MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1

Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas till bredvidläsning och som uppslagsbok. Boken tar upp nödvändiga fakta och behandlar dessa på enklast möjliga sätt. Stort utrymme har avsatts för att förklara de fyra räknesätten och bråktalen. En del förklaringar bygger på min erfarenhet av hur eleven uppfattar matematiken. Boken gör inte anspråk på att vara fullständig Ett särskilt tack till matematikläraren Fatima Masic som hjälpt mig med granskningen. ISBN 978-91-633-3357-6 Hans Elvesjö 2008 2

INNEHÅLL 1 Vårt talsystem - 8 1.1 Hela tal - 9 1.2 Decimaltal - 9 2 Positiva delen av tallinjen - 10 2.1 Addition - 10 2.2 Subtraktion - 12 2.3 Multiplikation - 15 2.4 Division - 19 2.4.1 Division, med heltal i nämnaren, som går jämt ut - 20 2.4.2 Division, med decimaltal i nämnaren, som går jämt ut - 22 2.4.3 Division som inte går jämt ut - 23 3 Benämnda tal - 24 4 Avrundningsregler - 24 4.1 Avrundning av decimaltal med två eller flera decimaler - 24 4.2 Avrundning till ental - 24 4.3 Avrundning till tiotal - 25 4.4 Avrundning till hundratal - 25 4.5 Avrundning av kvoter - 25 5 Överslagsräkning - 25 6 De vanligaste sorterna - 27 7 Närmevärden - 30 7.1 Närmevärdets fel - 30 7.2 Närmevärdets maximala fel - 30 7.3 Feluppskattning - 30 7.4 Beräkningar med närmevärden - 31 8 Bråktal - 32 8.1 Sträckan mellan 0 och +1-32 8.2 Bråkets delar - 32 8.3 Bråk i blandad form - 33 8.4 Bråkform - 33 8.5 Omvandling från blandad form till bråkform - 33 8.6 Enklaste form av blandad form - 34 8.7 Omvandling av bråktal till till decimaltal - 34 8.8 Förlängning av bråk - 35 8.9 Förkortning av bråk - 35 3

8.10 Bråk som betecknar samma tal - 36 8.11 Bråk med nämnare i decimalform - 36 8.12 Addition av bråk med samma nämnare - 36 8.13 Subtraktion av bråk med samma nämnare - 37 8.14 Addition och subtraktion av bråk med olika nämnare - 37 8.15 Multiplikation av bråk - 39 8.16 Division av bråk - 39 9 Negativa delen av tallinjen - 42 9.1 Negativa tal. Talen till vänster om 0 på tallinjen - 42 9.2 Subtraktion av negativa tal - 42 9.3 Addition av negativa tal - 42 9.4 Subtraktion av negativa tal - 43 9.5 Multiplikation av negativa tal - 43 9.6 Division av negativa tal - 44 10 Flera räknesätt i samma tal - 44 11 Procent - 50 11.1 Procent kan skrivas på tre olika sätt - 50 11.2 Det hela - 51 11.3 Beräkning av delen av det hela - 51 11.4 Procentuell sänkning - 51 11.5 Procentuell höjning - 52 11.6 Omvandling av delen genom det hela till procent - 52 11.7 Höjning eller ökning omvandlad till procent - 52 11.8 Sänkning eller minskning omvandlad till procent - 53 11.9 Två procentuella förändringar efter varandra - 53 11.10 Räntan - 54 11.11 Sammansatt ränta - 54 12 Geometri - 55 12.1 Några termer - 55 12.2 Rektangel - 55 12.3 Kvadrat - 56 12.4 Triangel - 56 12.5 Parallellogram - 57 12.6 Romb - 58 12.7 Cirkel - 59 12.8 Rätblock - 60 12.9 Kub - 60 12.10 Cylinder - 61 12.11 Prisma - 61 12.12 Pyramid - 62 12.13 Kon - 62 12.14 Klot - 62 4

12.15 Likformighet - 63 12.16 Skalor - 64 13 Potenser - 66 13.1 Tiopotenser har basen 10-66 13.2 Omvandling till tiopotensform och tillbaka av ett tal, som är större än 1-67 13.3 Addition och subtraktion av tiopotenser - 67 13.4 Multiplikation av potenser - 68 13.5 Division av potenser med täljaren större än nämnaren - 68 13.6 Division av potenser med täljaren lika med nämnaren - 68 13.7 Division av potenser med nämnaren större än täljaren - 69 13.8 Omvandling till tiopotensform och tillbaka av ett tal som är mindre än 1-69 13.9 Faktorer och tiopotenser - 70 13.10 Multiplikation av tiopotenser med negativ exponent - 70 13.11 Division med faktorer och tiopotenser i täljare och nämnare - 71 13.12 Division av tiopotenser med negativ exponent - 71 13.13 Sammansatta uppgifter, som innehåller tiopotenser - 71 14 Algebra - 72 14.1 Uttryck med en variabel - 72 14.1.2 Addition - 72 14.1.3 Subtraktion - 72 14.2 Uttryck med flera variabler - 72 14.2.1 Addition - 72 14.2.2 Subtraktion - 73 14.2.3 Multiplikation - 73 14.2.4 Multiplikation med parentes - 73 14.2.5 Multiplikation av två parenteser - 74 14.2.6 Första kvaderingsregeln - 74 14.2.7 Andra kvadreringsregeln - 75 14.2.8 Konjugatregeln - 76 14.2.9 Bråk med samma variabel i täljaren och nämnaren - 76 14.2.10 Multiplikation av potenser - 77 14.2.11 Division av potenser - 77 14.2.12 Förenkling av uttryck - 78 14.2.13 Beräkning av ett uttrycks värde - 78 15 Kvadratrötter - 79 15.1 Rotutdragning av hela tal och decimaltal - 78 15.2 Roten ur i potensform - 79 15.3 Multiplikation och division av kvadratrötter 80 5

