HH/IDE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 1. Något om Mekanik-Dynamik och. Mathematica. Bertil Nilsson

Transkript

1 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica Något om Meani-Dynami och Mathematica Bertil Nilsson Bungy Jump Solve the initial value problem using the following rubber band model. H yt L c y't H yt L r 0 F rb µ 0 H yt L 0 ; yoft NDSolvem y''t mgf rb, y0 H, y'0 0. m 75, g 9.8, H 50, L 30, 5, c 50, yt, t, 0, 5; A picture illuminates the situation PlotEvaluateyt. yoft, Dyt. yoft, t, t, 0, 5, PlotStyle Hue0, Hue0.7, AxesLabel "t s", "yt m, y t ms"; ytm, y tms t s

2 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN ü Differentialevationer Vi börjar med en enel linjär första ordningens differentialevation y'x + yx = 0 och dess lösning. DSolvey'x yx 0, yx, x yx Ø -x c I Mathematica används funtionen DSolve för att lösa en stor lass av differentialevationer, allt från enla separabla och linjära av godtyclig ordning till mycet omplicerade olinjära. Den löser även system av differentialevationer och är mycet lättanvänd. Strängt taget handlar det om att sriva av rätt! Lägg märe till att Mathematica förstår den vanliga nomenlaturen när vi menar derivata. Notera de nödvändiga []-parenteserna eftersom yx sa vara en funtion av x! För övrigt an man naturligtvis använda vila namn man vill. Observera dubbla lihetstecen eftersom det är en evation! Det är inte bara namnet som antyder slätsap med Solve, utan även hantering av indata och resultat. Som vanligt gäller att när man väl förstått filosofin baom Mathematica är det mesta självlart! DSolvey'x yx Sinx, yx, x yx Ø -x c + ÅÅÅÅÅ sinx - cosx DSolve x y'x x yx x ArcTanx, yx, x yx Ø ÅÅÅÅÅ x + tan - x + x + c Man an givetvis ta med begynnelsevärden för att få onstanterna bestämda. Dessa paeteras då tillsammans med differentialevationen i en lista. Tän på att även begynnelsevärdena sa anges som evationer, det vill säga med två lihetstecen. Så begynnelsevärdesproblemet (BVP). är bara att muppa rat in i Mathematica. y'x + yx = sinx ODE y0 = BV yavx DSolvey'x yx Sinx, y0, yx, xsimplify yx Ø ÅÅÅÅÅ -cosx + 5 -x + sinx En bild piggar alltid upp. Plotyx. yavx, x, 0, 5, PlotStyle Red, AxesLabel "x", "yx" yx x I nästa exempel noterar Mathematica naturligtvis att både - t och t - t ingår i homogena lösningen och orrigerar ansatsen till partiulärlösningen därefter. DSolvex''t 4x't 4xt t,xt, tsimplify xt Ø ÅÅÅÅÅ - t t + c t + c

3 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 3 Då vi inte an finna lösningen analytist finns funtionen NDSolve till vår hjälp för att göra en ren numeris lösning. Utdata från denna är en InterpolatingFunction som an vera lite märvärdig innan man blivit vän med den. Den fungerar doc som vilen annan funtion som helst. För övrigt är den ett raftfullt redsap om man vill göra interpolation i t.ex. mätdata. Som exempel ör vi en repris på begynnelsevärdesproblemet ovan. Det enda som siljer i menyn jämfört med DSolve är att man, lit Plot, måste ange i vilet intervall man vill att spetalet sa utspela sig. NyAvx NDSolvey'x yx Sinx, y0, yx, x, 0, 5 yx Ø InterpolatingFunction 0. 5., <>x Plotyx. NyAvx, x, 0, 5, PlotStyle Red, AxesLabel "x", "yx" yx x ü Dynami - lösning av rörelseevationerna Dynamien bruar delas upp i inemati och ineti. Kinemati behandlar rörelse utan hänsyn till orsaen, det vill säga angripande rafter. Kinetien behandlar rörelsen orsaad av rafter. Arbeta hela tiden i SI-enheter! Enheten radianer måste användas i dynami ty deriveringsregler gäller inte annars. Grader an möjligtvis tillåtas så länge vineln inte sa deriveras. Inför en oordinat för läget av tyngdpunten av den ropp som sall studeras, sedan "friläggning". Koordinaten, "läget", "vägen" sall betratas som en vetor med både längd och ritning! Vanligtvis bruar vi göra studiet i vårt vanliga oordinatsystem med betecningarna x, y och z. Tillsott av läget x allas Dx. Tillsottet av läge per tidsenhet ÅÅÅÅÅÅ Dx allas för medelhastighet under tidsintervallet Dt. Enligt Dt Dx definition på derivata har vi att gränsvärdet lim DtØ0 ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ x som allas (momentan)hastighet vid tiden t. Inför betecningen Dt t x = ÅÅÅÅÅÅ x x, "x-pric" för tidsderivata. På samma sätt har vi accelerationen som ett tillsott av hastighet per tidsenhet ÅÅÅÅÅÅ t t. För denna inför vi betecningen x = ÅÅÅÅÅÅ x, "x-pricpric". Så t Hastighet vetor är tidsderivatan av läget vetor x = ÅÅÅÅÅÅ x t. Acceleration vetor är tidsderivatan av hastigheten vetor x = ÅÅÅÅÅÅ x = x ÅÅÅÅÅÅÅÅ. t t Lös inte problem i dynami med färdiga formler av den typ som härleds i läroböcer och som föreommer i alla formelsamlingar för gymnasiet. Det är nämligen mer arbete att utreda om formeln gäller med hänsyn till begynnelsevärden och övriga förutsättningar än att lösa rörelseevationerna själv. Många formler förutsätter accelerationen onstant. Använd inte betecningarna s, v och a för varierande läge, hastighet och acceleration - även om - eller i synnerhet inte - om du från gymnasiet är inarbetad på dessa betecningar! Du får bara allt svårare för att frigöra dig från "färdiga-formler-tänandet" och ommer inte vidare!! Använd istället x, x och x tillsammans med dina unsaper från urs i ODE!! Läs i "Något om (ODE) och Mathematica". Att lösa dynamiproblem, det vill säga Newtons rörelseevationer, sa följa oboen

4 4 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN. Inför oordinater för roppens läge och frilägg vid godtyclig tidpunt!. Uppställning av rörelseevationer vid godtyclig tidpunt m x = F = F i Tyngdpuntens rörelse. I j = M = M i = r i äf i Rotation ring tyngdpunten. Observera att momentevationerna sall formuleras som rotation ring tyngdpunten. Använd inte godtyclig momentpunt som vid stati, det ger fel resultat! 3. Identifiering av begynnelsevillor BV ocheller randvillor RV. 4. Lösning av rörelseevationerna som ett BVP enbart med unsaper från urs i ODE. 5. Tolning av lösningarna, dimensionsanalys, grafer I många fall är man inte primärt intresserad av xt och x t utan hastigheten som funtion av läget x x. Då är det mycet vanligt att göra omsrivningen x = ÅÅÅÅÅÅ x x = x ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = x ÅÅÅÅÅÅ x. Detta bruar ofta leda diret till en separabel (ODE). t KR x t x Mathematica är en ovärdelig hjälpreda under punt och 4. Man an helt oncentrera sig på punterna, 3 och 5, det vill säga modellering och meani. Så precis som vid stati är det alltså friläggning som man absolut måste vara dutig på själv! Om man gör en så allad Lagrangeformulering an man enelt få Mathematica att generera rörelseevationerna. Se exempel längre fram. Exempel: Inbromsning med hjälp av frition, enligt Newton. Sö bromssträca och tid. Ta för vana att först, om möjligt, alltid göra en symbolis lösning. Detta lär dig mycet meani, dimensionsontroll med mera samt en djupare unsap om just den problemtyp du löser! Till slut tränar man storlesordning och rimlighet genom att sätta in lite numerisa data. Lösningsförslag: Med Newton mx = F får vi diret följande begynnelsevärdesproblem (BVP) och dess lösning. xavt DSolvem x''t mg,x0 0, x'0 v 0,xt, tfirst xt Ø ÅÅÅÅÅ tv 0 - gt m Först inbromsningstid till stillastående. tid Solvex't 0. DxAvt, t, tfirst t Ø v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m Sedan bromssträca. xavt. tid x v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m g m Lägg märe till det självdoumenterande svaret! Avslutningsvis lite numeri. xavt. tid. v 0 7, g 9.8, 0.4 x Ø Exempel: Två vagnar med massorna m = g respetive m = 3g är i vila på ra räls. En fjäder med fjäderonstanten = 0 Nm förbinder dem med varandra. Plötsligt ges vagnarna hastigheterna v = ms respetive v =-ms. Sö deras läge och hastighet som funtion av tiden. m m x (t) x (t)

5 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 5 Lösningsförslag: Låt x t och x t vara vagnarnas läge som funtion av tiden. Efter friläggning får vi diret med Newton BVP Det är bara att muppa rat in i Mathematica. x t = 0 x t - x t 3 x t =-0 x t - x t x 0 = 0, x 0 = x 0 = 0, x 0 =- ODE BV x DSolvex ''t 0x t x t, 3x ''t 0x t x t, x 0 0, x '0, x 0 0, x '0, x t, x t, tfirst FullSimplify x t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 5 t sin 5 t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3, x t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 5 t sin 5 t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 Nu an vi inspetera sådespelet! Läge, hastighet och acceleration. Första vagnen röd och strecad. PlotEvaluatex t, x t. x, t, 0, 0, PlotStyle Red, Dashing0.0, Blue, AxesLabel "t s", "x t,x t m" x t,x t m t s PlotEvaluateDx t, x t. x, t, t, 0, 0, PlotStyle Red, Dashing0.0, Blue, AxesLabel "t s", "x t,x t ms" x t,x t ms t s PlotEvaluateDx t, x t. x, t,, t, 0, 0, PlotStyle Red, Dashing0.0, Blue, AxesLabel "t s", "x t,x t ms " x t,x t ms t s

