ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + Ú º º Ð ØÖÓØ Ò À ÓÐ Ò Ð ÖÒ ¾¾ Ñ Ö ¾¼¼
|
|
|
- Anton Karlsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 ÅÓÐÐÖÒ Ú ÝÒÑ Ý ØÑ ÒØ ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ ËÑÙÐ ÓÒ + Úº º Ý ØÑØÒ ÁÒ Øº º ÁÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒÚÖ ØØ + Úº º ÐØÖÓØÒ À ÓÐÒ ÐÖÒ ¾¾ ÑÖ ¾¼¼
2 ÖÓÖ ØØ ÓÑÔÒÙÑ Ö ÙØÚÐØ ÙÒÖ ¾¼¼¹¾¼¼ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ ÑØÖÐØ ØÐÐ ÙÖ Ò ÅÓÐÐÖÒ Ú ÝÒÑ Ý ØÑ ÓÑ Ô ËÌ˹ÔÖÓÖÑÑØ ÔÖÓ ¾µº Ò Ð Ð Ú ÑØÖÐØ Ö ÖØ Ô ÓÑÔÒØ ÝÒÑ Ý ØÑ ÖÚØ Ú ÈÖ ËÑÙÐ ÓÒ ¾¼¼¾º
3 ÁÒÒÐÐ ½ ÁÒÐÒÒ ¹ ÒÖ ÖÙÒÐÒ ÖÔÔ ½ ½º½ ÝÒÑ Ó ÝÒÑ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÅØÑØ ÑÓÐÐÖ ÖÒØй Ó ÖÒ ÚØÓÒÖ ¾º½ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ Ú ØÒ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ËÑÑÒØØÒÒ Ú ÐÒ ÚØÓÒÖ ÖÒÖ ÓÐ ØÝÔÖ Ú Ý ØÑ ½½ ¾º¾º½ ÃÓÒ ØØÙØÚ ÖÐØÓÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾º¾ ÆÖ ÔÖØ ÜÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º ÒÐÓÖ ÑÐÐÒ ÒÖ Ú Ý ØÑØÝÔÖÒ º º º º º º º º º ½ ¾º¾º ÆÖ Ø ÖØ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º ÆÖ ÒØÓÒÖ ÖÙÒØ ÖÔÔØ Ý ØѺ º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËØÐØØ ÖÔÔØ ÒÐÒ Ù ÓÒ º º º º º º º º º º º º ¾ Ì ÓÒØÒÙÖÐ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ ¾ º½ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÖ Ö Ø ÓÒØÒÙÖÐ Ý ØÑ º º º º º º º º ¾ º½º½ ÁÑÔÙÐ ÚÖ Ó Ø ÚÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º¾ ÈÓÐÖ ÒÓÐÐ ØÐÐÒ Ó ØÐØØ Ö Ø ÓÒØÒÙÖÐ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ º½º ËÑÒ ÑÐÐÒ ÔÓÐÐ Ó Ö ÔÓÒ Ø ÔÐÒØ º º º º º º½º ØØÖÐÖ ÒÖ ÖÒÖÐÖ Ó ÒØÓÒÖ º º º º º º º½º ÃÐ ÖÒ Ú Ý ØÑ ÙØÖÒ Ö ÔÓÒ Ø ÔÐÒØ º º º ½ º¾ ÖÚÒ ÖÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì ÖØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ ½ º½ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÖ Ö Ø ÖØ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º ¾ º½º½ ÒÚÒÒÒ Ú Ö ÙØÒÒ ÓÔÖØÓÖÒ º º º º º º º º º º º½º¾ ÃÐ ÖÒ Ú Ý ØÑ ÙØÖÒ Ö ÔÓÒ Ø ÔÐÒØ º º º º½º ÈÙÐ Ó Ø ÚÖ Ö Ø ÖØ Ý ØÑ º º º º º º º º º º½º ÈÓÐÖ ÒÓÐÐ ØÐÐÒ Ó ØÐØØ Ö Ø ÖØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ º½º ËÑÒ ÑÐÐÒ ÔÓÐÐ Ó Ö ÔÓÒ Ø ÔÐÒØ º º º º º º¾ ÖÚÒ ÖÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ØÐ ÐØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
4 ËÑÔÐÒ Ú Ø ÓÒØÒÙÖÐ ÒÐÖ º½ ËÑÔÐÒ Ú Ø ÓÒØÒÙÖÐ ÒÐÖ º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËÒÒÓÒ ÑÔÐÒ ØÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÚÒ ÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÔÖÓÜÑÖÒ Ú Ø ÓÒØÒÙÖÐ ÐÒÖ ÑÓÐÐÖ º º º º º º º ÌÐÐ ØÒ ÑÓÐÐÖ Ö ÐÒÖ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ º½ ÌÐÐ ØÒ ÑÓÐÐÖ Ö Ø ÓÒØÒÙÖÐ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º½º½ ØØ ØØ ÙÔÔ ØÐÐ ØÒ ÖÚÒÒÖ º º º º º º º º º º º ½ º½º¾ ØØ ÖÒ ØÐÐ ØÒ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ØÐÐ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ º¾ ÌÐÐ ØÒ ÖÚÒÒÖ Ö Ø ÖØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ º º º º º º º º¾º½ ÁÒÐÒ ÜÑÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÐÐÑÒ ÖÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ÖØ ÖÒ Ú Ø ÓÒØÒÙÖÐ ØÐÐ ØÒ ÑÓÐÐÖ º º º¾º Ä ÒÒ Ú ØÐÐ ØÒ ÚØÓÒÖ º º º º º º º º º º º º º º ÆÓØ ÓÑ ÓÐÒÖ Ý ØÑ º½ ÄÒÖ ÖÒ Ú ÓÐÒÖ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÓÖØÖØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÔÓÖØÖØØ Ö ÐÒÖ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º ÔÓÖØÖØØ Ö ÓÐÒÖ Ý ØÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÔÓÖØÖØØ ÒÖ ÑÚØ ÔÙÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÔÓÖØÖØØ ÐÒØ ÖÒ ÑÚØ ÔÙÒØÖ º º º º º º º º º º º ÄÝÔÙÒÓÚÙÒØÓÒÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ØÑÖÒ ÊÖÒ ÐØØÖØÙÖ
5 ÃÔØÐ ½ ÁÒÐÒÒ ¹ ÒÖ ÖÙÒÐÒ ÖÔÔ ËÝ ØÑÖÔÔØ ÒÚÒ ÒÓÑ ÑÒ ÔÐÒÖ ÒÐÙ Ú Ò ØÒ ÐÐ ÒÒ¹ Ö ÚÖ Ñغ ÇØ ÒÚÒ Ý ØÑÖÔÔØ Ö ØØ ÖÚ Ò ÖÙÔÔ Ú ÑÚÖÒ ÐÖ»ÓÑÔÓÒÒØÖ ÓÑ ÐÖ Ò ÐØ Ó ÓÑ Ô ÒÓØ ØØ ÓÖ Ø Ý Øµ Ö ÔÖÖ ÖÒ Ò ÚÖ ÚÖÐÒº ÎÐØ Ú Ý ØÑ ¹ ÖÓÖ ÐØ Ô ÚÐØ ÝØ ÑÒ Ö Ò Ú ÔÖÓÐÑ ØÐÐÒÒ ÐÖ ØÐÐ ÚÐØ Ý ØÑ ÑÒ ÚÐÖ ØØ ØÙÖº ÁÒÓÑ Ý ØÑØÒÒ Ó ÒÖÒ Ò ÔÐÒÖµ ÒÚÒ Ý ØÑÖÔ¹ ÔØ Ú ÑÒÒ Ó ÓÖØ Ý ØÑ ÒÚÒ Ö ØØ ÖÚ Ò ÚÖÒ Ð Ú ÚÖÐØÒ ÓÑ ÑÒ ÚÐÐ ØÙÖº ØØ ØÝÖ ØØ ØØ Ý ØÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ØÒ ÐÐØ ÖÒ Ò ÒÐ ÖØ Ú ÐØÖ ÓÑÔÓÒÒØÖ ØÐÐ ÚÖÐ ¹ ÓÒÓÑÒº Å Ò Ö ÒØÓÒÒ Ú Ý ØÑ Ò Ø Ñ Ø ÚÖ ÓÑÚÒÒ ÚÖ Ý ØÑ Ø Ü ÚÒØØ Ñ ÓÖÓÒ ËÚÖ ÓÒÓÑ ØØ ÖÒÖع ÚÖ ÐÐÖ Ò ÔÔÔÖ Ñ Òº ÌÝÔ ÔÖÓÐÑ ØÐÐÒÒÖ Ö Ý ØÑÖÔÔØ ÒÚÒ ØØ Ö ÒÖ ÑÒ ÚÐÐ Ö ØÐ Òº ÜÑÔÐ Ô ÚÒÐ Ö ØÐÐÒÒÖ ÀÙÖ ÙÒÖÖ Ò Ö ÐØÖ ÖØ Ò ÀÙÖ Ò ÚÖÐ ÓÒÓÑÒ ÖÚ ÇØ ÚÖ ÑÒ ØØ ÓÖ Ò Ó Ð ÒÒÒ ØÐÐ ØØ ÔÖÓÐѺ ÜÑÔÐ ÎÖÖ ØÒÒÖ ÔÔÔÖ Ñ ¹ ÒÒ ÀÙÖ Ò Ú ÑÒ ÖØ Ð ØÒ ÀÙÖ Ò Ú ÑÒÑÖ ÖÒ ØÖÒº ËÝ ØÑØ ÓÑ ØÝÔ Ø ÚÐØ ÙØÖÒ Ò ÚÒ ÔÖÓÐÑ ØÐÐÒÒµ ÒÒØÒ Ú ÓÐ Ò ÔÖ Ó ØÒÒ ÓÑ Ô ÒÓØ ØØ Ò Ö ØÖÖ Ø Ü Ñ Ò ÑØÚÖ Ò ÓÖµº Ò ÚÖÐ ÐÐÖ ÚÖÐÖµ Ý ØÑØ ÓÑ Ú ÔÖ¹ ÑÖØ ÚÐÐ ØÙÖ Ó Ô ÒÓØ ØØ Ò Ñص ÐÐ Ö ÙØ Òк ÇÑ ÑÒ Ú Ò ÜØÖÒ ÚÖÐ ÐÐÖ Öµ Ò ÔÚÖ Ý ØÑØ ÙÔÔÖÒ Ó ÖÑ ÙØ ÒÐÒ ÚÖ ÖÙÖ ÒÒ ÚÖÐ ÐÐ Ö Ò ÒÐ ÐÐÖ ØÝÖ Òеº Ëݹ ØÑØ ØÒ Ò Ó ÓØ ÖÓ Ú ÝØØÖ ÚÖÐÖ ÓÑ ÒØ Ö ØØ ÔÚÖº ½
6 ËÒ ÚÖÐÖ ÖÙÖ ÓØ ÐÐ ØÖ ÒÐÖ ÐÐÖ ÓÖØ Ó ÓØØ ØÖÒÒÖº Á ÙÖ ½º½ Ú Ò ÑØ Ð Ú ØØ Ý ØѺ Ø ÒÒ ÒØ ÓÑ ÒÖÖ ØØ Ý ØÑØ ÐÒ Ö ÙÔÔÝØ Ú ÑÚÖÒ Ð Ý ØѺ ÆÓØÖ ØØ Ý ØÑØ ØÐÒÚ Ú Ý ØÑ ÖÚÒÒ Ó ÚÐØ Ú Ý ØÑÖÒ Ò Ú Ú ÓÑ ÒÐÙÖ Ö ÔØÚ ÜÐÙÖ ÖÚÒÒÒ ÚÖ Ú ÝØØ ÚÐ ÖÓÖ ÚÐÐ Ú ÚÖµ Ñ ØÙÒº ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ Ú(Ø) Ù(Ø) Ë Ý(Ø) ÙÖ ½º½ ËÑØ Ð Ú ØØ Ý ØÑ Ë Ñ Ò ÒÐ Ù(Ø) ØÖ ÒÐ Ú(Ø) Ó ÙØ ÒÐ Ý(Ø)º ÖÙÑÒØØ Ø ÒÖ ØØ ÚÖÐÖÒ ÒØ ÚÖÖ Ñ ØÒº ØØ ÚÒÐØ ÖÖÒ ÒÖ ÑÒ ÐÐ ÙÒÖ ØØ Ý ØÑ ØÒ Ö ØØ ÒÚÒ ÒÓÒ ÓÖÑ Ú ÑÓÐÐ Ú Ý ØÑغ Ò ÑÓÐÐ Ö ÒÓÒ ÓÖÑ Ú ¹ ÖÚÒÒ Ú Ý ØÑغ ÅÓÐÐÖ Ò ÚÖ Ú ÓÐ Ð ÑÒ ÒÖ Ú ÒÚÒÖ ÓÖØ ÑÓÐÐ ÒÒ ØÜØ Ú ÐÐØ Ò ÑØÑØ ÖÚÒÒ Ú Ý ØÑغ ÅÓÐÐÒ Ò ÓØ ÒÚÒ ØÐÐØ Ö ØØ Ö ÜÔÖÑÒØ Ô Ø ÚÖÐ Ý ØÑص Ö ØØ ÙÒ ÔÒ ÓÑ Ý ØÑغ ÅØÑØ ÑÓÐÐÖ Ò ÓÐ Ò ÔÖ Ó Ø ÖÑ Ô ÓÐ ØØ Ø Ü ÒÓÑ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ ÃÔØÐ ¾µ ÐÐÖ ÖØ ÖÒ ÙÔÔÑØØ Ø ÖÒ Ý ØÑغ Ø ÒÒ ÑÒ Ð ØÐÐ ØØ Ø ÖÑ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖ Ö ØØ ÖÚ Ó ÒÐÝ Ö ÓÐ ÖØÐ Ö Ú ØØ Ý ØѺ Ò ÑÓÐÐ Ò Ø Ü ÒÚÒ Ö ØØ ÒÐÝØ Ø Ø ÖÑ ÓÐ Ò ÔÖ Ó Ý ØÑغ ØØ Ö Ó Ö ÓÑ ÑÓÐÐÒ Ö ØÐÐÖÐØ Òк ÇØ Ö ÑÒ ÒÚ ØÐÐ ØØ ÑÙ¹ ÐÖ ÑÓÐÐÒ Ò ØÓÖº ÖÐÒ Ñ ØØ ÑÙÐÖ Ò ÑÓÐÐ ÑÖØ Ñ ØØ ÒÓÑÖ ØØ ÖØØ ÜÔÖÑÒØ Ô Ý ØÑØ Ö Öº Ø Ò ÓØ ÚÖ ÝÖØ Ø Ò Ó ÖÐØ ØØ ÒÓÑÖ ØØ ÜÔÖÑÒØ Ò ÑÒ ÑÑ ÒÓÖÑØÓÒ ÒÓÑ Ò ÑÙÐÖÒ Ò ÑÝØ ÚÖ ÚÙÒÒغ ÅÓÐÐÖÒ Ó ¹ ÑÙÐÖÒ ÒÚÒ ÖÖ ÒÓÑ ÔÖØ Ø ØØ ÐÐ ÓÑÖÒº ÆÖ Ò ÑÓÐÐ ÒÚÒ Ö ØØ ÑÙÐÖ Ò Ð ÑÐ ØÐÖ ÑÒ ÓØ ÓÑ ÑÙÐØÓÖÖ ÐÐÖ ÚØÖÙÐÐ ÚÖÐغ Ì Ü ÒÒ ÑÙÐØÓÖÖ Ö Ý¹ й Ó ÖÒÖØØÐÐÑÔÒÒÖº Ø Ö Ó ÚØØ ØØ ÓÑÑ ØØ Ò ÑÙÐÖÒ ÐÐØ ÝÖ Ô Ò ÑÓÐÐ ÓÑ Ö Ò ÓÑ Øµ ÖÚ Ò ÖÒ Ð Ú ÚÖÐØÒº Ò ÙÚÙÙÔÔØ ÐÐØ Ð ÑÓÐÐÝ Ö ØØ Ø ÖÑ ØÐÐÖÐØлØÖÓÚÖ ÑÓ¹ ÐÐÖº ÐÐ ÑÓÐÐÖ Ö ØØ ÖÒ Ø ÐØÐØ ÓÑÖ Ø Ü ÆÛØÓÒ ÑÒ ÐÐÖ Ö ØØÖ ÓÑ Ö Ú ÒØÐØ ÑÒÖ Ò ÐÙ ØØÒµº ÒÚÒ ÑÓ¹ ¾
7 ÐÐÒ ÙØÒÖ ØØ ÐØÐØ ÓÑÖ Ö Ø ÒØ ØØ ÐØ Ô Ö ÙÐØØغ Î ÚÐÐ Ö Ô Ô ØØ ØÖ ÔÖÓ ÓÖ ÑÖØÙ ÓÖ ÓÜ ÒØÐÐÝ ÐÐ ÑÓÐ Ö ÛÖÓÒ ÙØ ÓÑ Ö Ù Ùк ÁÒÓÑ Ý ØÑØÒ»Á̹ÓÑÖØ ÒÚÒ ÑÓÐÐÖ ÖÙØÓÑ Ö ÓÐ ÑÙй ÖÒ ØÙÖµ Ø Ü Ö ÊÐÖØÒ Ò Ö ØØ Ô ØØ ÚØ ØØ ÙÒÒ ØÝÖ ÓÐ ÔÖÓ Ö ÚÐ Ò Ö Ò ÒÐ Ùµ ÖÚ Ö ÑÒ ÔÖÓÐÑ ØÐÐÒÒÖ ØØ ÑÒ Ö Ò Ó ÑØÑØ ÑÓÐк ÁÒÓÖÑØÓÒ ÙØÚÒÒÒ Ø ÑÒÒµ Ö ØØ ÙÒÒ ÒÐÝ Ö Ó ØÓÐ ØÓÖ ÓÑÔÐÜ ØÑÒÖ ¹ Ú ÑÓÐÐÖ ÓÑ ÐÖÖ ØÐÐ Ø ÓÑ ØÙÖ µº ÅÓÐÐ Ö ÓÒ Ó ÐØØÖÒ ÖÐÝ ÛÖÒÒ Ý Øѵ Ö ØØ ØØ ÙÒÒ ÙÔÔØ ØØ Ð ØØ Ý ØÑ Ò ÑÒ ÑÖ ÑÓ¹ ÐÐÒ ÙØ ÒÐ Ñ Ø ÚÖÐ Ý ØÑØ ÙØ Òк ÇÑ ÒÐÖÒ ÔÐØ ÐØ ÐÖ Ø Ò ØØ ÖÓ Ô ØØ Ð Ý ØÑغ ÅÓÐй Ö ÐØØÖÒ ÐÖ ÐÐØ ÚÒÐÖ ÑÒ ØÒ Ý ØÑ Ø Ü ÑÓÖÒ ÐÖº ËÒÐÒÐÒ ÇØ ÒÒÐÐÖ Ò ÒÐ ÒØ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ÙØÒ Ó ÓÐ ØÝÔÖ Ú ÓÒ ØÖÒÒÖ Ó ÖÙ º Ö ØØ Ö ÓÑ ÑÐØ ÙÒÒ ÔÖÖ ÙØ ÒÓÖÑØÓÒÒ ÖÒ Ò ÖÙ ÒÐ Ú ÓØ Ò ÑÓÐÐ Ú ÒÐÒ Ó ØÖÒÒÖÒº ÅÓÐÐÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ò ÐÓÖØÑÖ ØÐ ÐØÖµ ÓÑ Ò Ø ÖÑ ÒÓÖÑØÓÒÒ ÒÐÒº ÈÖØÓÒÖ»ÈÖÓÒÓ Ö Ö ØØ ÙÒÒ Ö ÖÙØ Ð Ö Ú ØØ Ò ÒÚÒ ÒÓÖÑÐØ Ò ÑÓÐк ÌÒÒ ÒÚÒ ÒÓÑ ÑÒ ÓÑÖÒ Ø Ü Ö ÚÖÔÖÓ¹ ÒÓ Ò Ö ÙÐØØÒ Ú Ò ÑÓÐÐ ÓÑ ÐÖÖØ Ú ÚÖغ ½º½ ÝÒÑ Ó ÝÒÑ Ý ØÑ ÇÖØ ÝÒÑ Ö ØÑÑÖ ÖÒ Ø Ö ÓÖØ Ö Öغ Ò ÙÖ ÔÖÙÒй ÒØÙÖÚØÒ ÔÐ ØÝÐ Ò Ú ÓÖØ Ö ÐÖÒ ÓÑ ÖÓÔÔÖ ÚØ ÓÖ Ó Ö ÖÖÐ º Ò ÚÖÐ ØÝÐ Ò Ú ÓÖØ Ö ØØ ÒÓØ ÓÑ Ö ÝÒ¹ Ñ Ø Ö ÖÖÐØ Ó ÖÒÖÐØ ÑÓØ Ø ØÐÐ ÒÓØ ØØ Ø ÓÑ Ù Ö ØÐØ Ó
8 ÓÖÖÐغ ÁÒÓÑ Ý ØÑØÒÒ Ö ÖÔÔÒ ØØ Ø ÓÒØÖ ÝÒÑ Ø ØØ Ò ÒÖÐÐÖ ÖÒØ ÑØÑØ ÒÒÖ ËØØ Ý ØÑ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ý ØÑ Ñ Ò ÒÐ Ù(Ø) ØÖ ÒÐ Ú(Ø) ÑØ Ò Ö ÙÐع ÖÒ ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø)º Ö ØØ ØØ Ø Ý ØÑ ÐÐÖ ØØ Ý(Ø) = (Ù(Ø) Ú(Ø)) Ö ( ) Ö ÒÓÒ ÓØÝÐ ÐÒÖ ÐÐÖ ÓÐÒÖ ÙÒØÓÒº ØØ ØØ Ø Ý ØÑ ÒÒØÒ ÐÐØ Ú ØØ ÙØ ÒÐÒ Ý Ú Ò ØÔÙÒØ Ø Ò Ø Ö ÖÓÒ Ú Ò ÒÐ Ó ØÖÒÒ Ú ÑÑ ØÔÙÒغ ØØ ÜÑÔÐ Ô ØØ ØØ Ø ÑÒ Ö ÇÑ Ð Ù(Ø) = Ê(Ø)º ÀÖ ÖÐØÖ Ú ØØ ÓÒ ØÒØ ÐØÖ Ø ÑÓØ ØÒ Ö ØÒ µ Ê ÔÒÒÒÒ ½ Ù ÚÖ ÑÓØ ØÒØ Ú ØÒ Ø ØÐÐ ØÖÑÑÒ ÒÓÑ ÑÓØ ØÒØ Ú ÑÑ ØÔÙÒغ ÝÒÑ Ý ØÑ ÒÒ ØÝÔ Ú Ý ØÑ ÒÒØÒ Ú Ò ÒÖ ØÖØ Ø ÚÐÐ Ò ÒÙÚ¹ ÖÒ ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø) ÖÓÖ ÒØ ÒÖØ Ú Ò ÒÐÒ Ú ØÒ Ø ÙØÒ ÚÒ Ô ØÖ ÚÖÒ Ô Ò ÒÐ Ù Ó ØÖ ÒÐ Úº ÊÒØ ÔÖØ Ø ÙÔÔ ØÖ ÓØ ÒÒ ÒÖ ØÖØ Ô ÖÙÒ Ú ÒÖÙÔÔÐÖÒ Ó ØÖÒ ÔÓÖØÖÖÒÒÖº ØØ ÔÖ ÚÖÐ ÜÑÔÐ Ú ÝÒÑ ØØ ÓÖÓÒ ØØ ÒÖ ÒØ ÑÓÑÒØÒØ ÑÒ ØÖÝÖ Ô ÔÐÒ Ò ÒÐÒ Ö ÙÓÑ Ö ÚÒÒÖ ÒØ ÖØ ÑÒ ØÖ ÑÒ Ø ÐÖ ÒØ ÚÖÑØ ÚØØÒØ Ò ÓÖØ Ø ÐÖ ÚÖÑØ ÙØÓÑÙ º ÅØÑØ Ø Ò ÝÒÑ ÒÓÑÒ ÖÚ ÒÐØ Ý(Ø) = (Ù() Ú() Ø) ÚÐØ Ú Ö ØØ ÚÖØ Ô ÙØ ÒÐÒ Ú ØÒ Ø ÖÓÖ Ú Ò ÒÐÒ Ó ØÖÒÒ¹ ÖÒ Ú ÐÐ ØÖ ØÔÙÒØÖº ÝÒÑ Ý ØÑ Ò ÑÒ ÓØ ÖÚ ÑÓÐÐÖ µ Ñ ÐÔ Ú ÖÒØй ÐÐÖ ÖÒ ÚØÓÒÖº Á ÙØØÖÝØ ÓÚÒ ÒÖ Ò Ø ØÒ ÓÑ ÓÖÓÒ ÚÖк ÖÒØÐ ¹ ÚØÓÒÖ ÓÑ Ö ÖÓÖ Ú Ò ÓÖÓÒ ÚÖÐ ÐÐ ÓÖÒÖ ÖÒØÐÚ¹ ØÓÒÖ Çµº Ò ÙØÚÒÒ Ö ØØ ØÐÐØ Ö ÓÖÓÒ ÚÖÐÖ ØÝÔ Ø Ø ¹ Ó ÖÙÑ ÚÖÐÖº Î Ö Ò ÖÒØÐÚØÓÒ ÓÑ ÒÒÐÐÖ ÔÖØÐÐ ÖÚØÓÖ Ñ Ú Ò Ô Ø Ó ÖÙѺ ÒÒ ØÝÔ Ú ÖÒØÐÚØÓÖ ÐÐ ÔÖØÐÐ ÖÒØÐÚØÓÒÖ Èµº ÌÝÔ ÜÑÔÐ ÒÖ È ÒÚÒ Ö Ö ØØ ÖÚ ÚÖÑ ÔÖÒÒ ØØ ÑÙÑ ÚÖÑÐÒÒ ÚØÓÒÒµ ÐÐÖ ½ ÆÓØÖ ØØ Ú Ö ÒÚÒÖ ÚÖÐÒÑÒØ Ù Ö ØØ ØÒ Ò ÙØ Òк ÇÖ Ò Ö ØØ Ù Ö ØÒÖØÒÒ Ö ÔÒÒÒº
9 ØÒØ Ó ÓÐ ÚÓÖ Ø Ü ÐÙ ÚÓÖ ÐÙÚÓÖ Ó ÚØØÒÚÓØ ÚÚ¹ ØÓÒÒµº Î ÓÑÑÖ ØØ ÓÑÔÒÙÑ Ò Ø Ø ÙÔÔ ÑÓÐÐÖ Ö Ô Ç Ó ÖÒ ÚØÓÒÖº Ø Ö ØÐÐ ØØ Ø ÚÖÐ Ý ØÑ ØÐÐ Ò ÒØÙÖ Ö ÝÒÑ ØØ ÐÐÖ ÚÐ ØÒ Ó ÒØÙÖÚØÒ ÔÐ ÓÑ ÑÓÖ ÓÐÓ Ó ÓÒÓÑ Ý ØѺ ÎÖÐØÒ Ö ÝÒÑ
10
11 ÃÔØÐ ¾ ÅØÑØ ÑÓÐÐÖ ÖÒØй Ó ÖÒ ÚØÓÒÖ ¾º½ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ Ú ØÒ Ý ØÑ ØØ Ú ÒØØ ÝØÖ ØÐÐ ØØ Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ ÑØ ØØ ÒØÖÓÙÖ ÒÖ ÒÐ ÜÑÔÐ Ô ÚÖÐ Ý ØÑ ÓÑ Ò ÖÚ Ñ ÖÒØй Ó ÖÒ ÚØÓÒÖº Î ØÓÒÖ ØØ Ø ÚØ ÒØ Ö ØØ Ð¹ Ö ÓÐ Ý ØÑ ÙØÒØÐÐ ÐÐÖ ØØ Ö Ø ÚÖ ÐØÒ Ð Ú Ý ØÑÒ ØÐ ÙØÒ ÒÖÖ ØØ ØÐÐÒ ØØ ØØ ØØ ØÒ Ó Ò Ö ØÐ Ö ÙÖ ÓÐ ÑÓÐÐÖ ÓÑÑÖ ØÐк ØÖ ÓÑ Ý ØÑØÒÒ ÑØÓÖ Ö ÒÖÐÐ Ö Ø ÚØ ÙÖ ÑÒ ÒÐÖ Ò ÒØÐ ÖÒØлÖÒ ÚØÓÒ ÒØ ÚÐ ØÓÖØÖ ÓÑ ÒÖ ÚØÓÒÒº Á ÒÖ ÐÖ Ú ÙÖ Ò ÓÑÑÖ Ú ÓØ ØØ ÙØ ÖÒ Ò ÚÒ ÑÓÐк Ö ØØ ÙÒÒ ÖÚ Ó ÒÐÝ Ö ÓÐ ÝÒÑ Ý ØÑ ÙÔÔÖÒ ÖÚ ÓØ Ò ÑØÑØ ÑÓÐк ØØ ØØ ØØ ÖÑ ÝÒÑ ÑÓÐÐÖ Ö ÓÑ ØÖ Ø ØØ ØÐÐ ÙÔÔ ÖÒØй ÐÐÖ ÖÒ ÚØÓÒÖ Ö Ø ¹ ØÙÐÐ Ý ØÑØ ÙØÒ ÖÒ Ò Ý Ð ÑÒº ÚÒ Ö ØÒ Ý ØÑ Ò ÓØ ÒÐ ÒØÙÖÐÖ ÒÚÒ Ö ØØ ÓÖÑÙÐÖ Ò ÑÓÐк ÅÒ Ö ØÒ ØØ ÒØÙÖÐÖ ÑÒ ÒÚÒÖ ÐÐØ ÝÖ Ô ÖÐÐÒÚ ÒÐ ÑÒ Ö ÖÒÐÒ ÒØÒÒ ÓÖØ º Ö ÑÖ ÓÑÔÐÖ Ý ØÑ Ò ÖÖ ÑÓÐÐÒ ÐÐØ Ò ÚÖ Ò ÖÓÔÔÒÒ Ú ØÐÐÖÐØ Ó ÔÔÖÓܹ ÑØÓÒ Ú ÚÖÐØÒº ÓÖØ ØØÒÒ Ú ÐÐ Ú ØÙÖ ÖÙÒÖÒ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ Ó ÐÐÙ ØÖÖ Ñ ØØ ÒØÐ ÜÑÔÐ ØÒ ÖÒ ÓÐ ÓÑÖÒº ÅÒ Ò ÒÖÐÐØ ØØ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ ÒÓÑ Ò Ð ÒØÙÖ¹ ÚØÒ ÔÒ ÖÙÒÖ Ô ÓÖ ØÖÖ ÚÒØØØÖÒ Ñ Ó ÒÖº Ö Ñ ÐÐÖ ØØ Å Ò ÒØ Ö ØÖ Ó ÖÖ Ö Ò ØÓØÐ Ñ Ò ÓÖÒÖº Å Ò ÚÖ ÓÐ ÓÖÑÖ ÖÒ Ø Ü ÚØ ØÐÐ Ò Ó ÖÒ Ò
