Innehall Inledning. 3 Inledande teori. 5. Medeluppehallstid och spridning. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5. Val av identieringmeto

Transkript

1 Projekt Operatorsverktyg, delprojekt 4: Modeller for massatransport och berakning av uppehallstid i berlinjen. Slutrapport. Torbjorn Andersson, Predrag Pucar Alf Isaksson Linkopings Universitet 99--9

2 Innehall Inledning. 3 Inledande teori. 5. Medeluppehallstid och spridning. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5. Val av identieringmetodik. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6.3 Fysikaliska modeller - konfektionsmodeller. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8.4 Modellvalidering. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.4. Pol-nollstalleforkortning. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.4. Residualanalys. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.4.3 Brusfri simulering. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.5 Forbearbetning av data. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :.5. Rensning fran orimliga data. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.5. Decimering och ltrering. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Skalning. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5.6 Identiering on-line. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 3 Tillgang av data. 8 4 OXY-blekeri Identiering med hjalp av in och ut. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4. Identiering med hjalp av in och ea som insignaler och ut som utsignal. : : 4.3 Decimering. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Olinjaritet. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Filtrering. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Produktionsberoendet och skalning. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Slutsatser om OXY-blekeriet. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5 O-torn. 8

3 5. Skalning och ltrering. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 5. Obevakad drift. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Slutsatser O-torn. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38 6 Ovriga block Slutsatser. 4 8 Sammanfattning 4

4 Inledning. Tillverkning av pappersmassa sker i en lang kedja av processer i en anlaggningen med hog komplexitet och med varierande uppehallstider.med svaroverskadlig datarepresentation kan det darfor vara svart for operatoren att styra anlaggningen val. Darfor har STFI utvecklat ett forslag till projekt Operatorsverktyg, dar man pa en berlinje vid Stora Cell Skutskar AB skall utveckla ett verktyg for battre processforstaelse och korsatt genom andamalsenlig information om process,kvalitet och kostnader. Projektdeltagarna ar forutom STFI och Stora Cell Skutskar AB, Stora Teknik, Uppsala Universitet och Linkopings Tekniska Hogskola. Uppdelningen mellan projektdeltagarna bestar i att STFI utvecklar systemfunktionerna, en o-line version av operatorsverktyget och testar funktionerna pa verklig data. STFI ansvarar ocksa for projektledning, systemutvardering och resultatspridning. Stora Teknik skall sedan vidarutveckla o-line versionen till en on-line version och installera denna i Skutskar. Uppsala Universitet skall analysera operatorsmiljon samt foreslar systemfunktioner och utvarderar ur arbetsvetenskaplig synvinkel. Vid Linkopings Tekniska Hogskola skall uppehallstidsmodeller utvecklas (delprojekt 4). Inom delprojekt 4, Utveckling - Massadatabas, av projektet Operatorverktyg behovs modeller som beskriver massans transport genom berlinjen. For att skapa massadatabasen med samhorande data i olika positioner behover man veta medeluppehallstiderna for massan i de olika delarna i processen. Denna rapport beskriver hur man skulle kunna identiera fram transportmodeller och medeluppehallstider. Tillverkningen fran ved till massa genomgas ett antal steg. Nar veden huggts till is kokas den till massa och silas (Kokeri och sileri). Darefter bleks massan med hjalp av oxiderad vitlut och syrgas i oxygenreaktorn (OXY-blekeri). Efter OXY-blekeriet tvattas massan och innan slutblekningen passerar den ocksa en buerttank O. Slutblekningen av massan sker i fem steg med tvatt mellan varje steg for att sedan forvaras i en buerttank H tills den silas och torkas (E-sileri,TM och utskott) och slutligen placeras pa massalagret. Ur teknisk och praktisk synvinkel har berlinjen delats upp i ett antal block som uppehallstiderna skall bestammas for. Valet av just dessa block diskuteras inte narmare men uppdelningen kan sagas bero pa tillgangliga matsignaler och fysikalisk insikt. Fiberlinjen har delats in i foljande block; kokeri och sileri, OXY-blekeri, tvatt och O,forblekeri bestaende av D/C och E, D och E, D och H och som sista block E-sileri,TM och utskott (Slutblekeriet innehaller alltsa forblekeri, D och E, D). Dessa kan ses i guren pa nasta sida. Det sista blocket tillhor inte processen men ar med for helhetens skull.

