Självständigt arbete på avancerad nivå

Transkript

1 Självständigt arbete på avancerad nivå Independent degree project second cycle Matematik, 15 hp Mathematics Science, 15 credits Homogenisering av elliptiska och paraboliska partiella differentialekvationer Pernilla Jonasson

2 MITTUNIVERSITETET Kvalitetsteknik, maskinteknik och matematik KMM Examinator: Liselott Flodén, Handledare: Liselott Flodén, Handledare: Marianne Olsson Lindberg, Författare: Pernilla Jonasson, Huvudområde: Matematik Termin, år: Ht, 2013

3 Homogenisering av elliptiska och paraboliska partiella differentialekvationer Pernilla Jonasson Uppsats för magisterexamen i matematik Januari 2014

4

5 Sammanfattning I det här arbetet behandlas homogeniseringsteori för elliptiska och paraboliska partiella differentialekvationer. Först ges grundläggande teori om tidsberoende rum och följder där även den svaga formen för värmeledningsekvationen formuleras. Efter detta behandlas olika konvergenser i linjära rum. Stark, svag och tvåskalekonvergens studeras kort innan multiskalekonvergens och väldigt svag multiskalekonvergens definieras. Efter detta homogeniseras ett elliptiskt problem med två skalor samt ett med fyra skalor. Som avslutning homogeniseras ett paraboliskt problem med fyra rumsskalor och fem tidsskalor.

6

7 Innehåll 1 Introduktion Innehåll Bakgrund Grundläggande teori Tidsberoende rum och paraboliska differentialekvationer Konvergens Svag konvergens Tvåskalekonvergens Multiskalekonvergens Väldigt svag multiskalekonvergens Konvergens för tidsberoende följder G-konvergens Elliptiska operatorer Paraboliska operatorer Homogenisering Homogenisering av ett elliptiskt tvåskaleproblem Homogenisering av ett elliptiskt multiskaleproblem Homogenisering av ett paraboliskt problem A Grundläggande satser 61 B Notationslista 65 2

8

9 1 Introduktion Antag att vi har ett material som är sammansatt av två eller flera andra material. Om man vill veta vad materialet har för egenskaper kan man göra tester av olika slag. Vill man förändra egenskaperna hos materialet, till exempel genom att ta lite mer av ett material och lite mindre av ett annat skulle det vara bra om man, utifrån egenskaperna av de ingående materialen, kunde göra en matematisk beräkning innan man tillverkar materialet. Man skulle kunna säga att det är denna matematiska beräkning som studeras i det här arbetet. För att ta reda på vad materialet har för egenskaper kan man ställa upp lämpliga partiella differentialekvationer, som till exempel värmeledningsekvationen som kommer att studeras ingående. Vi tänker oss att de olika komponenterna i vårt heterogena material är jämnt fördelade så att man på mikronivå får en periodisk struktur. Vi låter materialet vara vår definitionsmängd och delar upp den i små identiska kuber med sidlängden, se figur 1. Vi skapar också en enhetskub Y som har sidlängden ett. Figur 1: Det heterogena materialet samt enhetskuben. Då blir mindre och mindre får vi en följd av differentialekvationer. Om 0 kommer materialet få en finare och finare mikrostruktur och det liknar mer och mer ett homogent material, se figur 2. Figur 2: Homogenisering av det heterogena materialet. Man kan också tänka sig att man har ett material som är uppbyggt så att man får flera olika periodiska mönster. I figur 3 visas ett material som 4

10 har ett periodiskt mönster i två olika skalor. Figur 3: Ett heterogent material med två olika periodiska upprepningar. Här kommer vi att studera både den paraboliska värmeledningsekvationen t u x, t a x, t u x, t = f x, t i 0, T u x, 0 = u 0 x i u x, t = 0 på 0, T 1 och den stationära elliptiska värmeledningsekvationen { a x u x = f x i u x = 0 på 2 för olika val av a. Gemensamt för de olika valen av koeffi cienter a är periodicitet och att de beskriver de olika ingående materialens värmeledningsförmåga. f beskriver energitillförseln i materialet och det vi söker är u vilken beskriver temperaturfördelningen. 1.1 Innehåll Kapitel 2 inleds med att den svaga formuleringen av en elliptisk partiell differentialekvation tas fram och de teoretiska grunderna om paraboliska ekvationer och tidsberoende rum diskuteras. Bland annat kommer motsvarigheterna till Lebesguerummen L p och Sobolevrummen W 1,p definieras då de har ett tidsberoende. Viktiga satser som Hölders olikhet och variationslemmat för tidsberoende rum kommer också att ges i kapitlet. Dessutom definieras en så kallad evolutionstrippel och den svaga formen för en parabolisk differentialekvation formuleras. I kapitel 3 studeras stark, svag och tvåskalekonvergens övergripande innan multiskalekonvergens definieras, vilken är en generalisering av tvåskalekonvergens. Här studeras också väldigt svag multiskalekonvergens som kan användas för vissa följder som ej är begränsade i L 2 och som har en nyckelroll i homogeniseringen av vissa paraboliska problem. Dessa konvergenser 5

11 definieras även för tidsberoende följder. Slutligen definieras G-konvergens vilken är en konvergens som har innebörd även då koeffi cienten a i 1 och 2 ej är periodisk. Det är i kapitel 4 homogeniseringen genomförs. Först studeras ett elliptiskt problem med en mikroskala och sedan ett problem med tre mikroskalor. Till slut kommer huvudresultatet då ett paraboliskt problem med fyra mikroskalor i tid och tre i rum homogeniseras. Längst bak i uppsatsen ges två appendix. Som service till läsaren har vi i det första samlat välkända satser och definitioner som hänvisas till under arbetets gång. För en utförligare diskussion kring dessa satser hänvisas läsaren till [Jon]. I det andra appendixet finns en lista över notationer och funktionsrum som används i detta arbete. 1.2 Bakgrund Det finns olika inriktningar inom homogeniseringsteori. I sin mest generella form handlar homogeniseringsteori om konvergens hos operatorer utan antagande om periodicitet. Denna konvergens kallas G-konvergens och introducerades utav Spagnolo och De Giorgi, se till exempel [Spa1], [Spa2], [Spa3] och [DGS]. Andra som också utvecklat G-konvergensen är Murat och Tartar, se [MuTa], [Tar1], [Tar2], [Tar3] och [Tar4]. Från början fanns kravet att a måste vara symmetrisk men i [MuTa] utvecklade Murat och Tartar konceptet till att gälla även för ickesymmetriska matriser och gav det namnen H-konvergens. En annan inriktning, som vi inte kommer att behandla i det här arbetet, fokuserar på homogenisering av perforerade definitionsmängder, se till exempel [Tar6]. En tredje inriktning, som är ett specialfall av G-konvergens, är homogenisering av periodiskt oscillerande operatorer. Det är denna inriktning som studeras i det här arbetet. Tidiga resultat återfinns bland annat i [BLP] av Bensoussan, Lions och Papanicolaou samt i [SaPa] av Sanches-Palencia. Tvåskalekonvergens, som vi studerar, är ett relativt nytt sätt att behandla en produkt av två svagt konvergenta följder i L 2. Tvåskalekonvergens av en följd {u } i L 2 innebär att lim u x v x, x dx = u 0 x, y v x, y dydx 0 för alla v L 2 ; C Y, där Y är enhetskuben och u 0 L 2 Y. Det var Nguetseng som, så sent som 1989, först införde denna typ av konvergens, se [Ngu]. Det han visade var att en begränsad följd i Lebesguerummet L 2 har, upp till en delföljd, en tvåskalegräns för vissa typer av testfunktioner. Till skillnad från till exempel svag konvergens i L 2 kan 6 Y

