Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Relevanta dokument
Målsättningar Proffesionell kunskap. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar.

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Föreläsning 10: Stela kroppens plana dynamik (kap 3.13, 4.1-8) Komihåg 9: e y e z. e z )

= v! p + r! p = r! p, ty v och p är dt parallella. Definiera som en ny storhet: Rörelsemängdsmoment: H O

Krafter och moment. mm F G (1.1)

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1. Problemtentamen

VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

KOMIHÅG 3: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

Mer Friktion jämviktsvillkor

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

" e n och Newtons 2:a lag

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

Vektorgeometri för gymnasister

mm F G (1.1) F mg (1.2) P (1.3)

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Om den lagen (N2) är sann så är det också sant att: r " p = r " F (1)

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

Tentamen i SG1140 Mekanik II för M, I. Problemtentamen

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

LÖSNINGAR TENTAMEN MEKANIK II 1FA102

Biomekanik, 5 poäng Moment

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

Betygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så

Biomekanik, 5 poäng Introduktion -Kraftbegreppet. Mekaniken är en grundläggande del av fysiken ingenjörsvetenskapen

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN

Välkommen! Till Kursen MEKANIK MSGB21. Föreläsningar & kursansvar:

Föreläsning 5: Acceleration och tidsderivering (kap ) . Sambandet mellan olika punkters hastigheter i en stel kropp: v A

" = 1 M. ( ) = 1 M dmr. KOMIHÅG 6: Masscentrum: --3 partiklar: r G. = ( x G. ,y G M --Kontinuum: ,z G. r G.

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

Tentamen i Mekanik 5C1107, baskurs S2. Problemtentamen

KOMIHÅG 2: Kraft är en vektor med angreppspunkt och verkningslinje. Kraftmoment: M P. = r PA

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

Tentamen i Mekanik SG1130, baskurs P1 m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

Härled utgående från hastighetssambandet för en stel kropp, d.v.s. v B = v A + ω AB

Inre krafters resultanter

Till Kursen MEKANIK MSGB21

Mekanik Föreläsning 8

October 9, Innehållsregister

Omtentamen i Mekanik I SG1130, grundkurs för CMATD och CL. Problemtentamen

Vektorgeometri för gymnasister

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

Biomekanik Belastningsanalys

Mer om analytisk geometri

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Grundläggande om krafter och kraftmoment

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Explorativ övning Vektorer

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Var ligger tyngdkrafternas enkraftsresultant? Totala tyngdkraftmomentet (mätt i origo) för kropp bestående av partiklar: M O. # m j.

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Att beräkna:: Avstånd

Basåret, Fysik 2 25 februari 2014 Lars Bergström

Vektorgeometri för gymnasister

Föreläsning 2,dynamik. Partikeldynamik handlar om hur krafter påverkar partiklar.

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

Tentamen i Mekanik I SG1130, baskurs P1 och M1. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmede förutom rit- och skrivdon får användas!

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

1 Vektorer i koordinatsystem

Introduktion till Biomekanik - Statik VT 2006

Lösningar Heureka 2 Kapitel 2 Kraftmoment och jämvikt

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

SF1624 Algebra och geometri

NEWTONS 3 LAGAR för partiklar

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

Uppgifter till KRAFTER

Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

Tentamen Mekanik MI, TMMI39, Ten 1

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 14. Kroppen har en rotationshastighet. Kulan P beskriver en cirkelrörelse. För ren rotation gäller

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Transkript:

1 Föreläsning 1: INTRODUKTION Målsättningar Proffesionell kunskap om mekanik. Kunna hänvisa till lagar och definitioner. Tydlighet och enhetliga beteckningar. Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2. Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar och presentationer! Problemlösning Tentamen efter kursen.