6 6 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Exempel: Inte sällan ingår en av onstanterna i differentialevationen som oänd. Det är då tänt att bestämma denna ur ett (extra) randvillor (RV). Som beant an vi inte sätta fler (BV)+(RV) än vi har "sparvar" i (ODE):n. Detta an vi lösa med ett litet tric: Låt DSolve betrata den oända onstanten som en funtion vars derivata då är noll! Vi an nu lämma in ytterligare ett (RV) eller (BV). Som typexempel väljer vi att söa den onstanta accelerationen under inbromsning från 30 m/s till 0 m/s på 50 m. Lösningsförslag: Vi börjar med den populära omsrivningen x = x x ÅÅÅÅÅÅ x = a och låter hastigheten x = vx. Då får vi DSolvevxv'x ax, a'x 0, v0 30, v50 0, vx, ax, x ax Ø-8, vx Ø 5-4 x Normalt sulle vi gjort separation av variablerna, integration samt efterföljande evationslösning för bestämning av a. 0 ev x x a Solveev a Ø ax Med samma svar som ovan. Man an notera att varianten med DSolve är lite riare eftersom vi som biprodut även får vx. ü Lite mer om Mathematica Mathematica ränar alltid så exat som möjligt. Om vi inte har några decimaltal som indata får vi ett exat svar. Avrundning ser med funtionen N, som står för numeric, eller att forcera in ett decimaltal i indata. N srivs ofta i så allad postfix notation, det vill säga sist i uttrycet. Glöm inte att funtioners argument (indata) normalt srivs inom [], så allad prefix notation, t.ex. Sin[x], Cos[x], Log[x]. För djupare insit i Mathematica reommenderas HejMathematica av samme författare samt flitigt duellerande genom särmen! ü Exempel från Christer Nybergs bo i Meani Exempel 6. sid 3: Typexempel på då det är bra att göra en egendefinierad funtion. Mathematica förstår som beant den vanliga nomenlaturen när vi menar derivata. Om funtionen är stycvis definierad finns Piecewise, If och Which. xt_ : µ t t 0 0t 00 t r 0 Plotxt, t, 0, 30, PlotStyle Red, AxesLabel "t", "xt" xt t

7 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 7 Plotx't, t, 0, 30, PlotStyle Blue, PlotRange All, AxesLabel "t", "vt" vt t Arean under vt-urvan. Stämmer bra med värdet som avläses i första figuren. 30 x'tt Plotx''t, t, 0, 30, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "at" at t Exempel 6. sid 33: Lia smidigt som Exempel 6.. at_ : µ 0 t 0 t r 0 Plotat, t, 0, 60, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "at" at t Hastigheten. Start från vila. t vt_ : a 0 Plotvt, t, 0, 60, PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "vt" vt t

8 8 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Läget. t xt_ : v 0 PlotEvaluatext, t, 0, 60, PlotStyle Red, PlotRange All, AxesLabel "t", "xt" xt t Exempel 6.5 sid 38: Typist begynnelsevärdesproblem. xavt DSolvex''t r, x'0 v 0,x0 0, xt, tfirst xt Ø ÅÅÅÅÅ tv 0 - rt Hur mycet är locan då tåget stannar? T Solvex't 0. t xavt, t t Ø v 0 ÅÅÅÅÅÅÅ r Slutligen resvägen till stillastående. xavt. T x v 0 ÅÅÅÅÅÅÅ r Ø v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ r Exempel 6.7 sid 40: Typist begynnelsevärdesproblem igen. xavt DSolvex''t x't, x'0 v 0,x0 0, xt, tsimplify First xt Ø - -t v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Exempel 6.9 sid 4: Begynnelsevärdesproblem verar vara vårt ständigt återommande problem. xavt DSolvex''t xt, x'0 v 0,x00, xt, tsimplify First xt Ø sint w v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ w Exempel 6. sid 44: Återigen begynnelsevärdesproblem plus lite efterpyssel. Mathematica larar lätt system av (ODE). xyavt DSolvex''t 0, m y''t mg, x'0 v 0 Cos, x0 0, y'0 v 0 Sin, y0 0, xt, yt, tsimplify First xt Ø t cos b v 0, yt Ø t sinb v 0 - gt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

9 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 9 Speciellt astparabeln. Lös ut yx. ev xyavt. Rule Equal. yt y, xt x x t cosb v 0, y t sin b v 0 - gt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ yavx Solveev, y, t Simplify First y Ø x tanb - gx sec b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v 0 Kastvidden ur astparabeln. Solvey 0. yavx, x Simplify x Ø 0, x Ø sin b v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g Eller om vi ocså är intresserade av restiden. Lägg märe till hur Mathematica levererar självdoumenterande. Man behöver inte sriva Svar som i småsolan. xyavt. Solveyt 0. xyavt, t Simplify x0 Ø 0, y0 Ø 0, x sinb v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø sin b v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, y sin b v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø 0 g g g Stighöjd och stigtid ur villoret y = 0 i högsta punten. Läget i x-led får vi på öpet! xyavt. Solvey't 0. t xyavt, t Simplify x sinb v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø cos b sinb v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, y sin b v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø sin b v ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 g g g g Exempel 6.4 sid 50: Dessa ständiga (BVP). st_ St. DSolveS''t c t,s'0 0, S0 0, St, tfirst ÅÅÅÅÅ 6 t3 + 3 ct Accelerationsvetorn a s''t, s't Simplify R t c + t c + t, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 R och dess belopp a a.a Simplify t 4 c + t 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + c + t 6 R samt slutligen en ögonblicsbild vid t = 0s. öb a. c, 3,R400, t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ 6

10 0 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Alltså felränat i boen. Det symbolisa uttrycet (6) stämmer doc med det ovan för a = a ÿ a. Tycer inte om att CN svarar exat med 400 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, som dessutom är fel, då är given på decimal form. Man bör svara på samma form som indata! Som 8 vi vet är Mathematica onsevent. öb N a. c, 0.3, R 400, t Exempel 6.4 sid 63: Alternativ: Detta är ett typexempel på där implicit derivata fungerar alldeles utmärt som lösningsmetod! Ställ upp geometrin statist sedan tar matematien hand om rörelseproblemet med tecen och allt!! Mycet smidigt! Med uppenbar rätvinlig triangel får vi hylsans läge y i höjdled. ev y b Tan y b tanq Derivera implicit en och två gånger med avseende på tiden för att få hastighet respetive acceleration. Vi antar att fundamentet håller så b = b = 0. (Vi löser alltså ett specialfall av ett generellare inematiproblem där vi låter b variera med tiden.) Dtev, t.dtb, t 0 y ÅÅÅÅÅÅÅÅ t b q ÅÅÅÅÅÅÅÅ t sec q Dtev, t,. Dtb, t 0, Dtb, t, 0 y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t b q ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t sec q + ÅÅÅÅÅÅÅÅ q t tanq sec q Vill man bädda för DSolve är det enlast att betrata det som varierar med tiden som just funtioner av tiden. Varav ev yt b Tant yt b tanqt Dev, t y t b sec qt q t ü Ytterligare Exempel som inte(?) finns i boen Exempel: En sprinter startar med onstant acceleration och når sin maxfart v max efter.5 s, sedan behåller han denna fram till målgång efter 00 m med sluttiden 0.4 s. Sö sprinterns maxfart v max!

11 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica Lösningsförslag: Typis drillövning av vt-diagram! Konstant acceleration innebär att farten öar linjärt upp till maxfart. Vi har alltså situationen v ms v max t s t Den tillryggalagda sträcan är lia med arean under urvan eftersom s = 0 v t. Detta möblerar tillräcligt med villor för att bestämma v max.5 v 0.4 max ev s acc s vmax 00, s acc 0.5 tt, s vmax v max t.5 s acc + s vmax 00, s acc.5 v max, s vmax 7.9 v max Nu är det bara att lösa ut v max, de två delsträcorna får vi på öpet. Solveev s acc Ø 3.66, s vmax Ø , v max Ø 0.99 Exempel: Under tiden efter andra världsriget gjorde sig överste John P. Stapp berömd för att utsätta sin egen ropp för flera hundra maabra experiment i syfte att utreda vila påänningar männisoroppen tål. Mest änt är då han 954 på en släde bromsades in från över 000 mh till stillastående på.4 s! Efter detta fic han bland annat problem med synen eftersom blodärlen i näthinnan blev sadade. Förloppet övervaades naturligtvis och hastigheten under inbromsningen unde med god noggrannhet besrivas med uttrycet vt = t 3. Bestäm hans maximala retardation samt bromssträcan. Lösningsförslag: Typexempel på förståelse av vt-urvor. vt_ : 70.4 t 3 Plotvt, t, 0,.4, PlotStyle Red, AxesLabel "t s", "vt ms" vt ms t s En diret alyl med hjälp av definitionerna at = v ÅÅÅÅÅÅ t och vt = x ÅÅÅÅÅÅ t.

12 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN at_ t vt t Med uppenbart störst retardation i ms då t = 0. a Inbromsningssträcan i meter fås efter separation och integration av vt = ÅÅÅÅÅÅ x, ty x = arean under vt-urvan. Vi får t x.4 0 x = 0 vt t fl x = - 70 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t3+.4 = 340 ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 57.7 m..4 vtt Exempel: En basebollspelare astar iväg bollen enligt figur. Sö bollens högsta höjd, den så allade stighöjden, astlängd samt tidpunterna för dessa två tillfällen! Rita upp bollbanan! Lösningsförslag: Typexempel! Ta alltid tillfället i at att göra en symbolis lösning eftersom den är utbildande jämfört med ett själslöst numerist exempel hämtat "ur luften". Ta hjälp av Newton och ställ upp rörelseevationerna i x- och y-ritningarna. Applicera begynnelsevärden och lös begynnelsevärdesproblemet. xy DSolvem x''t 0, x0 0, x'0 v 0 Cos, my''t mg, y0 h, y'0 v 0 Sin, xt, yt, tfirst xt Ø t cosa v 0, yt Ø ÅÅÅÅÅ -gt + sina v 0 t + h Vid högsta punten på banan är y = 0. Detta bestämmer önsad information vad gäller stighöjd. th Solvey't 0. Dxy, t, tfirst t Ø sina v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ g xy. th x sina v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø cosa sina v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, y sina v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ g g g Ø ÅÅÅÅÅ sin a v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g Med numerisa data data v 0 30, 30, h, g 9.8; xy. th. data x.5905 Ø , y.5905 Ø På ungefär samma sätt vasar vi fram tillståndet vid nedslag. tl Solveyt 0. xy,t + h

13 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 3 t Ø sina v 0 - sin a v 0 + gh ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, t Ø sina v 0 + sin a v 0 + gh ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g g tl. data t Ø , t Ø Första lösningen motsvarar astparabelns "historisa" startpunt på maren baom astaren. xy. tl Simplify sina v 0 + sin a v 0 + gh cosa v 0 sina v 0 + sin a v 0 + gh x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g Ø sina v 0 + sin a v 0 + gh ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g g Ø 0 Med numerisa data har vi exemplets astlängd och restid. xy. tl. data x Ø , y Ø μ 0-5 Slutligen två små bilder över bollens resa genom vädret. ParametricPlotxt, yt. xy. data, t, 0, t. tl. data, PlotStyle Orange, AxesLabel "x m", "y m" y m x m PlotEvaluatext, yt. xy. data, t, 0, t. tl. data, PlotStyle Red, Blue, AxesLabel "t s", "xt,yt m" xt,yt m t s Exempel: En basetsituation är uppriggad enligt figur. Med given elevationsvineln q=60 måste bollen ges en speciell utgångsfart v 0 för att träffa orgen. Sö denna samt restiden fram till orgen. Försumma luftmotståndet.

