W R = {u C(T) : u(e iθ ) = Ê f(e iθ ) f A(D R )}. z k = r k e ikθ = r k coskθ + ir k sin kθ

Transkript

1 ÆÓØ ÓÑ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ó ØÐÐÑÔÒÒÖ ÒÖ ÀÓÐ Ø ½ ÒÓÚÑÖ ¾¼¼ ÆÓØ ÓÑ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ó ØÐÐÑÔ¹ ÒÒÖ Î ØÖØÖ Ö Ø ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ú ÙÒØÓÒÖ Ô ÒØ ÖÐÒ ØÓÖÙ Òµ T ÚÐ ÒØÙÖÐØÚ Ó Ò ÓÑ ÔÖÓ ÙÒØÓÒÖº ÌÓÖÒ Ö ÑÑ ØÖÙØÙÖ ÓÑ Ò Ö ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ú ÙÒØÓÒÖ Ô ÑÒ ÖÒÒÖÒ ÐÖ ÐØ ÒÐÖº ØÖ ØØ Ú ÒÐØ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ô ÙØÖÖ Ú ÒÖ ØÐÐÑÔÒÒÖ Ð Ó ÖÐØÓÒÖº ÒØ ÖÐÒ Î ÐÐ Ö Ñ ØØ ÒÖ ÀÐÖØÖÒ ÓÖÑÒ Ú ÙÒØÓÒÖ ÖÙÑÑØ W ÚÐØ Ú ØÖÜ ÐÐ ÒÖº ÍØÒ ØØ Ú ÝÑÖ Ó ÒÖÑÖ ÓÑ ÔÖ ÚÐ ÙÒØÓÒÖ ÓÑ ÒÖ W Ö Ú Ò ÒÓÑ ØØ ØÐÐÑÔ ÒØÓÒÒ Ô ØÖÓÒÓÑØÖ ÙÒØÓÒÖÒ ØØ Ø ÒÒ Ò ÒØÙÖÐ ÙØÚÒÒ Ú ÒØÓÒÒ ØÐÐ Ò ÙÒØÖ ÓÔÖØÓÖ Ô L 2 (T) ÓÑ Ö Ò ÓÙÖÖÑÙÐØÔÐØÓÖº Ò Ò ÐÐØ Ó ÙØØÖÝ ÓÑ Ò ÐØÒÒ ÓÔÖØÓÖº ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ô W ÄØ A(Ω) ØÒ ÑÒÒ Ú ÐÐ ÒÐÝØ ÙÒØÓÒÖ Ô Ω C Ó ØØ D = {z C : z < }º ËØØ ÐÙØÐÒ Ö > W = {u C(T) : u(e iθ ) = Êf(e iθ ) f A(D )}. ØØ Ö ØØ ÐÒÖØ ÖÙÑ ÚÖ Ó Ø Ö ÐÖØ ØØ W C (T)º ÇÑ z = re iθ ÐÐÖ z k = r k e ikθ = r k coskθ + ir k sin kθ ½µ ½

2 ¾ ÚÐØ Ú Ö ØØ u(e iθ ) = coskθ ØÐÐÖ W Ö ÚÖ k Nº ÄØ D = {z C : z < } {(x, y) 2 : x 2 + y 2 < }. Â ÓÑÑÖ ØØ ÚÜÐ ÑÐÐÒ ÓÑÔÐÜ Ó ÖÐÐ ÒÓØØÓÒ ØØ Ø Ü e iθ ÒÚÒ ÓÑ ØÒÒ Ö ÔÙÒØÒ (cosθ, sin θ) 2 ºµ ÚØ Ò ÓÒØÒÙÖÐ ÙÒØÓÒ u 0 Ô D ÒÒ Ò ÒØÝ Ð ÒÒ ØÐÐ ÖÐØ ÔÖÓÐÑ { u = 0 D u(e iθ ) = u 