2 Newtons 3 lagar för partikelrörelse: 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig rörelse. 2. ma = F (vektorekvation) m = massa, a = acceleration, F =totala kraften. 3. Krafter i naturen uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. Eulers lagar för stela kroppar i vila: 1. F = 0 (Ingen translation av masscentrum) där F = totala yttre krafter. 2. M O = 0 (Ingen rotation kring masscentrum) M O = totala kraftmomentet från yttre krafter. O är en godtycklig momentpunkt. 3. Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll. (se Newton 3!)

3 MEKANIKENS STORHETER och dimensionsanalys. STORHET DIMENSION (SI-)enhet Grundläggande storheter: massa M kg längd, läge L m tid T s Härledda storheter, t.ex. kraft MLT!2 N (= kg m/s/s) hastighet LT -1 m/s acceleration LT!2 m / s 2 Härledda storheter beror av grundläggande storheter genom definitioner och/eller lagar.

4 EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är dimensionsriktig. Lösning: dim{ v} = LT!1, dim{ g} = LT!2, dim{ h} = L. Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat. ---------- EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och fallhöjd! Lösning: Ansätt v = konst.!m " g # h $ (finns det andra ansatser?) Jämför dimensioner i VL och HL.: dim v { } = LT!1, dim{ m } = M, dim g { } = LT!2, dim h dvs L:s exponent i VL=HL ger: 1 =! + " M:s exponent i VL=HL ger: 0 =! T:s exponent i VL=HL ger:!1 =!2" Detta ger:! = 0, " = 1 / 2, # =1 / 2 dvs v = konst gh Jämför med det riktiga uttrycket!! { } = L

5 Krafter -Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att den uppkomna totalkraften är noll. Exempel 1: Kontaktkrafter. De båda motriktade krafterna verkar på olika föremål. Övning: Krafter verkar på vad? P är en yttre kraft. N är olika normalkrafter.

6 Exempel: Trådkrafter. Betrakta en trådbit som spänns av två yttre krafter. Vid varje tänkt tvärsnittsyta genom en lätt tråd finns ett motriktat kraftpar bestående av två krafter som är lika stora som de båda yttre krafterna i ändarna. T T Övning: Hur stor kraft påverkas skivan med? Olika typer av krafter: Vardagskrafter: Trådkraft, fjäderkraft, normalkraft, friktion (vid kontakt). Elektromagnetisk kraft, tyngdkraft och gravitation (avståndsverkan). Fundamentala krafter: Växelverkan mellan materia via kraftbärare (fotoner, mesoner, gluoner, gravitoner).

7 Lägevektorn: r = ( x, y,z), där x, y, z är koordinater. Vardagskrafter är vektorer: Tre komponenter: F = ( F x,f y,f z ). En vektor har längd och riktning: Längd: F = F = F 2 x + F 2 2 y + F z Riktning: e F = F F. (Sortlös vektor med längden 1) Exempel: Bestäm kraftens komponenter från vinkel! Svar: F x = F sin", F y = F cos", F z = 0, dvs F = ( Fsin", Fcos",0). Exempel: Bestäm kraftens riktning! Svar: e F = ( sin", cos",0).

8 Exempel: Bestäm kraftens komponenter från lutningsförhållande! Svar: Den liggande sidan i den lilla triangeln förhåller sig till hypotenusan som 4 till 5: F = 8N. Den stående sidan i den lilla F x = 4 5 triangeln förhåller sig till hypotenusan som 3 till 5: F y = 3 5 F = 6 N, och F z = 0, " dvs F = $ # 4 5 F, 3 5 F,0 %'. & Exempel: Bestäm kraftens riktning! " $ %'. # & Svar: e F = 4 5, 3 5,0