14 4 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Lösningsförslag: Placera ett naturligt xy-oordinatsystem enligt firgur. Vid godtyclig tidpunt är det endast tyngdraften som verar på bollen. Rörelseevationerna ger då följande begynnelsevärdesproblem. med lösningen bvp m x''t 0, my''t mg, x0 x 0,x'0 v 0 Cos, y0 y 0,y'0 v 0 Sin. x 0 0, y 0., 60, g 9.8 mx t 0, my t -9.8 m, x0 0, x 0 v 0 ÅÅÅÅÅÅÅ, y0., y 0 xåy DSolvebvp, xt, yt, tfirst Chop xt Ø 0.5 tv 0, yt Ø t v 0 t +. 3 v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Svaret på de båda delfrågorna ges av nedslagsplatsen. Vi har två evationer och två obeanta v 0 och restiden t. våt Solvext 4, yt 3. xåy v 0 Ø-7.63, t Ø-.086, v 0 Ø 7.63, t Ø.086 Sista lösningen är den enda vi befattar oss med, så det får bli svaret på uppgiften. Avslutningsvis en liten reseberättelse bana Last xåy. våt, ; ParametricPlotbana, t, 0,., PlotRange 0, 4.5, AxesLabel x, y, PlotStyle Orange, Dashing0.05, AspectRatio Automatic, Epilog Green, Thicness0.03, Line3.9, 3, 4., 3, Brown, PointSize0.075, Pointbana. t y x

15 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 5 Exempel: En ögonblicsbild av en höjdhoppare precis vid upphoppet an besådas i figuren. Sö v 0 och q så att hopparens tyngdpunt G precis larar höjden. Lösningsförslag: Dessa eviga astparabler. Nu är det dax igen. Placera ett oordinatsystem med origo där G befinner sig enligt figur. Ta sedan hjälp av Newton och ställ upp rörelseevationerna i x- och y-ritningarna. Applicera begynnelsevärden och lös begynnelsevärdesproblemet. xy DSolvem x''t 0, x0 0, x'0 v 0 Cos, my''t mg, y0 0, y'0 v 0 Sin, xt, yt, tfirst xt Ø t cosq v 0, yt Ø ÅÅÅÅÅ t sinq v 0 - gt När locan är t har vi nått högsta punten på banan och då är y = 0. Detta möblerar ett evationssystem vars lösning är den önsade informationen. Vi har att uppfylla tre villor (evationer) med tre obeanta, v 0, q och stigtiden t som bonus. Solvext, yt.06, y't 0.xy. Dxy, t.g 9.8, v 0,, t v 0 Ø-5.048, t Ø , qø.3005, v 0 Ø-5.048, t Ø , qø-.055, v 0 Ø 5.048, t Ø , qø-.055, v 0 Ø 5.048, t Ø , qø.3005 Eftersom vi varen befattar oss med negativa farter, tider eller vinlar är det bara den sista lösningen som duger. I höjdhopp behöver inte tyngdpunten passera ovanför ribban. Detta var svårt att uppnå på "Hedenhös" tid då man använde den så allade saxstilen. Lite bättre blev det med dystilen och dess utvecling med så allat "hängande ben", men det verliga genombrottet om under OS 968 i Mexico City då amerianen Dic Fosbury (947-), på bild nedan, chocade friidrottsvärlden med att visa upp en helt ny hoppstil, "the Fosbury Flop", som han vann guld med på.4. För den ritigt vige erbjuder denna stil just en rejäl sänning av tyngdpunten under det att roppen rånglar sig över ribban. Vi som änner till meaniens energilagar vet att detta betyder öad hopphöjd för given utgångsfart. Exempel: En fis med massan m slutar simma vid hastigheten v 0 och glider horisontellt genom vattnet. Bestäm fisens hastighet som funtion av läget samt hastighet och läge som funtion av tiden om fritionsraften mot vattnet är proportionell mot hastigheten med proportionalitetsonstanten. Hur långt rör den sig? När stannar den? Lösningsförslag: Vi änner igen Newton, mx = F. Vi börjar med att rulla ut måttbandet, det vill säga x-axeln, precis då den slutar simma. Den enda raft som verar i färdritningen är då motståndet från vattnet -x. Vi får då

16 6 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN BVP mx =-x x0 = 0 x 0 = v 0 ODE BV I första fallet är vi primärt intresserade av hastighet som funtion av läget x x. Vi gör därför omsrivningen x = ÅÅÅÅÅÅ x x = x ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ = x ÅÅÅÅÅÅ x. Därmed är vi över i en separabel (ODE) som vi integrerar diret med (BV) som gränser t KR x t x m x ÅÅÅÅÅÅ x x =-x x ñ v0 x x = 0 - ÅÅÅÅÅ m x ñ x v0 x = - ÅÅÅÅÅ m x x 0 ñ x = v 0 - ÅÅÅÅÅ m x. Så hastigheten avtar linjärt med läget eller sträcan den glidit. För att få hastighet och läge som funtion av tiden an vi antingen ge oss på den nyss erhållna x = v 0 - ÅÅÅÅÅ m x eller den ursprungliga mx =-x. Notera att i båda fallen är x = xt. Vi provar båda vägarna. Den förstnämda är både separabel och linjär. Eftersom vi har haft separationsångest ett tag så väljer vi att öva lite på en linjär av första ordningen x = v 0 - ÅÅÅÅÅ m x ñ x + ÅÅÅÅÅ m x = v 0 ñ IF = ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ Slutligen BV x0 = 0: 0= mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ Hastigheten får vi genom att derivera x = x ÅÅÅÅÅÅ m t x = mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ + C - ÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ t t mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ m t = ÅÅÅÅÅ m t ñ ÅÅÅÅÅÅ m t + C ñ x = mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x ÅÅÅÅÅ m t x + C - ÅÅÅÅÅ m t = ÅÅÅÅÅ m t v 0 ñ Separabel ñ m ÿ0 fl C =- mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ fl lösningen till BVP är xt = mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ - - ÅÅÅÅÅ m t = mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ m - ÅÅÅÅÅ m t = v 0 - ÅÅÅÅÅ m t - - ÅÅÅÅÅ m t Så hastigheten avtar exponentiellt med tiden den glidit. Man sa alltid hålla vad man lovat varför det nu är dax för den andra vägen med ursprungliga (ODE) som är en linjär andra ordningens homogen med onstanta oefficienter. mx =- x ñ x + ÅÅÅÅÅ m x = 0 arateristisa evationen och dess två rötter r, =-ÅÅÅÅÅÅÅÅ m ÅÅÅÅÅÅÅÅ m - 0 fl r = 0 r =-ÅÅÅÅÅ m x0 = 0 Slutligen BV x : 0 = v 0 Eftersom ODE är homogen så är xt = x h t + x p t Æ C + C - ÅÅÅÅÅ m ÿ0 = 0 m C - ÅÅÅÅÅ m ÿ0 = v 0 - ÅÅÅÅÅ =0 îîîfl Fall = C + C - ÅÅÅÅÅ m t x h t = C + C - ÅÅÅÅÅ m t fl C = ÅÅÅÅÅÅÅÅ mv0 C =- mv fl återigen lösningen till BVP xt = mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ - - ÅÅÅÅÅ m t Glidsträcan blir ett gränsvärde xt Ø mv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ då t Ø. Så resan är begränsad i rummet men inte i tiden. Den stacarn glider för gott! Avslutningsvis ollar vi om Mathematica delar vår åsit. xavt DSolvem x''t x't, x0 0, x'0 v 0,xt, tfirst Simplify t ÅÅÅÅÅÅ - - m mv 0 xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Om vi som exempel väljer m = = v 0 = får vi en valitativ överblic av resan. PlotEvaluatexAvt,, DxAvt,, t. m,, v 0, t, 0, 5, PlotStyle Red, Blue, PlotRange All, AxesLabel "t", "xt, x t" xt, x t t

17 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 7 Exempel: Ett så allat bungy jump är väl beant för de flesta. Från en hoppställning högt ovan mar astar man sig handlöst ut. Livlinan utgörs av en gummisnodd vars ena ände är fäst vid uthoppsplatsen och den andra surrad runt vristerna på offret. Välj lite numerisa data och gör en simulering av ett hopp! Lösningsförslag: Om vi placerar en y-axel med origo vid maren och peande uppåt har vi återigen Newton, m y = F. Krafterna som verar är tyngdraften och den från gummisnodden. Eftersom en gummisnodd, för enelhets sull antar vi, fungerar ungefär som en fjäder frånsett att den inte an ta tryclaster, är den lite inig att simulera och lösa analytist. Men med storsläggan NDSolve går det både snabbt och enelt. För att offret inte sa svänga upp och ned i all oändlighet, vilet är fallet med en fjäder, lägger vi in lite dämpning i snodden. Med fjäderonstanten, dämpning c och den naturliga längden L gäller om hoppställningen har höjden H att raften i snodden blir H - y - L - cy om H - y - L > 0 F gs = 0 omh - y - L 0 och BVP my =-mg + F gs y0 = H y 0 = 0 ODE BV Nu gäller det bara att översätta den stycvis definierade funtionen F gs till Mathematica, vilet lätt görs med funtionen Piecewise eller If. Vidare räver NDSolve att resan görs helt numerist, så välj t.ex. m = 75 g, H = 50 m, L = 30 m, = 5 Nm och c = 50 Nsm, så har vi diret en studie över de T första seunderna T 5; H yt L cy't H yt L r 0 F gs µ 0 H yt L 0 ; yavt NDSolvem y''t mgf gs, y0 H, y'0 0. m 75, g 9.8, H 50, L 30, 5, c 50, yt, t, 0, T First ODE BV Data yt Ø InterpolatingFunction 0. 5., <>t En bild över spetalet piggar alltid upp PlotEvaluateyt. yavt, Dyt. yavt, t, t, 0, T, PlotStyle Red, Blue, AxesLabel "t s", "yt m, y t ms" ytm, y t ms t s Man ser tydligt på hastighetsgrafen när gummisnodden börjar bromsa in det fria fallet.

