HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 1. Något om Mekanik-Dynamik och Mathematica, läsanvisningar till Christer Nybergs bok Mekanik

Transkript

1 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 1 Något om Mekanik-Dynamik och Mathematica, läsanvisningar till Christer Nybergs bok Mekanik Bertil Nilsson Bungy Jump Solve the initial value problem using the following rubber band model. k H yt L cy't H yt L 0 F rb 0 H yt L 0 ; yoft NDSolvem y''t mgf rb,y0 H, y'0 0. m 75, g 9.81, H 50, L 30, k 15, c 50, yt, t, 0, 15; A picture illuminates the situation RulePlotLegyOft, DyOft, t, t, 0, yt y t t 0

2 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Dynamik Till skillnad från statik som behandlar kroppar i vila, handlar dynamik om kroppar i rörelse. Dynamiken delas dessutom in i - kinematik som behandlar kroppars rörelse utan påverkan av krafter. Här handlar det om att den bana som en kropp rör sig i är känd och man söker ofta de krafter som detta ger upphov till, exempelvis tåg eller karusell på Liseberg. Enligt Newtons andra lag nedan så upplever en resenär i en karusell tröghetskraften massaacceleration. - kinetik handlar om den rörelse eller bana som en kropp tvingas till utgående från givna yttre krafter, exempelvis en fotboll. Krafter uppkommer på grund av påverkan från omgivningen, exempelvis tyngdkraft och kontaktkrafter. Centralt i dynamiken är Newtons tre lagar. Dessa talar om hur en kraft påverkar en kropp: N1: Tröghetslagen. En kropp förblir i sitt tillstånd av vila eller likformig rörelse om den inte av verkande krafter tvingas att ändra detta tillstånd. N: Accelerationslagen. En kropp som påverkas av kraften F får en acceleration a sådan att F ma, där konstanten m är kroppens (tröga) massa. Brukar kallas rörelseekvationerna. Egentligen sa Newton något annat, se vidare under avsnittet kinetik. N3: Lagen om verkan och motverkan. Två kroppars ömsesidiga verkningar på varandra är alltid lika stora och motriktade. Kinematik I kinematik läggs den matematiska grunden för dynamiken, alltså även kinetiken. Notera att hela dynamiken vilar på att man kan frilägga, det vill säga statiken måste vara väl inhämtad. Samband mellan läge, hastighet och acceleration utreds och är mycket centralt. Arbeta som vanligt i ett universellt fastspikat koordinatsystem och håll fast vid det! Vanligtvis kommer detta att vara vårt vanliga koordinatsystem med beteckningarna x, y och z och SI-enheter! Enheten radianer måste användas i dynamik annars gäller inte deriveringsreglerna. Läget för tyngdpunkten av en kropp eller punkt som funktion av tiden beskrivs sedan av sin ortsvektor txt, yt, zt, som är en vektorvärd funktion av en reell variabel där varje komponent i vektorn är en funktion av samma variabel. Komponenterna kallas koordinatfunktioner och t parameterkurva med parametern t, oftast tiden i vårt fall. Tillskottet av läge per tidsenhet kallas för medelhastighet under tidsintervallet t. Enligt definition på derivata har vi att t gränsvärdet lim t0 som kallas (momentan)hastighet vid tiden t. Tidsderivator är mycket vanliga i fysik, därför har man t t infört beteckningen, -prick" för tidsderivata. På samma sätt har vi acceleration som ett tillskott av hastighet per tidsenhet t. För denna inför vi beteckningen t, -prickprick". Derivator och integraler av en vektor eller matris faller naturligt ut på t komponenterna, tx t, y t, z t och tt xtt, ytt, ztt. Kom ihåg att t, t och tt är vektorer med både längd och riktning! Vi sammanfattar Först en allvarligt menad varning. Hastighet vektor är tidsderivatan av läget vektor. Beloppet t kallas fart skalär. Acceleration vektor är tidsderivatan av hastigheten vektor. t t Lös inte problem i dynamik med färdiga formler av den typ som härleds i läroböcker och som finns i alla formelsamlingar. Det är nämligen mer arbete att utreda om formeln gäller med hänsyn till begynnelsevärden och övriga förutsättningar än att lösa rörelseekvationerna själv. Många formler förutsätter accelerationen konstant. Använd inte heller beteckningarna s, v och a för varierande läge, hastighet och acceleration - även om - eller i synnerhet inte - om du från gymnasiet är inarbetad på dem! Du får bara allt svårare för att frigöra dig från "färdiga-formler-tänkandet" och kommer inte vidare!! Använd istället, och tillsammans med dina kunskaper från kurs i ordinära differentialekvationer!! Läs i e-boken "Något om (ODE) och Mathematica". De olika arbetsmoment som kinematik och kinetik erbjuder kan sammanfattas i schema nedan, Fig 1. För att förflytta sig mellan de önskade storheterna läge, hastighet och acceleration är det derivation som gäller i ena rikningen och integration i den andra. Notera att lösningen till ett begynnelsevärdesproblem (BVP) tar oss i allmänhet hela vägen "upp" till t. Hastighet fås sedan genom derivering. På grund av Newtons accelerationslag, m, är modeller i kinetik naturligt förmulerade som en andra ordningens (ODE), men kinematik är lika ofta formulerat som en första ordningens (ODE). För alla dessa moment i schemat finns Mathematica till mycket god hjälp. Den högra sidan är det moderna datoranpassade arbetssättet! Kom ihåg att t är länken mellan t, t och t. Därför dyker den ofta upp som obekant vid problemlösning utan att vara direkt efterfrågad! Den typiska arbetsgången i dynamik är att formulera (BVP) som löses med DSolve. Frågor till modellen formuleras sedan som ekvationer vilka löses med Solve. Computational Thinking!

3 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 3 Läge, t t Hastighet, t.. t Acceleration,.. Begynnelsevärdesproblem.. t gt, t, t ODE BVP BV 0 Mathematica; DSolveNDSolve t, D t Fig 1. Lösningsmetoder I Mathematica används funktionen DSolve för att lösa en stor klass av differentialekvationer, allt från enkla separabla och linjära av godtycklig ordning till mycket komplicerade olinjära. Mathematica förstår den vanliga sparv -notationen för derivata men inte prickar för tidsderivata. Här en saftig linjär första ordningens (ODE) från analyskursen. DSolve1 x y'xxyx 1 x ArcTanx, yx, x yx c 1 x 1 1 x 1 tan 1 x DSolve löser även system av differentialekvationer och är mycket lättanvänd. Strängt taget handlar det om att skriva av rätt! Notera de nödvändiga []-parenteserna eftersom yx ska vara en funktion av x! Använd namn som passar din modell. Observera dubbla likhetstecken eftersom det är en ekvation! Det är inte bara namnet som antyder släktskap med Solve, utan även hantering av indata och resultat. Som vanligt gäller att när man väl förstått filosofin bakom Mathematica är det mesta självklart! Utan begynnelsevärden kommer det som vanligt ut lika många konstanter c i som vi har ordning på differentialekvationen. Man kan givetvis ta med begynnelsevärden för att få konstanterna bestämda. Dessa paketeras då som ekvationer, det vill säga med två likhetstecken, tillsammans med differentialekvationen i en lista. Så begynnelsevärdesproblemet BVP y'xyxsinx y0 ODE BV är bara att skicka rakt in i Mathematica, sedan piggar vi upp oss med en bild. yavx DSolvey'xyx Sinx, y0, yx, xsimplify yx 1 5 x sinx cosx RulePlotLabyAvx, x, 0, 5, PlotStyle Red x yx I nästa exempel ser givetvis Mathematica att både t och t t ingår i homogena lösningen och korrigerar partikulärlösningen. DSolvex''t4x't4xt t,xt, tsimplify xt 1 t c t c 1 t Då vi inte kan finna lösningen analytiskt, vilket naturligtvis är långt ifrån ovanligt ute i verkliga livet, finns funktionen NDSolve till vår hjälp för att göra en ren numerisk lösning. Utdata från denna är en InterpolatingFunction som kan verka lite märkvärdig innan man blivit vän med den. Den fungerar dock som vilken annan funktion som helst. För övrigt är den ett kraftfullt redskap om man vill göra interpolation i t.ex. mätdata. Som exempel kör vi en repris på begynnelsevärdesproblemet ovan. Det enda som skiljer i menyn jämfört med DSolve är att man, likt Plot, måste ange i vilket intervall man vill att spektaklet ska utspela sig. NyAvx NDSolvey'xyx Sinx, y0, yx, x, 0, 5 yx InterpolatingFunction Domain: Output: scalar x

4 4 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN RulePlotLegNyAvx, x, 0, x yx DSolve kräver, liksom för hand ;-), att (BVP) behandlas komponentvis som system av (ODE). Leveransen blir på smakfull Ruleform av komponenterna, exempelvis DSolvex't t, y't xtt, x0 y0 x'0 y'0, xt, yt, t xt t, yt 1 6 t3 3 t sid 13-19: Läs igenom. Beroende på problemets dimension sjunker t ihop till xt, yt eller xt xt men fortfarande en vektor! Så kallad rätlinjig rörelse. CN bryter naturligtvis mot den gula rutan ovan, även om han punktvis skådar ljuset! Viktigt att alltid arbeta i ett koordinatsystem, liksom dimensionsanalys av ekvationer och svar. I många fall är man inte primärt intresserad av xt och x t utan hastigheten som funktion av läget x x. Då är det mycket populärt, speciellt vid handräkning, att ta hjälp av kedjeregeln och göra omskrivningen x x t x x x x KR x t x, vilket ofta leder till en separabel (ODE) i x x. Detta är (6.4) på sid 19 som CN tycker att Vi kommer att använda ofta. Näe, gör inte dé! Stanna i ursprungliga (BVP) med xt! Enklare och rikare lösning med t. När vi betraktar xt arbetar vi i tidsplanet och i fasplanet då x x. sid : Lite om självklara geometriska insikter, typ att "arean under vt-kurvan", det vill säga integralen där area räknas med tecken, är den tillryggalagda vägen. CN skiljer sig inte från de flesta andra mekanikböcker när det gäller att uttrycka sig korrekt. sid : Att använda styckvis definierade funktioner är en tidig IQ-test av CN och lägger en rejäl teknisk dimridå över det som ska förmedlas! Exempel: Vi börjar enkelt med en kropp som rör sig längs x-axeln som funktion av tiden xtsint, t 0, Π. Först definerar vi funktionen i Mathematica sedan ritar vi en graf med kroppens läge, hastighet och acceleration som funktion av tiden. xt : Sint Plotxt, x't, x''t, t, 0, Π, PlotStyle Red, Blue, Green, AxesLabel "t", "xt,x t,x t" xt,x t,x t t Enligt diagramläsning ska "arean under vt-kurvan", det vill säga integralen, vara den tillryggalagda vägen. Vi kontrollerar då t Π. Plotx't, t, 0, Π, PlotStyle Blue, Filling Axis, FillingStyle LightBlue, AxesLabel "t", "x t" x t t Enligt den röda xt-kurvan är vi tillbaka där vi startade, eftersom x0xπ, så läget är detsamma. Däremot har vi varit ute på en liten tur som kan avläsas på trippmätaren vid hemkomsten. Vi kollar båda Π x't, Absx't t 0 0, 4

5 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 5 Exempel 6.1 sid 13: CN kör den handräkningsmässiga metoden enlig vänstra kolumnen i Fig 1 för xtx t. Typexempel på då det är bra att göra en egendefinierad funktion. Om funktionen är styckvis definierad finns Piecewise pw, eller de lite mer programmeringsmässiga If och Which. Vi passar också på att vinka av CN:s vt och at i graferna. xt : t t 10 0 t 100 t 10 Plotxt, t, 0, 30, PlotStyle Red, AxesLabel "t", "xt" xt t Plotx't, t, 0, 30, PlotStyle Blue, PlotRange All, AxesLabel "t", "x t" x t t Arean under vt-kurvan. Stämmer bra med värdet som avläses i första figuren. 30 x't t Plotx''t, t, 0, 30, PlotStyle Brown, AxesLabel "t", "x t".0 x t t Exempel 6. sid 133: Väsentligen samma som Exempel 6.1, fast tvärtom, x txt. CN får stå för den handräkningsmässiga metoden enlig vänstra kolumnen i Fig 1, vi tar den högra och formulerar det som ett begynnelsevärdesproblem (BVP) och låter DSolve, eller NDSolve vid svårare (ODE), göra hela jobbet. Smidigt! Accelerationen under resans gång varierar enligt en styckvis definierad funktion, därför passar Piecewise pw bra, eller de lite mer programmeringsmässiga If och Which. 10 t 10 xavt DSolvex''t t 10, x0 0, x'0 0, xt, t, 0, 60 xt 5 t t 10 t 10 t 600 True Restid till stillastående? CN bestämmer det väldigt artificiellt på sid 134. Här kommer det naturliga sättet. T t. FindRootx't 0. DxAvt, t, t, Lite grafer kanske? Först läget, sedan hastighet och slutligen accelerationen (reproduktion av indata).

6 6 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN RulePlotLabxAvt, t, 0, T, PlotStyle Red, RulePlotLabDxAvt, t, t, 0, T, PlotStyle Blue, RulePlotLabDxAvt, t,, t, 0, T, PlotStyle Brown t xt , 40 0 x t t, t x t Läge och hastighet då den precis ska börja bromsa? Rule ger självdokumenterande svar! Jämför fig ovan! xavt, DxAvt, t. t 10 x x Total körsträcka. Jämför fig ovan! xavt. t T x Exempel 6.3 sid 135: Ännu en höghöjdsträning på (ODE)-lösaren i Mathematica. Accelerationen är styckvis definierad. Under. Placera geparden i origo vid tidens början och lös begynnelsevärdesprob- accelerationsfasen är den konstant, så v a 0 t a 0 v t lemet 30 4 BVP ẋ. 30 t t 4 ODE x00 BV : Start i origo då t 0. x 00 BV : Start från stillastående, då t 0. Nu är det verkligen dax att låta If beskriva en styckvis definierad funktion, istället för Piecewise pw. xavt DSolvex''t Ift 4, 30,0, x0 x'0 0, xt, t 4 xt 15 t t t True Denna gång ritar vi i samma diagram för omväxlings skull Fungerar bra om funktionernas värdemängder är ungefär lika. Jämför med de tre ovan i föregående exempel! RulePlotLegxAvt, DxAvt, t, t, 0, t xt x t Slutligen svaret på frågan xavt. t 10 x10 40 Notera åter fördelen med att behålla Rule formatet! Vi får ett självdokumenterande svar xtsvar. Exempel 6.4 sid 136: Vi tar polisjakten helt numeriskt. Först (BVP) för polisen. Låt polisen vara i origo vid tidens början. xpavt DSolvexP''t.5, xp0 0, xp'0 0, xpt, t xpt 1.5 t

7 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 7 Restid till 50 ms för farbror Blå. Vi bekänner oss bara till SI-enheter!! t1 t. SolvexP't 50. DxPAvt, t, tfirst 0. Så bilarnas läge som funktion av tiden. DSolve har inga problem med system av (ODE). xpaavt DSolvexP''t.5 t t1,xp0 0, xp'0 0, 0 t t1 xa ''t 0, xa0 0, xa '0 40, xpt, xat, t xpt 1.5 t t 0.,xAt 40 t 50. t 500. True En liten graf över skådespelet kan väl inte skada. RulePlotLabxPAAvt, t, 0, t xpt xat Så restid och sträcka till ingripande. Frågor formuleras alltid som ekvationer till Solve. Kom ihåg att t är länken mellan xt, x t och ẋ. t och kommer därför in naturligt som obekant. Solve klarar inte att hantera styckvis definierade funktioner. xpaavt. FindRootxPt xat. xpaavt, t, 60 xp , xa sid : Läs igenom. Olika typfall för handräkning som slentrianmässigt brukar behandlas i gamla mekanikböcker. Inget för oss! Vi tar I på sid 137 med Mathematica. DSolvex''t k, x0 Ξ 0,x'0 v 0,xt, t x i Ξ 0 för att inte krocka med x xt 1 kt Ξ 0 tv 0 Exempel 6.5 sid 138: Placera origo vid inbromsningens början då vi även startar klockan! xavt DSolvex''t r, x0 0, x'0 v 0,xt, t xt 1 tv 0 rt Hur mycket är klockan då tåget stannar? Frågor formuleras alltid som ekvationer till Solve. Kom återigen ihåg att t är länken mellan xt, x t och ẋ. t. T Solvex't 0. DxAvt, t, tfirst t v 0 r Slutligen bromssträckan, det vill säga resvägen till stillastående. Najs med Rule! xavt. T x v 0 r v 0 r Exempel 6.7 sid 140: Typiskt begynnelsevärdesproblem igen. xavt DSolvex''t kx't, x0 0, x'0 v 0,xt, tsimplify xt v 0 1 kt k