16 Ekvationer - 81 16.1 Ekvationer av första graden - 81 16.1.1 Prövning av ekvationer - 88 16.1.2 Problemlösning - 89 16.2 Ekvationer av andra graden - 89 16.2.1 Ekvationer med endast varibeln x 2-89 16.2.2 Kvadratkompletteringsmetoden - 90 16.2.3 Lösning av andragradsekvationer med formel - 92 16.3 Pytagoras sats - 93 17 Olikheter - 94 17.1 Regler för lösning av olikheter - 94 17.2 Beskrivning av olikheter på tallinjen - 96 17.3 Prövning av olikheter - 96 18 Funktioner - 97 18.1 Koordinatsystem - 97 18.2 Funktionen - 98 18.3 Definitionsmängd och värdemängd - 98 18.4 Uttrycket y är en funktion av x - 99 18.5 Linjära funktioner - 100 18.6 Proportionalitet - 101 18.7 Exponentialfunktioner - 102 18.8 Formeln för exponentialfunktionen - 104 18.9 Exponentiell tillväxt - 105 18.10 Exponentiellt avtagande - 105 19 Trigonometri - 105 19.1 De trigonometriska funktionerna - 106 19.2 Vinklar med exakta värden - 107 19.2.1 Halva kvadraten - 107 19.2.2 Halva liksidiga triangeln - 108 19.3 Beräkning med trigonometriska funktioner - 109 20 Statistik - 110 20.1 Beskrivande statistik - 112 20.1.1 Medelvärde - 112 20.1.2 Typvärde - 112 20.1.3 Variationsbredd - 112 20.1.4 Median - 113 20.1.5 Olika diagram - 113 20.1.6 Histogram - 116 20.1.6.1 Beräkning av medelvärdet på klassindelat material - 116 20.1.7 Standardavvikelse - 118 20.1.7.1 Tabell för beräkning av standardavvikelsen - 119 6

21 Sannolikhetslära - 120 21.1 Olikformig sannolikhetsfördelning - 120 21.2 Likformig sannolikhetsfördelning - 120 21.2.1 Mängdiagram och listform - 120 21.2.2 Beräkning av sannolikheten för att en händelse inträffar - 121 21.2.3 Sannolikheten för att en händelse A alltid inträffar är 1 eller 100 % - 122 21.2.4 Sannolikheten för att en händelse A aldrig inträffar är 0-122 21.2.5 Sannolikheten för att en händelse A inte inträffar - 122 21.2.6 Addition av sannolikheter - 123 21.2.7 Multiplikation av sannolikheter - 124 21.2.8 Beräkning av antalet gånger händelse A inträffar - 124 21.2.9 Permutationer - 125 21.2.10 Fakultet - 126 21.2.11 Kombinationer - 126 21.2.12 Träddiagram - 126 n 21.2.13 Förklaring av symbolen ( ) - 127 k 21.2.14 Binomialfördelning - 129 22 10-logaritmer - 129 22.1 Hela tal - 130 22.2 Regler - 130 22.3 Beräkning med logaritmer - 131 23 Vektorer - 133 23.1 Vektorer i ett koordinatsystem med vinkelräta axlar - 134 23.2 Addition av vektorer - 135 23.3 Subtraktion av vektorer - 136 23.4 Multiplikation av vektorer - 137 25 Register - 139 26 Författaren - 142 7

VÅRT TALSYSTEM Vi skriver tal med hjälp av siffror. I vårt talsystem behövs tio siffror. De är 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 För att kunna skriva tal behöver vi tio siffror dvs basen i vårt talsystem är tio. FÖRKLARING AV SIFFROR MED HJÄLP AV TALLINJEN siffra tallinjen När man lägger till, går man till höger på tallinjen. Pilen pekar åt höger, som är den positiva riktningen 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I ett tal finns olika positioner, dvs en siffra i ett tal står på ett visst ställe (har en viss position) i förhållande till de andra siffrorna. En siffras värde beror helt på siffrans position. 8

