Tal. Mål. Begrepp. 16:e rutan? Gissa hur mycket ris det skulle ha funnits på brädet om kungen haft möjlighet att uppfylla mannens önskan.

Transkript

1 1 Tal Tänk dig att du räknar från talet ett och att du räknar ett nytt heltal varje sekund. Hur lång tid tar det att räkna till en miljon? Behöver du räkna i några dagar, några veckor eller några månader? Har du levt i en miljard sekunder? Mål Innehåll Begrepp När du arbetar med det här kapitlet får du lära dig att namnge stora och små tal skriva stora och små tal med prefix skriva tal i grundpotensform och räkna med tal i grundpotensform skriva tal i potensform och räkna med potenser förstå vad som menas med kvadratrot och kunna beräkna kvadratroten ur ett tal talsystemet utvecklats från naturliga tal till reella tal Begrepp prefix potens exponent grundpotens kvadratrot reella tal naturliga tal rationella tal irrationella tal Det finns en klassisk historia som har berättats sedan 100-talet. Den rika Indiska konungen Shirma hade fruktansvärt tråkigt om dagarna och lät utlysa en tävling. Den som kunde komma på något som verkligen intresserade honom skulle få en belöning. En dag kom Sissa ben Dahir till konungen med ett schackspel. Kungen blev förtjust i spelet och ville belöna Sissa. Sissa pekade på schackbrädet och förklarade att han skulle bli nöjd om han blev belönad med ett riskorn på första rutan, två riskorn på andra rutan, fyra på den tredje, åtta på den fjärde och så vidare till den sista rutan. Antalet riskorn skulle alltså fördubblas på varje efterföljande ruta. Konungen gick med på den blygsamma önskan. Hur många rutor fanns det på brädet? Hur många riskorn skulle det finnas på den åttonde rutan? Hur många riskorn skulle det finnas på den 16:e rutan? issa hur mycket ris det skulle ha funnits på brädet om kungen haft möjlighet att uppfylla mannens önskan. 7

2 rundkurs Stora tal En miljonär är en person som äger minst en miljon kronor. En miljardär är en person som äger minst en miljard kronor. Hur många gånger större är en miljard jämfört med en miljon? I tabellen ser du att en miljard är tusen gånger större än en miljon. Prefix för stora tal När man ska skriva stora tal så kan man ha användning av prefix. Prefix är ord som sätts framför en enhet, till exempel: hektogram godis = 00 gram godis eftersom hekto betyder hundra. 5 kilogram potatis = gram potatis eftersom kilo betyder tusen. Tal Namn I tabellen så ser du prefixen från hundra till biljon. 0 hundra tusen miljon miljard biljon Tal Namn P r e fi x Förkortning 0 hundra hekto h tusen kilo k miljon mega M miljard giga enom att göra ett litet mellanrum mellan var tredje nolla blir det mycket lättare att se hur stort talet är biljon tera T 1 Hur många gånger större är a) en miljon än ett tusen b) en miljard än ett tusen c) en biljon än en miljard d) en biljon än en miljon a) Skriv 8 B utan prefix. b) Skriv 1,5 TB utan prefix. Svar: a) 8 B = 8 miljarder bytes = bytes b) 1,5 TB = 1,5 biljon bytes = bytes Tänk dig att det är möjligt att göra en stapel med en miljon tiokronor. Beräkna hur hög den skulle bli. En tiokrona är ca mm tjock. Svara i meter. 5 a) En låt i mp-format kan uppta lagringsutrymmet MB. Skriv MB utan prefix. Skriv talen med siffror. b) Ett usb-minne har lagringsutrymmet 6 B. Skriv 6 B utan prefix. a) Tre miljarder fyrahundrafem miljoner. b) En biljon nio miljarder trettiofemtusen. 6 Hur många watt (W) är a) 00 kw b) 1 MW c) 160 TW I USA har man annorlunda benämningar på några av de stora talen, något som ibland kan ge upphov till missförstånd. Sverige USA 7 Hur många kronor är a) 1 kkr b),5 Mkr c) 1, kr miljon miljard biljon million billion trillion a) Hur många billions (am.) går det på en biljon (sv.)? b) Hur många millions (am.) går det på en biljon (sv.)? 8 Hur många gånger mer är a) 1 MB jämfört med 1 kb b) 1 B jämfört med 1 MB b) 1 TB jämfört med 1 B d) 1 TB jämfört med 1 kb 9 Skriv med lämpligt prefix. a) 00 g b) g c) Hz ArbetsblAd 1:1 d) Wh ArbetsblAd 1: 8 1 tal 1 tal 9

3 Tiopotenser När man mäter avstånd i rymden använder man sig av ett längdmått som heter ljusår. Det är den sträcka som ljuset färdas på ett år. Ett ljusår är nästan km. För att skriva så stora tal kan man använda sig av potenser. Potenser är ett sätt att skriva upprepad multiplikation. Stora tal i grundpotensform Avståndet till månen är ungefär meter. Det är ett stort tal som på ett enklare sätt kan skrivas med hjälp av tiopotenser: m =, m =,8 8 m = = 1 Talet har multiplicerats med sig själv 1 gånger. Talet framför tiopotensen är ett tal mellan 1 och. Här har vi skrivit avståndet i grundpotensform. Ett tal skrivet i grundpotensform är skrivet som en produkt av ett tal mellan 1 och och en tiopotens. Talet 1 är skrivet i potensform med basen. Man brukar också säga att talet är skrivet som en tiopotens och det uttalas tio upphöjt till tretton. 1 Bas Exponent Tal Namn Tiopotens tio 1 0 hundra tusen miljon miljard biljon 1 Skriv talen i grundpotensform. a) b) =, =,75 7 Storleksordning miljoner Storleksordning tiotals miljoner Skriv produkterna som en tiopotens. 16 I rutan finns det några tal. a) Skriv de tal som är skrivna i grundpotensform. b) Skriv de övriga talen så att de är skrivna i grundpotensform ,5 a) b) c) 17 Skriv talen på vanligt sätt. 11 Skriv talen på vanligt sätt utan potens. a) 8 b) 7 5 c) 9,8 d) 8,5 6 a) b) 5 c) 7 d) 9 18 Vilket tal ska stå i stället för x? 1 Skriv talen som en tiopotens a) 0 b) 000 c) d) a) 500 =,5 x b) =,95 x c) = x 5 d) = x 7 1 Skriv talen först med siffror på vanligt sätt och sedan som en tiopotens. 19 Skriv talen i grundpotensform. a) b) c) d) a) hundratusen b) tiotusen c) miljoner d) 0 miljarder 1 Vad ska stå i stället för A F i tabellen? 15 Hur många watt motsvarar följande? Skriv som en tiopotens. a) 1 W b) kw c) TW Tal Tiopotens Prefix A kilo B 6 C D giga E 1 F 0 Kombinera. Välj bland alternativen. A trettio tusen B femhundra tusen C 5 miljoner D 0 miljoner 1 Skriv talen i storleksordning. Börja med det minsta talet. 7 5, Arbetsblad 1: 1 tal 1 tal 11