5 Det andra blocket OXY-blekeri behandlas utforligt i senare kapitel och likasa tvatt & O- blocket. I det forsta blocket och de fyra sista blocken saknas i stor utstrackning matdata sa vi diskuterar dessa gemensamt i kapitel 6. Kokeri & Sileri - OXYblekeri - Tvatt & O - Forblekeri - D & E - D & H - E-sileri & TM & utskott - Massalager

6 Inledande teori. I inledningen namndes medeluppehallstid. Vad som menas med detta och andra denitioner och begrepp sa som konfektionsmodell, ARX-modell, rekursiv identiering, ltrering, produktionsskalning m m gar vi kort igenom i detta kapitel.. Medeluppehallstid och spridning. Lat oss deniera medeluppehallstiden som tyngdpunkten for impulssvaret hos systemet g(t) d v s = R tg(t)dt R g(t)dt : () Om vi tar en perfekt omrord tank med konstant volym V och konstant in- och utode f med koncentrationen u i inodet och koncentrationen x i tanken kan foljande massabalansekvation stallas upp V _x = f (u? x): () Overforingsfunktionen for tanken med u som insignal och x som utsignal fas da som med viktfunktion G(s) = + V f s Medeluppehallstiden kan nu beraknas enligt () som = g(t) = e? t V=f (3) R te? t V=f dt R e? t V=f dt = V f : D v s medeluppehallstiden for en perfekt omrord tank med konstant volym och med konstanta lika stora in- och utoden blir V, vilket ar korrekt. Denna denition far dock anvandas med f viss forsiktighet eftersom en medeluppehallstid i var mening (volym genom ode) inte ar denierad for ett svangigt system. Med ett svangigt system menas ett system vars impulssvar inte bara avtar efter toppen som g(t) i (3) ovan utan aven pendlar mellan positiva och negativa varden. Detta betyder att om det skulle komma en positiv pulsstorning i koncentrationen till en tank med konstant koncentration skulle det, om tanken var ett svangigt system, medfora att aven varden som ar lagre an den ursprungliga konstanta koncentrationen forekommer i utkoncentrationen. Med andra ord ar ett svangigt system ofysikaliskt ur var synpunkt. Antag att vi later en puls pa ett ton markt massa pumpas in i en tank; hur stor spridning pa massan kommer vi att fa efter tanken? Ett exempel pa ett matt av spridningen kan da vara att detektera tiden det tar fran det att % - 9 % av massan passerat. Detta kan uttryckas matematiskt som t s = t? t ; dar t och t fas ur R t g(t)dt R R t g(t)dt = : och R g(t)dt g(t)dt = :9;

7 dar g(t) ar impulssvaret och t s ar den sokta spridningstiden. Om vi fortsatter med exemplet ovan och raknar ut spridningstiden for tanken fas t s = t? t =? V f ln(:) + V f ln(:9) = V f ln(9) :V f : For att tydligare se medeluppehallstiden och spridningstiden har vi kopplat tva tankar i serie och impulssvaret kan ses i gur, dar medeluppehallstid och spridningstid har markts ut. Mattet pa spridningen kommer inte beraknas for varje delblock men metoden ovan kan Tp Ts Figur : Medeluppehallstid Tp och spridningstid Ts for tva tankar i serie med tidskonstanterna V f =. anvandas for varje delblock med givet impulssvar.. Val av identieringmetodik. Det nns i princip tva metoder att identiera fram en modell av en process, den ena gar ut pa att bygga en modell som beskriver hur utsignalerna beror av insignalerna, men som inte ar baserad pa nagon fysikalisk insikt om vad som hander inne i systemet och ofta bygger man linjara \konfektionsmodeller" av typen (4) och skattar de obekanta parametrarna som konfektionsmodellen ar uppbyggd av. I den andra metoden anvands i stallet fysikalisk kunskap om systemet nar modellen byggs upp (t ex med dierentialekvationer), och sedan skattas de obekanta parametrarna i denna modell (ett exempel pa fysikaliskt modellbygge ar den perfekt omrorda tanken i kapitel.). Nar man pratar om en konfektionsmodell menar man oftast en modell av typen A(q)y(t) = B(q) C(q) u(t) + e(t); (4) F (q) D(q) dar A; B; C; D; F har gradtal n a ; n b ; n c ; n d ; n f och y; u ar utsignal respektive insignal och e ar vitt brus. For att forklara vad modellen (4) betyder i klartext skall vi titta pa en enkel och robust variant av konfektionsmodell som kallas for ARX-modell (ARX star for AutoRegressive exogeneous) som erhalls om man later F = C = D = d v s A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t), ( + a q? + : : : + a na q?na )y(t) = (b q?n k + b q?n k? : : : + b nb q?n b?n k + )u(t) + e(t):