12 Ñ ÓÑÔÓÒÒØ ØÐÐ Ò ÒÒÒº È ÑÑ ØØ ÐÐÖ Ö ÒÖ ÒÖ Ò ÒØ Ö ØÖ Ó ÖÖ Ö Ò ØÓØÐ ÒÖÒ ÓÖÒÖº ÒÖ Ò ÚÖ ÓÐ ÓÖÑÖ Ø Ü ÖÒ ÑÒ ÒÖ ØÐÐ ÚÖÑÒÖº ÖÙÒÐÒ Ò ÔÖ Ó ØÓÖØÖÒ Ñ Ó ÒÖ Ö ÙÔÔÓÚ ØÐÐ ÐÐ ÐÒ ÚØÓÒÖº ÁÒÓÑ Ò ÚÖÒ Ð Ú ÚÖй ØÒ ÓÑ Ý ØÑØ ÙØÖ Ö Ò ÔÖ ØØ Ò ÐÒ Ñ Ø Öº Ø ÒÒÖ ØØ ÙÑÑÒ Ú Ò Ñ ÐÐÖ ÒÖ ÓÑ Ö Ò ØØ Ý ØÑ ÔÖ Ø ÒØ Ó Ò Ñ ÐÐÖ ÒÖ ÓÑ ÔÖÓÙÖ Ý ØÑØ ÚÖ Ø ÒØ Ñ Ø ÚÖ Ð Ñ ÙÑÑÒ Ú Ò Ñ ÐÐÖ ÒÖ ÓÑ Ö ÙØ ÚÖ Ø ¹ ÒØ Ó Ò Ñ ÐÐÖ ÒÖ ÓÑ ÓÑ ÙÑÙÐÖ Ý ØÑØ ÔÖ Ø Òغ Î Ò ÙØØÖÝ ØØ Ñ Ò ÓÖÑÐ ÓÑ ÁÒ ÈÖÓÙØÓÒ ÍØ ÙÑÙÐØÓÒ ËÓÑ ÒÐÒÒ Ò Ú ØÖØ ÐÒ ÔÖÒÔÐÐ ÑÓÐÐÖÒ ÜÑÔк Á Ù Ø ØØ ÜÑÔÐ ÙØÐÑÒÖ Ú Ö ÒÐØ ÙÐÐ Ø ÒÜØ Ø ÑÒ Ú Ò ØÐÐ Ò ÖÒ ØÒ Ó ØØ ÐÐ ÚÖÐÖ ÙÖ ¾º½ Ö Ø ÚÖÐ ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ ÜÑÔÐ ¾º½º Î ØÒÖ Ó ØØ Ú Ö Ò ØÓØÐÓÑÐÒ ØÒ Ñ ÚØ ÙÖ ¾º½º É Ò Ò Ì Ò Ì Î É ÙØ Ì ÙÖ ¾º½ ËÑØ Ð Ú Ò ØÓØÐÓÑÐÒ ØÒº ÒØÒØ ÓÑ ØÓØÐÓÑÐÒÒÒ ÒÒÖ ØØ Ú Ò ÒØ ØØ ÓÒÒØÖØÓ¹ ÒÒ Ú ÓÐ ÑÒÒ ÑØ ÚØ Ò Ò ØØ Ö Ò ÑÑ Ð ØÒÒ Ó ÙØغ ÁÒ ØÐÐ ØÒÒ Ö Ò ÚØ Ñ ØØÒ É Ò Ñ 3» º ÍØØ Ú ÚØ Ö É ÙØ Ñ 3» º Î ÒØÖ Ö ÒÐØ ÙÐÐ ØØ ÚØ Ò Ò ØØ Ö ÓÒ ØÒØ»Ñ 3 Ò Ó ØÒ Ó ÖÑ Ó ÙØØ Ô ÖÙÒ Ú ØÓØÐÓÑÐÒÒÒÒº Ò ÒÒ ÚØ Ò Ö Ò Ú ØÑÔÖØÙÖ Ì Ò Ã º Á ÒØ ÒÒ Ó ØØ ÑÒ Ð Ø ÚØ Ò Ñ ÓÒÒØÖØÓÒÒ Ò»Ñ 3 º Á ÐÚ ØÒÒ Ö Ò ÖØÓÒ ØØ ÐÐ ÜÓØÖѵ ØØ Ö ÒØÖ Ú ÑÒØ
13 Ð ÙÒÖ ÚÖÑÙØÚÐÒº ÃÓÒÒØÖØÓÒÒ Ú ÑÒØ ØÒÒ ØÒ»Ñ 3 º ÎÖÑÙØÚÐÒÒ Ú ÖØÓÒÒ ÖÖ ØÐÐ ØØ ÚÖÑ ÙÔÔ ÚØ Ò ØÒÒ ÓÑ ÖÚ Ö ØÑÔÖØÙÖÒ Ì Ã º ÎÖ Ö ÚØ ÚÓÐÝÑÒ ØÒÒ Î Ñ 3 º ÍØÒ ÖÒ ÒÒÓÑÒ ÓÑ ÚÖÐÖÒ ÓÚÒ Ò ÑÒ Ö ÚØ Ò ØÒÒ ØÐÐ ÙÔÔ ÐÒ ÔÖÒÔÐÐ ÐÒ ÚØÓÒÖ ÌÓØÐ Ñ ÖÒÖÒ ÔÖ Ø ÒØ Ö ÚØ Ò ØÒÒ» ÒÒ Ñ ¼ ÔÖÓÙÖ Ñ µ ÙØÒ Ñ Ñ ÖÒÖÒ ØÒÒ ËÑØÐ ÚÖÐÖ ÙØØÖÝØ ÓÚÒ Ö ÖÒ ÔÖ Ø Òغ Ö ØØ ÖØÝÐ ÐÐ Ú Ö ÑØÑØ Ø ÒÖ ÓÐ ØÖÑÖÒ ÙØØÖÝغ Ò Ñ ÓÑ Ö Ò Ý ØÑØ ÚÖ ÙÒ Ñ Ø ÚÖ Ð Ñ ÚØ Ò Ñ ÔÖ ÚÓÐÝѹ ÒØ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ Ò ÚÓÐÝÑ ÚØ ÓÑ Ö Ò ÚÖ ÙÒ Ø ÚÐÐ Ò ØØÒ ÑÙÐØÔÐÖ Ñ Ø É Ò º ËÑÑ Ö ÓÒÑÒ Ö ÙØØ Ú Ñ ÐÖ ØÐÐ ØØ Ò Ñ ÓÑ Ö ÙØ ÚÖ Ø ÒØ Ñ Ø ÚÖ É ÙØ º ÇÑ Ú ØØÖ ÚØ Ò ØÒÒ ØÓØÐ Ñ ØÐÐ Ñ Ò Ú ÖÚ Ñ ÖÒ¹ ÖÒÒ ØÒÒ ÓÑ Ñ º Î ÚØ ÚÖ ØØ Ò ØÓØÐ Ñ Ò ØÒÒ Ñ Ö Ø ÚØ Ò Ò ØØ ÑÙÐØÔÐÖ Ñ ØÓØÐ ÚÓÐÝÑ Ø ÚÐÐ Ñ = Î º Î Ò ÐÐØ ÖÚ Ñ = (Î ) º ÖÑ Ö Ú ØØ ÖÑ Ò ÖÒØÐÚØÓÒ Ø Ø ÓÑ ÖÚÖ ØÓØÐ Ñ ÖÒÖÒÒ ØÒÒ ÔÖ Ø ÒØ ÒÑÐÒ (Î ) Ø = É Ò É ÙØ ÍÒÖ ÒØÒØ ØØ ÚØ Ò Ò ØØ Ö ÓÒ ØÒØ ÐÙØÐÒ ÙØØÖÝØ Î Ø = É Ò É ÙØ ¾º½µ Î ÓÖØ ØØÖ ÜÑÔÐØ Ñ ØØ ØÙÖ ÙÖ Ñ Ò Ó ÓÒÒØÖØÓÒÒ Ú ÑÒØ ÖÒÖ ÔÖ Ø ÒØ ØÒÒº ÆØÙÖÐØÚ Ò ÒØ ÒØÖ Ú Ñ¹ ÒØ Ð ÙÖ ØÓÑÑ ÒØØ ÑÒ Ú ÒØÖ ØØ Ò ÖØÓÒ Ô ÒÓØ ØØ Ö ÒØÖØ Ø Ü ÒÓÑ ØÐÐ Ø Ú ÒÓØ ÑÒ ÐÐÖ ÒÓÑ ØØ ÙØÝØ Ñ Ø¹ ÑÓ ÖÒ Å ÖÒÖÒ ÔÖ Ø ÒØ Ö ÑÒØ ØÒÒ» ÒÒ Ñ Ú ÑÒØ Ñ Ú ÑÒØ ÓÑ Ð ÖØÓÒÒ ÙØÒ Ñ Ú ÑÒØ Ñ ÖÒÖÒ Ú ÑÒØ ØÒÒ
14 ÈÖ ÓÑ ÐÐØ Ñ Ò ØÓØÐ Ñ Ò ÖÒ ÐÐØ ÐÐ ÚÖÐÖ ÓÚÒ ÔÖ Ø Òغ Å Ò Ú ÑÒØ ÓÑ Ö Ò ØÒÒ ÔÖ Ø ÒØ Ñ Ø ÒÙ ÚÖ Ð Ñ ÓÒÒØÖØÓÒÒ Ú ÑÒØ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ Ø Ø ÚÐÐ Ò É Ò º È ÑÑ ØØ Ò ÙØÒ Ñ Ò Ú ÑÒØ ÔÖ Ø ÒØ Ú É ÙØ º Ö ÒÐØ ÙÐÐ ÒØÖ Ú ØØ Ò ÒÑÒ ÖØÓÒÒ Ö Ö ÒØÖ Ú ÑÒØ Ð Ö Ñ Ò ÖØÓÒ ØØ ÖÎ Ø ÚÐÐ Öλ Ð Ú ÑÒØ ØÒÒº Ò ØÓØÐ Ñ Ò Ú ÑÒØ ØÒÒ Ò ÖÚ ÓÑ Î Ó Ú ÖÐÐÖ ÖÖ ØØ Ñ ÖÒÖÒÒ Ú ÑÒØ ÔÖ Ø ÒØ ØÒÒ ÑÖ ÐÐØ Ñ Ò ØÓØÐ Ñ Òµº ÍØÖÒ ØØ Ò ÝØØÖÐÖ Ò ÒÐ ÖÒØÐÚØÓÒ ÓÖÑÙÐÖ (Î ) = É Ò Ò É ÙØ + ÖÎ Ø ÇØ Ò ÑÒ ÒØ ØØ ÚØ ÚÓÐÝÑÒ ØÒÒ Ö ÓÒ ØÒØ ÚÐØ ÑÖ ØØ É Ò = É ÙØ = ɺ ÐÐÖ ØØ (Î ) = Î Ó ÚØÓÒÒ ÓÚÒ Ò ÖÚ ÓÑ Ø Ø ÓÑ Ø = Ö + É Î ( Ò ) ¾º¾µ Ö Ò Ö Ø ÓÖÒÒÒ Ñ ÖØÓÒ ÐÐÖ ÚÖ ØØ Ö = Ö Ö ÒÓÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐØØ ÓÒ ØÒØ Ó ÑÒ Ö Ö (Î ) Ø Ø = + É Î ( Ò ) ¾º µ ËÐÙØÐÒ ÐÐ Ú Ó ØÐÐ ÙÔÔ ØØ ÙØØÖÝ ÓÑ ÖÚÖ ØÑÔÖØÙÖÒ ÝÒÑ ØÒÒ ÖÒÖÒ Ú ÚÖÑÒÖ ÔÖ Ø ÒØ ØÒÒ Â» ÚÖÑÒÖ Ó ÒÒ ÚØ ÚÖÑÒÖ ÓÑ ÖÖ ÖØÓÒÒ ÚÖÑÒÖ Ó ÙØÒ ÚØ ÚÖÑÒÖ ÓÑ ÙÑÙÐÖ ØÒÒ ÚÒ Ö ÖÒ ÚÖÐÖÒ ÔÖ Ø Òغ Î Ö ÒØ ÒÓÑ ÓРѹ ÒÒ ØÐ ØØ ÐÐ ÙØÒ ÒÖ Ó Ñ ØØ ÓÒ ØØÖ ØØ ÑÒ ÙØÖÒ ÐÒ ÚØÓÒÒ ÓÚÒ ÒÐØ Ò ÖÑ Ò ÖÒØÐÚØÓÒ ÓÑ ÖÚÖ ØÑÔÖØÙÖÖÒÖÒÒ ØÒÒ ÔÖ Ø Òغ ÆØÙÖÐØÚ ÖÓÖ ÚÖÑÒÖ¹ Ò ÒÓÑÑÒ ÚØ Ô ØÑÔÖØÙÖÒ Ó Ò ÑÑ Ì Ò º ÄÐ ÖÓÖ ÚÖÑÒÖÒ ÙØÒ ÚØ Ô Ò ØÙÐÐ ØÑÔÖØÙÖÒ Ì Ó Ò ÚÖ¹ ÑÒÖ ÓÑ ÖÖ ÖØÓÒÒ ÖÓÖ Ú Öº Ò ÚÖÑÒÖ ÓÑ ÙÑÙÐÖ ØÒÒ ÖÓÖ ÖØ Ú ØÑÔÖØÙÖÖÒÖÒÒ ØÒÒ Ó ÑÒ Ò Ö ØØ ÑÒØ ÐÖ ÚÐØ ÐØ Ñ ÐÒ ÚØÓÒÖÒº ÅÒ Ò ÖÚ Ø ÐÙØÐ ÑÒØ ÓÑ Ì Ø = 1Ö + É Î (Ì Ò Ì ) ½¼
15 Ö 1 Ö ÒÓÒ ÓÒ ØÒغ ¾º¾ ËÑÑÒØØÒÒ Ú ÐÒ ÚØÓÒÖ Ö ÒÖ ÓÐ ØÝÔÖ Ú Ý ØÑ Î ÔÖØ Ø ÖØ Ñ ØØ Ø ÖÑ Ý Ð ÑÓÐÐÖ Ò Ø ÓØ ÚÖ ÚÖØ ØØ ÙØ ÖØ ÖÒ ÔÖÒÔÖÒ ÓÑ Ñ Ò Ó ÒÖÒ ÓÖ ØÖÖØ ÓÑ ÖÖ Ú ÒØØغ ÆÒ ÓÑÔÐØØÖÖ Ú ÖÖ Ñ ÒÖ ÝØØÖÐÖ Ô¹ ÐÐÐ ÒÚÒÖ Ö ÒÖ ÓÐ Ý ØÑØÝÔÖ ÑØ ÑÑÒØØÖ Ø ÓÑ ÖÒ Ø º ËÑØÐ ÚØÓÒÖ Ö ÖÐÖ ÖÒ ÖÙÒÔÖÒÔÖÒº Î ÚÖÖ ÖÒ Ó Ñ ÒÙ ÐÚ ØÐÐ Ò ÑÖ ÒÓØØÓÒ Ú ÐÐÖ Ø ¹ ÖÚØÓÖ ÒÑÐÒ = Ö Ö ÒÓÒ Ø ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒº Ç ÖÚÖ ØØ Ø ÐÒ ÚØÓÒÖ ÐÐØ ÖÐØÖÖ ØÓÖØÖ Ý Ð ÚÖÐÖµ Ú ÑÑ Ðº ÎÒ ØÖ Ó ÖÐ ÚØÓÒÖÒ Ñ Ø ÖÖ ÑÑ ÑÒ ÓÒ Ø ÚÐÐ ÑÑ Òغ ÐØÖ ÖØ Ö Ö ØØ ØÖÑ Ò ÐØÖ ÖØ ÐÐÖ ÃÖÓ Ö Ø Ðµ ËÙÑÑ ØÖÑ Ò ØÐÐ ÒÙØÔÙÒØ = ËÙÑÑ ØÖÑ ÙØ ÖÒ ÒÙØÔÙÒØ ËÔÒÒÒ ÐÒ Ò ÐØÖ ÖØ ÃÖÓ ÒÖ Ðµ Î ¾ºµ ËÙÑÑ ÔÒÒÒ ÖÙÒØ ÖØ Ò = 0 ¾ºµ ÅÒ Ý ØÑ ÃÖØÐÒ ÆÛØÓÒ Ð Ö ØÖÒ ÐØÖÒ Ý Øѵ Ñ» 2 ¾ ÒÖÒ Ú ÖÚÒ ÖÖÐ ÑÒ = ÖØÖ ÔÖ Ø ÒØ Ð ØÒ ÖØÖ ¾ºµ Ö ÖÖÐ ÑÒ ÒÖ ÓÑ ØØ ÖÑÐ Ñ Ñ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ ØØ Ú Ø ÚÐÐ ÑÚº ÖÒÖÒÒ ÖÖÐ ÑÒ ÔÖ Ø Ò¹ Ø ÐÖ ÖÖ Ñ Ò ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ ÐÖØÓÒÒ (ÑÚ) = Ñ Ú = Ø Ñ Ñ Ò Ö ÓÒ ØÒصº ÅÓÑÒØÐÒ ÆÛØÓÒ Ð Ö ÖÓØÖÒ Ý Øѵ Ñ 2» 2 ½½
16 ¾ ÒÖÒ Ú ÖÖÐ ÑÒ ÑÓÑÒØ ÔÖ Ø ÒØ = ÖÚÒ ÑÓÑÒØ Ð ØÒ ÑÓÑÒØ ¾ºµ Ö ÖÖÐ ÑÒ ÑÓÑÒØØ Ö ØØ ÖÓØÖÒ Ý ØÑ ÒÖ ÓÑ Ý Ø¹ ÑØ ØÖØ ÑÓÑÒØ Âµ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ ÚÒÐ ØØ Ø ÚÐРº ÖÒÖÒÒ ÖÖÐ ÑÒ ÑÓÑÒØ ÔÖ Ø ÒØ ÐÖ ÖÖ ØÖØÒ ÑÙÐØÔÐÖØ Ñ ÚÒÐÐÖØÓÒÒ (Â) =  µº Ø ÃÑ Ó ÓÐÓ Ý ØÑ ÃÓÒÒØÖØÓÒ ÐÒ ÜÑÔÐ ¾º½ ¾º¾µµ ѻл ¾ ÒÖÒ Ú ÓÒÒØÖØÓÒ = ÔÖ Ø ÒØ + ÁÒÒ Ñ ÔÖ ÚÓÐÝÑ Ó Ø ÒØ ¾ ÃÓÒÒØÖØÓÒ ÖÒÖÒ ÔÖ Ø ÒØ Ô ÖØÓÒÖ ÍØÒ Ñ ÔÖ ÚÓÐÝÑ Ó Ø ÒØ ¾ºµ + ÒÖ ÒÖÐÒ Â» ¾ ÒÖÒ Ú ÁÒÓÑÑÒ ÙÔÔÐÖ ÒÖ = Ø ÔÖ Ø ÒØ ÍØÒ Ø ¾ºµ Ö ØÓÖØÒ Ø ÐÐØ Ú Ö ÒÖÙØÚÐÒ»ÒÖÖÖÙÒÒ ÔÖ Ø Ò¹ غ ¾º¾º½ ÃÓÒ ØØÙØÚ ÖÐØÓÒÖ Ø ÖÖ ÒØ ØØ Ö Ø ÚÐÒ ÐÒ ÚØÓÒ ÓÑ ÐÐ ÒÚÒ ØØ ÔÖ¹ Ø Ø ÑÓÐÐÖÒ Ðк ÖÓÒ Ô ÙÖ ÔÖÓÐÑÓÖÑÙÐÖÒÒ Ö ØÐÐ ÚÐ ÚÖÐÖ ÓÑ Ò ÑØ Ó Ú ÑÒ ÚÐÐ ÑÓÐÐÖ Ñ Ø ÓÐ Ö Ð¹ Ð ÓÒ ØØÙØÚ ÖÐØÓÒÖ ÒÚÒ º ÖÐØÖÖ ØÓÖØÖ Ú ÓÐ Ð Ø Ü Ò Ñ ÖØÖ Ó ÔÒÒÒ Ñ ØÖѺ ÆÒ ØØ ØÐ ÜÑÔÐ Ô Ò ÖÐØÓÒÖº Á Ú ÒØØ ¾º¾º¾ ÑØ ÖÒÚÒÒÖÒ ÓÑÑÖ ÝØØÖÐÖ ÜÑÔÐ Ø ÙÔÔº ½¾
17 ÖØÓÒ ÑÓØ ØÒ Ú Ú ÖØÓÒº ÖØÓÒ ÖØÒ (Ø) Æ Ò ÓØ ÒØ ÚÖ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ ÖÑÐØ ØØ Ú(Ø) Ñ» ØÖÒ ÐØÓÖ Ý Øѵ ÐÐÖ ÚÒÐ ØØ (Ø) Ö» ÖÓØÖÒ Ý Øѵº ÅÒ Ö (Ø) = Ú(Ø) ØÖÒ ÐØÓÖ µ ÐØÖÒØÚØ (Ø) = (Ø) ÖÓØÖÒµº ËÑÑ ØÝÔ Ú ÑÒ ÐÐÖ Ö ÑÓØ ØÒ ÖØÒ Ú Ú ÑÔÒÒº ÐØÖÓÑÒ ÑÓÑÒØÚÖÖÒº Ø ÖÚÒ ÑÓÑÒØØ Ì (Ø) ÆÑ ÖÒ Ò ÐØÖ ÑÓØÓÖ Ò ÒØ ÚÖ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐØ ÑÓØ ØÖÑÑÒ (Ø) ÒÓÑ ÑÓØÓÖÒ Ø ÚÐÐ Ì (Ø) = Ñ (Ø) Ö Ñ Ö Ò ÑÓØÓÖÓÒ ØÒغ ÇÑ Ð ÖÚÖ ÑÒ ÑÐÐÒ ÔÒÒÒ Ù(Ø) Î Ó ØÖÑ (Ø) ÚÖ ØØ ÐØÖ Ø ÑÓØ ØÒ Êº Ø ÐÐÖ ØØ Ù(Ø) = Ê(Ø) ÅÓØ ÚÖÒ ÑÒ ÒÒ Ö ÒÖ ÐØÖ ÓÑÔÓÒÒØÖ Ø Ü ÔÓÐÖ Ó ÓÒÒ ØÓÖÖº Ë ÜÑÔÐ ¾ºº Ö ÙØ ÖÒ Ò ØÒ Ñ ÖØØ ÙØÐÐ ÐÐÖ ÒÐØ ÖÒÓÙÐÐ Ð ØØ ÚØ Ø ÙÖ ØÒÒ É(Ø) Ñ 3» Ö ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐØ ÑÓØ ÚÖØÖÓØÒ Ú ÚØ Ò (Ø) Ñ ÓÚÒÖ ÙØÐÐØ Ø ÚÐÐ É(Ø) = Ô (Ø) Ç ÖÚÖ ØØ ÚÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐØØ ÓÒ ØÒØÖÒ ÖÐØÓÒÖÒ ÓÚÒ Ö Ò¹ ØÖ Ø ÐÐÖ Ù ØØ ÒØÒ ÚÒ ØÖÐØ Ñ Ø ÚÖ ÑÑ ÓÑ ÒØÒ ÖÐغ ÀÖ Ö ÙØÐÑÒØ Ö ÒÐØ ÙÐк ¾º¾º¾ ÆÖ ÔÖØ ÜÑÔÐ Ö ØØ ÐÐÙ ØÖÖ ÙÖ Ý Ð ÑÓÐÐÖ Ò ØÐÐ ÙÔÔ ÙØÒ ÖÒ ÐÒ ¹ ÚØÓÒÖ Ó ÓÒ ØØÙØÚ ÖÐØÓÒÖ ÐÖ Ö ÝØØÖÐÖ ÒÖ ÜÑÔк Ö ØØ Ö ÜÑÔÐÒ ÒÒ ØÝÐ ÓÑ ÑÐØ Ò ÜÔÐØ ÚÐ ÚÖÐÖ ÓÑ Ö Ø ÚÖÖÒº ÜÑÔÐ ¾º¾º Ö¹Ñ Ý ØÑ ÈÓ ØÓÒÒ Ý(Ø) Ó ØØÒ Ú(Ø) Ö Ò Ñ ÙÔÔÒ Ñ Ò Ú Ø ÑÔ Ö ÒÐØ ÙÖ ¾º¾ ØÑ ÒÐØ ÆÛØÓÒ ½ Ð ØÖÒ ÐØÓÖ Ö¹ ÖÐ µ Ú ÐÒ ÚØÓÒÒ ¾ºµº Å Ò Ñ ÚØÒ Ñ Ó ÖÖÐ ÑÒ ÑÚ(Ø) ÔÚÖ Ú Ò ÝØØÖ ÖÚÒ ÖØ (Ø)º ÖÒ ÒÖÖÖ Ò ÑÓØÖØ Ð ØÒµ ÓÖÑ Ú ÖÖØÒ ÓÑ Ö ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ ÙÖ ÑÝØ ÖÒ Ö ÙØÖÒ ÖÒ ÚÐÓÐØ Ø ½
18 ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ Ñ (Ø) Ý(Ø) ÙÖ ¾º¾ ËÑØ Ð Ú Ö Ý ØÑغ ÚÐÐ Ý(Ø)º ÑÔÖÒ ÖÒ ÒÖÖÖ Ò ØÙÖ Ò ÑÓØÖØ ÓÑ Ö ÔÖÓ¹ ÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ ØØÒ Ú(Ø)º ÖÖØÒ Ò ÐÐØ ÖÚ ÓÑ Ý(Ø) Ó ÑÔÖØÒ ÓÑ Ú(Ø) Ö Ó Ö ÓÒ ØÒØÖ ÓÑ ÖÓÖ Ú ÖÒ Ó ÑÔÖÒ Ò ÔÖº ÐÒ ÚØÓÒÒ Ö ÙÐØÖÖ ÖÖ ÑÒØ Ñ Ú(Ø) = (Ø) Ú(Ø) Ý(Ø) Ö ÒÖÒÒ Ú ÖÖÐ ÑÒ ÔÖ Ø ÒØ ÖÔÖ ÒØÖ Ú Ø ÖÚØÒ (ÑÚ) = Ñ Ú ÙÒÖ ÒØÒØ ØØ Ñ Ò Ö ÓÒ ØÒغ Ö ØØ ÙØØÖÝØ Ø Ô Ò ÑÖ ÑÐ ÓÖÑ Ò ÑÒ Ò ÙØÒÝØØ ØØ ØØÒ Ö Ø ÖÚØÒ Ú ÔÓ ØÓÒÒ Ø ÚÐÐ Ú(Ø) = Ý(Ø) Ó Ñ Ý(Ø) + Ý(Ø) + Ý(Ø) = (Ø) ¾º½¼µ Î Ö Ò ÖÒØÐÚØÓÒ ÓÑ ÖÚÖ ÙÖ Ñ Ò ÔÓ ØÓÒ ÖÒÖ Ñ ØÒ Ý ØÑØ ÔÚÖ Ú Ò ÝØØÖ Öغ Å Ò ØÖÑÒÓÐÓ ÓÑ Ò¹ ÚÒ ÃÔØÐ ½ Ò Ú ÔÓ ØÓÒÒ Ý ÓÑ Ý ØÑØ ÙØ ÒÐ Ó Ò ÝØØÖ ÖØÒ ÓÑ Ò Ò Òк ÜÑÔÐ ¾º º ÊÓØØÓÒ Ñ ØÐ ÜÐ Á ØØ ÜÑÔÐ ÒØÖ Ú ØØ Ò Ð Ø Ñ µ Ñ ØÖØ ÑÓÑÒØ Â ÐÐ ÖÓØÖ ÙÖ ¾º º ÎÒÐÐØ Ö ÖÓØØÓÒÒ ØÒ (Ø) Ö Ó ÚÒÐ ØØÒ ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ Ì (Ø)  (Ø) (Ø) ÙÖ ¾º ÊÓØÖÒ Ð Ø ÖÚÒ Ñ Ò ÑÓÑÒØÒÖÖÒ ÑÓØÓÖº (Ø) Ö» Ó ÖÖÐ ÑÒ ÑÓÑÒØ Ö ÖÖ Â(Ø)º ÊÓØØÓÒÒ ÒØ Ú Ò ØÐ ÜÐ ÓÑ ÔÚÖ Ú ØØ ÖÚÒ ÑÓÑÒØ Ì (Ø) ÚÐØ ØÝÔ Ø Ò ÒÖÖ Ú Ò Ð ØÖÑ ÑÓØÓÖº Ç ØØ Ð ØÒ ÑÓÑÒØ ÒÖÖ Ú ½
19 ØØ Ð ØÒ ÙØ ØØ Ö Ú ÖØÓÒ ÙÒÖ ÖÓØØÓÒ ÖÖÐ Òº ØØ Ð ØÒ ÑÓÑÒØ Ö ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐØ ÑÓØ ÖÑÐØ ÚÒÐ ØØ Ó Ú Ò ÖÚ Ø ÓÑ Ö Ö ÒÓÒ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐØØ ÓÒ ØÒغ ÒÐØ ÐÒ ÚØÓÒÒ ¾ºµ Ö ÖÓØÖÒ Ñ ÒÙ Â (Ø) = Ì (Ø) (Ø) ÇÑ Ú ÙØÒÝØØÖ ØØ (Ø) = (Ø) Ò ÙØØÖÝØ ÓÖÑÙÐÖ ÓÑ ÓÑ Â (Ø) + (Ø) = Ì (Ø) ¾º½½µ Ó Ú Ö ÖÑ Ò ÖÒØÐÚØÓÒ ÓÑ ÖÚÖ ÙÖ ÚÒÐÐØ ÖÓÖ Ú Ø ÖÚÒ ÑÓÑÒØØ Ì ÖÒ ÑÓØÓÖÒº Ò ÑÓÖÒ Ú ÙØØÖÝØ ¾º½½µ ÙÔÔÓÑÑÖ Ð ØÒ ÙØÓÑ Ö Ò ÔÒ Ò Ú Ú Ò Ú ÖÒµ Üк Ò ÑÓØÖØ ÓÑ Ð ØÖ Ú Ò ÔÒÒÒÒ Ö ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ Ñ Ò ÚÒÐÐ ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò Ø Ò ÔÒÒÒÒº ÅÒ ÖÐÐÖ Â (Ø) + (Ø) + Ã(Ø) = Ì (Ø) ¾º½¾µ ÜÑÔÐ ¾ºº Ò ÒÐ ÐØÖ ÖØ ØÖØ Ò ÐØÖ ÖØ Ò ÙÖ ¾º Ñ ÖÚ ÔÒÒÒ Ù(Ø) ÒÓÑ ÚÐÒ Ø ÝØÖ Ò ØÖÑ (Ø)º ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ + Ä Ê Ù(Ø) (Ø) ÙÖ ¾º ËÑØ Ð Ú Ò ÐØÖ ÖØ Òº Ò Ò ÖØ ÐÐ Ö Ò Ö ÓÒÒ ÖØ Ó ØÖ Ú Ò ÔÓÐ Ñ Ò¹ ÙØÒ Ä Ò ÓÒÒ ØÓÖ Ñ ÔØÒ Ó ØØ ÑÓØ ØÒ Ñ Ö ØÒ Êº ÅÒ Ò ÒÐØ ÙØØÖÝØ ØØ ÔÓÐÒ ÒÙØÒ Ö ØØ ÑØØ Ô ÑÓØ ØÒ¹ Ø ÑÓØ ØÖÑÖÒÖÒÖ ÒÓÑ Ò ÑÑ Ó ÓÒÒ ØÓÖÒ ÔØÒ Ö ØØ ÑØØ Ô ÒÒ ÖÑ ØØ ÐÖ ÐØÖ ÐÒÒº Ö ÑÓØ ØÒØ ÚØ Ú ØØ ÔÒÒÒÒ ÚÖ Ø ÑÑ Ñ ÇÑ Ð Ò ÖÚ ÓÑ Ù Ö (Ø) = Ê(Ø)º ØÒÒÒ Ö ØÖÑ Ö ØØ Ú ØÒÖ Ø ÖÚØÒ Ñ º ÄÒÒ Ø ÓÒ ØØÙØÚ ÑÒ ÒÒ Ö ÔÓÐÒ Ó ÓÒÒ ØÓÖÒº ËÔÒÒÒÒ ÚÖ ÔÓÐÒ Ò ÖÚ ÓÑ Ù Ð (Ø) = Ä (Ø) Ø ½
20 Ó ÔÒÒÒÒ ÚÖ ÓÒÒ ØÓÖÒ ÓÑ Ù (Ø) = 1 Ø 0 () ¾º½ µ Î ÚÐÐ ÒÙ ÙÒÖ ÙÖ ÔÒÒÒÒ ÚÖ ÓÒÒ ØÓÖÒ Ú ÒØÖ ØØ Ù (0) = 0) ÔÚÖ Ú Ò ÖÚÒ ÔÒÒÒÒº ÖÒ ÐÒ ÚØÓÒÒ ¾ºµ ÚØ Ú ØØ ÙÑÑÒ Ú ÐÐ Ð ÔÒÒÒÖ ÑÒ Ö ÖÙÒØ ÖØ Ò ÐÐ ÚÖ ¼º ÅÒ ÖÐÐÖ ÖÚÒ Ó Ð ØÒ ÔÒÒÒÖ ÖÒ Ñ ÓÐ ØÒµ ØØ Ù Ö (Ø) + Ù Ð (Ø) + Ù (Ø) Ù(Ø) = 0 ÚÐØ Ñ ÙØØÖÝÒ ÓÚÒ Ò ØØ Ò ÓÖÑÙÐÖ ÓÑ Ä (Ø) Ø + Ê(Ø) + 1 Ø 0 () = Ù(Ø) ÅÒ Ò Ò ÖÒ ÚØÓÒ ¾º½ µ ØØ (Ø) = Ù (Ø)º ¾º½µ ËÙ ØØÙÖÖ ÑÒ Ò ØØ ÚØÓÒ ¾º½µ ÐÒ ÚØÓÒ ÓÑ Ö¹ ÚÖ ÙÖ ÔÒÒÒÒ ÚÖ ÓÒÒ ØÓÖÒ ÖÓÖ Ú ÖØ Ò ÖÚÒ ÔÒÒÒ Ä Ù (Ø) + Ê Ù (Ø) + Ù (Ø) = Ù(Ø) ¾º½µ ÜÑÔÐ ¾ºº Ò ØÒ Ñ ÖØØ ÙØÐÐ Ò ØÒ Ñ ÖØØ ÙØÐÐ ÙØÐÓÔÔµ ÚÐ ÙÖ ¾ºº ÈËÖ ÖÔÐÑÒØ É Ò (Ø) É ÙØ ÙÖ ¾º Ò ØÒ Ñ ÖØØ ÙØÐк ÎØ Ò (Ø) Ñ ÑØ ÖÒ ÙØÐÐØ ØÐÐ ÚØ ÝØÒ Ó ÚØ Ò Ø¹ Ø ÙØÐÓÔÔØ Ö Ú Ñ» º ÌÒÒ Ö ÔØÚ ÙØÐÓÔÔØ ÖÓÖ ØÒ Ó Ñ 2 º Î ÒØÖ Ó ØØ Ú Ò ÝÐÐ Ô ØÒÒ Ñ ØØ É Ò Ñ 3» º ÇÑ ÑÒ ÒØÖ ØØ ÐÙØØÖÝØ Ô ÚØ ÝØÒ Ö Ø ÑÑ ÓÑ Ú ÙØØ Ó ØØ ½
21 ÚØ ØØÒ ØÒÒ Ö ÑÝØ ÑÒÖ Ò ÚØ ØØÒ Ú ÙØÐÓÔÔØ ÐÐÖ ÒÐØ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ð ÒÓÑ ÔÖÒÔÒ Ö ÒÖÓÒ ÖÚÖÒµ ØØ = Ú2 2 ÚÐØ ÑÖ ØØ ÙØØ Ú ÚØØÒ É ÙØ Ñ 3 ÓÑ Ö ÚØØÒ ØØÒ ÑÙÐع ÔÐÖØ Ñ ÙØÐÓÔÔØ ØÚÖ ÒØØ Ö Ò ÖÚ ÂÑÖ Ñ Ò ÓÒ ØØÙØÚ ÖÐØÓÒ ÓÑ Ú Ú ÒØØ ¾º¾º½µ É ÙØ = Ú = Ô 2 Ö Ñ» 2 Ö ØÝÒÐÖØÓÒÒº Á ÒÐÓ Ñ ¾º½µ ÐÐÖ ØØ ÖÒÖÒÒ Ú ÚØ ÚÓÐÝÑÒ ØÒÒ ÔÖ Ø ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ É Ò ÙØÖÖØ Ñ ÙØØ É ÙØ Ó Ú Ö Î Ø = ((Ø)) Ô Ô = É Ò 2 (Ø) Ø ÚÐØ ØÖ ÓÑ ØÒÒ ØÚÖ ÒØØ Ö Ö ÓÒ ØÒØ Ò ÖÚ (Ø) Ø = Ô 2 Ô (Ø) + É Ò = (É Ò (Ø)) ¾º½µ ÓÑ Ù Ö Ò Ö Ø ÓÖÒÒÒ ÖÒØÐÚØÓÒ ÚÐÒ Ö ÓÐÒÖ Ñ Ú Ò¹ Ô ÚØ Ò º Ø ÚÖÐ Ý ØÑ Ö ÓÐÒÖ ØÐÐ Ò ÒØÙÖº ØØ ÒÖÔÔ ØØ Ö ØØ ÙÒÒ ÒÐÝ Ö Ó Ô ØØ ÒÐØ ØØ ÖØ Ñ ÓÐÒÖ ÑÓÐÐÖ Ö ØØ ¹ ÒÓÑ Ò Ö Ø ÓÖÒÒÒ ÌÝÐÓÖÙØÚÐÒ ÔÔÖÓÜÑÖ Ò ÓÐÒÖ ÑÓÐÐÒ ØØ ÐÐ ¾º½µ Ñ Ò ÐÒÖ ÑÓÐк Î ÓÑÑÖ ÒÖ ÙÖ Ò Ò ÑÖ ØÐ Ô Ò ÒÖÐÐ ÖØ Ò Ö ØØ ÑÒ Ú Ö Ò ÚÖ ØÐØ Ö Ú ÐÙØÖ ÙÐØØØ ÐÖº ÒØ ØØ Ú Ö ØØ ÓÒ ØÒØ Ò É Ò0 Ó ÐØ 0 ÚÖ Ò ÚØ ÓÑ ØÒÒ Ø ÓÒ ØÒØ ÒØ ÚÖØ ÙÒÖ ÑÝØ ÐÒ ÓÒе غ ÈÙÒØÒ É Ò0 0 µ Ò ÚÖ Ò ØØÓÒÖ ÑÚØ ÔÙÒØ ØÐÐ Ý ØÑغ ÒÓÑ ÌÝÐÓÖÙØÚÐÒ Ò ÐÒÖ ÑÓÐÐ ÓÑ ÐÐÖ Ò ÒÖØ Ú ÔÙÒØÒ É Ò0 0 µ Ó ÓÑ ÖÐØÖÖ ÚÚÐ Ò ÖÒ ÑÚØ Ò ØÐÐ ÚÚÐ Ò É ÖÒ ÑÚØ ÒØ ÒÐØ (Ø) Ø = É Ò0 (Ø) + É 2 0 ¾º½µ ½