9 Exempel: Kraften med storlek 10 N har samma riktning som linjen från punkten A: (1,1,0)a till punkten B: (5,4,0)a. a är en längdenhet. (a) Bestäm kraftens komponenter, samt (b) kraftens vinkel mot y-axeln. Lösning(a): Kolla först skillnadsvektor från A till B. Den blir: r AB = (4,3,0)a, där komponenterna direkt kan läsas av. Längden av vektorn (Pythagoras sats) är r AB = 5a. Skillnadsvektorns och kraftvektorns komponenter är proportionella, som också vektorernas längder är. Alltså: F = 10N r AB 5a = F x 4a = F y. Kraftkomponenterna blir: 3a Svar(a): F x = 8N, F y = 6N, F z = 0, så att hela kraftvektorn blir F = ( 8,6,0)N. Lösning(b): Kolla med föregående exempel. Om kraftvektorerna jämförs så fås: sin" = 8 10 eller/och cos" = 6. Mer än något av dessa svar krävs inte. 10

10 Koordinataxlar representeras ibland av axelriktningarna e x,e y,e z, som är enhetsvektorer. En kraft kan därför beskrivas som: F = (F x,f y,f z ) = F x (1,0,0) + F y (0,1,0) + F z (0,0,1) Eller enklare: F = F x e x + F y e y + F z e z, F x e x är en komposant. F x är en komponent.

KOMIHÅG 1: --------------------------------- 3 oberoende storheter-3 oberoende dimensioner Kraft beskrivs med vektorer. Komposanter är delvektorer. Föreläsning 2: Skalärprodukt Två definitioner: Med vektorkomponenter: A B = A x B x + A y B y + A z B z. Med längder och riktningar: A B = ABcos". Här är " vinkelöppningen melan vektorpilarna. Projektion (speciell skalärprodukt) Kraftens projektion på x-axel: OBS, använd axelns riktningsvektor! ( ) = F x "1+ F y " 0 + F z " 0 F e x = ( F x,f y,f z ) 1,0,0 = F x. Komponent i annan axelriktning: Sök komponenten av kraften längs en axel (riktad linje) L. Om kraftvetorn och axelns riktning e L är kända, så fås komponenten längs axeln av beräkningen: F L = F e L. Här används skalärprodukten. Man får med skalärprodukten på en linjes riktning en projektion på axeln L. 11

12 Exempel: Bestäm kraftens komponent längs axlarna a och b! Svar: F a = F cos", F b = F cos". Kraftens projektion på a-axel med hjälp av xykomponenter (se figuren): a-axelns riktning i det ortogonala koordinatsystemet (x,y,z): e a = ( cos",sin",0). Kraftens projektion på axelriktningen e a : ( ) = F x #cos" + F y #sin" + F z #0 F e a = ( F x,f y,f z ) cos",sin",0 = F x " cos# + F y " sin#. Koordinataxlar och linjer En koordinataxel har en riktning och sammanfaller med en rät linje. Linjen är en kontinuerlig punktmängd utan speciell riktning.

13 KRAFTERS VERKAN PÅ STELA KROPPAR Orsakar ändringar i kroppens två rörelser: translation (Eulers 1:a lag) rotation (Eulers 2:a lag) F A F B ej rot rot Det behövs tre tillbehör för att beskriva kraftens verkan: angreppspunkt (se figuren ovan, A och B eller r A och r B ) verkningslinje ( r AL = r A + Le F, "# < L < # ) momentpunkt r P (en tänkt vridpunkt) Viktigt! Kraft är en matematisk vektor! En angreppspunkt behandlas också som en vektor i många fall. Hur räknar man med vektorer?

Den räta linjen: Linjens ekvation i ett plan: y = kx + y 0, där y 0 och k är konstanter, x och y är variabler (som beror av varandra). -En vald punkt på linjen har koordinater som bildar läget r 0 = (0,y 0,0). -En godtycklig punkt på linjen kan skrivas r = (x, y,0) = (x,kx + y 0,0) = (x,kx,0) + (0,y 0,0) =(1,k,0)x + r 0 = Le L + r 0, där L (= 1+ k 2 x) är en fri koordinat för linjen, och e L = (1,k,0) är linjens riktning. 2 1+ k Linjens punktmängd: Linjens punkter kan alltså skrivas: r L = Le L + r 0, där bara L är godtycklig. Men även r = L("e L ) + r 0. En rak linje har två möjliga riktningar ±e L, och r 0 är en känd punkt. 14 Exempel: Beskriv x-axelns linje i xy-planet. Lösning: Axelns riktning är känd ( e x ), och en koordinataxel går igenom origot för axlarna (nollvektorn (0,0,0)). Linjen (dess punktmängd r x ) kan då skrivas: r x = xe x, där x är godtycklig.

