Examensarbete på grundnivå

Transkript

1 Examensarbete på grundnivå Independent degree project first cycle Matematik, 15 hp Mathematics (Science), 15 credits Homogeniseringsteori med tvåskalekonvergens Pernilla Jonasson

2 MITTUNIVERSITETET Kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik (KMM) Examinator: Liselott Flodén, Handledare: Liselott Flodén, Handledare: Marianne Olsson Lindberg, Författare: Pernilla Jonasson, Huvudområde: Matematik Termin, år: Vt-Ht, 2013

3 Homogeniseringsteori med tvåskalekonvergens Pernilla Jonasson Uppsats för kandidatexamen i matematik December 2013

4

5 Sammanfattning I denna uppsats behandlas homogenisering av linjära elliptiska problem. Arbetet inleds med grundläggande funktionalanalys där bland annat de viktiga Hilbertrummen definieras. De konvergensmetoder som behandlas, förutom stark konvergens, är svag konvergens, *svag konvergens och tvåskalekonvergens. Dessa konvergenser används för att homogenisera den stationära värmeledningsekvationen. Arbetet avslutas med ett numeriskt exempel där finita elementmetoden används.

6

7 Innehåll 1 Introduktion Innehåll Bakgrund Grundläggande teori Topologiska rum Metriska rum Normerade linjära rum Funktionaler på normerade linjära rum Lebesguerum och Sobolevrum Svag formulering av elliptisk PDE Konvergens Svag topologi och svag konvergens *Svag konvergens Tvåskalekonvergens Tvåskalekonvergens i Sobolevrum Homogenisering 40 5 Numeriskt exempel Finita elementmetoden Genomförande Notationslista 55 2

8

9 1 Introduktion Antag att vi ska tillverka ett helt nytt kompositmaterial. Ett sätt att göra detta på är att ta olika, redan existerande, material och blanda dessa på måfå. Om vi nu vill veta vad vårt nya material har för egenskaper, som till exempel vad det har för värmeledningsförmåga, så kan vi tillverka en prototyp och sedan testa hur bra det leder värme. Om vi inte är helt nöjd med resultatet så kan vi göra en ny blandning genom att till exempel ta lite mer av ett material och lite mindre av ett annat och sedan göra ett nytt test. Som man kanske inser är detta en tidsödande och kostsam metod för att tillverka ett material med en önskad egenskap. Det skulle vara betydligt enklare och billigare om man istället kunde ta det man redan vet om de ingående materialen och sedan göra en matematisk beräkning för att få reda på egenskaperna hos det blandade materialet. Man skulle kunna säga att det är denna typ av matematisk beräkning som vi kommer att studera i uppsatsen. Vi tänker oss att de olika komponenterna i vårt heterogena material är jämnt fördelade så att man på mikronivå får en periodisk struktur. Som figur 1 visar låter vi materialet vara vår definitionsmängd och delar upp den i små identiska kuber med sidlängden. Vi skapar också en enhetskub Y, som har sidlängden ett. Figur 1: Det heterogena materialet samt enhetscellen. Här kommer vi att studera den elliptiska stationära värmeledningsekvationen ( ( x ) ) a u (x) = f (x). (1) Koeffi cienten a ( x ) är periodisk och beskriver de olika ingående materialens värmeledningsförmåga, u (x) beskriver temperaturfördelningen i materialet och f (x) energitillförseln. Om vi låter 0 i (1) så kommer svängningarna bli kraftiga och ekvationen kan bli svår att lösa. Däremot så kan vi anta 4

10 att ju mindre blir, desto mer kommer vårat material likna ett homogent material då man ser på det från ett makroskopiskt perspektiv, se figur Innehåll Figur 2: Homogenisering av det heterogena materialet. Vi börjar, i kapitel 2, med de teoretiska grunderna inom funktionalanalys. Vi kommer att definiera topologiska rum och speciellt kommer vi att använda normtopologin. De linjära normerade rummen introduceras och bland dessa kommer vi att definiera de viktiga Lebesguerummen och Sobolevrummen (se avsnitt 2.2.2). I avsnitt 2.3 kommer vi att skriva om (1) på dess svaga form med hjälp utav så kallade testfunktioner. I kapitel 3 definierar vi svag konvergens, *svag konvergens och tvåskalekonvergens. Vi börjar med att definiera en svag topologi, där vi sedan kan definiera den svaga konvergensen. Det som skiljer den svaga topologin från normtopologin är hur de öppna mängderna definieras. Då vi pratar om svag konvergens så är det följder i ett linjärt rum X som konvergerar mot ett element i rummet, medan då man pratar om *svag konvergens så är det istället följder av funktionaler i dualrummet X som konvergerar mot ett element i dualen. Definitionen av funktional och dualrum som vi pratar om ges i avsnitt Vikten i kapitel 3 ligger på tvåskalekonvergens. Detta används då man har en produkt av två svagt konvergenta följder av en viss typ. Det som är utmärkande för just tvåskalekonvergensen är att även om följderna endast beror på en variabel så kommer gränsen att bero på två variabler. Detta betyder att tvåskalegränsen fångar upp både de mikroskopiska svängningarna och den globala trenden, till skillnad från den motsvarande svaga gränsen som endast visar den globala trenden. Själva homogeniseringen genomförs i kapitel 4. Här kommer vi att utgå från den svaga formen som vi härledde i avsnitt 2.3. Vi kommer att välja olika testfunktioner i den svaga formen, dels testfunktioner som fångar upp de mikroskopiska svängningarna, dels testfunktioner som fångar upp den globala trenden. Det är i detta avsnitt som vi kommer göra den utredningen som krävs för att kunna behandla vårt blandade material som ett homogent material på makronivå. 5

11 Vi avslutar, i kapitel 5, med att visa ett exempel. Vi kommer att lösa (1) numeriskt i en dimension med hjälp utav finita elementmetoden där vi har valt och ( x ) a = sin ( 2πx f (x) = x 2. Vi kommer att lösa ekvationen både innan och efter att vi har homogeniserat den. Här kommer vi att presentera bilder och dra slutsatser för att se vad homogeniseringen kan ge för fördelar då man vill lösa en differentialekvation som har oscillerande koeffi cienter. Sist i uppsatsen finner vi en notationslista med mängder, symboler och funktionsrum som används i arbetet. 1.2 Bakgrund Tvåskalekonvergens, som vi studerar, är ett relativt nytt sätt att behandla en produkt av två svagt konvergenta följder i L 2 (). Det var Gabriel Nguetseng som först införde denna typ av konvergens så sent som 1989 i [Ngu]. Det han visade var att en begränsad följd i Lebesguerummet L 2 () har en tvåskalegräns för vissa typer av testfunktioner. Senare, år 1992, i [All] utvecklade Grégoire Allaire konceptet och det var även han som introducerade namnet tvåskalekonvergens. Det som Allaire gjorde var att han utvidgade klassen av testfunktioner och han visade även att metoden gick att använda på både linjära och ickelinjära problem. Allaire tillsammans med Marc Briane utvecklade i [AlBr] så kallad multiskalekonvergens. Med denna konvergens kan man fånga upp svängningar i fler mikroskalor, jämfört med tvåskalekonvergens som endast kan fånga upp svängningarna i en mikroskala. Teorin om tvåskalekonvergens och homogenisering har även utvecklats av forskare vid Mittuniversitetet i Östersund. Anders Holmbom, Liselott Flodén, Marianne Olsson Lindberg, Jeanette Silfver och Jens Persson är exempel på personer som genom magisteruppsatser (se till exempel [Flo1], [Ols1] och [Silf]), doktorsavhandlingar och artiklar fört forskningen framåt. I bland annat [FHOLP], [Flo2], [Ols2] och [Per] har konceptet med tvåskalekonvergens utvecklats och generaliserats. I [FHOLP] och [Per] behandlas även den helt nya väldigt svaga multiskalekonvergensen (eng. very weak multiscale convergence) som är en vidareutveckling av ett resultat avsett för homogenisering av vissa paraboliska differentialekvationer av Anders Holmbom, [Hol]. ) 6