4 Räkna med tiopotenser Multiplikaton av tiopotenser = = = 5 = ( + ) = 5 När man multiplicerar potenser med samma bas, adderas exponenterna. Jämför de båda beräkningarna: _ = = 1 _ = = 0 = 1 Division av tiopotenser _ = = 0 = _ 5 = (5 ) = När man dividerar potenser med samma bas, subtraheras exponenterna. x y (x + y) = x y) = (x y 0 = 1 Räkna med tal i grundpotensform Beräkna och svara i grundpotensform. a) 6 1,5 = 1,5 6 =,5 6 + =,5 8 Multiplicera talen framför tiopotenserna. 7, b) 9 7, 8 = 8 9 = 0,9 6 = 0,9 5 = 9 5 Dividera talen framför tiopotenserna. Subtrahera exponenterna. Addera exponenterna. Talet framför tiopotensen ska vara ett tal mellan 1 och. Det här pythonprogrammet skriver värdet av potensen i uppgift a. print( * **6 * 1.5 * **) Beräkna och svara med en tiopotens. a) b) 5 c) 6 d) 7 5 Vad ska stå i stället för x? a) x = 9 b) x = 8 c) x = 1 d) 6 x = 6 Beräkna och svara med en tiopotens. a) b) 7 c) 9 d) 5 Vad ska stå i stället för x? a) 6 _ x = b) _ = x c) x _ = 0 6 År 018 fanns i Sverige några personer med en förmögenhet på 0 miljarder kronor eller mer. Tänk dig att en av dem delade upp sina pengar jämt mellan Sveriges befolkning. Hur mycket skulle var och en få? Räkna med en befolkning på miljoner människor. 7 Hur många gånger större är a) 6 än 5 b) 8 än 5 c) 1 än 6 8 Adrian och Yasmine ska beräkna +. Adrian säger att det är lika med 7 och Yasmine säger att det är lika med = 1,1. Förklara varför Yasmine har rätt. 0 Skriv i grundpotensform. a) 50 b) 0,5 c) 59 d) 0,59 Beräkna och svara i grundpotensform. 1 a) b) 1, 6 c),5 a) 5 b) 8 5 c) 9 a) a) b) 7,5 c) 9 _ 6 _,5 9,8 5 6 b) 7 _ 1, 6 c) 6 _ 5 Vilket tal ska stå i stället för x? a) 5 x = 8 7 b) 6 x = c) 6 =,5 x 6 Jämför och förklara beräkningarna i rutan. = =,0 Beräkna 7 a) b) c) 6 + d) a) b) c) 5 6 d) Beräkna. Svara på vanligt sätt utan tiopotens. a) + b) c) 5 Arbetsblad 1: 9 Lös uppgift 7 och 8 med programmering. Använd pythonprogrammet i rutan. Arbetsblad 1:5 1 1 tal 1 tal 1

5 Små tal i grundpotensform och med prefix Storleken på en mänsklig cell är ungefär en miljondels meter, 0, m. Mycket små tal kan skrivas enklare med tiopotens eller prefix. Skriv i grundpotensform. a) 0,1 b) 0,001 c) 0, d) 0, a) 0,0 b) 0, 00 c) 0, d) 0, Om vi använder räknelagarna för att dividera med tal i potensform så ser vi att = _ 0 6 = 0 6 = 6 Det betyder att en miljondel = = 6 En miljondels meter kan skrivas med prefix som en mikrometer, 1 µm = 6 m. Tal i bråkform Tal i decimalform Tiopotens Prefix Tal med ord 1 0,1 1 deci (d) tiondel _ 1 0 0,01 centi (c) hundradel ,001 mili (m) tusendel , mikro (µ) miljondel _ , nano (n) miljarddel Skriv på vanligt sätt. 5 a) b) c) 5 d) 6 6 a) 9 1 b) c) 5 d) 8 7 a) 7 b) 7,5 c) 7,5 d) 7,5 8 Vilka av talen i rutan är skrivna i grundpotensform? Motivera ditt svar , ,5 5 9 Använd tabellen på förra sidan. Vilket prefix betyder detsamma som a) en tusendel b) 0,1 c) _ 1 0 d) en miljondel e) 9 b) Längden på en bakterie kan vara 0, m. Skriv längden i grundpotensform. 0, m = 6 0, m = 6 5 m 50 Vilka uttryck i rutan är detsamma som a) millimeter b) mikrometer - m -6 m 0, m 0, m 51 Skriv som meter i grundpotensform. 0 Skriv på vanligt sätt. Välj ur rutan. a) 9 centimeter b) 9 millimeter c) 9 mikrometer d) 95 mikrometer a) b) c) 5 d) 5 0,000 0,0 0,005 0,05 5 a) Synligt ljus har en våglängd som ligger mellan cirka 00 nm och 700 nm. Skriv våglängderna i grundpotensform med enheten meter. 1 Skriv i grundpotensform. Välj ur rutan. a) 0,00 b) 0,0 c) 0,000 d) 0, 1 b) Ögat har sin högsta ljuskänslighet vid våglängden 550 nm. Skriv våglängden i grundpotensform med enheten meter. 5 De vågor som vi använder oss av när vi värmer mat i en mikrovågsugn har en våglängd på ungefär 1 dm. Hur många mikrometer är en decimeter? Välj rätt tal i rutan till varje uttryck. a) tre miljondelar b) tre hundradelar 5 6 c) tre miljarddelar d) tre hundratusendelar 9 5 Skriv uttrycken i storleksordning. 5 mg 5 - g g 500 µg Arbetsblad 1:6 1 1 tal 1 tal 15

6 Tal i potensform Upprepad multiplikation kan enkelt skrivas i potensform. Till exempel kan skrivas 5. Man säger fem upphöjt till tre. 5 Bas Exponent Räkna med tal i potensform På samma sätt som man räknar med tiopotenser räknar man med andra tal i potensform. = ( ) ( ) = 7 = + = 7 När man multiplicerar potenser med samma bas, adderas exponenterna Beräkna 8 med a) räknare b) utan räknare Svar: a) x y 8 = 56 b) 8 = = 56 Det här pythonprogrammet beräknar värdet av en potens med hjälp av en for loop. bas = int(input( Skriv potensens bas: )) exponent = int(input( Skriv potensens exponent: )) potens = 1 for x in range(0, exponent): potens = potens * bas print( Potensens värde är:, potens) Skriv potensens bas: 5 Skriv potensens exponent: Potensens värde är: 15 Skriv i potensform. 55 a) fem upphöjt till fyra b) två upphöjt till tre c) upphöjt till två 7 Beräkna och svara med en potens. 6 a) 5 b) c) x x 5 d) a a 65 a) = 7 = När man dividerar potenser med samma bas, subtraheras exponenterna. Jämför de båda beräkningarna = 8 8 = 1 = = 0 = 1 a x a y = a x + y a x a = y ax y Ett tal upphöjt till noll är alltid lika med 1. a 0 = 1 b) 5 c) 5 d) a) b) c) ( ) ( ) ( ) d) x x x 57 Skriv det tal i potensform där a) basen är sju och exponenten är tre b) basen är fem och exponenten är fyra 66 a) a a b) a c) d) x x x 67 Vilket tal ska stå i stället för x? Beräkna 58 a) b) c) d) 1 9 e) a) x = 8 b) x 6 = 9 c) x = 7 d) x = Beräkna 59 a) 0, b) 0, c) 1,5 d) 0,1 e) 0,7 60 Lös uppgift 58 och 59 med programmering. Använd pythonprogrammet i rutan. 61 Beräkna utan räknare. Vilket tal är störst? a) eller b) eller c) eller 9 d) 1 6 eller a) + b) 6 c) d) 69 a) b) 6 c) 5 5 d) När man adderar och subtraherar tal i potensform räknar man på vanligt sätt genom att först beräkna varje potens. Det gäller även när man multiplicerar och dividerar potenser med olika baser. e) 0,5 eller 0,5 f) ( ) eller ( ) g) eller 1 h) ( 1) eller ( 1) 70 Vilket eller vilka uttryck betyder samma som uttrycket + + +? 6 a) 1 = Vad är 1? b) 6 = 79. Vad är 8? c) 5 7 = Vad är 5 6? Skriv i potensform a) talet 5 med basen 5 b) talet 6 med basen c) talet med basen d) talet 00 med basen 0 71 Visa att a) = 5 b) = 9 c) 16 7 = 1 Arbetsblad 1: tal 1 tal 17