8 Detta uttryck kan skrivas om pa foljande form utan att ha med forskjutningsoperatorn q? y(t)+a y(t?)+: : :+a na y(t?n a ) = b u(t?n k )+b u(t?n k?)+: : :+b nb u(t?n b?n k +)+e(t): Man ser har att u ar tidsforskjuten n k tidsenheter i forhallande till y. For att beteckna antalet parametrar till ARX-modellen anvands beteckningen ARX-modell [n a n b n k ] dar n a ar antalet parametrar i A-polynomet (antalet gamla y-varden) och pa samma satt n b antalet parametrar i B-polynomet (antalet gamla u-varden) med tidsfordrojningen n k for insignalen i forhallande till utsignalen.om man har er insignaler far man lagga till ytterligare ett B- polynom for varje extra insignal som ocksa far n b parametrar med tidsforskjutningen n k. En ARX-modell med tva insignaler beskrivs da enligt [n a n b n b n k n k ]. Man kan alltsa skriva y(t) som y(t) =?a y(t?)?: : :?a na y(t?n a )+b u(t?n k )+b u(t?n k?)+: : :+b nb u(t?n b?n k )+e(t) Om vi skulle vilja gissa vardet pa y(t) nar endast matningar pa u(s) och y(s) med s < t? nns fas gissningen (prediktionen) ^y(t j ) som ^y(t j ) =?a y(t?)?: : :?a na y(t?n a )+b u(t?n k )+b u(t?n k?)+: : : +b nb u(t?n b?n k ); dar betecknar parametrarna, se denition nedan. Om vi denierar och = [a a : : : a na b : : : b nb ] T '(t) = [?y(t? ) : : :? y(t? n a ) u(t? n k ) : : : u(t? n k? n b + )] T kan man skriva ^y(t j ) som och vi kan beteckna prediktionsfelet " som ^y(t j ) = T '(t) "(t; ) = y(t)? ^y(t j ): Om vi har samlat in insignal-utsignaldata over en tidsperiod t = ; : : : ; N kan ett matt fas pa hur bra modellen med parametrarna beskrivit systemet genom V N () = N NX t= " (t; ): (5) V N () utgor da ett matt pa parametervardet och det blir naturligt att valja det som minimerar (5): ^ N = arg min V N (): For ARX-modellen fas ^ N som dar ^ N = R? N f N; f N = N NX t= '(t)y(t)