18 8 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Exempel: En fallsärmshoppare, vars vit är 75 g, hoppar ut från en heliopter 4 m ovan marytan. Antag att luftmotståndet är proportionellt mot hopparens fart. Proportionalitetsfatornär 5 gs när fallsärmen är outlöst och 05 gs när fallsärmen är utveclad. Antag att fallsärmen utveclas min efter uthoppet från helioptern. Sö läge och hastighet under resan samt bestäm hur lång tid hoppet tar. Lösningsförslag: Om vi placerar en y-axel med origo vid maren och peande uppåt har vi återigen Newton, m y = F. Krafterna som verar är tyngdraften och den från fallsärmen. Vi har att ta ställning till två stycen (BVP). Ett under den första minuten med ända (BV), sedan ett annat under resten av nedfärden. Denna måste matchas med (BV) = (RV) vad gäller tid, läge och hastighet så att den sammanfogas med lösningen under den första minuten. Eller lite mera precist BVP my =-mg - y y 0 = H y 0 = 0 ODE BV för t œ 0, 60 och BVP my =-mg - y y 60 = y 60 y 60 = y 60 ODE BV för t œ 60, När man så äntligen trött ommer i mål gäller det att mata Plot med rätt lösning i rätt intervall. Räddaren heter naturligtvis NDSolve. Vi löser (BVP) för hela resan t œ 0, och byter helt enelt proportionalitetsonstant Ø vid 60 s! Smidigt. Nu är det bara att sätta igång! Kör ordentligt i bacen så tar vi reda på efteråt hur lång tid hoppet tog! yavt NDSolvem y''t mgift,, y't, ODE y0 H, y'0 0 BV. m 75, g 9.8, H 4000, 60, 5, 05, Data yt, t, 0, 500 First yt Ø InterpolatingFunction , <>t Hopptid T hopp t. FindRootyt 0. yavt, t, Några bilder över spetalet piggar alltid upp Needs"Graphics`Graphics`"; DisplayTogetherArray Plotyt. yavt, t, 0, T hopp, PlotRange All, PlotStyle Red, AxesLabel "t s", "yt m", PlotEvaluateDyt. yavt, t, t, 0, T hopp, PlotRange All, PlotStyle Blue, AxesLabel "t s", "y t ms" yt m y t ms t s t s Man ser tydligt på hastighetsgrafen när fallsärmen börjar bromsa in det fria fallet. Man an ocså lätt identifiera de två gränshastigheterna, det vill säga då vi inte har någon acceleration längre. Dessa blir utan respetive med fallsärm Dyt. yavt, t.t 55, ,

19 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 9 Exempel: En vattenraet sjuts iväg i geografin enligt figur. Bestäm sträcan R längs bacen upp till nedslagsplatsen samt restiden. Sö även nedslagshastigheten. Lösningsförslag: Placera ett naturligt xy-oordinatsystem vid A. Vi får då rörelseevationerna. ode m x''t 0, m y''t m g mx t 0, my t -gm Häng på begynnelsevärden och lös ut xt och yt. xy DSolveode, x0 0, x'0 v 0 Cos, y0 0, y'0 v 0 Sin, xt, yt, tfirst xt Ø t cosq v 0, yt Ø ÅÅÅÅÅ t sinq v 0 - gt Svaret på de båda första delfrågorna ges av nedslagsplatsen. ev xt R Cos, yt R Sin. xy t cosq v 0 R cosa, Rocht Solveev, R, t ÅÅÅÅÅ t sinq v 0 - gt R sina R Ø 0, t Ø 0, R Ø- cosq sec a sina-qv ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 0, t Ø- seca sina -qv 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g g Första lösningen är startpunten A och den andra den söta nedslagsplatsen B. Nu är q >a så minustecnen efter Ø är o! Vi piggar upp oss med ett numerist exempel. data v , 60, 30, g 9.8; Rocht. data R Ø 0, t Ø 0, R Ø , t Ø xy. Rocht. data x0 Ø 0, y0 Ø 0, x Ø 47.33, y Ø Nedslagshastighet och fart. Som biprodut får vi även en ontroll av att utgångshastighet och fart är de föresrivna. Dxy, t. Rocht. data x 0 Ø 5., y 0 Ø , x Ø 5., y Ø x't y't.dxy, t. Rocht. data 50., ParametricPlotEvaluatext, yt. xy. data, t, 0, t. LastRocht. data, PlotStyle Orange, Dashing0.0, AspectRatio Automatic, PlotRange All, AxesLabel "x", "y", Epilog Green, Thicness0.0, Line0, 0, 00 Cos, 00Sin. data

20 0 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN y x Exempel: För ett bilbälte är den inbromsande raften proportionell mot vadratroten ur bröstorgens läge under rocförloppet. För att det inte sa bli sista vilan för en passagerare med massan m rävs att denne ommer till vila efter sträcan a. Bestäm proportionalitetsonstanten så att detta uppfylls vid en roc med hastigheten u! Lösningsförslag: Standard Newton mx = F. Eftersom vi är intresserade av hastighet som funtion av väg gör vi omsrivningen x = x ÅÅÅÅÅÅ x. Då är oänd an vi göra ett litet tric och låta x vara en oänd onstant funtion. Vi har då möjlighet att få x med randvilloret x a = 0 ocså, med resultat att DSolve gör hela jobbet diret. Dessutom får vi ut x x redo för uppritning. vavx DSolvem vxv'x x x, 'x 0, v0 u, va 0, vx, x, x x Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 mu 4 a, vx Ø- a 3 u - u x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3, x Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 mu 3 a 3 4 a, vx Ø a 3 u - u x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 3 a 3 Numersit exempel. PlotEvaluatevx. vavx. m 70, u 0, a 0.5, x, 0, 0.5, PlotStyle Red, PlotLabel "Hastighet som fn av x", AxesLabel "x", "vx" vx 0 Hastighet som fn av x x Annars går det naturligtvis lia bra att låta vara en onstant svar DSolvem vxv'x x, v0 u, vx, x 3 mu -4 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 3 mu -4 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 m m vx Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, vx Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 3 och sedan bestämma den ur randvilloret x a = 0 Solvevx 0. svar.x a, Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 mu 4 a 3

21 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica Exempel: Studera olvrörelsen enligt figur. Sö läge, hastighet och acceleration för punterna A, det vill säga olven, och punten G på vevstaen som funtion av vineln q på vevaxeln. Låt det hela veva på med onstant vinelhastighet w=5 varvs. Lösningsförslag: Typis implicit derivation. Ställ upp geometrin statist. Derivation ger sedan smidigt både hastigheter och accelerationer eftersom detta är just tidsderivator av läget med avseende på tiden. Arbeta med ortsvetorer för punterna. Om vevstaen har längden L så får vi punten A:s läge med hjälp av Pythagoras sats och två uppenbara rätvinliga trianglar. A L r Sint r Cost, 0 r cosqt + L - r sin qt,0 B rcost, Sint r cosqt, r sinqt 00 G A B ÅÅÅÅÅ 5 7 r cosqt + ÅÅÅÅÅ 7 Lite numerisa data. r cosqt + L - r sin qt, 5 ÅÅÅÅÅ 7 r sinqt data L 50 00,r 5, 't 5, ''t 0; Hastighet och fart. v DA, B, G, t. data 5 p cosqt sinqt 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ 64 sin qt - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅ 5 4 p sinqt 0 - ÅÅÅÅÅÅ 5 4 p sinqt 5 ÅÅÅÅÅÅ 4 p cosqt 5 p cosqt sinqt ÅÅÅÅ 7 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 49 - ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ 64 sin qt 4 p sinqt - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 8 p sinqt 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 p cosqt v #.# & v Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 4 p sin 5 cosqt 5 p qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 96-5 sin 4, qt 5 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 7 p 96-5 sin qt sinqt + 5 p sin qt 5 p cos qt + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 cos qt PlotEvaluatev, t, 0,, PlotStyle Orange, Blue, Red, AxesLabel "rad", "v A,v B,v G ms", Tics 3,,,, Automatic v A,v B,v G ms p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p q rad

22 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Acceleration och dess belopp. a DA, B, G, t,. data Simplify - 65 p cos qt+734 cosqt+7340 cos qt+5 50 cos qt+734 cos3 qt+5 cos4 qt+5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos qt ÅÅÅÅÅÅÅÅ 65 p cosqt - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 65 p sinqt - 65 p cos qt+734 cosqt+4680 cos qt cos qt+734 cos3 qt+0 cos4 qt+30 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ 8 - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 35 5 cos qt a #.# & a Simplify cos qt+734 cosqt+7340 cos qt+5 50 cos qt+734 cos3 qt+5 cos4 qt+5 65 p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 cos qt p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, p sinqt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos qt p cos qt cosqt cos qt cos qt cos3 qt + 0 cos4 qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p 4 sin qt 96 PlotEvaluatea, t, 0,, PlotStyle Orange, Blue, Red, AxesLabel " rad", "a A,a B,a G ms ", Tics 3,,,, Automatic a A,a B,a G ms p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p q rad Exempel: Kraftöverföringen i en enel ångmasin an studeras i vidstående figur. Låt nu vevaxeln gå med onstant varvtal p rads. Bestäm sedan hastigheter och accelerationer r, r, q, q. Rita ut dem! Lösningsförslag: Här passar det alldeles utmärt med en liten vetorbetratelse. Inför ett oordinatsystem i C med x-axeln åt höger och y-axeln rat upp. Något onaturligt, men det är enlast att göra som "vanligt" och betrata högerorienterade system. Vi får då om L = CO øøö. data L ,R ; A R Cost, R Sint. data - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 00 cosbt, 9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 00 sinbt rt_ A L, 0. data ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 00 cosbt, 9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin bt 00 Vineln q får vi lätt ur sinussatsen.

23 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 3 t_ ArcSin R Sint. data L sin - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 sin bt 0 Nu är det bara att rita. Vi börjar med rt och dess omponenter. PlotEvaluatert, rt.rt, t, 0,, PlotStyle Orange, Blue, Red, AxesLabel " rad", "r x,r y,r m", Tics 3,,,, Automatic r x,r y,r m p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p b rad PlotEvaluater't, r't.r't. 't, t, 0,, PlotStyle Orange, Blue, Red, AxesLabel " rad", "r x,r y,r ms", Tics 3,,,, Automatic r x,r y,r ms p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p b rad PlotEvaluater''t, r''t.r''t. 't, ''t 0, t, 0,, PlotStyle Orange, Blue, Red, AxesLabel " rad", "r x,r y,r ms ", Tics 3,,,, Automatic r x,r y,r ms p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p b rad PlotEvaluatet, 't. 't, ''t 0, t, 0,, PlotStyle Blue, Red, AxesLabel " rad", "rad, rads", Tics 3,,,, Automatic

24 4 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN q rad,q rads p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p b rad Plot''t. 't, ''t 0, t, 0,, PlotStyle Red, AxesLabel " rad", " rads ", Tics 3,,,, Automatic q rads p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p b rad Exempel: På ett nöjesfält finns en arusell som roterar med onstant vinelhastighet q, se fig. Banprofilen ges av z = ÅÅÅÅ h - cos q. Bestäm banan på parameterform och rita ut fart och acceleration i varje punt. Använd R = 5 m, h = m och q = ÅÅÅÅ rads. Lösningsförslag: Med figurens betecningar får vi banprofilen. Numerisa data. r R CosCost, R CosSint, z. ArcSin z R.z h Cost R cosqt - h - cos qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ, R 4 R - h - cos qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ sinqt, ÅÅÅÅÅ h - cos qt 4 R data R 5, h, 't, ''t 0; Hastighet och fart. v Dr, t. data Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -394 sinqt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 7 sin3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qt + 3 sin5 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qt 394 cosqt + 9 cos3 qt - 3 cos5 qt ÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 -cos qt + cos qt, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ cos qt + cos qt, cosqt sinqt + 99 fart v.v Simplify ÅÅÅÅÅ 8 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 344 cos ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qt - 37 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos4 qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - 8 cos6 qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + cos8 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ qt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 cos qt - cos4 qt + 97