1.1 HELA TAL Exempel 1. Talet 2375693 är ett heltal. Siffrans värde 2 3 7 5 6 9 3 miljontal hundratusental tiotusental tusental hundratal tiotal ental Talet utläses: två miljoner tre hundra sjuttiofem tusen sex hundra nittiotre 1.2 DECIMALTAL Tal med decimalkomma och siffror efter kommat kallas för decomaltal. Exempel 2. Talet 6,456 är ett decimaltal. siffrans värde 6, 4 5 6 ental decimaltecken tiondel (först decimalen) hundradel (andra decimalen) tusendel (tredje decimalen) Talet utläses: sex hela och fyra hundra femtiosex tusendelar. 9

2 POSITIVA DELEN AV TALLINJEN 2.1 ADDITION (PLUS) 3 + 5 = 8 term term summa plustecken likhetstecken Talen på båda sidor om plutecknet kallas för termer. Lägger man ihop termerna får man summan 8. Talet 0. Om man lägger till 0, dvs ingenting, till ett tal, blir summan lika med talet. Exempel 1 3 + 0 = 3 Tallinjen. Lägger man ihop talen 3 och 5 på tallinjen får man talet 8. 3 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Regel 1 Regel 2 Regel 3 Sätt siffror med samma värde under varandra vid addition, dvs ental, tiotal, hundratal osv sätts under varandra och tiondelar, hundradelar osv sätts under varandra. Vid addition speler det ingen roll i vilken ordning man lägger ihop termerna. Man sätter decimalkomma under varandra vid addition med decimaltal Exempel 2 133 + 15 = 148 ental tiotal hundratal 1 3 3 + 1 5 1 4 8 Förklaring: addition av ental 3 + 5 = 8 addition av tiotal 3 + 1 = 4 addition av hundratal 1 + 0 = 1 Enligt Regel 2 är 15 + 133 = 133 + 15 10

Exempel 3 86 + 259 = 345 Enligt regel 1 ental tiotal hundratal 1 1 8 6 + 2 5 9 3 4 5 Förklaring: Vid addition av ental: 6 + 9 = 15, sätter man 5:an i entalskolumnen och 1:an i tiotalskolumnen. Exempel 4 4,2 + 9,7 = 13,9 Enligt regel 1 tiondelar ental Vid addition av tiotal: 1 + 8 + 5 = 14, sätter man 4:an i tiotalskolumnen och 1:an i hundratalskolumnen. Addition av hundratal: 1 + 0 + 2 = 3 Enligt regel 2 är: 86 + 259 = 259 + 86 4, 2 + 9, 7 1 3, 9 Förklaring: Addition av tiondelar: 2 + 7 = 9 Sätt decimalkommat under varandra enligt regel 3. Vid addition av ental: 4 + 9 = 13 sätter man 3:an i entalskolumnen och 1:an i tiotalskolumnen. Enligt regel 2 är: 4,2 + 9,7 = 9,7 + 4,2 11

Exempel 5 17,75 + 4,7 = 22,45 Enligt regel 1 hundradelar tiondelar ental tiotal Förklaring: Addition av hundradelar: 5 + 0 = 5 1 1 1 7, 7 5 + 4, 7 2 2, 4 5 Vid addition av tiondelar: 7 + 7 = 14, sätter man 4:an i kolumnen för tiondelar och 1:an i entalkolumnen. Sätt decimalkommat under varandra enligt regel 3. Vid addition av ental: 1 + 7 + 4 = 12, sätter man 2:an i entalskolumnen och 1.an i tiotalskolumnen. Addition av tiotal: 1 + 1 = 2 Enligt regel 2 är: 17,75 + 4,7 = 4,7 + 17,75 2.2 SUBTRAKTION (MINUS) 8-5 = 3 term term differens minustecken likhetstecken Talen på båda sidor om minustecknet kallas för termer. Drar man bort 5 från 8 får man differensen 3. Vid subtraktion skall det positiva talet stå överst. Talet 0. Om man drar bort 0, dvs ingenting, från ett tal, blir differensen lika med talet. Exempel 1 5-0 = 5 12

Tallinjen. Drar man bort 5 från 8 på tallinjen får man talet 3. När man drar bort, går man till vänster på tallinjen. Pilen pekar då åt vänster, dvs i negativ riktning. +8-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exempel 2 142-11 = 131 Enligt regel 1 ental tiotal hundratal 1 4 2-1 1 1 3 1 Förklaring: Vid substraktion skall det positiva talet 142 stå överst. Subtraktion av ental: 2-1 = 1 Subtraktion av tiotal: 4-1 = 3 Subtraktion av hundratal: 1-0 = 1 Exempel 3 51-33 = 18 Enligt regel 1 ental tiotal 10 5 1-3 3 1 8 13

Förklaring: Vid subtraktion skall det positiva talet 51 stå överst. Subtraktion av ental: för att kunna utför subtraktionen 1-3 måste man låna 10 från 51 dvs 51-10 = 41. 5:an i tiotalskolumnen blir en 4:a. Talet 10 läggs till 1 i entalskolumnen, dvs 10 + 1 = 11. Nu kan man utför subtraktionen 11-3 = 8. Subtraktion av tiotal: 5:an har blivit en 4:a. Lånet av 10 markeras av ett streck över den siffra man lånar ifrån dvs 5:an. Därefter utför man subtraktionen 4-3 = 1. Exempel 4 13,7-1,5 = 12,2 Enligt regel 1 tiondelar ental tiotal 14 1 3, 7-1, 5 1 2, 2 Förklaring: Vid subtraktion skall det positiva talet 13,7 stå överst. Subtraktion av tiondelar: 7-5 = 2 Sätt decimalkomma under varandra enligt regel 3. Subtraktion av ental: 3-1 = 2 Subtraktion av tiotal: 1-0 = 1 Exempel 5 5,3-3,85 = 1,45 Enligt regel 1 hundradelar tiondelar ental 10 10 5, 3-3, 8 5 1, 4 5