9 och R N = N NX t= '(t)' T (t): For harledning av ^ N se []. Ett mer sostikerat val av konfektionsmodell kan goras genom att ocksa utoka med polynomen F; C och D och darmed fa er frihetsgrader i modellen (t ex battre beskrivning av bruset) men for ett sadant val av konfektionsmodell (4) ar funktionen V N () en ganska komplicerad funktion av sa att minimum av V N () maste beraknas med numerisk sokning, vilket inte ar lika robust och saledes opraktisk for on-line identiering. For mer information se []. Eftersom ^ N ar en skattning har den ocksa en osakerhet. Antag att bruset e(t) har variansen. Man kan da visa att skattningen av parametrarna har variansen, se [5], Var^ N (R N )? : Faktum att parameterskattningen har en osakerhet kommer att medfora att aven skattningen av medeluppehallstiden fortsattningsvis alltid ges tillsammans med tillhorande standardavvikelse som matt pa osakerheten. Om man anvander en linjar modell i sitt modellbygge kan man under vissa forutsattningar visa att man ur konfektionsmodellens parametrar (a ; : : : ; a na ; b ; : : : ; b nb ) kan berakna parametrarna i den fysikaliska modellen. Vi kommer darfor att anvanda oss av konfektionsmodellen..3 Fysikaliska modeller - konfektionsmodeller. I det har kapitlet behandlas kopplingen mellan den verkliga fysiken och konfektionsmodellen. Antag att vi har en tank med dels en del i toppen som ar en ren tidsfordrojning och darefter tva delar i serie med tidskonstanterna och. Vi vet att modellen for en val omrord tank ar _y(t) =? y(t) + u(t) dar y ar koncentration ut och u koncentration in och tankens tidskonstant som beror oden och tankens dimension. Antag for tillfallet konstant. Laplacetransformeras uttrycket ovan fas Y (s) = U(s): s + Seriekoppling av system innebar multiplicering av systemens overforingsfunktioner i transformplanet. Tidsforskjutning med T motsvarar i transformplanet e?st. Detta innebar att vi till slut far modellen G(s) = Y (s) U(s) = e?st (s + )(s + ) : (6) Antag ocksa att vi ur data har identierat fram en konfektionsmodell pa formen y(t) + a y(t? ) + a y(t? ) = b u(t? k) + b u(t? k? ): (7) Fragan ar nu hur denna modell oversatts till parametrar vi kanner igen fran det fysikaliska modellbygget.

10 Man ser direkt att tidsforskjutningen T i den kontinuerliga modellen motsvarar k T s, dar T s ar samplingstiden, i konfektionsmodellen. Det man kan gora nu ar att hitta den kontinuerliga modellens tidsdiskreta motsvarighet nar den samplats. Detta ar lattast att gora om den kontinuerliga modellen skrivs om pa tillstandsform. Tas tidsfordrojningen bort fran ekvation (6) kan den skrivas om i tidsplanet som Infors tillstanden fas till slut " _x y(t) + ( + ) _y(t) + y(t) = u(t): # = _x " x (t) = y(t) x (t) = _y(t)??( + ) y = h Omskriven i tidsdiskret form blir modellen, se [3], " x (k + ) x (k + ) # = " x (k) x (k) 6 4 # +? + e? Ts e? Ts 6 4????? # " x i " x x # : x # e? Ts e? Ts? (? e? Ts )?? (? e? Ts h y = )? i " x (k) x (k)?? " # + u e? Ts? e? Ts? (? e? Ts?? )? (? e? Ts # ) e? Ts e? Ts Vi ser att aven detta ar ett system med tva tillstand, d v s ett andra ordningens system. Systemet ovan ar skrivet pa formen x (k + ) = F x(k) + Gu(k) y(k + ) = Hx(k + ) och da fas systemet pa in-utsignalform med hjalp av formeln Tillampas formeln (8) pa modellen ovan fas u G(q) = H(qI? F )? G: (8) y(t) = d ( ; ) + d ( ; )q? + f ( ; )q? + f ( ; )q? u(t); dar d ( ; ) = (? e Ts )? (? e Ts? ) ;