25 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 5 Plotfart, t, 0,, PlotStyle Red, AxesLabel " rad", "v ms", Tics 3,,,, Automatic v ms p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p q rad Beloppet av accelerationen. PlotEvaluate a.a. a Dr, t,. data, t, 0,, PlotStyle Blue, AxesLabel " rad", "a ms ", Tics 3,,,, Automatic a ms p ÄÄÄÄÄÄ p 3 p ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ p q rad Färgglad bana. Ju rödare det är ju fortare går det. fart.4 ParametricPlot3DAppendr. data, Hue, Thicness0.03,.54.4 t, 0,, PlotPoints Exempel: En bil ör i berg och dalbana. Farten i punt A är 00 mh och bromsas med onstant acceleration ned till 50 mh i punt C. Bilens tyndpuntshöjd är försumbar jämfört med vägens röningsradie. Bestäm nu a. vägens röningsradie i punten A om passagerarna upplever att storleen av den totala accelerationen är 3 ms, samt b. storleen av totala accelerationen i punt C.

26 6 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Lösningsförslag: Vi börjar med att bestämma tangentiella accelerationen a t under inbromsningen från A till C. Med den populära omsrivningen x = x ÅÅÅÅÅÅ x x = a t får vi acc Solve a t Ø x x a t x First Nu är vi rustade för att besvara frågor! Först a med hjälp av "cirelrörelseformler". Solvea tot a t a n,a n v 00,v r 3.6,a tot 3. acc, r r Ø-43.30, r Ø varav den negativa förastas. Med samma formelsida uppslagen får vi även svaret på delfråga b. Solvea tot a t a n,a n v 50,v r 3.6,r50. acc, a tot a tot Ø-.7377, a tot Ø.7377 Här duger bara den sista lösningen eftersom vi inte befattar oss med vetorer som har negativ längd. Exempel: Tarzans lian har en säerhetsmarginal på5 då han hänger rat ned i den, det vill säga den håller för 5 st Tarzan. Antag nu att Tarzan svingar sig från en lippa på samma höjd som den gren lianen sitter fast i. Hur många LillTarzan an han ta med sig utan att lianen brister om en LillTarzan väger ÅÅÅÅ av vad Tarzan väger? 4 Lösningsförslag: Vi antar att lianen har längden r och att han tar n st LillTarzan med sig. Energibetratelse T + V = T + V ger farten v i lägsta punten där ju påänningen är som störst. ev m T nm LT 0 m T nm LT g r m T nm LT v m T nm LT g 0 grnm LT + m T ÅÅÅÅÅ v nm LT + m T vmax Solveev, v gnrm LT + grm T gnrm LT + grm T v Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ, v Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ nm LT + m T nm LT + m T Med centripetalaccelerationen a n = ÅÅÅÅÅ v och spännraften S i lianen har vi i lägsta punten rörelseevationen i radiell led r ev m T nm LT v r S m T nm LT g. vmax gnrm LT + grm T ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ S - g nm LT + m T r Varav spännraften i lianen.

27 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 7 Slian Solveev, S Simplify First S Ø 3 g nm LT + m T Med given vit på en LillTarzan bestäms antalet n av ravet på säer resa. ev 5m T g S. Slian. m LT 4 m T 5 gm T 3 g nm T ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + m T 4 Solveev, n N n Ø Han an ta med sig högst st LillTarzan. Exempel: På ett nöjesfält finns en märlig bollbana. Antag att en poje står på avståndet x = 3R. Vilen fart sa han ge bollen för att den sa omma tillbaa? Betrata bollen som en partiel! Vilet är det minsta avstånd x som pojen an stå på för att bollen sa unna omma tillbaa på detta sätt? Lösningsförslag: Inför ett oordinatsystem med origo i B där x-axeln är ritad mot pojen och y-axeln uppåt. Låt bollens hastighet vid A ha farten u och ritad i negativ x-ritning och dess hastighet vid C ha farten v och ritad i positiv x-ritning. Lämna sedan över till Solve att reda ut resan med energibetratelse B Ø C samt astparabel C Ø A med restid T. uvt Solve mu u Ø-ÅÅÅÅÅ 5 g R, v Ø- ÅÅÅÅÅ 3 u Ø 5 g R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mgr mv g, v Ø-ÅÅÅÅÅ 3 g,0 gt R, 3R vt, u, v, T R, T Ø- R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, u Ø-5 ÅÅÅÅÅ g R, v Ø 3 g R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, T Ø R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g g, R, T Ø- R 5 g R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, u Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, v Ø 3 g R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, T Ø R ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g g Eftersom vi varen befattar oss med negativ restid T eller negativa farter u, v (belopp av hastighet!) är det bara den sista lösningen som duger. Det är svaret till första delfrågan. Även sista delfrågan passar Solve som handsen. xmin Solve mv min mg,x min v min T, x min,v min R x min Ø- g RT, x min Ø g RT Lastxmin. LastuvT x min Ø R Exempel: Lilla Lisa vill åa loopen på Liseberg. Men innan hon vågar sig upp vill hon gärna ontrollera hur högt startpunten är i förhållande till själva loopen. Hon uppsattar både loopens radie r och startpuntens höjd. Nu vill hon ha hjälp med en formel så att hon an jämföra den uppsattade höjden med den erforderliga höjden h för att hon sa omma osadd ur äventyret! h r r

28 8 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Lösningsförslag: Newton i normalritning och energievationen. Det blir ritist i övre läge om ontatraften N = 0. ev m v min r mv min ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ r mg N, m g h mv min mgr,n 0 gm+ N, ghm mv min ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + gmr, N 0 Med den söta lösningen på h. Som bibrodut får vi även hastigheten i övre läget. Solveev, h, v min h Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 r, v min Ø- g r, h Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 r, v min Ø g r Exempel: En fritionsfri ra glidbana fungerar som utsjutningsramp för en låda, se fig. Lådan släpps vid banans övre ände och lämnar den vid den nedre.vilenvinela sall banan luta för att hastighetens horisontella omposant v h sa blir så stor som möjligt när lådan lämnar banan? v h v Lösningsförslag: Anta att banans längd är L. Energibetratelse, med nollnivå vid banans lägsta punt, ger nu diret lådans fart v längs banan precis då den lämnar banan. v Solve m0 m g L Sin mv mg0,v v Ø- g ÅÅÅÅ L sin a, v Ø g ÅÅÅÅ L sin a Den eftersöta horisontella omposanten. v h v Cos. v g ÅÅÅÅÅ L cosa sin a Plotv h. g, L,, 0, 3, PlotStyle Orange, AxesLabel "", "v h" v h a Numerist extremvärde ges enlast av FindMaximum eller av NMaximize. FindMaximumv h. g, L,, 0, , a Ø NMaximizev h. g, L, 0, , a Ø Annars an man ju söa nollställe till derivatan.

29 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 9 ev Dv h, 0 g L cos a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - g ÅÅÅÅ L sin 3 ÅÅÅÅÅ sin a 0 a alfa Solveev, a Ø-cos - - ÅÅÅÅÅ 3, a Øcos- - ÅÅÅÅÅ 3, a Ø-cos- ÅÅÅÅÅ 3, a Øcos- ÅÅÅÅÅ 3 alfa N a Ø-.56, a Ø.56, a Ø , a Ø Här är det bara sista lösningen som duger Lastalfa För hand är det lättare att studera v h. Den har samma extremvärde på a. ÅÅÅÅÅÅÅ a sina cos a = 0 fl cosa cos a + sina cosa -sina = 0 cosa = 0 fla= ÅÅÅÅ p fl cosa cos a - sin fl v h = 0, ointressant! a = 0 fl cos a - sin a = 0 fl - 3 sin a = 0 fl sina = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 ArcSin Exempel: En fritionsfritt lagrad trumma är uppriggad enligt figur. Jämför utveclingen över tiden för de två olia metoderna att sätta den i rotation. Bestäm även raften i snöret! Tröghetsradien för trumman är 375 mm och dess vit 00 g. Lösningsförslag: Inledningsvis tar vi och samlar ihop lite numerisa data. data M 0, m 00, r 0.5, 0.375, g 9.8 M Ø 0, m Ø 00, r Ø 0.5, Ø 0.375, g Ø 9.8 Först metoden med vit, det vill säga a. Klipp av snöret och alla snittraften S. Rörelseevationer för trumma och vit samt opplingsvillor och begynnelsevärden riggar sedan upp begynnelsevärdesproblemet. Tröghetsmomentet för trumman är J = m där är tröghetsradien. bvpa SolveJ ''t rs,mx''t MgS, x''t r ''t, J m, ''t, x''t, S, JFirst x t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gmr ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m + Mr, S Ø g mm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m + Mr, gmr j t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m + Mr Här an vi diret avläsa de onstanta accelerationerna samt den onstanta raften i snöret. Nu över till utveclingen över tiden.

