( ) (63) De är vanlig a man använder logarimisk skala på axlarna. Denna represenaion som illusreras i Figur kallas Bode-diagram. Figur Bode-diagram för överföringsfunkionens ampliud och fas För frekvenser under resonansfrekvensen ( ) så dominerar fjädersyvheen, ampliuden är horisonell och fasen är noll. Om vi sedan ökar frekvensen ills vi närmar oss resonans ( ) så ar bidragen från fjäderermen och massermen u varandra och vi får resonans där ampliuden besäms av dämpningen. Över resonans ( ) dominerar bidrage från massermen, ampliuden luar med konsan luning i en log-log skala (64) C dyn (65) K M R i M log log( ) log( M ) log( ) log( M ) M (66) Luningen är således - dekader 7 per dekad frekvens. Dea är e mycke vikig prakisk resula, som därför har få e ege namn, masslagen. De beyder a över resonansen kommer förskjuningen ~ minska mycke snabb med ökande frekvens, u ( ) (eckne beyder proporionell mo ). Vi 7 En dekad är desamma som en iopoens. 6
kan också se a de finns en punk över resonans där förskjuningen är lika sor som den saiska förskjuningen, och över denna punk kommer förskjuningen a vara mindre än den saiska. Dea fakum unyjas vid vibraionsisolering. Om vi iar på fasdiagramme så ser vi a fasen är noll vid rikig låga frekvenser, de vill säga förskjuningen har samma fas som ningen. Vid resonans är fasen -/, allså ligger förskjuningen 9 efer ningen. Över resonans närmar sig fasen -, vilke beyder a förskjuningen är i mofas mo ningen, förskjuningen ligger 8 efer ningen. Dea förhållande kan lä konrolleras experimenell med en vik och en gummisnodd. Fäs viken i gummisnodden, som du fäser i e finger, så a du får e massa-fjäder-sysem. För du handen långsam upp och ner, så följer viken med handen. Ökar du frekvensen ills du kommer ill resonansn, där vibraionen är som sörs, så ligger förskjuningen hos massan 9 efer handen. Ökar du frekvensen ännu mer så kommer handen och massan a röra sig i mofas. Resonaorer I dea avsni ska vi ia lie närmare på några resonana sysem som kan beskrivas med de enkla massa-fjädersyseme. Vi börjar med a vända på massa-fjädersyseme, så a vi får med yngdkrafen. Vi ska visa a dea ine spelar någon roll. Tyngdkrafen Vi vänder nu allså på massa-fjädersyseme: u Mg ( u Mg ( Figur Sående resonaorer Som vanlig måse Newons rörelselag gälla i varje ögonblick F( F F Mg Ma( (67) K R Vi för in urycken för fjäderkrafen och dämpkrafen, de vill säga F K ( = K u( och F R ( = R v( Mu ( Ru ( Ku( F( Mg (68) 7
Vi ser a vi har en differenialekvaion där ningen besår av en harmonisk kraf F( och en saisk kraf Mg. Till parikulärlösningen, vilken är den vi i försa hand är inresserade av, ansäer vi då a förskjuningen besår av en harmonisk del och en saisk del, u o ( = u( + u s (, där den saiska fås av den säning som massan saisk orsakar: u s konsan u och u (69) s s Mg Kus Mg us (7) K Den harmoniska delen fås på samma sä genom a bara lösa ekvaionen för den harmoniska krafen: Mu ( Ru ( Ku( F( (7) Men då dea precis är den ekvaion som vi har ägna oss å hiills, så kan vi anse a dess lösning är given. Tyngdkrafen ger ydligen en saisk förskjuning som bara flyar arbespunken. Om fjädern är olinjär i vissa områden kan dock vissa arbespunker vara a föredra. Så är dock ine falle här, så man kan borse från yngdkrafen i vibraionsberäkningar. Vibraionsisolering Som e försa exempel på e enkel massa-fjädersysem i en applikaion ska vi nu ia på vibraionsisolering. Vi kan änka oss a e indusriföreag har be oss lösa e vibraionsproblem som de har. En roerande maskin med viss excenricie sår fasskruvad på e syv bjälklag, vilke orsakar vibraioner i bjälklage som vidare ger buller och vibraionsskador. Fabrikören i fråga ber oss, som konsuler, minska probleme. Vad ska vi göra? Vi börjar med a ana a underlage är orörlig, de vill säga a maskinen är fas inspänd. Dea är en förenkling som i allmänhe ine är hel gilig, men för jocka beongbjälklag, 5-3 mm, är anagande ofas rimlig. För läa räbjälklag är emellerid anagande veksam. Vi frilägger nu maskinen: Figur 3 Friläggning av maskin innan ågärd Rörelselagen ger nu, då vi ine har någon förskjuning eller acceleraion (fläkens ram och hölje anas så sill): ( F ( F u (7) 8