0 (e iθ ) e iθ D. ØØ Ò Ú ÒÓÑ ØØ ÚÖ ØÐÐ ÔÓÐÖ ÓÓÖÒØÖ Ö Ø Ü Ü º½ Ô ½½½½ ÃÓÒØÒÙÖÐ Ý ØÑ ÐÐÖ Ú ÒØØ ¼º¾ ËÚÒ ÓÑÔÒÙÑºµ Ø Ö ÐÖØ ØØ u ÐÖ ÖÐÐÚÖ ÓÑ u 0 Ö Ø Ó ÒÐØ ÖÙØ ØØÒÒÖÒ Ö u ÖÑÓÒ Dº Åºº ÙÝ¹ÊÑÒÒ ÚØÓÒÖ Ò Ú ÒÒ Ò ÒÝ ÖÐÐÚÖµ ÖÑÓÒ ÙÒØÓÒ v = v(x, y) Ò ØØ f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) ÒÖÖ Ò ÒÐÝØ ÙÒØÓÒ Dº ÙÒØÓÒÒ v ÐÖ ÒØÝØ ØÑ ÒÖ ÓÑ Ô Ò ÓÒ ØÒØ ÓÑ Ú ÜÖÖ ÒÓÑ ÖÚØ v(0) = 0º Î ÐÐÖ v Ò ÓÒÙÖ ÙÒØÓÒÒ ØÐÐ uº ÈÖÓÐÑ ÃÒ v ÙØÚ ØÐÐ Ò ÐÙØÒ ÒØ ÚÒ D ØÖ ÓÑ f Ö ÒÐÝØ D Ö Ò Ò ÔÓØÒ ÖÙØÚÐÒ f(z) = c k z k, k=0 ¾µ Ñ ÓÒÚÖÒ Ö º ÇÑ k=0 c k < ÐÖ Ø Ú ÏÖ ØÖ ³ ÑÓÖÒØ Ø ØØ ÖÒ ¾µ ÓÒÚÖÖÖ ÐÓÖÑØ Ô D Ó ÐÐØ ÖÔÖ ÒØÖÖ Ò ÓÒØÒÙÖÐ ÙÒØÓÒ Öº ËÔÐÐØ ÐÐÖ f(e iθ ) = c k e ikθ. µ k=0 Ñ ÐÓÖÑ ÓÒÚÖÒ ØØ v(z) = ÁÑf(z) ÐÖ Ò ÓÒØÒÙÖÐ ÙÒØÓÒ Ô Dº Á ØØ ÐÐ ÒÖÖ v ÐÐØ Ò ÓÒØÒÙÖÐ ÙÒØÓÒ v 0 Ô ÒØ ÖÐÒº Ù ÓÒÒ ÓÚÒ Ú Ö ØØ Ö ÚÖ > Ö ÚÐÒÒÒ H : W u 0 v 0

3 ÚÐÒÖº Ò ÐÐ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ô ÒØ ÖÐÒµ Ó ÙÔÔÝÐ¹ ÐÖ ØØ H(λ u + λ 2 u 2 ) = λ Hu + λ 2 Hu 2, λ, λ 2 u, u 2 W ØÝ ÓÑ f j (z) = u j (z) + iv j (z) j 2 ØÐÐÖ A(D ) ÐÐÖ Ø ÑÑ Ö ÇÑ λ f (z) + λ 2 f 2 (z) = (λ u (z) + λ 2 u 2 (z)) + i(λ v (z) + λ 2 v 2 (z)). f(z) = u(z) + iv(z) Ö ÒÐÝØ D ÐÐÖ ØØ ÚÒ Ö g(z) = if(z) = v(z) + i( u(z)). ÀÖÚ Ö Ú ØØ v 0 ØÐÐÖ W ÓÑ u 0 Ö Ø Ú ØØ H ÚÐÖ W Ò W º Î Ö Ó ØØ u Ö ÓÒÙÖ ØÐÐ v Ú Hv 0 = u 0 + u(0) µ Ö Ò Ø ØÖÑÒ ÖØ ØÖ ÓÑ Ú Ñ Ø ÚÐ Ò ÓÒÙÖ ÙÒØÓÒ ÓÑ Ö ÚÒÒÖ ÓÖÓº ÇÑ u(0) = 0 ÐÐÖ ÐÐØ H 2 u 0 = u 0 º ÒÑÖÒÒ ÓÖÑÐÒ Ö u ÙØØÖÝØ u 0 Ö ØØ u(0) = 0 u 0 (e iθ ) dθ ÚÐÐÓÖØ u(0) = 