7 Tal i kvadrat Talet 9 är ett kvadrattal eftersom det kan skrivas som ett heltal multiplicerat med sig självt. Talet 9 kan skrivas = 9 Tre i kvadrat upphöjt till två = 9 Kvadraten på Kvadratrot Hur lång är kvadratens sida? För att beräkna vilket tal som multiplicerat med sig självt blir 9, beräknar man kvadratroten ur 9. 9 Det är endast vissa kvadratrötter som kan anges som ett exakt tal. Tecknet för kvadratrot. 9 = Så här skriver man kvadratroten ur 9. Beräkna 7 a) b) 8 c) 1 d) 5 7 a) 5 i kvadrat b) kvadraten på 50 7 ör en tabell där du skriver alla kvadrattal som är mindre än eller lika med Alla kvadrattal kan skrivas som summan av talet 1 och ett eller flera av de följande udda talen. 1 + = = = 9 = a) Lägg till nästa udda tal. Beräkna summan. Är summan ett kvadrattal? b) ör på samma sätt tills du har beräknat de första kvadrattalen. c) Förklara hur det kommer sig att du får nästa kvadrattal genom att addera nästa udda tal. Rita gärna. Kvadrattal 1 = 1 1 = 1 = = = = 9 = osv. Sätt ut talen på talen tallinjen. _ a) 16 b) 5 c) Svar: a) 16 = eftersom = 16 b) 5 = 5 eftersom 5 5 = 5 c) 0 går inte att ange som ett heltal eftersom 0 inte kan skrivas som ett heltal i kvadrat. Med en räknare kan man ange ett ungefärligt värde på 0,7. Beräkna uppgifterna 8 86 utan att använda räknare. b) 6 c) 0 d) 9 8 a) 8 a) 6 7 0,0 b) 0,09 c) 0,5 d) 0, C AC % MC MR M = M+ Beräkna. Ta gärna hjälp av din tabell från uppgift 7 och mönstret i rutan. 76 a) 0, b) 0, c) 0,0 d) 0,0 77 a) 0,5 b) 0,9 c) 0,05 d) 0,09 78 a) 1,1 b) 1,5 c) 0,11 d) 0,15 79 a) ( ) b) ( ) c) ( 0,5) d) ( 1) Ser du mönstret? 1 = 1 1 = 1 1, = 1, 1, = 1, 0,1 = 0,1 0,1 = 0,01 8 Rita av tallinjen och markera ungefär var följande tal kan vara placerade. a) b) 8 c) d) 15 e) 0 f) Mellan vilka heltal ligger talen _ a) 1 b) 0 c) 60 d) 10 e) 150 f) Beräkna kvadratens sida. Använd en räknare och avrunda till två decimaler. Kontrollera genom att mäta sidan. a) b) c) Bestäm vilka värden på x som gör att likheten stämmer. Varje x kan här ha två värden. 80 a) x = b) x = 9 c) x = 5 d) x = 0 7,85 cm,5 cm,8 cm 81 a) x = 0,0 b) x = 0,5 c) x = 0,6 d) x = 0,6 ArbetsblAd 1: tal 1 tal 19

8 Talmängder Det talsystem som vi vanligtvis använder kallas för tiosystemet och har tio siffror. Med dessa siffror kan vi skriva oändligt många tal. Talen 0, 1,,,, 5, är exempel på naturliga tal. Naturliga tal är alla positiva heltal och talet I rutan finns det olika tal. Några tal kan tillhöra flera talmängder. Vilka/vilket av talen i rutan är a) naturliga tal b) hela tal ( 5) c) rationella tal d) irrationella tal e) reella tal 90 Skriv ett tal som är 0,9 8 ( 1,5) π Talen,,, 1, 0, 1,, är exempel på hela tal. Hela tal är alla negativa heltal, alla positiva heltal och talet noll. Talen,5, 0,9, 1, _ 69,,75 är exempel på rationella 0 tal. Rationella tal är de tal som kan skrivas som ett bråk. De tal som inte kan skrivas som ett bråk kallas för irrationella tal. på irrationella tal är π,,. De rationella talen och de irrationella talen är tillsammans de reella talen. Varje punkt på tallinjen motsvarar ett reellt tal _ 69,5 0,9 0, π a) ett rationellt tal men inte ett heltal b) ett heltal men inte ett naturligt tal 91 Avgör om följande påståenden alltid är sanna, alltid falska, eller kan vara både sanna och falska. Sant Kan vara både sant och falskt Rita av tipsraden och kryssa i ditt svar. a a) Ett naturligt tal är ett heltal. b b) Ett heltal är ett naturligt tal. c d c) Ett negativt tal är ett naturligt tal. e d) Ett rationellt tal är ett naturligt tal. f e) Ett rationellt tal är ett reellt tal. f) Ett irrationellt tal är ett reellt tal. Falskt 5 naturliga tal hela tal 0 π,5 rationella tal reella tal Områdena i figuren visar olika talmängder. 9 John säger att 0,5 är ett rationellt tal och kan skrivas som en kvot mellan två hela tal. Visa att han har rätt. ArbetsblAd 1:8 87 Svara sant eller falskt på följande påståenden: a) (,8) är ett heltal b) ( 5) är ett naturligt tal c) 1 är ett rationellt tal d),5 är ett rationellt tal 99 e) π är ett rationellt tal f) π är ett reellt tal 88 Rita av tallinjen och markera ungefär var talen ska placeras A = B = π C = D = (,5) E = F = ( 0,9) Pythagoras Pythagoras (ca f.kr.) grundade en skola på Kroton i södra Italien, där man ägnade sig åt räkning, geometri och astronomi. Pythagoreerna hade många mystiska och nästan religiösa tankar kring matematik. De tillbad till och med de magiska talen! De ansåg att allt kunde beskrivas med tal och att olika tal hade olika egenskaper. vis ansåg de att talet 1 är det heliga grundtalet. Ur detta tal föddes alla de övriga talen. Alla jämna tal var kvinnliga, medan de udda talen var manliga. 0 1 tal 1 tal 1

9 Uppslaget Uppslaget Begrepp och resonemang Vem eller vilka har rätt? Arbeta tillsammans Arbeta i par eller i grupp. Ni behöver: tärningar i olika färg, miniräknare B kan skrivas med prefix som 6 B B kan skrivas i potensform som 6 9 B 1 Turas om att kasta de båda tärningarna. Välj vilken tärning som ska vara bas och vilken som ska vara exponent. Bilda en potens som har så stort värde som möjligt. För in värdet i en tabell. Omgång Bas Exponent Potens Värde Anna Benjamin 1 Clara B kan skrivas i grundpotensform som 6 9 B B kan skrivas i grundpotensform som 6, B Dilan De lag som har störst summa efter fem omgångar har vunnit. Problemlösning Sant eller falskt? Resonemang A Leyla säger att a a = a. Förklara varför Leyla har fel. B Beräkna a) c) b) d) C Andrea säger att a + a = och att _ a a = a. Förklara varför Andrea har rätt. a a D Peder säger att b + b = b och att b b = b. Förklara varför Peder b b också har rätt. Begreppskarta Rita en begreppskarta där du kopplar samman följande begrepp och länkord med varandra. Begrepp: Stora tal, prefix, tera, giga, mega, kilo, potensform, grundpotensform, bas, exponent, tusen, miljon, miljard, biljon Länkord: kan skrivas som, betyder, är alltid ett tal mellan 1 och, är detsamma som A I en bägare finns en lösning av etanol och vatten. Lösningen väger 00 gram, varav en femtedel är etanol. Du vill öka andelen etanol genom att hälla mer etanol i lösningen. Hur mycket etanol måste du hälla i den ursprungliga lösningen om a) hälften av lösningen ska bestå av etanol b) en tredjedel av lösningen ska bestå av etanol c) en tredjedel av lösningen ska bestå av vatten B 8 personer köper glass. De kan välja smakerna vanilj, hallon eller päron och våffla eller bägare. personer väljer glass med våffla, 5 personer väljer glass med päronsmak, personer väljer bägare med vaniljsmak, 1 personer väljer glass med hallonsmak och ingen väljer bägare med päronsmak Hur många väljer hallonsmak och våffla? 1 En miljon är tusen gånger mer än ett tusen. En miljard är hundra miljoner. En miljon är hälften av en miljard. Om man delar en miljon kronor i hundra lika stora delar så är en del hundratusen kronor. 5 0 MB är detsamma som 0 miljoner Bytes. 6 B är en tiondel av TB. 7 7 är gånger större än biljon kan skrivas 1. 9 = 6 6 = 11 5 är ett naturligt tal. 1 är ett rationellt tal. 1 tal 1 tal

10 Diagnos D Begrepp och metod 1 Skriv talen med siffror. a) tre miljoner femhundratusen b) fyra miljarder tre miljoner Välj rätt prefix till talet. tera giga hekto kilo mega a) tusen b) miljon c) miljard Skriv talet på vanligt sätt utan potens. 1 Vilka av talen är a) naturliga b) heltal 5 1,95 π c) rationella d) reella Resonemang och kommunikation 1 Jordens avstånd till solen är i medeltal 1,5 8 km. Jordens avstånd till månen är cirka 5 km. Benjamin påstår att längden av resa till solen motsvarar ungefär 80 månresor. Visa att det stämmer. D a) b) 8 c) 1 Skriv talet med tiopotenser. a) 000 b) c) 0, Förklara varför,7 5 har samma värde som 7 Problemlösning 5 Beräkna, svara med en tiopotens. a) 6 b) 8 _ c) 5 16 Karl-Bertil har 0 pennor. De är antingen blyertspennor eller kulspetspennor och antingen röda eller blå. Det finns 18 blyertspennor. 6 Skriv utan tiopotenser. a) b),5 6 c) 7 Det finns 6 röda kulspetspennor. Det finns 8 blå blyertspennor. Hur många 7 Skriv i grundpotensform. a) b) c) 15 miljoner 8 Beräkna och svara i grundpotensform. 6 a) 8 b) c) 9 6 a) kulspetspennor finns det b) röda blyertspennor finns det c) blå pennor finns det 9 Vilken tiopotens hör ihop med prefixet? Välj i rutan. 6 9 a) mikro b) centi c) milli Beräkna a) b) c) 5 i kvadrat d) 9 11 Rita en tallinje och markera 5. Bedömningsuppgift Planeten jorden har funnits i cirka,6 miljarder år. Det har funnits liv på jorden i cirka,5 miljarder år. Tänk dig att jordens ålder representeras av ett måttband som är,6 meter långt, där 0 på måttbandet är jordens födelse. 1 Beräkna kvadratens sida. a) 9 cm b) 1 cm A Var på måttbandet ska man placera livets uppkomst? B I den här skalan så är tidpunkten för dinosauriernas utdöende placerad vid 5,5 cm. För hur länge sedan dog dinosaurierna ut? C Felix är 15 år. Hur lång sträcka motsvarar hans ålder på måttbandsskalan? 1 tal 1 tal 5

11 B Blå kurs Stora tal miljoner ,69 miljoner ,5 miljoner ,5 miljarder miljardtaltal miljontal hundratusental tiotusental tusental hundratal tiotal ental Prefix för stora tal När man ska skriva stora tal så har man användning av prefix. Tal Namn P r e fi x Förkortning tusen kilo k miljon mega M miljard giga B 1 Skriv talen med ord. a) b) c) d) e) f) Skriv talen med siffror. a) tiotusen b) tvåhundratusen c) trehundrafemtiotusen d) tre miljoner e) 1 miljoner f) 695 miljoner g) miljarder h) 15 miljarder i) 15,9 miljarder Vilka av talen i rutan är a) större än en miljon b) mindre än en miljon Tänk dig att du har en miljon kronor. Hur många a) tusenlappar är det? b) hundralappar är det? 5 Hur många gånger större är en miljon än a) ett tusen b) ett hundra 6 Tänk dig att du har en miljard kronor. a) Hur många tusenlappar är det? b) Hur många gånger mer är en miljard än ett tusen? 7 Hundra personer vinner tio miljoner kronor tillsammans. De ska dela lika. Hur mycket får var och en? Skriv svaret som en tiopotens Skriv utan prefix. a) kg b) MB c) B Svar: a) kg = kilogram = 000 g b) MB = miljoner Bytes = B c) B= miljarder Bytes = B 8 Skriv som bytes utan prefix. a) 8 B b) 16 MB c) 6 kb d) 0,5 B 9 Skriv som megabyte (MB). a) B b) B c) B d) B Skriv som bytes utan prefix. a) MB b),5 MB 11 Skriv i enheten meter utan prefix. a) km b),5 km c) 0,5 km d) 9,75 km 1 Skriv i enheten gram utan prefix. Kilo betyder tusen. Mega betyder miljon. iga betyder miljard. En låt i mp-format kan uppta lagringsutrymmet MB. a) 7 kg b) 7, kg c) 15 kg d) 0,9 kg 1 Kajsa köper minneskort till kameran. Hur många gånger större är a) 8 B än 8MB b) 8 MB än 8 kb c) 8 B än 8 kb 6 1 tal 1 tal 7

12 Tiopotenser Stora tal i grundpotensform B Talet kan skrivas som kan också skrivas så här: Uttalas tio upphöjt till tre Bas a) Skriv 6 på vanligt sätt utan tiopotens. b) Skriv 000 som tiopotens. Exponent Talet kan man skriva med hjälp av tiopotenser = 5, = 5,7 Här är 5,7 skrivet i grundpotensform. 5,7 Talet framför tiopotens är ett tal mellan 1 och. B Svar: a) 6 = = b) 000 = = 1 Skriv produkterna som en tiopotens. a) b) c) Bra att kunna: Ett tusen = En miljon = 6 En miljard = 9 Skriv talen i grundpotensform. a) b) Svar: a) = = 5 b) = 5, = 5, Skriv utan tiopotenser. a) b) c) 7 d) 16 Vilka tal hör ihop? A en miljon a B hundra miljoner b C en miljard c D hundra miljarder d Skriv som en tiopotens. a) 0 b) 000 c) d) Skriv först talen på vanligt sätt och sedan som en tiopotens. a) hundratusen b) tio miljoner c) hundra miljarder Skriv talen i grundpotensform. Välj bland talen i rutan. 1 a) 000 b) c) a) miljoner b) 6 miljarder c) Skriv talen på vanligt sätt. a) b) c) 5 a) 6 b),5 6 c),8 9 Skriv talen i grundpotensform. 5 a) b) c) a) b) c) , , 7 19 Ett ljusår är ungefär km. Det är den sträcka som ljuset färdas på ett år. Skriv sträckan med en tiopotens. 0 Vilket prefix betyder detsamma som Prefix Tiopotens a) b) 6 kilo (k) c) 9 d) 1 mega (M) 6 giga () 9 tera (T) 1 Till vardags säger vi ofta kilo när vi egentligen menar kilogram (kg). 7 Tabellen visar hur många blodkroppar av varje sort som finns i en milliliter blod. Skriv talen i grundpotensform. 8 En enda röd blodkropp kan transportera 1, miljarder syremolekyler. Skriv talet 1, miljarder i grundpotensform. 9 Totalt har en vuxen människa omkring,5 1 röda blodkroppar. Skriv talet,5 1 på vanligt sätt utan grundpotensform. Antal/ml a) Röda blodkroppar 5 miljarder b) Vita blodkroppar 5 miljoner c) Blodplättar 50 miljoner 8 1 tal 1 tal 9