12 tvåskalekonvergens även fånga upp karaktären hos mikrooscillationerna hos följden. Senare, år 1992 i [All1], utvecklade Allaire konceptet och det var även han som introducerade namnet tvåskalekonvergens. Det Allaire gjorde var att han utvidgade klassen av testfunktioner och han visade även att metoden gick att använda på både linjära och ickelinjära problem. Allaire tillsammans med Briane utvecklade i [AlBr] så kallad multiskalekonvergens. Med denna konvergens kan man fånga upp svängningar i fler mikroskalor jämfört med tvåskalekonvergens som endast kan fånga upp svängningar från en mikroskala. Olika konvergenser och homogenisering har även utvecklats av forskare vid Mittuniversitetet i Östersund. Holmbom, Flodén, Olsson-Lindberg, Silfver och Persson har genom magisteruppsatser se till exempel [Flo1], [Ols1] och [Silf], doktorsavhandlingar och artiklar fört forskningen framåt. I bland annat [FHOLP2], [Flo2], [Ols2] och [Per2] har konceptet med tvåskalekonvergens utvecklats och generaliserats. I [FHOLP2] och [Per2] behandlas även väldigt svag multiskalekonvergens som är en vidareutveckling av en metod för homogenisering av vissa paraboliska differentialekvationer av Holmbom, se [Hol]. En karaktärisering av hur gradienten av en tidsberoende följd multiskalekonvergerar gjordes i [FlOl1]. Detta utvidgas sedan till att gälla för godtyckligt många skalor i [Per2] och [FHOLP3]. Ett specialfall av homogeniseringsresultatet i [FHOLP3] studeras i detalj i avsnitt

13 2 Grundläggande teori I det här kapitlet kommer vi kortfattat gå igenom den grundläggande teorin inför homogeniseringen. Först ges den svaga formen för ett elliptiskt problem, närmare bestämt för den stationära värmeledningsekvationen, innan vi går vidare med att studera tidsberoende rum och paraboliska partiella differentialekvationer. Den elliptiska stationära värmeledningsekvationen med homogena Dirichletrandvillkor ser ut som följer: { a x u x = f x i 3 u x = 0 på Γ där f L 2 och Γ = betecknar randen till. Vi ställer följande krav på funktionen a : R N N : 1. a L N N 2. a x ξ ξ C 1 ξ 2 nästan överallt i för alla ξ R N 3. a x ξ C 2 ξ nästan överallt i för alla ξ R N där 0 < C 1 C 2 <. För att hitta den svaga formen multiplicerar man med en så kallad testfunktion v W 1,2 0 och integrerar sedan partiellt för att komma fram till a x u x v x a x u x v x dx = f x v x dx. Efter detta används Gauss sats för att göra omskrivningen a x u x v x a x u x v x dx = a x u x v x dx a x u x v x n dx Γ = f x v x dx där n betecknar den utåtriktade enhetsnormalen. Eftersom v är noll på randen får vi endast kvar a x u x v x dx = f x v x dx. 8

14 Låt och A u, v = F v = a x u x v x dx f x v x dx, där v W 1,2 0. Då blir den svaga formuleringen: Hitta u W 1,2 0 sådan att A u, v = F v v W 1, A u, v är bilinjär och begränsad och eftersom a uppfyller villkoren 1-3 ovan är A u, v även koerciv. F v är både linjär och begränsad och W 1,2 0 är ett Hilbertrum så villkoren i Lax-Milgrams lemma sats A.11 är uppfyllda, vilket garanterar att en lösning u existerar och är unik. 2.1 Tidsberoende rum och paraboliska differentialekvationer I detta avsnitt studeras paraboliska differentialekvationer och då speciellt värmeledningsekvationen. Innan detta ges, analogt med [Zei IIA], några viktiga satser och definitioner som till exempel motsvarigheten till C k och L p då man har ett tidsberoende. Definition 2.1 Låt U vara ett Banachrum. Rummet C k 0, T ; U, där 0 k, består av alla k gånger kontinuerligt deriverbara funktioner u : [0, T ] U och har normen u C k 0,T ;U = k i=0 max 0 t T u i t. 5 U I ändpunkterna t = 0 och t = T behöver endast höger- respektive vänsterderivatorna existera. I 5 betyder u 0 = u och vi skriver C0, T ; U istället för C 0 0, T ; U. Definition 2.2 Låt U vara ett Banachrum. Rummet L p 0, T ; U består av alla mätbara funktioner u : 0, T U sådana att normen u L p 0,T ;U = T 0 u t p U dt 1/p <, 6 9

15 för 1 p <, och u L 0,T ;U = ess sup u t p U <. 0 t T Rummen C k 0, T ; U och L p 0, T ; U har många bra egenskaper, som till exempel att de är Banachrum under normerna ovan om U är ett Banachrum. Nästa sats listar olika egenskaper för dessa två rum. Sats 2.3 Låt U och Ũ vara Banachrum och låt 0 k och 1 p <. Då gäller det att a C k 0, T ; U är ett Banachrum med normen 5. b L p 0, T ; U är ett Banachrum med normen 6. c C0, T ; U är tät i L p 0, T ; U och inbäddningen är kontinuerlig. C0, T ; U L p 0, T ; U d Om U är ett Hilbertrum med inre produkt, U så är L 2 0, T ; U också ett Hilbertrum, med den inre produkten T u, v L 2 0,T ;U = 0 u t, v t U dt. e Om U är separabel så är L p 0, T ; U också separabel. f Om inbäddningen U Ũ är kontinuerlig så är inbäddningen L s 0, T ; U L r 0, T ; Ũ, där 1 r s, också kontinuerlig. Bevis. Se proposition 23.2 i [Zei IIA]. Hölders olikhet och variationslemmat är två väldigt användbara satser och går att finna i appendixet Grundläggande satser, se sats A.6 och A.9. Här ges nu deras motsvarigheter för tidsberoende rum. 10

16 Sats 2.4 Hölders olikhet för tidsberoende rum Låt U vara ett Banachrum. Då gäller Hölders olikhet T 0 v t, u t U,U dt T 0 v t q U dt 1/q T 0 u t p U dt för alla u L p 0, T ; U och v L q 0, T ; U där 1 < p < och 1 p + 1 q = 1. Speciellt gäller att alla integraler i 7 existerar. Bevis. Se proposition 23.6 i [Zei IIA]. Sats 2.5 Variationslemmat för tidsberoende rum Låt U vara ett Banachrum. Om u L 1 0, T ; U och T 0 v t u t dt = 0 för alla v C 0 0, T gäller det att u = 0 i L 1 0, T ; U, dvs u t = 0 för nästan alla t 0, T. Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Det är nu dags att definiera generaliserad derivata för tidsberoende rum. Definition 2.6 Generaliserad derivata för tidsberoende rum Låt U och Ũ vara Banachrum och låt u L1 0, T ; U och w L 1 0, T ; Ũ. Då kallas funktionen w för den generaliserade derivatan till funktionen u på 0, T om och endast om T 0 T u t v t dt = gäller för alla v C 0 0, T. Vi skriver w = u. 0 w t v t dt Följande sats säger att den generaliserade derivatan är unik. 1/p 7 11