Förklaring: Vid subtraktion skall det positiva talet 5,3 stå överst. Subtraktion av hundradelar: för att kunna utföra subtraktionen 0-5 måste man låna 10 hundradelar från 30 hundradelar. 10 läggs till kolumnen för hundradelar dvs 10 + 0 = 10. Nu kan man utföra subtraktionen 10-5 = 5. Subtraktion av tiondelar: 3:an har blivit en 2:a genom lån av 10 hundradelar. För att kunna utföra subtraktionen 2-8 måste man låna 10 tiondelar från 52 tiondelar. 10 läggs till kolumnen för tiondelar dvs 10 + 2 = 12. Nu kan man utföra subtraktionen 12-8 = 4. Sätt decimalkommat under varandra enligt regel 3. Subtraktion av ental: 5:an har blivit en 4:a genom lån av 10 tiondelar. Nu kan man utföra subtraktionen 4-3 = 1. 2.3 MULTIPLIKATION (GÅNGER) 4 2 = 8 faktor faktor produkt gångertecken likhetstecken Talen på båda sidor om gångertecknet kallas för faktorer och resultatet kallas för produkt. Man kan också beskriva en multiplikation som en upprepad addition av samma term. Talet 2 taget 4 gånger: 4 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Talet 4 taget 2 gånger: 2 4 = 4 + 4 = 8 Talet 0. Vilket tal som helst gånger 0 blir alltid 0. Exempel 1 4 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 Tallinjen. Man kan också beskriva de upprepad additionen 4 2 och 2 4 på tallinjen. 4 2 2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15

MULTIPLIKATIONSTABELLEN För att det skall gå lättare att räkna, är det viktigt att kunna multiplikationstabellen utantill. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 7 7 14 21 36 35 42 49 56 63 70 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Exempel 2 Vad är 4 multiplicerat med 2? Se tabellen. 1 1 2 3 4 2 8 3 4 8 Regel 1 Regel 2 Regel 3 Regel 4 Vid multiplikation spelar det inte någon roll i vilken ordning faktorerna står. Antalet uträkningar kan minskas om man sätter det tal överst som har flest antal siffror. Är en faktor eller båda heltal med nollor på slutet, gör man först multiplikationen utan nollor, därefter lägger man till alla nollor på slutet. Vid multiplikation med decimaltal skall produkten alltid innehålla summan av faktorernas decimaler. 16

Exempel 3 14 7 = 98 1 4 7 2 9 8 Förklaring. Det största talet sättes överst dvs 14, för att minska antalet uträkningar. Multiplicera: 7 4 = 28 ; 8:an placeras under 7:an och 2:an placeras till höger om 7:an som en minnesanteckning. Multplicera: 7 1 = 7. Till 7:an lägger man till 2:an (minnesanteckningen). Summan 9 placeras till vänster om 8:an. Enligt regel 1 är 14 7 = 7 14 Exempel 4 28 13 = 364 2 8 1 3 2 8 4 + 2 8 3 6 4 Förklaring. Det spelar ingen roll i vilken ordning man multiplicerar talen, för att de innehåller lika många siffror. Multiplicera: 3 8 = 24 ; 4:an placeras under 3:an och 2:an blir minnessiffra. Multiplicera: 3 2 = 6. Till 6:an adderas minnessiffran 2 och 8.an placeras framför 4:an. Multiplicera: 1 8 = 8 ; 8:an placeras under 8:an i 84. Multiplicera: 1 2 = 2 ; 2:an placeras framför 8:an. Nu adderar man båda talen och använder samma regler som vid addition. Enligt regel 1 28 13 = 13 28 17

Exempel 5 3,25 1,2 = 3,9 3, 2 5 2 decimaler 1, 2 1 1 decimal 6 5 0 + 3 2 5 3, 9 0 0 3 decimaler Förklaring. Det talet med mest antal siffror sättes överst dvs 3,25. Följande multiplikationer med 2 utfördes: 2 5 = 10 ; här blir 1:an minnessiffra och skriv 0:an under 2:an; 2 2 = 4 ; addera minnessiffran till 4, skriv 5:an under 1:an; 2 3 = 6. På första raden under strecket står nu 650. Följande multiplikationer med 1 utföres: 1 5 = 5 1 2 = 2 1 3 = 3. På andra raden, förskjutet ett steg åt vänster, skrivs 325. Addera första och andra raden. 3,25 har 2 decimaler och 1,2 har 1 decimal. Summan av antalet decimaler är 3. 3900 skall ha 3 decimaler; räknat från höger till vänster. Svaret blir 3,900 eller 3,9. Enligt regel 1 är 3,25 1,2 = 1,2 3,25 Exempel 6 6300 12 = 75600 a. 6 3 0 0 2 nollor 1 2 0 nollor 1 2 6 + 6 3 7 5 6 0 0 2 nollor b. 6 3 0 0 1 2 1 2 6 0 0 + 6 3 0 0 7 5 6 0 0 Förklaring: Man kan använda två metoder för att räkna ut 6300 gånger 12. I metod b räknar man ut multiplikationen på vanligt sätt med det största talet överst. 18