13 Räkna med tiopotenser Räkna med tal i grundpotensform B Multiplicera tiopotenser Addera exponenterna = = + = 5 Beräkna och svara med en tiopotens. 0 a) 5 b) 7 c) 6 8 d) 1 a) 5 5 b) 5 6 c) d) 6 Beräkna och svara i grundpotensform. a) 6 b) 6 9 Svar: a) 6 = = 8 9 b) 6 9 = 6 Multiplicera talen framför tiopotenserna. Addera exponenterna. Dividera talen framför tiopotenserna. Subtrahera exponenterna. B En person som vann på lotteri fick kr i månaden under månader. Hur många kronor blir det sammanlagt? Beräkna och svara i grundpotensform. Välj bland talen i rutan. 8 a) Dividera tiopotenser = Beräkna och svara med en tiopotens. a) 6 b) Subtrahera exponenterna. 5 _ = 5 = 8 c) 7 5 d) _ 9 a) b) 1, , c),5 b) c) a) 5 a) 1 _ b) b) _ c) c) 9 d) _ _ Beräkna och svara i grundpotensform. 0 a) b) 1,5 c),5 d),5 6 1 a) 6 b) 6 5 c) 8 d) Den 17 april 1991 vann personer i Kalifornien en lotterivinst på 9 kr. a) Hur många kronor fick var och en? Benjamin och Dilan ska beräkna +. Benjamin säger att svaret är 00 medan Dilan påstår att svaret är 5 5. Vem har rätt? Förklara. b) Hur många miljoner kronor fick var och en? 7 Anna och Clara ska beräkna +. Vem har rätt? Förklara. Beräkna a) b) + c) Svaret är 5. Svaret är 1 0. I mars 017 beräknades svenskarnas totala förmögenhet till 1,5 1 kronor. Hur mycket blir det per person? Räkna med att vi då var 7 invånare i Sverige. Svara både i grundpotensform och på vanligt sätt. Anna Clara 0 1 tal 1 tal 1

14 Små tal med prefix Räkna med tal i potensform B Små tal kan vara lättare att skriva med hjälp av tiopotenser eller prefix. Tal i bråkform Tal i decimalform Tiopotens P r e fi x Tal med ord 1 0,1 1 deci (d) tiondel _ 1 0 0,01 centi (c) hundradel ,001 mili (m) tusendel 1 0, mikro (µ) miljondel En upprepad multiplikation kan skrivas som en potens. = = 8 är skrivet i potensform och man säger två upphöjt till. är bas och är exponent. 5 Skriv i potensform a) b) 5 5 c) a a a d) tre upphöjt till fyra Bas Potens Exponent B Vilket prefix betyder detsamma som 5 a) en hundradel b) en tusendel c) en miljondel 5 Välj bland potenserna och skriv den eller de som har värdet 9 a) 9 b) 6 c) 81 d) a) 1 b) c) Skriv som en multiplikation och beräkna a) 5 b) c) d) 1 5 e) a) 1 b) c) d) 6 8 Vilket uttryck i rutan är detsamma som a) mm b) cm c) dm d) µm m 6 m 1 m m 9 Vilket uttryck i rutan är detsamma som 0,5 m 0,005 m a) 5 decimeter b) 5 centimeter c) 5 millimeter 50 m 0,05 m Beräkna och svara i potensform a) Om potenserna har samma bas b) kan man addera exponenterna. = + = 5 = = 1 = Om potenserna har samma bas kan man subtrahera exponenterna. 50 Vilket uttryck i rutan är detsamma som a) 6 millimeter b) 6 mikrometer m 0, m 0,006 m Beräkna och svara i potensform. 56 a) b) x x c) d) x x 51 Skriv i enheten meter utan prefix. a) mm b) cm c) µm 5 En liter mjölk innehåller a) 1 00 mg kalcium. Skriv 1 00 mg som gram utan prefix. b) 50 µg vitamin A. Skriv 50 µg som gram utan prefix. 57 a) 5 b) 58 Vad ska stå i stället för x? a) 5 5 c) 6 _ x = b) 5 x = 8 c) = 5 x d) 59 När man adderar och subtraherar tal i potensform måste man först skriva potenserna på vanligt sätt. Beräkna och skriv utan potens. a) + 1 b) + c) d) 5 5 x x Tänk på att 1 = 1 tal 1 tal

15 Tal i kvadrat Kvadratrot B Talen 1, och 9 är exempel på kvadrattal. De kan skrivas som ett heltal multiplicerat med sig själv = 1 1 = 1 = = = = 9 upphöjt till Roten ur 9 är eftersom = 9 9 = = = 9 Roten ur 16 är eftersom = = = = 16 Vilket värde har kvadratrötterna? _ b) 16 c) 5 d) a) 70 a) Roten ur 9 9 = 9 _ 6 b) 0 c) 6 d) 11 B 60 Rita av tabellen och gör klart den. 61 a) Rita en kvadrat som har sidlängden cm. b) Hur stor area har kvadraten? 6 a) Rita en kvadrat som har sidlängden 6 cm. b) Hur stor area har kvadraten? 6 Rita en kvadrat som har arean 1 = 1 1 = 1 = = = = Beräkna och ta hjälp av rutan till höger om du behöver. _ 900 b) 000 c) a) 7 a) 00 b) 5 c) 65 7 Hur långa är sidorna i en kvadrat om arean är a) 5 cm b) 9 cm c) 0 cm 0. 0 = = = = = 000 a) 9 cm b) 6 cm Beräkna 6 a) b) 0 c) 0 65 a) 0 b) 50 c) 0 66 a) 0,1 b) 0, c) 0, 67 a) 0,5 b) 0,7 c) 0,9 68 a) 1,1 b) 1, c) 1, Talen 9, och 16 är placerade på tallinjen Talet är större än eftersom 9 = och mindre än eftersom 16 är. Man kan använda räknaren för att beräkna kvadratroten. räknas så här: -- eller -- x.,16 Avrunda till två decimaler. 7 Mellan vilka två heltal ligger talet a) b) 5 c) 8 d) 15 e) 0 f) 0 75 Beräkna med räknare och avrunda till två decimaler. _ a) 11 b) 0 c) 0 d) 10 e) 7,7 f),5 1 tal 1 tal 5

16 Naturliga tal, hela tal och rationella tal Begrepp Uppslaget B Vi använder tio siffror 0, 1,,,, 5, 6, 7, 8, och 9 när vi skriver tal. Talen 0, 1,,,, är exempel på naturliga tal. Naturliga tal är alla positiva heltal och talet noll Ändra exponenten så att värdet blir så nära 0 som möjligt. är 9. Vad händer med värdet om du a) fördubblar exponenten B Talen,,, 1, 0, 1,,, är exempel på hela tal. Hela tal är alla negativa heltal, alla positiva heltal och talet noll b) fördubblar basen Talen, 0,7 och 1 är exempel på rationella tal. Rationella tal är de hela talen och de tal som kan skrivas som ett bråk mellan två heltal. 1 0, Resonemang och kommunikation 76 Vilka av talen i rutan hör till de a) naturliga talen b) hela talen,5 ( 8) 9 5 c) rationella talen 77 Är påståendet sant eller falskt? a) 8 är ett naturligt tal b) c) ( 0,5) är ett negativt heltal d) 78 Skriv ett tal som hör till de a) naturliga talen b) hela talen men inte de naturliga talen c) rationella talen men inte de hela talen 79 a) Rita en tallinje från 5 till 5. är ett positivt heltal 5 är ett rationellt tal b) Placera talen i rutan på tallinjen. ( ) c) Vilka av talen är hela tal? ( 1,5) 80 Det finns tal som inte kan skrivas som ett bråk. De kallas för irrationella tal. Markera på tallinjen från uppgift 79 ungefär var följande tal ska vara på tallinjen. a) b) 8 c) 17 d) Ett naturligt tal är alltid ett heltal, men ett heltal är inte alltid ett naturligt tal. När man gör wienerbröd kavlar man ut degen, brer smör på den, viker den dubbel och kavlar ut den igen. Detta upprepas många gånger. När man sedan gräddar bröden bildas frasiga lager. a) Hur många gånger har man vikt degen för att brödet ska ha minst tusen lager? b) Skriv antalet lager i potensform. Problemlösning I en bägare finns en lösning av etanol och vatten. Lösningen väger 0 gram, varav en fjärdedel är etanol. Du kan ändra andelen etanol genom att hälla mer etanol eller mer vatten i lösningen. a) Hur mycket etanol måste du hälla i om hälften av lösningen ska bestå av etanol? b) Hur mycket vatten måste du hälla i om en fjärdedel av lösningen ska bestå av vatten? På franska heter wienerbröd mille feuilles, tusen blad. 6 1 tal 1 tal 7