8 8 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Exempel 6.9 sid 14: Begynnelsevärdesproblem verkar vara vårt ständigt återkommande problem. xavt DSolvex''t Ω xt, x0 0, x'0 v 0,xt, t xt v 0 sint Ω Ω Exempel: Inte sällan ingår en av konstanterna i differentialekvationen som okänd. Det är då tänkt att bestämma denna ur ett (extra) randvillkor (RV). Som bekant kan vi inte sätta fler BVRV än vi har "sparvar" i (ODE):n. Detta kan vi lösa med ett litet trick: Låt DSolve betrakta den okända konstanten som en funktion vars derivata då är noll! Vi får då ett system med två (ODE) och kan nu klämma in ytterligare ett (RV) eller (BV). Som typexempel väljer vi att söka den konstanta accelerationen a under inbromsning från 30 ms till 10 ms på 50 m. Lösningsförslag: Vi börjar med den populära omskrivningen x x x x a och låter hastigheten x vx. Då får vi DSolvevx v'x ax, a'x 0, v0 30, v50 10, vx, ax, x ax 8, vx 5 4 x För hand skulle vi gjort separation av variablerna, integration samt efterföljande ekvationslösning för bestämning av a. 10 Solve 30 a 8 x x 0 50 a x Men direkt DSolve i tidsplanet rekommenderas varmt, eftersom vi får den grundläggande xt och restiden. Rikare lösning! xavt DSolvex''t a, x0 0, x'0 30, xt, tfirst xt 1 at 60 t Solvext 50, x't 10. xavt. DxAvt, t Frågor formuleras som ekvationer a 8, t 5 sid 143: Viktigt! Exempel 6.10 sid 143: Deriveringsövning. Man kan naturligtvis också skriva t :, och sedan 't och ''t för hastighet respektive acceleration, se nästa exempel. t kallas tangentvektor till kurvan t och pekar alltid i positiv t-riktning. bt,ct,dt 3 ; D, t b,ct,3dt D, t eller direkt D,t, 0, c,6dt Exempel 6.11 sid 143: Integrationsövning med begynnelsevärden som gränserdsolve måste skedmatas komponentvis DDSolvex''t bt,x0 x0, x'0 v0x, y''t c, y0 y0, y'0 v0y, z''t d SinΩ t, z0 z0, z'0 v0z, xt, yt, zt, t, t, & 0, 1, Simplify xt bt3 6 v0x t x0, yt ct v0y t y0, zt z0 t d Ω x t bt v0x, y t ct v0y, z t x t bt, y t c, z t d sint Ω cost Ω ddv0z Ω Ω d sint Ω v0z Ω Exempel 6.1 sid 144: Återigen begynnelsevärdesproblem plus lite efterpyssel. Mathematica klarar lätt system av (ODE). Detta är ett klart gränsfall till kinetik

9 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 9 xyavt DSolvex''t 0, x0 0, x'0 v 0 CosΒ, y''t g, y0 0, y'0 v 0 SinΒ, xt, yt, tfirst Simplify xt tv 0 cosβ, yt tv 0 sinβ gt Speciellt kastparabeln. Lös ut yx. ekv xyavt. Rule Equal. xt x, yt y x tv 0 cosβ, y tv 0 sinβ gt yavx Solveekv, y, t First Simplify y x tanβ gx sec Β v 0 Kastvidden ur kastparabeln., t x secβ v 0 Solvey 0. yavx, x Simplify x 0, x v 0 sin Β g Eller mer naturligt direkt ur lösningen till (BVP) med hjälp av restiden. Tiden t är alltid den underliggande motorn! Frågor formuleras alltid som ekvationer! xyavt. Solveyt 0. xyavt, t Simplify x0 0, y0 0, x v 0 sinβ g v 0 sin Β, y v 0 sinβ g g 0 Stigtid ur villkoret y 0 i högsta punkten, sedan stighöjd. Läget i x-led får vi på köpet! Självdokumenterande!! xyavt. Solvey't 0. DxyAvt, t, tsimplify x v 0 sinβ g v 0 sinβcosβ, y v 0 sinβ g g v 0 sin Β g sid : Hårdsmält materia! Höghöjdsträning på derivering av vektorer i diverse olika exotiska koordinatsystem. Skumma igenom och fascineras av hur svårt man kan göra enkla saker. Grundidén håller, stanna i det vanliga rätvinkliga koordinatsystemet och projicera på andra riktningar om så önskas! Låt Mathematica jobba!! Hastighetsvektorn tx t, y t, z t är alltid tangent till bankurvan. Vi sammanfattar de vanligaste ON-systemen, det vill säga koordinatsystem där basvektorerna är parvis vinkelräta (Ortogonala) och enhetsvektorer (Normerade). y t Θ y r x, y, z r, Θ, z t, n, b Kartesiskt, vårt vanliga xyz system. Polärt eller cirkulärt D, cylindriskt 3D. Naturligt tangent och normal, t n x t tangentvektor som alltid är riktad i parameterriktningen, n normalvektor som alltid är riktad in mot krökningscentrum, b t n kallas binormal x Vi vet att läget txt, yt, zt, hastigheten tx t, y t, z t och accelerationen tx t, y t, z t alltid uttrycks i det kartesiska. Om man vill projicera på något av de andra systemen måste först deras ortonormerade basvektorer bestämmas. Vi tar D fallet men räknar i 3D som vanligt (vektorprodukt ;-) och följer kokboken; r Samma riktning som t, så r t. I vårt språk t t. Θ Θ 0, 0, 1 r. t Hastighetsvektorn t är alltid tangentvektor till banan t och pekar alltid i parameterrikningen, så t t. I vårt språk t 't. n n 0, 0, 1 t.

10 10 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Exempel 6.14 sid 150: Dessa ständiga (BVP). Nu är det plan cirkelrörelse. st St. DSolveS''t c kt,s0 0, S'0 0, St, tfirst ct kt 3 Accelerationsvektorn (6). Vi härleder detta strax. s''t, s't Simplify R s t, s t R och dess belopp a t 4 c kt 4 16 R c kt samt slutligen en ögonblicksbild vid t 10 s. a. c, k 3,R 400, t Alltså felräknat i boken. Det symboliska uttrycket (6) stämmer dock med det ovan för a. Tycker inte om att CN svarar exakt 4001 med, som dessutom är fel, då k är given på decimal form. Man bör svara på samma form som indata! Mathematica är som vi 8 vet konsekvent. a. c, k 0.3, R 400, t sid : Planpolära koordinater, som tillåter att radien varierar med tiden, rt. Först tar vi en titt på hastighet och acceleration i vårt vanliga kartesiska xyz-system som vi alltid arbetar i. Mathematica räds inte saftig derivering. t rt CosΘt, SinΘt, 0 rt r rt cosθt, rt sinθt,0 't r t cosθt rt Θ t sinθt, r t sinθt rt Θ t cosθt,0 ''t r t cosθt r t Θ t sinθt rt Θ t sinθt rt Θ t cosθt, r t sinθt r t Θ t cosθt rt Θ t cosθt rt Θ t sinθt,0 Sedan det polära systemet r, Θ. Skriv dem som enkla e, så inte våra nyttiga funktioner körs över! e r CosΘt, SinΘt, 0 cosθt, sinθt,0 e Θ 0, 0, 1e r sinθt, cosθt,0 Slutligen med projektion av de kartesiska komponenterna på det polära systemet så har vi direkt CN:s ekv (6) och (11) som han värker fram till fullo på nedre delen av sid 158. Vi behöver inte det! 't.e r, 't.e Θ Simplify 6 r t, rt Θ t

11 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 11 ''t.e r, ''t.e Θ Simplify 11 r t rt Θ t,r t Θ t rt Θ t Att projektionerna ovan är sunda inser vi efter att dragit oss till minnes koordinattransformation från kurs i linjär algebra. För en sådan gäller att, där en vektor i det gamla systemet, en vektor i det nya och transformationsmatrisen, vars kolonner är basvektorerna i det nya systemet uttryckt i det gamla. Om dessa är ortonormerade så är en ortogonal matris och då gäller att 1, vilket gör det billigt att gå mellan systemen. I vårt fall är det gamla det vanliga xyz-systemet som vi alltid räknar i och det nya något av de exotiska systemen ovan. Det är med andra ord 1 som gäller för att överföra våra storheter till dessa. Vi noterar att då innehåller de nya basvektorerna som rader, vilket passar utmärkt för att möblera den i Mathematica och utrycken ovan är bara en expanderad form, exempelvis 't.e r, 't.e Θ e r,e Θ.'t.'t, vilket alltså är en matris-vektor multiplikation. I 3D är det bara att hänga på sista basvektorn e z. Eftersom matrismultiplikation passar utmärkt för att hantera flera högerled (kolonner) tar vi och en gång till parallellt, med svaret på kolonnform som det egentligen anstår en vektor! e r,e Θ.'t, ''t Simplify r t r t rt Θ t rt Θ t r t Θ t rt Θ t sid 158: Ett ofta använt specialfall är cirkulär rörelse i planet, översta tredjedelen av sidan. Här handlar det om rörelse i det polära systemet r, Θ med r konstant. Antingen kan vi göra om exakt samma härledning vi nyligen gjort ovan på sid med rtr, eller så lånar vi bara slutresultaten och mekar in alla tidsderivator av r till noll. Mathematica é duktig!. rt r, r't 0, r''t 0 0, r Θ t. rt r, r't 0, r''t 0 r Θ t, r Θ t Vi sammanfattar cirkulär rörelse i planet. Då är r konstant och följaktligen r r 0 och, ty t t r Lägg märke till begreppet centripetalacceleration rθ r riktad in mot centrum. Det är detta man kanske menar när man pratar om en utåtriktad centrifugalkraft i radiell riktning, vilken inte finns. tr r trθ tr r Θ speciellt med Θ tωkonstant trω Θ trθ r rθ Θ trω r vrω v r r Exempel 6.0 sid 159: På vårt sätt, utan meningslös kom ihåg av (1)&()! Repris av det vi gjorde på sid 154. Samma visa hela tiden. Läget av P i det vanliga xyz-systemet ges av t r CosΘ, SinΘ, 0.r a Θ. ΘΩt rt r a t Ω cost Ω, a t Ω sint Ω,0 Hastigheten är tidsderivatan av läget och är alltid tangentvektor till bankurvan och pekar alltid i parameterriktningen, och accelerationen är tidsderivatan av hastigheten, eller andraderivatan av läget, se figur. 't a Ω t Ω cost Ω a Ω t Ω sint Ω, a Ω t Ω sint Ω a Ω t Ω cost Ω,0 ''t a Ω t Ω sint Ω,a Ω t Ω cost Ω,0 Färdig, hastighet och acceleration uttryckt i det vanliga kartesiska xyz-systemet! Om vi vill ha dessa uppdelade i komposanter längs några andra för problemet naturliga riktningar r, Θ, CN:s (5)&(6), är det projektion som gäller, eller koordinattransformation. e r t ;e Θ 0, 0, 1e r ; e r,e Θ.,. a r Ω 0 r Ω r Ω r Ω t Simplify

12 1 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Problem 6.64: C vill ha svaret i cylindriskt koordinatsystem, r, Θ, z. Men som vanligt räknar vi i det vanliga xyz-systemet och transformerar efteråt till önskat koordinatsystem, så t R CosΘt, R SinΘt, z. z h R cost Ω, R sint Ω, h 1 t Ω Π 1 Θt Π, Θt Ω t x,y,z Nu kan vi låta koordinattransformationen blomma ut i 3D! Meka ihop och multiplicera. Sätt slutligen in önskad ögonblicksbild! e r CosΘt, SinΘt, 0. Θt Ω t ;e Θ 0, 0, 1e r ; z 0, 0, 1; e r,e Θ, z.'t, ''t. t 0 4 Π R Ω Π R Ω R Ω h Ω Π h Ω Π Π Ω Exempel 6. sid 161: Detta är ett typexempel på där derivata (eller implicit dito) fungerar alldeles utmärkt som lösningsmetod! Använd ett jordfast koordinatsystem med xt riktat från väggen ut till vagnen. Ställ sedan upp geometrin statiskt vid godtycklig tidpunkt, derivera implicit med avseende på t, så tar matematiken hand om att generera rörelseekvationen med tecken och allt!! Mycket smidigt! Geometrin ges i detta fall av Pytagoras sats ekv rt xt h rt h xt Sedan parar vi ihop med dess tidsderivator och lite trigonometri samt att vi vevar in (därav negativtecknet i r'tv 1 ) med konstant fart (r''t 0). Solveekv, Dekv, t, Dekv, t,, TanΘ h xt,r't v 1,r''t 0, xt, x't, x''t, rt, r't, r''t Simplify PowerExpand xt xt h tanθ, x t v 1 cosθ, x t v 1 h tanθ, x t v 1 cosθ, x t v 1 tan 3 Θ h tan 3 Θ h, rt h sinθ, r tv 1, r t 0,, rt h sinθ, r t v 1, r t 0 Här gäller den andra lösningen som CN:s (4)&(8). Den första är en spöklösning under golvet! Lägg märke till CN:s slarv med tecken! Vilket håll är positivt? Mycket bättre att hålla sig till koordinatsystemet så kommer x tv p och x ta p ut med rätt tecken, här negativa eftersom vagnen rör sig i negativ x-rikting mot origo. Exempel 6.4 sid 163: Även detta är ett typexempel på där derivata (eller implicit dito) fungerar alldeles utmärkt som lösningsmetod! Ställ upp geometrin statiskt i ett jordfast koordinatsystem, sedan tar matematiken hand om rörelseproblemet med tecken och allt!! Mycket smidigt! Med uppenbar rätvinklig triangel får vi hylsans läge y i höjdled. yt : b TanΘt Derivera en och två gånger med avseende på tiden för att få hylsans hastighet respektive acceleration, CN:s (5) och (9). y't, y''t b Θ t cosθt, b Θ t cosθt b Θ t tanθt cosθt Vi avslutar med lite reklamfilm

13 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 13 ManipulateGraphicsThickness0.0, Line0, 0, 1.5, 0, Line1, 0, 1, 1.1, Green, Line0, 0, 1.5 CosΘ, SinΘ, Red, Rectangle0.95, TanΘ 0.1, 1.05, TanΘ 0.1, PlotRange 0.1, 1.1, Θ, 0,45 Θ sid 164: Nej tack, verkligen inte! Vi räknar som vanligt! Problem Typexempel på problem som löses genom att ställa upp geometrin för en (statisk) ögonblicksbild vid godtycklig tidpunkt och sedan derivera fram dynamiken! Först Θ med rätvinklig triangel tanθ y x h vt. Θt : ArcTan h vt Θ't, Θ''t Simplify hv h t v, htv 3 h t v Va? Enklare kan det inte bli! Så nu en repris för r och annan tillämpning på geometri i rätvinklig triangel, nämligen Pytagoras sats r x y r x y vt h. rt : v t h r't, r''t Simplify tv h t v, h v h t v 3 Exempel: Målarens mardröm. En målare befinner sig på en L m lång stege då dess kontaktpunkt med marken plötsligt släpper och glider ut med konstant fart längs marken. För vår vän på stegen väntar en obehaglig nedfärd. Sök hastigheten för stegens kontaktpunkt mot huset. Lösningsförslag: Lägg in stegen i ett koordinatsystem. Geometrin bestäms av Pytagoras sats. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t. Om man använder Dt, som deriverar allt som kommer i dess väg, så ser det snyggt ut och precis som när man deriverar för hand med kedjeregeln, men man måste hålla reda på konstanter själv, och framför allt, mycket mera tekniskt när man ska sätta in numeriska värden. Så det rekommenderas D och det är ju inte fel att ha lite koll i sitt modellerande på vad som är beroende på den variabel som man deriverar med avseende på. ekv Dxt yt L,t xt x t yt y t 0 Lös ut den sökta hastigheten y y längs väggen. t