0 ÒÒÖ ØØ u 0 Ö ÑÐÚÖ 0º ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ô L 2 (T) Ú ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ ÒØÓÒ ÑØ ÓÖÑÐ ½µ ÐÖ ÖØ ØØ Ó Ò Ú µ ØØ H coskθ = sin kθ, k N, µ H sin kθ = coskθ, k Z +. µ ÙÒØÓÒÖÒ cos kθ k N Ó sin kθ k Z + ÐÖ ØÐÐ ÑÑÒ Ò ÓÖØÓ¹ ÒÓÖÑÐ L 2 (T) Ú ØÖÓÒÓÑØÖ ÓÙÖÖ ÖÖº ÒÒÙ ÑÖ ÓÖÑÐÖ Ö Ú ÑÐÐÖØ ÓÑ Ú ÒÚÒÖ ÜÔÓÒÒØÐÐ ÓÙÖÖ ÖÖ ÚÐØ Ó ÖÚÖ ØØ Ú Ö Ø ÒÖÖ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ú ÓÑÔÐÜ ÐÒÖÓÑÒØÓÒÖ Ú ÙÒØÓÒÖ W

4 ÒØÓÒ ÇÑ u, u 2 W ØØÖ Ú H(u + iu 2 ) = Hu + i Hu 2. Î Ö ÓÑÐÖØ Ö k > 0µ He ikθ He ikθ = (coskθ + i sin kθ) = sin kθ i cos kθ = ie ikθ = (coskθ i sin kθ) = sin kθ + i cos kθ = ie ikθ H = 0 ÚÐØ Ò ÑÑÒØØ He ikθ = i Ò (k)e ikθ, k Z. ØØ ÑÓØÚÖÖ ÒØÓÒ ÇÑ f L 2 (T) Ö ÓÙÖÖÓÒØÖÒ c k (f) ÒÖ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Hf Ú f ÒÓÑ (Hf)(e iθ ) = ( i Ò (k))c k (f)e ikθ, Ö ÖÒ ÓÒÚÖÖÖ L 2 ¹ÑÒÒº Ø ÐÖ ÓÑÐÖØ Ú ÈÖ ÚÐ ÓÖÑÐ ØØ ØØ H 2 = º Î Ö Ó ØØ Hf 2 2 = f 2 2 c 0(f) 2 f 2 2, H 2 f(e iθ ) = f(e iθ ) f(e iθ ) dθ. 0 ÐÒ Ø Ú Ö ØØ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ð Ö ÔÖÓÐÑØ ØØ ÒÒ ÖÒÚÖØ Ú Ò ÓÒÙÖ ÙÒØÓÒÒº ËØ º½½ ÄØ u, v L 2 (T) ÚÖ ÖÐÐÚÖº ÒÒ Ø Ò ÙÒØÓÒ f A(D) Ò ØØ f(re iθ ) u(e iθ ) + iv(e iθ ) L 2 (T), r 0, µ ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ v = Hu + c Ö ÒÓÒ ÓÒ ØÒØ cº ÒØÓÒ ÇÑ µ ÐÐÖ Ö Ú ØØ u + iv Ö ÖÒÚÖØ Ú fº ËØ º½ Ú ÑÝØ ÒÐØ Ñ ÐÔ Ú