17 Sats 2.7 Låt U och Ũ vara Banachrum och antag att u L1 0, T ; U och v, w L 1 0, T ; Ũ. Om u = v och u = w, dvs både v och w är generaliserade derivator till u, så gäller det att v t = w t nästan överallt på 0, T, dvs v = w i L 1 0, T ; Ũ. Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Hittills har U och Ũ använts för att beteckna Banachrum. Från och med nu kommer V användas för att beteckna ett reflexivt och separabelt Banachrum. Vi vill nu hitta dualen till X = L p 0, T ; V. Sats 2.8 Låt X = L p 0, T ; V där V är ett reflexivt och separabelt Banachrum och 1 < p <. Då gäller det att till varje funktion v L q 0, T ; V, där 1 p + 1 q = 1, finns det en motsvarande unik funktional v X genom T v, u X,X = 0 v t, u t V,V dt 8 för alla u X. Tvärtom gäller det att för varje v X finns det exakt ett motsvarande v L q 0, T ; V via 8 och det gäller att v X = v L q 0,T ;V. 9 Dessutom är Banachrummet L p 0, T ; V både reflexivt och separabelt. Bevis. Se proposition 23.7 i [Zei IIA]. Följdsats 2.9 Låt X = L p 0, T ; V där V är ett reflexivt och separabelt Banachrum och 1 < p <. De två reella Banachrummen X = L p 0, T ; V och L q 0, T ; V är normisomorfa, dvs det existerar en linjär bijektiv isometrisk avbildning given av I v = v. I : L q 0, T ; V X 12

18 Normisomorfa Banachrum kan identifieras med varandra, därför kan X identifieras med L q 0, T ; V då X = L p 0, T ; V och från och med nu skriver vi X = L q 0, T ; V. På samma sätt kan v = I v identifieras med v där v X. Därför kan man skriva 8 och 9 som T v, u X,X = 0 v t, u t V,V dt och v X = T v t q V dt 1/q 0 för alla u X och v X. Nu introduceras ett samband som, under vissa villkor, gäller mellan H, V och V där H är ett separabelt Hilbertrum och V ett reflexivt separabelt Banachrum. Definition 2.10 Evolutionstrippel Låt V vara ett reellt, separabelt och reflexivt Banachrum och antag att H är ett reellt, separabelt Hilbertrum. Låt V vara kontinuerligt inbäddad i H vilket innebär att V H och u H C u V för alla u V. Låt också V vara tät i H. Vi säger då att formar en evolutionstrippel. Exempel 2.11 Det gäller att är en evolutionstrippel. V H V W 1,2 0 L 2 W 1,2 Sats 2.12 Låt V H V vara en evolutionstrippel. Då finns det, för varje h H, en linjär och kontinuerlig funktional h : V R genom h, v V,V = h, v H för alla v V, dvs h V. Avbildningen h h från H till V är linjär, injektiv och kontinuerlig. 13

19 Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Man kan alltså identifiera h H med h V, vilket kan tolkas som att H V. Från och med nu skriver vi h istället för h och det gäller att för alla h H och v V samt h, v V,V = h, v H h V C h H för alla h H där C är en konstant. Nästa sats ger några egenskaper om den generaliserade derivatan då H, V och V bildar en evolutionstrippel. Sats 2.13 Låt V H V vara en evolutionstrippel och låt 1 p, q och 0 < T <. Då gäller följande: a Låt u L p 0, T ; V. Då existerar det en generaliserad derivata u L q 0, T ; V om och endast om det finns en funktion w L q 0, T ; V sådan att T T u t, z H v t dt = w t, z V,V v t dt 0 för alla z V och alla v C 0 Då är u = w och 0 0, T. d dt u t, z H = u t, z V,V håller för alla z V och nästan alla t 0, T. Här betyder d dt den generaliserade derivatan av reella funktioner på 0, T. b För u L p 0, T ; V är den generaliserade derivatan u unik som ett element i L q 0, T ; V. 14

20 Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Vi har nu kommit fram till definitionen för det rum dit lösningarna för våra paraboliska partiella differentialekvationer kommer att lokaliseras. Dessa rum har stor betydelse i homogeniseringsprocessen som vi ska se i kapitel 4. Definition 2.14 Låt X = L p 0, T ; V. Då definieras rummet W 1,p 0, T ; V, H som mängden av alla u X som har generaliserade derivator u X = L q 0, T ; V där 1 < p < och 1 p + 1 q = 1. Här följder några egenskaper för W 1,p 0, T ; V, H, bland annat att detta rum är ett Banachrum. Sats 2.15 Låt V H V vara en evolutionstrippel och låt 1 < p <, = 1 och 0 < T <. Då gäller följande: 1 p + 1 q a Rummet W 1,p 0, T ; V, H bildar ett Banachrum under normen u W 1,p 0,T ;V,H = u L p 0,T ;V + u L q 0,T ;V. b Inbäddningen W 1,p 0, T ; V, H C0, T ; H är kontinuerlig. Mer precist gäller att om u W 1,p 0, T ; V, H så existerar det en unik kontinuerlig funktion u : [0, T ] H vilken sammanfaller med u nästan överallt på [0, T ]. Vi skriver nu u istället för u och det gäller att där C > 0. max 0 t T u t H C u W 1,p 0,T ;V,H c För alla u, v W 1,p 0, T ; V, H och godtyckliga t, s, där 0 s t T, gäller följande generaliserade formel för partiell integration: = t s u t, v t H u s, v s H u τ, v τ V,V + v τ, u τ V,V dτ. 15

21 Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Nästa sats ger oss de verktyg vi behöver för att kunna hitta den svaga formen för en parabolisk partiell differentialekvation. Fortsättningsvis kommer vi att beteckna T = 0, T och Γ T = Γ 0, T, där är en öppen begränsad mängd i R N, N 1, och 0 < T <. Sats 2.16 Låt värmeledningsekvationen t u x, t a x, t u x, t = f x, t i T u x, 0 = u 0 x i u x, t = 0 på Γ T, 10 där f L 2 T och u 0 L 2, vara given. Antag att funktionen uppfyller följande krav: 1. a L T N N a : T R N N 2. a x, t ξ ξ C 1 ξ 2 för alla x, t T och för alla ξ R N 3. a x, t ξ C 2 ξ för alla x, t T och för alla ξ R N, där 0 < C 1 C 2 <. Då lyder den generaliserade formuleringen: Hitta u W 1,2 0, T ; W 1,2 0, L 2 med u x, 0 = u 0 x sådan att d dt u t, v L 2 + A u, v; t = f t, v W 1,2,W 1, för alla v W 1,2 0 där A u, v; t = och f t, v a x, t u x, t v x dx W 1,2,W 1,2 0 = f x, t v x dx. Under de givna förutsättningarna existerar alltid lösningen u som dessutom är unik. 16

22 Bevis. Se proposition i [Zei IIA]. Det går att skriva om 11 till u x, t v x t c t dxdt + a x, t u x, t v x c t dxdt 12 T T = f x, t v x c t dxdt T där v W 1,2 0 genom att multiplicera med c C0 över 0, T, se avsnitt i [Zei IIA]. 0, T och integrera Anmärkning 2.17 Vi gör omskrivningen till den svaga formen 12 eftersom det är så vi formulerar homogeniseringsproblemen för att kunna använda till exempel tvåskalekonvergens och multiskalekonvergens. 17

23 3 Konvergens I det här kapitlet studeras några olika slags konvergenser. En följd {u h } sägs konvergera starkt i ett normerat rum X mot ett element u X om och endast om det för alla > 0 existerar ett N N sådant att u h u X < för alla h > N. Detta skrivs som bekant u h u i X. Vi kommer att studera svag konvergens, tvåskalekonvergens och multiskalekonvergens för att sedan gå vidare med väldigt svag multiskalekonvergens. Dessa konvergenser kommer vi även att studera för tidsberoende följder. 3.1 Svag konvergens I svag konvergens spelar funktionalerna motsvarande roll som normen gör vid stark konvergens. En följd {u h } i ett normerat rum X sägs konvergera svagt till u om f u h f u för alla f X då h. Detta skrivs u h u i X. Studera följden 2πx u x = 1 + x + sin 4x + x sin som har den svaga gränsen u x = 1 + x + sin 4x. I figur 4 ser man att den svaga gränsen fångar upp den globala trenden hos följden {u }. 18

24 a = 0.2 b = 0.1 Figur 4: Följden u tillsammans med den svaga gränsen för två val av epsilon. Man kan nu ställa sig frågan vad som händer då man har en produkt av två följder. Om den ena följden konvergerar svagt i L 2 och den andra starkt kommer produkten av följderna konvergera mot produkten av deras respektive gränser, dvs om u h x u x i L 2 och gäller det att v h x v x u h x v h x dx i L 2 u x v x dx. Detta visas i proposition i [Zei IIA]. Detsamma gäller inte alltid då båda följderna konvergerar svagt. Tag till exempel följderna 2πx u x = e x cos och Det gäller då att och 2πx v x = e x cos. u 0 v 0 19 i L 2 i L 2.