KRAFTMOMENT med avséende på en momentpunkt P. 15 Kraftmomentet som kryssprodukt av två andra vektorer: Definition: M P = r PA " F, där r PA = r A " r P och r A är angreppspunktens koordinater och r P är momentpunktens dito. Speciellt: Om r PA // F är M P = 0. Vektorproduktens viktiga egenskaper: Den är 0 (nollvektorn) om faktorer är parallella (anti-parallella). Den byter tecken om faktorerna byter plats.

16 KOMIHÅG 2: --------------------------------- Skalärprodukt som projektion. Axlar (riktade) och linjer Kraftmomentet är en vektor Föreläsning 3: Kraft i ett plan och dess vridförmåga Låt r A = x A,y A,0 ( ) och F = F x,f y,0 ( ), r P = 0,0,0 Momentet map origo blir ( ). M O = r A " F = Betrakta figuren: e x e y e z x A y A 0 F x F y 0 F y = ( x A F y " y A F x )e z. F y A F x O x A F x och F y vrider åt olika håll om F x, F y >0. Moment m a p punkt respektive axel Totala vridande förmågan med avseende på en punkt O: M O = M Ox,M Oy,M Oz ( ). Komponenten M Oz är kraftens vridande förmåga map z- axel genom origo. M Oz = x A F y " y A F x. Matematisk projektion av hela momentet: M Oz = M O e z.

Kraften kan flyttas längs sin verkningslinje. Förskjut kraften så att angreppspunkten ändras: r "r + Le F. Bestämning av kraftmomentet: M ' O = ( r + Le F ) " F = r " F + L e F " F = M O =0, ty // För ett givet kraftmoment kan samma kraft ligga var som helst på en linje. Problem: Tyngdkraften mg verkar i mitten av en kub och är riktad nedåt. Beräkna kraftens moment med avseende på kontaktpunkten A. 17 Lösning: Dela upp kraften med komposanter längs kroppens två symmetrilinjer map mittpunkten. Då är avstånden till komposanternas vardera verkningslinjer L/2 respektive L/4. Med hänsyn till vridningsrikningar vrider komposanterna åt samma håll (medurs, som är en negativ riktning i givna planet). Dvs M A = " L 4 mgcos# " L mgsin#. (vektorn in i planet). 2

18 Problem: Kraften P appliceras vinkelrätt på balkens övre del. Beräkna kraftens moment med avseende på böjleden respektive fotfästet. P=30 N d=1.6 m 45 o d=1.6 m Lösning: Med 'origo' i böjpunkten ( B ) blir angreppsvektorn och kraften vinkelräta: M B = dp =1.6 " 30 Nm = 48 Nm (negativ vridning i planet) Med 'origo' i fotpunkten ( A ) blir det svårare. Dela upp kraften i horisontell och vertikal komposant. Den horisontell komposanten har sin momentarm och den vertikala sin. Addera: M A = P cos45 o d + d cos45 o ( ) + P cos45 o ( d cos45 o ) " = dp 1+ 1 % $ ' = 81.94 Nm (negativ vridning i planet) # 2 &

19 Problem: En låda belastas med tre yttre krafter enligt figuren med verkningslinjer längs tre av lådans kanter. Lådan har formen av ett rätvinkligt block med kantlängderna a, b och c. Bestäm kraftsystemets kraftmoment med avseende på (map) origo! Lösning: Vad är positiva moment kring en axel??? M O = 2Pb " Pc," 2Pa,0 ( ).