17 R Röd kurs Mer om stora tal 1 Hur lång tid är a) en miljon sekunder b) en miljard sekunder c) en biljon sekunder På ingressen kan du läsa historien om riskornen på schackbrädet. Det här Phytonprogrammet skriver ut hur många riskorn det finns på första raden. antal_riskorn = 0 for n in range(0, 8): antal_riskorn = antal_riskorn + ** n print(antal_riskorn) a) Ändra i koden så att programmet räknar ut hur många riskorn det finns på hela schackbrädet. b) Tänk dig att ett riskorn väger 0,017 gram. Beräkna vikten av riset som bör ligga på brädet om kungen hade kunnat uppfylla mannens önskan. c) Tänk dig att mängden ris, som bör ligga på brädet, delas av hela världens befolkning, hur mycket ris får var och en? Världens befolkning är cirka 7,5 miljarder. d) Under ett år odlas cirka 600 miljoner ton ris i världen. Hur många år skulle det ta att odla det ris som bör ligga på brädet? Ungefär hur många fler människor bor i a) Kina jämfört med Indien b) Indien jämfört med USA c) USA jämfört med Sverige Land Kina Indien USA Sverige Antalet inv. (01 ) 1,8 miljarder 1,88 miljarder 7 miljoner miljoner Av tabellen framgår att solen är drygt gånger tyngre än Jupiter. Det kan du räkna ut så här:,0 0 1,9 7 1,1 = 1 0 Avrunda på lämpligt sätt i svaren när du löser uppgifterna nedan. 7 Hur många månar motsvarar ett jordklot? 8 Hur många jordklot motsvarar en sol? 9 Hur stor andel av jordens vikt är havsvatten? Svara i grundpotensform med en decimal. Planetsystemet beräknas vara,5 9 år gammalt. Varje år avlägsnar sig månen cm från jorden. Hur nära jorden var månen från början? 11 Avståndet mellan jorden och solen brukar kallas 1 astronomisk enhet (1 AE). Hur många AE är det från solen till stjärnan Sirius? 1 Hur lång tid tar det för ljuset att färdas a) från jorden till månen b) från solen till jorden Svara med lämplig enhet. Långa och tunga fakta Solen,0 0 kg Jupiter 1,9 7 kg Jorden 6,0 kg Månen 7, kg Världshaven 1, 1 kg Jorden Månen,8 8 m Jorden Solen 1,5 11 m Solen Sirius 8,1 16 m Ljusets hastighet är,0 8 m/s R Hur många gånger fler människor bor i a) Kina jämfört med USA b) USA jämfört med Sverige c) Indien jämfört med Sverige 5 I svenska statens budget för 018 beräknade man Sveriges utgifter till 0,999 biljoner kronor. Samma år hade Sverige,11 miljoner invånare. Beräkna hur stora utgifterna var per invånare. Svara med lämpliga avrundningar. 1 En rymdsond befinner sig 1 m från jorden. Från markkontrollen skickas en radiosignal till sonden och ger den order att ändra riktning. Radiosignalen färdas med ljusets hastighet i ca km/s. Hur lång tid tar det tills man på jorden vet om den har ändrat riktning? Svara i timmar. 1 Hur många meter hinner ljuset på ett år? Den sträckan kallas ett ljusår och används när man mäter avstånd i universum. Svara i grundpotensform. 6 Bill ates är den person som donerat mest pengar till välgörenhet. Fram till 015 hade han donerat 0 miljarder kronor, vilket motsvarade % av hans dåvarande förmögenhet. 15 Varje sekund omvandlas 00 miljarder ton av solens massa till energi. Om den takten är konstant, hur länge kommer då solen fortsätta att lysa? a) Hur stor var hans förmögenhet år 015? b) Bill ates har lovat att skänka 95 % av sin förmögenhet. År 017 var hans samlade förmögenhet 760 miljarder kronor. Hur mycket har han kvar när han donerat 95 % av sin förmögenhet? 16 Tänk dig att alla människor på jorden bildar en lång kö längs ekvatorn och varje person behöver 1 meter. Hur många varv runt jorden skulle kön sträcka sig? Jordens omkrets är 7 m och antalet invånare på jorden är cirka 7, tal 1 tal 9

18 R Mer om små tal 17 Skriv med prefix. a) 0,0 m b) 0,006 m c) 6 m d) 5 9 m 18 Skriv i grundpotensform med enheten meter. a) mm b) 7 µm c) 8 nm d) 9, pm Prefix Förkortning Tal Tiopotens centi c 0,1 1 deci d 0,01 milli m 0,001 mikro µ 0, nano n 0, piko p 0, Beräkna 6 a) 6 b) _ 9 Svar: 6 a) 6 = + ( 6) = 6 6 = 6 b) _ 9 = 6 ( 9) = 11 Beräkna och svara med tiopotens. 6 a) 6 b) 5 c) 6 d) 6 6 R Skriv i grundpotensform. 19 a) 0,00 b) 0, c) 0, a) 0,0 b) 0, c) 0, Skriv i grundpotensform med enheten liter. a) 18 ml b) 1 µl c) 0,8 dl 7 a) 6 9 b) _ c) _ d) 6 _ 6 Beräkna och svara i grundpotensform. 8 a) 6 b) 1,5 6 c),5 1, d),5 6 9 a) b) 7,5 c) 5 _ d) _ 6 Skriv i grundpotensform med enheten gram. a) 15 mg b) 0,18 mg c) 5 µg d) 0,9 µg Skriv i grundpotensform med enheten meter. a) 18 mm b) 95 µm c) 98 nm d) 0,5 nm Texten i rutan finns på ett paket mellanmjölk och visar hur mycket av olika näringsämnen och vitaminer som finns i 0 g mellanmjölk. Hur många gram av följande näringsämnen finns det i en liter mellanmjölk? a) protein b) fett c) kolhydrater d) kalcium 5 Skriv mängden av följande näringsämnen i grundpotensform med enheten gram. a) kalcium b) vitamin B c) vitamin B1 d) vitamin D Näringsvärde per 0 g (ca 1 dl) Energivärde 00 kj/5 kcal Fett 1,5 g Kolhydrater,9 g Protein,5 g Vitamin D 1,0 µg (0 % av DRI) Riboflavin (Vitamin B) 0,15 mg (11 % AV DRI) Vitamin B1 0,6 µg ( % av DRI) Kalium 160 mg (8 % av DRI) Kalcium 10 mg (15 % av DRI) Jod 1 µg (8 % av DRI) DRI = Dagligt referensintag 0 Hur många gånger tyngre är Elektron 9,1 1 kg a) en proton jämfört med en elektron b) en kolatom jämfört med en proton c) en bakterie jämfört med ett virus d) en människa jämfört med en kolibri Proton Kolatom Virus Bakterie Kolibri Människa 1,7 7 kg,0 6 kg 1,0 1 kg 1,0 1 kg 5,0 kg 7,0 1 kg 1 En bakterie kan ha längden 1 µm och ett virus kan ha längden 00 nm. Hur många gånger längre är bakterien än viruset? En människa har cirka 5 liter blod. I varje liter finns 5 biljoner röda blodkroppar. En blodkropp är 7 mikrometer i diameter. Tänk dig att alla blodkroppar läggs på rad efter varandra. a) Beräkna hur lång sträckan skulle vara. b) Jämför sträckan med jordens omkrets, som är ungefär km. 0 1 tal 1 tal 1