Vi ser a den kraf som orsakas av maskinens excenricie F( går rak ner i bjälklage, F u ( = F(, där index u sår för uan vibraionsisolering. Om vi ansäer harmoniska sörningar, ~ F F e i ( ) Re ( ) och som innan borser från realdelsoperaorn och den harmoniska ermen, som ~ ~ är gemensam för alla ermer, så kan vi skriva F( ) F ( ). Vi änker oss nu a vi säer maskinen på gummiklossar eller sålfjädrar. Vi änker oss vidare a dämpning kan ingå i fjädrarna. Om vi använder fyra fjädrar blir den sammanlagda fjädersyvheen K = K i. Desamma gäller för dämpningen. u u( u( Figur 4 Friläggning av maskin efer ågärd Rörelselagen måse som vanlig råda: F( F ( F ( Ma( (73) K R Dea är samma ekvaion som vi har behandla idigare. Vi är inresserade av parikulärlösningen, och lösningen gavs i ekvaion 4. Förskjuningen, beskrive i frekvensplane, blev: M ~ u ( ) Riu~ ( ) Ku~ ( ) F ( ) (74) F u~ ( ) (75) ( K M ) R i Men nu är vi primär inresserade av krafen som går ner i bjälklage när vi har lag ill fjädern och dämparen, och vi ve a krafen mo underlage kan beskrivas som summan av krafen från fjädern och krafen från dämparen, F m ( = F K ( + F R (, där index m sår för med vibraionsisolering. I frekvensplane blir dea: ~ ~ ~ F ( ) F ( ) F ( ) Ku~ ( ) R iu~ ( ) (76) m K R 9
~ F ~ F m ( ) ( ) ~ Fm ( ) K Ri ~ (77) F ( ) ( K M ) Ri u Vi har ydligen få e uryck som ger oss kvoen mellan krafen mo underlage med vibraionsisolering mo krafen mo underlage uan vibraionsisolering. De vikiga i denna yp av vibraionsisoleringsproblem är a ampliuden av vibraionen minskar med ågärden. Absolubeloppe av kvoen ovan brukar benämnas insäningsdämpning eller inserion loss, medan ransmissionsal T 8 eller ransmissibiliy används om de handlar om kvo mellan ning och underlag, T ~ F ( ) ~ F ( ) m (78) A beräkna ransmissionsale och insäningsdämpningen lämnas som övning. Om ransmissionsale är så har ingen förändring ske, och om T < så har en förbäring ske, de vill säga en minskning av krafens ampliud har ske, medan om T > så känner underlage en sörre ampliud än den ursprungliga, allså en försämring. Nedan visas hur ransmissionsale kan se u. Vi har här sa förlusfakorn = R/ M, där resonansfrekvensen som vanlig är = (K/M) ½. Frekvensen är sedan normerad mo resonansfrekvensen så a resonans allid sker vid / =. Figur 5 Transmissionsal, normerad frekens och olika värden på förlusfakorn, Vi kan nu se a T > vid /, och vi får ydligen ingen förbäring med hjälp av vibraionsisoleringen run resonansfrekvensen eller vid lägre frekvenser, / <. Däremo får man allid en förbäring över resonansfrekvensen. Vidare ser man a dämparen mes smear u beeende, så a effeken vid resonans ine blir så sor. Om vi åergår ill vår ursprungliga problem med fabrikören så löser vi de genom a a reda på den dominerande frekvensen i den ande krafen F(, vi kan beeckna den med maskin, vilken roligen är den samma som roaionsfrekvensen, sam maskinens vik M. Sedan dimensionerar vi fjädersyvheen K så a resonansfrekvensen för syseme = (K/M) ½ << maskin. De gäller allså a ha så veka fjädrar som möjlig, vilke kan vara svår i prakiken. 8 T sår här för ransmissionsal och ine för periodid.