5 ÄÑÑ ÄØ g L 2 (T)º Ö g ÖÒÚÖØ Ú ØØ G A(D) ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ g ÓÙÖÖÓÒØÖ ÙÔÔÝÐÐÖ c k (g) = 0 k < 0. ÈÖÓÓ ÒØ Ö Ø ØØ g(e iθ ) = k=0 c ke ikθ. Ø ÐÖ Ú ÈÖ ÚÐ ÓÖÑÐ ØØ c k (g) c k (g) 2 < º ÐØÐÒ Ö ÖÒ c k z k k=0 ÓÐÙØÓÒÚÖÒØ Ö z < ÑÓÖÖ Ñ ÓÑØÖ Ö Ñ ÚÓØ z º ÙÑÑ G(z) ØÐÐÖ ÖÖ A(D)º Ö ØØ ØØ G Ö ÖÒÚÖØ g ÒÚÒÖ Ú ÈÖ ÚÐ Ô θ G(re iθ ) g(e iθ ) ÚÐØ Ö G(re iθ ) g(e iθ ) 2 dθ = 0 r k 2 c k (g) 2. k=0 Ø ÐÖ Ú ÏÖ ØÖ ÅÓÖÒØ Ø ØØ ÖÒ ÖÐØ Ö ÐÓÖÑØ ÓÒÚÖÒØ Ö 0 r º Î Ò ÖÖ Ø ÖÒ ÚÖØ r 0 ØÖÑÚ ÚÐØ Ú Ö ØØ G Ö ÖÒÚÖØ gº ØÖ ØÖ ØØ Ú ØØ ÓÑ g(e iθ ) = c ke ikθ Ö ÖÒÚÖØ Ú ÒÓØ G(z) = k=0 G kz k A(D) Ö c k = 0 Ö k < 0º ØØ ÐÖ Ó ÓÑÐÖØ Ú ÈÖ ÚÐ ÓÑ Ö G(re iθ ) g(e iθ ) 2 dθ = 0 c k 2 + r k 2 c k (g) 2. ØÖ ÓÑ ÚÒ ØÖÐØ Ö ÑÓØ ÒÓÐÐ r 0 Ñ Ø Ò Ö Ø ÖÒ ÖÐØ ÚÖ ÒÓÐÐº Ú Ú ËØ º½½ ÄØ u(e iθ ) = k= α k e ikθ k=0 Ó ÐÐÖ v(e iθ ) = β k e ikθ. k= u(e iθ ) + iv(e iθ ) = (α k + iβ k )e ikθ, k=

6 ÒÐØ ÐÑÑØ Ö u + iv ÖÒÚÖ Ú Ò ÒÐÝØ ÙÒØÓÒ ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ α k + iβ k = 0 Ö k < 0º ØØ Ú Ö ÖØ ØØ β k = iα k, k < 0. ÅÒ ØØ u Ó v Ö ÖÐÐÚÖ ÑÖ ØØ Ö k > 0 ÐÐÖ ÖÑÓØ Ö Ú ÒØ ÖÚ Ô β 0 º β k = β k = iα k = iα k. ØÖ ÓÑ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ H Ú ÑÙÐØÔÐØÓÒ Ú ÓÙÖÖÓÒØÖÒ Ñ Ò ÖÒ ÐÒ a k = i Ò (k) ÐÖ Ú Ø º¾ ØØ Ò Ö Ò ØÖÒ ÐØÓÒ ÒÚÖÒØ ÓÔÖØÓÖ Ó ÓÑÑÙØÖÖ Ñ ÖÚØÓÒÖµº ÒÒ ÚÖÖ ÑÓØ Ò ÐØÒÒ ÑÒ Ò Ú ØØ (Hu)(e iθ ) = ÔÖ u(ei(θ φ) )h(φ) dφ, u C (T), Ö h(t) = ÈÎ cot t 2 Ö ØÖÙØÓÒ ÖÚØÒ Ú 2 ln sin t 2 º ÜÑÔÐØ f(z) = i log( + z) = arg( + z) + i ln + z Ú Ö ØØ ÓÑ u(e iθ ) = arg(+e iθ ) Ö Hu(e iθ ) = ln + e iθ +C ÓÑ Ö ÑÓØ θ πº ÐÐØ Ò ÒØ H ÚÖ ÖÒ Ñ Ú Ò Ô ÙÔÖÑÙÑÒÓÖÑÒº ÅÒ Ò Ó Ú ØØ ÒØ Hu ÚÖ ÚÖ ÓÒØÒÙÖÐ ÚÒ ÓÑ u Ö Øº ÖÑÓØ ÐÐÖ ØØ ÓÑ u Ö ÀÐÖÓÒØÒÙÖÐ Ú ÓÖÒÒ α (0, ) Ú < Ö Hu Ó Øº sup x =y u(x) u(y) x y α ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ô ÈÖÓÐÑ ÚØ u L 2 () v + Ó v µ ØØ f + (x) = u(x) + iv + (x) Ö ÔØÚ f = u + v µ Ö ÖÒÚÖØ Ú Ò ÖÒ ÒÐÝØ ÙÒØÓÒ C + = {z C : ÁÑz > 0} Ö ÔØÚ C = {z C : ÁÑz < 0}µº È ØÓÖÙ Ò ÒÚÒ Ú ØØ f(e iθ ) = k= c k e ikθ Ö ÖÒÚÖØ Ú Ò ÙÒØÓÒ A(D) ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ c k = 0 Ö k < 0º ÅÐ Ø ÓÙÖÖ ØÖÒ ÓÖÑÒ Ò Ú ÖÚ f L 2 () ÓÑ f(t) = ˆf(ω)e iωt dω,

7 Ö x e iωx Ö Ò ÖÒ ÙØÚÒÒ ØÐÐ C + ÓÑÑ ω 0º ØØ ØÖÓÐÖ ÐÒ Ø º ËØ ÈÐÝ¹ÏÒÖµ ÂÖ ËØ º½¼ ËÔÒÒµ ÇÑ f(t) = 0 F(ω)e itω dω, Ñ F L 2 (0, ) Ö f Ò ÙØÚÒÒ ÓÑ Ö ÒÐÝØ C + Ó ÙÔÔÝÐÐÖ f(x + iy) 2 dx = f(x) 2 dx. µ sup y>0 ÇÑÚÒØ ÓÑ f Ö ÒÐÝØ C + Ó ÙÔÔÝÐÐÖ f(x + iy) 2 dx = C < ÐÐÖ sup y>0 f(z) = F(ω)e izω dω 0 Ö ÒÓØ F L 2 (0, )º ÒÐÓØ ÐÐÖ ØØ g(t) = G(ω)e itω dω Ñ G L 2 ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ g 0 Ö Ò ÒÐÝØ ÙØÚÒÒ ØÐÐ C Ñ g(x iy) 2 dx <. sup y>0 ÒØÓÒ Ö f L 2 () ÒÖ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ ÒÓÑ (Hf) = F ( i Ò (ω) ˆf(ω)) µ ËØ ÄØ u L 2 () ÚÖ ÖÐÐÚÖº ÒÒ Ø ØØ Ó Ö ØØ ØØ ØØ ÚÐ ÖÐÐÚÖ ÙÒØÓÒÖ v + Ó v L 2 () Ò ØØ ÒÑÐÒ u(x) + iv ± (x) = 0 F ± (ω)e ±ixω dω, v + = Hu Ó v = Hu. ½¼µ Ú Î ÒÐÖ Ö v + º ÒÚÒÒÒ Ú ÓÙÖÖ ÒÚÖ ÓÒ ÓÖÑÐ Ô ÚÒ ØÖÐØ ½¼µ Ö { F(ω) ω > 0 û(ω) + iˆv + (ω) = 0 ω < 0.