22 ÜÑÔÐ ¾ºº Ò ÒÐ ÓÐÓ ÖØÓÖ Á ØØ ÜÑÔÐ ÐÐ Ò ÒÐ ÑÓÐÐ Ö Ò ÓÐÓ ÖØÓÖ ØÐÐ ÙÔÔº ÒÒ ØÝÔ Ú ÑÓÐÐ ÒÚÒ ÓØ Ö ØØ ÖÚ ÓÐÓ ÔÖÓ Ö ÒÓÑ ÚØØÒÖ¹ ÈËÖ ÒÒ ÖÔÐÑÒØ Ø Ü ÓÐÓ ÚÚÖÒÒµº ÊØÓÖÒ ØÖ Ú Ò ØÓØÐÓÑÐÒ ØÒ Ñ ÚÓÐÝÑ Î Ñ 3 ÙÖ ¾ºº ÒÓÑ ØÒÒ Ö ÚØ Ñ Ø É É qut Ò Ë Ò Ë Î qut Ë ÙÖ ¾º ËÑØ Ð Ú ÓÖØÓÖÒº Ñ 3» º Á Ò ÒÓÑÑÒ ÚØ Ò Ö ÓÒÒØÖØÓÒÒ Ú ÓÑ ÚÒÐØÚ ØÖÖµ Ò Ñ»Ð Ó ÓÒÒØÖØÓÒÒ Ú ØØ Ù ØÖØ Ë Ò Ñ»Ð º ÓÑ Ð¹ ØÒ ØÒÒ ÒÑÒ (Ø) Ó Ù ØÖØÐØÒ Ë(Ø)º Á ØÒÒ ÒØ ÓÑ Ò ØÐÐÚÜ ÒÓÑ ØØ ØÐÐÓÓÖ ÒÖ ÖÒ Ù ØÖØغ ÌÐÐÚÜØ ØØÒ ÖØÓÒ ØØÒµ Ö ÓÑ Ò ØÒ Ê (Ø)º ÓÑ Ò ØÐÐÚÜÖ ØÖ Ò Ú ÑÒ Ù ØÖØ ÔÖ Ø Òغ ÅÒÒ Ù ØÖØ ÓÑ ØÖ ÔÖ Ø ÒØ Ö ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ ÓÑ Ò ØÐÐÚÜØ ØØ Ó ÖØÓÒ Ø¹ 1 ØÒ Ö Ù ØÖØØ ÐÖ ÖÖ Ê (Ø)º ÃÓÒ ØÒØÒ ÐÐ ÙØÝØ ÓÒ ØÒغ ØØ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐØØ ÓÒ ØÒØÒ ÖÚ Ô ÓÖÑÒ 1 Ò ÒÒ ÖÚÖÖÒ ÑÒ Ö ÓÒÚÒØÓÒ ÒÓÑ ÑÓÐÐÖÒ Ú ÓÖØÓÖÖº ÍØÒÝØØ ÒÙ ÐÒ ÚØÓÒÒ ¾ºµ Ò ÖÒØÐÚØÓÒÖÒ Ö ÓÑ Ö ÔØÚ Ù ØÖØ ÖÚ (Ø) = Ê (Ø) + É Î ( Ò (Ø)) Ë(Ø) = 1 Ê (Ø) + É Î (Ë Ò Ë(Ø)) ¾º½µ ¾º½µ ØØ ÚÒÐØ ØØ ØØ ÖÚ ÙÖ ØÐÐÚÜØ ØØÒ Ê (Ø) ÖÓÖ Ú Ù ØÖع Ó ÓÑ ÐØÖ Ö ØØ ÒÚÒ ÐÐ ÅÓÒÓÙÒØÓÒÖ ÑÖ ÓÑ ¹ Ò ÓÑÑÖ ØØ Ý ÙÔÔ ÖÒÒ ÐÓÖØÓÒÖÒµº Á ØØ ÐÐ Ö ÑÒ Ë(Ø) Ê (Ø) = max (Ø) Ö Ã Ë +Ë(Ø) max Ó Ã Ë Ö ÓÒ ØÒØÖº ËØØÖ Ú Ò ØØ ÙØØÖÝ ¾º½µ¹ ¾º½µ Ë(Ø) (Ø) = max Ã Ë + Ë(Ø) (Ø) + É Î ( Ò (Ø)) Ë(Ø) = 1 Ë(Ø) max Ã Ë + Ë(Ø) (Ø) + É Î (Ë Ò Ë(Ø)) ¾º¾¼µ ¾º¾½µ ÓÑ Ö ØØ Ý ØÑ Ú Ö Ø ÓÖÒÒÒ ÓÐÒÖ ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ø ÚÐÐ ÖÚØÓÖÒ ÖÓÖ Ô ØØ ÓÐÒÖØ ØØ Ú ÚÖÐÖÒ Ë(Ø) Ó (Ø)º Î Óѹ ÑÖ ØØ ØÖÓÑÑ ØÐÐ ÓÐÒÖ Ý ØÑ ÐÐÑÒØ Ó ØØ ÜÑÔÐ ÒÖ ½
23 ÓÑÔÒغ ËÓÑ ÝÒ Ö ÓÒ ØØÙØÚ ÑÒÒ ÒÐØ ÑÝØ ÐØØ ÜÑÔк ËÝØØ Ö ÒØ ØØ ÐÖ ÙØÒØÐÐ ÙØÒ ÒÖÖ ØØ ÚØ Ò Ú ÐÒ ÚØÓÒ Ó ÓÒ ØØÙØÚ ÑÒ ÓÑ ÐÐÖ ÙÒÒ ØÐÐ ÙÔÔ ÒÐÖ ÑÓÐÐÖº È ÖÒÚÒÒÖÒ ÓÑÑÖ Ö ÜÑÔÐ ØØ ÒÓѺ ÅÒ Ý ØÑ Ö ØÝÐØ ÑÖ ÓÑÔÐÜ Ò ÜÑÔÐ ÓÑ ÖÓÚ ØØ ÓÚÒº Ö ÑÖ ÓÑÐÜ Ý ØÑ Ö Ø ÓØ ÖÐØØ ØØ Ö Ð ÙÔÔ Ý ØÑØ ÑÒÖ Ð Ý ØÑ Ó Ö Ö Ø ÖÑ ÑÓÐÐÖ Ö Ö ÔØÚ Ð¹ Ý ØѺ ËÓÑ ØÖ ÒÑÒØ ØÑÑÖ ÝØØ Ñ ÑÓÐÐÖÒÒ ØÐÒÚÒ Ô ÑÓÐÐÒ Ó ÔÔÖÓÜÑØÓÒÖ Ó Ð ÖÒÖ ÓÑ Ö º ËÔÐÐØ Ö ØÒ Ý ØÑ Ò ÑÒ Ú ÒÚÒ Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔÖ ÑÒº ÅÒ Ò Ó ÐÔ Ú ØÓÖ Ø Ö ÑÓÐÐÝغ ¾º¾º ÒÐÓÖ ÑÐÐÒ ÒÖ Ú Ý ØÑØÝÔÖÒ ËÓÑ Ò ØØ Ó ÔÔØ ÖÒ ØÜØ ÒÒ ÑÒ ÐØÖ ÑÐÐÒ ¹ ÖÒØÐÚØÓÒÖ ÓÑ Ò ØÐÐ ÙÔÔ Ñ ÐÒ ÚØÓÒÖº Î ÐÐ Ö ÑÖ ÒÖ Ú Ý ØÑ ÓÑ ÔÖ ÒØÖØ ÓÚÒº ÌÐÐ ØØ Ö Ñ ÐÐ ÒÖ ÒÖ ÓÖÒÒÒ Ý ØÑ Ø ÚÐÐ Ý ØÑ ÓÑ ÖÚ Ñ ÖÒØÐÚØÓ¹ ÒÖ ÓÑ ÒÒÐÐÖ ÒÖÖÚØÓÖµ ØÖØ ÒÑÐÒ ¾º½¼ ¾º½¾ Ó ¾º½º Î ÑÓÖÖ Ó ÙØØÖÝ ÒÓØ Ö ØØ Ñ Ô ÑÑ ÓÖѺ ÌÖÒ ÐØÖÒ ÖÖÐ Ñ Ú(Ø) Ø Ø + Ú(Ø) + Ú() = (Ø) 0 ¾º¾¾µ ÊÓØÖÒ ÖÖÐ Â (Ø) Ø + (Ø) + Ã Ø 0 () = Ì (Ø) ¾º¾ µ ÐØÖ ÖØ Ä (Ø) Ø + Ê(Ø) + 1 Ø 0 () = Ù(Ø) ¾º¾µ ËÓÑ ÝÒ Ö ØÖ ÑÓÐÐÖÒ ÓÚÒ Ò ÑÝØ ÐÖØ ØÖÙØÙÖ ÚÐØ Ó Ö ÑÒ ÑØ Ñ ÑÒ ÑÓÐÐÖ Ö ÒÖ ØÝÔÖ Ú Ý ØѺ Á ÌÐÐ ¾º½ ÑÑÒØØ ØÖ ÑÓÐÐÖÒ Ó Ö Ò ÔÖº È ÑÑ ØØ Ò Ú ÑÑÒØØ Ö Ø ÓÖÒÒÒ Ý ØÑ ÖÒ ¾º µ Ó ¾º½µ ÒÓØ ÑÓÖ ÖÒ ÖÙÒÙØØÖÝÒµº ½
24 ÌÖÒ ÐØÓÒ ÊÓØØÓÒ ÐØÖ ÖØ ÁÒØÒ ØØ ÃÖØ ÎÖÒ ÑÓÑÒØ Ì ËÔÒÒÒ Ù Ð Ê À ØØ Ú ÎÒÐ ØØ ËØÖÑ µø Ä Ý ÎÒÐ ÄÒÒ Õ ÌÖØ Å Ñ ÌÖØ ÑÓÑÒØ Â ÁÒÙØÒ Ä ÑÔÒÒ ÑÔÒÒ ÑÔÒÒ Ê ØÒ Ê Ð ØØØ ÖÒ ËØÝÚØ Ã ½»ÃÔØÒ 1 ÌÐÐ ¾º½ ÒÐÓÖ ÑÐÐÒ ÑÓÐÐÖÒ ¾º¾¾µ¹ ¾º¾µº ÌÒÖØÓÖ ÌÒ Ñ ÖØØ ÙØ Î (Ø) Ø (Ø) Ø + (É + Î ) = É Ò ¾º¾µ + É Ò0 2 0 (Ø) = É ÒÐÓÖÒ ÑÐÐÒ Ý ØÑ Ú ÌÐÐ ¾º¾º ÌÒÖØÓÖ ÌÒ Ñ ÖØØ ÙØÐÐ ÁÒØÒ ØØ ÃÓÒÒØÖØÓÒ ÎØ Ð ÈÖØÐ É Ð É ÍÔÔÐÖÒ ÎÓÐÝÑ Î Ö Ì ÓÒ ØÒØ ¾Î 0 É Ò0 Î(É + Î ) ¾º¾µ ÌÐÐ ¾º¾ ÒÐÓÖ ÑÐÐÒ ÑÓÐÐÖÒ ¾º¾µ¹ ¾º½µº Ì ÓÒ ØÒØÒ Ö ØØ ÑØØ Ô Ý ØÑØ ÖØÓÒ Ø ÓÑ Ú ÐÐ ÙØÖ ÑÖ ÒÒ ÒÖº ¾º¾º ÆÖ Ø ÖØ Ý ØÑ Å ØØ Ø ÖØ Ý ØÑ ÑÒÖ Ú ØØ Ý ØÑ Ö ÙØ ÒÐÒ Ú Ò Ú Ø¹ ÔÙÒØ ÖÓÖ Ú ÒÙÚÖÒ Ó ÐÖ ÚÖÒ Ô Ò ÒÐ Ó ØÖÒÒ ÖÒ Ú ÖØ ØÔÙÒØÖº ÄØ ÑÖ ÓÖÑÐÐØ Ò ÑÒ ØØ Ò Ø ÖØ ÒÐ Ö Ò ÙÔÔÖÒÒ Ö ÚÒ º ØØ Ø ÖØ Ý ØÑ Ö ØØ Ý ØÑ ÓÑ ÚÖÖ Ô Ò Ø ÖØ Ò ÒÐ Ó ÔÖÓÙÖÖ Ò Ø ÖØ ÙØ Òк ÇØ ÒÚÒ Ø ÖØ ÑÓÐÐÖ ÖÒ ÚØÓÒÖµ ÓÑ ÔÔÖÓÜÑØÓÒÖ Ú Ø ÓÒØÒÙ¹ ÖÐ Ý ØÑ ÑÖ Ø Ü ÙÐÖ ÑØÓ ÒÓÑ ÒÙÑÖ ÒÐÝ µº ÆÓØÖ ØØ Ö ØØ ÙÒÒ ÑÙÐÖ Ò ÑÓÐÐ Ú ØØ ÝÒÑ Ø Ý ØÑ Ò ØÓÖ Ñ Ø ÑÓй ÐÒ ÚØÓÒÖ Ð Ø ÖØ ØÔÙÒØÖº ¾¼
25 ÇÑ ÑÒ Ø Ü ÚÐÐ ÓÒ ØÖÙÖ Ò ÑÓÐÐ ÖØ ÖÒ ÙÔÔÑØØ Ø Ö Ø Ù ÙØ ÐÙØÒ ØØ ÑÒ Ö ØÐÐÒ ØÐÐ Ø ÖØ Ø Ñ Ú Ø ÒØÖÚÐÐ ÑÐÐÒ ÑØÒÒÖÒ Ø ÒÒ Ò ÚÐ ÙØÚÐ ØÓÖ Ö ØÐÐÚÒ ØØØ Ú ÒÒ ØÝÔ Ú ÑÓÐÐÖÒµº Ö Ò Ð ÐÐ Ø Ü ÒÓÑ ÓÒÓÑ Ó ÐÖÐй ÒÒ ÐÐÖ Ø Ó ÒØÙÖÐØ ØØ ÖØ ØÐÐ ÙÔÔ Ø ÖØ ÝÒÑ ÑÓÐÐÖº ÆÒ Ø ÝÖ ÜÑÔÐ ÙÔÔº ÜÑÔÐ ¾ºº Ò ÒØÓÒÐÓÒÓÑ ÑÓÐÐ ÁÒÓÑ ÒØÓÒÐÓÒÓÑ ÒÚÒ ÑÒ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖ Ú ÚÖÖÒ ÓÑÔÐÜØغ Î Ú ÑÓÐÐÖ ÝØÖ ØÐÐ ØØ ÖÚ ÐÒÖ ÖÙØØÓÒ¹ ØÓÒÐÔÖÓÙØ Æȵ Ó Ú ÐÐ Ö ØØØ Ô Ò Òº Î ÒÖ ØÒÒÒ Ý() Ö ÖÙØØÓÒØÓÒÐÔÖÓÙØÒ Ö º ÚÖÐÖ ÓÑ ÒÖ ÖÔÔØ ÆÈ Ö ÓÒ ÙÑØÓÒÒ () ÙÒÖ ÖØ ÒÚ ØÖÒÖ () ÓÑ ÓÖØ ÙÒÖ ÖØ ÑØ ØØÒ ÙØØÖ ÙÒÖ ÖØ ()º ÒØÓÒ Ñ Ø ÐÐÖ ØØ Ý() = () + () + () ¾º¾µ ËÐÚÐÖØ ÒÒ Ø ØØ ÒØÖ Ö ØØ Ô ØØ ÒÐØ ØØ ÙÒÒ ÖÙØ ÔÖ¹ ØÖµ ÆÈ ØØ ÒØÐ Ö ÖÑØ ØÒº Ö ØØ Ö ØØ Ò ÑÒ ÙØÒÝØØ ØØ Ø ÖÙØÓÑ ¾º¾µ ÒÒ ÒÖ ÑÖ ÑÔÐØ ÑÒ ÑÐÐÒ ÚÖÐÖÒº Á ÚÖÐØÒ Ö ÑÒ ÓÑÔÐÖ Ó Ø Ö ÒØ ØØ ÓÑ ¹ ÖÒ Ú ÒØØ ÙØÒÝØØ ØÑ ÒØÙÖÐÖº Ø Ö Ó ØØ Ö Ò Ð ÖÒÐÒ ÒØÒÒº ØØ ÜÑÔÐ Ô Ò Ö ÐÒ ½º ÃÓÒ ÙÑØÓÒÒ Ö ÒØ ÚÖ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ ÆÈ ÖÒ Ö () = Ý( 1) ¾º¾µ ¾º ÁÒÚ ØÖÒÖÒ Ò ÒØ ÚÖ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐÐ ÑÓØ ÒÒ ØØÒ ÓÒ¹ ÙÑØÓÒÒ () = (() ( 1)) ¾º¾µ ÚØÓÒÖÒ ¾º¾µ¹ ¾º¾µ ÖÚÖ ÒÙ Ò ÑÓÐÐ Ö Ø ÓÒÓÑ Ý ØÑغ ÅÒ Ò ÒØÙÖÐØÚ Ö ØØ ÜØØÒ Ó ÒÒ ÑÓÐÐ ÑÒ ÒØÒÒ ÒÒ ØÑÒ ØÓÒ ÔÖÒÔÐÐØ ÖÑк ËÓÑ ÖÒ Ø Ö Ú Ò¹ ØÖ Ö Ú ØØ ÑÓÐÐÖ ÆÈ Ý()µ Ó Ø ÐÐÖ ÒØÙÖÐØ ØØ ÚÐ ÒÒ ÓÑ ÙØ Òк ËÓÑ Ò ÒÐ ÚÐÖ Ú ØØÒ ÙØØÖ Ö () ÚÐØ ÒÒÖ ØØ Ú Ö ÒÒ ÓÑ ØØÒ ÑÐØ ØØ ÔÚÖ ÆȺ ÅÒ Ò ÒÙ ÐÑÒÖ ÚÖÐÖÒ () Ó () ¾º¾µ ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ ¾º¾µ Ó ¾º¾µ ÚÐØ ÐÙØÐØÒ Ö ÖÒ ÚØÓÒÒ Ý() = ( + )Ý( 1) Ý( 2) + () ¾º ¼µ ÒÒ ÑÓÐÐ Ò ÒÙ ÒÚÒ Ö ØØ ÔÖØÖ ÆÈ ÚØ ØØ ÑÒ ÒÒÖ ØÐÐ ØØÒ ÙØØÖ Ö Öغ ÒÒ ÔÖØÓÒ Ò Ò Ò ØÙÖ ÒÚÒ Ö ¾½
26 ØØ ÖÙØ ÆÈ ÖØ ÖØÖ ÚØ ØØ ÑÒ Ô ÒÓØ Ú Ò ÙÖ ØÓÖ ØØÒ ÙØØÖ ÓÑÑÖ ØØ ÚÖº Ø Ö ÒÑÒ ØØ ÔÖØÓÒÒ Ô ÖÙÒ Ú ÑÓÐÐе ÒØÙÖÐØÚ ÐÖ Ó ÖÖ Ù ÐÒÖ ÖÑ ØÒ ÑÒ ÚÐÐ ÔÖØÖ ÔÖ ÓÑ Ö ÚÖÔÖÓÒÓ Öº ØØ ÚÒÐÖ ØØ ØØ ÖÚ ÖÒ ÚØÓÒÖ ÓÑ ¾º ¼µ Ö ØØ ÑÐ Ùع Ó Ò ÒÐØÖÑÖ Ô ÚÖ Ò Ó ÑÒ Ö Ý() ( + )Ý( 1) + Ý( 2) = () ¾º ½µ ÜÑÔÐ ¾ºº Ò ÑÓÐÐ Ö ÐÖÐÐÒÒ ØÖ ÓÑ Ø Ö Ó Ø ÑØ ØØ Ö Ö Ö Ó ÒÙ ØÖ ØØ ÐÐ ÖØÐÖ ÐÖ Ö Ø ÚØØ ØØ Ô ÒÓØ ØØ ÙÒÒ ÐÐ ÖØÐÖ ÐÖ ÑØØ ÓÑ ÖØÐÖÒ ÐÖØ ÒØ Ö Ø ÐÙغ ÑÒ ÐÐ ÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ ÖÐÓÔÔ Ò ÑÒ ÙØ ÖÒ ÑØÑØ ÑÓÐÐÖ ÚÖ ØØ ÐÖº ÆÒ ÐÐ Ú ÔÖ ÒØÖ Ò ÑÝØ ÒÐ Òº ÄØ Ý() ÚÖ ÒØÐØ ÖØÐÖ ÐÖ Ú ØÒ Òµ º Î ÐØÖ ÚÖ Ù() ÚÖ Ò ØÐÐÒÒ Ú ÚÖÓÖ ØÐÐ ÐÖØ Ú ØÒ Òµ º Î ÒØÖ Ó ØØ Ò ØÐÐ ÚÖÒ ÐÚÖÖ ØÐÐ ÐÖØ ØÚ Ø ÒØÖ Öµ ÒÖº ØØ ÒÐØ ÑÒ ÓÑ ÖÚÖ ØØ ÖÐÓÔÔ ÐÖ Ý() = Ý( 1) + Ù( 2) ¾º ¾µ ÆØÙÖÐØÚ Ú Ó Ò ØÖÑ ÓÑ ÖÚÖ Ø Ð ÙØØØ ÙÖ ÐÖغ ÒÒ ØÖÑ ÔÖ Ú ØÐÐ Ú()º ØØ Ö ØØ ØÝÔ Ø ÜÑÔÐ Ô Ò ØÖÑ ÓÑ ÒØ Ò ÐÖÒ ÚÖ Ò ÔÚÖ Ó Ø Ö ÖÖ ÒØÙÖÐØ ØØ ÒÒ ÓÑ Ò ØÖ Òк È ÑÑ ØØ Ö Ù ØÐÐÒÒÒ ØÐÐ ÐÖØ Ù()µ ÒÓØ ÓÑ Ò ÐÖÒ ÚÖ ÐÚ ØÑÑÖ ÚÐØ Ñ ÚÖ ØÖÑÒÓÐÓ Ö Ò ØÐÐ Ò ÐÑÔÐ Ò Òк ÁÒÖ Ú ØÖØÖÑÒ Ú() ÙØØÒµ ¾º ¾µ Ö Ú ÐÙØÐÒ Ý(Ø) = Ý( 1) + Ù( 2) Ú() ¾º µ ÜÑÔÐ ¾ºº ØÐ ÒÐÒÐÒ Ò ÑÝØ ÚÒÐ ÜÑÔÐ Ô Ø ÖØ Ý ØÑ Ö ÐÓÖØÑÖ ÓÑ ÒÚÒ Ö ØÐ ÒÐÒÐÒº ØØ ØÝÔ Ø ÜÑÔÐ Ö ÑÒ Ö Ò Ø ÖØ ÒÐ Ö ÑÒ ÚÐÐ ÖÑÚ Ó»ÐÐÖ ÙÒÖØÖÝ Ú Ò ÔÖº Ì Ü Ò ÒÐÒ ÒÒÐÐ ÐÙÑÔÑ ØÖÒÒÖ ÓÑ ÑÒ ÚÐÐ ÖÙÖº ÅÒ ØÐÖ ÓØ ÓÑ ØÐ ÐØÖ ÓÑ ÐØ ÒÐØ Ö ØØ Ø ÖØ Ý ØÑ ÓÑ ÒÚÒ Ö ØØ ÒÐ Ò Ø ÖØ Òк ØØ ÜÑÔÐ Ô ØØ ØÐØ ÐØÖ Ö ØØ ÖÒ ØØ ÐÒ ÑÐÚÖ ÖØ Ô Æ ØÝÒ ÑØÒÒÖº ÇÑ Ú ØÒÖ ÑÐÚÖØ Ú ØÒ Ñ Ý µ Ò Ú ÖÚ Ø Ø ÖØ Ý ØÑØ ØÐ ÐØÖص ÓÑ Ý() = 1 Æ Ô=Æ 1 Ô=0 ¾¾ Ù( Ô) ¾º µ
27 Ö Ù ØÒÖ Ò Ø ÖØ ÒÐ ÓÑ ÐØÖÖ º ÂÙ ØÖÖ Æ ÚР٠ع ÚÖ ÓÑÑÖ ÐÙÑÔÑ ØÖÒÒÖ ØØ ÐØÖÖ º Ó ÑÒ Ö ÖÑÒ ØØ ÒØ Ð ÚÖÐ ÖÒÖÒÖ ÒÐÒ Ù Æ Öº ØØ ÑÖ ÐÐÑÒØ ÐÒÖØ Ó Ø ÒÚÖÒص ØÐØ ÐØÖ Ò ÖÚ Å Ñ=0 Ñ Ý( Ñ) = Ô=Æ Ô=0 Ù( Ô) ¾º µ ÍÔÔØÒ Ö ÒÙ ØØ Ò ÓÒØÖÒ Ñ Å Ñ=0 Ô Æ Ô=0 ØØ ÐØÖØ Ö ÐÑÔÐ Ò ÔÖº Ø ÒÒ Ò ÑÒ ÓÐ ÑØÓÖ Ö ØØ Ö Øغ ÜÑÔÐ ¾º½¼º Ì ÖØ ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ø Ö ÑÝØ ÚÒÐØ ØØ Ò Ø Ö Ö Ò ÐÙÑÔÑ ÚÖØÓÒ ÐÐÖ ÒØ Ò ÖÚ Ô ÒÓØ ÒÒØ Øصº ØØ Ò Ø Ü ÐÐ ÒØÙÖÖØÐ Ö ÚÖ¹ ÚÖØÓÖ Ú ÚÓÖµ ØÒ Ý ØÑ ØÖÒÒÖ ÐÒØص Ó ÓÒÓÑ Ý ØÑ Ö ÙÖ Ò ÙØÚÐÒµº Ö ØØ ÖÚÒÒ ÐÙÑÔÑ ÖÐÓÔÔ Ó Ò ÒÐ ÒÚÒ ÒÓÖÑÐØ Ø ÖØ ÑÓÐÐÖ Ò ÑØÑØ ÖÚÒÒÒ ÐÖ Ú ÒØÐÒ ÑÝØ ÒÐÖ ÑÖØ Ñ ÓÑ ÓÒØÒÙÖÐ ÑÓÐÐÖ ÒÚÒ µº ØØ ØÒÖÖ Ô Ö ØØ Ö ØØ ÖÚ ØØ ÐÙÑÔÑ Ø ÖÐÓÔÔ Ö ØÓ Ø ÔÖÓ Öº ÌÓÖÒ Ö ØÓ Ø ÔÖÓ Ö Ö Ò ÓÑÔÐÜ Ó Ö Ú Ö ÜÑÔÐÖ ÓÔÔÐÒÒ ØÐÐ Ø ÖØ Ý ØѺ ØØ ÜÑÔÐ Ô Ò ØÓ Ø ÔÖÓ Ö ÐÒ ÖÒ ÚØÓÒ Ý() = Ý( 1) + () ¾º µ Ö () Ö Ò ÚÒ Ú ÓÓÖÖÐÖ ÐÙÑÔÑ ÚÖÐÖ Ñ ÑÐÚÖ ÒÓÐÐ Ó ÚÖÒ º Ò Ò ÚÒ ÐÐ ÚØØ ÖÙ º ÅØÑØ Ø Ò Ò ¹ ÔÖÒ Ö ÚØØ ÖÙ ÙØØÖÝ (Ø) = 0 2 (Ø) = Ó (Ø)() = 0 Ö Ø = º Å ÓÐ ÚÖÒ Ô Ò ÓÐ ÐÙÑÔÑ ÖÐÓÔÔ ÒÖÖ Ø Ü ÓÑ Ö ÒÖ ØØ ÐÖ ÓÑÑÖ ØÚ ÒÖÐÒ ÚÖÒ Ú Ý ØØ Ò ØÖ ÔÓ ØÚ ÓÖÖÐØÓÒ ÑÒ ÓÑ Ö ÒÖ ¹½ ÖÐÐ Ò ÒØÚ ÓÖÖÐØÓÒ ÓÑ Ý() Ö ÔÓ ØÚ Ö Ø Ò ØÓÖ ÒÒÓÐØ ØØ Ý( + 1) Ö ÒØÚµº Ò ØÓ ¹ Ø ÔÖÓ ÓÑ ÖÚ Ú ¾º µ ÐÐ Ò ÙØÓÖÖ Ú ÔÖÓ Ú ÓÖÒÒ ½ ÐÐÖ ÓÖØ Ê ½µ ÔÖÓ º Ò ÒÖÐ ÖÒ Ú Ê Æµ ÔÖÓ Ò ÓÑ Ò ÖÚ Ý() = Ô=Æ Ô=1 Ô Ý( Ô) + () ¾º µ Ø Ö ÚÖØ ØØ ÒÓØÖ ØØ Ø Ö ÑÝØ ÐÐÒ ÓÑ ÚÖØ Ô Ò Øѹ Ñ Ñ Ý Ð ÑÓÐÐÖÒ ÙØÒ ÑÒ Ö ÒÓÖÑÐØ ÒÚ ØÐÐ ÑÔÖ ÑÓÐÐÖÒ ÚÖ ÃÔ ¾
28 ÜÑÔÐ ¾º½½º Ò ÑÓÐÐ Ö ÐÖÐÐÒÒ ¹ ÓÖØ ØØÒÒ Ø Ö ÒØÙÖÐØ ØØ ÒØ ØØ ÙØØÒ Ú() ÖÒ ÐÖÒ Ö ÐÙÑÔÑ º Ó Ö ÙØØÒ Ò Ú ÓÖÖÐÖØÓÒ ØØ ØÓÖØ ÙØØ ÑÖ Ò ØÓÖ ÒÒÓÐØ Ö ØØ ØÓÖØ ÙØØ ÑÓÖÓÒº ØØ ÜÑÔÐ Ô Ò Ò ÑÓÐÐ Ö Ú() = (() + 09( 1)) ¾º µ Ö () Ö ÚØØ ÖÙ ÑÒÙ ØÒØ ÔÚÖÖ ÒØ Ö ÙÐØØØ ÙØÒ ÒÖ Ö Ö ØØ ÐÔÔ ØØ ÑÒÙ ØÒ ÓÖÑÐÒ ÒÒµº ØØ Ö Ò ØÓ Ø ÐÖÑÓÐÐ ÒÐØ Ý(Ø) = Ý( 1) + Ù( 2) + () + 09( 1) ¾º µ Ø Ö ÒØÙÖÐØ ØØ ÚÖÐÖÒ ÑØ ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò ÒÓÖÑÐÒÚº ¾º ÆÖ ÒØÓÒÖ ÖÙÒØ ÖÔÔØ Ý ØѺ ØØ ØØ Ò Ò ÒÝ ØÖÑÒÓÐÓ ØÖ ÐÐØ ÐØ Øº ÁÒÓÑ Ý ØÑØÒÒ ÒÒ Ò ÙÔÔ Ú ÖÔÔ Ó ÒØÓÒÖº Î ÐÐ Ö Ø ÙÔÔ ÒÖ Ò Ó Ö ÖÐÖ Ñ Ô ØØ ÒØÙØÚØ Øغ ØØ Ý ØÑ Ñ Ò Ò¹ Ó Ò ÙØ ÒÐ Ò ÐÐÑÒØ ÙØØÖÝ Ô ÓÖÑÒ (Ø Ò Ý(Ø) Ø Ý(Ø) Ò Ù(Ø) Ò Ø Ù(Ø)) = 0 Ò ÇÑ Ý ØÑØ Ö Ø ÒÚÖÒØ Ö ÚÒÒÖ Ø ÜÔÐØ ÖÓÒØ Ú ØÒ Ø Ó ÚØÓÒÒ ÖÙÖ ØÐÐ ( Ò Ý(Ø) Ø Ý(Ø) Ò Ù(Ø) Ò Ø Ù(Ø)) = 0 Ò Ö ØØ Ø ÓÒØÒÙÖÐØ Ý ØÑ ÓÑ Ö Ø ÒÚÖÒØ ÐÐÖ ØØ ÓÑ Ý(Ø) Ö Ò ÙØ ÒÐÒ ÓÑ ÚÖÖ ÑÓØ Ò Ò ÒÐ Ù(Ø) ÐÐÖ ØØ ÓÑ Ò ÒÐ Ö Ù(Ø Ø Ó ) Ö ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø Ø Ó )º Ò ÖÒØÐÚØÓÒ ÚÖ ÐÒÖ ÓÑ ÖÚØÒ Ú Ø ÓÖÒÒ Ú ÙØ ÒÐÒ Ò ÖÚ ÓÑ Ò ÐÒÖ ÙÒØÓÒ Ú ÐÖ ÓÖÒÒÒ ÖÚØÓÖ ÑØ Ò ÒÐÒ Ó ÖÚØÓÖ Ú ÒÒº Ò ÐÐÑÒÒ ÓÖÑÒ Ö ØØ ÐÒÖØ Ø Ò¹ ÚÖÒØ Ý ØÑ ØØ ÐÐØ ÄÌÁ¹ Ý Øѵ Ú Ò Ý(Ø) Ø Ò Ò 1 Ý(Ø) + 1 Ø Ò Ò Ý(Ø) = Ñ Ù(Ø) 0 + Ñ 1 Ù(Ø) Ø Ñ 1 Ø Ñ Ñ Ù(Ø) ¾º¼µ ÌÓÖÒ Ö ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Ö ÑÝØ ÚÐ ÙØÚÐ Ó Ø ÙÒÖÐØØÖ ÒÐÝ Ò Ú ÒØÐØ ÓÑ ÑÒ Ò ÖÚ»ÔÔÖÓÜÑÖ ØØ Ý ØÑ ÓÑ ØØ ÄÌÁ¹ Ý ØѺ Ì Ü ÐÐÖ ÙÔÖÔÓ ØÓÒ ÔÖÒÔÒº ÇÑ Ù(Ø) = 1 Ù 1 (Ø) + 2 Ù 2 (Ø) ¾º½µ ¾
29 ÐÖ ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø) = 1 Ý 1 (Ø) + 2 Ý 2 (Ø) Ö Ý (Ø) Ö ÙØ ÒÐÒ Ò ÒÐÒ Ö Ù (Ø)º ¾º¾µ ØØ Ø ÖØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Ò ÖÚ ÓÑ Ý()+ 1 Ý( 1)+ + Ò Ý( Ò) = 0 Ù()+ 1 Ù( 1)+ + Ò Ù( Ò) ¾º µ ÐÐ Ý ØÑ Ú ØØ ÙÔÔ ØØ ÔØÐ Ö ÐÒÖ ÙØÓÑ ØÒÜÑÔÐØ ÜÑÔÐ ¾º Ó ÓÖØÓÖÒ ÜÑÔÐ ¾ºº Á ØÒÜÑÔÐØ ÖÓÖ Ù Ø Ü Ø ÓÖÒÒÒ ÖÚØ Ú ÚØ Ò Ô ÚÖØÖÓØÒ Ú ÚØ Òº ÇÑ ØØ Ý ØÑ Ö Ù ÐØ ÖÓÖ ÙØ ÒÐÒ Ú Ò ØÔÙÒØ Ý(Ø) Ò Ø Ô Ù(Ø) Ó ÐÖ ÚÖÒ Ô Ò ÒÐÒ Ø ÚÐÐ ÒØ Ú ÖÑØ Ò ÒÐÚÖÒº ÐÐ ÚÖÐ Ý ØÑ Ö Ù Ðº Å Ò ÑÚØ ÔÙÒØ ÑÒÖ Ú Ò ÔÙÒØ Ö Ý ØÑØ ÒÒÖ ÚÐ Ø ÚÐÐ Ö ÐÐ ÖÚØÓÖ Ú Ò¹ Ó ÙØ ÒÐ ÓÑ ÒÖ Ý ØÑ ÖÚÒÒÒ Ö ÒÓÐк Ò Ò ÔÙÒØ ÐÐ ÓØ ØØÓÒÖ ÔÙÒغ ¾º ËØÐØØ ÖÔÔØ ÒÐÒ Ù ÓÒ ØØ ÑÝØ ÚØØ ÖÔÔ ÑÒ ØÙÖÖ Ñ ÖÒØй Ó ÖÒ Ú¹ ØÓÒÖ Ö ØÐØغ ËØÐØØ ÓÑ Ò ÒÖ Ô ÓÐ ØØ Ö ÐÐÑÒØ ÒØ Ò Ý ØÑÒ Ô ÙØÒ Ò Ò Ô Ó Ò Ð ÒÒÒ ØÐÐ ÖÒØÐÚØÓÒº ØØ ÔÚ ØÐØØ Ö Ò ÐÐÑÒ ÖÒØÐÚØÓÒ Ö ÒÖÐÐØ ØØ ÚÖغ Î Ö ÖÒ Ù ÓÒÒ ØÐÐ ÄÌÁ¹ Ý ØѺ Ò ÒØÙÖÐ ÒØÓÒ Ô ØÐØØ Ö ØØ ØØ Ý ØÑ Ö ØÐØ ÓÑ Ò ÖÒ Ò ÒÐ Ö Ò ÖÒ ÙØ Òк ØØ Ý ØÑ Ö Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐØ ½ ÓÑ Ø ÒÒ Ò ÓÒ ØÒØ Ã ØØ Ö ÐРغ Ù(Ø) Å µ Ý(Ø) ÃÅ Ö ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Ö Ø ÑÝØ ÒÐØ ØØ ÒÓÑÖ Ò ØÐØØ ÒÐÝ Ø ÚÖ ØØ ØÐØØ Ö ÑÑÒÐÐÖ Ñ Ò Ú Ý ØÑÒ Ôº ØØ ÐÐ Ú ØØØ ÒÖÑÖ Ô ÃÔØÐ º Á ÃÔØÐ ÐÐ Ú Ø ÙÔÔ ÒÓØ ÓÑ ØÐØØ ¹ ÒÐÝ Ö Ö ÓÐÒÖ Ý ØѺ ½ Ò ÁÇ ØÐØÝ ÓÙÒ¹ÁÒÔÙØ ÓÙÒ¹ÇÙØÔÙØ ØÐØݺ ¾
30 ØØ ÒÒØ ÚÒÐØ ÖÔÔ Ö ÝÑÔØÓØ ØÐØغ ØØ ÝÒÑ Ø Ý¹ ØÑ Ö ÝÑÔØÓØ Ø ØÐØ ÓÑ Ý(Ø) 0 ÒÖ Ø ½ Ö ÐÐ ÝÒÒÐ ØÐй ØÒ ÒÖ Ù = 0º Ö ÐÒÖ Ý ØÑ ÐÐÖ ØØ ØØ ÝÑÔØÓØ Ø ØÐØ Ý ØÑ Ö Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐغ ¾
31 ÃÔØÐ Ì ÓÒØÒÙÖÐ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ ËÝØØ Ñ ØØ ÔØÐ Ö ØØ ØØ Ò ÄÔйØÖÒ ÓÖÑÒ ØØ Ý ØÑع Ò Ø ÑÑÒÒº ËÐØ ØÐÐ ØØ ÒÚÒ ÄÔйØÖÒ ÓÖÑÒ Ö ØØ ÒÐÝ Ó Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ ÙÒÖÐØØ Ú ÒØÐغ ÙØÓÑ Ö Ò ØØ ÓÑÔØ ØØ ØØ ÖÚ ÖÒØÐÚØÓÒÖº Î ÓÑÑÖ ØØ ØÓÖ Ùع ØÖÒÒ ÒÚÒ Ó Ú ÜÑÔÐ ÓÑ ÔÖ ÒØÖØ ÃÔØÐ ¾º ÅÒ Ö ØÓÒ ØØ ØÓÖÒ Ñ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÖ Ó Ò ÒÐÝ ÓÑ ÝÖ Ô ØØ ÖÔÔ Ò Ø Ö ØÐÐÑÔÖ Ô ÐÒÖ Ø ÒÚÖÒØ Ý ØÑ ÄÌÁ¹ Ý Øѵº Î ÖÖ Ñ ØØ ÖÔØÖ ÒÖ ÖÙÒÐÒ ÖÒÖÐÖ Ö ÄÔÐØÖÒ ÓÖ¹ ÑÖº ËÙÔÖÔÓ ØÓÒº ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ Ò ÓÑ Ò ÐÒÖ ÓÔÖØÓÖ Ó Ö¹ Ö ÐÐÖ ÙÔÖÔÓ ØÓÒ ÔÖÒÔÒ Ö ÐÒÖ Ý ØѺ ÅØÑØ Ø Ò Ú ÖÚ ØØ ÓÑ Ä 1 Ý 1 (Ø) + 2 Ý 2 (Ø) = 1 1 ( ) ( ) ÖÚÖÒº Ø ÐÐÖ ØØ Ä Ý = ( ) Ø ÖÚØÓÖ ÐÐÖ ØØ Ý(0)º Ö Ö ÓÖÒÒÒ ÄÝ () = ( ) 1 Ý(0) 2 Ý (1) (0) Ý ( 1) (0) ÇØ Ò ÑÒ ÒØ ØØ Ø Ý ØÑ ÑÒ ÖØÖ Ñ Ö ÚÐ Ú Ò¹ ÐÝ Ò»ÜÔÖÑÒØØ ÖÒ ÓÑ ÚÒÐØÚ ÒÖ ÓÑ Ø = 0) ÚÐØ ÒÒÖ ØØ ÝÒÒÐ ÚÖÒ Ö Ý Ó ÐÐ ÖÚØÓÖ Ö ÒÓÐк ¹ ØÖ ÓÑ Ý ØÑØ Ö ÐÒÖØ Ö Ø ÒØ ÐÐÖ ÒÓÒ ÖÒ ÒÒ ØØ ÒØ ØØ Ý(0) = 0 Ú Ò ØÖØ Ý ÓÑ ÚÚÐ Ö ÖÒ Ò ÖØ ÔÙÒغ ÒØÒÒ Ö ØØ ÄÝ () = ( ) ÁÒØÖØÓÒº Ö Ò ÒØÖØÓÒ Ø ÔÐÒØ ÐÐÖ ØÖÒ ÓÖÑÓÑÒÒ ØØ Ä Ø 0 Ý() = 1 ( ) ¾