12 2 Grundläggande teori I det här kapitlet ska vi gå igenom de teoretiska grunderna. Vi kommer att börja med de topologiska rummen, vilka är en generalisering av de metriska rummen. Bland de metriska rummen kommer vi att studera de normerade linjära rummen samt definiera de inre produktrummen för att sedan definiera de viktiga Banachrummen och Hilbertrummen. Efter detta kommer vi att studera så kallade funktionaler, dvs linjära funktioner som avbildar element i ett linjärt rum på R. Speciellt ska vi studera de begränsade linjära funktionalerna, vilka har stor betydelse inom funktionalanalysen. Vi kommer även att definiera de viktiga Lebesguerummen och Sobolevrummen. Innan vi går in på den svaga formuleringen av en elliptisk partiell differentialekvation ska vi ge viktiga satser som till exempel Variationslemmat och Lax-Milgrams lemma. 2.1 Topologiska rum Vi börjar alltså med de topologiska rummen. Som vi sa tidigare kan man se de topologiska rummen som en generalisering av de metriska rummen. Man tänker sig att endast karaktären på elementen spelar någon roll inte avståndet mellan dem. Då man definierar ett topologiskt rum tar man en mängd och sedan en klass av delmängder som ska uppfylla vissa krav för att kunna kallas öppna. Definition 2.1 (Topologiskt rum) Ett topologiskt rum (X, T ) är ett par bestående av en icketom mängd X och en klass T av delmängder av X som satisfierar följande villkor: a) T och X T. b) Varje union (uppräknelig eller ej) av mängder i T tillhör T. c) Varje snitt av ändligt många mängder i T tillhör T. T sägs vara en topologi i X och mängderna i T kallas öppna mängder. För att få en känsla för vad ett topologiskt rum är ger vi några exempel på olika topologier. Se även kapitel 2.3 i [Mad]. Exempel 2.2 Den topologin som vi kanske är mest vana vid är den som är inducerad av en metrik, till exempel den euklidiska metriken i R n (se exempel 2.5). Två andra exempel på topologier är den triviala topologin, 7

13 T = {, X}, och den diskreta topologin T = 2 X där 2 X är potensmängden till X, dvs mängden av alla delmängder till X. Den triviala topologin är den minsta topologin som går att definiera på X, i denna topologi så är det endast tomma mängden och mängden X själv som är öppna. Den diskreta topologin är den största topologin som går att definiera på X. Med denna topologi så är alla delmängder till X öppna. Vi definierar nu vad som menas med sluten mängd, tillslutningen av en mängd, att en mängd är tät i en annan mängd samt separabel mängd i ett topologiskt rum. Definition 2.3 Vi definierar följande för mängder: a) En mängd kallas sluten om och endast om dess komplement är öppet. b) Den minsta slutna mängd, X, som innehåller X kallas för tillslutningen av X. c) En delmängd V av en mängd X sägs vara tät i X om och endast om V = X, alltså om tillslutningen av V är densamma som hela mängden X. d) En mängd X sägs vara separabel om och endast om den innehåller en uppräknelig delmängd som är tät i X Metriska rum Vi ska nu gå in på de metriska rummen, som är en generalisering av R, där man har generaliserat avståndsbegreppet. Ett metriskt rum består av en icketom mängd, alltså en mängd som innehåller åtminstone ett element, och en funktion som kallas för metrik som mäter avståndet mellan två element i rummet. Definition 2.4 (Metriskt rum) Ett metriskt rum är ett par (X, d X ) bestående av en icketom mängd X och en metrik (avståndsfunktion) d X : X X R sådan att, för alla u, v, w i X, följande villkor gäller: a) d X (u, v) 0 med likhet om och endast om u = v b) d X (u, v) = d X (v, u) c) d X (u, w) d X (u, v) + d X (v, w). 8

14 Exempel 2.5 R n är ett metriskt rum med den så kallade euklidiska metriken d R n (u, v) = n (u i v i ) 2. i=1 Vi ser att i R blir d R (u, v) = (u v) 2 = u v, vilken vi känner igen sedan tidigare. Ett annat exempel på ett metriskt rum är rummet C [0, 1] med metriken d C[0,1] (f, g) = sup f (x) g (x). x [0,1] Det finns inget som säger att man bara får ha en metrik på ett rum, till exempel kan man ta vilken mängd som helst och bilda ett metriskt rum med den diskreta metriken { 0, u = v d (u, v) = 1, u v. I föregående exempel använde vi rummet C [0, 1]. Detta rum består av alla kontinuerliga funktioner på [0, 1], se definition Vi ska nu definiera vad som menas med en öppen boll, och sedan använder vi detta för att definiera vad som menas med en öppen mängd i ett metriskt rum. Definition 2.6 (Öppen boll) Låt (X, d X ) vara ett metriskt rum. Då är, för v X och r > 0, B (v, r) = {u X : d X (u, v) < r} en öppen omgivning (eller öppen boll) med centrum i v och radien r. Definition 2.7 (Öppen mängd) Låt (X, d X ) vara ett metriskt rum. Då kallas G X för öppen om och endast om det för varje u G existerar ett r > 0 sådant att B (v, r) G. Anmärkning 2.8 Genom att definiera öppna mängder på detta sätt bildar man en topologi på X, se sats 4, kapitel 2 i [Mad] eller sats 2.8 i [Ols1]. 9

15 2.2 Normerade linjära rum En typ av metriska rum är de normerade linjära rummen (man säger oftast bara normerat rum) där man har en funktion som kallas för norm som tar ett element och, i någon mening, anger storleken på detta. Dessa rum är väldigt viktiga inom funktionalanalysen och det kanske mest kända exemplet på ett normerat linjärt rum är R n men även rum som till exempel L 2 () och W 1,2 (), som vi ska definiera senare, är normerade rum. Vi börjar med att definiera vad ett linjärt rum, eller vektorrum som det också kallas, är. Definition 2.9 (Linjärt rum) Ett linjärt rum är en icketom mängd X med en additionsfunktion + : X X X och en multiplikationsfunktion : R X X sådana att, för alla a, b R och för alla u, v, w X, följande gäller: a) u + v = v + u b) (u + v) + w = u + (v + w) c) Det existerar ett nollelement θ X sådant att u + θ = u d) Det existerar en additiv invers u X sådan att u + ( u) = θ e) 1 u = u f) a (u + v) = a u + a v g) (a + b) u = a u + b u h) a (b u) = (a b) u. Anmärkning 2.10 Man utelämnar oftast multiplikationstecknet, så från och med nu kommer vi skriva au istället för a u. Observera att ett linjärt rum är slutet under addition och multiplikation, dvs det gäller för alla linjära rum att au + bv X om u, v X och a, b R. Nu tar vi ett linjärt rum och lägger till en så kallad norm för att kunna bilda ett normerat linjärt rum. 10