19 Mer om kvadratrötter Division med kvadratrötter R Multiplikation med kvadratrötter När man multiplicerar tal skrivna med kvadratrötter kan man skriva talen under samma rottecken, utföra multiplikationen och sedan beräkna kvadratroten. 9 = _ 9 = 6 = 6 jämför med 9 = = 6 18 = 18 = 6 = 6 = = 0,7 Här är talen under rottecknet kvadrattal så det är enkelt att beräkna kvadratrötterna direkt Här är talen under rottecknen inte kvadrattal, men produkten är ett kvadrattal och är enkel att beräkna kvadratroten av. Här måste vi svara med 0 om vi vill ha ett exakt värde, annars får vi svara med ett avrundat värde. a b = _ a b När man dividerar tal skrivna med kvadratrötter kan man skriva talen under samma rottecken, utföra divisionen och sedan dra kvadratroten ur. 6 = = 6 = jämför med = 6 = 9 7 = 7 = 9 = 5 = = 5, Här är talen under rottecknen kvadrattal så det är enkelt att beräkna kvadratrötterna direkt. Här är talen under rottecknen inte kvadrattal men kvoten är ett kvadrattal och är enkel att beräkna kvadratroten. Här måste vi svara med 5 om vi vill ha ett exakt värde, annars får vi svara med ett avrundat värde. a b = a b R Förenkla så långt det går. Använd räkneregler och beräkna utan räknare. 50 b) 8 c) 7 a) a) 5 a) ( 6 a) 7 a) 8 a) b) b b ) b) ( x ) c) x x c) ( c ) _ 1,5 b) 0 0, c) 00 0,5 x 9x b) 8a a _ c) 7y y 8 b) c) ( ) Visa att 0 = b) 18 = 8 c) 7 = 6 d) 5 = 5 9 a) _ 0 a) är ett exakt värde. 1,1 är ett avrundat värde = b) 8 = c) 0,5 = 0,5 d),5 = 0,5 Börja med att skriva talen under samma rottecken. Utför sedan beräkningen. a) b) _ 1 c) a) _ b) c) _ 5 a a) _ b) _ 18ab c) 6ab a a 7ab 6 Beräkna a) 9 16 b) 9 81 c) a 7 Vilken metod är bäst att använda när du beräknar uttrycken i rutan? Skriv vilka av uttrycken som du beräknar genom att först a) beräkna kvadratroten ur varje tal b) skriva under samma rottecken b 16 5 kan skrivas som _ 16 = 5 5 d) _ 9x 6y _ 0 81 _ 6 9 _ 50 0,5 8 Vilket tal ska stå i stället för x? x 8 = 8 b) 1 x = 6 1 a) a) c) 50 x = 9 = x b) x = 5 c) 0 = x d) x 800 = 0 _ d) 0,8 = 0,0 x 8 Vad ska stå i stället för x? x a) = 5 b) _ 6 x = c) x 0,5 = d) = x 9 Beräkna. Använd räknare och svara med två decimaler. a) 0 0 b) 15 _ 150 c) _ 160 d) 5 1 tal 1 tal

20 Andragradsekvationer Mer om talsystemet R Ekvationen x = 9 har två lösningar. Både talet och talet ( ) är lösningar till ekvationen eftersom = 9 och ( ) ( ) = 9. Här är lösningarna hela tal. Ekvationen x = 5 har också två lösningar. Både talen 5 och 5 är lösningar till ekvationen eftersom 5 5 = 5 och 5 5 = 5. Här är lösningarna irrationella tal. Matematiken har utvecklats av människor under flera tusen år. Det har till exempel funnits behov av att utveckla matematiken när den matematik man kände till inte räckte för att lösa ett problem. Ett exempel var när man skulle undersöka lösningen till ekvationer av typen x = 1. Lösningen till ekvationen är det eller de tal som multiplicerat med sig självt blir 1. Lösningen kan inte vara 1 eftersom 1 1 = 1, inte heller 1, eftersom ( 1) ( 1) = 1. R Lös ekvationerna Ekvationen x = a har lösningarna x 1 = a och x = a a) x + 1 = 6 b) x + = 8,5 c) x + 5 = 7 x = 5 x = 6,5 x = x = ± 5 x = ± 6,5 x = ± x = ±5 x = ±,5 x 1 = 5 och x = 5 x 1 =,5 och x =,5 x 1 = och x = För att hitta en lösning till ekvationen så behövde man utvidga talsystemet utanför de reella talen. Man införde det imaginära talet i som har egenskapen i = 1. x = 1 x = i x = ±i x 1 = i x = i i är en förkortning för den imaginära enheten. Talen i, i, i och 5i är exempel på imaginära tal. Lösningarna är två heltal Lösningarna är två rationella tal Lösningarna är två irrationella tal Lös ekvationen. Svara exakt och med båda lösningarna. 50 a) x = 5 b) x = 0 c) x = 9 d) x = 0,5 Beräkna 5 a) i i b) i c) i d) i 55 a) i i b) i i c) i i d) i 5i 51 a) x + 1 = 17 b) x = c) x + 5 = 1 d) x + =,6 5 a) x = 5 b) x + 1 = 8 c) x 0,5 = 0,9 d) x 8 = Vilka slutsatser kan du dra av uppgift 5 som du kan använda för att beräkna i 1 och i 99? 5 a) x + = 5 b) x = 7 c) x = d) x = 80,5 Lös ekvationen Euler Redan på 1500-talet löste man ekvationen x = 1 genom att ge den lösningen ± 1. År 1 införde Leonhard Euler ( ) beteckningen 1 = i. Men en händelse redan år 1 1 kunde satt stopp för Eulers imponerade arbete inom matematik och teoretisk fysik. Vid den här tiden var Euler professor vid universitet i St Petersburg, en stad som kraftigt eldhärjades 1 1. Bilden visar hur Euler räddas ur lågorna av sin schweiziske tjänare Peter rimm. Eulers insatser inom matematik, astronomi och optik blir än mer imponerande när man vet att han var blind sedan Euler publicerade mer än 800 arbeten inom olika ämnesområden. a) x = 16 i i = b) x = x = 16i = 16i = 16 x = i x = ±i x = ±i x 1 = i x = i 57 Lös ekvationen på samma sätt som i exemplet. x 1 = i x = i a) x = 5 b) x = 9 c) x = 11 1 tal 1 tal 5