32 ÐØÒÒº Ò ÑÙÐØÔÐØÓÒ ØÖÒ ÓÖÑÓÑÒÒ ÚÖÖ ÑÓØ Ò ÐØÒÒ Ø ÓÑÒÒ Ú Ä 1 ( )( ) = Ø 0 ()(Ø ) Î ÐÐ ÒÙ ØØ Ò ÖÔÔ ØØ Ý ØÑØÒ ÑÑÒÒº º½ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÖ Ö Ø ÓÒØÒÙÖРݹ ØÑ Î ÙØÖ ÖÒ Ò ÐÐÑÒÒ ÐÒÖ Ø ÒÚÖÒص ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ò Ý(Ø) Ø Ò Ò 1 Ý(Ø) + 1 Ø Ò Ò Ý(Ø) = Ñ Ù(Ø) 0 + Ñ 1 Ù(Ø) Ø Ñ 1 Ø Ñ Ñ Ù(Ø) º½µ Ö Ú ÖÚÖ ØØ Ñ Ò ÖÐÖÒÒ ØÐÐ ØØ ÖÚ ÓÑÑÖ ÒÖ ÔØÐصº ÇÑ ÑÒ ÖÙØ ØØÖ ØØ Ý ØÑØ Ö ÚÐ Ú Ø = 0 Ý Ó Ù Ó ÐÐ Ö ÖÚØÓÖ Ö ÝÒÒÐ ÚÖØ ¼µ ÐÖ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ Ú º½µ ( Ò + 1 Ò Ò ) ( ) = ( 0 Ñ + 1 Ñ Ñ )Í( ) º¾µ Ö ( ) Ó Í( ) Ö ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÖÒ Ú ÒÐÖÒ Ý(Ø) Ó Ù(Ø)º ËÝ ØÑØ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ ( ) ÒÙ ÒÓÑ ØØ Ð ÚÓØÒ ÑÐÐÒ ( ) Ó Í( ) ÓÑ ( ) = ( ) Í( ) = 0 Ñ + 1 Ñ Ñ Ò + 1 Ò Ò º µ Ø Ö Ó ÚÒÐØ ØØ ÓÖÑÙÐÖ º µ ÒÐØ ( ) = ( )Í( ) Ø ÚÐÐ Ú Ò ØÐÐ Ò ÖÒ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ÓÑ ØØ ÒØ ØØ ØØ ÖÔÖ Òع Ö Ó ÖØÖ Ð ÐÒÖ ÖÒØÐÚØÓÒÖ ÑÖ Ñ ØÖ ÙÖ Ðµº ËÖ ÐØ ØÐÐ Ò ÖØØ ÓÑÑÖ ÒÒ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ( ) ÖÔÖ ÒØÖÖ Óѹ ÔÐÜ ÖÒØÐÚØÓÒÖ ÓÑ Ò ÚÖ ÚÖ ØØ Ð ÖØ Ø ÓÑÒÒ ÑÒ ÐØØ ÓÑ ÑÒ ØÖ ÚÒ Ú ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒº Ò ÒÒÒ ÑÝØ ØÓÖ ÖÐ Ñ ØØ ÒÚÒ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ÓÑ ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ú ØØ ÐÒÖØ Ý ØÑ Ö ØØ Ò Ö Ø ÑÝØ ÒÐØ ØØ Ý ÓÔ ØÓÖ Ý ØÑ Ú ÑÒ Ð Ý ØÑÓÑÔÓÒÒØÖº ¾
33 Î ÐÐÙ ØÖÖÖ ÖÔÔØ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ Ñ ÐÒ ÜÑÔÐ ÜÑÔÐ º½º ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑØ ÜÑÔÐ ¾º¾ ØÖØ ÜÑÔÐ ¾º¾ Ö Ò Ñ Ñ Ò Ò Ö Ó Ò ÑÔÖ ÙÒÖ ÒÚÖÒ Ú Ò ÝØØÖ ÖØ º Å Ò ÔÓ ØÓÒ Ð ÖÒØÐÚØÓ¹ ÒÒ Ñ Ý(Ø) + Ý(Ø) + Ý(Ø) = (Ø) ÐÐÖ ÒÓØ ÓÑÓÖÑÙÐÖØ Ý(Ø) + Ñ Ý(Ø) + Ñ Ý(Ø) = 1 Ñ (Ø) ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÖÖ Ú ÙØØÖÝØ ÓÚÒ Ú ÒØÖ ØØ Ý ØÑØ Ö ÚÐ Ú Ø = 0µ Ó ÐÖ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ÖÒ ÖØÒ Ò Òе ØÐÐ ÔÓ ØÓÒÒ Ý ÙØ Òе ØØ ÐÐ ÐÐÖ Ô Ò ÚÒÐÖ ÓÖÑÒ ( ) = ( ) ( ) = ( ) = 1Ñ 2 + (Ñ) + Ñ 1Ñ 2 + (Ñ) + Ñ ( ) ºµ ÃÒÒÖ Ú ÐÐØ (Ø) Ó ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑ ( ) Ò Ú ÒÐØ Ú Ò Ø¹ ÐÐ ÚÖ ÒÚÖ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÖ ØÑÑ ÔÓ ØÓÒÒ Ý(Ø) ÓÑ Ä 1 ( ( ))º È ÑÑ ØØ Ò ÑÒ Ø ÖÑ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÖÒ Ö ÐÐ ÐÒÖ Ý ØÑ ÓÑ ÔÖ ÒØÖ ÃÔØÐ ¾º º½º½ ÁÑÔÙÐ ÚÖ Ó Ø ÚÖ Á ØØ Ú ÒØØ ÐÐ Ð ÒÒÒ Ú ÐÒÖ ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ö ÒÖ Ô¹ ÐÐ ÚÐ Ú Ò ÒÐÖ ÙÒÖ º ÖÒ ØÖÒ ÓÖÑØÓÖÒ Ú ØØ Ò ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÄÔÐÓÑÒÒ ÖÔÖ ÒØÖÖ Ò ÐØÒÒ Ø ÓÑÒÒº ÇÑ Ú ÐÐØ Ö Ø ÑÙÐØÔÐØÚ ÑÒØ ( ) = ( )Í( ) ºµ ÄÔÐÓÑÒÒ Ò ÙØ ÒÐÒ Ø ÓÑÒÒ ÖÚ ÓÑ Ò ÐØÒÒ ÒÓØÖ ØØ ÑÙÐØÔÐØÓÒ ÄÔÐÓÑÒÒ ÚÖÖ ÑÓØ ÐØÒÒ Ø ÓÑÒÒµ Ý(Ø) = Ø 0 ()Ù(Ø ) ºµ ¾
34 Ö (Ø) = Ä 1 (( )) Ø ÚÐÐ Ò ÒÚÖ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ ØÐÐ ÚÖ¹ ÖÒ ÙÒØÓÒÒº ÒÒ ÖÙÖ ÓØ ÒÑÒ ÚØÙÒØÓÒ ØÖ ÓÑ () ÒÖ ÙÖ ÑÝØ Ò ÒÐÒ Ù(Ø ) ÐÐ ÚØ ØÑÒÒÒ Ú ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø) Ú ØÔÙÒØÒ Øº Ò ÒÒÒ ÒÑÒÒ Ô ÚØÙÒØÓÒÒ (Ø) Ö ÑÔÙÐ ÙÒØÓÒ ÚÖ ÐÐÖ ÒÓØ ÓÖØÖ ÑÔÙÐ ÚÖº Î ØÒÖ Ó ØØ Ú ÚÐÖ Ò ÒÐÒ ÓÑ Ò Ö¹ ÔÙÐ Ù(Ø) = Æ(Ø) Ó Ö Ý(Ø) = Ø 0 ()Æ(Ø ) = (Ø) ºµ ØÖ ÓÑ Ò ÒÐÒ Ö ¼ ÙØÓÑ = Ø Ó ÖÒ ÙÒÖ ÑÔÙÐ Ò Ö ½º ÍØ ÒÐÒ Ý(Ø) Ö ÐÐØ Ð Ñ Ò ÒÚÖ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ (Ø) ØÐÐ ÚÖÖÒ ÙÒ¹ ØÓÒÒ ( ) ÚÐØ ÑÓØÚÖÖ ÒÑÒÒÖÒ ÓÚÒº Ø Ö ÒØÙÖÐØÚ ÓÑÐØ ØØ ÚÖÐØÒ ÒÖÖ Ò Ò ÒÐ ÓÑ Ö Ò Ð Ö¹ÔÙÐ ØÖ ÓÑ ÒÒ Ö ÓÒÐ ÑÔÐØÙº Î ÑÒ ÔÖØÒ Ö Ö Ö ØØ Ô ÐÑÔÐØ ØØ ÔÔÖÓÜÑÖ Ò Ð ÑÔÙÐ Òº Î ÒÖ ÙÖ ÑÔÙÐ ÚÖØ ÔÖØ Ø Ò ØÑÑ ÒÓÑ ØØ ÒÐØ ÜÔÖÑÒغ Î ÒÐÝØ ÖÒÒÖ Ö Ø ÓØ ØÝÐØ ÒÐÖ ØØ ÒÚÒ Ò Ð Ñ¹ ÔÙÐ Òº ËÝ ØÑØ Ø ÚÖ Ö Ô ÑÑ ØØ ÙØ ÒÐÒ Ö ÔÓÒ Ò ÒÐÒ Ù(Ø) Ö ØØ ÀÚ ¹µ غ ØØ Ø Ö Ù ÓÑ Ú ÚØ Ø ÓÑÒÒ Ð Ñ ¼ Ø ¼ Ø ÚÐÐ Ý ØÑØ Ö Úе Ó Ö ÚÖØ Ø ¼º ÄÔй ØÖÒ ÓÖÑ Ö ÚÖ Í( ) = º ÇÑ ½ ÐÐÖ ÑÒ ØØ Ö ØØ ÒØ Øº ÒØ ÒÙ ØØ Ú Ö ØØ ÒØ Ø ÓÑ Ò Òк ÖÒ ºµ Ö Ú ÖØ ØØ Ý(Ø) = Ø 0 () ºµ ØÖ ÓÑ Ù(Ø) =½ Ð Ø ÒØÖÚÐÐØ ¼ غ ÎÐÖ ÑÒ ØØ ØØØ Ô Ø Ð ÄÔÐÓÑÒÒ Ö ÑÒ ÖÒ ºµ ØØ ( ) = ( ) 1 Ó ÖÑ ØØ Ý(Ø) = Ä 1 (( ) 1 ) ºµ Ó ØÖ ÓÑ 1 ÄÔÐÓÑÒÒ ÑÓØ ÚÖÖ Ò ÒØÖØÓÒ Ø ÓÑÒÒ Ð¹ ÓÑ Ò Ê ØÓÖ ÑÓØ ÚÖÖ Ò ÖÚÖÒµ Ø ÚÖØ ÒÐØ ØÖ ÓÑ Ø Ý(Ø) = ()º 0 ÆÒ ÐÐ Ú ÙÒÖ ÑÔÙÐ Ó Ø ÚÖ Ö ØØ ÔÖ Ú Ý ØÑÒ ÖÒ ÃÔØÐ ¾º ¼
35 ÜÑÔÐ º¾º ÁÑÔÙÐ Ó Ø ÚÖ Ö ÖÚÓ Ý ØÑØ ÜÑÔÐ ¾º µ Á ÜÑÔÐ ¾º ØÐÐ ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ö ØØ Ý ØÑ Ö Ò Ñ ÖÓع Ö Ñ Ò ÑÓØÓÖ Ú Ò ØÐ Üк ÇÑ Ú ÒØÖ ØØ Ñ Ò ØÖØ ÑÓÑÒØ Â =½ Ñ 2»Ö Ó Ò Ú ÖØÓÒ ÓÒØÒ =½ Ñ 2»»Ö ÒÐØ ¾º½½µ (Ø) + (Ø) = Ì (Ø) Ó ÒÓÑ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÖÒ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ÖÒ Ø ÖÚÒ ÑÓÑÒØØ Ì ØÐÐ ÚÒÐÐØ ÓÑ ( ) = ( ) Ì ( ) = 1 ( + 1) Ø ÚÐÐ 1 ( ) = ( )Ì ( ) = ( + 1) Ì ( ) Ö Ø ÒØÖ Ú ØØ Ø ÖÚÒ ÑÓÑÒØØ Ì ÖÒ ÑÓØÓÖÒ Ö Ò ÑÔÙÐ º ÐÐÖ ÒÐØ ºµ ØØ (Ø) = (Ø) = Ä 1 (( )) = Ä 1 1 ( ( + 1) ) = 1 Ø º½¼µ Á ÙÖ º½ Ú ØØ ÑÔÙÐ ÚÖ Ó Ö ÙÐØØØ ÒÒ ÒØÙØÚØ Ý Ð Ø Öѹ Ðغ ÅÒ Ò ÑÖ ØØ Ð Ô Ò ÑÔÙÐ Ñ ØØ ÓÖØÚÖØ Ð Ô ÑÓØÓÖÒ Ó ÙÒÖ ØØ ÓÖØ Ø ÒØÖÚÐÐ ÒÖÖ ØØ ÚÖÒ ÑÓÑÒغ Á ØØ ÒØ ÐÐ Ö Ù Ð ØÒ ÓÖØÚÖØ ÖÓØÖ Ö ØØ Ò ØÒÒ ÒÓØ ÒÝØØ ÚÒÐк ع Ø Ö Ù ÔÖ Ú ÓÑ ÙÖÒº ØÖØÖ Ú ÒÙ Ø ÚÖØ ÚØ Ú ØØ ØØ Ú (Ø) = Ä 1 ( ( ) ) = Ä ( ( + 1) ) = ÈÖØÐÖ ¹ ÙÔÔÐÒÒ = Ä 1 ( ( + 1) ) = Ä 1 ( 1 2) Ä 1 1 ( ( + 1) ) = = Ø (1 Ø ) º½½µ ÚÐØ Ó Ö Ý Ð Ø ÖÑÐغ ËØØ ÑÓØ ÚÖ Ù Ú ØØ Ú ÐØÖ ÑÓØÓÖÒ ÒÖÖ ØØ ÓÒ ØÒØ ÑÓÑÒØ Ø ÚÐÐ ÑÓØÓÖÒ Ö Ô ÐÒ Ð ØÒº Å Ò Ö Ù Ð ØÒ ÖÓØÖ ÖÙÒØ Ò ÜÐ Ó ÚÒÐÐØ ÖÑ º ØØ ÑÓØ ÚÖ Ù Ö Ú ØØ Ð ÒÒÒ ÒÒÐÐÖ Ò ÖÒ Ø¹ØÖÑ Ó ÖÑ Ö ÑÓØ ÓÒÐØÒ Ñ ØÒº Ö Ø ½¼ ÙÒÖÒ Ú Ø ÚÖØ ÒÒ ÔÐÓØØ ÙÖ º¾º ½
36 1.2 1 Slutlig nivå för impulssvaret 0.8 Vinkelläge θ [rad] tid [s] ÙÖ º½ ÁÑÔÙÐ ÚÖ Ö Ý ØÑØ Ñ ÖÓØÖÒ Ñ º Vinkelläge θ [rad] tid [s] ÙÖ º¾ ËØ ÚÖ Ö Ý ØÑØ Ñ ÖÓØÖÒ Ñ º ÜÑÔÐ º º ÁÑÔÙÐ Ó Ø ÚÖ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑØ ÜÑÔÐ º½ ÒØ ÒÙ ØØ Ñ Ò Ö ÚØÒ Ö¹Ñ Ý ØÑØ Ö Ñ =½ º Ö¹ ÓÒ ØÒØÒ =½» 2 ÚÐØ Ö ÑÑ ÒØ ÓÑ Æ»Ñ Ø ÚÐÐ Ò ÖØ ÖÒ ÚÖÖ Ñ ÔÖ ÑØÖ Ò Ö ÙØÖÒµ Ó ÑÔÒÒ ÓÒ ØÒØÒ =¼º» º ËØØÖ Ú Ò ÓÒ ØÒØÖ ÚÖ ºµ ÑÒØ ( ) = ( ) º½¾µ ¾
37 ÒØÖ Ú ÒÙ ØØ ÖÖØÒ (Ø) Ö Ò ÑÔÙÐ ÒÐØ Ö ÓÒÑÒØ ÓÚÒ Ñ ÐÔ Ú Ò ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑØÐÐ ØØ Ý(Ø) = (Ø) = Ä 1 (( )) = Ä 1 1 ( ) 1 = Ô 025Ø sin( Ô 09375Ø) º½ µ ØØ ÑÔÙÐ ÚÖ Ú ÙÖ º º Ê ÙÐØØØ ÒÒ ÒØÙØÚØ ÖÑÐØ Ö ØØ Ý ØÑ ÓÑ ÑÒ ÐÖ Ô Ò ÓÖØÚÖ ÖØÑÔÙÐ Ö Ñ Ò ÐÑÒ ØØ Ñ¹ ÚØ Ð Ý =¼µ ÑÒ ÑÒÒÓÑ ÚÒØÙÐÐØ Ú Ó ÐÐØÓÒÖ ØÖ Ø ÒÖ ÒÚÖÒ Ú ÑÔÙÐ Ò ÚØغ Position y(t) [m] Jämviktsnivå tid [s] ÙÖ º ÁÑÔÙÐ ÚÖ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑغ È ÑÑ ØØ Ò ÑÒ Ñ ÐÔ Ú ØÐÐÒ ÖÒ ÙØ Ø ÚÖØ ÓÑ Ý(Ø) = Ä 1 ( ( ) ) = Ä ( ) º½µ ÚÐØ Ó Ö ÙÔÔÓÚ ØÐÐ Ò Ð ÖÒÒÖ ÓÑ Ú ÓÔÔÖ ÚÖ Öº ËØ ÚÖØ ÒÒ Ó ØØ ÙÖ ºº ÚÒ ØØ Ö ÙÐØØ ÒÒ ÒØÙØÚØ ÖÑÐØ ÐÖ ÑÒ Ô Ò ÓÒ ØÒØ ÖÖØ Ö Ù Ñ Ò ÐÑÒ ØØ ÑÚØ Ð Ó ÙØÓÑ ÖÐ ÙØÖÒº ÅÒ Ò Ö Ú ÚØ Ò Ö Ñ ØØ ÙÒÖ Ý ØÑØ Ö ÔÓÒ Ö ÒÐ Ò ÒÐÖ ÓÑ ÑÔÙÐ Ö Ó Øº ØØ ÚÖ Ô ÖÒ Ö ØØ Ø Ö ÐØØ ØØ ÙØÖÒ Ö ÔÓÒ Ö Ö Ð Ú Ò ÔÖ Ó Ý ØÑÒº Î ÚÖ Ø Ü ÙÖ ÑÝØ ÑÔÙÐ ÚÖØ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑØ Ó ÐÐÖÖ ÒÒÒ Ø ØÖÖ
38 1.5 1 Position y(t) [m] 0.5 Slutlig nivå för stegsvaret tid [s] ÙÖ º ËØ ÚÖ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑغ ØÐÐ ÑÚØ ÐØ Ó Ú ÚÖ ÙÖ ÒØ ÑÒ ÒÖ ÐÙØÚÖØ Ö Ø ÚÖØ ËÚÖØ ÐÖ ÒØÙÖÐØÚ Ý ØÑØ ØÖÙØÙÖ Ó ÓÐ ÔÖÑØÖÖÒ ÚÖÒº ÍØÖÒ ÜÑÔÐÒ ÓÚÒ Ò ÑÒ Ó Ò ÓÚØ Ú ØØ ÒÖÐÐØ ÖÑÚÖ Ö ØØ ÖÚ Ó ÒÐÝ Ö Ò ÔÖ Ó ÝÒÑ Ý ØÑ Ó Ø Ö Ó Ú Ò Ø Ú ÒØØ ÐÐ ÒÐ ÓѺ º½º¾ ÈÓÐÖ ÒÓÐÐ ØÐÐÒ Ó ØÐØØ Ö Ø ÓÒØÒÙÖÐ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ø ÓÒØÒÙÖÐØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Ñ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ( ) = ( ) ( ) = 0 Ñ + 1 Ñ Ñ Ò + 1 Ò Ò ËÝ ØÑØ ÔÓÐÖ ÒÖ ÓÑ ÒÓÐÐ ØÐÐÒ ØÐÐ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ÒÑÒÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÚÐÐ ÖØØÖÒ ØÐÐ Ò + 1 Ò Ò = 0 ÓÑ Ó ÐÐ Ò ÖØÖ Ø ÚØÓÒÒº ËÓÑ Ú ÒÖØ ÐÐ ÙØÖ Ö ÔÓÐÖÒ ÐÒ ØÓÖ ØÝÐ Ö Ø ÝÒÑ Ý ØÑØ ÙÔÔÖÒº ÆÓÐÐ ØÐÐÒ Ö ØØ Ý ØÑ Ô ÑÑ ØØ Ú ÒÓÐÐ ØÐÐÒ ØÐÐ ÚÖÖÒ ¹ ÙÒØÓÒÒ ØÐÖÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÚÐÐ ÖØØÖÒ ØÐÐ 0 Ñ + 1 Ñ Ñ = 0 Î ÓÑÑÖ ÖÑÐ ÒØ ØØ ÙØÖ ØÝÐ Ò Ú ÒÓÐÐ ØÐÐÒ Ö ÐØ ÑÝغ
39 Ö ØØ ÐÐÙ ØÖÖ ÖÔÔÒ ÔÓÐÖ Ó ÒÓÐÐ ØÐÐÒ ØØØÖ Ú Ô ØØ ÒÐØ Ü¹ ÑÔÐ ÜÑÔÐ ºº ÈÓÐÖ Ó ÒÓÐÐ ØÐÐÒ Ö Ý ØÑØ Ñ Ñ ÓÑ ÖÓع ÖÖ Ô ØÐ ÜÐ ÜÑÔÐ º¾µ Á ÜÑÔÐ º¾ ÓÒ ØØÖ ØØ ÖÚÓ Ý ØÑØ Ö ØØ Ú Ø ÚÐ Ú ÔÖÑØÖÖ Ö ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ 1 ( ) = ( + 1) ËÝ ØÑØ ÔÓÐÖ ÐÐØ Ú ÚØÓÒÒ ( + 1) =¼ Ø ÚÐÐ ÔÓÐÖÒ Ö =¼ Ó = ½º ØÖ ÓÑ Ú ÒØ Ö ÒÓØ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÐÖÒ Ö Ý ØÑØ Ò ÒÓÐÐ ØÐÐÒº Á Ú ÒØØ ¾º ÙØÖ ÓÖØ ØÐØØ ÖÔÔغ Î ÐÐ Ö ÙÒÖ ÙÒÖ ÚÐ ÚÐÐÓÖ ØØ Ø ÓÒØÒÙÖÐØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ ÙÔÔÝÐÐÖ ÓÐ ÒØÓ¹ ÒÖÒº ÅÒ Ò Ú ØØ Ö ÖÐÖØÒÙÖ Òµ ØØ ÐÒ ÐÐÖ ÐÐÖ ØØ Ý ØÑ Ö Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐØ ÓÑ ÐÐ ÔÓÐÖ Ö ØÖØ Ò¹ ØÚ ÖÐк ØØ Ý ØÑ Ö ÐÐ ÔÓÐÖ Ö ØÖØ ÒØÚ ÖÐÐ Ö Ó ÝÑÔØÓØ Ø ØÐØ Ú Ý(Ø) 0 ÒÖ Ø ½ Ö ÐÐ ÝÒÒÐ ØÐÐ ØÒ ÒÖ Ù = 0º ÀÖÒ Ø ÐÐ Ú ÙØÖ Ò ØÐØØ ÒÐÝ Ö Ý ØÑÒ ÜÑÔÐ º¾ Ó ÜÑÔÐ º º ÜÑÔÐ ºº ËØÐØØ ÒÐÝ Ö ÖÚÓ Ý ØÑØ ÜÑÔÐ º¾ 1 Î Ö Ú Ø ØØ ÖÚÓ Ý ØÑØ Ñ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ( ) Ö Ò ÔÓÐ ( +1) =¼ Ó Ò =¹½º ØÖ ÓÑ Ò Ú ÔÓÐÖÒ ÖÐÐ Ö ÒÓÐÐ ÑÒ Ò ÒÖ Ö Ò ØÖØ ÒØÚ ÖÐÐ Ö Ý ØÑØ Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐغ ØØ Ý ØÑØ ÒØ Ö Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐØ Ò Ú ÐØØ ÙÖ º¾º ÀÖ Ö Ú Ò ÓÒ ØÒØ ÖÒ Ò ÒÐ Ù =½µ ÑÒ Ý ØÑØ ÙØ ÒÐ ÚÜÖ Ð ØÒ Ø Öº ØØ Ö ÔÖ Ø Ú ÖÚØ ØÖ ØÖ ÓÑ Ú ÒØÖ ØØ ÑÓØÓÖÒ Ö ÖÚÖ Ñ ØØ ÓÒ ØÒØ ÑÓÑÒØ ÓÑÑÖ Ñ Ò Ð ØÒ ØØ ÓÖØ ØØ ÖÓØÖ Ó ÚÒÐÒ ÓÑÑÖ ÖÑ ØØ º ÜÑÔÐ ºº ËØÐØØ ÒÐÝ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑØ ÜÑÔÐ º Î Ö ÓÒ ØØÖØ ØØ ÚÖØ Ý ØÑ Ö Ò Ñ ÚÖ ÙÔÔÒ Ò Ö Ó Ò ÑÔÖ Ö ØØ Ú Ø ÚÐ Ú ÔÖÑØÖÖ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ( ) =
40 Ó Ò ÖØÖ Ø ÚØÓÒÒ ÖÖ Ú ÙØØÖÝØ ¼º Ä Ö ÑÒ ÒÒ ÚØÓÒ ÔÓÐÖÒ Ô 1 15 = 4 4 Ó Ý ØÑØ Ö ÖÑ Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐØ ØÖ ÓÑ Ú Ö ØØ ÓÑÔÐÜÓÒ¹ ÙÖØ ÔÓÐÔÖ Ñ ØÖØ ÒØÚ ÖÐÐ Ó ÖÚÖ ØØ ÓÑÔÐÜ ÔÓÐÖ ÐÐØ Ö ÓÑÔÐÜÓÒÙÖµº ÂÑÖ Ú ÒÙ Ö ÙÐØØØ ÖÒ ØÐØØ ÒÐÝ Ò Ñ Ý ØÑØ Ø ÚÖ ¹ ÙÖ ºµ Ö Ú ØØ ÚÐ ÚÖÒ ØÑÑÖº Ö Ò ÓÒ ØÒØ ÖÒ Ò ÒÐ ÖÖص ÖÐÐ Ò ÖÒ ÙØ ÒÐ ÔÓ ØÓÒµº º½º ËÑÒ ÑÐÐÒ ÔÓÐÐ Ó Ö ÔÓÒ Ø ÔÐÒØ Á ÖÒ Ú ÒØØ Ö Ú ÙØÖØ Ú ÓÑ ÒÖ ØØ Ý ØÑ ÒØ Ö Ø¹ Ðغ ÖÒ Ö ÒÙ ÙÖ ÔÓÐÖÒ Ð Ø ÓÑÔÐÜ ØÐÔÐÒØ ÔÚÖÖ Ö ÔÓÒ Ò Ø ÔÐÒØ Ö ØØ ØÐØ Ý ØѺ Î ÐÐ ØÐÐ ØØ Ö Ñ ØÙÖ ØØ ÒÐØ ÜÑÔк ÜÑÔÐ ºº ËÑÒ ÑÐÐÒ ÔÓÐÐ Ó Ø ÚÖ Ö ØØ Ö Ø ÓÖ¹ ÒÒÒ Ý ØÑ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ö Ø ÓÖÒÒÒ Ý ØÑ ÚØ ÓÑ ( ) = + Í( ) Ö Ö ÒÓÒ ÔÖÑØÖº ÄØ ØØ Ú ÐØÖ ÒØ ÚÖÒ ½ ¾ Ó ÚÐØ ÑÓØ ÚÖÖ ØØ Ý ØÑØ ÔÓÐ ÓÑÑÖ ØØ Ð ¹½ ¹¾ Ö ÔØÚ ¹ º Á ÙÖ º ÒÒ Ø ÚÖØ Ö ØÖ ÐÐÒ ÔÐÓØغ ÍÖ ÙÖÒ Ò ÑÒ ÙØÐ ØØ Ø ÚÖØ ÐÖ ÒÖ Ù ÐÒÖ ÖÒ ÓÖÓ ÔÓÐÒ ÐÖº ÅÒ Ö Ó ØØ Ý ØÑØ Ø ÚÖ ÒØ Ö Ó ÐÐØÚØ Ö ÒÓØ ÚÐ Ú Ý ØÑÔÓк ÆÑÒ Ò Ó ØØ ÓÑ ÑÒ ÚÐÖ ¼ Ò ÔÓÐ Ö ÐÚÔÐÒ Ó Ð ÒÒÒ Ö ÑÓØ ÓÒÐØÒº ÖÒ ØØ ÜÑÔÐ Ò ÑÒ Ö ÐÙØ Ø Ò ØØ Ù ÐÒÖ ÖÒ ÓÖÓ ØØ Ý ØÑ ÔÓÐÖ ÐÖ ØÓ ÒÖ Ö Ý ØÑØ Ö ÔÓÒ ÚÐØ Ó Ö Ò ÒÖÐÐ ÒÒÒº Ø Ö Ó ÒÖÐÐØ ÒØ ØØ Ö ÔÓÒ Ò ÖÒ ØØ Ý ØÑ Ñ ÖÒØ ÖÐÐ ÒØÚ ÔÓÐÖ ÒØ ÙÔÔÚ Ö ÒÖ Ó ÐÐØÓÒÖº Î ÐÐ ÖÒ Ø ØØØ Ô ØØ Ý ØÑ Ñ ÑÑ ØÖÙØÙÖ ÓÑ ÚÖØ Ö¹Ñ Ý ØÑ Ø ÚÐÐ ØØ Ý ØÑ Ñ ÓÑÔÐÜÓÒÙÖ ÔÓÐÖº