16 Definition 2.11 (Normerat linjärt rum) Ett normerat linjärt rum är ett par (X, X ) bestående av ett linjärt rum X och en norm X : X R sådan att för alla u, v X gäller att: a) u X 0 med likhet om och endast om u = θ b) au X = a u X för alla a R och för varje u X c) u + v X u X + v X för varje u, v X. Anmärkning 2.12 Då man definierar metriken d utifrån normen som d X (u, v) = u v X för alla u, v X så får man en topologi på X som vi kallar för normtopologin till X. Vi betecknar den τ (X, X ). Det finns många olika normer som kan verka på ett och samma rum. Vi ger ett exempel på några olika normer man kan använda sig av. Exempel 2.13 De vanligaste normerna för en vektor u R n är: den euklidiska normen u 2 = ( n u 2 i i=1 ) 1/2 summationsnormen maximumnormen u 1 = n u i i=1 u = max 1 i n u i. Alla dessa normer är specialfall av den så kallade l p -normen där 1 p. ( n ) 1/p u p = u i p, i=1 Eftersom det kan finnas olika normer på ett och samma rum så kan man behöva veta när två normer är ekvivalenta. 11

17 Definition 2.14 (Ekvivalenta normer) Två normer X och X sägs vara ekvivalenta i rummet X om det finns positiva konstanter C 1 och C 2 sådana att C 1 u X u X C 2 u X för alla u X. Något att tänka på är att i ändligtdimensionella rum så är alla normer ekvivalenta, speciellt så är alla normer i R n ekvivalenta med den euklidiska normen. Vi ska nu se vad som menas med så kallad stark konvergens i ett normerat rum. Definition 2.15 (Stark konvergens) En följd {u n } i ett normerat rum (X, X ) sägs konvergera starkt till u X om och endast om {u n } konvergerar till u i normtopologin τ (X, X ), dvs om det för alla > 0 existerar ett N () N sådant att u n u X < för alla n > N. Man skriver u n u i X. För att kunna definiera de viktiga Banachrummen ska vi påminna oss om vad en Cauchyföljd är och vad som menas med fullständighet. Definition 2.16 (Cauchyföljd) Låt X vara ett normerat linjärt rum. Då är följden {u n } X en Cauchyföljd om och endast om det för alla > 0 existerar ett N () N sådant att för alla m, n > N. u n u m X < Definition 2.17 (Fullständighet) Ett normerat rum kallas fullständigt om varje Cauchyföljd i rummet konvergerar mot ett element i rummet. Det vi ska tänka på då man ska ta reda på om ett rum är fullständigt eller inte är att man kan ha ett rum där varje Cauchyföljd konvergerar, men att det konvergerar mot ett element som ligger utanför rummet. Nästa exempel visar detta. 12

18 Exempel 2.18 Vi tar följden { 1 n} på intervallet (0, 1) R med metriken d R (u, v) = u v. Denna följd är en Cauchyföljd eftersom det för n, m > N där N 2 gäller att 1 n 1 m 1 n + 1 m < 2 N för alla > 0. Dessutom så vet vi att 1 n 0 i R, men 0 (0, 1) så denna Cauchyföljd konvergerar mot ett element som ligger utanför rummet. Vi kan alltså dra slutsatsen att det metriska rummet ((0, 1), ) ej är fullständigt. Nu då vi vet vad som menas med fullständighet ger vi definitionen av ett Banachrum. Definition 2.19 (Banachrum) Ett fullständigt normerat rum kallas Banachrum. Innan vi kan definiera nästa klass av rum, Hilbertrummen, behöver vi veta vad en inre produkt är och hur ett inre produktrum definieras. Definition 2.20 (Inre produktrum) Ett inre produktrum (eller pre- Hilbertrum), X, är ett linjärt rum med en inre produkt (, ) X : X X R sådan att det, för alla u, v, w X och alla a, b R, gäller att: a) (u, v) X = (v, u) X b) (au + bv, w) X = a (u, w) X + b (v, w) X c) (u, u) X 0 med likhet om och endast om u = θ. Anmärkning 2.21 Varje inre produktrum är ett normerat rum under normen u X = (u, u) X. (2) Se sats 1, kapitel 6 i [Mad]. Vi har äntligen nått fram till Hilbertrummen. Dessa rum är väldigt viktiga eftersom det är i denna typ av rum vi kommer att arbeta då vi genomför homogeniseringsprocessen. 13

19 Definition 2.22 (Hilbertrum) Ett Hilbertrum är ett fullständigt inre produktrum, dvs ett Banachrum vars norm genereras av sambandet (2). Anmärkning 2.23 Då man har två normer, X och X, på ett normerat rum X som är ekvivalenta medför konvergens med avseende på normen X även konvergens med avseende på normen X. Därför gäller att, om X är ett Hilbertrum med normen u X = (u, u) X, där u X, så är X även det med normen u X = (u, u) X. Vi ska nu ge en olikhet som säger att absolutbeloppet av den inre produkten mellan två element u och v i ett Hilbertrum X är mindre än eller lika med produkten av deras normer. Denna olikhet kallas Cauchy-Schwarts olikhet. Sats 2.24 (Cauchy-Schwarts olikhet) Låt u och v vara element i ett inre produktrum X. Då gäller det att Bevis. Se Lemma i [Kre]. (u, v) X u X v X. Anmärkning 2.25 Från denna olikhet kan man även härleda triangelolikheten u + v X u X + v X, vilken gäller för alla u, v X, där X är som ovan Funktionaler på normerade linjära rum En operator är en funktion som tar ett element och avbildar det på ett annat element genom att utföra någon operation på elementet. Två exempel på operatorer är derivering och integrering. Här kommer nu en definition på en linjär operator samt linjär funktional. Definition 2.26 (Linjär operator samt linjär funktional) Låt X och V vara linjära rum. Då kallas en funktion A : X V för en linjär operator om och endast om det gäller, för alla u, v X och alla a, b R, att A (au + bv) = aau + bav. I det fallet då V = R kallas operatorn för en linjär funktional. 14

20 Det kan vara viktigt att kunna avgöra om en operator är kontinuerlig och begränsad, vilket vi gör med hjälp utav normerna. Därför ger vi nu följande två definitioner. Definition 2.27 (Begränsning) Låt X och V vara normerade linjära rum. Då är en linjär operator A : X V begränsad om och endast om det existerar en konstant C så att för alla u X. A (u) V C u X Definition 2.28 (Kontinuitet) Låt X och V vara linjära normerade rum. Då är A : X V kontinuerlig i u X om det för varje > 0 existerar ett δ (u, ) sådant att det för alla v X gäller att Av Au V < då v u X < δ. Det går att visa att kontinuitet medför begränsning och tvärtom då man pratar om linjära operatorer, vilket följande sats bekräftar. Sats 2.29 Låt X och V vara linjära normerade rum och A : X V en linjär operator, då är A begränsad om och endast om den är kontinuerlig. Bevis. Se sats 4, kapitel 4 i [Mad]. Vi ska nu definiera vad en kompakt operator är, och speciellt vad en kompakt inbäddningsoperator är, vilket används senare i kapitel 3. Definition 2.30 (Kompakt (inbäddnings)operator) Låt X och V vara normerade linjära rum och låt A : X V vara en linjär operator. Då är A kompakt om och endast om det för varje begränsad följd {u n } i X gäller att följden {A (u n )} innehåller en delföljd som konvergerar starkt till något element i V. Då X är en delmängd till V så kallas A för en kompakt inbäddningsoperator. Inbäddningsoperatorn är ofta en identitetsavbildning som flyttar ett element från ett rum till ett annat. Det rum som består av alla begränsade funktionaler på ett rum X har en speciell betydelse för funktionalanalysen och har därför fått ett eget namn, dualrum. Dessa rum har vi användning av för att till exempel visa existens och entydighet hos de partiella differentialekvationer som vi kommer att studera senare. 15