I b måste följande multiplikationer utföras med 2: 2 0 = 0, 2 0 = 0 2 3 = 6, 2 6 = 12. På första raden under strecket skrivs 12600. I b måste följande multiplikationer utföras med 1: 1 0 = 0, 1 0 = 0 1 3 = 3, 1 6 = 6. På andra raden under strecket förskjutet ett steg åt vänster skrivs 6300. Addera första och andra raden. I metod a räknar man ut multiplikationen enligt regel 3. Följande multiplikationer med 2 utföres: 2 3 = 6, 2 6 = 12. På första raden under strecket skrivs 126. Följande multiplikationer med 1 utföres: 1 3 = 3, 1 6 = 6. På första raden under strecket, förskjutet ett steg åt vänster, skrivs 63. Addera första och andra raden. 6300 har 2 nollor och 12 har inga nollor. Summan av antalet nollor blir 2. I slutet av talet, till höger om 6:an, skrivs 2 nollor. Svaret blir 75600. Enligt regel 1 är 6300 12 = 12 6300 2.4 DIVISION (DELAT MED) täljare 12 bråkstreck = 4 kvot 3 nämnare Talet över bråkstrecket kallas för täljare och talet under kallas för nämnare. Resultatet av divisionen kallas för kvot. Divisionen kan också skrivas så här 12/3 = 4. Talet 0. Noll dividerat med vilket tal som helst är lika med noll. Exempel 1 0/4 = 0 Vilket tal som helst dividerat med noll går inte att räkna ut. Exempel 2 4/0 =? (går inte att räkna ut) 19

Tallinjen. Man kan också beskriva divisionen på tallinjen. Delas 12 i 3 lika stora delar, blir varje del 4. 12 4 4 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.4.1 DIVISION, MED HELA TAL I NÄMNAREN, SOM GÅR JÄMT UT Exempel 3 Man kan ställa upp divisionen 656/8 på många olika sätt, men uträkningen är densamma. Genom att pröva hur många gånger 8 går i 656 får man fram kvoten. a. 6 5 6 8 b. 082-0 082 8 6 5 6 6 5-0 - 6 4 6 5 1 6-6 4-1 6 1 6 0-1 6 0 c. 6 5 6 : 8 = 082-0 6 5-6 4 1 6-1 6 0 Förklaring: Följande förklaringar gäller alla tre uppställningarna. Pröva först hur många gånger nämnaren 8 går i första siffran från vänster dvs 6:an. 8.an går inga hela gånger i 6. Då skriver man en nolla i kvoten och en nolla under 6:an och subtraherar på vanligt sätt: 6-0 = 6. Flytta ner nästa siffra, som är en 5:a och skriv den till höger om 6.an under strecket. Pröva hur många gånger 8 går i 65. 8 8 = 64. 8 går alltså 8 gånger i 65. 20

Skriv 8 till höger om nollan och 64 under 65 och subtrahera: 65-64 = 1 Flytta ned den sista 6:an och skriv den till höger om 1:an under strecket. Pröva hur många gånger 8 går i 16. 8 går 2 gånger i 16. Skriv 2 till höger om 8:an i kvoten och 16 under 16 och subtrahera: 16-16 = 0 dvs talet går jämt ut. 8 går alltså 82 gånger i 656 dvs 8 multiplicerat med 82 är 656. Nollan framför 82 saknar betydelse. Exempel 4 369/18 = 20,5 0 2 0, 5 a. 3 6 9, 0 18 18 3 6 9, 0-0 020,5-0 3 6 3 6-3 6-3 6 0 9 0 9-0 - 0 9 0 9 0-9 0-9 0 0 0 3 6 9, 0 : 18 = 020,5-0 3 6-3 6 0 9-0 9 0-9 0 0 Förklaring: Följande förklaring gäller för alla tre uppställningarna. Pröva hur många gånger 18 går i 3. 18 går inga gånger i 3. Skriv 0 i kvoten och 0 under 3:an och subtrahera: 3-0 = 3. Flytta ned nästa siffra dvs 6.an. Pröva hur många hela gånger 18 går i 36. 18 går 2 gånger i 36. 18 2 = 36. 21

Skriv 2 i kvoten och 36 under 36 och subtrahera: 36-36 = 0. Flytta ner nästa siffra dvs 9:an. Pröva hur många gånger 18 går i 9. 18 går inga hela gånger i 9. Skriv 0 i kvoten och 0 under 9:an och subtrahera: 9-0 = 0. Nu är alla siffror använda i talet 369. Nästa position är tiondelar. Eftersom det är 369 hela, så är antalet tiondelar 0. Ett annat sätt att skriva talet 369 är 369,0. Flytta ner nollan efter kommat och sätt den till höger om 9:an. Sätt samtidigt ett komma efter talet 20 i kvoten. Pröva hur många hela gånger 18 går i 90. 18 går 5 gånger i 90. Skriv 5 i kvoten och 90 under 90 och subtrahera: 90-90 = 0. 18 går 20,5 i 369 dvs 18 multiplicerat med 20,5 är 369. Nollan framför 20,5 saknar betydelse. 2.4.2 DIVISION, MED DICIMALTAL I NÄMNAREN, SOM GÅR JÄMT UT Regel 1 Kommatecknet i nämnaren måste bort genom förlängning, annars går inte divisionen att utföra. Om det är en decimal i nämnaren: multiplicera täljare och nämnare med 10. Om det är två decimaler i nämnaren: multiplicera täljare och nämnare med 100. Om det är tre decimaler i nämnaren: multiplicera täljare och nämnare med 1000. Exempel 5 432/1,8 = 240 432 10 4320 = = 240 1,8 10 18 22

0 2 4 0 18 4 3 2 0-0 4 3-3 6 7 2-7 2 0 0-0 0 Förklaring: För att kunna utför divisionen måste 1,8 omvandlas till heltal: 1,8 10 = 18 Man kan utföra divisionen när man har multiplicerat täljare och nämnare med 10. Räkna ut divisionen på vanligt sätt. 2.4.3 DIVISION, SOM INTE GÅR JÄMT UT Regel 2 Exempel 6 Går inte divisionen jämt ut avrundar man till det antal siffror man behöver (se avrundningsregler) Divisionen 23/3 avrundas till 2 decimaler. 0 7, 6 6 6 3 2 3, 0 0 0-0 2 3-2 1 2 0-1 8 2 0-1 8 2 0-1 8 2 rest Förklaring: Hos en division, som inte går jämt ut, får man ett tal kvar efter sista subtraktionen. Detta tal kallas rest. Tecknet betyder ungefär lika med 23

När ett tal avrundas följer man avrundningsreglerna. Divisionen 23/3 7,666... avrundas till 2 decimaler 23/3 7,67. 3 BENÄMNDA TAL Ett benämnt tal har text, som innehåller matematiska uppgifter. Exempel 1 En person handlar 1 liter mjölk för 9,10 kr, köttfärs för 30,50 kr och leverpastej för 25,25 kr. Hur mycket fick han betala? Uppställning mjölk 9,10 köttfärs 30,50 leverpastej 25,25 Räkna ut de tre varornas summa: 9,10 30,50 + 25,25 64,85 Svar: Han måste betala 64,85 kr för varorna. 4 AVRUNDNINGSREGELERNA Regel 1 Regel 2 Om den sist beräknade siffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 skall närmast föregående siffra behållas. Om den sist beräknade siffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 skall närmast föregående siffra avrundas uppåt. 4.1 AVRUNDNING AV DECIMALTAL MED TVÅ ELLER FLERA DECIMALER Exempel 1 5,472 5,47 (regel 1) Exempel 2 6,1238 6,124 (regel 2) 4.2 AVRUNDNING TILL ENTAL Exempel 3 2,3 2 (regel 1) Exempel 4 6,84 7 (regel 2) 24

4.3 AVRUNDNING TILL TIOTAL Exempel 5 53 50 (regel 1) Exempel 6 827 830 (regel 2) 4.4 AVRUNDNING TILL HUNDRATAL Exempel 7 792 800 (regel 2) Exempel 8 2036 2000 (regel 1) Förklaring: Slutsiffrorna 92 i exempel 7 är mer än 50, därför avrundas hundratalssiffran uppåt. Slutsiffrorna 36 i exempel 8 är mindre än 50, därför behåller man hundratalssiffran. 4.5 AVRUNDNING AV KVOTER Exempel 9 Räkna ut 11/3 och avrunda till tre decimaler. 11/3 = 3,66666... 3,667 (regel 2) 5 ÖVERSLAGSRÄKNING Vid överslagsräkning förenklar man ett tal så att det går att räkna ut snabbt. Några exakta ragler för hur överslagsräkning skall utföras, går inte uppställa. Om t ex två personer gör samma överslagsberäkning kommer de sannolikt till olika resultat. Överslagsräkning kan t ex användas för att bedöma om svaret på den exakta uträkningen är rimlig. Exempel 1 Beräkna 14 + 25 med överslagsräkning. Ge exempel på två olika sätt att beräkna additionen. 14 + 25 = 39 a. 14 + 25 10 + 30 = 40 b. 14 + 25 10 + 20 = 30 25

Exempel 2 Beräkna 472-125 med överslagsräkning. Ge exempel på två olika sätt att beräkna subtraktionen. 472-125 = 347 a. 472-125 500-100 = 400 b. 472-125 475-125 = 350 Exempel 3 Beräkna 52 25 med överslagsräkning. Ge exempel på två olika sätt att beräkna multiplikationen. 52 25 = 1300 a. 52 25 50 20 = 1000 b. 52 25 50 30 = 1500 Exempel 4 Beräkna 46/7 med överslagsräkning. 46/7 49/7 = 7 En mer exakt uträkning med 3 decimalers noggrannhet ger 6,571. Exempel 5 Beräkna 298/4 med överslagsräkning. 298/4 300/5 = 60 En mer exakt uträkning ger 74,5 26