41 a=3 y(t) 0.6 a=2 0.4 a= t [s] ÙÖ º ËØ ÚÖ Ö Ý ØÑØ + Ö ÓÐ ÚÖÒ Ô º ÜÑÔÐ ºº ËÑÒ ÑÐÐÒ ÔÓÐÐ Ó Ø ÚÖ Ö ØØ ÒÐØ Ò¹ Ö ÓÖÒÒÒ Ý ØÑ Î ÙØÖ ÖÒ Ý ØÑØ ( ) = Í( ) Ö Ö ÒÓÒ ÔÖÑØÖº Î ÚÐÖ ÒÙ =½ ¾ ½¼ ÚÐØ ÑÓØ ÚÖÖ ØØ Ý Ø¹ ÑØ ÔÓÐÖ ÑÒÖ =¹½ =¹½ =¹½ Ö ÔØÚ =¹½ º ËØ ÚÖÒ Ö ÝÖ ÐÐÒ ÒÒ ÔÐÓØØ ÙÖ ºº y(t) b= b=4 0.4 b=2 0.2 b= t [s] ÙÖ º ËØ ÚÖ Ö Ý ØÑØ Ö ÓÐ ÚÖÒ Ô º ËÓÑ Ø ÖÖ ÜÑÔÐØ ØØ ÒØÒ Ö ÔÓÒ Ò Ö Ú ØÒØ ÑÐÐÒ ÔÓÐÒ Ó ÓÖÓ Ø ÓÑÔÐÜ ØÐÔÐÒØ Öº Ò ÒÖ ÒØÖ ÒØ
42 Ó ÖÚØÓÒ ÑÒ Ò Ö Ö ØØ Ó ÐÐØÓÒÖÒ Ø ÚÖØ Ö ÔÓÐÒ Ñ¹ ÒÖÐ ÐÖ ØÖÖ ÖÐØÚØ ÖÐÐÒº Î ÐÐ ÒÒ ÑÑÒØØ Ú Ú ØØ ÜÑÔÐÒ ÓÚÒ ÑÖ ¹ ÒÖÐÐ ÓÖк Ê ÔÓÒ Ò Ô Ò ÒÐÒ Ö ØØ ØÐØ Ý ØÑ Ö ÒÖ Ù ÐÒÖ ÖÒ ÓÖÓ Ý ØÑØ ÔÓÐÖ ÐÖº ØØ Ý ØÑ Ñ ÖÒØ ÖÐÐ ÔÓÐÖ Ö ÒØ Ó ÐÐØÚغ ØØ Ö Ø ÓÖÒÒÒ Ý ØÑ Ö ÖÖ ÐÖ Ó ÐÐØÚغ ÂÙ ØÖÖ ÔÓÐÖÒ ÓÑÔÐÜ Ð Ö ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò ÖÐÐ ÐÒ ØÓ ÑÖ Ó ÐÐØÚØ ØÖ Ý ØÑغ ÒÓÑ ØØ ØÙÖ ØØ Ø ÚÖ ÐÐÖ ÑÔÙÐ ÚÖ Ö ØØ Ý ØÑ Ò ÑÒ ÐÐØ Ö Ú ÐÙØ Ø Ö ÓÑ Ý ØÑØ ÓÖÒÒ Ó ÚÐÒ ØÝÔ Ú ÔÓÐÖ Ø Ö ØØ ÚØØ Ø Ø ÐÐÖ ØØ Ð Ö Ý ØÑغ Á ÙÖ Ò ÊÐÖØÒ ÓÑÑÖ Ö ÓÒÑÒÒ ÓÚÒ ØØ ÖÑ ØÐÐ Ô ØØ ÑÖ ÓÖÑÐÐØ Øغ º½º ØØÖÐÖ ÒÖ ÖÒÖÐÖ Ó ÒØÓÒÖ Ø ØÖ Ú ÖÒÖÐÖÒ Ö ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÖ ØÖÓÑÑÖ ÓØ Ú ÒÐÝ Ö Ú ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Ú ÐÐ Ö Ø ÙÔÔ ÝØØÖÐÖ ÒÖ ÚØ ÖÒÖÐÖ ËÐÙØÚÖ ØÓÖÑغ ÒÒ Ø ÒÚÒ Ö ØØ ØÙÖ ØØ Ý ØÑ ØØ ØØÓÒÖµ Ò ÔÖ Ø ÚÐÐ Ú Ý ØÑØ ÙØ ÒÐ ÓÒÚÖÖÖ ÑÓØ Ø ½º Ö Ò ÒÐ Ý(Ø) ÐÐÖ ØØ lim Ý(Ø) = lim ( ) ؽ 0 Ò ÚØ ÖÙØ ØØÒÒ Ö ØØ ÐÙØÚÖ ØÓÖÑØ ÐÐ ÐÐ Ö ØØ ÖÒ ¹ ÚÖØ Ý(½) ÚÖÐÒ Ü ØÖÖ ÚÐØ ÐÐÖ Ý(Ø) ÓÒÚÖÖÖ ÑÓØ ØØ ÓÒ ØÒØ ÚÖº ËÐÙØÚÖØ Ö Ò Ø ÒÚÒ Ö ØÐ Ý ØѺ ÁÒ ¹ ÒÐÒ ØÐÐ Ý ØÑÒ Ö ÐÐÖ ÒØ ÚÖ Ò ØØ ÙØ ÒÐÒ Ý Ó ÐÐÖÖ ÓÑÔØ ÐÐÖ ÚÖÖÖº Ç ÖÚÖ Ö ÐØ ØØ ÐÙØÚÖ ØÓÖÑØ ÒØ ÐÐÖ ÒÙ ÒÐÖ ÒÚÒ ÓÑ Ò ÒÐ ØÐÐ ØØ ÐÒÖØ Ý ØѺ ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑغ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ Ö Ò ÒÐ Ö ÚÒ Ò ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑØ ÒÚÒ Ö ØØ ØÑÑ ÒÐÒ ÚÖ Ø 0 + ÒÐØ lim Ø0 +Ý(Ø) = lim ( ) ½ ÚÐØ Ö ØÝÐØ ÒÐÖ Ò ØØ ØÑÑ Ý(Ø) Ö Ò ÓØÝÐ Ø Ø Ó Ò ÔÐÐØ ØÑÑ Ý(0)º Ç ÖÚÖ ØØ ÒÑÒØ ÝÒÒÐ ÚÖ Ø¹ ÓÖÑ Ö Ñ Ú Ò ØÓÖÑØ ÒØ Ö Ú ÓÑ ÒÖ Ø = 0 ÙØÒ
43 Ø 0 + º Ø Ö ÐÐØ ÒØ ÝÒÒÐ ÚÐÐÓÖØ ÖÒØÐÚØÓÒÒ ÑÒ Ò ÖÑ ÙØÒ ÓÑ Ý(Ø) ÙÔÔØÖÖ Ô ØØ ÓÒØÒÙÖÐØ Ú Ø 0 + º Ì Ü Ò ÑÒ ÙÒÖ ÓÑ Ý(Ø) Ö Ò ØÖÒÖÒ Ø = 0º ÖÖÒÒ Ø Òº ÅÒ ÚÖÐ Ý ØÑ ÒÒÐÐÖ Ø ÖÖÒÒÖ Ø ÚÐÐ Ý ØÑØ ÚÖÖ Ö Ø ØÖ Ò Ú Øº ØØ ÐÐÖ Ø Ü ÑÒ Ý ØÑ ÓÑ ÒÒÐÐÖ ÒÓÒ ÓÖÑ Ú ØÖÒ ÔÓÖغ Ì Ü Ù Ò ØÖ Ø Ò Ú Ø ÖÒ ØØ ØÖÑÓ ØØÒ ÒÖ ØÐÐ ØØ ØÒ Ú ÖÒÖÒÒ ÒÖ Ù ÖÒº ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ý ØÑ Ñ Ò ÖÒ Ø ÖÖÒÒ Ý(Ø) = Ù(Ø Ì ) Ø ÚÐÐ Ì Ö Ò Ø ÓÑ Ý ØÑØ ÖÖÖ ÒÚÖÒ Ú Ò ÒÐÒº ÐÐÖ ØØ ( ) = Ì Í( ) ÐÐØ Ö ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ Ö Ò ÖÒ Ø ÖÖÒÒ Ì Ð Ñ Ì º Î ÐÐ Ö ÐÐÙ ØÖÖ ÐÙع Ó ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑØ ØØ ÜÑÔÐ Òѹ ÐÒ Ö¹Ñ Ý ØÑغ ÜÑÔÐ ºº ËÐÙØ Ó ÝÒÒÐ ÚÖ Ö Ö¹Ñ Ý ØÑØ Ü¹ ÑÔÐ º Á ÜÑÔÐ º ÓÒ ØØÖ ØØ Ö¹Ñ Ý ØÑØ Ö ØØ Ú Ø ÚÐ Ú Ô¹ ÖÑØÖÖ ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ñ ÐÔ Ú ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ ÙÒ ÖÚ ÓÑ 1 ( ) = ( ) ÇÑ Ú ÚÐÖ Ò ÒÐÒ ÓÑ ØØ ÒØ Ø ( ) = 1 ÙØØÖÝ Ø ÚÖØ ÓÑ 1 1 ( ) = Ò Ú ÄÔÐÓÑÒÒ ÒØ ÒÙ ØØ Ú Ö ÒØÖ Ö Ú ØØ ÖÑ Ø ÐÙØÐØ ØØÓÒÖµ ÚÖØ Ô ÔÓ ØÓÒÒ Ý Ø ÚÐÐ Ò ÓÒ ØÒØ Ò ÒÐÒ ÚÖØ ÙÒÖ ÓÒÐØ ÐÒ Øº ËÐÙØÚÖ ØÓÖÑØ Ö ØÐÐÑÔÐØ Ó Ú Ö ØØ lim Ý(Ø) = lim ( ) = lim 1 1 ؽ = 1 = lim = 1 ÒØ ØØ ÚÖØ ÙÒÖ ÐÒ ÓÒе Ø Ö ÐÐØ Ñ Ò ÔÓ ØÓÒ ÚÖ ½ ÑØÖ ÖÒ ÒÓÐÐÔÙÒØÒº Á ÙÖ º Ö Ú Ó ØØ ØØ Ö ÚÖ ÐÐØ ÖÒ ØÖ ¾ ÙÒÖ Ö Ñ Ò ØÝÐØ ÚÒØ Ò ÑÓØ Ò ÔÓ ØÓÒ ½ ÑØÖ ÖÒ ÒÓÐÐÔÙÒØÒº
44 ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑØ Ö ÒÙ lim Ø0 +Ý(Ø) = lim ( ) = lim 1 ½ ½ = lim ½ = 0 1 = ÚÐØ Ó ÚÖÒ ØÑÑÖ Ñ Ö ÙÐØØØ ÙÖ º Ø ÚÖØ Ö Ò ÓÔÔ ÖÒ Ú ÖÐÓÔÔغ ÜÑÔÐ º½¼º ØØÖÐÖ ØØ ÜÑÔÐ Ô ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑØ Î ÐÐ ÒÙ ØÖØ ØØ ÐÐ Ö Ò ÓÒØÒÙØØ Ò ÔÖ Ñ ÐÔ Ú Ø ÐÐ ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑغ Î ØÖØÖ ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ö Ú ÒØÖ ØØ Ý(0) = 0º ØØ Ö Ý(Ø) + Ý(Ø) = Ù(Ø) + 2Ù(Ø) ( ) = + 2 Í( ) º½µ + 1 ËØ ÚÖØ Ù(Ø) Ö ØØ ÒØ Ø Ú Ø = 0µ Ö ØØ Ý ØÑ ÒÒ ØÖÚØ ÙÖ ºº Î Ö ÖØ ÙÖ ÙÖÒ ØØ ÐÙØÚÖØ Ö Ý Øµ Ö ¾ ÚÐØ Ú Ó utsignal y(t) t[s] ÙÖ º ËØ ÚÖ Ö Ý ØÑØ ÚØ Ú º½º Ò ÚÖÖ Ô ÑÑ ØØ ÓÑ Ø ØÖ ÜÑÔÐغ ÁÒØÖ ÒØÖ Ö Ø ØØ ØÖØ ÝÒÒÐ ÚÖØ Ö Ý(Ø)º ØØ ÚÖÖ ÙÖ º ÚÖ Ð Ñ ½ ØÖÓØ ØØ Ú Ù Ý(0) = 0º ØØ Ò ÖÐÖ Ñ ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑغ Î ¼
45 Ö ØØ lim Ø0 +Ý(Ø) = lim ( ) = lim ½ + 2 = lim ½ + 1 = ½ = Ä ÒÒÒ Ý(Ø) ÖÖ ÐÐØ ¼ ÑÒ ÓÔÔÖ ÓÑÐÖØ ØÐÐ ½ Ø 0 + º ÒÒ ØÝÔ Ú ÓÒØÒÙØØÖ Ò ÑÒ ÐÐØ ÔÖ Ñ ÝÒÒÐ ÚÖ ØÓÖÑغ ØØ ÜÑÔÐ Ô Ö ÒÒ ØÝÔ Ú ÓÔÔ Ò ÙÔÔÓÑÑ Ö ÐØÖ ÖØ Öº º½º ÃÐ ÖÒ Ú Ý ØÑ ÙØÖÒ Ö ÔÓÒ Ø ÔÐÒØ Ö ÝÒÑ Ý ØÑ ÐÖ ÑÒ Ô ØÖÒ ÒØ Ó ØØÓÒÖ Ò ÔÖº ØØ Ý ØÑ ÔÚÖ Ú Ò Ò ÒÐ Ö Ö Ø ØØ Ò ÚÒÒÒ ÖÐÓÔÔ Ò ØÖÒ ÒØ ÒÒÒ ÚÖÒ Ö ØÐÐ Ø ØØÓÒÖ ØÐÐ ØÒغ Î ØÖÒ ÒØÒÐÝ ÐØÖ ÑÒ ÖÐ Ò ÑÔÙÐ ØØ Ø ÐÐÖ Ò ÖÑÔ ØÒ ÓÑ Ò Òк Á Ù Ó¹ ÒÒ ÒÒ ÐÐ Ú ØÓÖØ ØØ ÖÒ Ó ØÐÐ ÐÐØ Ñ ØØ Ø ÓÑ Ò ÒÐ ØÐÐ ØØ ØÐØ Ý ØÑ ÒÓØÖ ØØ ÒØÓÒÖÒ ÒÒ ÒØ ÖÓÖ Ú ØÖÒ ÓÖÑѹ ØÓÖÒ Ó ÖÑ ÐÐÖ ÚÒ Ö ÓÐÒÖ Ý Øѵº ØØ ØÝÔ Ø Ø ÚÖ Ö ØØ ØÐØ Ý ØÑ Ú ÙÖ º Ó ÐÒ ÔÖÑØÖÖ ÒÖÖ Ö ØÖÒ¹ ÒØ Ò ÔÖÒº ÒØÓÒÖÒ ÒÒ ÐÐÖ ÚÒ Ö ÑÔÙÐ ÚÖ Ö ØÐ Ý ØÑ ÓÑ Ø Ü ÖÚÓ Ý ØÑØ ÜÑÔÐ ¾º º ËØØÒ Ø Ö Ö Ò Ø Ø ØÖ Ö ÙØ ÒÐÒ ØØ ÖÒ ½¼± ØÐÐ ¼± Ú ÐÙØÚÖغ ÁÒ ÚÒÒÒ ØÒ Ø 5% Ö Ò Ø ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø) Ö ÚÒØ Ò ÒÒÒÖ ÓÑÖØ 095Ý(½) Ý(Ø) 105Ý(½)º ÍØ ÒÐÒ Ñ Ø ÐÐØ ØÒÒ ÒÓÑ ØØ ÓÑÖ ØÖ ØÒ Ø 5% º Ì ÓÒ ØÒØÒ Ö ØØ Ý ØÑ Ì 63% Ö Ò Ø ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø) ÒØØ ± Ú ÐÙØÚÖغ ÅÜÑÐ ÖÐØÚ ÚÖ ÐÒ Å ÒÖ Ö ÔÓ ØÚ Ý ÓÑ Å = max Ø(Ý(Ø)) Ý(½) Ý(½) ÇÚÒ Ö Ú ÙØÖØ ÔÖÑØÖÖ Ö ØØ ÔÖ ØØ Ý ØÑ ØÖÒ ÒØ Ò ÔÖº ØØ ÙÒÑÒØÐØ ÖÔÔ ÓÑ ÒÖÖ ØØ Ý ØÑ ØØ Ø¹ ØÓÒÖµ Ò ÔÖ Ö ØØ Ö ØÖÒÒº Ò ÒÐÒ Ö Ò ÓÒ ØÒØ ½
46 1.5 M y(t) t T 63% t [s] 5% t r ÙÖ º ËØ ÚÖ Ñ ÔØÓÒ ÔÖÑØÖÖ Ö ØØ ØÐØ Ý ØѺ Ù 0 Ó ÙØ ÒÐÒ ÚÒÖ Ò ÑÓØ Ò ÓÒ ØÒØ ÒÚ Ý(½) = lim ؽ Ý(Ø) ÒÖ Ò ØØ Ö ØÖÒÒÒ ÓÑ Ã = Ý(½) Ù 0 º½µ Ö ØØ ÒÒ ÒØÓÒ ÚÖ ÑÒÒ ÙÐÐ Ñ Ø Ý ØÑØ ÚÖ Ò Òй ÙØ ÒÐ ØÐØ ØÖ ÓÑ ÖÒ ÚÖØ Ý(½) Ü ØÖÖ Ú ÓÒ ØÒØ Ò Òк ØØ ÑÖ Ò ØÙÖ ØØ ÐÙØÚÖ ØÓÖÑØ Ö ÒÚÒ º Ò ÒÐÒ Ö ØØ Ø Ñ ÒÚÒ Ù 0 ÓÒ ØÒØ ÒÐ Ö Ø 0µ Ö Ú ØØ ÙØ ÒÐÒ Ö ØØ ÝÒÑ Ø Ý ØÑ ( ) = ( )Í( ) ÓÒÚÖÖÖ ÑÓØ Ý(½) = lim ؽ Ý(Ø) = lim 0 ( ) = lim 0 ( ) Ù 0 = (0)Ù 0 º½µ Ó Ò ØØ Ö ØÖÒÒÒ Ö ØØ Ý ØÑ ÐÖ ÖÖ Ã = Ý(½) Ù 0 = (0) º½µ ÌÓÐÒÒÒ Ú ÖÔÔØ ØØ Ö ØÖÒÒ ÒÐ Ø ÖÒ º½µ Ó Ö ÐØ ÒÐØ ÙÖ ÑÝØ Ò ÓÒ ØÒØ Ò ÒÐ Ö ØÖ Ú Ý ØÑØ ÐÐ ØÖÒ ÒØÖ ÚÐÒغ ÒØ ØØ Ú Ö ØØ Ø ÓÒØÒÙÖÐØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Ñ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ ( ) = ( ) ( ) = 0 Ñ + 1 Ñ Ñ Ò + 1 Ò Ò ¾
47 ÇÑ Ý ØÑØ Ö Ò ÒйÙØ ÒÐ ØÐØ Ò ØØ Ö ØÖÒÒÒ Ú Ã = (0) = Ñ Ò º½µ º¾ ÖÚÒ ÖÚÒÒ ËÓÑ ÒÑÒØ ØÖ Ö Ò ÚØ Ò Ô Ó ÐÒÖ Ý ØÑ ØØ ÙÔÖÔÓ ØÓÒ ¹ ÔÖÒÔÒ ÐÐÖ Ø ÚÐÐ ØØ Ò ÐÒÖÓÑÒØÓÒ Ú Ò ÒÐÖ ÐÖ ØÐÐ Ò ÙØ ÒÐ ÓÑ Ö ÑÑ ÐÒÖÓÑÒØÓÒ Ú ÑÓØ ÚÖÒ ÙØ ÒÐÖº Ò ÑÝØ ÒÚÒÖ ÙÒØÓÒ Ö Ò ÒÐÖ Ö ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒ¹ ØÓÒÖÒº ÖÒ ØÓÖÒ ÓÑ ÓÙÖÖ ÖÖ ÚØ Ú ØØ ÚÖ ÔÖÓ ÙÒØÓÒ Ò ÖÚ ÓÑ Ò ÑÐÒ ÓÒе ÙÑÑ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒØÓÒÖº ÇÑ Ú Ò ÖÚ ÙÖ ØØ Ý ØÑ ÙØ ÒÐ Ö ÙØ Ò ÓØÝÐ ÒÙ ÙÒØÓÒ Ö Ò ÒÐ ÚØ Ú ÐØ Ö Ø Ø ÙØØÖÝØ ÒÓÑ ØØ ÙÔÖÔÓ ØÓÒ ÔÖÒÔÒ ÐÐÖ ÙÖ ÙØ ÒÐÒ Ö ÙØ Ö Ò ÓØÝÐ ÔÖÓ Ò Òк Ò ÓÖÑÐÐ ÖÙÒ ÓÑ ÖÚØ ÓÚÒ ÚÖ ÑÒ ÐÐÒ ÖØ Ñº Ø ÚØ ÑÑÒÒØ Ö ØØ ÔÖÓ Ò ÒÐÖ Ò ÙÔÔØØ ÓÑ Ùѹ ÑÓÖ Ú ÒÙ ¹ Ó Ó ÒÙ ÙÒØÓÒÖº ÅÒ ÒÐÝ ÖÖ Ý ØÑØ Ò ÔÖ Ø ÙØ ØØ Ö Ò Ó ÐÐÖÒ Ò ÒÐ Ñ Ò Ô ÚÒÐÖÚÒ ½ Ö» º ÒÓÑ ØØ ÙÒÖ Ò ÔÖ Ö ØØ ØÓÖØ ÚÒÐÖÚÒ ÒØÖÚÐÐ Ò ÑÒ Ö Ô Ý ØÑØ ÖÑ ØØ ÒØÖ ÒÐÖ ÓÐ ÖÚÒ ÓÑÖ¹ Òº ØØ Ö ØØ ÒÒÖ Ñ Ø ÑÝØ ØÐÐØÐÒ ÝÒ ØØ ÓÑ Ö ÑÒ ØÐÐÑÔÒÒ ÓÑÖÒº ÁÒÓÑ Ø Ü ÔÖÓ ÒÙ ØÖÒ ÖØÖ ÑÒ ÓØ Ñ Ý ØÑ ÓÑ ÔÚÖ Ú ÔÖÓ ØÖÒÒÖ Ó ÒÓÑ ØØ ØÐÐÑÔ ÖÚÒ ÒÐÝ Ô Ý ØÑØ ÖÒ ØÖÒÒ ØÐÐ ÙØ ÒÐ Ò ØÖÒÒÒ ÒÚÖÒ ÖØÐ Ó ÑÒÑÖ º º¾º½ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ ÅÓØ ÖÙÒ Ú Ø ÓÑ Ø ÓÚÒ Ö Ú ÐÐØ Ö ÐØ ÒØÖ Ö Ú ØØ ÖÒ ÙØ ÒÐÒ ÖÒ ØØ ÐÒÖØ Ý ØÑ Ò ÒÐÒ Ö Ò ÒÙ ÙÒØÓÒº ØÖØ ÖÖ ØØ ÐÒÖØ ØÐØ Ý ØÑ ( ) = ( )Í( ) º¾¼µ Ö ÚØÙÒØÓÒÒ (Ø) = Ä 1 ( )º Î ÒØÖ ØØ Ò ÒÐÒ ØÐÐ Ý ØÑØ Ö Ù(Ø) = sin غ ÒÒ Ò ÒÐ Ò Ú Ñ ÐÔ Ú ÓÑÔÐÜ ØÐ ÖÚ ÓÑ ÓÑ Ù(Ø) = Im (cos Ø + sin Ø) = Im Ø ½ Î ÓÑÑÖ ÚÖÐ ØØ ÒÚÒ ÖÚÒ Ö ØØ ØÒ ÚÒÐÖÚÒ º ÆÓØÖ ÑÒ¹ Ø = (2) ÀÞº
48 Ó Ú ÒØÖ ÚÖ ØØ ÒÒ Ò ÒÐ ÔÚÖØ Ý ØÑØ Ò Ø = ½º ÌÐÐѹ ÔÖ ÑÒ ÒÙ ÐØÒÒ Ø Ò Ô Ý ØÑÑÓÐÐÒ º¾¼µ ÒÒÖ ØØ ØØ Ý(Ø) = ½ 0 = Im ()Ù(Ø ) = Im ½ 0 () Ø ½ 0 () (Ø ) = ÒØÓÒÒ Ú ( ) ÓÑ ÄÔÐØÖÒ ÓÖÑÒ Ú (Ø) Ø ÚÐÐ º¾½µ ( ) = ½ 0 () Ø ÑÖ ØØ Ò Ø ÒØÖÐÒ º¾½µ Ö Ò ÓÑÔÐÜ ÙÒØÓÒÒ ()º ÇÑ Ú ÒÙ ØÒÖ ÖÙÑÒØØ Ö Ø ÓÑÔÐÜ ØÐØ () ÓÑ arg(()) Ó ÐÓÔÔ ÓÑ () Ò ÙØØÖÝØ º¾½µ Ñ ÐÔ Ú Ò ÔÓÐÖ ÓÖÑÒ Ö ÓÑÔÐÜ ØÐ ÖÚ ÓÑ ÓÑ Ý(Ø) = Im (() Ø ) = Im (() arg(()) Ø ) = = ()Im (Ø+arg(())) = () sin(ø + arg(())) º¾¾µ Î Ö Ö ÐÐØ Ú Ø ØØ Ò ÒÐÒ ØÐÐ ØØ ÐÒÖØ Ý ØÑ ( ) Ö Ò ÒÙ ¹ ÒÐ Ù(Ø) = sin Ø ÐÖ ÚÒ Ý ØÑØ ÙØ ÒÐ ØÖ ÐÒ Øµ Ò ÒÙ ÒÐ ÒÐØ Ý(Ø) = () sin(ø + arg(())) º¾ µ Ø ÚÐÐ ÙØ ÒÐÒ ÑÔÐØÙ Ö Ö ØÖØ Ñ Ò ØÓÖ () Ó ÙØ ¹ ÒÐÒ Ö Ö ÙØÒ arg(()) ÖÒÖ ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò ÒÐÒº ØÖ ÓÑ ÙÒØÓÒÒ () Ö Ò ÚÒ ÖÚÒ ØÑÑÖ ÙØ ÒÐÒ ØÒ ÐÐ ÒÒ ÙÒØÓÒ Ö ÖÚÒ ÙÒØÓÒº ÖÙÑÒØØ ÒÖ ÓÑ ÔÓ ØÚØ ÙØÒ¹ ÑÓØÙÖ ÖÒ ÔÓ ØÚ ÖÐÐ ÜÐÒº Á Ø ÐÐ ÖÐÐ ØØ ÒØÚØ ÖÙÑÒØ ÐØ ÒÐØ Ô ÖÙÒ Ú ØØ ÙØ ÒÐÒ ÐÖ ØÖ Ò ÒÐÒ º Î ÐÐ ÐÐÙ¹ ØÖÖ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒÑ ØØ ÔÖ ÜÑÔÐ ÜÑÔÐ º½½º ËÒÙ ÚÖ Ö ØØ Ö Ø ÓÖÒÒÒ Ý ØѺ ØÖØ Ø Ö Ø ÓÖÒÒÒ Ý ØÑØ ( ) = ( )Í( ) = Í( ) ÇÑ Ú ÒÙ ÒØÖ ØØ ØØ Ò ÒÐÒ Ù(Ø) ØÐÐ Ý ØÑØ Ö Ò ÒÙ ÒÐ Ñ ÑÔ¹ ÐØÙ Ó ÖÚÒ Ø ÚÐÐ Ù(Ø) = sin(ø) Ò Ú ÒÐØ ØÓÖÒ ÓÚÒ ÖÚ ÙØ ÒÐÒ ÓÑ Ý(Ø) = () sin(ø + arg(()))
49 Ø ÚÐÐ Ò ÒÐÒ ÑÔÐØÙ Ö ØÖ Ò ØÓÖ () Ó ÙØ ÒÐÒ Ö ÙØ arg(() ÖÒÖ ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò ÒÐÒº ØØ ØÑÑ () Ó arg(() ÖÒØ ÔÖØ Ø Ö ÒØ ÚÖØ ÓÑ ÑÒ Ö ÓÖÒÒ Ô ÓÑÔÐÜ ØÐÒº () Ó arg(() Ö Ù ÐØ ÒÐØ ÐÓÔÔØ Ó Ò Ö Ø ÓÑÔÐÜ ØÐØ ()º Á ØØ ÐÐ ÐÐØ ÖÙÑÒØØ ÚÖ ÓÑ () = = = + 2 = Ô Ö = Ô = arg(()) = arg( ) = = arg( ) = = arg( + 1) arg( + 2) = arctan ÖØÒ 2 Ó ÙØ ÒÐÒ Ý(Ø) ÐÖ ÖÑ Ö Û2 + 1 Ý(Ø) = sin(ø + arctan arctan 2 ) ÜÑÔÐ º½¾º ËÒÙ ÚÖ Ö Ò Ø ÖÖÒÒ ØÖØ ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ Ö Ò Ø ÖÖÒÒ ( ) = Ì º ÒØ ØØ Ò ÒÐÒ ØÐÐ ØØ Ý ØÑ Ö Ù(Ø) = sin غ ÍØ ÒÐÒ Ú Ý(Ø) = () sin(ø + arg(())) Ö Ó () = Ì = 1 arg(()) = ( Ì ) = Ì Î Ò ÐÐØ ÖÚ Ý(Ø) = sin(ø Ì ) Ò ÖÒ Ø ÖÖÒÒ ÔÚÖÖ ÐÐØ ÒØ ÙØ ÒÐÒ ÐÓÔÔ ÙØÒ Ö¹ ÙØÖ Ò Ö ÛÌ ÖÒÖ ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò ÒÐÒº
50 ÜÑÔÐ º½ º ËÒÙ ÚÖ Ö ÊĹÖØ Ò ÜÑÔÐ ¾º Á ÜÑÔÐ ¾º Ú Ú ØØ ÔÒÒÒÒ Ù ÚÖ Ò ÓÒÒ ØÓÖ Ò ÐÐ ÊĹÖØ ÙÒ ÖÚ ÒÓÑ ÖÒØÐÚØÓÒÒ Ä Ù (Ø) + Ê Ù (Ø) + Ù (Ø) = Ù(Ø) º¾µ Ö Ù Ö Ò ÖÚÒ ÔÒÒÒÒ ÖØ Ò Ù Ö ÔÒÒÒÒ ÚÖ ÓÒÒ ØÓÖÒ Ó Ê Ä Ó Ö ÔÖÑØÖÖ ÖÒÔÔ Ñ ÓÐ ÐØÖ ÓÑÔÓÒÒ¹ ØÖÒ ÖØ Òº ÇÑ Ú ÚÐÖ ÔÖÑØÖÖÒ ÖÒØÐÚØÓÒÒ ÓÑ Ä = 1 Ê = 2 Ó = 1 Ò ÑÒØ ÑÐÐÒ Ò ÒÐ Ù Ó ÙØ ÒÐ Ù ÄÔÐÓ¹ ÑÒÒ ÙØØÖÝ ÓÑ Í ( ) = ( )Í( ) = Í( ) = 1 ( + 1)( + 1) Í( ) Î ÚÐÐ ÒÙ ØØØ Ô ÒÙ ÚÖØ Ö ØØ ÑÒ Ð ÒÐÝØ Ø Ð Ú ÑÙ¹ ÐÖÒÖ Ò ÒÐÒ Ö Ò ÒÙ ÒÐ Ñ ÓØÝÐ ÖÚÒ º Î ÒØÖ ØØ ÐÐ ØØ Ò ÖÚÒ ÔÒÒÒÒ Ö Ò ÒÙ ÒÐ Ñ ÑÔÐØÙ ½ ÒÐØ Ù(Ø) = sin غ Î ÚØ ØØ ÙØ ÒÐÒ Ø ÚÐÐ ÔÒÒÒÒ ÚÖ ÓÒÒ¹ ØÓÖÒ Ó ÓÑÑÖ ØØ ÚÖ Ò ÒÙ ÒÐ Ó ÒÐØ º¾ µ ÙÒÒ ÖÚ ÓÑ Ù (Ø) = () sin(ø + arg(())) Ö () Ö ÙØ ÒÐÒ ÑÔÐØÙ Ó arg(()) ÒÖ Ö ÙØÒÒ ÖÐÐÒ ØÐÐ Ò ÒÐÒº Á ØØ ÐÐ Ö Ú ØØ Ó 1 () = ( + 1)( + 1) = arg(()) = arg( ) = arctan() arctan() = 2 arctan() ( + 1)( + 1) ÚÐØ Ö ØØ Ù (Ø) = 1 sin(ø 2 arctan()) º¾µ Ç ÖÚÖ Ö ØØ Ö Ò ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ ÓÑ Ö ÙÔÔÐ Ö Ø ÓÖÒÒ¹ Ò ØÓÖÖ ÐÐÖ ØØ ÐÓÔÔ Ö Ð Ñ ÔÖÓÙØÒ Ú ØÓÖÖÒ ÐÓÔÔº ÖÙÑÒØØ Ö ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÖÒ Ö Ð Ñ ÙÑÑÒ Ú ÖÙÑÒØÒº ÇÑ ÑÒ Ö Ò ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒ ÓÑ ÒØ Ö Ô ØÓÖ Ö ÓÖÑ Ò ÑÒ ÐÚ ØÓÖ Ö Ò ÚÐØ Ö ØØ ÖÓÑÑÒÖ ÐÐÖ Ó ÐÚ ÐÐ Ö Ô ÚÐÒ ÚÖÒØ ÑÒ ÒÒÖ Ö ØØ ÖÙÑÒØØ ÐÐ Ð ÓÖÖغ Ç Ö¹ ÚÖ Ó ØØ ÚÒÐÖÚÒ Ò ÒÐØ ÓÒÚÒØÓÒ Ö ÒØÒ Ö» Ó ØØ Ö ÙØÒÒÒ ÖÖ Ö ÒØÒ ÖÒÖº
51 Á ÙÖ º Ó º½¼ Ö Ý ØÑØ Ò¹ Ó ÙØ ÒÐ ÑÙÐÖØ Ö Ò ÒÐÖÒ Ù(Ø) = sin Ø Ó Ù(Ø) = sin 2غ Á ÙÖ º = 1µ Ö ÑÒ ØØ ÙØ ÒÐÒ ÑÔÐØÙ Ö ÐØÒ Ú Ò ÒÐÒ Ó ØØ ÙØ ÒÐÒ ÐÖ ¹»¾ ÖÒÖ ØÖ Ò ÒÐÒ º ØØ Ö Ó Ú ÑÒ Ö ÙÖ ÙØØÖÝØ º¾µ Ø ÚÐÐ () = 1 2 Ó arg(()) = 2º Î Ö Ô ÑÑ ØØ ØØ Ø ØÓÖØ ÙØØÖÝØ º¾µ ØÑÑÖ ÚÒ Ö = 2º 1.5 Utsignal Insignal 1 Utsignal u c (t) [V], Insignal u(t) [V] tid [s] ÙÖ º ËÔÒÒÒÒ Ù (Ø) ÚÖ ÓÒÒ ØÓÖÒ ÊĹÖØ Ò Ù(Ø) = sin غ 1.5 Utsignal Insignal 1 Utsignal u c (t) [V], Insignal u(t) [V] tid [s] ÙÖ º½¼ ËÔÒÒÒÒ Ù (Ø) ÚÖ ÓÒÒ ØÓÖÒ ÊĹÖØ Ò Ù(Ø) = sin 2غ