21 Definition 2.31 (Dualrum) Dualen till ett givet normerat rum X { } betecknas X (även X ) och består av alla begränsade linjära funktionaler f : X R. Anmärkning 2.32 X är självt ett normerat linjärt rum med normen f X = sup f (u). u X 1 Denna norm gör X till ett Banachrum, se följdsatsen till sats 7, kapitel 4 i [Mad]. Definition 2.33 (Bidualrum) Dualen till dualen kallas för bidualen och betecknas X (eller X ). Anmärkning 2.34 Bidualen är även den ett Banachrum, med normen F X = sup F (f). f X 1 Vi ska nu gå vidare med något som kallas reflexivitet. När man pratar om reflexivitet hos ett rum så kan man lite löst säga att det innebär att X = X, alltså att X är lika med sin bidual. För att kunna göra en formell definition av reflexivitet behöver vi först definiera vad en isometri är. Definition 2.35 (Isometri) Låt (X, d X ) och (V, d V ) vara två metriska rum. Då kallas en funktion I : X V för en isometri om den är surjektiv och avståndsbevarande. Med avståndsbevarande menas att för alla x, y X. d X (x, y) = d V (I (x), I (y)) Nu är vi redo för definitionen av ett reflexivt rum. Definition 2.36 (Reflexivitet) Ett rum är reflexivt om varje element F i X fås ur ett u X genom en isometri I : X X. Detta innebär att om X är reflexivt så är F = I (u) för alla F X, där u X. I ett reflexivt rum X kan varje element F i bidualen representeras av ett unikt element u X. Vi ger detta som en sats. 16

22 Sats 2.37 Låt X vara ett reflexivt normerat rum och antag att F X. Då existerar ett u X sådant att Bevis. Se sats 19, kapitel 4 i [Mad]. F (f) = f (u) f X. Anmärkning 2.38 För reflexiva rum gäller det även att se avsnitt 2.17 i [GoPe]. F X = u X, Med hjälp av nästa sats kan vi konstatera att alla Hilbertrum är reflexiva. Sats 2.39 Låt X vara ett Hilbertrum. Då gäller det att X är reflexivt. Bevis. Se 5.9(0) i [Alt]. Vi ska avsluta detta avsnitt med att ge definitionen av så kallad dualitetsparning, men innan detta måste vi definiera bilinjäritet. Definition 2.40 (Bilinjäritet) En funktion f : X X R kallas för en bilinjär form om det, för alla u, v, w X samt för alla a R, gäller att 1. f(u + v, w) = f(u, w) + f(v, w) 2. f(u, v + w) = f(u, v) + f(u, w) 3. f(au, v) = f(u, av) = af(u, v). Definition 2.41 (Dualitetsparning) Ett dualpar är ett par (X, X ), bestående av ett normerat linjärt rum X och dess dual X, tillsammans med en funktion, X,X : X X R som är bilinjär Lebesguerum och Sobolevrum Vi går direkt på definitionen för Lebesguerummen, vilka är de rum vi kommer att arbeta med i fortsättningen. Observera att mängden som kommer att användas flitigt i definitioner och satser framöver är en godtycklig öppen begränsad mängd i R n om inget annat anges. 17

23 Definition 2.42 (Lebesguerum) Lebesguerummet L p (), 1 p <, består av mängden av alla funktioner u : R som uppfyller u L p () < där u L p () = ( u (x) p dx) 1/p. Anmärkning 2.43 För bevis av att u L p () är en norm, se Lemma i [Kuf]. Med denna norm är Lebesguerummen fullständiga och därför Banachrum, se sats i [Kuf]. Dessutom är L 2 () ett Hilbertrum eftersom vi får normen ( ) 1/2 u L 2 () = (u (x)) 2 dx ur den inre produkten (u, v) L 2 () = u (x) v (x) dx. (3) Genom att använda Cauchy-Schwarts olikhet, som gäller för normerade linjära rum och därmed för L 2 (), ser vi att f (v) = (u, v) L 2 () = u (x) v (x) dx u L 2 () v L 2 (), dvs f, given genom (3), är begränsad och eftersom den är linjär så är f en funktional som verkar på Hilbertrummet L 2 (). Nu är det faktiskt så att alla linjära funktionaler som verkar på ett Hilbertrum kan fås med hjälp utav den inre produkten och ett element u i rummet. Dessutom är detta u unikt. Detta ges i följande sats: Sats 2.44 (Riesz-Fréchet) Låt f : X R vara en kontinuerlig linjär funktional på Hilbertrummet X. Då finns det ett unikt element u X sådant att f (v) = (u, v) X v X. Bevis. Se sats 13, kapitel 6 i [Mad]. Nu ska vi ge en sats som visar att motsvarande gäller för alla Lebesguerum L p (), 1 < p <. 18

24 Sats 2.45 (Riesz representationssats) Låt vara en öppen icketom begränsad delmängd av R n. Låt f vara en begränsad linjär funktional på L p (), dvs f (L p ()), 1 < p <. Då existerar ett unikt u L q (), där = 1, sådant att 1 p + 1 q f (v) = Vidare gäller att f (L p ()) = u L q (). Bevis. Se sats i [Kuf]. u (x) v (x) dx v L p (). (4) Anmärkning 2.46 Något att observera är att för 1 < p < så gäller att L q () representerar dualen till L p () genom (4), där 1 p + 1 q = 1. Vi ser alltså att Hilbertrummet L 2 () representerar sin egen dual. Vi ska nu ge en olikhet som är väldigt användbar. Den kan ses som en generalisering av Cauchy-Schwarts olikhet. Sats 2.47 (Hölders olikhet) Låt vara en icketom öppen mängd i R n med n 1 och antag att u L p () och v L q (), där 1 p + 1 q = 1 och 1 < p <. Då gäller att u (x) v (x) dx u (x) v (x) dx u L p () v L q (). Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. För att definiera nästa sorts rum, Sobolevrummen, måste vi införa så kallade generaliserade derivator. Innan vi gör detta ska vi definiera följande rum: Definition 2.48 Rummet C k () består av alla k gånger kontinuerligt deriverbara funktioner u : R där 0 k. I fallet då k = 0 skriver vi C() istället för C 0 () för att beteckna rummet av alla kontinuerliga funktioner u : R. Rummet C k 0 () består av alla funktioner u Ck () med kompakt stöd i. För u C 1 (a, b) och v C 0 (a, b) har vi f (v) = b a b u (x) v (x) dx = [u (x) v (x)] b a 19 a u (x) v (x) dx = b a u (x) v (x) dx.