14 14 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN y Solveekv, y't y t xt x t yt Stämmer ju bra att resan går i negativ riktning då x ökar. Exempelvis stegens längd 5 m ger y då x 3 m och x ms. Mata in med rätt tecken så kommer svaret ut med rätt tecken i förhållande till de koordinatriktingar vi valt. Så blir det alltid! Smidigt! y. xt 3, x't, yt 5 3 y t 3 Exempel: Lille Kalle under lampans sken. Sök hur längden av Kalles skugga ändras då han promenerar mot lampan med konstant fart. Lösningsförslag: Figuren ovan åskådliggör modellen med intressanta geometriska storheter. Det räcker med likformiga trianglar för att koppla det som ändras med tiden, nämligen skuggans längd s och Kalles läge a i förhållande till lampan. Vi söker hastigheter, vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit med avseende på t och lös ut skuggans ändringshastighet atst s SolveD H s t La t H L st,t, s't L Exempelvis: H 10 m, L m och a ms, negativ eftersom han rör sig mot lampan, ger slutligen s. Alla indata med tecken ger alltid resultatet med rätt tecken! Matematik med vektorer kan man lita påskuggans längd minskar som sig bör! s. H 10, L, a't s t 1 Exempel: I en ladugård finns en traktordriven höbalslyft enligt figur. Sök höbalens fart upp mot taket då traktorn kör iväg med konstant fart. Lösningsförslag: Med beteckningar enligt figur har vi dels Pytagoras sats och ett samband för repets längd L. Repet utgör ett så kallat kopplingsvillkor mellan x och y. Sådana är mycket vanliga i mekanik. Låt b vara den okända del av linans längd som är upplindad i blockens skivor. ekv xt h lt,l h yt ltb h xt lt, L b h yt lt Lös ut y. Notera hur kraftfullt det är att ta med både geometrin och dess derivata i samma Solve. y SolveJoinekv, Dekv, t, yt, y't, lt, l't yt 1 b h xt h L, y xt x t t, lt h xt, l t h xt yt 1 b h xt h L, y xt x t t, lt h xt, l t h xt xt xt h xt, xt xt h xt

15 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 15 Här duger bara den sista lösningen eftersom y' t0. Den andra lösningen är modellens spegelbild under markplanet! Även denna gruvvariant ryms i formuleringen. Återigen får vi ut allt, man ska inte vara snål mot sig själv balens läge och hastighet, i koordinatriktningen, som funktion av traktorns läge x och hastighet x. Var noga med tecken på exempelvis x om du vill exemplifiera med numeriska data. Gör det! Exempel: Studera kolvrörelsen enligt figur. Sök läge, hastighet och acceleration för punkterna A, det vill säga kolven, och punkten G på vevstaken som funktion av vinkeln Θ på vevaxeln. Veva på med konstant vinkelhastighet Ω5 rads. Lösningsförslag: Typisk implicit derivation. Ställ upp geometrin statiskt. Derivation ger sedan smidigt både hastigheter och accelerationer eftersom detta är just tidsderivator av läget med avseende på tiden. Arbeta med ortsvektorer för punkterna. Om vevstaken har längden L så får vi punkten A:s läge med hjälp av Pytagoras sats och två uppenbara rätvinkliga trianglar. A t L r SinΘt r CosΘt, 0; B t r CosΘt, SinΘt; 100 G t At data L 1000 Belopp av hastigheter och accelerationer Bt;,r 15, Θ't 5 Π, Θ''t 0; Lite numerik 1000 PlotEvaluateNorm A 't, B 't, G 't. data, Θt, 0,Π, PlotRange All, PlotStyle Brown, Orange, Red, AxesLabel "Θ rad", " A, B, G ms" A, B, G ms Θ rad PlotEvaluateNorm A ''t, B ''t, G ''t. data, Θt, 0,Π, PlotStyle Brown, Orange, Red, AxesLabel "Θ rad", " A, B, G ms " A, B, G ms Θ rad Exempel: En roterande arm innehåller en hylsa B vars radiella läge kontrolleras av en skruvanordning, se figur. Studera hylsan under de första sekunderna om Θt0.t 0.0t och rt t. Lösningsförslag: Återigen exempel på statisk geometri som deriveras till rörelse. B t r CosΘ, SinΘ. r t, Θ0. t 0.0 t 3 ; Vi har läge, hastighet och acceleration för hylsan i vårt vanliga x, y, z-system. Vill man ha det i det polära r, Θ är det bara att projicera som på sid i CN vilket behandlas på sid 10 i denna e-bok.

16 16 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN GridParametricPlot B t, t, 0, 5, PlotStyle Red, Thick, GridLines Automatic, GridLinesStyle GrayLevel0.7, AxesLabel x, y, Epilog Text"t" ToString, B, Background White & Range0, 5, RulePlotLabThreadx B 't, y B 't, x B ''t, y B ''t Flatten B 't, B ''t, t, 0, 5, Spacings 5 y t t3 t t1 t0 x x B t x B t t y B t y B t t5 0.4 Exempel: På ett nöjesfält finns en karusell som roterar med konstant vinkelhastighet Θ, se fig. Banprofilen ges av z h 1 cosθ. Bestäm banan på parameterform och rita ut fart och acceleration i varje punkt. Använd R 5m,h 1 m och Θ 1 rads. Lösningsförslag: Med figurens beteckningar får vi banprofilen med numeriska data. t R CosΦ CosΘt, R CosΦ SinΘt, z. ΦArcSin z R.z h 1 Cos Θt; data R 5, h 1, Θ't 1, Θ''t 0; Först undrar kanske någon hur lång banan är? Det är bara att lägga samman alla små båglängdsstumpar. NIntegrateNormDt, Θt. data, Θt, 0,Π Belopp av hastighet och acceleration. PlotEvaluateNorm't. data, Θt, 0,Π, PlotStyle Purple, AxesLabel "Θ rad", " ms", Ticks Π, Π, 3 Π,Π, Automatic ms Π Π 3 Π Θ rad Π PlotEvaluateNorm''t. data, Θt, 0,Π, PlotStyle Red, AxesLabel "Θ rad", " ms ", Ticks Π, Π, 3 Π,Π, Automatic ms Π Π 3 Π Π Θ rad

17 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 17 En liten rundtur längs en färgglad bana piggar alltid upp. Ju rödare det är ju fortare går det ParametricPlot3Dt. data, Θt, 0,Π, PlotStyle Thickness0.05, ColorFunction Norm't. data.44 Functionx, y, z, u, ColorData"Rainbow". Θt Π u Exempel: I ett koordinatsystem med enheten m står en trafikpolis i punkten 10, 9 och övervakar hastigheten på vägen y x. På den icke ont anande Sune mättes avståndet s 60 m och s 15 ms på laserinstrumentet då han åkte i första kvadranten mot sitt hem i origo. Sök Sunes position x, y och x, y där, samt fart längs vägen. Avgör om det finns anledning till bötesföreläggande eftersom 50 kmh är högsta tillåtna fart på denna vägsträcka. Åskådliggör situationem Lösningsförslag: Återigen exempel på statisk geometri som deriveras till rörelse. Så vägbana och radarcirkel... ekv yt xt, xt10 yt9 st yt xt, xt 10 yt 9 st Samla statisk geometri och implicit derivata av den med avseende på tiden. Sedan är det bara att lösa ut Sunes position och hastighet längs vägen. Eftersom båda är vektorer kommer givetvis deras komponenter ut med rätt tecken! Man kan lita på matematik! xyåxyp NSolveFlattenekv, Dekv, t, xt 0, yt 0. st 60, s't 15, xt, yt, x't, y't First xt , yt , x t , y t Slutligen den brännande frågan 3.6 x't, y't. xyåxyp Å såhär ser ögpnblicksbilden ut när farbror Blå dokumenterar lurige Sunes fortkörning. Plot x,x, 0, 80, PlotRange 0, 10, PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.04, Blue, Point10, 9, Red, TextStyleForm"", 0, xt, yt. xyåxyp, Background White y x

18 18 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Övningar som skall redovisas Betyg 3: 6.1-4, 6.7, 6.11 (Välj lite numeriska data och rita x, x, ẋ., Θ0, Π), 6.3, 6.6, 6.37, 6.38 (först och i x, y sedan i t, n med projektion), 6.58 (först och i x, y sedan i r, Θ med projektion). Betyg 4-5: 6.63 (först och i x, y sedan i r, Θ med projektion. Animera rörelsen med Manipulate), 6.64, 6.65, Animera rörelsen i 6.11 med Manipulate, samt i Km 1 och Km nedan. Km 1 : Sök y som funktion av x. Rita en graf Km : Sök y B som funktion av x A. Rita en graf Kinetik Att lösa kinetikproblem, det vill säga Newtons rörelseekvationer, ska följa Kokboken 1. Placera allt i ett jordfast koordinatsystem. Arbeta alltid i tre dimensioner.. Friläggning vid godtycklig tidpunkt. Det vill säga frilägg modellens alla delar från varandra.beskriv läget av tyngdpunkten för varje del. Inför kända yttre krafter och moment samt okända kontaktkrafter och moment mellan delarna enligt tabell sid 61 6, dessa blir alltid på den ena delen och på den andra. Rita tydliga figureröver delarna med alla kraft och momentpilar tydligt markerade, gärna i olika färger. 3. Uppställning av rörelseekvationer för varje del vid godtycklig tidpunkt med avseende på xyz riktningarna i m Tyngdpunktens rörelse. i i i Θ Rotation kring tyngdpunkten. OBS Godtycklig momentpunkt ger fel resultat Kan bara användas vid statik då i 0. Två vektorekvationer för varje del, F x, F y, F z m och M x, M y, M z Θ,såndelar ger 6n skalära ODE att lösa. 4. Identifiering av begynnelsevillkor BV ocheller randvillkor RV. 5. Lösning av rörelseekvationerna som ett BVP är inte mekanik utan rutinmässig matematik. Så använd enbart kunskaper från kurs i ODE och DSolve i Mathematica. Vi kan sammanfatta sagan; Statik blir Dynamik genom att byta 0:an i jämviktsekvationerna till m respektive Θ och Solve till DSolve 6. Tolkning av lösningarna, dimensionsanalys, grafer, utvärdering, ställ frågor till modellen, optimering Egentligen var det inte m som Newton indikerade i sin andra lag, utan förändringshastigheten av rörelsemängden m är lika med den pålagda kraften, det vill säga t m m m. Oftast betraktar man massan konstant under resan, exempelvis för en boll som kastas iväg eller en bil som accelererar, vilket leder till den välkända accelerationslagen. En rymdraket däremot eldar upp det mesta av sig själv under de första minuterna efter start, så m kan inte försummas. Mathematica är en ovärdelig hjälpreda under punkterna 3 och 5. Man kan helt koncentrera sig på de andra, det vill säga modellering och mekanik. Så precis som vid statik är det alltså friläggning som man absolut måste vara duktig på själv! Om man gör en så kallad Lagrangeformulering kan man enkelt få Mathematica att generera rörelseekvationerna. Kanske hinner vi med ett exempel längre fram. Innan du går vidare så repetera inledningen av kinematiken i detta häfte.

19 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 19 sid : Läs igenom. Rätt bra för att vara CN. Inertialsystem kan ni läsa som vårt enda vanliga jordfasta xyz-system. Fritt fall sid 175 får vi direkt DSolvem x''t mg kx't, x0 x'0 0, xt, tsimplify SimplifyD, t.t, k 0, m 0 xt kt gmm m x g m k k sid 176: Näe tack, absolut!! 1 kt sid : Läs, inget nytt! Precis enligt kokboken ovan, det vill säga frilägg och sätt upp rörelseekvationerna för varje kropp. Som illustration på detta börjar vi med en kropp. Exempel: Inbromsning med hjälp av friktion, enligt Newton. Sök bromssträcka och tid. Ta för vana att först, om möjligt, alltid göra en symbolisk lösning. Detta lär dig mycket mekanik, dimensionskontroll med mera samt en djupare kunskap om just den problemtyp du löser Till slut tränar man storleksordning och rimlighet genom att sätta in lite numeriska data. Lösningsförslag: Med Newton mx F får vi direkt följande begynnelsevärdesproblem (BVP) och dess lösning. xavt DSolvem x''t Μ k mg,x0 0, x'0 v 0,xt, tfirst xt 1 tv 0 gt Μ k Först inbromsningstid till stillastående. tid Solvex't 0. DxAvt, t, tfirst t v 0 g Μ k Sedan bromssträcka. xavt. tid x v 0 v 0 g Μ k g Μ k Lägg märke till det självdokumenterande svaret! Avslutningsvis lite numerik. xavt. tid. v 0 7, g 9.81, Μ k 0.4 x Exempel 7.1 sid 180: Ekv (1) är typexempel på så kallad solidifiering. Man ska inte behöva lägga ihop i huvudet! Istället gör vi det vi sagt, nämligen frilägga och ställa upp rörelseekvationerna för varje kropps tyngdpunkt, det vill säga friläggning och Newton för varje kropp. Som vanligt placerar vi ett koordiantsystem med origo fast i en lyktstolpe till vänster om "P-pilen" och x-axeln pekandes åt höger. Med krafter enligt bild får vi med start från vila (BVP) och dess lösning. klossar DSolvem 3 x 3 ''t P N 1,x 3 0 0, x 3 '0 0, m x ''t N 1 N,x 0 0, x '0 0, m 1 x 1 ''t N,x 1 0 0, x 1 '0 0, x 1 t, x t, x 3 t, tfirst x 3 t t P N 1 m 3, x t N 1 N t m, x 1 t N t m 1 Med hjälp av kopplingsvillkoren att klossarna rör sig tillsammans kan vi nu så lösa ut kontaktkrafterna, som mycket riktigt blir oberoende av tiden.

20 0 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN ekv x 3 t x t, x t x 1 t. klossar t P N 1 m 3 N 1 N t m, N 1 N t m N t m 1 kontakt Solveekv, N 1,N N 1 m 1 m P m 1 P, N m 1 m m 3 m 1 m m 3 Notera nyttan av att räkna symboliskt!! Slutligen CN:s uppsättning klossar. kontakt. m 1 1, m, m 3 3 N 1 P, N P 6 sid : Naturligtvis räknar vi alltid i det vanliga, det vill säga det vänstra i (7.18) och (7.19). I övrigt handlar det om att sätta upp BVPODEBV. Kopplade system är inget problem i Mathematica, det använde vi ju i ex 7.1 ovan. Nyttiga exempel. Vi tar två av dem, de andra gör du själv! Exempel 7.3 sid 18: Låt partikelns läge vara txt, yt så med (BV) från text får direkt (BVP) och dess lösning. Bankurvan boll DSolvem x''t kyt, x0 0, x'0 v 0 CosΑ, my''t 0, y0 0, y'0 v 0 SinΑ, xt, yt, tfirst xt 6 mtv 0 cosα kt 3 v 0 sinα, yt tv 0 sinα 6 m Solveboll. Rule Equal. xt x, yt y, x, t Simplify x y tanα ky 3 6 mv 0 sinα, t y v 0 sinα Hitta på lite data och rita! Till vänster läget, i mitten farten och till höger beloppet av accelerationen under de T första sekunderna. t xt, yt. boll. m 1, v 0 1, k 1, Α0 ; T 5; ParametricPlotEvaluatet, t, 0, T, PlotStyle Brown, AxesLabel "x", "y", PlotEvaluate't, t, 0, T, PlotStyle Blue, AxesLabel "t", " ", PlotEvaluate''t, t, 0, T, PlotStyle Red, AxesLabel "t", " " y , , x t t Exempel 7.5 sid 184: Låt den hängande massan ha koordinaten st räknat från rullen. I övrigt det sneda xy-systemet. Så med (BV) från text får vi direkt (BVP) och dess lösning. Givetvis använder vi stora F isf f för friktionskraftcn! lådor DSolve4 mx''t S 4 m g SinΒ F, x0 0, x'0 0, 4my''t N 4 m g CosΒ, y0 0, y'0 0, 3ms''t 3mg S, s'0 0, s0 0, xt, yt, st, tfirst xt t F 4 gmsinβ S 8 m, yt t 4 gmcosβ N 8 m, st 3 gmt St 6 m Med villkoret att snöret håller, övre lådan stannar på banan och fullt utbildad friktion (annars rör det ju inte på sig ;-) kan vi lösa ut FNåS Solvext st, yt 0, F Μ k N. lådor, F, N, S First F 4 gmcosβ Μ k, N 4 gmcosβ, S 1 7 gmcosβ Μ k gmsinβ gm Vi ser att alla dessa är oberoende av tiden. Så är det inte alltid, speciellt inte för snörkrafter. Nu kan vi meka ihop en "riktig" lådlösning som endast är funktion av tiden.