30 30 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN xa DSolvebvpa, 3. Rule Equal, x0 0, x'0 0, 0 0, '0 0, ''t, x''t, tfirst gmr t xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m + Mr, jt Ø gmrt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m + Mr Sedan metoden med onstant raft, det vill säga b. bvpb SolveJ ''t rs,s 0 9.8, J m, ''t, S, JFirst j t Ø 96. r ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m, S Ø 96. xb DSolvebvpb. Rule Equal, 0 0, '0 0, ''t, tfirst 98. rt jt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ m Inspetion av j avgör tävlingen till fördel för metod b. bvpa, bvpb. data x t Ø , S Ø 80.84, j t Ø 3.037, j t Ø 3.488, S Ø 96. Avslutningsvis en bild över sådespelet. Metod a är heldragen och b strecad. c Red, DarerGreen, Blue, Orange; PlotEvaluatext, t, x't, 't. Dxa, t.xa, r t, t, r't, 't. Dxb, t.xb. data, t, 0, 5, PlotStyle Joinc, #, Dashing0.0 & c, AxesLabel "t", None, PlotLabel "x a t, a t,x at, at,xb t, b t,x bt, bt" x a t,j a t,x at,j a t,x b t,j b t,x bt,j b t t Exempel: När sridsoprinsessan Miss Inertia gör en piruett håller hon inledningsvis armarna enligt den övre figuren och snurrar med vinelhastigheten 5 rads. Bestäm vinelhastigheten efter det att hon har fällt in armarna enligt den undre figuren. Lite data, Huvud: Klot med radie 0. m och viten 4 g, Bål: Cylinder med radie 0. m, höjd 0.6 m och viten 5 g, Arm: Cylinder med radie 0.05 m, höjd 0.7 m och viten 5 g, Ben: Kon med basradie 0. m, höjd m och viten 5 g. Lösningsförslag: Vi behöver veta Miss Inertias masströghetsmoment ring rotationsaxeln i de två tillstånden. Vi tar fram lärobo i dynami, slår upp formelsamling för masströghetsmoment och beränar bidraget från huvud, bål och ben. I hbb HuvudBålBen 0.496

31 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 3 Sedan masströghetsmoment för en utfälld arm, använd Steiner's sats. I ua samt masströghetsmoment för en infälld arm, använd Steiner's sats igen. I ia Slutligen vid frånvaro av yttre moment bevaras rörelsemängdsmomentet, det vill säga I före w före = I efter w efter. Detta ger oss diret vinelhastigheten sedan hon fällt in armarna SolveI hbb I ua 5 I hbb I ia efter w efter Ø Exempel: En trådrulle ligger på bordet enligt figur när sömmersan drar i tråden vid A åt höger. Åt vilet håll rullar då trådrullen? Lösningsförslag: Frilägg trådrullen och benämn trådraften åt höger för P. Vi får evationerna om x ränas positiv åt höger och j positiv medurs. Vi får evationerna ev mg 0, mx P F, J rp RF O N-mg 0, mx F + P, J j -Pr- FR Ingen glidning fl x = R j. Lägg denna evation till de övriga. AppendToev, x R N-mg 0, mx F + P, J j -Pr- FR, x R j Svaret på vår brännande fråga ges av x. svar Solveev, x,,, F Simplify N Ømg, x PRR-r Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mr + J, j P R - r J + mrr Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, F Ø-P ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ mr + J mr + J Här är både P, r, R, m och J positiva, så resan går åt höger eftersom R > r. Trådrullen rullar alltså upp sig på snörstumpen! Slutligen erforderlig fritionsoefficient för att upprätthålla rullning. Abs F. svar First P J + mrr m> ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ mg mr + J

32 3 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN Exempel: En tavla är uppriggad i ett bilsäte enligt figur. Plötsligt bromsar bilen in med en onstant horisontell retardation a = ÅÅÅÅ g. Fritionen an 3 försummas i punten A men ej i punten B där fritionsoefficienten är 0.5. Undersö om tavlan ommer att börja glida vid B. Avgör frågan genom att bestämma erforderlig m e för att undvia glidning. Sö även maximal retardation a som bilen an ha för att tavlan fortfarande sa stå var. Lösningsförslag: Antag att tavlan har höjden h och massan m. Efter friläggning och lite geometrisa överläggningar (rita!) får vi rörelseevationen i x-led, jämvit i y-led samt momentjämvit ring tyngdpunten. ev m x N A Cos7 N B Sin7 F B Cos7, N A Sin7 N B Cos7 F B Sin7 mg 0, h Cos30 7 N A h Sin30 7 N B h Cos30 7 F B 0 T p mx -cos7 F B + cos7 N A - sin7 N B, Lös ut alla rafter. -gm- sin7 F B + sin7 N A + cos7 N B 0, NF Solveev, N A,N B,F B First N A Ø- ÅÅÅÅÅ - gm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Tavlan sa ha samma retardation som bilen. Erforderlig m e. ÅÅÅÅÅ h cos3 F B + ÅÅÅÅÅ h cos3 N A - ÅÅÅÅÅ h sin3 N B 0 - ÅÅÅÅÅ 3 x m sec3, N B Ø gmcos7 - mx sin7, F B Ø-ÅÅÅÅÅ sec3 mcos6 x - gmsin6 NF. x g Simplify 3 N A Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅ gmsec3, N B Ø ÅÅÅÅÅ 3 gm3cos7 + sin7, F B Ø ÅÅÅÅÅ 6 e F B N B.NF. x g Simplify 3 sec3 cos6 + 3 sin6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 cos7 + sin7 e N gmsec3 cos6 + 3 sin6 Mindre än given möjlig 0.5, så svaret på första delfrågan är att tavlan inte glider vid B. Vad gäller maximal retardation har vi två fall att ta ställning till. Glidning vid B eller att tavlan lättar vid A, det vill säga "roterar" framåt i sätet. Låt oss undersöa det sista fallet som ges av villoret N A = 0. ev N A 0. NF - ÅÅÅÅÅ - gm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅ 3 x m sec3 0 Bestäm motsvarande maximala retardation på bilen i detta fall. a max Solveev, x First

33 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 33 x Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g 3 Kontrollera om fritionen vid B larar av detta detta. NA0 F B.NF. a max Simplify N B sec3 3 cos6 + 3 sin6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 cos7 + 3 sin7 NA 0 N Mindre än given möjlig 0.5 så detta fall sätter gränsen för bilens retardation till ÅÅÅÅÅÅÅÅ för att tavlan inte sa "rotera" framåt i sätet. g 3 Exempel: Två lådor ligger ovanpå varandra på ett glatt bord, se övre fig. En raft anbringas på den övre lådan. Bestäm hur lång tid det tar innan vi har situationen i den undre figuren. Hur lång sträca har den undre lådan då hunnit glida? 00 N 5 g 0.5 m =0.8 8 g =0 00 N 8 g 5 g Lösningsförslag: Efter friläggning och införande av oordinater och rafter enligt figur nedan har vi standard Newton mx = F för de två ropparna. Som sagt, separation är vårt ständigt återommande problem. Nu är det dax igen. Här är det gansa lätt eftersom alla integrationsonstanter blir noll. Genomför gärna alylen för hand! Nu låter vi DSolve göra hela jobbet diret. x x P m m F=m g xå DSolvem x ''t P m g, ODE för m m x ''t m g, ODE för m x 0 0, x '0 0, BV för m x 0 0, x '0 0, BV för m x t, x t, tfirst x t Ø Pt - gt m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, x t Ø gt m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m m Vi inleder med en liten reseberättelse. PlotEvaluatex t, x t, x t x t, L. xå. m 5, m 8, P 00, L 0.5, 0.8, g 9.8, t, 0, 0.4, PlotStyle Orange, Green, Blue, Red, AxesLabel "t s", "x t,x t,x tx t,l"

34 34 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN x t,x t,x t-x t,l t s När locan är t har den lilla lådan hunnit till framanten på den stora och således flyttat sig sträcan x t = x t + L, där L är given i uppgiften. I grafen ovan inträffar detta då den blå urvan (x t - x t) sär den röda (L). Detta bestämmer restiden till det att vi har situationen i den undre figuren. ev x t x t L. xå Pt - gt m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m m t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + L m m Nu är det bara att lösa ut den. T Solveev, t L L t Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P ÅÅÅÅÅÅÅ - g m- g m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P ÅÅÅÅÅÅÅ - g m- g m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m m m Eftersom vi inte befattar oss med negativa restider får vi resvägarna xå. T Simplify m L x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ P ÅÅÅÅÅÅÅ - g m- g m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø glmm - LPm L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, x g m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + g m m m - Pm P m ÅÅÅÅÅÅÅ - g m- g m m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø- glmm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m m + g m m m - Pm m Så med lite numeri. m xå. T. m 5, m 8, P 00, L 0.5, 0.8, g 9.8 x Ø , x Ø Det anse är av intresse att veta att om det finns en minsta raft P för att den lilla lådan överhuvudtaget sa nå fram. Detta ritisa värde ges av att lådorna glider parallellt i all evighet P rit Solvex t x t. xå, P Simplify P Ø g m m m + m ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m Som med våra övriga värden blir P rit. m 5, m 8, 0.8, g 9.8 P Ø m

35 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 35 Exempel: Ett löphjul med mått enligt figur har massan 5 g och tröghetsradien 60 mm. Det släpps med en medurs rotation på 0 rads i ett spår som lutar 0. Mellan axeltapparna och anten gäller att fritionsoefficienten m=0.3. För övrigt är hjulet ej i ontat med spåret. Sö a. tidpunt och läge då glidning upphör, b. tidpunt och läge när det vänder, samt slutligen c. tidpunt, hastighet och vinelhastighet då det återommer till startpunten. Lösningsförslag: Inför x-axeln uppåt längs banan, y-axeln vinelrät däremot samt j medurs. Frilägg och för in de "vanliga" rafterna. Tecna sedan rörelseevationerna data m 5, r 0.5, J , 0, 0.3, 0, g 9.8; ev m x''t mgsin F, my''t N m g Cos, J ''t rf â à T p mx t F - gmsina, my t N - gmcosa, J j t -Fr Här är nu y = 0 det vill säga y = 0 under hela resan. Från början har vi dessutom glidning, det vill säga fullt utbildad frition F = mn. Strängt taget sa vi ontrollera efteråt att m verligen inte larar av att "ryca" igång hjulet i rullning, typ "uggstång". Men vi litar på problemförfattaren och löser ut de obeanta. glider SolveFlattenev, y''t 0, F N, x''t, ''t, N,F First x t Ø g m cosa - g sina, j gmrmcosa t Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ, N Ø gmcosa, F Ø gmmcosa J Nu är det bara att vasa fram (ODE), ode Taeglider,. Rule Equal x t g m cosa - g sina, j gmrmcosa t - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ J applicera (BV) och lösa (BVP). x g DSolveode, x0 0, x'0 0, 0 0, '0, xt, t, tfirst xt Ø ÅÅÅÅÅ gt m cosa - gt sina, jt Ø Jtw-gmrt m cosa ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ J När den inte glider längre rullar den. Då är x t = r j t, så svaret på delfråga a. tida Solvex't r 't.dx g,t, tfirst Jrw t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m m cosa r + J m cosa - J sina x g. tida Simplify x Jrw J r w m cosa - sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ g mr + J m cosa - J sina g mr + J m cosa - J sina, j Jrw ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø Jrw mr + J m cosa - J sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr + J m cosa - J sina g mr + J m cosa - J sina x g. tida. data