25 Vi ser att f representeras av u, men ibland finns det en funktion så att b a u (x) v (x) dx = b a w (x) v (x) dx även om u inte tillhör C 1 (a, b). w representerar alltså derivatan till f utan att vara en derivata i vanlig mening. Vi skriver w = u. Detta kallas för den svaga eller den generaliserade derivatan. Om vi nu generaliserar den partiella integreringen genom att kika på funktioner u : R n R ges den generaliserade formen av u (x) v (x) dx = (u (x) v (x)) dx u (x) v (x) dx. Nu kan vi definiera den generaliserade derivatan i flera dimensioner. Definition 2.49 (Generaliserad derivata) Låt u, w L 2 (). Om likheten u (x) v (x) dx = w (x) v (x) dx gäller för alla v C0 () så kallas w för den generaliserade derivatan av u på med avseende på x. Anmärkning 2.50 Den generaliserade derivatan kan ligga i andra rum än L 2 (), se kapitel 2.1 i [Zie]. Som vi sa tidigare så kan den generaliserade derivatan existera även om u inte är deriverbar i vanlig mening, men om det skulle vara så att u har en derivata så sammanfaller den med den generaliserade derivatan. Nu är vi redo att definiera Sobolevrummen. Dessa rum kan sägas ha en liknande relation till Lebesguerummen som mängden av alla en gång kontinuerligt deriverbara funktioner, C 1 (), har till mängden av alla kontinuerliga funktioner, C(). Definition 2.51 (Sobolevrum) Sobolevrummet W 1,p () är mängden av alla funktioner u L p () som har generaliserade första ordningens derivator sådana att u [L p ()] n. 20

26 Anmärkning 2.52 Sobolevrummen är fullständiga, och därmed Banachrum, under normen ( 1/p u W 1,p () = u (x) p + u (x) dx) p. W 1,2 () är till och med ett Hilbertrum eftersom vi får normen u W 1,2 () = u (x) 2 + u (x) 2 dx (5) ur den inre produkten (u, v) W 1,2 () = se proposition i [Zei IIA]. (u (x) v (x) + u (x) v (x)) dx, En egenskap hos både L 2 () och W 1,2 () är att de är reflexiva. Vi ger detta som en sats. Sats 2.53 Rummen L 2 () och W 1,2 () är reflexiva. Bevis. Eftersom båda rummen är Hilbertrum så följder det av sats 2.39 att de är reflexiva. Rummet W 1,2 0 () är ett underrum till W 1,2 () och består av mängden av alla funktioner i W 1,2 () som är noll på randen. Vi ska ge en sats som man bland annat använder för att visa att det finns en enklare, ekvivalent norm på W 1,2 0 (), nämligen u W 1,2 0 () = u (x) 2 dx. (6) Vi använder även satsen senare för att visa begränsning av en följd vid homogeniseringsprocessen. Sats 2.54 (Poincaré-Friedrichs olikhet) Låt vara en begränsad mängd i R n. Då gäller att u (x) 2 dx C u (x) 2 dx u W 1,2 0 () där C är en positiv konstant som endast beror av. 21

27 Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Anmärkning 2.55 Att (6) är ekvivalent med (5) på W 1,2 0 () följer ur sats 6.28 i [Ada]. Beviset finns även att se på sida 19 i [Flo1] eller sidorna i [Ols1]. Att dessa normer är ekvivalenta på W 1,2 0 () innebär att W 1,2 0 () är ett Hilbertrum med den förenklade normen (6), se remark Innan vi går vidare ska vi nämna några rum som vi kommer att använda i det fortsatta arbetet. Vi ser hur de betecknas och hur de är relaterade till varandra. Det är vanligt att W 1,2 0 () definieras som tillslutningen av C0 (). Vidare så gäller det att rummet W 1,2 (Y ) består av alla funktioner i W 1,2 (R n ) som är Y -periodiska. Detta rum är tillslutningen av C (Y ), där C (Y ) är rummet av alla funktioner i C (R n ) som är Y -periodiska. På samma sätt gäller det att W 1,2 (Y )/R är tillslutningen av C 1,2 (Y )/R där W (Y )/R och C 1,2 (Y )/R är alla funktioner i W (Y ) respektive C (Y ) med integralmedelvärdet noll. Slutligen kan vi konstatera att dualen till W 1,p 0 (), dvs (W 1,p 0 ()) betecknas W 1,q () där p och q är varandras Hölderkonjugat ( 1 p + 1 q = 1). Vi avslutar med två satser som vi har användning för i nästa avsnitt. Sats 2.56 (Variationslemmat) Låt vara en icketom öppen mängd i R n där n 1. Låt u L 2 () och antag att u (x) v (x) dx = 0 v C0 (). Då är u (x) = 0 nästan överallt på. Bevis. Se proposition 18.2 i [Zei IIA]. Anmärkning 2.57 För förklaring av begreppet nästan överallt se sid 58 i [Cohn]. Sats 2.58 (Lax-Milgrams lemma) Låt X vara ett Hilbertrum och låt avbildningen A : X X R vara en begränsad och koerciv bilinjär form, dvs en bilinjär form som uppfyller och A (u, v) C 1 u X v X A (u, u) C 2 u 2 X 22

28 för alla u, v X där 0 < C 2 C 1 < och låt funktionalen F : X R vara linjär och begränsad. Då existerar det ett unikt u X så att för alla v X. Bevis. Se sats i [BrRS]. A (u, v) = F (v) 2.3 Svag formulering av elliptisk PDE Problemet vi ska studera är det elliptiska randvärdesproblemet { (a (x) u (x)) = f (x) på u (x) = 0 på (7) där f L 2 (). Vi har vissa krav på funktionen a : R n n : 1. a L () n n 2. a (x) ξ ξ C 1 ξ 2 nästan överallt i för alla ξ R n 3. a (x) ξ C 2 ξ nästan överallt i för alla ξ R n, där 0 < C 1 C 2 <. Vi börjar med att multiplicera med en så kallad testfunktion v C 0 () och sedan integrera partiellt med hjälp utav den generaliserade partiella integreringen: V L = (a (x) u (x)) v (x) dx = (a (x) u (x) v (x)) dx + a (x) u (x) v (x) dx. Vi får alltså (a (x) u (x) v (x) (a (x) u (x) v (x))) dx = Nu använder vi Gauss sats för att kunna göra omskrivningen f (x) v (x) dx. 23

29 (a (x) u (x) v (x) (a (x) u (x) v (x))) dx = a (x) u (x) v (x) dx a (x) u (x) v (x) n dx = f (x) v (x) dx där n betecknar den utåtriktade enhetsnormalen. Eftersom v är noll på randen får vi endast kvar a (x) u (x) v (x) dx = f (x) v (x) dx. (8) Vi kommer nu att uppfatta vänsterledet som en inre produkt på rummet W 1,2 0 (), vilket är naturligt eftersom W 1,2 0 () är tillslutningen av C0 () i W 1,2 () och vi kommer att söka vår lösning u till (7) i W 1,2 0 (). Vi låter A (u, v) = a (x) u (x) v (x) dx och F (v) = f (x) v (x) dx, där v W 1,2 0 (). Då blir den svaga formuleringen: Hitta u W 1,2 0 () sådan att A (u, v) = F (v) v W 1,2 0 (). Frågan är nu om detta u är unikt. A (u, v) är bilinjär och begränsad och eftersom a uppfyller villkoren 1-3 ovan så är A (u, v) även koerciv. F (v) är både linjär och begränsad så villkoren i Lax-Milgrams lemma (sats 2.58) är uppfyllda, vilket garanterar att u är unikt. 24