21 Mer om talmängder Problemlösning, resonemang och kommunikation Uppslaget R För att få med de imaginära talen införde matematiker de komplexa talen, där både de imaginära och reella talen ingår. Här är de olika talmängderna markerade med sina beteckningar. Alla naturliga tal är också hela tal, men alla hela tal är inte naturliga tal. Alla hela tal är rationella tal, men alla rationella tal är inte hela tal. Alla rationella tal är reella tal, men alla reella tal är inte rationella tal. Alla reella tal är komplexa tal, men alla komplexa tal är inte reella tal. 58 Kombinera talmängden med rätt beteckning ur rutan. a) naturliga tal b) hela tal c) rationella tal d) reella tal e) komplexa tal 59 Tillhör talet Z N R C Q a) 5 talmängden Q b) 9 talmängden N c) talmängden Z d) 7 talmängden Z e) 0,5 talmängden Q f) 8 talmängden Q g) π talmängden R h) talmängden N i) i talmängden R 60 Skriv ett tal som tillhör naturliga tal N a) Z men inte N b) Q men inte Z c) R men inte Q d) C men inte R hela tal Z rationella tal Q reella tal R är ett irrationellt tal som hör till de reella talen. komplexa tal C A Placera siffrorna 1,, och i rutorna så att differensen blir så a) stort positivt tal som möjligt b) litet positivt tal som möjligt c) stort negativt tal som möjligt B Rita av skalan till höger och placera ut följande mått på rätt plats. 1 Människa 1,7 m Kebnekaises höjd m Sveriges längd 160 mil Största havsdjupet 11 0 m 5 Avstånd till månen km 6 Jordens omkrets 000 mil 7 Avstånd till solen 15 Mmil 8 Burj Dubai* 818 m * = världens högsta byggnad, klar 009 A Skogshare 60 cm B roda 8 cm C Spyfluga 1,5 cm D Hoppkräfta mm E Virus 160 nm F Urdjur 0 µm Bacill 1,5 µm H Väteatom 0 pm C I en bakterieodling finns 1 miljon bakterier. Antalet blir tio gånger fler för varje timme. Hur många bakterier finns det efter ett dygn? Svara med tiopotens. m R 61 Rita av diagrammet och placera in talen i delmängderna. N Z Q R C , i π,98 5 D Hasse har två bägare med olika lösningar av sprit och vatten. I den ena bägaren är en tredjedel etanol och i den andra är tre fjärdedelar etanol. Hur mycket ska man blanda av vardera bägare, om man vill att hälften av lösningen ska vara etanol och att lösningen totalt ska väga 50 g? 6 1 tal 1 tal 7

22 Svarta sidorna S 1 Ange ett tal i potensform som ligger mellan 6 och 6. Avståndet från jorden till solen är ca 8 ljusminuter. Ljusets hastighet är 5 km/s. Hur lång tid skulle det ta för ett flygplan att nå solen, om medelhastigheten är 900 km/h? Svara med lämplig tidsenhet. Vilket tal är störst, 0 eller 5 80? Motivera. Bestäm värdet av x i ekvationen = x 5 Kuben har volymen 7 cm. Kantlängden är cm eftersom cm cm cm = 7 cm. Kubikroten ur 7 är, 7 =. Tips a x b x = (a b) x = (ab) x a x = a x + x = a x a x 11 Använd Pythonprogrammet och omvandla a) 9 tio till ett binärt tal b) 51 tio till ett binärt tal c) tio till ett binärt tal 1 Beräkna a) 11 två + 11 två b) 1 två + 11 två c) 1111 två två d) två 1 två e) 1 två 1 två f) 11 två 10 två a = int(input("skriv ett tal i tiosystemet:")) binärt_tal = "" while a > 0: b = a % a = a - b binärt_tal = str(b) + binärt_tal a = int(a/) print("talet skrivet i basen blir", binärt_tal) Så här adderar man binära tal: S Beräkna a) 8 b) _ 15 c) 6 6 En kvadrat har arean 81 cm. Förklara varför sidan är 81 1/ cm. 7 En kub har volymen 15 cm. Förklara varför kanten har längden 15 1/ cm. ( a ) = = a 1/ a 1/ = a 1/ + 1/ = a 1 = a a = a 1/ ( a ) = a 1/ a 1/ a 1/ = a 1/ + 1/ + 1/ = a 1 = a Det hexadecimala talsystemet har basen 16. Talsystemet används ofta av programmerare eftersom hexadecimala tal enklare kan omvandlas till binära tal. I det hexadecimala talsystemet används även bokstäver som symboler för siffror: 0, 1,,,, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F A motsvarar tio, B motsvarar 11 tio, C motsvarar 1 tio, D motsvarar 1 tio, E motsvarar 1 tio och F motsvarar 15 tio. Talet 16 tio skrivs alltså sexton. Tal kan skrivas i olika baser. Platsvärde 1 0 Vanligtvis skriver vi tal med basen tio, Siffra till exempel talet = = = 567 tio Tabellen visar de 5 första positionerna i det hexadecimala talsystemet. Platsvärde Siffra A B Talet fem är skrivet med basen fem. Så här kan man skriva om talet till basen. fem = = = = 1 65 tio Platsvärde Siffra 1 0 AB567 sexton = = tio B ger Skriv talet i tiosystemet. a) 16 sexton b) B sexton c) 1 sexton d) CDEF sexton 8 Följande tal är skrivna med basen fem. Skriv om talen till basen tio. a) 178 fem b) 90 fem c) 89 fem d) 106 fem 1 Skriv talet i det hexadecimala talsystemet. a) 5 tio b) 0 tio c) 5 tio d) tio 9 Följande tal är skrivna med olika baser. Skriv om talen till basen. a) 1 tre b) 01 tre c) 0 tre d) 01 tre e) sex f) sex g) 50 sju h) 0867 åtta 15 Skriv talet i det hexadecimala talsystemet. a) 11 två b) 1101 två c) 101 två d) 0000 två e) 1 två f) 111 två g) två h) 111 två Tal som är skrivna med basen kallas för binära tal. Skriv talen 1 tio 0 tio i basen. 16 Skriv som ett binärt tal. a) 11 sexton b) 1 sexton c) A sexton d) BF sexton 8 1 tal 1 tal 9

23 Sammanfattning S Prefix Prefix Namn Tal Tiopotens giga, miljard Räkna med tal i grundpotensform Multiplikation,5 6 =,5 + 6 = 7,5 9 S mega, M miljon kilo, k tusen Multiplicera talen framför tiopotenserna. Addera exponenterna. hekto, h hundra 0 deci, d tiondel 0,1 1 centi, c hundradel 0,01 Division, 6 6 =, 6 6 = 0,7 = 0,7 = 7 milli, m tusendel 0,001 mikro, µ miljondel 0, Dividera talen framför tiopotenserna. Subtrahera exponenterna. Talet framför tiopotenserna ska vara ett tal mellan 1 och 0. Tal i potensform 5 är skrivet i potensform och utläses fem upphöjt till. 5 Bas Exponent 5 = = = 1 a = a a a a a 0 = 1 Ett tal upphöjt till 0 är alltid 1 Räkna med tal i potensform Multiplikation = + = 7 Addera exponenterna Division 7 = 7 = Subtrahera exponenterna a x a y = a x + y a x a y = ax y Tiopotenser En potens med basen tio kallas tiopotens. 6 Exponent Bas = = = _ 1 = 0,001 rundpotensform rundpotensform är ett sätt att skriva stora eller små tal. Det innebär att man skriver talet som en multiplikation av ett tal mellan 1 och och en tiopotens = 7,5 000 = 7,5 Tal mellan 1 och. Tiopotens 0, = 7,8 0,000 1 = 7,8 Kvadratrot 5 = 5 eftersom 5 5 = 5 5 a.e. 5 l.e. 5 l.e. 5 utläses kvadratroten ur 5 eller roten ur = 18 = 6 = 6 a b = _ a b = ab _ 5 = 5 5 = 9 = a 5 b = a b Tal Tal delas in i olika mängder. naturliga tal hela tal rationella tal reella tal Naturliga tal Talet noll och de positiva heltalen, till exempel och 8. Hela tal Alla naturliga tal och de negativa heltalen, till exempel 6 och 8. Rationella tal Alla heltal och alla övriga tal som kan skrivas som ett bråk med heltal, till exempel, 0,98 och 5. Irrationella tal Tal som inte kan skrivas som ett bråk mellan två tal, till exempel och π. Reella tal Alla rationella tal och alla irrationella tal tal 1 tal 51