36 36 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN x Ø , j Ø För att få svaret på delfråga b måste vi börja om från början med rörelseevationerna men med rullvillor. rullar SolveFlattenev, y''t 0, x''t r ''t, x''t, ''t, N,F First N Ø gmcosa, x t Ø- gmr sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, F Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gjmsina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, j t Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gmrsina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mr + J mr + J mr + J Nu är det bara att vasa fram (ODE) ode rullar, 4. Rule Equal x t - gmr sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, j t - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gmrsina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mr + J mr + J Mea ihop (BV) det vill säga de värden som gäller då glidning upphör och rullning inträder. Detta hämtas från a. Använd samma loca, det vill säga den vi startade när spetalet började. Lös (BVP). bv x g,dx g,t. Rule Equal. tida Simplify Jrw x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr +J m cosa-j sina J r w m cosa-sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å x Jrw ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr +J m cosa-j sina Jrwmcosa-sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ mr +J m cosa-j sina bv. data Jrw j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr +J m cosa-j sina g mr +J m cosa-j sina Jrw mr + J m cosa- J sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr +J m cosa-j sina x j x j Jrw J w m cosa-sina j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr +J m cosa-j sina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ mr +J m cosa-j sina x r DSolveode, bv, xt, t, tfirst Simplify xt Ø- r g mr + J t m cosagmrtsina - J w + J J rw + gjtsina w-g mrt sin a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, g mr + Jmr + J m cosa - J sina jt Ø g mr + J t m cosaj w-gmrtsina + J m w r 3 + g mt sin a r - gjtwsina ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g mr + Jmr + J m cosa - J sina x r. data ExpandAll xt Ø t t , jt Ø t t Äntligen ges nu svaret på delfråga b av villoret att x t = 0 i vändläget. tidb Solvex't 0. Dx r,t, tfirst t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J w csca ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gmr x r. tidb Simplify x J w csca J w m cota - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ gmr gmmr + J m cosa - J sina, j J w csca J w mr - J + J m cota ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gmr ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gmrmr + J m cosa - J sina x r. tidb. data x Ø , j Ø Slutligen delfråga c. Hur mycet är locan när vi ommer hem och hur snurriga är vi? tidc Solvext 0. x r,tsimplify

37 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 37 t Ø -g w J + g mwcota J + gmr mwcota J - csca g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina g mrmr + J m cosa - J sina, t Ø -g w J + g mwcota J + gmr mwcota J + csca g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina g mrmr + J m cosa - J sina tidc. data t Ø , t Ø Här duger bara den sista eftersom vår rullande modell endast gäller vid just rullning, det vill säga då locan har passerat det locslag som bestämdes i delfråga a. Stämmer dessutom bra eftersom vi ommer hem efter det att vi vänt. Så snurrigheten vid hemomsten är Dx r,t. tidc Simplify x -g w J + g mwcota J + gmr mwcota J + csca g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina g mrmr gj r w m cosa - sina + J m cosa - J sina Ø-ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina, j -g w J + g mwcota J + gmr mwcota J + csca g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina g mrmr + J m cosa - J sina Ø gj w m cosa - sina - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina Dx r,t. tidc. data x Ø-.3668, j Ø x r. tidc Simplify x-g w J + g mwcota J + gmr mwcota J + csca g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina g mrmr + J m cosa - J sina Ø 0, j-g w J + g mwcota J + gmr mwcota J + csca g J mr + J w m cosa - sina mr + J m cosa - J sina g mrmr Jrw + J m cosa - J sina Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅ gmmcosa r + gj m cosa - gjsina x r. tidc. data x Ø μ 0-6, j Ø Om man inte är intresserad(?) av de ibland omfattande symbolisa uttrycen an man naturligtvis ta sig igenom uppgiften rent numerist genom att redan från början applicera data, men då tappar man många lärospån på vägen Avslutnings några förtydligande(?) bilder över situationen. Eftersom det intressantaste händer under en väldigt ort tid i början använder vi logaritmis tidssala. Vi börjar med xt blå och strecad och x t röd och heldragen. Vidare är tre vertiala linjer inlagda för att marera de tre tidszonerna: glidning, rullning till vändläge samt rullning hem. tzon t. tida, tidb, tidc. data; LogLinearPlotEvaluatext.x g,x't. t x g UnitStept tzon xt.x r,x't. t x r UnitStept tzon. data, t, 0, tzon3, PlotStyle Blue, Dashing0.0, Red, GridLines tzon, None, AxesLabel "t", "xt, x t"

38 38 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN xt, x t t Samma melodi för vineln, jt blå och strecad och j t röd och heldragen. LogLinearPlotEvaluatet.x g, 't. t x g UnitStept tzon t.x r, 't. t x r UnitStept tzon. data, t, 0, tzon3, PlotStyle Blue, Dashing0.0, Red, GridLines tzon, None, AxesLabel "t", "t, t" jt, j t t Exempel: En låda sjuts iväg med farten v = 6 ms från en punt A uppför ett lutande plan med q=0. Mellan lådan och planet är fritionsoefficienten m=0.. Sö a. tidpunt och läge då lådan vänder, samt b. tidpunt och fart v då den återommer till A. Lösningsförslag: Inför x-axeln uppåt längs banan och y-axeln vinelrät däremot, snett uppåt. Frilägg och för in de "vanliga" rafterna. Tecna sedan rörelseevationerna för resan uppåt. data 0., 0, v 6, g 9.8 m Ø0., qø0, v Ø 6, g Ø 9.8 ev m x''t mgsin F, my''t N m g Cos â à mx t -F - gmsinq, my t N - gmcosq Här är nu y = 0 det vill säga y = 0 under hela resan. Vi har dessutom glidning under hela resan, det vill säga fullt utbildad frition F = mn. Lös ut de obeanta. glider SolveFlattenev, y''t 0, F N, x''t, N,F First x t Ø-g m cosq - g sinq, F Ø gmm cosq, N Ø gmcosq Nu är det bara att vasa fram (ODE), applicera (BV) och lösa (BVP). upp DSolveglider. Rule Equal, x0 0, x'0 v,xt, tfirst

39 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 39 xt Ø ÅÅÅÅÅ -g m cosq t - g sinq t + v t När den vänder är hastigheten noll, det vill säga x t = 0, så svaret på delfråga a. tida Solvex't 0. Dupp, t, tfirst v t Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ g m cosq + sinq upp. tida. data x.5409 Ø Innan vi går vidare måste vi först ontrollera att vi får åa hem igen eller om vi är dömda att stanna i vändläget för gott, det vill säga om lådan verligen börjar glida nedåt igen. Detta bestäms av om givet m larar av att hålla den var i vändläget eller ej. Bestäm därför erforderligt m r för att stanna var och jämför med m. FN Solveev. x''t 0, y''t 0, F, N First F Ø-gmsinq, N Ø gmcosq r Abs F N.FN tanq r. data N r. data True Visst, delfråga b är sund. Tyvärr måste vi börja om från början med rörelseevationerna, ty under hemresan har ju fritionsraften bytt tecen. glider SolveFlattenev, y''t 0, F N, x''t, N,F First x t Ø g m cosq - g sinq, F Ø-gmm cosq, N Ø gmcosq Mea ihop (BV), det vill säga de värden som gäller i vändpunten. Detta hämtas från a. Använd samma loca, det vill säga den vi startade när spetalet började. bv upp, Dupp, t. Rule Equal. tida Simplify x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ v g m cosq+g ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sinq ÅÅÅÅÅÅÅ v ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m cosq+ g sinq x v ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m cosq+g sinq ÅÅÅÅÅÅÅ 0 bv. data x x Nu är det bara att vasa fram (ODE) och lösa (BVP). ned DSolveglider. Rule Equal, bv, xt, tfirst xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m cosq + sinq g t m 3 cos 3 q + g t m sinq cos q - gtm v cos q - g t m sin q cosq + m v cosq - g t sin 3 q + gtsin q v Äntligen ges nu svaret på delfråga b av villoret att xt = 0 vid hemomsten.

40 40 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN tidb Solvext 0. ned, t First t Ø g m v cos q - g sin q v - -g m 4 v cos 4 q - g m 3 sinq v cos 3 q + g m sin 3 q v cosq + g sin 4 q v ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g m 3 cos 3 q + g m sinq cos q - g m sin q cosq - g sin 3 q ned, Dned, t. tidb. data x Ø.8946 μ 0-5, x Ø Avslutnings en förtydligande(?) bild över situationen. Läget xt blå och strecad och hastigheten x t röd. Vidare är två vertiala linjer inlagda för att marera de två tidszonerna utresa och hemresa. tzon t. tida, tidb. data; PlotEvaluatext. upp, x't. t upp UnitStept tzon xt. ned, x't. t nedunitstept tzon. data, t, 0, tzon, PlotStyle Blue, Dashing0.0, Red, GridLines tzon, None, AxesLabel "t", "xt, x t" xt, x t t Exempel: Två bilar har samma hastighet v 0 på en ra väg. Avståndet mellan dem är d. Plötsligt börjar den främre bilen bromsa med onstant retardation a f. Bestäm minsta avstånd d för att undvia ollision om föraren i den baomvarande bilen har reationstiden t och sedan bromsar med onstant retardation a b. Undersö speciellt fallet v 0 = 5 ms = 90 mh, a f = 4, a b = 5, =- ms, t=s. Lösningsförslag: Starta locan då den främre bilen börjar bromsa och rulla ut måttbandet från den position som den bare bilen befinner sig. Vi får då följande (BVP) data v 0 5, a f 4, a b 5, ; xfåbbvp DSolvex f ''t a f,x f '0 v 0,x f 0 d, x b ''t a b UnitStept, x b '0 v 0,x b 0 0, x f t, x b t, tsimplify First x f t Ø a f t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + v 0 t + d, x b t Ø ÅÅÅÅÅ tv 0 + a b qt -tt -t + t -t tq-t För att ollision inte sa se innan den baomvarande börjat bromsa rävs att d är minst SimplifySolvex b t x f t. xfåbbvp. t,d, 0 d Ø-ÅÅÅÅÅ t a f Inför tidsintervallet t >t passar vi på att förenla evationerna lite xfåb SimplifyxfÅbBVP, 0, t x f t Ø a f t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + v 0 t + d, x b t Ø ÅÅÅÅÅ a b t -t + tv 0

41 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 4 Om detta är uppfyllt sall ollision undvias då båda bilarna bromsar och locan t >t. Minsta avstånd d ges nu av att x f = x b x f = x sa gälla för något t och d, det vill säga "tangentrav". b dt Solvex b t x f t. xfåb, x b 't x f 't.dxfåb, t, t, d First d Ø- t a b a f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a b - a f, t Ø t a b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ a b - a f Speciellt har vi för den önsade situationen dt. data d Ø 0, t Ø 5 Bilarnas restider till stillastående. T f Solvex f 't 0. DxfÅb, t, tfirst t Ø- v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅ a f Bromssträcor. T b Solvex b 't 0. DxfÅb, t, tfirst t Ø t a b - v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ a b x f t. xfåb. T f d - v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a f x b t. xfåb. T b Simplify t v 0 - v 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a b Liten specialvariant av Plot som ritar flera funtioner i olia intervall, rplot = "range"plot. rplotf_, r_, optns : Moduleu Uniqueu, pf, pf #,, #. #, u#, u#, 3 & f, ThreadList r ; ParametricPlotEvaluatepf, u, 0,, optns; Nu an vi äntligen inspetera bilarnas resa genom vädret i sarpt läge. rplotx f t, x b t. xfåbbvp. dt. data, t, 0, t. T f,t b. data, PlotStyle Red, Blue, AxesLabel "t", "x f t,x b t" x f t,x b t t Vår omvärld är full av företeelser som arateriseras av svängningar. Många av dessa an med fördel lineariseras till en disret modell med en massa, en fjäder - med en motritad raft som är proportionell mot läget samt en dämpare - med en motritad raft som är proportionell med hastigheten. Inte sällan ser man flera sådana "atomer" sammanopplade i större