30 3 Konvergens I det här kapitlet ska vi studera olika sorters konvergens. Vi definierade stark konvergens tidigare (se definition 2.15) och nu går vi vidare med att studera svag samt *svag konvergens och fortsätter sedan med tvåskalekonvergens. Som vi vet sedan innan så gäller att en följd konvergerar om dess gränsvärde existerar. Man tänker sig att elementen i följden kommer, i någon mening, successivt närmare och närmare varandra, alltså att avståndet mellan dem blir mindre och mindre. 3.1 Svag topologi och svag konvergens Vi börjar med att definiera svag omgivning och svagt öppna mängder. Dessa bildar en helt ny topologi på X där funktionalerna spelar motsvarande roll som normen gör i normtopologin. Denna topologi kommer vi att beteckna med σ (X, X ). Definition 3.1 (Svag omgivning/svag boll) Låt a vara ett element i X, f 1, f 2,..., f n funktionaler i X och > 0. Då är delmängden { } U (a, f 1,..., f n, ) = u X : till X en svag omgivning (svag boll) till a. sup f k (u a) < 1 k n Utifrån denna definition kan vi nu definiera svagt öppen mängd. Definition 3.2 (Svagt öppen mängd) Låt G vara en icketom delmängd till X. Då sägs G vara svagt öppen om och endast om det för varje a G existerar f 1,..., f n X och > 0 sådana att U (a, f 1,..., f n, ) G. Mängden av alla svagt öppna mängder i X betecknas, som vi nämnde ovan, σ (X, X ) och kallas för den svaga topologin på X bestämd av X. Nästa sats bekräftar att σ (X, X ) verkligen är en topologi. Den visar även att den svaga topologin innehåller färre öppna mängder än normtopologin vilket gör att det känns naturligt att kalla den för svag topologi. Sats 3.3 Den svaga topologin σ (X, X ) är en topologi i X och det gäller att σ (X, X ) τ (X, X ). 25

31 Bevis. Se sats 21 och 22, kapitel 4 i [Mad]. Det som är skillnaden mellan normtopologin och den svaga topologin är alltså hur de öppna mängderna definieras. Det går att visa att varje svagt öppen mängd även är öppen med avseende på normen, men det omvända gäller inte alltid. Se exempel 7.61 och resonemanget kring detta exempel i [Gri] eller sidorna 48 till 49 i [Ols1]. Nu är vi redo att definiera svag konvergens vilken är precis likadan som definitionen för stark konvergens fast uttryckt i den svaga topologin. Definition 3.4 (Svag konvergens) En följd sägs konvergera svagt i X om den konvergerar med avseende på den svaga topologin, dvs om för alla G σ (X, X ), med u G, så existerar ett N = N (G) N sådan att u n G för alla n > N. Detta skrivs u n u i X. Nästa sats visar tydligt att det är funktionalerna som avgör om en följd konvergerar eller inte i den svaga topologin på samma sätt som normen avgör detta i normtopologin. Sats 3.5 I ett normerat rum X gäller det att u n u om och endast om då n för alla f X. f(u n ) f(u) Bevis. Se sats 23, kapitel 4 i [Mad] eller sats 3.3 i [Flo1]. Om en följd konvergerar starkt så vet man att följden är begränsad och dessutom så gäller det att gränsen är unik. Samma sak gäller för svag konvergens, vilket vi ger som en sats. Sats 3.6 Låt X vara ett normerat rum och antag att u n u. Då gäller att: a) {u n } är begränsad i X:s norm b) den svaga gränsen u till {u n } är unik. 26

32 Bevis. Se sats 24, kapitel 4 i [Mad]. Förra satsen sa att om en följd konvergerar svagt så är den begränsad, men gäller det omvända? Nästa sats säger att under vissa antaganden så kan man få svag konvergens upp till en delföljd för begränsade följder. Sats 3.7 Låt X vara ett reflexivt Banachrum. Då har varje begränsad följd {u n } i X en svagt konvergent delföljd. Bevis. Se sats 21.D i [Zei IIA]. Vi avslutar detta avsnitt med en sats som under vissa antaganden garanterar stark konvergens av följden {A (u n )} då {u n } konvergerar svagt där A är inbäddningsoperatorn (se definition 2.30). Sats 3.8 Antag att X är ett reflexivt rum som är kompakt inbäddad i V och antag att u n u i X. Då gäller att då n. A (u n ) A (u) i V, Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Anmärkning 3.9 Enligt sats 21.A och proposition i [Zei IIA] är både W 1,2 () och W 1,2 0 () kompakt inbäddade i L 2 (). Det följer då ur sats 3.8 att svag konvergens i W 1,2 () eller W 1,2 0 () ger stark konvergens i L 2 (). 3.2 *Svag konvergens Vi ska nu studera en typ av konvergens som är lätt att blanda ihop med svag konvergens. Vi såg i förra avsnittet att det vid svag konvergens är följder {u n } i rummet som konvergerar mot ett element u i samma rum om f (u n ) f (u) oberoende av vilket f i dualen man väljer. Den konvergens som vi ska studera nu kallas för *svag konvergens och där är det följder {f n } i dualrummet som ska konvergera mot ett visst element f i dualen, oberoende av vilka element i rummet de verkar på. 27

33 Definition 3.10 (*Svag konvergens) En följd {f n } i X, där X är ett normerat rum, konvergerar *svagt mot ett element f i X om och endast om för alla u X då n. Vi skriver f n (u) f(u) f n f. För att förtydliga skillnaden mellan svag och *svag konvergens ger vi följande exempel från [Flo1]. Exempel 3.11 Enligt Riesz representationssats (sats 2.45) kan varje funktional på L p () skrivas som f (v) = u (x) v (x) dx u L q (). Svag konvergens hos en följd {v n } i L p () innebär alltså att f (v n ) f (v) när n, dvs u (x) v n (x) dx u (x) v (x) dx u L q (). *Svag konvergens hos {f n } i (L p ()) betyder att f n (v) f (v) när n, vilket innebär att u n (x) v (x) dx u (x) v (x) dx v L p () där u n L q () representerar f n (L p ()). Något vi kan observera är att då p = 2 så kommer dessa konvergenser att se likadana ut, eftersom L 2 () är sin egen dual. Nu ger vi ännu en sats, som motsvarar sats 3.7, fast denna gång för den *svaga konvergensen. Sats 3.12 Låt X vara ett separabelt normerat rum. Då har varje begränsad följd {f n } i X en *svagt konvergent delföljd. Bevis. Se sats 21.E i [Zei IIA]. Anmärkning 3.13 Sats 3.12 gäller även om X ej är separabelt, men beviset blir enklare om man antar att X är det. Se sats 3, kapitel 6.3 i [Owe]. 28