21 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 1 lådor lådor. FNåS xt 1 8 m t 4 gmcosβ Μ k 1 7 gmcosβ Μ k gmsinβ gm4gmsinβ, yt 0, st m 7 t gmcosβ Μ k gmsinβ gm3gmt CN:s lösning går via fasplanet x x, för att snabbast nå målet gällande hastighet som funktion av läget. Detta kunde vi också gjort, men det funkar alltid att stanna i tidsplanet xt så här. På köpet får vi en rikare lösning. Speciellt restiden T till läget l där CN undrar över farten. T Solvext l. lådor, t t 14 l 4 g sinβ 4 g cosβ Μ k 3 g, t 14 l 4 g sinβ 4 g cosβ Μ k 3 g Eftersom vi inte befattar oss med negativa restider duger bara den andra lösningen. Så svaret på CN:s undran om lådornas fart då de glidit sträckan l. (Lägg märke till det självdokumenterande svaret.) Dlådor, t.t Simplify x 14 l g 4 sinβ 4 cosβ Μ k 3 7 l g 4 sinβ 4 cosβ Μ k 3, y 14 l g 4 sinβ 4 cosβ Μ k 3 0, s 14 l g 4 sinβ 4 cosβ Μ k 3 7 l g 4 sinβ 4 cosβ Μ k 3 sid : Hoppa över cirkelrörelse med polära koordinater! Du har nog förstått vid det här laget att vårt vanliga xy-system fungerar här med. Lösenordet är projektion. Det räcker med det tunga kinematikpasset! Vi kortsluter nu det mesta av resten i boken. Jag sammanfattar med lite nedslag här och var i den. Energilagar - Arbete, Potentiell och Kinetisk energi, Effekt sid : Läs igenom! Energilagar är ibland smidigt att använda vid problemlösning, men inget nytt! Vi kan lika väl, eller bättre, köra på med våra (BVP) eftersom energilagarna är härledda från Newton! Om inte det fungerar så gör inte energilagar det heller! sid 0-03 "Om partikelns, 04: Arbete är kraft gånger väg som naturligt beräknas med skalärprodukt. Exempel: Sök det arbete som kraften om 100 N uträttar under skådespelet som återges i figuren. Lösningsförslag: Arbete är ju lika med kraftens storlek i vägens riktning gånger sträckan, det vill säga A FcosΑs vilket inte är något annat än skalärprodukt om vi betraktar både kraft och väg som vektorer A. Mathematica arbetar alltid med vinklar i Π radianer. Omräkning av grader till radianer görs som vanligt med hjälp av eller vackrare med deg som då resulterar i ett. 180 Först kraften och vägen på vektorform 100 Cos60, Sin60 ; 50, 00, 0;. 500 Exempel: Genom att använda integral kan vi även ta hand om fallet då både väg och kraft varierar under resan. Sök det arbete som kraften x,1 N uträttar då den släpar en grön boll uppför cosinusbacken yx1 cosx m, x 0, Π. y x x, x

22 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Lösningsförslag: Här varierar både kraft och väg med parametern x. Genom att ta på oss integralglasögen inser vi att en studie av en liten del av resan med efterföljande sammanslagning leder till målet. Så under den lilla förflyttningsvektorn vid x uträttas det lilla arbetet A x, y 1, y x x. Lägg sedan samman alla små bidrag som vanligt A b y A A a 1, x. Här x Π y får vi A 0 1, x x Π 0 x Π,11, sinxx 0 x sinxx x cosx Π 0 3 Π. Eller med Mathematica A 0 Π A x,1.1, D1 Cosx, x x TrigToExp 0 A 3 Π Naturligtvis går det bra att generalisera till allmänna kurvor på parameterform u xu, yu, zu. Vi får då A x, y, z F x u, F y u, F z u x u, y u, z u u A u A A b ua F x u, F y u, F z u x u, y u, z u u. Exempel: Vilket arbete krävs för att dra ut en fjäder 1 0 m om man vet att kraften 400 N drar ut den m? Lösningsförslag: Låt fjädern vara utdragen x m. Det lilla arbetet att dra ut den ytterligare ett litet stycke x blir då A Fxx kxx x x och slutligen A A A A x x A 50 3 Vi har två typer av energi som mäts i Nm i mekanik. När det gäller värme används J eller Ws, eller ännu vanligare kwh. Kinetisk energi T: T 1 mv 1 I Θ, där som vanligt m är kroppens massa och v dess tyngdpunktsfart, I tröghetsmomentet och Θ dess rotationshastighet kring en axel genom tyngdpunkten. Potentell energi V: Om de krafter som verkar på kroppen är oberoende av bankurvan kallas de konservativa krafter. Två sådana viktiga tillämpningar är Tyngdkraft (överst sid. 1, mitten sid. 13) V mgh. Man brukar tala om lägesenergi. Fjäderkraft (överst sid. 14) V 1 kx, där k är fjäderkonstanten och x den aktuella förlängningen. Se föregående exempel. Om det inte försvinner någon energi under rörelsen, exempelvis genom friktion, gäller att den totala mekaniska energin är konstant T V T 0 V 0 Exempel: En sten släpps från ett fönster på höjden h ovan mark. Sök dess fart v då den når mark! Vi får direkt med marken som referensnivå T f V f T m V m 1 m 0 mgh 1 mv mg0 v gh. Vi kontrollerar med vårt vanliga artilleri. Låt y-axeln vara riktad nedåt med origo vid fönstret. Vi får då restiden på köpet. yavt DSolvem y''t mg,y'0 0, y0 0, yt, t yt gt Restiden till marken T Solveyt h. yavt, t t h g, t h g Samma visa med tiden hela tiden. En av fysikens förbannelser. All existerande teori, Newton, Maxwell eller kvantmekanik, kan bara leverera t. Fysiker kan alltså inte avgöra om tiden går framåt eller bakåtmen vi vet

23 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 3 DyAvt, t.t y h g g h Effekt: P Fv, där som vanligt F är kraften som verkar på kroppen och v dess tyngdpunktsfart. Effekt mäts i W. Äldre enhet är hästkraft (hk eller hp). Momentekvationen - rotation kring en fix axel sid 97: Bra, läs igenom! sid 305 tom (14.18): Vi ska återvända till kokboken och studera den till m, det vill säga tyngdpunktens rörelse längs koordinataxlarna, analoga Θ.. som är kroppens vridning kring sin tyngdpunkt runt koordinataxlarna. Här är det pålagda momentet och tröghetsmomentet (egentligen masströghetsmomentet). sid : Beräkning av tröghetsmoment m m. Ungefär samma resa som beräkning av tyngdpunkt. Finns även i samma tabell. Tröghetsmomentet brukar ibland anges genom den så kallade tröghetsradien k, som I mk. För att inte förväxla tröghetsmomentet med den komplexa enheten (på gammal form I) i Mathematica brukar man använda beteckningen J i stället, som för övrigt får anses vara synonymt eftersom det används i många mekanikböcker. Ibland har man nytta av Steiners sats (Jakob Steiner ); Om J G är tröghetsmomentet med avseende på en axel genom tyngdpunkten, så är J d J G md tröghetsmomentet kring en axel parallell med den förra och på det vinkelräta avståndet d från denna. Exempel: Bestäm tröghetsmomentet m r m för en homogen cylinder med radien R och massan m, med avseende på rotationsaxeln. y R x Lösningsförslag: Låt cylindern ha längden L. Först har vi volymdensiteten Ρ m. Dela sedan upp den cirkulära tvärsnittsytan i ΠR L tunna lökringar som vid radien r har arean Πrr. En sådan tunn lökring växer till ett tunnväggigt rör med längden L. Bidraget till tröghetsmomentet från ett sådant är J r m r ΡLΠrr. Nu är det bara att lägga samman. J 0 m J Rr LΠ r r 0 Π R L J mr Exempel: Bestäm tröghetsmomentet m r m för en tunn rektangel med bredden a, höjden b och massan m, med avseende på en axel längs kanten b. Bestäm sedan med hjälp av denna och Steiner sats tröghetsmomentet med avseende på en parallell axel genom tyngdpunkten. Verifiera med en direkt beräkning. y b a x Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ m. Klipp sedan upp rektangeln i smala rektangulära strimlor bx. Bidraget till ab tröghetsmomentet från en sådan är J r m r Ρbx. Nu är det bara att lägga samman. De tre frågeställninarna tar vi parallellt. J bj Solve 0 J b a m 3, J GS a m 1, J G a m 1 m ax ab b x, J b J GS m a J GJ, ax a m 0 0 ab b x, J b,j GS,J G 0 Exempel: En tunn pappskiva i form av en rätvinklig triangel med massan m är uppriggad enligt figur. Sök tröghetsmomentet m r m då den roterar kring y axeln. b y a x

24 4 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Lösningsförslag: Först har vi ytdensiteten Ρ m och hypotenusans ekvation yxb1 x. Klipp sedan upp triangeln i smala 1 ab a rektangulära strimlor yxx. Bidraget till tröghetsmomentet från en sådan är J x m x Ρ yxx. Nu är det bara att lägga samman. J 0 m x J ax b ab a x J a m 6 Exempel: En tunn tråd med densiteten Ρ böjs till en spiral med radien rθ kθ,0θ4π. Bestäm spiralens tröghetsmoment kring origo. y k x Lösningsförslag: Klipp upp spiralen i små bitar s rθ. Det lilla tröghetsmomentet ges sedan av J r m r Ρs r ΡrΘ. Sedan är det bara att lägga samman alla de små bidragen J 0 4 Π J Ρ k Θ 3 Θ 0 J 1 Π k 1 Ρ 3 k Exempel: En homogen cylinder med massan M och radien R är lagrad i sin rotationsaxel. Med hjälp av ett upplindat snöre accelereras den igång från stillastående med hjälp av en i snöränden hängande sten med massan m. Vi har alltså situationen återgiven i figuren till höger. Studera rörelsen som funktion av tiden. Θ S y mg Lösningsförslag: I problemtextens figur har vi passande nog frilagt de två kropparna och infört koordinater för deras lägen, snörkraften S och den verkande tyngdkraften mg. Med nyligen beräknat tröghetsmoment för en cylinder får vi så (BVP) baserat på rörelseekvationerna. ΘÅy DSolve 1 MR Θ''t RS,Θ0 0, Θ'0 0, Θt St M R, yt t gms m my''t mg S, y0 0, y'0 0, Θt, yt, tfirst Kopplingsvillkoret att snöret håller bestämmer S och knyter samman Θ och y. snörkraft Solveyt R Θt. ΘÅy, S First S gmm m M Så till slut de två kropparnas rörelse som funktion av tiden ΘÅy ΘÅy. snörkraft Simplify gmt gmt Θt, yt m R M R m M

25 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 5 Svängningar sid 60-81: Vår omvärld är full av företeelser som karakteriseras av svängningar, exempelvis vibrationer i en maskin, stötar i ett knä vid löpning eller brus i en mobiltelefon. Många av dessa kan med fördel lineariseras till en diskret modell med en massa, en fjäder och en dämpare. Inte sällan ser man flera sådana "atomer" sammankopplade i större strukturer. Med hjälp av Newtons rörelselagar får vi så en modell som bör finnas i verktygslådan hos varje praktiserande ingenjör. Skumma igenom sidorna, fånga upp begrepp, och studera istället följande För fjädern gäller att kraften som krävs för att förlänga den en sträcka x är proportionell mot denna, det vill säga F f kx, där k kallas fjäderkonstanten med enheten Nm. Observera att uttrycket gäller med tecken på x, det vill säga även då den trycks ihop. F f k x F f x För dämparen gäller däremot att kraften är proportionell mot förlängningshastigheten (farten), det vill säga F d cx, där c kallas dämpningskonstanten med enheten Nsm. En dämpare består i princip av en cylinder fylld med olja. En rörlig bricka med hål i delar in cylindern i två kammare. Oljans viskositet, det vill säga hur trögflytande den är, antal hål i brickan och deras storlek avgör hur trögt det är att flytta den, eftersom olja från ena kammaren då skall flyttas till den andra. Detta ger dämparen dess karakteristiska funktion som också brukar kallas viskös dämpning. Kraften som krävs för att flytta på brickan är alltså inte beroende av dess läge utan endast på hastigheten (farten). Jämför potatispress! c F d x F d x Massa och fjäder utan yttre last (fri odämpad svängning) Vi börjar med en massa kopplad till en fjäder. Vi frilägger och noterar att den motriktade kraften i fjädern är proportionell mot läget med fjäderkonstanten k. Formulera nu rörelseekvationen med hjälp av Newton mx kx mx kx 0 x k m x 0 Vi känner igen en linjär andra ordningens (ODE) med konstanta koefficienter. Här kallas Ω e k m för egenvinkelhastighet med enheten [rads]. Man pratar också om egenfrekvensen f e Ω e [1s och egensvängningstiden T Π e 1 [s]. Prefixet "egen" kommer f e av att Ω e endast beror på systemets "egna" inneboende parametrar. Lösningen är en så kallad harmonisk svängning (sinusformad) som fortgår i all evighet om systemet störs från sitt jämviktsläge. Notera speciellt var Ω e dyker upp! DSolvem x''t kxt, xt, t xt c sin k t m c 1 cos k t m Som väntat får vi två konstanter som fixeras av (BV). Uttrycket ovan brukar ofta skrivas om som en ren sinus- eller cosinusvåg. a sinωtb cosωt a b a a b sinωt b a b cosωt 1 a a b 1, 1 b a b 1 a b cossinωtsincosωt Summaformel för sinus a b sinωt och identifierar amplitud R a b och fasvinkel som naturligtvis mäts i radianer. Punkten a R, b ligger på enhetscirkeln R och fasvinkeln bestäms likt argumentet för ett komplext tal. Var och en av de oändligt många vinklar som löser ekvationerna

26 6 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN a R cos b R sin kan göra anspråk på att kallas för fasvinkel. På grund av periodiciteten hos cosinus och sinus skiljer de sig åt med en multipel av Π så alla ger "samma effekt". Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln som ligger i intervallet Π, Π. När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a 0 eller b 0 är det ju enkelt annars går det bra att beräkna fasvinkeln som arctan b a Π eftersom arctan() levererar vinklar i första och fjärde kvadranten. Den avslutande korrektionen om a0 kommer sig naturligtvis av att vi kan ha dividerat bort "negativ" information, ty b b b och a a a b. I Mathematica är det inga a problem, speciellt inte om vi använder versionen med två argument ArcTan[a,b]som alltid levererar rätt vinkel i intervallet Π, Π och givetvis i radianer. Vi tar ett exempelvis med m kg, k 18 Nm och begynnelsevärdena x01 och x 01. xavt DSolve x''t 18 xt, x0 1, x'0 1, xt, tfirst xt 1 sin3 t 3 cos3 t 3 RulePlotLegxAvt, t, 0, 10, PlotStyle Red t xt a, b Coefficientxt. xavt, Sin3 t, Cos3 t 1 3,1 R Norma, b 10 3 ArcTana, b tan 1 3 En sista ängslig koll R Sin3 txt. xavt Simplify 0 Massa, fjäder och dämpare utan yttre last (fri odämpad svängning) Massa kopplad till en fjäder och dämpare. Vi frilägger och noterar att den motriktade kraften i fjädern är proportionell mot läget och i dämparen mot hastigheten med dämpningskonstanten c. Formulera rörelseekvationen med hjälp av Newton mx kx cx mx kx cx 0 x c m x k m x 0 Vi känner igen en linjär andra ordningens (ODE) med konstanta koefficienter. Beroende på om rötterna till den karakteristiska ekvationen är reella och olika, reella och lika respektive komplexkonjugerade använder vi beteckningen överkritisk, kritiskt respektive underkritisk dämpning. Detta avgörs av den nya aktören, dämparen, som i praktiken bidrar med att "äta energi", vilket ger sig tillkänna som en exponentiellt avtagande amplitud hos lösningen. Även den tidigare nämnda egenvinkelhastigheten Ω e kommer med i lösningen på "samma ställe" som tidigare. Man brukar också definiera dämpningsfaktorn Ζ genom Ω e Ζ c. För de m tre fallen ovan gäller Ζ1, Ζ0 respektive Ζ1. De tre möjliga fallen av homogena lösningar illustreras kvalitativt i följande figurer.