52 Î ÜÑÔÐØ ÓÚÒ ØØ Ö ØÖÒÒÒ ÚØÖ Ó Ö ÙØÒÒÒ Ö ½º Ö ÐÐ Ý ØÑ Ñ Ö ÔÓÐÖ Ò ÒÓÐÐ ØÐÐÒ ÐÐÖ lim () 0 ½ ØØ Ö Ò Ò Ô ÓÑ ÐÐÖ Ö ÐÐ ÚÖÐ Ý ØÑ Ö Ò ÑÓÐÐ Ö Ø ÐÐØ ÐÐ ØØ Ñ Ò º½µº Ó Ò ÑÒ Ò ÑÓÐÐ ÓÑ Ö ÔÖØ Ø ÒÚÒÖ ÒÓÑ ØØ Ú Ø ÖÚÒ ÒØÖÚÐÐ Ó ÒÓÑ ØØ ÒØÖÚÐÐ Ò Ñ = Ò ÐÐÖ ÑÖ ÐÐÒµ Ñ Òº Ó Ñ Ø ÑÒ ÚÖ ÑÚØÒ ÓÑ ØØ Ø Ö Ö Ò ÑÓÐÐ ÓÑ ÐÐÖ ÒÓÑ ØØ Ú Ø ÖÚÒ ÓÑÖØ ÑÒ Ò ÐØØ Ú ØØ ÓÑ Ñ Ò ÐÐÖ lim () ½ ÚÐØ ÒØ Ò ÐÐ Ö ÒÓØ ÚÖÐØ ½ Ý Øѵ º¾º¾ ÓÖÑ ØØ ÚÒÐØ ØØ ØØ Ö Ø ÔÖ ÒØÖ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ () Ö ØØ Ð¹ ÐØ ÓÖѺ Á ØØ ÓÖÑ ÔÐÓØØ ÐÓÔÔ ÙÖÚÒ () ÐÐÖ ÒÖÖ ½¼¹ÐÓÖØÑÒ Ú ÐÓÔÔ ÙÖÚÒµ Ó ÖÙÑÒØØ arg(()) ÑÓØ ÐÓÖØÑÒ Ú ÚÒÐÖÚÒ Òº Á ÖÐ ÖØ ÓÖÑ Ñ ÐÔ Ú ÔÖÓÖÑÚÖÙ¹ ÚÖØÝ Ø Ü ÅÌĺ Á ÙÖ º½½ Ú ÓÖÑÑØ Ö ÊĹÖØ Ò ÜÑÔÐ º½ º G(iω) arg(g(iω)) [grader] log ω ÙÖ º½½ ÓÖÑ Ö ÊĹÖØ Ò ÜÑÔÐ º½ º ÆÓØÖ ÐÓÖØÑ ÐÓÖÒ Á ÙÖ º½¾ Ú Ö Ú ÓÖÑÑØ Ö Ø ÖÖÒÒÒ ÜÑÔÐ º½¾º
53 2 1.5 G(i ω) arg(g(i ω)) ω [rad/s] ÙÖ º½¾ ÓÖÑ Ö Ø ÖÖÒÒÒ ÜÑÔÐ º½¾º ÆÓØÖ ØØ ¹ ÐÓÖÒ Ö ÒØ ÚÐØ ÐÓÖØÑ º
54 ¼
55 ÃÔØÐ Ì ÖØ ÄÌÁ¹ Ý ØÑ Á ØØ ÔØÐ ÒÐ Ø ÖØ ÄÌÁ Ý ØѺ Î ÖÖ Ñ ØØ ÖÔØÖ ÒÖ ÖÙÒÐÒ ÖÒÖÐÖ Ö ¹ØÖÒ ÓÖÑÒº ÒØÓÒº Ö Ò ÚÒ Ú ØÐ Ý(0) Ý(1) Ý(2) ÒÖ ¹ØÖÒ ÓÖÑÒ ÓÑ (Þ) = ½ =0 Ý()Þ Ò º½µ ÆÓØÖ Ò ÒÖ ÓÔÔÐÒÒ ØÐÐ Ò Ø ÖØ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÒ Ö¹ ØØ Þ Ñ ÖÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑÒº ËÙÔÖÔÓ ØÓÒº ËÙÔÖÔÓ ØÓÒ ÔÖÒÔÒ ÐÐÖ ÐØ ÒÐÓØ Ñ Ø Ø ¹ ÓÒØÒÙÖÐ ÐÐغ Ì Øº Ò ØÒÒ Ø Ú Ò ÒÐ Ò Ø Ø ÒÓØÖ ØØ Ò Ò ÚÖ ÔÓ ØÚ ÐÐÖ ÒØÚµ Ö [(Ý( Ò)] = Þ Ò (Þ) º¾µ ËÙÑÑÖÒº Ò ÒØÖØÓÒ ÓÒØÒÙÖÐ Ø Ö Ò ÑÓØ ÚÖØ Ò ÙÑÑÖÒ ÖØ Ø Ó Ø ÐÐÖ ØØ ½ =0 Ý() = Þ Þ 1 (Þ) ËÐÙØÚÖ ØÓÖÑغ ÈÖ ÓÑ Ø Ø ÓÒØÒÙÖÐ ÐÐØ ÒÚÒ ØØ Ö ØØ ØÙÖ ØØ Ý ØÑ ØØ ØØÓÒÖµ Ò ÔÖ Ø ÚÐÐ Ú Ý ØÑØ ÙØ ÒÐ ÓÒÚÖÖÖ ÑÓØ ½º Ö Ò Ø ÖØ ÒÐ Ý() ÐÐÖ ØØ lim Ý() = lim (Þ ½ Þ1 1) (Þ) ½
( ) = 3 ( + 2)( + 4) ( ) =
ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º½ ËÖÚ Ý ØÑÒ ÒÒ Ô ØÐÐ ØÒ ÓÖѺ ÒØ ØØ Ù Ö Ò ÒÐ Ó Ý ÙØ ¹ Òк µ µ Ý(Ø) + Ý(Ø) 2 Ý(Ø) + 3 Ý(Ø) 5 µ 4 Ú(Ø) + 5Ú(Ø) 2 Ý(Ø) + 2Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ú(Ø) + 2Ú(Ø) 3 Ý(Ø) + 7 Ý(Ø) + 4Ý(Ø) 5Ú(Ø) µ Ý (3)
Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖ Ö ¾ Ù Ù Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐ Ö Ó Ø ÐÐ Ö Ø ÐÐ Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø Ô ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ó Ø Ò ÓÐÓÖ
ÅØÑØ ØØ Ø ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ¾ ÙÙ Ø ¾¼¼ ÓÖÑÐÖ Ó ØÐÐÖ ØÐÐ ÅØÑØ ØØ Ø Ô ÙÒÚÖ ØØ Ó ØÒ ÓÐÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ËÒÒÓÐØ ØÓÖ ÄÓÖÑ ÒÒÓÐØ ÖÐÒÒ Ô ØØ ÒÐØ ÙØÐÐ ÖÙÑ Ë ÇÑ ÐÐ ÙØÐÐ Ö Ð ÒÒÓÐ ÐÐÖ Ö Ò ÒÐ ØØ È µ Ò µ Ò Ëµ ØØ Ö Ò Ð ÒÒÓÐØ ÒØÓÒÒº
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ø Ð Ö
ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ö ÔØ Ú È ¹Ð Ö Ö ØÓ Ö Ê ÑÕÙ Ø Ê Ö Ò Ö Ê Ö Ä ÓÒ Ö Ø Ò Ä Æ Ð ÓÒ Ò Ö Ë ÖÐÙÒ Ù Ø Ú Ì ÒÓ ½¾ Ñ ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ½ ½º½ ÝÒ Ñ Ð Ø Ð Ò Ö Ò Ú ÔØ Ú È ¹Ð Ö º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÖØ ÓÑ ØÓÖ ÑÙÐ
Ö ÙÔ ØÙ Ú ÖÖ Ö ÓØÐ Ò Ä Ö ÆÓÖ Ò ËÚ Ö Ñ Ø ÓÖÓÐÓ Ó Ý ÖÓÐÓ Ò Ø ØÙØ ÆÓÖÖ Ô Ò ¾¼ Ñ Ö ¾¼½¾ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ÍØÖ Ò Ò ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò Ö Ö Å ØÓ º½ Ö Ò Ò Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð ÓÖ
Ð ËÅ ½¹½¾¹¼¾ ½ ÅØØ ØÐ ÔÔÒÒ ÇÖÖÒÒ ÖÐÖ ÑØØ ÔÔÒØ ÐÓÒ ½º¾ Ñ ¼ ØÒÓÐÓÖ ÒÖÚÖÒº ¾ ÓÖÑÐ µ ÌÐÐ ÑØ ÓÖÖÒ ÚÐ ÓÖ ÂÓÑ ÅÐÐ ÚÖº µ ÌÐÐ ÑØ ÖØÖÖ ÚÐ Ö ÒÒ Ö ÓÒ ÚÖº µ ÌÐÐ Ù ØÖÒ ÑÒ ÚÐ ÌÓÑ ÏÖ ÜØÙ ÑÙ ÑØ ÂÓÒ ÀÖ ØÖØÙ ¹ ÑÙ º µ ÁÒ
ÃÓÑÔÙØØÓÒÐÐ ÁÒØÐÐÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ Ê ËÚÒÖ ÖÞ ÅÙ Ø ÀÒ ÇÐÓ ÓÒ ÑÖ ¾¼¼¾ ÁÒÒÐÐ ½ ËÝØØ Ñ ÒÒ ÐÓÖØÓÒ ¾ ÌÓÖ ÒÐÝ º½ ÖÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ ÅÖ ÖÙ º º º º º º º º º º º º
Ì ÆÌ Å Æ ËØ Ø Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ö Á ÌÅ˽ ¼ ÑÒ Ò Ò ½ Ñ Ö ¾¼¼ Ð Ô Îº ÂÓÙÖ ÂÓ Ò Ù Ø Ú ÓÒ Ò Òº ½ À ÐÔÑ Ð ÍØ Ð ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ñ Ø ÐÐ Ö Ì Ô ÙÖ Ò ÒÚÒ ÓÖ Ð Ø Ó ØÝÔ Ó Ò Ö Ò Ó º ÈÓÒ Ö Ò Ò ÍÔÔ Ø ÖÒ Ö Ú ÖÚ Ð ØÝÔ Ö Ò Ø ØØ ÐØ
ËÐ ½ ÁÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ËÐ ¾ ÈÖÒÔ Ö ÒÙÑÖ Ð ÒÒ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ Ô ÚÖ ÐÒØÖÚÐÐ [Ü Ü+]
ËÐ ½ ØØ ÒØÖÖ ÒÙÑÖ Ø ÚÖØÙÖµ ÐØ ÓÑ ÖØ ÖÒ Ð ËÐ ¾ ÁÒØÖÐÖ Ê ÈÖÓÐÑØ (Ü) Ü ÖÖ ÓÑ (Ü) Ö ÚÒ Ò Ø ÒÖ ÑØÔÙÒØÖ Ü Ò Ø (Ü) Òµ ÆÙÑÖ Ð ÒÒ ÔÖÒÔ ÖØ Ö Ü Ú Ð Ò ÔÙÒØÖ Ü 0 Ü ÜÆ Ö Ü 0 = ÜÆ = ÇÑ Ú ØÒØ ÒÐÒÒ ØÐÒ = = Æ Ö ØØ ÒØÖÒÒ
ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾
Å Ø Ñ Ø Ò ¾¼½¾¹¼ ¹½ Æ Ö Ò Ð Ð Ö Ò ØÓÖ Æ Ð Ö ÓÒ Ò Ð º Ö ÓÒ Úº ½ ÁÒÒ ÐÐ ÓÑ ØÖ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÔ ÒØÓ Ð¹Ã Û Ö ÞÑ Ð Ö Ø Ð Ö ÔÖ Ø ÙØ ÓÖÑ ÙÒ Ö ½ ¼¼¹ Ó ½ ¼¼¹Ø Рغ Î Ø º ÖØ ¾ Ð Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑ ØÖ Ð Ñ ÒØ ÙÔÔ Ú Ö Ö Ú Ò
ÁÒÒ ÐÐ Á ÝÖ ÖÒ ÓÑ ËÙÖ Ð¹ Ö ÓÑ ØØ Ö ÁÁ ÌÖ Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ø ÒÒ Ø ÐÐ Ó Ò Ð Ø Ö ÁÁÁ йÀ Ò Ö Ñ Ö Ð ÓÒ ÁÎ Ò Ö Ø ÖÙÒ Ò Î Ò Ò Ö ÖÙÒ Ò ÃÒÒ ÓÑ ÓÑ ÚÖ Ö Ð ÓÒ Á ¹ Ð Ñ
ØÖ ÖÙÒ ÖÒ Ë Ý ¹ÙйÁ Ð Ñ ÅÓ ÑÑ Á Ò Ð¹Ï Á ÐÐ Æ ÑÒ Ò Æ Ö Ò ÖÑ ÖØ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÐÐ Ö Ñ Ö Ø ÐÐ ÐÐ Ó Ñ Ö Ó ÚÐ Ò Ð Ö Ú Ö Ñ ÈÖÓ Ø Ò ÅÓ ÑÑ º ØØ Ö ØÖ ÖÙÒ ÖÒ ÒØÐ Ò Ø Ò ÖÒ ÖÙй Ø ºÓÑ Ñ Ö Ø ÐÐØ Ð ÓÑ Ö Ú Ò Ñ Ð Ø Ö Ð
ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ø ½ ¾ Ò Ú Å ÌÄ ¹ÔÖÓÑÔØ Ò ÒÑ ØÒ Ò Ò Ú
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Å Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ØÝÔ Ö Ó Ú Ö Ð Ö Î ØÓÖ Ö»Ð ØÓÖ ½ ÝÖ Ö Ò ØØ Ò Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ÙØ Ö Å ÌÄ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÖÒ ¹» Ü ÑÔ Ðº ÇÑ Ø Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ
s N = i 2 = s = i=1
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÌÄ ¹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ð ÓÖ ØÑ Ö ËÖ Ôع Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ö ÄÓ ÙØØÖÝ Î ÐÐ ÓÖ Ø Ö ¹ Ø Ö Ê Ô Ø Ø ÓÒ Ø Ö ÐÓÓÔ Öµ ÓÖ¹ Ø Ö Û Ð ¹ Ø Ö ½ ÖÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÒÐ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ØØ Ö Ú ØØ ÔÖÓ Ö Ñ ØØ ÔÖÓ
Î Ö Ä Ì ½º Ì Ö Ò Ø Üع Ð ÓÑ ÒÔÙغ ¾º ÈÖÓ Ö Ö Ð Ò Ó ØÑÑ Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð ÙØ Ò Øº º Ö ÙØ Ò ÎÁ¹ Ð Ú ¹ÁÒ Ô Ò Òصº º ÎÁ¹ Ð Ò Ò ÓÒÚ ÖØ Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ ÐÚ Ò È ¹ к
ÐÐÑÒØ ÓÑ Ä Ì Ä Ì Ö Ò Ú Ö ÙØÚ Ð Ò Ú Ì ¹ Ý Ø Ñ Ø ÓÑ ÙØÚ Ð Ô ¼¹Ø Рغ Ì ÐÐØ Ö ØÚ Ò Ö µ Ö ÒØ Ò ØØ ØÒ Ñ Ö Ô ÒÒ ÐÐ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò º Ò ÐØ ØØ Ô ØÖÙ ØÙÖ Ö Ó ÙÑ ÒØ ÁÒÒ ÐÐ ÖØ Ò Ò ÃÐÐ ÖØ Ò Ò ÓØÒÓØ Ö Ê Ö Ò Ö ØÓ Ø Ò Ö
u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)
Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ
Ö Ò histogramtransformationº
ÍÐØÖ Ð Ù Ð ÓÖ Ø ÓÒ ÌË ½ Å Ò Ð Ö ÍØÚ Ð Ú Å Ø Ò Ö ÓÒ ÁÅ̵ ¾¼½ ÍÔÔ Ø Ö Ú Å Ö Å ÒÙ ÓÒ ÎÄ ÁË µ ¾¼½ ÓÒØ ÒØ ÍÔÔ Ø Ò Ä Ò Ê ¹ Ø Ò Ê ÒÒ ØÖÐ Ó ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ð ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ ÒÚ ÐÓÔÔ Ø Ø ÓÒ Ñ Ú Ö ØÙÖ ËÙ ÑÔÐ Ò Ò
ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò Ð Ú ÙÖ Ñ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ ÙÖ Ò ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ÓÑ Ô ËÌ˹ Ó Á̹ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ô Ö Ó ¾ µº Ò Ð Ð Ú Ñ
ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ ¹ ¾¼½ Ò Ø ÖÐ ÓÒ Ó ÈÖ Ë ÑÙ Ð ÓÒ + Ú º º Ý Ø ÑØ Ò ÁÒ Øº º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒ Ú Ö Ø Ø + ÈÓÛ Ö ËÝ Ø Ñ ÀÎ ÄÙ Ú ½ Ñ Ö ¾¼½ ÖÓÖ ØØ ÓÑÔ Ò ÙÑ Ö ÙØÚ Ð Ø ÙÒ Ö ¾¼¼ ¹¾¼½ Ó Ö Ú ØØ ÓÑ Ò
huvudprogram satser funktionsfil utparametrar anrop av funktionsfil satser satser
Á ÈÖÓÖÑ ØÖÙØÙÖ Ð ÒÒ ½ ÀÙÚÙÔÖÓÖÑ Ó ÙÒÖÔÖÓÖÑ ÆÖ ÑÒ Ð Ö ØÓÖ ÔÖÓÐÑ Ö Ö ÑÒ ÓØ Ð ÙÔÔ ÔÖÓÐÑØ ÐÔÖÓÐѺ ËÒ ÖÚÖ ÑÒ Ò Å¹Ð Ö ÚÖ Ðº ÌÝÔ Ø ÖÚÖ ÑÒ Ò ÓÑÑÒÓл ÖÔØÐ ÓÑ ÐÐ ÙÚÙÔÖÓÖѵ ÓÑ ÒÖÓÔÖ ÙÒØÓÒ ÐÖ ÓÑ Ó ÐÐ ÙÖÙØÒÖ ÐÐÖ ÙÒÖÔÖÓÖѵº
¾ ½ ½¼ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ö Ò Ø Ò Ö Ì½ Ä ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Ø ¾¼¼¼»¾¼¼½ ÝÐÐ ØØ Ò ÑÒ Ó Ô Ö ÓÒÒÙÑÑ Ö Ñ Ð ÐÐ Ö ÑÓØ Ú Ö Ò º Ç Ë ÇÑ ÒØ ÒÒ Ú ØØ Ò Ø Ñ Ú Ö ÓÚ Ò Ò Ò Ö Ù Ò Ò Ú ØØ Ò Ö Ùй Ø Ø Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ò Ö ÔÔÓÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ
ÈÖÓ Ö ÑÚ Ö Ö ÙÒ ÖÚ Ò Ò ÓÑ Ö Ò ¹ Ò ¹ ÓÙÒ ¹Ñ ØÓ Ò Ã Ò Ø Ö Ø ÒÓÑ Ú Ð Ò Ò Ö ÙØ Ð Ò Ò Ò Ú ÐÑ Ö ÂÓÒ Ø Ò Ð Ø Ø ÝÐÐ Ö Ò Ø ÒÒ ÙÖ Ö Ò Ê ÑÐ ÂÓ Ò Î ÐÐÝ ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø Ú Ø Ò Ô Ö ÐÑ Ö Ø Ò ÓÐ Ø ÓÖ ÙÒ Ú Ö
½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº
Æ Ö Ø Ö Â ÒÙ Ö ¾¼¼ ½ ÐÐ Ö À ÖÖ ÇÐÓ Ó ÐÚÓÖÒ À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö ÓÑ ÓØØ ¹ Ö Û Ö ÐÐ Ö Ö Ñ¹ Ð Ù Ò ÓÒÓÑ ØÝ Ø ¹À ÖÖ ÇÐÓ ÓÑÑ Ö Ñ ÒÖ Ó Ò Ö Ð Û Ö Òº À ÖÖ ÇÐÓ Ö Ö Ö Ö ÒÒ Ö Ò ÒØÞ Ñ Ð Û Öº Ö ÒØÞ Ö Ð Ó Ð Û Ñ Ð Û ÓÒ Ò ÓØØ
x 2 + ax = (x + a 2 )2 a2
ÅÐ Ö Î ½ ½º ÒØ Ñ Å ÔÐ º ¾º Î Ö Ô Ø Ø ÓÒ Ú Ð Ò Ö Ð Ö º º ÇÐ ØØ ØØ Ö ÔÖ ÒØ Ö ÑÒ Ö ÔÐ Ò Ø»ÖÙÑÑ Øº µ ÁÐÐÙ ØÖ Ö Ð Ø Ö Ð Ñ Å ÔÐ Ð Ö Ò Ò Ð Ø Ò Ö µ ÐÐ Ø Ü Ð Ò Ö Ó Ò Ö Ö ÙÖÚÓÖ º Á Å ÔРй Ð Ø Ö Ñ Ò ÙÒ Ö Ô ÙÖ ÙÖÚ
Multivariat tolkning av sensordata
Multivariat tolkning av sensordata Totalförsvarets forskningsinstitut, FOI Hanna Smedh Examensarbete i matematisk statistik 3, 30 högskolepoäng Vt/ht 2009 Handledare: Peter Anton, Leif Nilsson och Pär
Verktyg för visualisering av MCMC-data. JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK
Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete Stockholm, Sverige 2010 Verktyg för visualisering av MCMC-data JORGE MIRÓ och MIKAEL BARK Examensarbete i datalogi om 15
Föreläsning 13 5 P erceptronen Rosen blatts p erceptron 1958 Inspiration från mönsterigenk änning n X y = f ( wjuj + b) j=1 f där är stegfunktionen.
Ä Ò Ö Ó ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÓÔØ Ñ Ö Ò Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ö Ð Ò Ò ½ Æ ÙÖ Ð ÒØÚ Ö ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ È Ö ÔØÖÓÒ Ð Ö Ð Ö ËÙÔÔÓÖØ Î ØÓÖ Å Ò ÀÓÔ Ð ÓÐØÞÑ ÒÒÑ Ò Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØØ ÒÝØØ Ö Ò Ò ØØ È Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ø Ö Ò Ø ÁÒÐÖÒ Ò ÇÔØ
ËØÝÖÒ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò ØÓÖ ØØ ÔÖÓ Ø Ö ÁË ÓÖ ÓÒ Ý Ø Ñ ½ Ù Ù Ø ¾¼¼¾ ÂÓ Ò Ð Ò ÜÜÜÜÜܹÜÜÜÜ È Ö Ö ¼ ½½¹ Ô ÖÓ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ Ð Ò Ò ¾º½ ÃÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÀÖ
2E I L E I 3L E 3I 2L SOLUTIONS
Ä Ò Ô Ò ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ú ÐÒ Ò Ò Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ Ò Ð Ä ÖÑ Ö Ð Á Ì ÓÖ Ð Á ÒÙÑÑ Ö Ì ÆÌ Å Æ ÌÅÅÁ½ ¹ ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÖÙÒ ÙÖ ¾¼½ ¹¼ ¹¾ ½ ½º Ò Ö ØØ ÙÔÔÐ Ð ÓÖ Ú ØÐ Ö ØØ Ú Ò ÐÙÑ Ò ÙÑÔÖÓ Ðº ÒÒ Ð Ð Ø Ñ Ò ÔÙÒ ØÐ Ø F Ô Ñ Øغ ÀÙÖ
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Ø
Ö ÆË Ò Ö ÚÒ Ò Ö Ð Ö Î À ØÓÖ Ó Ò Ö ÐÐ Ö ÚÒ Ò Ò Ð Ö Ø Ò Æ ÑÒ ÖÚ ÖÒ ÐÐ Ö ÒØÐ Ò ÐÚ ÓÒ Ö Ó Ö ÒÒ Ðк ÍÔÔ Ð ÔÖÓ Ò ÐÐ Ö ÙÖ Ñ Ò Ð Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ú Ô Ø Öº Ë Ö Øº Ö ÑØ º ÌÀÆÇ»ËÍÆ Ì Ë ½ ÓÔÝÖ Ø ÅÒ Æ Ð ÓÒ ¾¼¼¾ À ØÓÖ