42 4 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN struturer. Med hjälp av Newtons rörelselagar får vi så en modell som bör finnas i vertygslådan hos varje pratiserande ingenjör. ü Massa och fjäder utan yttre last Vi börjar med en massa opplad till en fjäder. Vi frilägger och noterar att den motritade raften i fjädern är proportionell mot läget med fjäderonstanten. Formulera nu rörelseevationen med hjälp av Newton mx =-x ñ mx + x = 0 ñ x + ÅÅÅÅÅ m x = 0 Vi änner igen en linjär andra ordningens (ODE) med onstanta oefficienter. Här allas w e = ÅÅÅÅÅ för egenvinelhastigheten med enheten [rad/s]. Man pratar ocså om egenvinelfrevensen f e = w e m ÅÅÅÅÅÅÅ p och egenperioden T e = ÅÅÅÅÅ f e. Prefixet "egen" ommer av att w e endast beror på systemets "egna" inneboende parametrar. Lösningen är en så allad harmonis svängning som fortgår i all evighet om systemet störs från sitt jämvitsläge. Notera speciellt var w e dyer upp! DSolvem x''t xt, xt, t xt Ø c cos t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m + c sin t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m Som väntat får vi två onstanter som fixeras av (BV). Uttrycet ovan bruar ofta srivas om som en ren sinus- eller cosinusvåg. a sinwt + b coswt = a + b a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a +b a b a +b b, - b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a +b a +b b = a + b cosjsinwt + sinjcoswt Summaformel för sinus! = a + b sinwt +j och identifierar amplitud R = a + b och fasvinel j som naturligtvis mäts i radianer. Punten ÅÅÅÅÅ a R, ÅÅÅÅÅ b ligger på enhetscireln R och fasvineln j bestäms lit argumentet för ett omplext tal. Var och en av de oändligt många vinlar j som löser evationerna a = R cos j b = R sin j an göra ansprå på att allas för fasvinel. På grund av periodiciteten hos cosinus och sinus siljer de sig åt med en multipel av p så alla ger "samma effet". Ofta nöjer man sig med den så allade principalvineln som ligger i intervallet -p, p. När man ränar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt vadrant!! Om a = 0 eller b = 0 är det ju enelt annars går det bra att beräna fasvineln som j =arctan ÅÅÅÅ b a + p Æ eftersom arctan() levererar vinlar i första och fjärde vadranten. Den avslutande orretionen ommer sig naturligtvis av att vi an ha dividerat bort "negativ" information, ty ÅÅÅÅ b a = ÅÅÅÅÅÅ -b -b om a<0 och ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅ b -a a -a. I Mathematica är det inga problem, speciellt inte om vi använder versionen med två argument Arctan[a,b]som alltid levererar rätt vinel i intervallet -p, p och givetvis i radianer. Vi tar ett exempelvis med m = g, = 8 Nm och begynnelsevärdena x0 = och x 0 =. xavt DSolve x''t 8 xt, x0, x'0, xt, tfirst xt Ø ÅÅÅÅÅ 3 cos3 t + sin3 t 3 Plotxt. xavt, t, 0, 0, PlotStyle Red, AxesLabel "t", "xt"

43 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica xt t - a, b Coefficientxt. xavt, Sin3t, Cos3t ÅÅÅÅÅ 3, R a b % N 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ArcTana, b % N tan En sista ängslig oll... R Sin3 t xt. xavt Simplify 0 ü Massa, fjäder och dämpare utan yttre last Massa opplad till en fjäder och dämpare. Vi frilägger och noterar att den motritade raften i fjädern är proportionell mot läget och i dämparen mot hastigheten med dämpningsonstanten c. Formulera rörelseevationen med hjälp av Newton mx =-x - cx ñ mx + x + cx = 0 ñ x + ÅÅÅÅÅ c m x + ÅÅÅÅÅ m x = 0 Vi änner igen en linjär andra ordningens (ODE) med onstanta oefficienter. Beroende på rötterna till den arateristisa evationen får vi överritis, ritist eller underritis dämpning. Detta avgörs av den nya atören, dämparen, som i de flesta fall bidrar med att "äta energi", vilet ger sig tillänna som en exponentiellt avtagande amplitud hos lösningen. Även den tidigare nämnda egenvinelhastigheten ommer med i lösningen på "samma ställe" som tidigare. Exempelvis underritis dämpning med m = 3 g, c = Nsm, = 5 Nm med (BV): x0 = och x 0 =. xavt DSolve3 x''t 5xt x't, x0, x'0, xt, tfirst xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 59 -t6 59 cos 59 t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sin 59 t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 R ab.ab. ab Coefficientxt. xavt, Sin 59 t 6 59 t, Cos 6

44 44 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN 3 6 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 59 -t3 PlotR, xt. xavt, R, t, 0, 0, PlotStyle Blue, Red, PlotRange All, AxesLabel "t", "xt,rt" xt,±rt t ü Massa, fjäder och dämpare med yttre last Avslutningsvis an man naturligtvis utsätta de båda modellerna ovan för en yttre, ofta allad störande eller påtvingad, raft. I nästan alla intressanta appliationer är denna av periodis natur Ft = F 0 sinwt. Vi väljer att exemplifiera med en full massa fjäder dämpare modell. Formulera nu rörelseevationen med hjälp av Newton mx =-x - cx + Ft ñ mx + x + cx = Ft ñ x + ÅÅÅÅÅ c m x + ÅÅÅÅÅ m x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ Ft m Från urs i (ODE) änner vi till att lösningen delas upp i "systemets inneboende" homogena lösning x h samt en partiulärlösning x p beroende på högerledet, ofta allad fortvarighetslösning (eng. steady-state solution). Allmänna lösningen blir sedan x = x h + x p. Homogena lösningen bruar allas för transienta lösningen (eng. transient solution) eftersom den lingar av gansa snabbt med tiden. Kvar blir x p, därav namnet. När vi löser en differentialevation med Mathematica får vi inte denna, ibland önsade, uppdelningen. Ett tric är att lösa systemet utan begynnelsevärden. De termer som då har "onstanterna" c i på sig tillhör den homogena lösningen och öppnar därmed för en separation av lösningen. Exempelvis med m = g, c = Nsm, = 5 Nm, F 0 = 0 N, w = rads med (BV): x0 = 0 och x 0 =. Först hela lösningen till (BVP). xbvp DSolvex''t x't 5xt 0Sint, x0 0, x'0, xt, tfirst Simplify xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 34 -t t sin t t cos t Plotxt. xbvp, t, 0, 5, PlotStyle Red, AxesLabel "t", "xt" xt t Nu över till separationen. Samma som ovan men utan begynnelsevärden. xode DSolvex''t x't 5xt 0Sint, xt, tfirst Simplify xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅ 7 -t 7 c - 40 t cos t + 7 c + 0 t sin t

45 HH/IDE/BN Meani-Dynami och Mathematica 45 Varav partiulärlösningen xp xt. xode. c 0, c 0 Simplify - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 4 cos t - sin t 7 och sedan homogena lösningen xh xt. xbvp xp Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅ 34 -t 80 cos t + 37 sin t Nu an vi inspetera de olia delarna. Allmänna lösningen anpassar sig rast till partiulärlösningen eftersom den homogena lösningen snabbt lingar av med tiden. Plotxt. xbvp, xh, xp, t, 0, 5, PlotStyle Red, Blue, Green, AxesLabel "t", "xt,x h t,x p t" xt,x h t,x p t t Även här bruar fortvarighetslösningen srivas om till ren sinusvåg x p t = a sinwt + b coswt = R sinwt +j med amplitud R, vinelhastighet w (här = ) och fasvinel j i radianer naturligtvis. a, b Coefficientxp, Sint, Cost ÅÅÅÅÅÅÅÅ 0 7, - ÅÅÅÅÅÅÅÅ 40 7 R a b % N 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ArcTana, b % N -tan En sista ängslig oll... R Sin t xp Simplify 0

46 46 Meani-Dynami och Mathematica HH/IDE/BN ü Amplitud över alla gränser Exempel: En enel massa med fjäder och dämpare är uppriggat enligt figur. Sö fortvarighetslösningens amplitud orsaad av den störande raften. Lösningsförslag: Vi har standard Newton mx + cx + x = F. Lösningen delas ju upp i "systemets inneboende" homogena lösning x h samt en partiulärlösning x p beroende på högerledet, ofta allad fortvarighetslösning (eng. steady-state solution). Allmänna lösningen blir sedan x = x h + x p. Homogena lösningen bruar allas för transienta lösningen (eng. transient solution) eftersom den lingar av gansa snabbt med tiden. Kvar blir x p, därav namnet. När vi löser en differentialevation med Mathematica får vi inte denna, ibland önsade, uppdelningen. Ett tric är att lösa systemet utan begynnelsevärden. De termer som då har "onstanterna" c i på sig tillhör den homogena lösningen och öppnar därmed för en separation av lösningen. Exempelvis m = g, c = 5 Nsm, = 4 Nm, F 0 = N, och w =3 rads med (BV): x0 = 0, x 0 =. xt DSolvex''t 5x't 4xt Sin3t, x0 0, x'0, xt, tfirst Simplify xt Ø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 50-4 t t - 9 cos3 t - 3 sin3 t Nu över till separationen x = x h + x p. Först samma som ovan men utan (BV). xode DSolvex''t 5x't 4xt Sin3t, xt, tfirst Simplify xt Ø -4 t c + 3 t c - 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 50 cos3 t - ÅÅÅÅÅÅÅÅ sin3 t 50 Oulärt an vi lätt identifiera de två lösningarna. Vi ser att allmänna lösningen anpassar sig rast till partiulärlösningen eftersom den homogena lösningen snabbt lingar av med tiden beroende på exponentialfuntioner med negativa exponenter. Så c Ø 0, c Ø 0 ger oss partiulärlösningen x p och sedan x h xp xt. xode. c 0, c 0-3 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 50 cos3 t - ÅÅÅÅÅÅÅÅ sin3 t 50 xh xt.xt xp Simplify ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 50-4 t t Nu an vi inspetera de olia delarna. PlotEvaluatext. xt, xh, xp, t, 0, 5, PlotStyle Red, Blue, Green, AxesLabel "t", "xt,x h t,x p t"