27 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 7 xt xt xt t t t Överkritisk dämpning. Inte så vanligt förekommande i ingenjörssammanhang. Kritisk dämpning. Lösningskurvan skär taxeln högst en gång. Typiskt utseende för en ny hjulupphängning på en bil. Underkritisk dämpning. Mycket vanligt insvängningsförlopp. Typiskt utseende för en gammal hjulupphängning på en bil. Exempelvis underkritisk dämpning med m 3 kg, c 1, Nsm, k 5Nm med (BV): x01 och x 01. xavt DSolve3 x''t 5xt1x't, x0 1, x'0 1, xt, tfirst xt 1 59 t sin 59 t 6 59 cos 59 t 6 R NormCoefficientxt. xavt, Sin 59 t, Cos 59 t Ret 3 PlotR, xt. xavt, R, t, 0, 0, PlotStyle Blue, Red, PlotRange All, AxesLabel "t", "xt,rt" xt,rt t Massa, fjäder och dämpare med yttre last (påtvingad svängning) Avslutningsvis kan man naturligtvis utsätta de båda modellerna ovan för en yttre, ofta kallad störande eller påtvingad, kraft. I nästan alla intressanta applikationer är denna av periodisk natur FtF 0 sinωt. Vi väljer att exemplifiera med en full massa fjäder dämpare modell. Formulera nu rörelseekvationen med hjälp av Newton mx kx cx Ft mx kx cx Ft x c m x k Ft x m m Från kurs i (ODE) känner vi till att lösningen delas upp i "systemets inneboende" homogena lösning x h samt en partikulärlösning x p beroende på högerledet, ofta kallad fortvarighetslösning (eng. steady-state solution). Allmänna lösningen blir sedan x x h x p. Homogena lösningen brukar kallas för transienta lösningen (eng. transient solution) eftersom den klingar av ganska snabbt med tiden. Kvar blir x p, därav namnet. När vi löser en differentialekvation med Mathematica får vi inte denna, ibland önskade, uppdelningen. Ett trick är att lösa systemet utan begynnelsevärden. De termer som då har "konstanterna" c i på sig tillhör den homogena lösningen och öppnar därmed för en separation av lösningen. Exempelvis m 1 kg, c Nsm, k 5Nm, F 0 10 N, Ω rads med (BV): x00 och x 01. Först hela lösningen till (BVP). xavt DSolvex''tx't5xt 10 Sin t, x0 0, x'0 1, xt, tfirst Simplify xt 1 34 t 0 t 37 sin t 80 t 1 cos t RulePlotLegxAvt, t, 0, 15, PlotStyle Red

28 8 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN t xt Nu över till separationen x x h x p. Samma som ovan men utan begynnelsevärden (BV). Låt c 1 0, c 0 så har vi partikulärlösningen x p och sedan x h, där c 1 och c också kan skrivas lite enklare som C[1] och C[]. xp DSolvex''tx't5xt 10 Sin t, xt, t. c 1 0, c 0.x x p First Simplify x p t 10 4 cos t sin t 17 xh x h t xt. xavtx p t.xp Simplify x h t 1 34 t 37 sin t 80 cos t Nu kan vi inspektera de olika delarna. Allmänna lösningen anpassar sig raskt till partikulärlösningen eftersom den homogena lösningen snabbt klingar av med tiden beroende på exponentialfunktioner med negativa exponenter. RulePlotLegxAvt, xh, xp, t, 0, t xt x h t x p t Även här brukar fortvarighetslösningen skrivas om till ren sinusvåg x p tasinωtbcosωtrsinωt med amplitud R, vinkelhastighet Ω, här lika med, och fasvinkel i radianer naturligtvis. a, b Coefficientx p t. xp, Sin t, Cos t, R Norma, b, ArcTana, b 10 40, 17 17, 10 17, tan1 4 Amplitud över alla gränser Exempel: En enkel massa med fjäder och dämpare är uppriggat enligt figur. Sök fortvarighetslösningens amplitud orsakad av den störande kraften. Lösningsförslag: Om den störande kraftens vinkelhastighet Ω närmar sig egenvinkelhastigheten Ω e k m kommer lösningens amplitud att öka dramatiskt. Man talar om resonans (eng. resonance). Vid konstruktion med liten dämpning ska man alltså undvika detta tillstånd eftersom ett haveri är att vänta. Vi illustrerar partikulärlösningens amplitud R för en bukett dämpare samt Ω e 1. xt : A CosΩ tb SinΩ t R NormA, B. SolveCoefficientx''tx't xtsinω t, CosΩ t, SinΩ t 0, A, B & Range0.3, 1, 0.05; PlotEvaluateR, Ω, 0,, PlotStyle "Rainbow", AxesLabel "ΩΩ e ", "R" R ΩΩ e

29 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 9 Vi poängterar ytterligare de två fundamentala och viktiga fallen då den störande vinkelhastigheten ΩΩ e och ΩΩ e. Effekten blir extra tydlig om vi illustrerar utan dämpare. Fallet Ω Ω e för modell utan dämpare Speciella tillämpningar har vi då Ω e Ω är mycket mindre än Ω e Ω, så exempelvis med Ω e 6 och Ω5. xavt DSolvex''t36 xt Sin5 t, x0 0, x'0 1, xt, tfirst FullSimplify xt 1 sin5 t sin6 t 11 Denna kan, med ett litet trick, skrivas om till xt TrigFactorxt. xavt sin 11 t cos t Här kan vi nu betrakta 11 cos t 11t som en med tiden "sakta" varierande amplitud till den "fortare" svängande sinusvågen sin. Bland musiker brukar detta kallas för svävning (eng. beat) och kan höras t.ex. strax innan en gitarrsträng är riktigt stämd. Elektroingenjörer identifierar fenomenet som amplitudmodulering (eng. amplitude modulation) och hittas på radions AM-band. Där känner vi också igen FM-bandet baserat på frekvensmodulering (eng. frequency modulation). Plotxt, 11 Cos t, 11 Cos t, t, 0, 6 Π, PlotStyle Red, Blue, Blue, AxesLabel "t", "xt, 11 cos t " xt, 11 cos t t Fallet Ω Ω e för modell utan dämpare Detta resonansfall måste ovillkorligen undvikas vid all konstruktion eftersom det leder till haveri. Samma som föregående med Ω e Ω6. xavt DSolvex''t36 xt Sin6 t, x0 0, x'0 1, xt, tfirst Simplify Apart xt 13 1 sin6 t t cos6 t 7 1 Här kommer nu partikulärlösningens tidsberoende amplitud t att snabbt dominera förloppet. Om inget hejdar utvecklingen får vi 1 allt mera kraftiga svängningar eftersom t då t, med ett oundvikligt haveri som följd. 1 Plotxt. xavt, t 1, t, t, 0, 6 Π, PlotStyle Red, Blue, Blue, 1 AxesLabel "t", "xt,t1" xt,t t Ett gammalt välkänt exempel på denna typ av haveri är kollapsen av Tacoma Narrows Bridge 1940, där den måttliga vindens frekvens matchade brons dimensioner och satte en torsionsmod i resonanssvängning. På www hittar man lätt filmsnuttar från skådespelet! Ett exempel från senare tid är rymdfärjan Challenger där en turbopump oavsiktligt konstruerades med resonans. Lyckligtvis upptäcktes det före start, men felet kostade NASA flera miljoner dollar. Vid olyckan 1985 kom problemställningen att diskuteras på nytt.

30 30 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Övningar som skall redovisas Betyg 3: 7.11, 7.14, 7.15, 7.0, 14.3, 14.5, 1.1. Betyg 4-5: 7.19, 14.6, 1.44, samt Kt 1 och Kt nedan. Kt 1 : En solid pappersrulle lastas osurrad på ett lastbilsflak enligt figur. Så kör lastbilen iväg med accelerationen a. Hur lång tid tar det och hur långt har då lastbilen hunnit när papersrullen rullar av flaket? d Kt : Studera en enkel robot som bara kan röra sig xy planet. Låt armarnas längder vara L 1 1m, L 0.8 m och Θ Θ 1, Θ, där Θ 1, Θ 0, Π rad. Roboten ska måla längs en bana som beskrivs av den räta linjen från 0.9, 0.1 m till 1., 1.1 m. Det är viktigt att farten 0.1 ms hålles, annars blir färglagret för tunt eller för tjockt. a Bestäm framåtekvationerna, det vill säga PΘ xθ, yθ. b Bestäm restiden T och dela in denna i n st små tidssteg. c Stega fram för i 0,, n och beräkna först position b och hastighet b från banan sedan robotens fyra styrvariabler Θ, Θ ur y Θ L P L 1 det olinjära ekvationssystemet b P, b P med FindRoot. Θ 1 x d Rita ut robotens fyra styrvariabler Θ, Θ som funktioner av i 0,, n med ListPlot. Animera med Manipulate Blandade tillämpningar för resten Exempel: Under tiden efter andra världskriget gjorde sig överste John P. Stapp berömd för att utsätta sin egen kropp för flera hundra makabra experiment i syfte att utreda vilka påkänningar människokroppen tål. Mest känt är då han 1954 på en släde bromsades in från över 1000 kmh till stillastående på 1.4 s Efter detta fick han bland annat problem med synen eftersom blodkärlen i näthinnan blev skadade. Förloppet övervakades naturligtvis och hastigheten under inbromsningen kunde med god noggrannhet beskrivas med uttrycket t 3 ms. Bestäm hans maximala retardation samt bromssträckan. Lösningsförslag: Typexempel på förståelse av hastighet-tid-kurvor, så kallade vt-kurvor. Plot t 3, t, 0, 1.4, PlotStyle Red, AxesLabel "t s", "vt ms" vt ms t s Bestäm xt, sedan får vi lätt bromsträcka och acceleration x med uppenbart störst retardation i ms då t 0. xavt DSolvex't t 3,x0 0, xt, t xt t t.8 t t t.3191

31 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 31 xavt. t 1.4, DxAvt, t,. t 0 x x Exempel: En sprinter startar med konstant acceleration och når sin maxfart v max efter.5 s, och håller sedan denna fram till målgång efter 100 m med sluttiden 10.4 s. Sök sprinterns maxfart v max! vt ms v max t s Lösningsförslag: Typisk drillövning av vt-diagram! Konstant acceleration innebär att farten ökar linjärt upp till maxfart. Vi har alltså situationen i den högra figuren. Detta möblerar tillräckligt med villkor för att bestämma v max xavt DSolvex''t v max.5 t.5,x0 x'0 0, xt, t 0 t.5 xt 0. t v max t 5 1. tv max 1.5 v max True vmax Solvext 100. xavt. t 10.4 First v max Med detta är det sedan öppet för att bestämma vad man vill, exempelvis första delsträckan och en reseberättelse i tidsplanet. xavt. vmax. t.5 x RulePlotLegxAvt, DxAvt, t. vmax, t, 0, t xt x t Exempel: Två vagnar med massorna m 1 kg respektive m 3 kg är i vila på rak räls. En fjäder med fjäderkonstanten k 10 Nm förbinder dem med varandra. Plötsligt ges vagnarna hastigheterna v 1 ms respektive v 1ms. Sök deras läge och hastighet som funktion av tiden. k m 1 m x 1 (t) x (t) Lösningsförslag: Låt x 1 t och x t vara vagnarnas läge som funktion av tiden. Efter friläggning får vi direkt med Newton BVP ẋ. 1t10x tx 1 t 3ẋ. t10x tx 1 t x 1 00, x 10 x 00, x 01 ODE BV Det är bara att skicka rakt in i Mathematica. xavt DSolve x 1 ''t 10 x tx 1 t, 3x ''t 10 x tx 1 t, x 1 0 0, x 1 '0, x 0 0, x '0 1, x 1 t, x t, tfirst FullSimplify x 1 t t 9 3 sin 5 t 3, x t t 6 3 sin 5 t 3

32 3 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Nu kan vi inspektera skådespelet! Läge, hastighet och acceleration. RulePlotLabDxAvt, t,, t, 0, 10 & 0, 1, t x t x 1 t , t x t x 1 t 4, 4 x 1 t t x t Exempel: En basebollspelare kastar iväg bollen enligt figur. Sök bollens högsta höjd, den så kallade stighöjden, kastlängd samt tidpunkterna för dessa två tillfällen Rita upp bollbanan Lösningsförslag: Typexempel! Ta alltid tillfället i akt att göra en symbolisk lösning eftersom den är utbildande jämfört med ett själslöst numeriskt exempel hämtat "ur luften". Ta hjälp av Newton och ställ upp rörelseekvationerna i x- och y-riktningarna. Applicera begynnelsevärden och lös begynnelsevärdesproblemet. xyavt DSolvem x''t 0, x0 0, x'0 v 0 CosΑ, my''t mg, y0 h, y'0 v 0 SinΑ, xt, yt, tfirst xt tv 0 cosα, yt 1 gt h tv 0 sinα Vid högsta punkten på banan är y 0. Detta bestämmer stigtid och stighöjd. Som vanligt är t regissören! th Solvey't 0. DxyAvt, t, tfirst t v 0 sinα g xyavt. th x v 0 sinα g v 0 sinα cosα, y v 0 sinα g g 1 v 0 sin Α h g Med numeriska data data v 0 30, Α30, h, g 9.81; xyavt. th. data x , y På ungefär samma sätt vaskar vi fram tillståndet vid nedslag. tl Solveyt 0. xyavt, t Simplify t v 0 sinα tl. data gh v 0 sin Α g, t gh v 0 sin Α v 0 sinα g t , t Första lösningen motsvarar kastparabelns "historiska" startpunkt på marken bakom kastaren. Så kastvidden. xyavt. tl Simplify x gh v 0 sin Α v 0 sinα g v 0 cosα gh v 0 sin Α v 0 sinα, y g gh v 0 sin Α v 0 sinα g 0 Med numeriska data har vi exemplets kastlängd och restid. xyavt. tl. data x , y

33 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 33 Slutligen två små bilder över bollens resa genom vädret. ParametricPlotxt, yt. xyavt. data, t, 0, t. tl. data, PlotStyle Purple, AxesLabel "x m", "y m" y m x m RulePlotLegxyAvt. data, t, 0, t. tl. data t xt yt Exempel: En basketsituation är uppriggad enligt figur. Med given elevationsvinkeln Θ60 måste bollen ges en speciell utgångsfart v 0 för att träffa korgen. Sök denna samt restiden fram till korgen. Försumma luftmotståndet. Lösningsförslag: Placera ett naturligt xy koordinatsystem enligt firgur. Vid godtycklig tidpunkt är det endast tyngdkraften som verkar på bollen. Formulera rörelseekvationerna, applicera begynnelsevärden och välj att lösa BVP numeriskt redan från början. xyavt DSolvem x''t 0, m y''t mg, x0 x 0,x'0 v 0 CosΘ, y0 y 0,y'0 v 0 SinΘ. x 0 0, y 0.1, Θ60, g 9.81, xt, yt, tfirst xt 0.5 tv 0, yt t tv 0.1 Svaret på de båda delfrågorna ges av nedslagsplatsen. Vi har två ekvationer och två obekanta v 0 och restiden t. Se till att resan går i rätt riktning! våt NSolvext 4, yt 3, v 0 0. xyavt t , v Vilket får bli svaret på uppgiften. Avslutningsvis en liten reseberättelse ParametricPlotLast xyavt. våt1,, t, 0, 1.1, PlotRange 0, 4.5, AxesLabel x, y, PlotStyle Blue, Dashing0.05, AspectRatio Automatic, Epilog Green, Thickness0.03, Line3.9, 3, 4.1, 3, Red, PointSize0.05, Pointxt, yt. xyavt. t 0.8. våt y x