25 Figur 5 visar följderna u och v för ett fixt tillsammans med deras respektive svaga gränser. Figur 5: Följderna u och v för = 0.1 tillsammans med Figur 6 visar nu deras respektive svaga gränser. 2πx u v = cos 2 tillsammans med produkten uv av de svaga L 2 -gränserna till u och v. Figur 6: Produkterna u v och uv för = 0.1. Man ser klart att u x v x dx u x v x dx. Om man däremot ställer vissa krav på följderna som studeras går det att gå i gräns på ett liknande sätt som då man har en svagt och en starkt konvergent följd. Till exempel kan man använda det så kallade div-curl-lemmat, se sats 20

26 1 i [Tar3], vilken lyder: Låt {u h } och {v h } vara två följder i L 2 N sådana att u h x u x i L 2 N och Antag också att och v h x v x i L 2 N. u h L 2 C v h L 2 N N C där C är en positiv konstant. Då gäller det att u h x v h x ϕ x dx u x v x ϕ x dx för alla testfunktioner ϕ C Tvåskalekonvergens I förra avsnittet såg vi att om man har en produkt av två svagt konvergenta följder kan man, genom att ställa vissa krav på följderna, försäkra sig om att få en gräns bestående av produkten av följdernas respektive gränser. Det finns, naturligtvis, följder som inte uppfyller dessa krav och då kan ett alternativ vara att använda tvåskalekonvergens. En följd {u } i L 2 sägs tvåskalekonvergera mot u 0 L 2 Y om lim 0 u x v x, x dx = Y u 0 x, y v x, y dydx 13 för alla v L 2 ; C Y, där Y är enhetskuben. Detta skrivs u x 2 u 0 x, y. För att illustrera idén med tvåskalekonvergens studeras följden 2πx u x = 1 + x + sin 4x + x sin igen. Som man kunde se i figur 4 fångar den svaga gränsen endast upp den globala trenden och missar de mikroskopiska svängningarna. Däremot lyckas tvåskalegränsen även fånga upp information om dessa mikrooscillationer. I 21

27 figur 7a visas följden u tillsammans med den svaga gränsen och i 7b visas följdens tvåskalegräns u 0 x, y = 1 + x + sin 4x + x sin 2πy. a Följden u och den svaga gränsen b Tvåskalegränsen till följden u. Figur 7: Följden u, för = 0.1, tillsammans med den svaga gränsen samt tvåskalegränsen. Som man kan se följer tvåskalegränsen den svaga gränsen i x-led medan den har fångat upp mikrooscillationerna i y-led. För ett mer utförligt resonemang om ovanstående se exempel 3.15 i [Jon]. I 13 används så kallade testfunktioner i rummet L 2 ; C Y för att hitta tvåskalegränsen men det går även att använda funktioner från andra rum, enligt följande sats: Sats 3.1 Låt Ψ, Y beteckna något av rummen L 2 ; C Y, L 2 Y ; C eller C; C Y se notationslistan för definitioner. Då har Ψ, Y följande egenskaper: a Ψ, Y är ett separabelt Banachrum. b Ψ, Y är tät i L 2 Y. c Om a Ψ, Y så gäller det att a x, x är en mätbar funktion på sådan att a x, x a x, y Ψ,Y. L2 d För varje a Ψ, Y gäller det att lim a x, x 2 dx = 0 Y a x, y 2 dydx. 22

28 Bevis. Se sats 1.2 och speciellt anmärkning 1.5 i [All1]. Definition 3.2 Admissibla testfunktioner En funktion a Ψ, Y kallas för en admissibel testfunktion. Om man ställer vissa villkor på följden u kan man garantera tvåskalekonvergens åtminstone upp till en delföljd. Följande kompakthetsresultat bekräftar detta. Sats 3.3 Låt {u } vara en begränsad följd i L 2. Då gäller det, upp till en delföljd, att u x 2 u 0 x, y för något u 0 L 2 Y. Bevis. Se sats 7 i [LNW]. Här följder nu ett par satser som innehåller viktiga resultat angående tvåskalekonvergens. Följande sats säger att tvåskalegränsen, precis som den starka och den svaga gränsen, är unik. Sats 3.4 Tvåskalegränsen är unik. Bevis. Se resonemanget efter definition 1 i [LNW] eller sats 49 i [Flo2]. Det gäller att alla element i L 2 Y är en tvåskalegräns till någon följd, vilket nästa sats säger. Sats 3.5 Varje funktion u 0 L 2 Y är en tvåskalegräns. Bevis. Se lemma 1.13 i [All1]. Om man väljer en testfunktion som är oberoende av y i 13 ser man att en följd som tvåskalekonvergerar till ett element u 0 även kommer att konvergera svagt. Den svaga gränsen är då integralmedelvärdet av u 0 över enhetskuben. Eftersom varje svagt konvergent följd är begränsad kommer en följd som tvåskalekonvergerar också att vara begränsad. Sats 3.6 Låt {u } vara en följd i L 2 som tvåskalekonvergerar mot u 0 L 2 Y. Då är {u } begränsad och det gäller att u x u 0 x, y dy L 2. Y 23

29 Bevis. Se sats 6 i [LNW]. Nästa sats belyser ytterligare relationen mellan svaga L 2 -gränser och tvåskalegränser. Sats 3.7 Låt {u } vara en följd i L 2 som tvåskalekonvergerar mot u 0 L 2 Y. Då gäller att lim inf 0 u L 2 u 0 L 2 Y u L 2 där u x = Y u 0 x, y dy är den svaga gränsen till {u }. Bevis. Se sats 10 i [LNW]. Om en följd konvergerar starkt kommer den även att tvåskalekonvergera. Dessutom kommer den starka gränsen och tvåskalegränsen att sammanfalla. Sats 3.8 Antag att {u } konvergerar starkt till u i L 2. Då kommer {u } att tvåskalekonvergera till u. Bevis. Se sats 5 i [LNW]. Vi ska nu se vad gradienten till en följd {u } konvergerar mot. Låt {u } vara en följd som konvergerar svagt mot u i W 1,2. Detta innebär, enligt sats A.13, att u W 1,2 < C vilket medför att u L 2 N < C. Om a C0 och b [C Y /R]N gäller det att ab L 2 ; C Y /R. Enligt sats 3.3 gäller därför nu att det, upp till en delföljd, existerar ett v 0 L 2 Y N så att x u x a x b dx v 0 x, y a x b y dxdy. 14 Låt U = { v [C Y /R]N : v = 0 } och antag att b U. Gör man en omskrivning av vänsterledet i 14 och utför derivering på b kommer man fram till x u x a x b dx. 24 Y