8 ØØ Ö ÖØ ØØ ˆv + (ω) = iû(ω) ω < 0º ØÖ ÓÑ u Ó v + Ö ÖÐÐÚÖ Ö Ú ÝÑÑØÖÖÒ û( ω) = û(ω) Ó ˆv + ( ω) = ˆv + ( ω) ÚÐ ÑÖ ω > 0º ˆv + (ω) = iû(ω), ÈÖ ÚÐ ÓÖÑÐ Ö ÓÑÐÖØ ØØ H = º ÇÑ u Ö ÖÐÐÚÖ ÐÖ û(ω) 2 Ò ÑÒ ÙÒØÓÒ ÚÖÖ (Hu u) = ( i Ò (ω)) û(ω) 2 dω = 0. ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ Ö Ò ÓÙÖÖÑÙÐØÔÐØÓÖ Ó ÐÐØ Ò ØÖÒ ÐØÓÒ ÒÚÖ¹ ÒØ ÓÔÖØÓÖº ËÔÐÐØ Ò Ò ÖÚ ÓÑ Ò ÐØÒÒ Hu = h u, Ö ĥ(ω) = i Ò (ω)º ÀÖ Ö h Ò ØÑÔÖÖ ØÖÙØÓÒ ÓÑ ÚÖÒ ÐÖ L ØÖ ÓÑ ĥ ÒØ Ö ÑÓØ ÒÓÐÐ ω µ ÐÐÖ L2 ØÖ ÓÑ ĥ / L2 µº ÒØÓÒ ÈÖÒÔÐÚÖØ Ú Ö Ò ØÖÙØÓÒ v ÓÑ ÒÖ Ú x φ(x) v(φ) = ÈÎ φ(x) dx = lim x ǫ +0 x ǫ x dx Å ÐÔ Ú ÔÖØÐÒØÖØÓÒ Ö Ø ÐØØ ØØ ØØ v = d ln x º dx ÄÑÑ ˆv(ω) = iπ Ò (ω)º Ú Ø ÐÐÖ xv(x) = Ó ÐÐØ iˆv = δ 0 º ÁÒØÖØÓÒ Ö ˆv(ω) = iθ(ω) + C, Ö ÒÓÒ ÓÒ ØÒØ Cº ÆÙ Ö h Ù ĥ Ñ Ø ÚÖ Ù ÚÐØ Ö C = iπº ÄÑÑØ ØÖÓÐÖ ØØ Hf(x) = π ÈÎ f(x t) t dt, f C 0 (). ½½µ ÍØÖÒ ÒÒ ÖÚÒÒ Ò ÑÒ Ú ØØ H ÒØ Ö ÖÒ Ñ Ú Ò Ô ÙÔÖÑÙÑÒÓÖÑÒº ÖÑÓØ ÚÖ ÀÐÖÓÒØÒÙØØº ØØ ÐØÖÒØÚØ ØØ ØØ ÓÑÑ ÖÑ ØÐÐ ÓÖÑÐ ½½µ Ö ÐÒ Ö ÓÒÑÒ Î Ò Ð ÖÐØ ÔÖÓÐÑ ÚÖ ÐÚÔÐÒØ Ñ ÖÒØ u 0 C 0 () { u = 0 y > 0 u = u 0 y = 0 ½¾µ

9 Ñºº ÈÓ ÓÒ ÓÖÑÐ Ø Ü ÃÓÒØÒÙÖÐ Ý ØÑ Ú ÒØØ º¾º½µº Ø Ö u(x,y) = y π (x t) 2 + y 2u 0(t)dt = ( ÁÑ ) u 0 (t)dt. π z t ØÖ ÓÑ ÁÑ z t = Ê i z t = Ê i z t Ò ØØ ÖÚ u(z) = Ê iπ z t u 0(t)dt. ÐØÐÒ Ö f(z) = iπ z t u 0(t)dt, ÒÐÝØ ÁÑz > 0 Ó ÙÔÔÝÐÐÖ Êf(z) = u(z)º ÄÑÑ ÙÔÔÝÐÐÖ ½ µ ÇÑ u 0 C0 () Ö ÙÒØÓÒÒ f(z) ÖÒ ÚÖ ÐÚÔÐÒØ Ó lim f(x + iǫ) = u 0(x) + i ǫ +0 π ÈÎ x t u 0(t)dt, x ½µ Ú ½µ ÖÒ ÒÒ ØÖ ÓÑ ÁÑ z z t = ÐÖØ ÁÑz f(z) π ÁÑ (z t) z t Ö ÐÓÔÔ Ø ØØ Ö Ú ÓÑ¹ u 0 (t) dt, ÚÖÖ Ø Ò Ø ØÖ ØÖ ØØ Ú ØØ f(z) Ö ÖÒ ÁÑz < º ÄØ log ØÒ ÔÖÒÔÐÖÒÒ Ú ÐÓÖØÑÒº Ò ÔÖØÐÒØÖØÓÒ ½ µ Ö f(z) = log (z t)u 0 iπ (t)dt. Ø ÐÐÖ ÐÐØ f(z) π Ö ÖÐØ Ö ÖÒ Ø ÁÑz < º ¾µ ÖÒ ÚÖÒ Î Ö ÙÔÔ u log(z t) dt u 0, Êf(x + iǫ) = (f(x + iǫ + f(x + iǫ)) = 2 i 2iǫ (x t) 2 + ǫ 2u 0(t)dt. ÎÖÐÝØØ t = x + ǫτ Ó ÓÑÒÖ ÓÒÚÖÒ Ö ÐÐØ Êf(x + iǫ) = u 0 (x + ǫτ) π + τ 2 dτ u 0(x), ǫ +0 ÚÐØ Ó ÐÖ ÖØ Ú ÓÒ ØÖÙØÓÒÒº Ä ÁÑf(x + iǫ) = 2(t x) (f(x + iǫ) f(x + iǫ)) = 2i (t x) 2 + ǫ 2u 0(t)dt

10 ½¼ Ò ÔÖØÐÒØÖØÓÒ Ö ÒÙ ÁÑf(x + iǫ) = π ln t x + iǫ u 0 (t)dt. Å ÓÑÒÖ ÓÒÚÖÒ Ö Ú ÐÐØ lim ÁÑf(x + iǫ) = ln t x u ǫ +0 π 0(t)dt = π ÈÎ x t u 0(t)dt. ÒÑÖÒÒ Ê ÙÐØØØ Ú ÖÒÒÖÒ Ú Ø Ò Ó ÓÖÑÙÐÖ 2 t i0 ( t + i0 t + i0 + ) t i0 = iδ 0 (t) ½µ = ÈÎ t. ½µ ØØ ÐÐ ËÓÓØ ÓÖÑÐÖº ÍØÒ ÖÒ Ò Ö Ø Ú ÑØ ÓÖÑÐÒ g(t 0 ) = g(t)δ(t t 0 )dt ÓÑ g C() Ð ÑÒ ØÐÐ ÐÒ ÒØÓÒ Ú g(a) Ö Ò ÐÐÑÒ ÐÚÙÒÖ ÓÔÖØÓÖ A (g(a)u v) = lim g(λ)(( A (λ + iǫ)u v) ( A (λ iǫ))u v)dλ, ǫ +0 i Ö Ö ÒÐÝØ ÁÑz 0 º ( A (z)u v) = ((A zi) u v) ÌÐÐÑÔÒÒÖ Ú ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ ÃÙ ÐØØ ÇÑ S Ö ØØ ÐÒÖØ Ø ÒÚÖÒØ Ó Ù ÐØ ØÐØµ Ý ØÑ Ñ ÑÔÙÐ ÚÖ h(t) L 2 ÓÑÑÖ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ H(iω) = ĥ(ω) ÒÐØ ÈÐÝ¹ÏÒÖ ØØ ÚÖ ÖÒ¹ ÚÖØ Ú Ò ÒÐÝØ ÙÒØÓÒ C º Ø ÐÐÖ ÐÐØ ÁÑĥ(ω) = HÊĥ(ω) ØØ Ø ÖÖ ØØ ÑÒ ÑÐÐÒ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ ÖÐ¹ Ó ÑÒÖÐÖº ÒÒ ÓÖÑÐ Ò ÓØ ÑÒÒ ÚÒ ÐÐØ h / L 2 ºµ ÜÑÔÐ Ë Â ÓÒ Ð Ð ÐØÖÓÝÒÑ µ ÍØÑÖÒ Ö ÓÑÓ¹ Ò ÓØÖÓÔµ ÔÖ Ú ÑØÖÐ Ö ØØ ÐØÖØØ ÓÒ ØÒØÒ ǫ Ú ÑÒØ ÑÐÐÒ ÐÖ ÐØ ØÝÖ Ó ÐØÖ ØØØ Ö ÖÚÒ ÖÓÒ ˆD(x,ω) = ǫ(ω)ê(x,ω),