34 34 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: En ögonblicksbild av en höjdhoppare precis vid upphoppet kan beskådas i figuren. Sök v 0 och Θ så att hopparens tyngdpunkt G precis klararhöjden. Lösningsförslag: Dessa eviga kastparabler. Nu är det dax igen. Placera ett koordinatsystem med origo där G befinner sig enligt figur. Ta sedan hjälp av Newton och ställ upp rörelseekvationerna i x- och y-riktningarna. Applicera begynnelsevärden och lös begynnelsevärdesproblemet. xyavt DSolvem x''t 0, x0 0, x'0 v 0 CosΘ, my''t mg, y0 0, y'0 v 0 SinΘ, xt, yt, tfirst xt tv 0 cosθ, yt 1 tv 0 sinθ gt När klockan är t har vi nått högsta punkten på banan och då är y 0. Detta möblerar ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta, v 0, Θ och stigtiden t som bonus, fast t egentligen är spindeln i nätet som kopplar samman allt. Se till att välja rätt lösning. NSolvext 1, yt 1.06, y't 0, t 0, v 0 0, 0 Θ Π. xyavt. DxyAvt, t.g 9.81, v 0, Θ, t v , Θ , t I höjdhopp behöver inte tyngdpunkten passera ovanför ribban. Detta var svårt att uppnå på "Hedenhös" tid då man använde den så kallade saxstilen. Lite bättre blev det med dykstilen och dess utveckling med så kallat "hängande ben", men det verkliga genombrottet kom under OS 1968 i Mexico City då amerikanen Dick Fosbury (1947-), på bild nedan, chockade friidrottsvärlden med att visa upp en helt ny hoppstil, "the Fosbury Flop", som han vann guld med på.4. För den riktigt vige erbjuder denna stil just en rejäl sänkning av tyngdpunkten under det att kroppen krånglar sig över ribban. Vi som känner till mekanikens energilagar vet att detta betyder ökad hopphöjd för given utgångsfart. Exempel: En fisk med massan m slutar simma vid hastigheten v 0 och glider horisontellt genom vattnet. Bestäm fiskens hastighet som funktion av läget samt hastighet och läge som funktion av tiden om friktionskraften mot vattnet är proportionell mot hastigheten med proportionalitetskonstanten k. Hur långt rör den sig? När stannar den? Lösningsförslag: Vi känner igen Newton, mẋ. F. Vi börjar med att rulla ut måttbandet, det vill säga x-axeln, precis då den slutar simma. Den enda kraft som verkar i färdriktningen är då motståndet från vattnet kx. Vi får då BVP mẋ. kx x00 x 0v 0 I första fallet är vi primärt intresserade av hastighet som funktion av läget x x. Vi kör först en vanlig gammalmodig handräkning alá CN, för att ännu bättre uppskatta Mathematica, och gör därför omskrivningen x x x x x x. Därmed är vi i säker terräng t KR x t x med en separabel (ODE) som vi integrerar direkt med (BV) som gränser mx x x kx x x v0 x 0 k m x x x v0 k m x x 0 x v 0 k m x. Så hastigheten avtar linjärt med läget eller sträckan den glidit. För att få hastighet och läge som funktion av tiden kan vi antingen ge oss på den nyss erhållna x v 0 k m x eller den ursprungliga mx kx. Notera att i båda fallen är x xt. Vi provar båda vägarna. ODE BV

35 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 35 Den förstnämda är både separabel och linjär. Eftersom vi har haft separationsångest ett tag så väljer vi att öva lite på en linjär av första ordningen x v 0 k m x x k m x v 0 IF k m t k m t x k m t x k m t v 0 Separabel Slutligen BV x00: 0 mv 0 k Hastigheten får vi genom att derivera k m t x mv 0 k k m t C 1 x mv 0 k C 1 k m 0 C 1 mv 0 k C 1 k m t x x t t mv 0 k 1 k m t mv 0 k 0 k k m m t v 0 k m t lösningen till BVP är xt mv 0 k 1 k m t Så hastigheten avtar exponentiellt med tiden den glidit. Man ska alltid hålla vad man lovat varför det nu är dax för den andra vägen med ursprungliga (ODE) som är en linjär andra ordningens homogen med konstanta koefficienter. mx kx x k m x 0 karakteristiska ekvationen och dess två rötter r 1, k m k m 0 r 1 0 Reella r k xh tc 1 C k m t m r 1r Slutligen BV Eftersom ODE är homogen så är xtx h tx p t C 1 C k m t x00 C x 1 C k m 0 0 C mv 1 0 k 0v 0 k m C k m 0 v 0 C mv 0 k 0 återigen lösningen till BVP xt mv 0 k 1 k m t Glidsträckan blir ett gränsvärde xt mv 0 k då t. Så resan är begränsad i rummet men inte i tiden. Den stackarn glider för gott! Avslutningsvis det moderna datoranpassade arbetssättet med Mathematica. Smidigt! Efter att (BVP) är löst kan vi sedan enkelt derivera fram hastighet, se Fig 1. Lösningsmetoder. xavt DSolvem x''t kx't, x0 0, x'0 v 0,xt, tfirst Simplify xt kt mv 0 1 k m Om vi som exempel väljer m k v 0 1 får vi en kvalitativ överblick av resan. RulePlotLegxAvt, DxAvt, t. m 1, k 1, v 0 1, t, 0, t xt x t Exempel: Ett så kallat bungy jump är väl bekant för de flesta. Från en hoppställning högt ovan mark kastar man sig handlöst ut. Livlinan utgörs av en gummisnodd vars ena ände är fäst vid uthoppsplatsen och den andra surrad runt vristerna på offret. Välj lite numeriska data och gör en simulering av ett hopp Lösningsförslag: Om vi placerar en y-axel med origo vid marken och pekande uppåt har vi återigen Newton, my F. Krafterna som verkar är tyngdkraften och den från gummisnodden. Eftersom en gummisnodd, för enkelhets skull antar vi, fungerar ungefär som en fjäder frånsett att den inte kan ta trycklaster, är den lite kinkig att simulera och lösa analytiskt. Men med storsläggan NDSolve går det både snabbt och enkelt. För att offret inte ska svänga upp och ned i all oändlighet, vilket är fallet med en fjäder, lägger vi in lite dämpning i snodden. Med fjäderkonstanten k, dämpning c och den naturliga längden L gäller om hoppställningen har höjden H att kraften i snodden blir

36 36 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN F gs kh y Lcy om H y L0 0 omh y L0 och BVP mẏ. mg F gs y0h y 00 ODE BV Nu gäller det bara att översätta den styckvis definierade funktionen F gs till Mathematica, vilket lätt görs med funktionen Piecewise eller If. Vidare kräver NDSolve att resan görs helt numeriskt, så välj t.ex. m 75 kg, H 50 m, L 30 m, k 15 Nm och c 50 Nsm, så har vi direkt en studie över de T första sekunderna k H ytlcy't H ytl 0 F gs ;T 15; 0 H ytl 0 yavt NDSolvem y''t mgf gs,y0 H, y'0 0. m 75, g 9.81, H 50, L 30, k 15, c 50, yt, t, 0, T First; ODEBV Data En bild över spektaklet piggar alltid upp RulePlotLegyAvt, DyAvt, t, t, 0, T 40 0 yt t y t 0 Man ser tydligt på hastighetsgrafen när gummisnodden börjar bromsa in det fria fallet. Exempel: En fallskärmshoppare, vars vikt är 75 kg, hoppar ut från en helikopter 4 km ovan markytan. Antag att luftmotståndet är proportionellt mot hopparens fart. Proportionalitetsfaktorn är 15 kgs när fallskärmen är outlöst och 105 kgs när fallskärmen är utvecklad. Antag att fallskärmen utvecklas 1 min efter uthoppet från helikoptern. Sök läge och hastighet under resan samt bestäm hur lång tid hoppet tar. Lösningsförslag: Om vi placerar en y-axel med origo vid marken och pekande uppåt har vi återigen Newton, my F. Krafterna som verkar är tyngdkraften och den från fallskärmen. Vi har att ta ställning till två stycken (BVP). Ett under den första minuten med kända (BV), sedan ett annat under resten av nedfärden. Denna måste matchas med (BV) = (RV) vad gäller tid, läge och hastighet så att den sammanfogas med lösningen under den första minuten. Eller lite mera precist BVP1 mẏ. 1 mg k 1 y 1 y 1 0H y 1 00 ODE BV för t 0, 60 och BVP mẏ. mg k y y 60y 1 60 y 60y 1 60 ODE BV för t 60, När man så äntligen trött kommer i mål gäller det att mata Plot med rätt lösning i rätt intervall;-(. Räddaren heter naturligtvis NDSolve. Vi löser (BVP1) för hela resan t 0, och byter helt enkelt proportionalitetskonstant k 1 k vid 60 s on the fly! Smidigt! Nu är det bara att hoppa! Utnyttja WhenEvent för att hålla koll på landningstid. Hopptid yavt NDSolvem y''t mgift Τ,k 1,k y't, ODE y0 H, y'0 0, BV WhenEventyt 0, T hopp t; "StopIntegration" Landat?. m 75, g 9.81, H 4000, Τ60, k 1 15, k 105, Data yt, t, 0, 500 First; T hopp Några bilder över spektaklet piggar alltid upp RulePlotLegyAvt, t, 0, T hopp, PlotStyle Green, RulePlotLegDyAvt, t, t, 0, T hopp, PlotStyle Orange

37 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica t yt, t y t Man ser tydligt på hastighetsgrafen när fallskärmen börjar bromsa in det fria fallet. Även de två gränshastigheterna är lätta att identifiera, det vill säga då vi inte har någon acceleration längre. Dessa blir utan respektive med fallskärm Dyt. yavt, t.t55, , Exempel: En vattenraket skjuts iväg i geografin enligt figur. Bestäm sträckan R längs backen upp till nedslagsplatsen samt restiden. Sök även nedslagshastigheten. Lösningsförslag: Placera ett naturligt xy-koordinatsystem vid A. Vi får då rörelseekvationerna med begynnelsevärden. Lös ut xt och yt. xyavt DSolvem x''t 0, m y''t mg, x0 0, x'0 v 0 CosΘ, y0 0, y'0 v 0 SinΘ, xt, yt, tfirst xt tv 0 cosθ, yt 1 tv 0 sinθ gt Svaret på de båda första delfrågorna ges av nedslagsplatsen och nedslagstiden. RÅt Solvext R CosΑ, yt R SinΑ. xyavt, R, t Simplify R 0, t 0, R v 0 cosθ sinα Θ g cosα, t v 0 sinα Θ g cosα Första lösningen är startpunkten A och den andra den sökta nedslagsplatsen B. Nu är ΘΑ så minustecknen efter är ok! Vi piggar upp oss med ett numeriskt exempel. data v , Θ60, Α30, g 9.81; xyavt. RÅt, RÅt. data x0 0, y0 0 R 0, t 0 x , y R , t Nedslagshastighet och fart. Som biprodukt får vi även en kontroll av att utgångshastighet och fart är de föreskrivna. DxyAvt, t. RÅt. data x 0 5., y , x , y Normx't, y't. DxyAvt, t. RÅt. data 50., ParametricPlotEvaluatext, yt. xyavt. data, t, 0, t. LastRÅt. data, PlotStyle Red, AxesLabel "x", "y", Epilog Green, Thickness0.0, Line0, 0, 00 CosΑ, SinΑ. data y x

38 38 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: För ett bilbälte är den inbromsande kraften proportionell mot kvadratroten ur bröstkorgens läge under krockförloppet. För att det inte ska bli sista vilan för en passagerare med massan m krävs att denne kommer till vila efter sträckan a. Bestäm proportionalitetskonstanten k så att detta uppfylls vid en krock med hastigheten u Lösningsförslag: Standard Newton mẋ. F. Eftersom vi är intresserade av hastighet som funktion av väg gör vi omskrivningen ẋ. x x. Då k är okänd kan vi göra ett litet trick och låta kx vara en okänd konstant funktion. Vi har då möjlighet att få med x randvillkoret x a0 också, med resultat att DSolve gör hela jobbet direkt. Dessutom får vi ut x x redo för uppritning. vavx DSolvem vx v'x kx x,k'x 0, v0 u, va 0, vx, kx, x kx 3 mu 4 a, 3 vx u a 3 x 3, a 3 kx 3 mu 4 a, 3 vx u a 3 x 3 a 3 Numeriskt exempel. PlotEvaluatevx. vavx. m 70, u 0, a 0.5, x, 0, 0.5, PlotStyle Red, AxesLabel "x", "vx" vx x Annars går det naturligtvis lika bra att låta k vara en konstant svar DSolvem vx v'x k x,v0 u, vx, x vx 3 mu 4 kx 3 m 3, vx 3 mu 4 kx 3 m 3 och sedan bestämma den ur randvillkoret x a0 Solvevx 0. svar.x a, k k 3 mu 3 4 a Exempel: Kraftöverföringen i en enkel ångmaskin kan studeras i vidstående figur. Låt nu vevaxeln gå med konstant varvtal Π rads. Rita r, r, r, Θ, Θ, Θ Lösningsförslag: Här passar det alldeles utmärkt med en liten vektorbetraktelse. Inför ett koordinatsystem i O med x-axeln åt höger och y-axeln rakt upp som vanligt. Eftersom vi har en typisk D modell nöjer vi oss med en sådan studie och får om L OC, R CA och toa. Vinkeln Θ får vi lätt ur sinussatsen. rt L, 0R CosΠ Βt, SinΠ Βt; Θt ArcSin R SinΒt ; rt data L 0.3, R 0.09, Β't Π, Β''t 0; Lite numerik

39 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 39 Nu är det bara att rita det som efterfrågas. Plotrt. data, Βt, 0,Π, PlotStyle Brown, AxesLabel "Β rad", "r m", Plotr't. data, Βt, 0,Π, PlotStyle Blue, AxesLabel "Β rad", "r ms", Plotr''t. data, Βt, 0,Π, PlotStyle Red, AxesLabel "Β rad", "r ms " r m Βrad, r ms r ms 4, Βrad Βrad PlotΘt. data, Βt, 0,Π, PlotStyle Green, AxesLabel "Β rad", "Θ rad", PlotΘ't. data, Βt, 0,Π, PlotStyle Purple, AxesLabel "Β rad", "Θ rads", PlotΘ''t. data, Βt, 0,Π, PlotStyle Orange, AxesLabel "Β rad", "Θ rads " Θ rad Θ rads, Βrad Βrad, Θ rads Βrad Exempel: Lilla Lisa vill åka loopen på Liseberg. Men innan hon vågar sig upp vill hon gärna kontrollera hur högt startpunkten är i förhållande till själva loopen. Hon uppskattar både loopens radie r och startpunktens höjd. Nu vill hon ha hjälp med en formel så att hon kan jämföra den uppskattade höjden med den nödvändiga höjden h för att hon ska komma oskadd ur äventyret Sök även den komprimerande normalkraften N n vid banans nedre punkt h r r Lösningsförslag: Vi tar hjälp av energiekvationen för resan från startpunkt på höjden h ner till önskad punkt på banan. Sedan har vi cirkelrörelse, så vi tar fram de tidigare härledda formlerna och tecknar Newton i r -riktningen. Notera att det är motsatt riktade i förhållande till tyngdkraften i det övre och nedre läget på banan. Det blir kritiskt i övre läge om kontaktkraften N ö 0, detta bestämmer farten v ö där. Solvem gh 1 mv ö mgr, m v ö mgh 1 mv n, m v n h 5 r, v ö g r, v n 5 g r, N ö 0, N n 6 gm r r mg N ö,n ö 0, Övre punkt mg N n, h, v ö,v n,n ö,n n Last Nedre punkt Exempel: En friktionsfri rak glidbana fungerar som utskjutningsramp för en låda, se fig. Lådan släpps vid banans övre ände och lämnar den vid den nedre. Vilken vinkel Α skall banan luta för att hastighetens horisontella komposant v h ska blir så stor som möjligt när lådan lämnar banan? α v h v Lösningsförslag: Anta att banans längd är L. Energibetraktelse, eller (ODE) som vanligt. Lägg en x-axel längs banan. Först (ODE), sedan restid som bestämmer den horisontella farten då lådan lämnar banan. xavt DSolvem x''t m g SinΑ, x0 x'0 0, xt, tfirst xt 1 gt sinα v h Simplifyx't CosΑ. DxAvt, t. Solvext L. xavt, t Last, 0 Α Π g cosα L sinα