34 3.3 Tvåskalekonvergens I de tidigare avsnitten har vi studerat konvergens då man endast har en följd, men nu ska vi istället studera vad som händer då man har en produkt av två följder. Om man har en följd {u n } i L 2 () som konvergerar svagt och en annan följd {v n } i L 2 () som konvergerar starkt, dvs u n (x) u (x) i L 2 () och så gäller det att f n (v n ) = v n (x) v (x) u n (x) v n (x) dx i L 2 () u (x) v (x) dx. Detta visas i proposition i [Zei IIA]. Frågan är nu vad som händer ifall båda följderna konvergerar svagt. Nguetseng bevisade att en begränsad följd i L 2 () har en gräns i L 2 ( Y ), se [Ngu]. Det han visade var att för en funktion a : Y R som är tillräckligt slät så gäller, upp till en delföljd, att ( lim u (x) a x, x ) dx = u 0 (x, y) a (x, y) dydx 0 om {u } är begränsad i L 2 (). Funktionen u 0 kallas för tvåskalegränsen till u. Observera att både u och a här endast konvergerar svagt men att man ändå kan gå i gräns för produkten av dessa följder, nämligen genom att använda sig utav så kallad tvåskalekonvergens. Det krav man har på den så kallade testfunktionen funktionen a är att den måste vara en tillräckligt slät funktion för att a ( x, x ) ska kunna tillhöra L 2 () och den måste dessutom vara Y -periodisk i den andra variabeln för varje fixt x. Det var Allaire som visade att tvåskalegränsen existerar för testfunktioner i rummet L 2 (; C (Y )), se [All], och det är detta rum som vi kommer att arbeta i då vi använder oss utav tvåskalekonvergens. För definition av L 2 (; C (Y )) se notationslistan. Vi ger nu definitionen av tvåskalekonvergens hos en funktionsföljd i L 2 (). Y 29

35 Definition 3.14 (Tvåskalekonvergens) En följd {u } i L 2 () tvåskalekonvergerar mot u 0 L 2 ( Y ) om ( lim u (x) v x, x ) dx = u 0 (x, y) v (x, y) dydx (9) 0 för alla v L 2 (; C (Y )) där Y är enhetskuben. Detta skrivs Y u (x) 2 u 0 (x, y). För att få en känsla för vad tvåskelekonvergens är tar vi ett exempel. Exempel 3.15 Vi tar följden {u }, där ( ) 2πx u (x) = 1 + x + sin (4x) + x sin, vilken konvergerar svagt mot u (x) = 1 + x + sin (4x). I figur 3 ser vi följden u tillsammans med den svaga gränsen u, för olika fixerade värden på. = 0.4 = 0.3 = 0.2 = 0.1 Figur 3: Följden u, för fyra olika värden på, tillsammans med den svaga gränsen u. 30

36 Som vi ser så fångar den svaga gränsen upp den globala trenden, men den missar de mikroskopiska oscillationerna. Det är nu vi får användning för tvåskalekonvergens! u tvåskalekonvergerar mot vilken vi ser i figur 4. u 0 (x, y) = 1 + x + sin (4x) + x sin (2πy), Figur 4: Tvåskalegränsen till följden u. Som vi kan se i figuren så följer tvåskalegränsen den svaga gränsen i x- led. Det vi däremot inte kunde se i den svaga gränsen var de mikroskopiska oscillationerna. Här ser vi att tvåskalegränsen har fångat upp dessa i y-led. Vi definierade tvåskalegränsen för testfunktioner i rummet L 2 (; C (Y )), men det går även att använda testfunktioner från andra rum. För att veta mer exakt vilka rum vi kan använda ger vi följande sats: Sats 3.16 Låt Ψ(, Y ) beteckna något av rummen L 2 (; C (Y )), L 2 (Y ; C()) eller C(; C (Y )) (se notationslistan för definitioner). Då har Ψ(, Y ) följande egenskaper: 1. Ψ(, Y ) är ett separabelt Banachrum. 2. Ψ(, Y ) är tät i L 2 ( Y ). 3. Om a (x, y) Ψ(, Y ) så gäller det att a ( x, x ) är en mätbar funktion på sådan att ( a x, x ) a (x, y) Ψ(,Y ). L2() 31

37 4. För varje a (x, y) Ψ(, Y ) gäller det att ( lim a x, x ) 2 dx = a (x, y) 2 dydx. 0 Y Bevis. Se sats 1.2 och speciellt anmärkning 1.5 i [All]. Definition 3.17 (Admissibla testfunktioner) En funktion a (x, y) Ψ(, Y ) kallas för en admissibel testfunktion. Anmärkning 3.18 Funktionerna i rummet L 2 (; C (Y )) kan användas som testfunktioner även då är obegränsad. Man kan till exempel låta = R n. Vi ger nu ett kompakthetsresultat för tvåskalekonvergens. Sats 3.19 Låt {u } vara en begränsad följd i L 2 (). Då gäller det, upp till en delföljd, att u (x) 2 u 0 (x, y) för något u 0 L 2 ( Y ). Bevis. Här följer en bevisidé med de viktigaste stegen. För ett fullständigare bevis hänvisas läsaren till beviset av sats 7 i [LNW]. Antag att {u } är begränsad i L 2 () och låt F (v) = ( u (x) v x, x ) dx vara en linjär funktional på L 2 () där v L 2 (; C (Y )). Vi har nu, enligt Hölders olikhet (sats 2.47), att ( F (v) = u (x) v x, x ) dx ( u (x) L 2 () v x, x ) ( C v x, L2() x ) L2() eftersom {u } är begränsad i L 2 (). Vidare har vi att ( v x, x ) v (x, y) L L2() 2 (;C (Y )) enligt punkt 3 i sats 3.16, dvs {F } är begränsad i (L 2 (; C (Y ))). Detta medför enligt sats 3.12 att F F 32

38 upp till en delföljd i (L 2 (; C (Y ))). Vi har nu att v F (v) = lim F (v) C lim (x, x ) L = C v (x, y) 0 0 L 2 () 2 ( Y ), enligt punkt 4 i sats F är alltså en begränsad linjär funktional på L 2 ( Y ), dvs F (L 2 ( Y )). Nu följer det från Riesz-Fréchets sats (sats 2.44) att det existerar ett unikt u 0 L 2 ( Y ) sådant att F (v) = u 0 (x, y) v (x, y) dydx. Vi har nu visat att u (x) v lim 0 för alla v L 2 (; C (Y )), dvs Y ( x, x ) dx = u 0 (x, y) v (x, y) dydx Y u (x) 2 u 0 (x, y). Nu ger vi ett par satser som visar några viktiga resultat angående tvåskalekonvergens. Vi vet att både den starka och den svaga gränsen är unik. Frågan är nu om det kan finnas två olika tvåskalegränser till en och samma följd. Svaret är nej, tvåskalegränsen är unik. Sats 3.20 Tvåskalegränsen är unik. Bevis. Se resonemanget i kapitel 3 i [LNW] eller sats 49 i [Flo2]. Nästa sats säger att faktiskt alla element i L 2 ( Y ) är en tvåskalegräns till någon följd. Sats 3.21 Varje funktion u 0 L 2 ( Y ) är en tvåskalegräns. Bevis. Se lemma 1.13 i [All]. En följd som tvåskalekonvergerar till ett element u 0 kommer även att konvergera svagt. Den svaga gränsen är då medelvärdet över enhetskuben av detta u 0. Detta ser man om man väljer en testfunktion som är oberoende av y i (9). Dessutom så kan vi se att en följd som tvåskalekonvergerar är begränsad i L 2 (), eftersom varje svagt konvergent följd är begränsad. 33