30 W 1,2 och L 2 är reflexiva enligt sats A.7, W 1,2 är kompakt inbäddad i L 2 och eftersom {u } konvergerar svagt i W 1,2 ger sats A.15 att {u } konvergerar starkt i L 2. Enligt sats 3.8 tvåskalekonvergerar då {u } mot den starka gränsen u. Man får alltså, då 0, att x u x a x b dx u x a x b y dydx där, om man tillämpar partiell integrering på högerledet, får gränsen u x a x b y dydx, dvs Y u x a x b y dydx = Y Y Y v 0 x, y a x b y dydx för alla b U. Gör nu omskrivningen v 0 x, y u x a x b y dydx = 0 Y och tillämpa variationslemmat sats A.9 vilket ger att v 0 x, y u x b y dy = 0 Y för alla divergensfria b [C Y /R]N. v 0 x, y u x är alltså vinkelrät mot hela rummet U och man kan då skriva v 0 x, y u x = y u 1 x, y v 0 x, y = u x + y u 1 x, y för något u 1 W 1,2 Y /R, enligt sats A.12. Det går sedan att visa att u 1 L 2 ; W 1,2 Y /R, se till exempel sats 3.1 i [Hol]. Vi har nu visat att om {u } är en följd sådan att så gäller det att och, upp till en delföljd, att där u 1 L 2 ; W 1,2 Y /R. u x u x u x 2 u x i W 1,2 u x 2 u x + y u 1 x, y 15 25

31 Anmärkning 3.9 I det här kapitlet har periodisk tvåskalekonvergens behandlats. Detta kan ses som ett specialfall av följande mer generella resultat från [HSSW], sats 3: Låt och A vara begränsade öppna delmängder i R N respektive R M och antag att {u h } är en begränsad följd i L 2. Låt X L 2 A vara ett separabelt Banachrum och låt τ h vara avbildningar τ h : X L 2 sådana att lim τ hv L h 2 v L 2 A där τ h är linjär och likformigt begränsad, dvs τ h v L 2 C v X för alla v X. Då gäller för något u 0 L 2 A och upp till en delföljd att u h x τ h v x dx = u 0 x, y v x, y dydx lim h för alla v X. 3.3 Multiskalekonvergens Som vi såg i avsnitt 3.2 fångar tvåskalegränsen upp snabba oscillationer som den svaga gränsen missar, se figur 7. Multiskalekonvergens är en generalisering av tvåskalekonvergens som tillåter fler skalor och som då kan fånga upp fler typer av mikroskopiska oscillationer. Man antar att dessa skalor är mikroskopiska, dvs man låter k, k = 1,..., n, vara strikt positiva funktioner sådana att k går mot noll då gör det. Innan vi går vidare med att undersöka multiskalekonvergens ska vi införa några beteckningar. Låt Y = 0, 1 N och Y n = Y 1... Y n, Y k = Y för k = 1,..., n. Vidare betecknar vi dy n = dy n dy 1 och y n = y 1,..., y n. Nu definieras vad som menas med multiskalekonvergens. Definition 3.10 Multiskalekonvergens En följd {u } i L 2 sägs n + 1-skalekonvergera till u 0 L 2 Y n om lim u x v x, x1,..., xn dx = u 0 x, y n v x, y n dy n dx 0 Y n för alla v L 2 ; C Y n. Detta skrivs A u x n+1 u 0 x, y n. 26

32 Det första, och kanske enklaste, steget från tvåskalekonvergens till multiskalekonvergens är att lägga till en skala. En följd {u } sägs 3-skalekonvergera till u 0 L 2 Y 2 om lim 0 u x v x, x1, x2 dx = Y 2 u 0 x, y 2 v x, y 2 dy 2 dx för alla v L 2 ; C Y 2. För ett ingående exempel på treskalekonvergens, där man valt skalorna 1 = och 2 = 2, se avsnitt i [Flo2]. I det kommande arbetet kommer vi behöva ställa krav på hur skalorna i de problem vi studerar är relaterade till varandra. Därför ges följande definition. Definition 3.11 Skalorna i listan { 1,..., n } sägs vara separerade om de satisfierar k+1 lim = k för alla k = 1,..., n 1. Skalorna i listan { 1,..., n } sägs vara välseparerade om det gäller att 1 m k+1 = 0 lim 0 för något heltal m > 0 där k = 1,..., n 1. k k Följande sats ger en motsvarighet till kompakthetsresultatet för tvåskalekonvergens. Sats 3.12 Antag att {u } är en begränsad följd i L 2 och att 16 gäller. Då gäller det, upp till en delföljd, att {u } n + 1-skalekonvergerar till en gräns u 0 L 2 Y n. Bevis. Se sats 2.4 i [AlBr]. Nästa sats generaliserar tvåskalekonvergens av gradienten till multiskalekonvergens. Sats 3.13 Multiskalekonvergens för gradienten Låt {u } vara en begränsad följd i W 1,2 och antag att skalorna är separerade. Då existerar det n funktioner u 1 L 2 ; W 1,2 Y 1 /R, u k L 2 Y k 1 ; W 1,2 Y k /R, k = 2,..., n, sådana att det, upp till en delföljd, gäller att u x n+1 u x 27

33 och u x n+1 u x + n k=1 där u är den svaga W 1,2 -gränsen till {u }. Bevis. Se sats 2.6 i [AlBr]. 3.4 Väldigt svag multiskalekonvergens yk u k x, y k Tvåskalekonvergens är väldigt användbart vid homogenisering av problem som innehåller snabba oscillationer i en mikroskala, vilket vi ska se senare i avsnitt 4. Tyvärr så kan man endast använda detta på följder som är begränsade i L 2. För tvåskalekonvergens har man en stor klass av testfunktioner och gränsen fångar upp både den globala trenden samt de mikroskopiska oscillationerna. Om man skalar ner denna klass så att man endast fångar upp de mikroskopiska svängningarna kan man applicera detta på vissa följder som ej är begränsade i L 2. Det man gör är att man begränsar klassen av testfunktioner till de där integralmedelvärdet över den andra variabeln är noll. Man säger att en följd {w } i L 1 tvåskalekonvergerar väldigt svagt mot w 0 L 1 Y om lim 0 w x v 1 x v 2 x för alla v 1 C0 och v 2 C Y /R, där w 0 x, y dy = 0. Detta skrivs dx = w 0 x, y v 1 x v 2 y dydx 17 Y Y w x 2 vw w 0 x, y. Vi kommer ihåg följden 2πx u x = 1 + x + sin 4x + x sin, från avsnitt 3.1 och 3.2, med den svaga gränsen och tvåskalegränsen u x = 1 + x + sin 4x u 0 x, y = 1 + x + sin 4x + x sin 2πy. 28

34 a Följden u för = 0.2. b Den svaga gränsen. c Tvåskalegränsen. d Den väldigt svaga tvåskalegränsen. Figur 8: Följden u, för ett fixt, tillsammans med den svaga gränsen, tvåskalegränsen och den väldigt svaga tvåskalegränsen. I figur 8 visas {u } tillsammans med den svaga gränsen, tvåskalegränsen och den väldigt svaga tvåskalegränsen w 0 x, y = x sin 2πy. Som man kan se fångar den väldigt svaga tvåskalegränsen endast upp mikrooscillationerna. I detta fall existerar alltså både tvåskalegränsen och den väldigt svaga tvåskalegränsen. Man har egentligen ingen nytta av den väldigt svaga tvåskalegränsen i detta fall då den bara innehåller information om de mikroskopiska svängningarna hos följden jämfört med tvåskalegränsen som också innehåller information om den globala trenden. Poängen med denna nya konvergens är att använda den när tvåskalekonvergens inte är tillämpbar, till exempel för vissa fall när de följder man studerar inte är begränsade i L 2. Som vi kommer att se är väldigt svag tvåskalekonvergens, eller snarare väldigt svag multiskalekonvergens, en avgörande faktor i homogeniseringsprocessen för paraboliska problem med snabba tidsoscillationer. 29