40 40 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Plotv h. g 1, L 1, Α, 0, Π 3, PlotStyle Orange, AxesLabel "Α", "v hgl" v h gl Α Numeriskt extremvärde ges enklast av någon av de inbyggda hjälpredorna. Maximizev h. g 1, L 1, 0Α Π, Α FullSimplify , Α tan1 5 6 NMaximizev h. g 1, L 1, 0Α Π, Α , Α FindMaximumv h. g 1, L 1, Α, 0, Π , Α Annars kan man ju söka nollställe till derivatan. NSolveDv h, Α 0, 0 Α Π, Α 3 Α För hand (varför då?) är det lättare att studera v h. Den har samma extremvärde på Α. Α sinαcos Α 0 cosαcos Α sinαcosαsinα 0 cosαcos Α sin Α 0 cosα 0 Α Π v h 0, ointressant cos Α sin Α 0 1 3sin Α 0 sinα 1 3 Exempel: En friktionsfritt lagrad trumma är uppriggad enligt figur. Jämför utvecklingen över tid för de två olika metoderna att sätta den i rotation. Bestäm även kraften i snöret Tröghetsradien för trumman är 375 mm och dess vikt 100 kg. Lösningsförslag: Inledningsvis tar vi och samlar ihop lite numeriska data, givetvis i SI-enheter. data M 0, m 100, r 0.5, k 0.375, g 9.81; Först metoden med vikt, det vill säga a. Klipp av snöret och kalla snittkraften S. Rörelseekvationer för trumma och vikt samt kopplingsvillkor och begynnelsevärden riggar sedan upp begynnelsevärdesproblemet. Tröghetsmomentet för trumman är J mk där k är tröghetsradien. bvpa SolveJ ''t rs,mx''t MgS, x''t r ''t, J mk, ''t, x''t, S,J First t gmr k m M r, x t gmr k m M r, S gk mm k m M r, J k m Här kan vi direkt avläsa de konstanta accelerationerna samt den konstanta kraften S i snöret. Nu över till utvecklingen över tid.

41 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 41 xa DSolvebvpa1,. Rule Equal, x0 0, x'0 0, 0 0, '0 0, t, xt, tfirst t gmrt k m Mr, xt gmr t k m Mr Sedan metoden med konstant kraft, det vill säga b. bvpb SolveJ ''t rs,s , J mk, ''t, S,J First t 196. r k m, S 196., J k m xb DSolvebvpb1. Rule Equal, 0 0, '0 0, t, tfirst 98.1 rt t k m Inspektion av.. och S avgör tävlingen till fördel för metod b. bvpa, bvpb. data t 3.037, x t , S , J , t 3.488, S 196., J Avslutningsvis en bild över skådespelet. Metod a med streckad och b med heldragen linje. c Red, Green, Blue, Orange; PlotEvaluateJoinxt, t, x't, 't. Dxa, t.xa, r t, t, r't, 't. Dxb, t.xb. data, t, 0, 5, PlotStyle JoinDashing0.0, & c, c, AxesLabel "t", None, PlotLabel "x a t, a t,x at, at,xb t, b t,x bt, bt" x a t, a t,x at, a t,x b t, b t,x bt, b t t Exempel: En trådrulle ligger på bordet enligt figur när sömmerskan drar i tråden vid A åt höger. Åt vilket håll rullar då trådrullen? Lösningsförslag: Frilägg trådrullen och P vara trådkraften åt höger. Om x räknas positiv åt höger och positiv medurs får vi jämvikt i y-led och rörelseekvationerna. Till dessa lägger vi rullvillkoret ẋ. R.., det vill säga ingen glidning. ekv mg 0, m x''t P F, J ''t rp RF,x''t R ''t,, O, Μ ok mg 0, mx t F P, J t FR Pr, x t R t Svaret på vår brännande fråga ges av ẋ.. Här är både P, r, R, m och J positiva, så resan går tydligen åt höger eftersom R r. Trådrullen rullar alltså upp sig på snörstumpen! Slutligen minsta friktionskoefficient för att upprätthålla rullning. svar Solveekv, x''t, ''t,, F Simplify x P R R r t J m R, P R r J m r R t, mg, F P J m R J m R ΜAbs F. svar First Μ P J mrr mg mr J

42 4 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: En tavla är uppriggad i ett bilsäte enligt figur. Plötsligt bromsar bilen in med en konstant horisontell retardation a g. Friktionen kan 3 försummas i punkten A men ej i punkten B där friktionskoefficienten är 0.5. Undersök om tavlan kommer att börja glida vid B. Avgör frågan genom att bestämma det Μ r som krävs för att undvika glidning. Sök även maximal retardation a som bilen kan ha för att tavlan fortfarande ska stå kvar. Lösningsförslag: Antag att tavlan har höjden h och massan m. Efter friläggning och lite geometriska överläggningar (rita!) får vi rörelseekvationen i x-led, jämvikt i y-led samt momentjämvikt kring tyngdpunkten. Lös ut alla krafter. NåF Solvem x''t N A Cos7 N B Sin7 F B Cos7, N A Sin7 N B Cos7 F B Sin7 mg 0, h Cos307 N A h Sin307 N B h Cos307 F B 0, T p N A,N B,F B First Simplify N A 1 m cos7 g tan7 tan3 1 tan7 tan3 x t, N B m g cos7 sin7 x t, F B 1 m cos7 g tan7 tan3 tan7 tan3 1 x t Tavlan ska ha samma retardation som bilen. Bestäm den Μ r som krävs för att undvika glidning. Μ r F B N B. NåF. x''t g 3 Simplify cos7 tan7 tan3 3 3 tan3 1 Μ r N sin7 3 cos7 Mindre än given möjlig 0.5, så svaret på första delfrågan är att tavlan inte glider vid B. Vad gäller maximal retardation har vi två fall att ta ställning till. Glidning vid B eller att tavlan lättar vid A, det vill säga "roterar" framåt i sätet. Låt oss undersöka det sista fallet som ges av villkoret (ekvationen) N A 0. Bestäm motsvarande maximala retardation på bilen i detta fall. a max SolveN A 0. NåF, x''t First x t g tan7 tan3 tan7 tan3 1 Kontrollera om friktionen vid B klarar av detta detta. Μ NA0 F B N B tan3 Μ NA0 N NåF. a max Simplify Mindre än given möjlig 0.5 så detta fall sätter gränsen för bilens retardation till g 3 för att tavlan inte ska "rotera" framåt i sätet. Exempel: Två lådor ligger ovanpå varandra på ett glatt bord, se övre fig. En kraft anbringas på den övre lådan. Bestäm hur lång tid det tar innan vi har situationen i den högra figuren. Hur lång sträcka har den undre lådan då hunnit glida? 100 N 5 kg 0.5 m μ=0.8 8 kg μ=0 100 N 8 kg 5 kg Lösningsförslag: Efter friläggning och införande av koordinater och krafter enligt figur nedan har vi standard Newton mẋ. F för de två kropparna. Sedan låter vi DSolve göra hela jobbet direkt.

43 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 43 x x 1 P m m 1 F=μm 1 g x1å DSolvem 1 x 1 ''t P Μm 1 g, ODE för m 1 m x ''t Μm 1 g, ODE för m x 1 0 0, x 1 '0 0, BV för m 1 x 0 0, x '0 0, BV för m x 1 t, x t, tfirst x 1 t Pt g Μ m 1 t m 1, x t g Μ m 1 t m Vi inleder med en liten reseberättelse. PlotEvaluatex 1 t, x t, x 1 tx t, L. x1å. m 1 5, m 8, P 100, L 0.5, Μ0.8, g 9.81, t, 0, 0.4, PlotStyle Orange, Green, Blue, Red, AxesLabel "t s", "x 1 t,x t,x 1 tx t,l" x 1 t,x t,x 1 tx t,l t s När klockan är t har den lilla lådan hunnit till framkanten på den stora och således flyttat sig sträckan x 1 tx tl, där L är given i uppgiften. I grafen ovan inträffar detta då den blå kurvan x 1 tx t skär den röda L. Detta bestämmer restiden till det att vi har situationen i den undre figuren. T Solvex 1 t x tl. x1å, t t L, t L g Μ g Μ m1 m P m 1 g Μ g Μ m1 m P m 1 Eftersom vi inte befattar oss med negativa restider får vi restid och resvägarna både symboliskt och numeriskt. x1å. T Simplify. m 1 5, m 8, P 100, L 0.5, Μ0.8, g 9.81 x 1 L g Μ g Μ m1 m P m 1 m g Μ Lm 1 LP g Μ m 1 g Μ m m 1 m P, x L g Μ g Μ m1 m P m 1 g Μ Lm 1 g Μ m 1 g Μ m m 1 m P x , x Det kanske är av intresse att veta att om det finns en minsta kraft P för att den lilla lådan överhuvudtaget ska nå fram. Detta kritiska värde ges av att lådorna glider parallellt i all evighet P krit Solvex 1 t x t. x1å, P Simplify P g Μ m 1 m 1 m m Som med våra övriga värden blir P krit. m 1 5, m 8, Μ0.8, g 9.81 P

44 44 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Exempel: Ett löphjul med mått enligt figur har massan 15 kg och tröghetsradien 160 mm. Man släpper det med en medurs rotation på 0 rads i ett spår som lutar 10. Mellan kanten och axeltapparna är friktionskoefficienten Μ0.3. För övrigt är hjulet ej i kontakt med spåret. a Bestäm tidpunkt och läge då glidning upphör. b Bestäm tidpunkt och läge när det vänder. c Sök slutligen tidpunkt, hastighet och vinkelhastighet då det återkommer till startpunkten. Lösningsförslag: Inför x-axeln uppåt längs banan, y-axeln vinkelrät däremot samt medurs. Frilägg och för in de "vanliga" krafterna. Teckna sedan rörelseekvationerna data m 15, r 0.15, J , Ω0, Μ0.3, Α10, g 9.81; ekv mx''t mgsinα F, my''t N m g CosΑ, J ''t rf T p mx t F gmsinα, my t N gmcosα, J tfr Här är nu y 0 det vill säga y 0 under hela resan. Från början har vi dessutom glidning, det vill säga fullt utbildad friktion F ΜN. Strängt taget ska vi kontrollera efteråt att Μ verkligen inte klarar av att "rycka" igång hjulet i rullning, typ "kuggstång". Men vi litar på problemförfattaren och löser ut de obekanta. glider SolveFlattenekv, y''t 0, F ΜN, x''t, y''t, ''t, N,F First x t g Μ cosα g sinα, y t 0, t g Μ m r cosα, N gmcosα, F g Μ m cosα J Nu är det bara att vaska fram (ODE), applicera (BV) och lösa (BVP). ode glider1, 3. Rule Equal x t g Μ cosα g sinα, t g Μ m r cosα J x g DSolveode, x0 0, x'0 0, 0 0, '0 Ω, xt, t, tfirst xt 1 gt Μ cosα sinα, t JtΩg Μ mrt cosα J När den inte glider längre rullar den. Då är x tr t, så svaret på delfråga a). T a Solvex't r 't.dx g,t, tfirst t JrΩ g J Μ cosα J sinα Μ mr cosα x g.t a Simplify x JrΩ g Μ cosα J mr J sinα JrΩ g Μ cosα J mr J sinα J r Ω Μ cosα sinα g Μ cosα J mr J sinα, JrΩ Μ cosα J mr J sinα g Μ cosα J mr J sinα x g.t a. data x , För att få svaret på delfråga b) måste vi börja om från början med rörelseekvationerna men med rullvillkor. rullar SolveFlattenekv, y''t 0, x''t r ''t, x''t, y''t, ''t, N,F First x t gmr sinα J m r, y t 0, t gmrsinα J m r, N gmcosα, F gjmsinα J m r

45 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 45 Nu är det bara att vaska fram (ODE) ode rullar1, 3. Rule Equal x t gmr sinα J m r, t gmrsinα J m r Meka ihop (BV) det vill säga de värden som gäller då glidning upphör och rullning inträder. Detta hämtas från a). Använd samma klocka, det vill säga den vi startade när spektaklet började. bv x g,dx g,t. Rule Equal. T a Simplify JrΩ x g mr JΜcosΑJ sinα J r Ω Μ cosαsinα JrΩ g mr JΜcosΑJ sinα g mr JΜcosΑJ sinα JrΩ mr JΜcosΑ J sinα g mr JΜcosΑJ sinα x JrΩ g mr JΜcosΑJ sinα JrΩΜcosΑsinΑ mr JΜcosΑJ sinα bv. data JrΩ g mr JΜcosΑJ sinα J ΩΜcosΑsinΑ mr JΜcosΑJ sinα x x Lös (BVP). x r DSolveode, bv, xt, t, tfirst Simplify xt r J g mrt sin Α gjtω sinα JrΩ g Μ t cosα J mr gmrtsinα J Ω g J mr ΜcosΑ J mr J sinα, t J g mrt sin Α gjtωsinα mr 3 Ω g Μ t cosα J mr J ΩgmrtsinΑ g J mr ΜcosΑ J mr J sinα x r. data ExpandAll xt t t , t t t Äntligen ges nu svaret på delfråga b) av villkoret att x t0 i vändläget. T b Solvex't 0. Dx r,t, tfirst t J Ω gmrsinα x r.t b Simplify x J Ω gmrsinα J Ω Μ 1 tanα gmμ cosα J mr J sinα, J Ω gmrsinα J Ω J Μ tanα J mr gmrμ cosα J mr J sinα x r.t b. data x , Slutligen delfråga c). Hur mycket är klockan när vi kommer hem och hur snurriga är vi? T c Solvext 0. x r,tsimplify t 1 sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα g mrsinα ΜJ mr J, tanα 1 t sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα T c. data g mrsinα t , t ΜJ mr J tanα Här duger bara den sista eftersom vår rullande modell endast gäller vid just rullning, det vill säga då klockan har passerat det klockslag som bestämdes i delfråga a). Stämmer dessutom bra eftersom vi kommer hem efter det att vi vänt

46 46 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN T c T c t 1 sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα g mrsinα ΜJ mr J tanα Så snurrigheten vid hemkomsten är Dx r,t.t c Simplify x 1 sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα g mrsinα ΜJ mr J tanα r g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα g sinα J mr ΜJ mr J, tanα 1 sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα g mrsinα ΜJ mr J tanα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα g sinα J mr Dx r,t.t c. data x , ΜJ mr J tanα x r.t c Simplify x 1 sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα g mrsinα ΜJ mr J 0, tanα 1 sinα g J Ω J mr ΜcosΑ sinα Μ cosα J mr J sinα gj Ω gjμωj mr tanα g mrsinα x r.t c. data ΜJ mr J tanα JrΩ g sinα ΜJmr tanα J x , Om man inte gillar(?) omfattande symboliska uttrycken kan man naturligtvis ta sig igenom uppgiften rent numeriskt genom att redan från början applicera data, men då tappar man många lärospån. Till slut några figurer med logaritmisk tidsskala. Tre vertikala linjer markerar tidszonerna: glidning, rullning till vändläge samt rullning hem. Först xt och x t sedan t och t. Τ a, Τ b, Τ c t. T a,t b,t c. data; LogLinearPlotEvaluatext.x g,x't.dx g,t 1 UnitStept Τ a xt.x r,x't.dx r,t UnitStept Τ a. data, t, 10 3, Τ c, PlotStyle Blue, Red, GridLinesStyle GrayLevel0.8, GridLines Τ a, Τ b, Τ c, None, AxesLabel "t s", "xt m, x t ms" xt m, x t ms t s 0.5