Ø Ú Ø Ò Ô Ö Ø Ò Ç Ð ÓÒ ² Ñ Ð À Ú Ð Ö Ò Ú Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø Ö Ø ÓÑ ÖÚ Ö ØØ Ö ÐÐ Ò Ò Ø Ü Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ôº ÐÐØ Ñ Ø Ö Ð ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ú Ð Ø ÒØ Ö ÚÖØ Ø Ö Ð Ú Ø ØÝ Ð Ø ÒØ Ö Ø Ó Ò Ø
2π e. P(k, l, q Y, T) P(k, l, q)p(y, T k, l, q) = P(k, l, q) i. P(y i t i, k, l, q) 2 i (yi kti l)2 (2π) P(z Y, T, s) = P(z k, l, q, s)p(k, l, q Y, T)
ÒÐÝ Ó ÔÖØÓÒ Ú ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ Ó ÖÓÑ Ð Ô Ø ÒÖ ÀÓÐ Ø ÑÖ ¾¼½½ ËÁË ÌÒÐ ÊÔÓÖØ Ì¾¼½½½ ÁËËÆ ½½¼¼¹ ½ ËÑÑÒØØÒÒ Î Ö ÓÑ Ò Ð Ú Ø ÎÒÒÓÚ¹ÒÒ Ö ÔÖÓØØ ÍËÌ ÙÒ¹ Ö Ø ÙÖ Ý Ò ØØ Ø ÑÓÐÐÖÒ Ó ÚÚÐ ØØÓÒ Ò ÒÚÒ Ö ØØ ÒÐÝ Ö ÐØ Ô ÙÐÔÖÓÐÖ
t
ÝÒÑ ËÝ ØÑ À̼ ÃÓÑÔÐØØÖÒ ÖÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÓÑÔÒØ ÊÒÚÒÒÖ ØÐÐ ÔØÐ ÓÑÔÒØ º Á Ø ÒÔÙØ ØÓ ÖØÒ Ý ØÑ ÙÒØ ØÔ ØÒ Ø ÓÙØÔÙØ ÛÐÐ ÓÖÒ ØÓ ÙÖ º Ý Øµ ¼ ¼ Ø ÙÖ ËØÔ Ö ÔÓÒ ÓÖ º ÙÑ ØØ Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ò ÑÔÙÐ º ÏØ ÛÐÐ Ø ÓÙØÔÙØ Ø ØÑ Ø º ÂÙ
Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ º ÃÙÖ Ò Ú Ø Ö ØØ ÖÑ Ò Ó Ò Ú Ô Ö ÙÒ
Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÙÖ Å ¹ Ø Ñ Ø Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö
¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½
Ó ÙÚÐ º Ú ÓÖ ÓÖ ØÓÚº Ú Ö Ø Ò Ò Ø Ò Ö Ù Ù Ø ¾¼¼½º ¾ ÓÖ ÓÖ ØÓÚ ½ ¼ ½ µ Ó ÙÚÐ º Ñ Ð Ò Ì Ö º ÊÓÑ Ò ½ µº ÇÖ Ò Ð Ø Ø Ø Ð Æ ÔÓ ÓÖ ÒÒÝ º ÖÒ ÖÝ Ò Ú ËÚ Ò ËØÓÖ ½ µº Ä Ù ÖÐ ËØÓ ÓÐѺ ÌÖÝ Ø Ó ÐØ Ø ÓÐ ËØÓ ÓÐÑ ½ Á Ö Ø
f(x) = f t (x) = e tx f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, p (k) (α) k=0
½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ
Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA LUNDS UNIVERSITET Avd Byggnadsmaterial Vattenabsorption i betong under inverkan av temperatur Tina Wikström Rapport TVBM-5084 Lund 2012 ISRN: LUTVDG/TVBM--12/5084--SE (1-66) ISSN:
1 k j = 1 (N m ) jk =
ÂÓÖÒ ÖÒ ½ ÖÙÖ ¾¼¼ ÀÙÚÙÖ ÙÐØØØ ÓÒ ÔØÐ Ö ØØ ÚÖ ÚÖØ ÑØÖ Ö ÐÓÖ¹ Ñ Ñ Ò ÓÖÒÑØÖ ÓÑ Ú ØÐÐØÖ ÓÑÔÐÜ ÑØÖ ÐÑÒص ÓÑ ÐÐ ÂÓÖÒ ÒÓÖÑÐÓÖÑ Ö ÑØÖ Òº ËÓÑ ÔÔ ÓÒ Ö ÒÓÖÑÐÓÖÑÒ Ò¹ Ö Ø ØØ ØÓÖØ Ø ÚÖØÝ ØÖ ÓÑ Ò ÐÐÑÒØ ÒØ ÖÓÖ ÓÒØÒÙÖÐØ
Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼
Ä Ò ½ Å ËË ¹ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Â Î Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ
Stapeldiagram. Stolpdiagram
Á Î Ù Ð Ö Ò Ö Ñ ¹ Ö Ö Å ØÖ Ö Ó Ð Ö ÇÖ ÒØ Ö Ò º Ä ÐÚºµ ½ À ØÓ Ö Ñ Ó Ø Ô Ð Ö Ñ Å ÓÑÑ Ò ÓÒ Ö Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ Ò Ö Ø Ø Ô Ð Ö Ñ Ö Ô Ø Ú ØÓ Ö Ñº ØÓÐÔ Ö Ñ ËÝÒØ Üº Ö Üµ Ê Ø Ö ØØ Ø Ô Ð Ö Ñ Ú Ö Ð Ñ ÒØ Ò Üº Ø Ñ Üµ Ê Ø
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ
Ä Ò Ô Ò ÙÒ Ú Ö Ø Ø ÄÖ ÖÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Å Ö Ã Ð Ö Ò ÅÓØ Ú Ø ÓÒ Ó ÐÚÙÔÔ ØØÒ Ò ÀÙÖ Ò Ò ÐÖ Ö ÔÚ Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ½¼ ÔÓÒ ÄÁÍ¹Ä Ê¹Ä¹ ¹¹¼»½¼ ¹¹Ë À Ò Ð Ö ÂÓ Ñ Ë ÑÙ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô Ó ÐÖ Ò Ú ÐÒ Ò ÁÒ Ø ØÙØ
Â Ú ËÖ ÔØ ÇŠغ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼
Â Ú ËÖ ÔØ Øº Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓ ½ ÓØÓ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ò ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ ÔÖ Ò Ô Ù Ë ÚÓ Ö Ò Ú Ù Ö Ò Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö Ë ÚÓ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ØÝ ³ÙÒ Ñ ÒØ Ù Ë ÚÓ Ö ÓÖ Ö ÙÒ
º º ËÝÒ ÔØ ÔÐ Ø Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Æ ÙÖÓØÖ Ò Ñ ØØ Ö º º º º º º º º º º
Æ ÙÖÓ Ý ÓÐÓ ¹ Ò ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ Ú Ö ÓÒ ¼º½¾ Ò Ø Ä ÙÒ ÕÙ Ø ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ó Ö Ö Ò Ö Ú Ú Ø Ø ÓÒ ÔØ Ò ÓÑ Ö ÓÑÑ Ö Ã Ò Ð Ë Û ÖØÞ ² Â Ð Ó ³ÈÖ Ò ÔÐ Ó Æ ÙÖ Ð Ë Ò ³ ½
Självorganiserande strömningsteknik
Självorganiserande strömningsteknik i Viktor Schaubergers fotspår Lars Johansson Morten Ovesen Curt Hallberg Institutet för Ekologisk Teknik Forskningsrapporter 1 Malmö - 2002 Ë ÐÚÓÖ Ò Ö Ò ØÖ ÑÒ Ò Ø Ò
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring
Anpassning av copulamodeller för en villaförsäkring Emma Södergren Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2012:9 Matematisk statistik December
Ï Ö Ð Ä Æ Ò Ò ÐÝ Ó Ø Ë ÙÖ ØÝ Ò Æ Ó Á ¼¾º½½ ¹ À Ò Ð Ò Ò ÙÖ Ò ¾¼¼½ ÌÓ ÂÓÒ ÓÒ Ø Ó º Ø º Ö ÈÖÓ Ø Ø Ø ÊÓÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÃÌÀµ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å ÖÓ Ð ØÖÓÒ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÁÅÁ̵ Á ÓÖ Ø Ò ½ ¼ Ã Ø ËÛ Ò
σ ϕ = σ x cos 2 ϕ + σ y sin 2 ϕ + 2τ xy sinϕcos ϕ
ÃÓÑÔÐ ØØ Ö Ò ÓÖÑ Ð ÑÐ Ò Ì Ò Ñ Ò Ú º Ö ÀÐÐ Ø Ø ÐÖ ÄÙÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ø Ù Ù Ø ¾¼½¾ ½ ËÔÒÒ Ò Ö τ σ ÆÓÖÑ Ð ÔÒÒ Ò σ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú Ò ÐÖØ ÑÓØ Ò ØØÝØ Ë ÙÚ ÔÒÒ Ò τ = ÔÒÒ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÒØ ÐÐØ Ø ÐÐ Ò ØØÝØ ËÔÒÒ Ò
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÃÓ ÑÓÐÓ ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ö Ð Ò Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò ÓÑ Ó ÖÚ Ö Ø ÍÒ Ú Ö ÙѺ ÍÖ ÔÖÙÒ Ø Ö Ö Ø Ð ÜØ Ö Ú Ñ¹ Ñ ØÖÐÒ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ó ÒØ Ñ Ò ØÖÓ ÓÑÑ ÙÖ ÓÐÐ Ó
ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ú ÑÑ ÙØ ÖÓØØ Ò ØÙ ØØ Ú ÍÒ Ú Ö ÙÑ Ñ Ø Ò Ö Ö ÒÓÑ Ò Ú Ò Ë Ó Ó Ø º Ö Ö Ò Ð Ö ÖÓ Ø º Ë ½¼ Ü Ñ Ò Ö Ø ÒÓÑ Ø Ò Ý ÖÙÒ Ò Ú ½ ¼ Ô À Ò Ð Ö Ð Ü ÊÝ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ë ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ú Ø Ò Ô ÃÙÒ Ð Ì Ò ÓÐ Ò
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ï Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼
ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ËÎ Ä Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ¾ ÒÓÚ Ñ Ö ¾¼¼ Ç Ø Ð Ò ½½ ½ ¾ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô ËÎ ÓÒÒ ØÖ Ð ØÖÙØÙÖ ³ÙÒ Ö Ú ÓÒÒ ØÖ Ð ÙÖ Ë ÚÓ Ö Ö ÖÓÙÔ Ö ÙÒ
level days
ÌÓÑÑÝ ÆÓÖÖ ÅØÑØ ØØ Ø ÐÑÖ ² Í ½ ÑÖ ¾¼¼ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò Ó ÜØÖÑ Ð ØÖ ÒÒ ÖÐ ÒÒ Ú ØÓÖØ Ö ÐØ ÖÒ Ô ØÑØ ÓÚÒÐ ÒÐ Öº Î ÖÖ Ñ ØØ ÒÖ ÈÓ ÓÒÔÖÓ Ò ÓÑ ÓØ Ö Ò Ö ÑÓÐÐ Ö ÒÖ ØÒ ÓÚÒÐ ÒÐ Ö ÒØÖÖº ËÒ Ú Ñ Ò ÈÇ̹ÑØÓÒ ØØ ØÓÖÐÒ ÐÐÖ ØÝÖÒ
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼
ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ö Ò Ú ÔÙÒ Ø Ö ÔØÓÖ Ö Ö Ö ÐØ Ò Ð Ò Ú ÓØÓ Ø Ö Ñ Ö Ø ØÖ Ø Ò Ú Ö Ò ÂÇÀ Æ ÃÊÁËÌ ÆË Æ Ü Ñ Ò Ö Ø ËØÓ ÓÐÑ ËÚ Ö Å ¾¼½¾ ʹ ¹Ë ¾¼½¾ ¼¼ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Î ØÙ Ö Ö Ò Ñ ØÓ Ö ØÑÑ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ú Ö Ò ØÑÑ
Ø Ú Ø Ò Ô ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼¼¼ ¼ ÓÓØÔÖ ÒØ ÌÓÓÐ ÓÜ Ö Ñ ÛÓÖ ÊÓ ÖØ Ù Ø Ú ÓÒ Ó È Ö¹ÇÚ Ê Ò Ý ¾¼¼¼ Ö ØØ ÖÒ Ó Ã ÖÐ Ø ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÒÒ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ð Ú Ø
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º
Ê Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ Ö Ò Ò ÀÓÐÐ Ò Ö Â «Ö Ý º ËØ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú ÙÖÚ Ý Ó ÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Û Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò ÖÝ ÊÏÊ˵º ÇÒ ½ Û Ö Ú Ò Ö Ò ÓÑ Û Ð Û Ø º º º ÒÖ Ñ ÒØ Ò Ö Ò ÓÑ
Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem
Avdelning för datavetenskap Andréas Jonsson Införande av objektorienterade mönster för ökad förändringsbarhet i mjukvarusystem Introduction of object oriented patterns to increase software modifiability
ÁÒÐÒÒ Ú ØÖØÖ Ú Ò Ø ÒÒ ÐÐ ÖÚØ ÓÑ ÒÖ Ú ØØ Ò ÚĐÖÔÔÔÖ ÒĐÑÐÒ Ò Øº ØÒ ÔÖ Ú ØÒ Ø ØÒ Ñ Ë Øµº ÄØ ÒÙ Ì ÚÖ ØØ ÚØ ÖÑØ ØÙÑ Ó ÒØ ØØ ØØ Ú Ø ÖÚØ ØÒ Ò ÒÐĐÓ Ú ØÒ Ì Ó ÙØ
½º ÓÑÒÒ ÔÖÒÔÒ ØØ ÚĐÖÔÔÔÖ ÓÑ ÒÖ ØÖÑÖ Ú ÒÖ ÚĐÖÔÔÔÖ ÐÐ ØØ ¹ ÒÒ ÐÐØ ÖÚغ ÊĐØØØÒ ÑÒ ÝÐØÒ ØØ ĐÓÔ ØØ ÚØ ÚĐÖÔÔÔÖ ØØ ÖÑØ ØÙÑ ØÐÐ ØØ ĐÓÖÚĐ ÙÔÔÓÖØ ÔÖ ÐÐ Ò ĐÓÔÓÔØÓÒº ¹ ØÖ Ó ÓÔØÓÒ ÓÒØÖØ ĐÖ ÑÝØ ÑÐ ĐÓÖØÐ Öº ØÖ Ö ÚÖØ
1 S nr = L nr dt = 2 mv2 dt
Ë Ñ Ò ÖÚÓÖØÖ Ö Ð Ó ÓÒ ËØÖ Ò Ò Ö ÖÓ Ö Ø ¾½º Å ¾¼¼ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÏÓÖÙÑ Ø³ ¾ ¾ Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò ¾ ¾º½ Ï Ö ÙÒ ÒØ Ö Ð Ö Ö Ð Ø Ú Ø ÈÙÒ ØØ Ð Ò º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ê Ô Ö Ñ ØÖ ÖÙÒ ÒÚ Ö ÒÞ º º º º º º º
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓ
Å Þ Ö Î Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ø ÓÒ Ö ÙÐØĐ Ø ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö Ö Ö ¹Ã ÖÐ ¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÌĐÙ Ò ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ò Ó ØÓÖ Ö Æ ØÙÖÛ Ò Ø Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Ö ØÓÔ Ë Û ÖÞÛ ÐÐ Ö ÌĐÙ Ò ½ Ì Ö ÑĐÙÒ Ð Ò ÉÙ Ð Ø ÓÒ ½ º½¾º½
ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ý Ø ÑØ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ü Ñ Ò Ö Ø Ö ØØÖ Ò Ú ÙÓÖÓ ÓÔ Ð Ö Ü Ñ Ò Ö Ø ÙØ ÖØ Ð Ò Ð Ò Ú Ì Ò ÓÐ Ò Ä Ò Ô Ò Ú À Ò ÖÓÐÙÒ ÄÁÌÀ¹ÁË ¹ ¹¼» ¾ ¹Ë Ä Ò Ô Ò ¾¼¼ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò Ä Ò Ô
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 1 maj 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström En brevväxling: Olle Häggström och Anders Hallberg Uppsala Gästabud: Ulf Persson Uppsalas
Imperativ programering
Imperativ programering Lösningen till Inlämningsuppgift 1A sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 21 juni 2007 1 Program 1 1.1 C - غ ÒÙ Ø Óº ÒÙ Ø º ÒØ Ñ Ò µ Ö ÓÖ ³ ³ ³ ³ µ ÔÖ ÒØ ± µ ÔÖ ÒØ Ò µ Ö ØÙÖÒ ÁÌ ËÍ ËË
Ú Ö Ö ÐÒ Ö ØØ Ö Ú Ø Ú Ò Ò ¹ Ú Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ñ Ò Ö ¹ Ø Öº ËØÝÖ Ú ØØ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ò ÑÓØ Ð ÙÐÐ º Á Ó Ç ÓÐ ÔÖ Ð Ú ÝÒº ÍÒ Ø Ö ÖÒ ÐÒ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓ Ò ÀÓÑ ÖÓ Ö Ø
ÒØ Ò Ò Ö ÄÎ ÂÓ Ò Î ÐÐ ÙÑ Ñ Ö ¾¼¼ ÒÑÖ Ò Ò Ö Å Ò Ó ÙÐÐ ÓÖ ÒØ Ò Ò Ö ÑØ Ò Ø Ò Ò Ö ½ ½º½ ÐÐÑÒØ ÀÓÑ ÖÓ ÁÐ Ò Ó Ç Ý Ò ØÚ Ð Ö Ú Ò ØÖÓ Ò Ý ÐÒ ÓÑ ØÓ Ú ÔÓ º ÁÒØ ÑÝ Ø Ú Ö Ø ÖÒ ÒÒ Ú Ö º ÁÐ Ò º ¹ ¼ Ç Ý Ò º ¼ Ö Ò Ö º
Problembanken. Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning. Hillevi Gavel, Mälardalens högskola
Problembanken Grundskola åk 7 9, modul: Problemlösning Hillevi Gavel, Mälardalens högskola ÅÓÙÐ ÈÖÓÐÑÐ ÒÒ Ð ½ ÀÐÐÚ ÚÐ ÅÐÖÐÒ ÓÐ ÒÒ ÔÖÓÐÑÒ ÒÒÐÐÖ ½ ÔÖÓÐÑ Ñ ÚÖÖÒ ÒÒÐÐ Ó ÚÖØ Öº ÌÒÒ Ö ØØ Ò ÚÐÖ ÔÖÓÐÑ ØÖ Ú ÓÑ
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ ½ Ñ ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ ¾ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ö Ò Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ Ò Ö Ú
Dlnx = 1 x. D 1 4 x4 = 1 4 4x3 = x 3. F(x) = x3 + x2. + x2. F (x) = G (x) = x 2 + x = f(x). Ó G(x) =
ÃÓÑÔ Ò ÙÑ ÈÖÓÔ ÙØ Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ø Ú Å Ð Ò À Å Ø Ñ Ø Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ó Ñ Ó ¾¼¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò ¾ ÁÒØ Ö Ð Ö ¾º½ Ö Ú Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÐ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2011 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Intervjuer: Raghunathan, Björner, Laptev Popular Mathematics: Ulf Persson John Milnor -
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2013-08-29 Skrivtid: 08 00 11 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
0, x a x a b a 1, x b. 1, x n. 2 n δ rn (x), { 0, x < rn δ rn (x) = 1, x r n