11 ½½ Ö ØØÖÒ ØÖ Ö ÓÙÖÖØÖÒ ÓÖÑ Ñ Ú Ò Ô tº ÒÐØ ÐØÒÒ Ø Ò Ö Ú ) D(x,t) = ǫ 0 (E(x,t) + χ(t t )E(x,t )dt, ½µ Ö χ(t) ÐÐ Ù ÔØÐØØ ÙÒØÓÒÒ Ó ÙÔÔÝÐÐÖ ǫ 0ˆχ(ω) = ǫ(ω) ǫ 0. ËÑÒØ ½µ Ö ÖÑÐØÚ ÚÖ Ù ÐØ Ú Ø ÐÖ ØØ ( ) ǫ(ω) ÁÑ = HÊ ǫ 0 ˆχ(ω) = ( ) ǫ(ω) ǫ 0 0 e iωt χ(t)dt. Ó Ê ( ) ( ) ǫ(ω) ǫ(ω) = HÁÑ. ǫ 0 ǫ 0 ØØ ÐÐ ÃÖÑÖ ¹ÃÖÓÒ ÖÐØÓÒÖ ÐÐÖ ÔÖ ÓÒ ÖÐØÓÒÖÒÒº Á ÐÐÑÒØ Ò ÑÒ ÑØ ÁÑǫ(ω) ÜÔÖÑÒØÐÐØ ØÖ ÓÑ Ò Ö ÓÔÔÐ ØÐÐ ÒÖ ÓÖØÓÒ ÑØÖÐØ Ó ÔÖ ÓÒ ÖÐØÓÒÖÒ Ö Ø Ò ÑÐØ ØØ ÖÒ Êǫ(ω)º Ó ÖÐØÓÒÖ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ ÖÚ ÓÑ ÒØ ÓØ H(iω) = A(ω)e iφ(ω), Ö A Ó Φ ÐÐ ÑÔÐØÙ¹ Ö ÔØÚ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÖÒº Á ÑÒ ÑÑÒÒ ÚÐÐ ÑÒ ØÑÑ H(iω) ÜÔÖÑÒØÐÐØº Ø Ö ÓØ Ø ÐØØ ØØ ÑØ A(ω) ÑÒ ÚÖØ ØØ Ó ÖÚÖ Φ(ω)º ÇÑ Ý ØÑØ Ö Ù ÐØ Ö ÚÖÖÒ ÙÒØÓÒÒ H(s) ÒÐÝØ Ö Ês > 0 Ú H(iω) Ö Ò ÒÐÝØ ÓÖØ ØØÒÒ ØÐÐ C µ Ó ÓÑ Ò ÙØÓÑ ÒØ ÐÖ ÒÓÐÐ Ö Ês 0 Ò ÑÒ Ú ØØ ÚÒ log H(iω) = ln A(ω) + iφ(ω) ½µ Ö ÖÒÚÖØ ØÐÐ Ò ÙÒØÓÒ ÓÑ Ö ÒÐÝØ Ö ÁÑω < 0, Ó Ø ÑÑ ÐÐÖ Ö ÖÚØ A (ω) A(ω) + iφ (ω). ÀÖÚ Ö Ú ÓÑ Ø Ü H(s) Ö Ò ÖØÓÒÐÐ ÙÒØÓÒ ÓÑ Ö ØØ Ø Öµ ( A Φ ) = H A ØØ Φ Ò ØÑÑ ÖÒ Aº ÒÑÖÒÒ ÅÒ Ò ÒØ ÒÚÒ ÀÐÖØØÖÒ ÓÖÑÒ ÖØ Ô ln A(ω) ½µº Ö ØØ ÖÚÒ ÙÒØÓÒÒ ÐÐ ÒÓÒ ÜÔÖÑÒØÐÐ ÒÒ Ñ Ø Ú ÒÑÐÒ ÖÚ ØØ ØØ Ý ØÑØ Ö Ò ÒÐ¹ÙØ ÒÐ ØÐØ Ú ØØ ÑÔÙÐ ÚÖØ h(t) ØÐÐÖ L º ÅÒ ÐÖ A(ω) = ĥ(ω) 0 ω ÚÖÖ ln A(ω) ω ØØ H ln A ÒØ Ö ÒÖº