35 Definition 3.14 Väldigt svag multiskalekonvergens Låt {w } vara en följd i L 1. Vi säger att {w } n + 1-skalekonvergerar väldigt svagt till w 0 L 1 Y n om lim w x v 1 x, x x,..., v 2 dx n 1 xn = w 0 x, y n v 1 x, y n 1 v 2 y n dy n dx Y n för alla v 1 C 0 ; C Y n 1 och v 2 C Y n/r där Y n w 0 x, y n dy n = 0. Vi skriver w x n+1 vw w 0 x, y n. Anmärkning 3.15 Observera att då n = 1 i definitionen ovan skrivs 18 som 17 med v 1 C0 och v 2 C Y /R. Anmärkning 3.16 Väldigt svag multiskalekonvergens förkortas fortsättningsvis i detta arbete till v-svag multiskalekonvergens och är detsamma som man på engelska kallar för very weak multiscale convergence. Sats 3.17 Den v-svaga multiskalegränsen är unik. Bevis. Se proposition 2.26 ii och anmärkning 2.52 i [Per2]. Under vissa förutsättningar går det nu att hantera följder som till exempel { } u, utan att denna behöver vara begränsad i L 2. Från början undersökte man denna typ av konvergens i en annan form, nämligen för en följd av typen { } u u där u är den svaga gränsen till {u } i W 1,2 0, se [Hol]. Det visar sig att det är onödigt att ha med termen u i täljaren, se [NgWo], så vi kommer att studera följder av typen { u }. Här kommer nu ett kompakthetsresultat. Sats 3.18 Låt {u } vara en begränsad följd i W 1,2 0 och låt { 1,..., n } vara en lista av välseparerade skalor. Då existerar det en delföljd sådan att u x n n+1 vw u n x, y n där, för n = 1, u 1 L 2 ; W 1,2 Y 1 /R och, för n = 2, 3,..., u n L 2 Y n 1 ; W 1,2 Y n /R är desamma som i sats Bevis. Se sats 4 i [FHOP]. 30

36 3.5 Konvergens för tidsberoende följder I det här avsnittet studeras konvergens av följder som har oscillationer i både tid och rum. Vi har sett att för följder med mikrooscillationer i en rumsskala kan vi använda tvåskalekonvergens. Om man lägger till en skala med snabba mikrooscillationer i tid behöver konceptet med tvåskalekonvergens anpassas. Innan detta görs ska vi införa några beteckningar. Analogt med de mikroskopiska skalorna k i avsnitt 3.3 låter vi j, j = 1,..., m, vara strikt positiva funktioner sådana att j går mot noll då gör det. Vi låter S = 0, 1 och S m = S 1... S m, S j = S för j = 1,..., m. Vidare låter vi Y n,m = Y n S m, ds m = ds m ds 1 och s m = s 1,..., s m. Man säger att en följd {u } i L 2 T 2, 2-skalekonvergerar mot u 0 L 2 T Y 1,1 om lim u x, t v x, t, x, t 0 dxdt T = u 0 x, t, y, s v x, t, y, s dydsdxdt Y 1,1 T för alla v L 2 T ; C Y 1,1. Detta skrivs u x, t 2,2 u 0 x, t, y, s. Precis som med den vanliga tvåskalekonvergensen kan man generalisera detta resultat till att gälla för flera skalor. Definition 3.19 n + 1, m + 1-skalekonvergens En följd {u } i L 2 T sägs n + 1, m + 1-skalekonvergera mot u 0 L 2 T Y n,m om lim u x, t v x, t, x,..., x, t t 0 T 1 n,..., 1 dxdt m = u 0 x, t, y n, s m v x, t, y n, s m dy n ds m dxdt Y n,m T för alla v L 2 T ; C Y n,m. Detta betecknas u x, t n+1,m+1 u 0 x, t, y n, s m. För vanlig multiskalekonvergens hade vi vissa antaganden om hur skalorna var relaterade till varandra. Nu behövs en motsvarighet för multiskalekonvergens av tidsberoende följder. 31

37 Definition 3.20 Gemensamt välseparerade listor av skalor Låt skalorna i listorna { 1,..., n } och { 1,..., m} vara välseparerade. Samla alla element i båda listorna till en gemensam lista. Om det finns några dubbletter, där vi med dubbletter menar skalor som går lika fort mot noll, tar vi bort den ena av dessa skalor. Om skalorna i listan som återstår, då man har ordnat den i storleksordning, är välseparerade så sägs listorna { 1,..., n } och { 1,..., m} vara gemensamt välseparerade. För en mer tekniskt strikt definition och några exempel hänvisas läsaren till avsnitt 2.4 i [Per2]. Här följder ett kompakthetsresultat för n + 1, m + 1-skalekonvergens. Sats 3.21 Låt {u } vara en begränsad följd i L 2 T och antag att listorna { 1,..., n } och { 1,..., m} är gemensamt välseparerade. Då existerar det ett u 0 L 2 T Y n,m sådant att upp till en delföljd. u x, t n+1,m+1 u 0 x, t, y n, s m Bevis. Se sats 17 i [FHOLP3] eller sats 2.66 i [Per2]. Anmärkning 3.22 Det räcker att listorna i satsen ovan är gemensamt separerade men resultatet gäller även för gemensamt välseparerade listor eftersom en välseparerad lista även är separerad. Konceptet med gemensamt separerade listor fås genom den självklara modifieringen av definition Nästa sats visar hur multiskalekonvergens för gradienten av en tidsberoende följd ser ut. Sats 3.23 Låt {u } vara en begränsad följd i W 1,2 0, T ; W 1,2 0, L 2 och antag att listorna { 1,..., n } och { 1,..., m} är gemensamt välseparerade. Då existerar det en delföljd sådan att och u x, t u x, t i L 2 T, u x, t u x, t i L 2 0, T ; W 1,2 0 u x, t n+1,m+1 u x, t + n yk u k x, t, y k, s m, där u W 1,2 0, T ; W 1,2 0, L 2, u 1 L 2 T S m ; W 1,2 Y 1 /R och u k L 2 T Y k 1,m ; W 1,2 Y k /R för k = 2,..., n. 32 k=1

38 Bevis. Se sats 5 i [FHOLP3] eller sats 2.74 i [Per2]. Vi går raskt vidare med att definiera v-svag multiskalekonvergens för evolutionsproblem. Definition 3.24 v-svag n + 1, m + 1-skalekonvergens Man säger att en följd {w } i L 1 T n + 1, m + 1-skalekonvergerar v-svagt till w 0 L 1 T Y n,m om lim 0 = T w x, t v 1 T x, x 1,..., x n 1 v 2 c t, xn t,..., 1 t m dxdt Y n,m w 0 x, t, y n, s m v 1 x, y n 1 v 2 y n c t, s m dy n ds m dxdt 19 för alla v 1 C 0 ; C Y n 1, v 2 C Y n/r och c C 0 0, T ; C Sm. En unik gräns är garanterad genom kravet att Y n w 0 x, t, y n, s m dy n = 0. Detta skrivs w x, t n+1,m+1 vw w 0 x, t, y n, s m. Anmärkning 3.25 Om n = 1 i definitionen ovan så skrivs 19 lim w x, t v 1 x c t, t t x 0 T,..., 1 v 2 dxdt m = w 0 x, t, y, s m v 1 x c t, s m v 2 y dyds m dxdt Y 1,m T där v 1 C 0, v 2 C Y /R och c C 0 0, T ; C Sm. Följande sats är viktig och kommer att vara ett nyckelresultat då ett specialfall av värmeledningsekvationen 10 ska homogeniseras. Sats 3.26 Låt {u } vara en begränsad följd i W 1,2 0, T ; W 1,2 0, L 2 och antag att listorna { 1,..., n } och { 1,..., m} är gemensamt välseparerade. Då gäller det, upp till en delföljd, att u x, t n n+1,m+1 vw u n x, t, y n, s m där, om n = 1, u 1 L 2 T S m ; W 1,2 Y 1 /R och, om n = 2, 3,..., u n L 2 T Y n 1,m ; W 1,2 Y n /R är desamma som i sats Bevis. Se sats 8 i [FHOLP3] eller sats 2.78 i [Per2]. 33