39 Sats 3.22 Låt {u } vara en följd som tvåskalekonvergerar mot u 0 L 2 ( Y ). Då är {u } begränsad och det gäller att u (x) u 0 (x, y) dy L 2 (). Bevis. Se sats 10 i [LNW]. Y I definition 3.14 använde vi testfunktioner från rummet L 2 (; C (Y )). Man skulle kunna tro att sats 3.22 gäller även om man skulle ta en mindre delmängd till L 2 (; C (Y )), som till exempel D(; C (Y )) (för definition se notationslistan). Följande exempel från [LNW] visar att så är inte fallet. Exempel 3.23 Låt = (0, 1) och låt {u } vara definierad genom { 1 u (x) =, 0 < x 0, < x < 1, se figur 5. Då gäller att Figur 5: Följden u (x) för ett fixt. ( u (x) v x, x ) dx u 0 (x, y) v (x, y) dydx Y är satisfierad för alla v (x, y) i D(; C (Y )), där u 0 (x, y) = 0. Däremot kommer inte {u } att konvergera svagt till 0 i L 2 (). Detta ser vi genom att välja funktionen v L 2 () som v (x) = 1. Vi ser nu att 1 lim 0 0 u (x) v (x) dx = 1. 34

40 Anledningen till att vi inte får den svaga gränsen u (x) = u 0 (x, y) dy = 0 är att {u } ej är begränsad i L 2 (). Y Det går att ersätta L 2 (; C (Y )) med D(; C (Y )) i definitionen för tvåskalekonvergens, om man lägger till antagandet att {u } är begränsad, se följande sats. Sats 3.24 Låt {u } vara en begränsad följd i L 2 () sådan att ( lim u (x) v x, x ) dx = u 0 (x, y) v (x, y) dxdy 0 för alla v D(; C (Y )). Då tvåskalekonvergerar u till u 0. Bevis. Se proposition 13 i [LNW]. Nästa sats ger en relation mellan svaga L 2 ()-gränser och tvåskalegränser. Sats 3.25 Låt {u } vara en följd i L 2 () som tvåskalekonvergerar mot u 0 L 2 ( Y ). Då gäller att lim u 0 L 2 () u 0 L 2 (,Y ) u L 2 (), där u (x) = Y u 0 (x, y) dy är den svaga gränsen till u. Bevis. Se sats 17 i [LNW]. Om en följd konvergerar starkt så tvåskalekonvergerar den också. Om en följd konvergerar starkt så finns det inga oscillationer som är starka nog för att påverka tvåskalegränsen, därför kommer den starka gränsen och tvåskalegränsen att sammanfalla. Y Sats 3.26 Antag att {u } konvergerar starkt till u i L p (). {u } att tvåskalekonvergera till u. Då kommer Bevis. Se sats 5 i [LNW]. 35

41 3.3.1 Tvåskalekonvergens i Sobolevrum Vid homogeniseringen kommer vi att studera ekvationer som innehåller gradienter, det är därför viktigt för oss att veta vad dessa gradienter tvåskalekonvergerar mot. I förra avsnittet visade vi hur tvåskalegränsen till begränsade följder i L 2 () såg ut. Nu ska vi visa hur tvåskalegränsen för gradienten till en begränsad följd i W 1,2 () ser ut. Vi söker alltså tvåskalegränsen, w 0, till följden { u }, där {u } är en begränsad följd i W 1,2 (). Eftersom {u } är begränsad i W 1,2 () är { u } begränsad i [L 2 ()] n och därmed vet vi, enligt sats 3.19, att det existerar en tvåskalegräns w 0. För att visa hur w 0 ser ut ska vi använda oss utav testfunktioner v som är divergensfria, dvs de tillhör rummet { } U = v [W 1,2 0 ()] n : v = 0 där har en styckvis Lipschitzkontinuerlig rand. Vi multiplicerar nu med en testfunktion v U och integrerar partiellt och får u (x) v (x) dx = u (x) ( v (x)) dx. Eftersom v = 0 är hela högerledet noll och därmed är även vänsterledet, som är en inre produkt, lika med noll. Funktionen v var godtycklig i rummet U, därför kan vi se att u måste vara vinkelrät mot alla element i U, dvs u är vinkelrät mot hela rummet U. Nu ger vi en sats som visar att det omvända också gäller, alltså att alla element w som är vinkelräta mot rummet U kan skrivas som för något u. w = u Sats 3.27 Låt vara en begränsad öppen mängd i R n som har en styckvis Lipschitzkontinuerlig rand och antag att F [W 1,2 ()] n och uppfyller villkoret F, v W 1,2 (),U = u (x) v (x) dx = 0 för varje v U. Då gäller att F = u där u L 2 (). Bevis. Se remark 1.9 i [Tem]. 36

42 Vi vet nu att varje funktion F som är vinkelrät mot rummet U är gradient till en funktion u L 2 (), men om vi dessutom ställer kravet att F ska tillhöra L 2 () så kommer u att tillhöra W 1,2 (). Nästa sats visar att om vi väljer ett F L 2 (Y ) så kommer u tillhöra W 1,2 (Y )/R. Sats 3.28 Låt F L 2 (Y ) och anta att F (y) v (y) dy = 0 Y för alla divergensfria v [C u W 1,2 (Y )/R så att (Y )] n. Då existerar en unik funktion F = u. Bevis. Se kap 5, lemma 4 i [Ngu]. Nu är vi redo att ge den sats som visar vad gradienten kommer tvåskalekonvergera mot. Sats 3.29 (Tvåskalekonvergens för gradienten) Låt {u } vara en följd i W 1,2 () sådan att u (x) u (x) i W 1,2 (). Då gäller det att och, upp till en delföljd, att u (x) 2 u (x) där u 1 L 2 (; W 1,2 (Y )/R). u (x) 2 u (x) + y u 1 (x, y) Bevis. Att {u } är begränsad i W 1,2 () innebär att u W 1,2 () < C vilket medför att u [L 2 ()] n < C. 37

43 Om a C0 () och b [C (Y )/R]n så gäller det att ab L 2 (; C (Y )/R) och på grund utav täthet så gäller detta även för b [W 1,2 (Y )/R] n. Därför gäller nu, enligt sats 3.19, att det upp till en delföljd existerar ett w 0 så att ( x ) u (x) a (x) b dx w 0 (x, y) a (x) b (y) dxdy. (10) Det vi vet om w 0 nu är att den tillhör [L 2 ( Y )] n. Antag nu att { } b U = v [W 1,2 (Y )/R] n : v = 0, dvs b är divergensfri. Vi gör nu en omskrivning av vänsterledet i (10) och utför derivering på b för att komma fram till ( x ) ( ( ( x ))) u (x) a (x) b dx = u (x) a (x) b dx = ( ( x ) u (x) a (x) b + 1 ( x ) ) a (x) y b dx = ( x ) u (x) a (x) b dx där sista steget följer av att b är divergensfri. Enligt sats 2.53 är W 1,2 () och L 2 () reflexiva och enligt exempel 3.9 är W 1,2 () kompakt inbäddad i L 2 (). Detta gör att vi kan använda sats 3.8. Eftersom {u } konvergerar svagt i W 1,2 () garanterar sats 3.8 att {u } konvergerar starkt i L 2 (). Som vi vet, enligt sats 3.26, tvåskalekonvergerar då {u } mot den starka gränsen u. Vi får alltså, då 0, att ( x ) u (x) a (x) b dx u (x) a (x) b (y) dxdy där vi kan tillämpa partiell integration på högerledet och få gränsen u (x) a (x) b (y) dxdy, dvs Y u (x) a (x) b (y) dxdy = Y Y Y Y w 0 (x, y) a (x) b (y) dxdy för alla b U. Vi gör omskrivningen (w 0 (x, y) u (x)) a (x) b (y) dxdy = 0 Y 38