6 DE VANLIGASTE SORTERNA LÄNGD 1 mil = 10 km mil km m dm cm mm 1 km = 1000 m 0 0 000 0 0 0 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm AREA 1 mil 2 = 100 km 2 mil 2 km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 km 2 = 100 ha 00 00 00 00 00 00 00 00 1 ha = 100 a 1 m 2 = 100 dm 2 1 dm 2 = 100 cm 2 ha betyder hektar, a betyder ar 1 cm 2 = 100 mm 2 VOLYM 1 m 3 = 1000 m 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 1 dm 3 = 1000 cm 3 000 000 000 000 1 cm 3 = 1000 mm 3 1 hl = 100 l (liter) hl l dl cl ml 1 l = 1 dm 3 = 10 dl 0 00 0 0 0 1 dl = 10 cl 1 cl = 10 ml VIKT 1 ton = 1000 kg ton kg hg g mg 1 kg = 10 hg 0 000 0 00 000 1 hg = 100 g 1 g = 1000 mg TID 1 år = 12 månader = 52 veckor = 365 dagar 1 dygn = 24 tim 1 tim = 60 min 1 min = 60 sek Vid ränteberäkning: 1 mån = 30 dagar, 1 år = 360 dagar 27

Exempel 1 Skriv som km: 3 mil och 5 m. Exempel 2 Skriv som mil: 67 m. Sätt in exempel 1 och 2 i nedanstående tabell Längd mil km m dm cm mm Svar Ex 1 3 0, 005 30,005 km Ex 2 0, 0 067 0,0067 mil Förklaring: I exempel 1 sätts kommat efter km och i exempel 2 sätts det efter mil. Fyll ut med nollor som tabellen visar. Exempel 3 Skriv som m 2 : 30 cm 2 Exempel 4 Skriv som km 2 : 0,3 m 2 Sätt in exempel 3 och 4 i nedanstående tabell. Area km 2 ha a m 2 dm 2 cm 2 Svar Ex 3 0, 00 30 0,003 m 2 Ex 4 0, 00 00 00 30 0,0000003 km 2 Förklaring: I exempel 3 sätts kommat efter m 2 och i exempel 4 sätts det efter km 2. Fyll i med nollor som tabellen visar. Exempel 5 Skriv som m 3 : 15 cm 3 Exempel 6 Skriv som dm 3 : 2,05 cm 3 Sätt in exempel 5 och 6 i nedanstående tabell. Volym m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Svar Ex 5 0, 000 015 0,000015 m 3 Ex 6 0, 002 05 0,00205 dm 3 Förklaring: I exempel 5 sätts kommat efter m 3 och i exempel 6 sätts det efter dm 3. Fyll i med nollor. Exempel 7 Skriv som hl: 5 dl Sätt in exempel 7 i nedanstående tabell. Volym hl l dl cl ml Svar Ex 7 0, 00 5 0,005 hl 28

Förklaring: I exempel 7 sätts kommat efter hl. Fyll ut med nollor. Exempel 8 Skriv som ton: 5 hg Exempel 9 Skriv som hg: 10 mg Sätt in exempel 8 och 9 i nedanstående tabell. Vikt ton kg hg g mg Svar Ex 8 0, 000 5 0,0005 ton Ex 9 0, 00 010 0,0001 hg Förklaring: I exempel 8 sätts kommat efter ton och i exempel 9 sätts det efter hg. Fyll ut med nollor. Exempel 10 Uppdela i timmar, minuter och sekunder: 4592 s. Det går 60 gånger 60 = 3600 s på en tim. Dividera 4592 med 3600. Då blir svaret antalet tim. och en ev. rest. 4592 992 = 1 3600 3600 Det blir en hel timme och en rest på 992 s. Dividera resten med 60 och svaret blir i antalet min. och en ev. rest. 992 32 = 16 60 60 Resultatet blir 16 min och en rest på 32 s. Svar: 4592 s = 1 tim 16 min 32 s Exempel 11 Hur många sekunder är 2 tim 16 min 25 s Det går 3600 s på en tim. På två tim går det två gånger 3600 = 7200 s. det går 60 s på en min. På 16 min går det 16 gånger 60 = 960 s. Summa av antalet sekunder: 7200 + 960 + 25 = 8185 s Svar: 8185 s 29