39 3.6 G-konvergens Hittills har vi studerat konvergenser som kan användas vid periodisk homogenisering. Vid G-konvergens är det inte längre nödvändigt att ha en periodisk mikrostruktur, dvs koeffi cienten a i 3 och 10 behöver inte nödvändigtvis vara periodisk. Som nämndes i introduktionen infördes G-konvergens av Spagnolo i [Spa1] och [Spa2]. Murat och Tartar är två andra som i, bland annat, [Mur], [Tar5] och [MuTa] utvecklat G-konvergensen. Här studeras först G-konvergens för elliptiska operatorer innan detta utvidgas till paraboliska operatorer Elliptiska operatorer Vi studerar följder av ekvationer av typen { ah x u h x = f x i u h x = 0 på Γ 20 där f L 2. Ett sätt att garantera en typ av konvergens, åtminstone upp till en delföljd, för följden av koeffi cienter a h är genom att ställa följande krav. Låt EC 1, C 2, beteckna mängden av alla funktioner som uppfyller kraven E1 a L N N a : R N N E2 a x ξ ξ C 1 ξ 2 för nästan alla x och för alla ξ R N E3 a x ξ C 2 ξ för nästan alla x och för alla ξ R N där C 1 och C 2 är konstanter sådana att 0 < C 1 C 2 <. Om man antar att koeffi cienterna {a h } tillhör EC 1, C 2, får vi från E2 att u h W 1,2 0 C för någon konstant C, se sats 4.16 i [CiDo]. Tack vare detta existerar det en funktion u sådan att det, upp till en delföljd, gäller att u h x u x i W 1,2 0, 34

40 se sats A.14. lösningen till Om det existerar en funktion b så att u är den entydiga { b x u x = f x i u x = 0 på Γ 21 kan man se b som gränsen till denna delföljd av {a h }. Låt E s C 1, C 2, beteckna delmängden av EC 1, C 2, som består av alla symmetriska matriser som uppfyller kraven E1-E3 ovan. Vi är nu redo att ge definitionen för G-konvergens i det linjära elliptiska fallet. Definition 3.27 G-konvergens i det elliptiska fallet Låt a h tillhöra E s C 1, C 2,. {a h } sägs G-konvergera mot b E s C 1, C 2, om, för varje f W 1,2, följden {u h } av lösningar till 20 satisfierar u h x u x i W 1,2 0 där u är den unika lösningen till 21. Detta skrivs a h x EG b x. Följande kompakthetsresultat gäller. Sats 3.28 Låt {a h } vara en följd sådan att a h E s C 1, C 2,. Då existerar det en delföljd som G-konvergerar till något b E s C 1, C 2,. Bevis. Se proposition 3 i [Spa2]. Genom att lägga till kravet a h x u h x b x u x i L 2 N i definitionen kan G-konvergens utvidgas till att gälla även för icke-symmetriska matriser. Detta visades av Murat och Tartar i [Mur] och [Tar5] och kallades H-konvergens men vi kommer endast att använda namnet G-konvergens. Följande kompakthetsresultat gäller för det icke-symmetriska fallet. Sats 3.29 Låt {a h } vara en följd sådan att a h EC 1, C 2,. Då existerar det en delföljd som G-konvergerar till något b EC 1, C2 2 C 1,. Bevis. Se sats 2 i [MuTa]. Avsnittet avslutas med några satser om G-konvergens. Hittills har vi endast haft G-konvergens upp till en delföljd. Följande sats ger villkor som garanterar G-konvergens för hela följden. 35

41 Sats 3.30 En följd {a h } i EC 1, C 2, G-konvergerar mot en gräns b EC 1, C 2, om och endast om alla delföljder till {a h} G-konvergerar mot denna gräns. Bevis. Se proposition 4 i [Spa2]. Precis som för de övriga konvergenserna vi har studerat gäller det att G-gränsen är unik. Sats 3.31 G-gränsen är unik. Bevis. Se 7.3 i [Def] och proposition i [All2]. Enligt definitionen beror inte G-gränsen på högerledet f och dessutom är den oberoende av randvillkoren. Detta ges i följande sats. Sats 3.32 G-gränsen är oberoende av randvillkoren. Bevis. Se proposition i [All2] Paraboliska operatorer Här kommer vi att studera följder av ekvationer t u h x, t a h x, t u h x, t = f x, t i T u h x, 0 = u 0 x i 22 u h x, t = 0 på Γ T där f L 2 0, T ; W 1,2 och u 0 L 2. Precis som i förra avsnittet behöver man ställa vissa krav på a h. Låt P C 1, C 2, T vara mängden av alla funktioner a : T R N N som uppfyller följande krav: P1 a L T N N P2 a x, t ξ ξ C 1 ξ 2 för nästan alla x, t T och för alla ξ R N P3 a x, t ξ C 2 ξ för nästan alla x, t T och för alla ξ R N där C 1 och C 2 är konstanter sådana att 0 < C 1 C 2 <. Definitionen av G-konvergens i det linjära paraboliska fallet ser ut som följer. 36

42 Definition 3.33 G-konvergens i det paraboliska fallet Låt a h tillhöra P C 1, C 2, T. {a h } sägs G-konvergera mot b P C 1, C 2, T om, för varje f L 2 0, T ; W 1,2 och u 0 L 2, följden {u h } i W 1,2 0, T ; W 1,2 0, L 2 av lösningar till 22 satisfierar u h x, t u x, t i L 2 0, T ; W 1,2 0, a h x, t u h x, t b x, t u x, t i L 2 T N där u W 1,2 0, T ; W 1,2 0, L 2 är den unika lösningen till t u x, t b x, t u x, t = f x, t i T u x, 0 = u 0 x i u x, t = 0 på Γ T. Detta skrivs a h x, t P G b x, t. Följande kompakthetsresultat gäller för G-konvergens i det paraboliska fallet. Sats 3.34 Låt {a h } vara en följd sådan att a h P C 1, C 2, T. Då existerar det en delföljd som G-konvergerar till något b P C 1, C2 2 C 1, T. Bevis. Se kapitel 3 och 4 i [Spa4] eller sats 3.1 i [Sva]. 37

43 4 Homogenisering Här studeras nu specialfall av den elliptiska ekvationen 3 och den paraboliska värmeledningsekvationen 10. Man tänker sig att man har ett heterogent material med en periodisk mikrostruktur. Det man gör är att man delar upp materialet i små identiska kuber med sidlängden och låter sedan 0 för att kunna hitta ett motsvarande homogent material från vilket man kan bestämma en bra approximation till den verkliga temperaturfördelningen över det heterogena materialet, se figur 1 och 2. För linjära elliptiska problem kommer vi att betrakta ekvationen { a x,..., x 1 n u x = f x i 23 u x = 0 på Γ för två olika val av koeffi cient a, där f L 2 och a EC 1, C 2, Y n och är Y -periodisk i sina n argument. Enligt sats 3.29 gäller det att x a,..., x EG b x 1 n upp till en delföljd. Det är detta b man söker. Tack vare att a EC 1, C 2, Y n gäller det att C 1 u 2 W 1,2 0 = C 1 u 2 x dx a,..., x u x u x dx 1 n = f x u x dx f L 2 u L 2 C 0 u W 1,2 0 där vi har använt Hölders olikhet sats A.6 och Poincaré-Friedrichs olikhet sats A.8. Vi får alltså a prioriestimatet u W 1,2 0 C 24 för någon positiv konstant C. Det linjära paraboliska problem vi ska studera är värmeledningsekvationen t u x, t a x,..., x 1 n, t t,..., 1 u x, t = fx, t i T m u x, 0 = u 0 x i u x, t = 0 på Γ T 38