47 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 47 LogLinearPlotEvaluatet.x g, 't.dx g,t 1 UnitStept Τ a t.x r, 't.dx r,t UnitStept Τ a. data, t, 10 3, Τ c, PlotStyle Blue, Red, GridLinesStyle GrayLevel0.8, GridLines Τ a, Τ b, Τ c, None, AxesLabel "t s", "t rad, t rads" t rad, t rads t s Exempel: En låda skjuts iväg med farten v 1 6 ms från en punkt A uppför ett lutande plan med Θ0. Mellan lådan och planet är friktionskoefficienten Μ0.. a Bestäm tidpunkt och läge då lådan vänder. b Bestäm tidpunkt och fart v då den återkommer till A. Lösningsförslag: Inför x-axeln uppåt längs banan och y-axeln vinkelrät däremot, snett uppåt. Frilägg och för in de "vanliga" krafterna. Teckna sedan rörelseekvationerna för resan uppåt. data Μ0., Θ0, v 1 6, g 9.81; ekv mx''t mgsinθ F, my''t N m g CosΘ mx t F gmsinθ, my t N gmcosθ Här är nu y 0 det vill säga y 0 under hela resan. Vi har glidning under hela resan, det vill säga fullt utbildad friktion F ΜN. Lös ut de obekanta. glider SolveFlattenekv, y''t 0, F ΜN, x''t, y''t, N,F First x tg Μ cosθ g sinθ, y t 0, N gmcosθ, F g Μ m cosθ Nu är det bara att vaska fram (ODE), applicera (BV) och lösa (BVP). upp DSolveglider1. Rule Equal, x0 0, x'0 v 1,xt, tfirst xt 1 g Μ t cosθ gt sinθ tv 1 När den vänder är hastigheten noll, det vill säga x t0, så svaret på delfråga a). T a Solvex't 0. Dupp, t, tfirst t v 1 g Μ cosθ sinθ upp. T a. data x Innan vi går vidare måste vi först kontrollera att vi får åka hem igen eller om vi är dömda att stanna i vändläget för gott, det vill säga om lådan verkligen börjar glida nedåt igen. Detta bestäms av om givet Μ klarar av att hålla den kvar i vändläget eller ej. Bestäm därför det Μ r som krävs för att stanna kvar och jämför med Μ. FåN Solveekv. x''t 0, y''t 0, F, N First F gmsinθ, N gmcosθ Μ r Abs F. FåN N tanθ

48 48 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Μ r. data N Μ r Μ. data True Visst, delfråga b) är sund. Tyvärr måste vi börja om från början med (BVP), ty under hemresan har ju friktionskraften bytt tecken. glider SolveFlattenekv, y''t 0, F ΜN, x''t, y''t, N,F First x t g Μ cosθ g sinθ, y t 0, N gmcosθ, F g Μ m cosθ Meka ihop (BV), det vill säga de värden som gäller i vändpunkten. Detta hämtas från a). Använd samma klocka, det vill säga den vi startade när spektaklet började. bv upp, Dupp, t. Rule Equal. T a Simplify v 1 x g Μ cosθg sinθ v 1 g Μ cosθ g sinθ x bv. data v 1 0 g Μ cosθg sinθ x x Nu är det bara att vaska fram (ODE) och lösa (BVP). ned DSolveglider1. Rule Equal, bv, xt, tfirst xt g Μ 3 t cos 3 Θ g Μ t sinθ cos Θ g Μ t sin Θ cosθ g t sin 3 Θ g Μ tv 1 cos Θ gtv 1 sin Θ Μ v 1 cosθ g Μ cosθ sinθ Äntligen ges nu svaret på delfråga b) av villkoret att xt0 vid hemkomsten. T b Solvext 0. ned, t First t g Μ 4 v 1 cos 4 Θ g Μ 3 v 1 sinθ cos 3 Θ g Μ v 1 sin 3 Θ cosθ g v 1 sin 4 Θ g Μ v 1 cos Θ gv 1 sin Θ g Μ 3 cos 3 Θ g Μ sinθ cos Θ g Μ sin Θ cosθ g sin 3 Θ ned, Dned, t. T b. data x , x Avslutnings en förtydligande(?) bild över situationen. Läget xt blå och hastigheten x t röd. Vidare är två vertikala linjer inlagda för att markera de två tidszonerna utresa och hemresa. Τ a, Τ b t. T a,t b. data; PlotEvaluatext. upp, x't.dupp, t 1 UnitStept Τ a xt. ned, x't.dned, t UnitStept Τ a. data, t, 0, Τ b, PlotStyle Blue, Red, GridLinesStyle GrayLevel0.8, GridLines Τ a, Τ b, None, AxesLabel "t s", "xt m, x t ms" xt m, x t ms t s

49 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 49 Exempel: Två bilar har samma hastighet v 0 på en rak väg. Avståndet mellan dem är d. Plötsligt börjar den främre bilen bromsa med konstant retardation a f. Bestäm minsta avstånd d för att undvika kollision om föraren i den bakomvarande bilen har reaktionstiden Τ och sedan bromsar med konstant retardation a b. Undersök speciellt fallet v 0 5 ms 90 kmh, a f 4k, a b 5k, k 1ms, Τ1s. Lösningsförslag: Starta klockan då den främre bilen börjar bromsa och rulla ut måttbandet från den position som den bakre bilen befinner sig. Vi får då följande (BVP) data v 0 5, a f 4, a b 5, Τ1; xfåbbvp DSolvex f ''t a f,x f '0 v 0,x f 0 d, x b ''t a b UnitStept Τ,x b '0 v 0,x b 0 0, x f t, x b t, tfirst Simplify x f t ConditionalExpression t a f d tv 0, Τ0, x b t ConditionalExpression 1 a b t Τ Θt Τ tv 0, Τ0 För att kollision inte ska ske innan den bakomvarande börjat bromsa krävs att d är minst SimplifySolvex b t x f t. xfåbbvp. tτ,d, Τ0 d 1 Τ a f Inför tidsintervallet t Τ passar vi på att förenkla ekvationerna lite xfåb SimplifyxfÅbBVP, Τ 0, t Τ x f t t a f d tv 0, x b t 1 a b t Τ tv 0 Om detta är uppfyllt skall kollision undvikas då båda bilarna bromsar och klockan t Τ. Minsta avstånd d ges nu av att gälla för något t och d, det vill säga "tangentkrav". x f x b x f x ska b dåt Solvex b t x f t. xfåb, x b 't x f 't.dxfåb, t, t, d First t Τ a b, d Τ a b a f a b a f a b a f Speciellt har vi för den önskade situationen dåt. data t 5, d 10 Bilarnas restider till stillastående. T f Solvex f 't 0. DxfÅb, t, tfirst t v 0 a f T b Solvex b 't 0. DxfÅb, t, tfirst t Τ a b v 0 a b Bromssträckor. x f t. xfåb. T f d v 0 a f x b t. xfåb. T b Simplify Τ v 0 v 0 a b

50 50 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Nu kan vi äntligen inspektera bilarnas resa genom vädret i skarpt läge. ShowPlotx f t. xfåbbvp. dt. data, t, 0, t. T f. data, PlotStyle Red, PlotRange 0, 100, AxesLabel "t s", "x f t,x b t m", Plotx b t. xfåbbvp. dt. data, t, 0, t. T b. data, PlotStyle Blue x f t,x b t m t s Exempel: En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av sina modeller genom att vid full gas styra bränsletillförseln så att accelerationen i varje ögonblick är proportionell mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 ms 88 kmh och aktuell fart med proportionalitetskonstanten till 0.1 s 1. Starta från stillastående med gasen i botten. a Formulera och lös BVP som bestämmer bilens läge xt. Rita xt och x t. b Vilket läge och fart har bilen efter 0 s? c Hur lång tid tar det till 50 ms 150 kmh och hur långt har den då kört? Lösningsförslag: a) Ur texten vaskar vi fram en andra ordningens linjär (ODE) med (BV) för bilens läge. I Mathematica behöver man naturligtvis inte stuva om sin modell till någon standardform. Minst en felkälla mindre! xavt DSolvex''t x't, x0 0, x'0 0, xt, tfirst Simplify xt 80. t t 800. RulePlotLabxAvt, t, 0, 60, RulePlotLabDxAvt, t, t, 0, 60, PlotStyle Red 4000 xt 80 x t , t t b) Så bilens läge och fart efter 0 s. xavt, DxAvt, t. t 0 x , x c) Restid till 50 ms och tillhörande läge. xavt, DxAvt, t. Solvex't 50. DxAvt, t First x , x Exempel: Tomtenissarnas skidbacke kan med god noggrannhet approximeras med en rät linje som går mellan punkterna 0, 50 och 100, 0. Låt Nisse väga 30 kg och antag att friktionskoefficienten Μ0.1 mellan snö och skida samt att luftmotståndet är proportionellt mot farten med proportionalitetskonstanten 5 Nsm. a Formulera och lös det BVP som bestämmer Nisses läge st längs backen. b Bestäm restid och högsta fart, samt gränshastighet om backen var oändligt lång c Rita st och s t. Lösningsförslag: a) Om st är koordinat längs backen, så har vi med Newton och numerik direkt. savt DSolvem s''t m g SinΘΜm g CosΘ cs't, s0 s'0 0, st, t. m 30, Μ0.1, g 9.81, c 5, ΘArcTan100, 50 First Simplify st t t b) Restid, backens längd och fart vid backens slut. Slutligen gränshastighet om backen var oändligt lång. Tydligen hinnar de inte upp i den.

51 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 51 savt, DsAvt, t, DsAvt, t.t. T FindRootst savt, t, 10 s , s , s c) Rita lite! RulePlotLabsAvt, DsAvt, t, t, 0, t. T st s t t Exempel: Nissarna leker lite med husmusen. Ena änden av en gummisnodd fästes i stugväggen tillsammans med en liten bit läcker ost. Den andra änden där husmusen placeras hålles rakt ut från väggen i gummisnoddens fulla längd L. Så börjar det Samtidigt som husmusen släpps och börjar börjar springa in mot väggen med den konstanta hastigheten v relativt gummisnodden dras den fria änden av gummisnodden rakt ut från väggen med den konstanta hastigheten u relativt väggen. Hur lång tid tar det för den lilla husmusen att nå väggen och den hägrande ostbiten? Specialfallet u 0 bör ju ge husmusens restid till L. Vad ger det generella tidsuttrycket? Använd Taylorutveckling v Lösningsförslag: Lägg in ett koordinatsystem xt med origo vid väggen. Musens position vid en godtycklig tidpunkt är alltså xt. Gummibandet töjes linjärt och dess hastighet u g relativt väggen vid x ges av likformiga trianglar u g u x. Musens hastighet blir då Lut x u t g v. Vi får direkt (BVP) och dess lösning. xavt DSolvex't L tuvlogl tuvlogl u xt u Musens restid till ostbiten. restid Solvext 0. xavt, t t L uv 1 u u xtv, x0 L, xt, tfirst Simplify L ut Men om vi är snälla och låter u 0? Då får vi 0 0!!! Rätt svar borde vara L. Serieutveckla kring u 0 v taylor Seriest. restid1, u, 0, 3 L v Lu v Lu Lu3 6 v3 4 v 4 Ou4 taylor. u 0 L v Exempel: Klockan på julafton börjar tomtefar och nissarna den långa färden från Storstad hem till stugan. Om vi låter koordinataxlarna ha enheten km så går tomtarnas resväg längs vägen yx 1 3 x x, x 0, 1. Det har varit en jobbig dag för Rudolf som tröttnar så farten är 01 9s 560 kmh när de kört sträckan s. Hur lång färdväg har våra vänner och hur mycket är klockan då de kommer hem? Lösningsförslag: Vi börjar med resvägen. 1 S D 1 3 x x,x x

52 5 Mekanik-Dynamik och Mathematica HH/ITE/BN Sedan körd sträcka st som ett (BVP). savt DSolves't 0 1 9st 560 st 560 t 9 t 8,s0 0, st, tfirst Slutligen restid. Solvest S. savt, t t 4 3 Det vill säga 1 h och 0 min. Exempel: Tomten är mycket road av mekanikproblem. En dag håller han genom en liten glatt ögla i taket ett 5 m långt rep så att 3 m hänger på ena sidan och m på den andra. Han behöver hjälp med att reda ut den modell som beskriver rörelsen sedan repet släpps och hur lång tid det tar innan det har glidit ur öglan? Låt g 10 ms. Lösningsförslag: Låt xt vara längden av den längre av de två delarna som hänger ner. Vi får då med Newton. xavt DSolvem x''t xt 5 xt 5 5 m 10, x0 3, x'0 0, xt, tsimplify xt 1 4 t t 10 RulePlotLabxAvt, t, 0, t xt Modellen gäller så länge xt5. Slutligen tidpunkt och fart då repet lämnar öglan. xavt, DxAvt, t. FindRootxt 5. xavt, t, 1 x x Exempel: En boll som väger 0.4 kg sparkas iväg med yt farten v 0 5 ms och vinkeln Θ45. Låt g 10 ms 0 15 och luftmotståndet vara proportionell med c mot farten i 10 både x och y riktningen. Variera c 0, 0.05, 0.1, Formulera och lös BVP. Bestäm restiden till dess bollen 0 når mark igen och rita banan Lösningsförslag: Formulera (BVP) i x- och y-led med Newton och lös det direkt med given numerik. xåy DSolvem x''t cx't, ODE my''t m10 cy't, ODE x0 0, y0 0, BV läge x'0 v 0 CosΘ, y'0 v 0 SinΘ, BV hast xt, yt, t. m 0.4, v 0 5, Θ45 First xt ct.5 ct 1, yt 1 c c ct 5 c.5 ct 10 ct.5 ct 4..5 ct 5 c 4. xt c0 c0.05 c0.1 c0. Reseberättelser. Restider och banor för olika c. Se upp med avsaknad av luftmotstånd c 0, som ger division med 0 vid direkt insättning ovan. Använd Limit som livförsäkring.

53 HH/ITE/BN Mekanik-Dynamik och Mathematica 53 FindRootLimityt. xåy, c 0, t, 3 & 0, 0.05, 0.1, 0. t , t , t , t ParametricPlotEvaluateLimitxt, yt. xåy, c & 0, 0.05, 0.1, 0., t, 0, 4, PlotRange 0, 65, 0, 0, AxesLabel "xt", "yt", PlotLegends TextStyle"c" ToString, Small & 0, 0.05, 0.1, 0. yt xt c0 c0.05 c0.1 c0. Exempel: Sankta Lucia ror över en 0 m bred, rak åföratt hämta stjärngossarna. Om vi lägger in ett koordinatsystem med x axeln längs åkanten pekande nedströms och y axeln pekande mot andra sidan, ges vattnets hastighet som 1 y0 y, 0 ms. 00 a Rita vattnets hastighetsprofil. b Lucia startar i origo och ror hela tiden rakt mot andra sidan med farten u. Härled BVP för hennes vådliga resa över ån Variera u och lös med NDSolve. Då restiden är okänd måste vi använda WhenEvent för att hålla koll på när hon angör andra sidan. Rita med ParametricPlot. Var ska stjärngossarna ställa sig och vänta? Hur varierar landstigningsplatsen och restid för lite olika u? c Gör b om hon istället hela tiden siktar mot önskepunkten 0, 0? Lösningsförslag: a) Hastighetsprofil i vattnet. ParametricPloty 0 y00, y, y, 0, 0, AspectRatio 0.5, PlotStyle Blue, AxesLabel "v", "y", Epilog Blue, TableArrow0, y, y 0 y00, y, y, 0, 0, y v b) Formulera (BVP) i x- och y-led. Här behövs lite vektoralgebra! Lös det för några olika u! Håll koll på restid och landstigningsplats. Rita slutligen buketten med banor över vattnet. banor legs ; Dobvp AppendThreadx't, y't yt 0 yt 00, 0u 0, 1, x0 y0 0; xy NDSolvebvp, WhenEventyt 0, T t; "StopIntegration", xt, yt, t, 0, First; AppendTobanor, xt, yt. xy. tτt; AppendTolegs, StyleRow"u", u, ", ", xy. t T, Small, FontFamily "Times", u, 0.1, 0.3, 0.05 ParametricPlotEvaluatebanor, Τ, 0,1, AxesLabel "x", "y", PlotLegends legs y x u0.1, x , y u0.15, x , y u0., x , y u0.5, x , y u0.3, x , y c) Ny strategi! Ytterligare lite mer pyssel med linjär algebra!