7 NÄRMEVÄRDEN 7.1 NÄRMEVÄRDETS FEL Om man approximerar ett reellt tal r, får man närmevärdet n på följande sätt: r n Närmevärdets fel blir då lika med n - r Formel 1 Närmevärdets fel = n - r Exempel 1 Beräkna närmevärdets fel om 2,33 2,3 Det betyder att r = 2,33 och n = 2,3 Närmevärdets fel = 2,3-2,33 = -0,03 7.2 NÄRMEVÄRDETS MAXIMALA FEL Man kan göra följande beräkningar av närmevärdets fel för att visa närmevärdets maximala fel. r n n - r = närmevärdets fel 1,5 2 2-1,5 = 0,5 1,6 2 2-1,6 = 0,4 1,7 2 2-1,7 = 0,3 1,8 2 2-1,8 = 0,2 1,9 2 2-1,9 = 0,1 2,1 2 2-2,1 = -0,1 2,2 2 2-2,2 = -0,2 2,3 2 2-2,3 = -0,3 2,4 2 2-2,4 = -0,4 2,5 2 2-2,5 = -0,5 Av beräkningarna framgår att närmevärdets maximala fel inte överstiger 5 tiondelar, vare sig i minus- eller plusriktningen från 2 räknat. 7.3 FELUPPSKATTNINGEN Feluppskattningsgränserna går alltid en halv enhet till vänster och en halv enhet till höger om ett tal på tallinjen. För att avrunda ett tal till 2,4 måste nästa siffra (hundradelen) vara följande: 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39 2,40 2,41 2,42 2,43 2,44. Minimigränsen ligger på 2,35 och maximigränsen på 2,45. Feluppskattningen varierar inom gränsen ± 0,05. 30

7.4 BERÄKNINGAR MED NÄRMEVÄRDEN Regel 1 Vid addition och subtraktion av närmevärden sker samtidigt en addition felgränserna. Exempel 1 Beräkna den sammanlagda sträckan mellan de tre punkterna A, B och C. Sträckan mellan punkterna A och B har närmevärdet 9 m och sträckan B och C har närmevärdet 6m. (9 ± 0,5) + (6 ± 0,5) = 15 ± 1 Svar: 15 ± 1 m Exempel 2 Beräkna skillnaden mellan sträckorna AB och BC i föregående exempel. (9 ± 0,5) - (6 ± 0,5) = 3 ± 1 Svar: 3 ± 1 m Regel 2 Vid multiplikation av ett närmevärde med ett exakt tal, multipliceras också felgränsen med samma tal. Exempel 3 En insekt förflyttar sig 1 m på 17 s. Hur långt förflyttar den sig på 68 s? Räkna först ut hur många meter den förflyttar sig på en sekund med två decimalers noggrannhet och multiplicera med 68. 1/17 0,06 m/s 0,06 68 = 4,08 m Felgränsen till 0,06 multipliceras med samma tal. 0,005 68 = 0,34 Svar: 4,08 ± 0,34 m Räkna ut sträckan med större noggrannhet. 68/17 = 4 Svar: 4 m 31

8 BRÅKTAL 8.1 STRÄCKAN MELLAN 0 OCH +1 0 +1 Sträckan mellan 0 och +1 på tallinjen är mest intressant när det gäller bråktal. HALVA STRÄCKAN 2/2 0 1/2 +1 Dela sträckan mellan 0 och +1 i två lika delar. Den första hälften av sträckan kommer då att ligga mellan punkterna 0 och 1/2. Lägger man till ytterliggare en halv sträcka kommer man till punkten 2/2 = 1. TREDJEDELAR 1/3 2/3 3/3 0 +1 Om man delar sträckan mellan 0 och +1 i tre lika stora delar, ligger den första tredjedelen av sträckan mellan 0 och punkten 1/3 (en tedjedel). Lägger man till ytterliggare en tredjedels sträcka, kommer man till punkten 2/3 (två tredjedelar). Om en tredjedels sträcka läggs till från punkten 2/3 kommer man till punkten 3/3 =1. FJÄRDEDELAR 1/4 2/4 3/4 4/4 0 +1 På samma sätt delar man sträckan mellan 0 och +1 i fyra lika stora delar, för att få sträckan indelad i fjärdedelar. Av tallinjen framgår det att 2/4 = 1/2 och 4/4 = 1. 8.2 BRÅKETS DELAR Ett bråktal består av täljare, nämnare och bråksträck på samma sätt som division. täljare bråksträck nämnare 3 8 32

Regel 1 Om täljaren är mindre än nämnaren är bråket mindre än 1. Regel 2 Om täljaren är lika stor som nämnaren är bråket lika med 1. Regel 3 Om täljaren är större än nämnaren är bråket större än 1. Exempel 1 Exempel 2 exempel 3 3/8 är enligt regel 1 mindre än 1, för att täljaren 3 är mindre än nämnaren 8. 5/5 är enligt regel 2 lika med 1, för att täljaren 5 är lika stor som nämnaren 5. 9/7 är enligt regel 3 större än 1, för att täljaren 9 är större än nämnaren 7. 8.3 BRÅK I BLANDAD FORM Bråk i blandad form innehåller en heltalsdel och en bråkdel. Exempel 4 3 3 heltalsdel 5 8.4 BRÅKFORM Bråkform har täljare och nämnare. Exempel 5 5 täljare 9 nämnare 8.5 OMVANDLING FRÅN BLANDAD FORM TILL BRÅKFORM 1 Exempel 6 Omvandla bråket 3 till bråkform. 4 13 Svar 4 1 4 3 + 1 13 3 = = 4 4 4 33