44 där f L 2 T, u 0 L 2 och a P C 1, C 2, Y n,m. Enligt sats 3.34 gäller det att x a,..., x, t t P G 1 n,..., b x, t 1 m upp till en delföljd. Vi har även här, tack vare att a P C 1, C 2, Y n,m, ett a priori estimat u W 1,2 0,T ;W 1,2 0,L 2 C 25 där C > 0, se sats 11.2 i [CiDo] och avsnitt 3.2 i [Sva]. G-konvergensen ger att man vet att ett välställt gränsproblem existerar där b är av samma typ som a. Med hjälp av homogenisering kan man nu karaktärisera G-gränsen b för de olika valen av a. 4.1 Homogenisering av ett elliptiskt tvåskaleproblem Här studeras 23 för n = 1 där vi väljer 1 =, dvs vi studerar { a x u x = f x i u x = 0 på Γ 26 där f L 2 och a EC 1, C 2, Y och är Y -periodisk. Den svaga formen för 26 är, enligt 4, x a u x v x dx = f x v x dx 27 för alla v W 1,2 0. Eftersom {u } är begränsad i W 1,2 0 enligt a prioriestimatet 24 gäller det att upp till en delföljd. Om man väljer u x u x i W 1,2 0 v x = v 1 x i 27 där v 1 C0 och låter 0 får man, enligt 15 och sats 3.13, upp till en delföljd, att x a u x v 1 x dx a y u x + y u 1 x, y v 1 x dydx, Y 39

45 där u W 1,2 0 och u 1 L 2 ; W 1,2 Y /R. Man får nu ett så kallat homogeniserat problem b u x v 1 x dx = f x v 1 x dx där b u x = Y a y u x + y u 1 x, y dy. 28 Det går att göra en variabelseparation genom att substituera in u 1 x, y = u x z y i 28 där z [W 1,2 Y /R] N. Elementen i b fås nu explicit genom b ij = Väljer man istället Y a ij y + N a ik y yk z j y dy. k=1 v x = v 1 x v 2 x i 27 där v 1 C0 och v 2 C Y /R, deriverar och låter 0 får man, upp till en delföljd, a y u x + y u 1 x, y v 1 x y v 2 y dxdy = 0. Y Nu kan man tillämpa variationslemmat sats A.9 vilket ger att a y u x + y u 1 x, y y v 2 y dy = 0 Y för alla v 2 C Y /R och genom täthet för alla v 2 W 1,2 Y /R. Motsvarande slutsats angående täthet kommer att användas i det fortsatta arbetet utan att det kommenteras specifikt. Detta är det så kallade lokala problemet på svag form. Man kan även här tillämpa variabelseparation genom att sätta u 1 x, y = u x z y där z [W 1,2 Y /R] N och få det lokala problemet a y e j + y z j y y v 2 y dy = 0, Y 40

46 som på stark form skrivs y a y e j + y z j y = 0. Vi har genom detta resonemang visat att om {u } är en följd av lösningar till 26 så gäller det att u x u x i W 1,2 0, där u är den unika lösningen till { b u x = f x i u x = 0 på Γ med b ij = Y a ij y + N a ik y yk z j y dy och z j W 1,2 Y /R är den unika lösningen till det lokala problemet k=1 y a y e j + y z j y = 0 i Y, j = 1,..., N. u 1 bestäms entydigt genom det lokala problemet. Detta betyder att resultatet gäller för hela följden {u } och inte bara för en delföljd. Anmärkning 4.1 Det homogeniserade problemet har entydig lösning enligt proposition 4.2 och följdsats 4.3 i [Def]. För existens och entydighet av lösningen till det lokala problemet se avsnitt 4.7 i [CiDo], avsnitt 5.2 i [Flo1] eller avsnitt i [Silf]. 4.2 Homogenisering av ett elliptiskt multiskaleproblem I detta avsnitt går vi vidare från att homogenisera problem med periodiska oscillationer i en mikroskala till ett problem som har oscillationer i flera mikroskalor. Det var Allaire och Briane som var först med homogenisering av problem med flera mikroskalor, se [AlBr]. Vi begränsar oss till ett problem med tre mikroskalor. Mer precist kommer vi att studera { a x, x, x 2 3 u x = f x i 29 u x = 0 på Γ där f L 2 och a EC 1, C 2, Y 3 och är Y -periodisk i alla sina tre argument. Man ser tydligt att skalorna är separerade, vilket gör det meningsfullt att använda multiskalekonvergens i homogeniseringen. 41

47 Den svaga formen för vårt problem är, enligt 4, x a, x 2, x 3 u x v x dx = f x v x dx 30 för alla v W 1,2 0. Sats 4.2 Låt {u } vara en följd av lösningar i W 1,2 0 till 29. Då gäller det att u x u x i W 1,2 0 där u är den unika lösningen till { b u x = f x i u x = 0 på Γ med b u x = a y 3 u x + Y 3 3 yk u k x, y k dy 3. Här är u 1 L 2 ; W 1,2 Y 1 /R, u 2 L 2 Y 1 ; W 1,2 Y 2 /R och u 3 L 2 Y 2 ; W 1,2 Y 3 /R de unika lösningarna till de lokala problemen y3 a y 3 3 u x + yk u k x, y k = 0, och y2 a y 3 u x + Y 3 y1 a y 3 u x + Y 2 Y 3 k=1 k=1 3 yk u k x, y k dy 3 = 0 k=1 3 yk u k x, y k dy 3 dy 2 = 0. Bevis. Enligt a prioriestimatet 24 är följden {u } begränsad i W 1,2 0 vilket ger svag konvergens i W 1,2 0 upp till en delföljd. För att hitta det homogeniserade problemet väljer vi testfunktioner som inte fångar upp de mikroskopiska oscillationerna, dvs i 30 väljer man k=1 v x = v 1 x 42

48 där v 1 C0. Man låter 0 och använder sats 3.13 för att, upp till en delföljd, få a y 3 3 u x + yk u k x, y k v 1 x dy 3 dx Y 3 k=1 = f x v 1 x dx vilket är det homogeniserade problemet på svag form. Detta skrivs på stark form som { b u x = f x i u x = 0 på Γ där b u x = a y 3 u x + Y 3 3 yk u k x, y k dy 3. Nu söks de lokala problemen. Det behövs ett lokalt problem för varje mikroskala så vi kommer alltså att ha tre stycken. Man börjar med att välja en testfunktion x x x v x = 3 v 1 x v 2 v 3 2 v 4 3 där v 1 C0, v 2 C Y 1, v 3 C Y 2 och v 4 C Y 3/R, vilken fångar upp oscillationerna upp till den tredje mikroskalan. Den svaga formen 30 får då utseendet x a, x 2, x 3 = k=1 x x x u x 3 v 1 x v 2 v 3 2 v 4 3 dx f x 3 v 1 x v 2 x v 3 x 2 v 4 x 3 dx. Vi utför deriveringen på v och kommer fram till resultatet x a, x 2, x 3 u x x x x 3 v 1 x v 2 v 3 2 v 4 3 x x x + 2 v 1 x y1 v 2 v 3 2 v 4 3 x x x + v 1 x v 2 y2 v 3 2 v