Vikiga formler Enfrihesgradssyeme med en massa, fjäder och en dämpare leder ill rörelseekvaionen Mu ( Ru ( Ku( F( Som har en oal lösning som besår av en homogen och en pariklär del, u( = u h ( + u p (. Den homogena lösningen är id id Ae A e e B sin( B cos( uh( e d där den odämpade resonansfrekvensen, dämpkonsanen och dämpade resonansfrekvensen förs in K R M MK d d och parikulärlösningen för en ande kraf i F( F cos( Re F e är u p( D sin( D cos( D D R K M R K M K M R F F Parikulärlösningen uryck på komplex form blir u Re i F i u ~ ( ) e e ( ( K M ) R i Tyngdkrafen (om närvarande) skapar en saisk säning med sräckan Mg u s K Dynamisk vekhe definieras som kvoen mellan komplex förskjuning och komplex kraf C dyn ( ) u~ ( ~ ) F( ) C dyn kan, som andra överföringsfunkioner, åskådliggöras med e Bodediagram där man ploar ampliud och fas A Cdyn( ) R Im C arcan Re C dyn dyn ( ) arcan ( ) ~ F Transmissionsale T är kvoen mellan ande kraf och kraf som går ner i underlage, T ~ F m ( ) ( )
Uppgifer. Två pariklar rör sig med harmoniska rörelser u ( Acos( u( Acos( ) 6 a) Den senare parikeln ligger efer den försa i id, en fasskillnad. Beräkna idsskillnaden uryck i periodiden T. b) Vid vilka idpunker har pariklarna sina maximala hasigheer och acceleraioner? c) Om ampliuden är A = cm, vid vilken frekvens (i Hz) kommer acceleraionens ampliud vara lika med g = 9.8m/s? d) Om vi adderar signalerna, vid vilken fasskillnad mellan de båda kommer vi a få usläckning? Vid vilken fasskillnad kommer de a försärka varandra maximal?. Skriv om följande komplexa al på formen a) 3+4i b) (3+4i)/(4+3i) c) +i d) i i Ae och besäm A och. 3. En flaska kan ses som e massa-fjäder-sysem, en Helmholz-resonaor där den lilla volymen i halsen verkar som en massa och den sora verkar som en fjäder enlig Figur 6. u Figur 6 En vanlig 33 cl ölflaska modellerad som e SDOF-sysem. Massan M är massan för lufen i flaskhalsen och syvheen K kan uryckas som
K S P V där S är värsnisarean för flaskhalsen och V volymen för flaskans kropp. En vanlig ölflaska har följande ungefärliga dimensioner: Boen har radien r = 6 mm och höjd H = 4 mm. Flaskhalsen har en höjd på H = 7 mm och en radie på r = mm. Räkna med a densieen för luf är =.93 kg/m 3 och dessuom behövs =.4 för våaomiga gaser och amosfärsrycke är P =.3 5 Pa. a) Besäm resonansfrekvensen för flaskan, d v s onen man hör när man blåser på flaskhalsens kan. b) Besäm resonansfrekvensen om de sår cm öl i boen av flaskan. 4. Beraka följande svängande sysem besående av en massa med en fjäder och en dämpare som usäs för en kraf F(. Följande daa gäller för sorheerna: M = kg, K = 4 N/m, R = Ns/m. Figur 7 E enkel dynamisk sysem a) Säll upp differenialekvaionen för rörelsen (förskjuningen = u(). b) Hur inverkar graviaionen på rörelsen? c) Beräkna sysemes odämpade och dämpade egenfrekvens, respekive. d) Besäm den komplexa förskjuningen ~ ( ) ~ e) Besäm överföringsfunkionen C ( ). dyn u om i F cos( Re e (. f) Besäm sysemes mekaniska impedans Z(). g) Besäm sysemes svar, lösningen u(, för F( = och begynnelsevärdena u() = och u ( ). h) Besäm sysemes svar för F( = och begynnelsevärdena u() = och u ( ). i) Hur skulle man ren prakisk kunna åsadkomma begynnelsevillkoren i g) och h)? j) Hur kommer svängningsrörelsen a ändras om man säer R =, allså ar bor dämpningen? d 3
5. Hur lång från väggen ska man placera en cm jock perforerad räpanel med S/S =. om man ska dämpa ljud vid Hz. (dvs, när hålighe + bakomliggande lufmassa fungerar som en Helmholzresonaor) Svar. a) fas = T/ b) v max vid = T/4 + nt/, n =,,,... a max vid = T/ + nt/, n =,,,... v max vid = T/3 + nt/, n =,,,... a max vid = T/ + nt/, n =,,,... c) f = 5. Hz d) Usläckning vid = + n, försärkning vid = + n. a) z = 5e i.97 b) z = e i.84 c) e i/4 d) e i/ 3. a) f = 5 Hz b) f = Hz 4. a) Mu ( Ru ( Ku( F( b) Den förskjuer bara jämvikspunken nedå med sräckan u s = F/K. c) = rad/s, d rad/s d) e) F u~ ( ) ( K M ) R i = u~ ( ) ( ) ( K M ) R i ( C dyn ( 4 4 ) i ) i 4
5 f) i i i i R M K Z ) ( ) ( ) ( 4 g), sin ) ( e u d d h), cos sin ) ( e u d d i) Begynnelsehasigheen i g) kan ges genom a illföra en impuls ill massan, ex genom e hammarslag. Begynnelseförskjuningen i h) kan ges genom a lyfa upp massan sräckan u = m och sedan släppa den från vila. j) Vid odämpad svängning kommer massan a svänga uan a förlora energi, d v s för allid. 5. l = 5 cm.