Ë ÒÒÓÐ Ø ÐÖ È ÚÓ Ë ÐÑ Ò Ò ÒÙ Ö ¾¼½¼ ÁÒÒ ÐÐ ½ Ö ÐÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó ÒÒÓÐ Ø ÑØØ ¾ ¾ ËØÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÇÑ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò Ò ½¼ º½ ÈÓ ÓÒ Ö ÐÒ Ò ÓÑ ÖÒ Ö ÐÒ Ò Ö ÒÓÑ Ð Ö ÐÒ Ò º ½½ º¾ ÈÓ ÓÒ¹ Ö ÐÒ Ò ÓÑ Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ó ÖÙØ Ó
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat
u(t) = u o sin(ωt) y(t) = y o sin(ωt + φ) Y (iω) = G(iω)U(iω)
Ã Ô Ø Ð ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØØ Ö Ã Ô Ø Ð Ø ÐÐ ÓÑÔ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÝÒ Ñ Ý Ø Ñ Ó Ö Ø Ñ Ô Ø ÒØ Òº Á Ô Ø Ð ¾ ÙØ Ö Ý Ð ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ú ÙÖ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ö Ñ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Öº Î Ö Ó ÒØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐÔ Ö Ñ ØÖ ÖÒ ÝÒ Ñ ÑÓ
B:=0; C:=0; B:=B+2; C:= 0; B>0 -> B:= B-2; B>0 -> B:= B-2;
ËÝÑ ÓÐ Ò ÐÝ Ó ÌÖ Ò Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ ÁÒÚ Ø Ô Ô Ö Ø Ø Ëž¼¼¼ ÏÓÖ ÓÔ Æ Ø Ö Ò Ë Ò Ö ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ÓÖ ØÓÖÝ ËÊÁ ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å ÒÐÓ È Ö ¼¾ ÍË Ò Ö ÓÛÖ Ðº Ö ºÓÑ ÍÊÄ ØØÔ»»ÛÛÛº к Ö ºÓÑ» Ò Ö» È ÓÒ ½ ¼µ ¹ ¾ ¾ Ü ½ ¼µ ¹¾
K=6 K 0.65 K Stegsvar B 2. Stegsvar C. Stegsvar A
ÇË ÃÓÒØÖÓÐÐÖ ØØ Ù Ö ØØ ÖĐØØ ØÒØÑÒ ÒÒ ØÒØÑÒ ĐÐÐÖ ĐÓÖØ Ò ĐÓÖ ÊÐÖØÒ Ô ĐÓÖ º È Ø Ò Ú ØÒØÑÒ ÒÒ ØØ ĐÓÖĐØØÐ ÓÑ ÝÐÐ Ó ÐĐÑÒ Ò ØÐÐÑÑÒ Ñ Ò ÐĐÓÒÒÖº Ò ĐÖ ÙÖ ÑÒ ÙÖ¹µ ÔÓĐÒ Ù ØÒØÖÖ ĐÓÖº ÌÆÌÅÆ ÊÐÖØÒ Ô Ì ÇÒ ÙÒ ¼¼ Ð º¼¼ßº¼¼
¾
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ø ÐÐ Å ÔÐ Ò Ö ÀÓÐ Ø ¾ Ñ Ö ¾¼¼ ¾ ÁÆÆ À ÄÄ ½ ÁÒÒ ÐÐ ½ ÖÙÒ ¾ ½º½ ØØ Ø ÖØ Å ÔÐ Ö Ï Ò ÓÛ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Ö ØÑ Ø ÙØØÖÝ Ò Ú Ö Ð Ö Å Ò ÔÙÐ Ø ÓÒ Ú Ð Ö ÙØØÖÝ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÒ ÚÖ
a = ax e b = by e c = cz e
ËÁÃÍÅ ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÈÊÇ Ä ÅË ÅÄÁÆ Ê ÃÇÆ ÆË Ê Å Ì ÊÁ ÆË ËÁà РÁ Ĺ ½ ½º ÃÖ Ø ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ ½¹½º ÃÓÔÔ Ö Ö ¹ ØÖÙ ØÙÖ Ó Ò Ø Ø Ò º»Ñ 3 º Ö Ò Ñ ÐÔ Ö Ú µ à ÒØÐÒ Ò Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐ Ò Ø ÐÐ Òº µ Ú ØÒ Ø Ñ ÐÐ
ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ ØØ ÒÓÑÖ Ô Ò Ò ÑÒ Ú
ÙÒØÓÒ ØÓÖ ÁÒÐÒ ØÓÖÚÒÒÖ Ó ÖÔØØÓÒ Ú ÅØÐ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ò ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÅØк ËÝ ØÑØ ÒÚÒ Ö ÓÑ Ò ÚÒ¹ Ö ÖÒÓ Ñ ÒÝ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ó Öº À Ò ÅØÐÑÒÙÐ ØÐÐÒÐ ÓÑ Ù Ö ÚÒ Úº ÚÒÒÖÒ Ö ØÒØ
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÑÖÒ ÑÖÓÐÞ Ó ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö Ð ÖÒÒ Ú ÒÚÖÒ Ó Ò¹ ÚØÓÖÖ ÑØ ÓÒÐ ÖÒ Ú ÑØÖ Ö Ñ ÐÔ Ú ÅØÐ Ó ÅÔÐ Ð Ð ÒÒ Ú ÖÒØÐÚØÓÒÖ Ñ ÐÔ Ú ÅÔк À ÐÖÓÓÒ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm Dinner with the Devlin: Persson Logikern Pelle Lindström död: Dag Westerståhl More Sex.
ÿ(t) + 2ẏ(t) + y(t) = u(t 2) + ṙ(t) r 1 + st Tẏ(t) + y(t) = Ke(t) e(t) = r(t) y(t)
ÊÐÖØÒ Å Ô ÌÒØÑÒ ¾¼¼¹¼½¹½ Ì ½¼¼ ½¼¼ ÄÓÐ Î¹Ù Ø ÃÙÖ Ó Ê¼ ½ ÄÖÖ ÃÒÙØ ÓÒ ØÐ ¼¼½¹¾ ÄÖÖÒ Ö ØÒØÑÒ ÐÒ Ú ØÚ ØÐÐÐÐÒ Ö ØØ ÚÖ Ô ÚÒØÙÐÐ ÖÓÖº ØØ Ö ÒÓÖÑÐØ ØØ Ò ØÑÑÖ ØÖ ØÒØÑÒ ØÖØ ÑØ Ò ØÑÑ Ö ØÒØÑÒ ÐÙغ ÌÒØÑÒ ÓÑØØÖ ØÓØÐØ
È Ò ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ú Ö ØÝ ÊÓ ÖØ ÒÑ Ö ÖÓ ¼ ËØ Ò È ØØ Ö ÓÒ ØÔ Ó Ò Ò Ü Þ ½ ½¾ Ñ Ö ¾¼¼ ÈÖÓ Ø Ö Ø Ö ÙÖ Ò ÒÚÒ Ö ÒØÖ Ö Ý Ø Ñ Ò Ú ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÒÓ
ÈÒ ÓÒ ÔÐÒÖÒ ÚÖØÝ ÊÓÖØ ÒÑÖ ÖÓ¼ ËØÒ ÈØØÖ ÓÒ ØÔ ÓÒ Ò ÜÞ ½ ½¾ ÑÖ ¾¼¼ ÈÖÓØÖØ Ö ÙÖ Ò ÒÚÒÖÒØÖÖ Ý ØÑ Ò Ú ÁÒ ØØÙØÓÒÒ Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ ÍÔÔ Ð ÙÒÚÖ ØØ ÁÒÒÐÐ ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ½º½ ÍÔÔØ ÖÚÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ
ÄÓ Ð Ö Ò Ú ÖÓÚ ÙÖ Ñ ÐÔ Ú È˹ Ó ÈÊË¹Ø Ò Ã Ò Ø Ö Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ö Ð Ò Æ Ð Ò Ö Ò Â ÑÑÝ ÖÐ Ò Å ØØ Ö Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒ ÃÖ ØÓ Ö Æ Ð ÓÒ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ø ¹ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ò Ú ÐÒ Ò Ò Ö ØÓÖØ Ò À ÄÅ
G(h r k r l r ) = h r A + k r B + l r C (1)
ËÌÇ ÃÀÇÄÅË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ËÁÃÍÅ ÎÆÁÆ ËÄ ÇÊ ÌÇÊÁ Ì Ê ËÈÊÁ ÆÁÆ ¹ Á Á Ê ÃÌÁÇÆËÅ ÆËÌ Ê ÎÁ Ê ÆÌ Æ Á Ê ÃÌÁÇÆ ÆÄÁ Ì ¹Ë À ÊÊ ÊË Å ÌÇ ½ºÁÒÐ Ò Ò º ÃÓÖØ ÑÑ Ò ØØÒ Ò Ú ÖÙÒ Ð Ò Ø ÓÖ ºµ Ç º ÒÒ ÒÐ Ò Ò Ö ÒØ Ú ØØ ÙØ ÖÐ Ø Ö
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½
ÌÁÄÄ ÅÈ ÁËÃÊ Ì ËÌÊÍÃÌÍÊ Ê ÂÙÐ Ù ÖÞ Þ Ò Ó Â Ò ËØ Ú Ò Å Ì Å ÌÁÃ À ÄÅ ÊË Ì ÃÆÁËÃ À ËÃÇÄ Ì ÇÊ Ë ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì Ì ÇÊ ¾¼¼½ ÊÇÊ Ì ÖÑ Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Ø Ö ØØ ÑÝ Ø Ö ØØ Ô ØÖÙÑ Ú ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø ÑÒ Ò ÓÑ Ô ØØ ÐÐ Ö ÒÒ Ø ØØ
Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,
Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp, 2008-03-25 OBS! Denna tentamen avser nya versionen av kursen Beräkningsvetenskap
Tmem. ::= {mem data := Tmem data ;mem free := Tmem free ;mem null := Tmem null ;mem code := Tmem code }
ÓÖÑ Ð Î Ö Ø ÓÒ Ó Å ÑÓÖÝ ÅÓ Ð ÓÖ ¹Ä ÁÑÔ Ö Ø Ú Ä Ò Ù Ë Ò Ö Ò Ð ÞÝ Ò Ú Ö Ä ÖÓÝ ÁÆÊÁ ÊÓÕÙ ÒÓÙÖØ ½ Ä Ò Ý Ü Ö Ò ßË Ò Ö Ò º Ð ÞÝ Ú ÖºÄ ÖÓÝÐ ÒÖ º Ö ØÖ Øº Ì Ô Ô Ö ÔÖ ÒØ ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÕ ÔÖÓÓ Ø ÒØ Ó Ñ ÑÓÖÝ
Från det imaginära till normala familjer
Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik ÖÒ
1 = 2π 360 = π ( 57.3 ) 2π = = 60 1 = 60. 7π π = 210
ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Å»Ì Æ Ð Ö ÓÒ ¾¼½¾¹¼ ¹¾ ½ Á Ñ» ܺ ÐÙÐÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÙÖ º Ì ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ È. Î Ò ÐÑØØ Ø Ö Ò Ö Ë ÒÙ Ó ÒÙ Ó Ø Ò Ò º Ò Ø ÓÒ Öº ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ö ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÒØ Ø Ø Ö ÌÖ Ò Ð
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½
ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð À ÒÒÙ ÌÓ ÚÓÒ Ò Ö Ö Ø Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø Ò Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÖÙÒ ÙÖ Ë Ò Ð ¹ Ò Ð Ò Ôº Ì˵ Ö ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø Ò Ö Æ ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó
x + y + z = 0 ax y + z = 0 x ay z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 2011-12-13 kl 1419 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 februari 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm What should a Mathematician Know?: Davis & Mumford Två klassiska läroböcker i analys:
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½
ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ö Ð Ò Ò Ñ Ø Ö Ð ÑÑ Ò ØÐÐØ Ú ÌÓÑ Ö Ñ Ò ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ Ø Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ó Ñ Ö ÙÔÔÐ Ò ¾¼½ Ö Ð Ò Ò ÒØ Ò Ò Ö Ö Ú Ö ÙÖ Ò ÁÒ Ò Ö Ñ Ø Ñ Ø ÁÁ Ôº Ì˵ Ö Ö Ø Ö Ø ØÙ Ö Ò Ú ÙÐØ Ø ÓÑÖ Ø Ö Ò ØÙÖÚ
arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008
![arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008](/thumbs/57/41044285.jpg "arxiv: v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008")
Ê Ä ÌÁÎÁËÌÁËÃ Ê ÈËÇ Á arxiv:0809.0708v1 [physics.gen-ph] 3 Sep 2008 Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò º Ö Ð Ò Ò Ð Ö Ò ËÔ ÐÐ Ê Ð Ø Ú Ø Ø Ø ¹ ÓÖ Ò Ñ ØÓÖ ÓÑÑ ÒØ Ö Ö ÑØ Ú Ö Ö ØØ ÑÓ Ö Ø ÓÖ Òº ÌÖÓØ Ñ Ö Ò ÙÒ Ö Ö Ô Ò Ò ÒÒ Ø Ò Ø ÓÑ
W R = {u C(T) : u(e iθ ) = Ê f(e iθ ) f A(D R )}. z k = r k e ikθ = r k coskθ + ir k sin kθ
ÆÓØ ÓÑ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ó ØÐÐÑÔÒÒÖ ÒÖ ÀÓÐ Ø ½ ÒÓÚÑÖ ¾¼¼ ÆÓØ ÓÑ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ó ØÐÐÑÔ¹ ÒÒÖ Î ØÖØÖ Ö Ø ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ú ÙÒØÓÒÖ Ô ÒØ ÖÐÒ ØÓÖÙ Òµ T ÚÐ ÒØÙÖÐØÚ Ó Ò ÓÑ ÔÖÓ ÙÒØÓÒÖº ÌÓÖÒ Ö ÑÑ ØÖÙØÙÖ ÓÑ Ò Ö ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2009 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Intervjuer: Lithner och du Sautoy: Ulf Persson From Sweden with Love: An Yajun Boij och Nyström
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 maj 2010 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Tobias Ekholm 19P 10P 2P 11P 20P 29P 6P 15P 24P P 25P 16P 7P 30P 21P 12P 3P 26P 17P 8P John Tate - Abelprisvinnare:
Imperativ programering
Imperativ programering Inlämningsuppgift 1 sommaren 2007 Jesper Wilhelmsson 12 juni 2007 1 Deluppgift A Nedan finns fem program skrivna i fem olika språk. Er uppgift är att skriva alla fem programmen i
S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) = c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 ) S(c 1 w 1 + c 2 w 2 ) (c 1 S(w 1 ) + c 2 S(w 2 )).
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ¾ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼¼ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÙÙÑ Ú Ò ÒйÙØ ÒÐÖÐØÓÒÖ Ð Ø ÓÑÖØ Ð ÖÚÒ ÓÑÖØ ÑØ Ò ÓÖØ ÒØÖÓÙØÓÒ ØÐÐ ÓÙÖÖØÖÒ ¹ ÓÖÑÖÒ Ñ ÅÔк À ÐÖÓÓÒ Ó ÚÒÒ ØØ ØÐÐÒк
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 oktober 2008 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Nils Dencker Brändén och Karlsson Wallenbergpristagare: Borcea och Benedicks Lund under luppen: Magnus
Tentamen i TMME32 Mekanik fk för Yi
Ì ÒØ Ñ Ò ÌÅÅ ¾ Ì Æ½µ Å Ò Ö Ì ÒØ Ñ Ò ØÙÑ ¾¼½ ¹¼ ¹½ к ½ ¹½ º Ü Ñ Ò ØÓÖ Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº ÂÓÙÖ Ú Ò Ä Ö ÂÓ Ò ÓÒº Ì Ð ÓÒ ¼½ ¹¾ ½½¾¼º Ö Ø ÒØ Ñ Ò ÐÓ Ð Ò Ðº ½ Ó ½ º ¼º À ÐÔÑ Ð Ê ØÚ Ö ØÝ ÑØ ØØ ¹ Ð ÓÖµ Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ò
= =
ÌÓÑ Ö ÓÒ ¾¼½ ½ ½ ØÖ ÝØ Ó ÒØ ØØ ÔØÐ Ö Ù ÙÚÙ Ð Ô Ò Òº Â Ö ÓÒÒØÖÖØ Ñ Ô ÄÒÙܹ Ý ØÑØ ÚÒ ÓÑ Ø Ñ Ø ÐÐÖ ÚÒ Ö ÒÖ Ý ØѺ ½º½ ÒÖ ØÐ ØÓÖÖ ÖØÖ ÒÓÖÑÐØ Ñ ØÐ ÙØØÖÝØ Ò ØÚ Ó ÑÒ ØÐÖ ÖÖ ÓÑ ÒÖ Øк Ò Ø Ö Ò ÒÖ Ö ÁÒÖÝ Øµ Ú º ØØ
Article available at or
Å Ø º ÅÓ Ðº Æ Øº È ÒÓѺ ÎÓк ÆÓº ¾ ¾¼¼ ÔÔº ¾ ¹ ÅÓ ÐÐ Ò ÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ê ÙÐ ØÓÖÝ Æ ØÛÓÖ Ò ÖØ Ð Ø Ö º Ë Ò Þ¹ a,c º È Ö ÓÒ a ºź È b Ò º ÐÓÒ ½,a,c a ÄÁÊÁË ÆÊË ÍÅÊ ¾¼ ÁÆË ¹ÄÝÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÄÝÓÒ ¾½ Î ÐÐ ÙÖ ÒÒ Ö Ò
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET
Svenska Matematikersamfundet MEDLEMSUTSKICKET 15 januari 2007 Redaktör: Ulf Persson Ansvarig utgivare: Olle Häggström Mittag-Lefflers testamente: Arild Stubhaug Reminiscenser av Mittag-Lefflerinstitutet:
=
ËÝ ØÑ Ó ØÖÒ ÓÖÑÖ ØÓÖÐÓÖØÓÒ ½ Ú ËÚÒ ËÔÒÒ ÊÚÖ Ø ¾¼½¾ Ú ÂÒ Ù ØÚ ÓÒ Ó ÌÓÑ ÖÒ ØÑ ÁÒÐÒÒ ÈÖÓÖÑÑØ Ö ÒÒ ØÓÖÚÒÒ Ö ØÓÖØ ØØ ØÙÖ ÑØÖ ÓÔÖØÓÒÖ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÚÖÒ ÒÚØÓÖÖ Ó ÓÒÐ ÖÒ Ñ ÅØÐ Ó ÅÔÐ ÒÖÐ ÖØ ØØÓÒÖ Ð ÒÒÖ ÜÔÓÒÒØÐÑØÖ
¾¼ Ë Ò ÓÐ ÖØ Ö Ò ÓÒÒ Ö ËØÓ ¹ ÓÐÑ ½ ¼ º ½½ º Í ÍÍ Ë ÄÍÅ ÆÍ Å Ú Ò ØØ Ö Ú Ë Ö ØÖ Ñº ÀÒÚ ÖÒ ¾½ ¾¾ ¾ ¾¾ ¾ ½¼½ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ½ ¾ ¾º ¾½ Ö À Ò ËÚ Ò Ú Ö º ÍÖ ÇÖ Ó
Ë ÙÖ Ö ÐÐ Ð ØØ Ö ØÙÖ Ò Ö Ö ÐÐ ¾¼ ÒÙ Ö ¾¼¼ Á Ë Ð Ò ½ ½ Ë Ð Ð Ø ÐÓ Ð³ Ô ÖÓ Ì ÐÐ ÓÔÔ Ø Ø Ö¹ Ò µº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ÒÖ ½ º Ø Ô Ô Ö ÒØÓº Ë ÑÑ ÔÙ Ð Ø ÓÒ ÓÑ ½ ¼º ¾ Ë Ô Ö ÑÓ Ô Ö Ñµº ÍÖ Ä Ò ÚÓ ÁÒØ ÖÒ ¹ ÒÖ ½ º ÃÓÖØ