11 d ( ; ) = f ( ; ) = (e Ts ( e Ts + f ( ; ) =? e Ts + Ts )? (e Ts?? e Ts + Ts ) e Ts )? ( e Ts + e Ts )? ( e Ts + Ts?? e Ts + Ts Nu kan man jamfora koecienterna ovan med koecienterna i ekvation (7) och losa ut och ur det olinjara ekvationssystemet om det ar losbart. Skulle man nu valja att dela in tanken i era segment innebar det att man maste ga upp i modellordning i konfektionsmodellen for att fa tillrackligt med ekvationer sa att ekvationssystemet blir losbart. Eftersom det har visat sig att modeller med hogt ordningstal har gett samre resultat an de med ordningstal ett eller tva, anses hogt ordningstal ej vara nodvandigt. ) : ; och.4 Modellvalidering. Nar man efter identiering till slut har en modell man tror pa maste modellen testas innan den borjar anvandas. Det ar egentligen modellvalideringen som ar karnan i identieringsproblemet. Det nns nagra standardforfaranden for validering av modeller, och nagra av dem ar: Pol-nollstalleforkortning. Residualanalys. Brusfri simulering. Ovanstaende modellvalideringsmetoder kommer behandlas kort i det har kapitlet..4. Pol-nollstalleforkortning. En pol-nolstalleforkortning eller om en pol benner sig nara ett nollstalle indikerar att den framtagna modellen kan ha for hog modellordning. For att vara saker pa om forkortning verkligen sker nar en pol och ett nollstalle ligger nara varandra kan osakerhetsomraden kring polerna respektive nollstallena ritas ut. Om dessa overlappar varandra kan detta tas som en indikation att modeller med lagre ordningstal ocksa bor testas..4. Residualanalys. Antag att en ARX-modell identierats fram, d v s att vi har en modell pa formen A(q? )y(t) = B(q? )u(t? n k ) + e(t):

12 Givet modellen ovan och in och utsignaldata u,y kan prediktionsfelen e(t) beraknas: e(t) = A(q? )y(t)? B(q? )u(t? n k ) Dessa prediktionsfel, eller residualer, skall vara vitt brus om all information i signalerna har beskrivits av modellen. Ritas korrelationsfunktionen upp skall den ha en spik vid origo och vara noll annars, se gur. Finns det vasentliga avvikelser fran detta monster betyder det att modellen inte har fangat upp all information och det behovs hogre ordningstal pa modellen eller kanske en helt annan modellstruktur.

13 . Korrelationsfunktionen for vita residualer Figur : Korrelationsfunktionen for vita residualer..4.3 Brusfri simulering. For att veriera hur bra modellen kan reproducera en utsignal givet insignal kan simulering utforas. Detta innebar att en ny mangd in- och utsignaldata anvands. Den nya insignalen anvands som insignal till modellen, och sedan jamfors den utsignal som modellen gav med den givna utsignalen fran det verkliga systemet. En god overenstammelse mellan dessa utsignaler ar en indikation pa att modellen beter sig som det verkliga systemet aven med nya data..5 Forbearbetning av data. For att identiera fram en modell behovs in- och utsignaler fran processen som skall identi- eras och dessa signaler erhalls fran matningar i processen. Beroende pa processbetingelser och matutrustning kan signalerna inte anvandas direkt utan maste bearbetas forst, se gur 3. Det kan till exempel rora sig om hogfrekventa storningar, uppenbarliga felaktiga varden (outliers), signalnivaer som driver ivag m m. Hogfrekventa storningar kan man ta bort genom att lagpassltrera signalerna och outliers far man ersatta med ett predikterat varde, se kapitel.5.. For att korrigera mot signalnivaer som driver ivag kan man subtrahera bort driften (ta bort trenden). Om man inte forbearbetar data kan det fa forodande inverkan pa de skattade modellerna, vi vill t ex inte att modellen skall anpassa sig till hoga frekvenser (matbrus) i stallet for de de verkliga (undviks genom lapassltrering) och outliers skulle kunna dominera forlustfunktionen V N (), se kapitel., vilket ej ar onskvart darfor att V N () da inte skulle bli ett bra matt pa modellens prestanda.

14 Kappatal ut fran O sampel Figur 3: Kappatal ut fran O. Signalen ar helt obehandlad..5. Rensning fran orimliga data. For att fa bort outliers (enstaka data som ar helt orimliga och inte bor tas med i berakningarna) anvands en metod som bestar i att man rekursivt skattar en AR-modell. En AR-modell ar en modell med foljande utseende y(t) = A(q) e(t); eller om man skriver ut den y(t) =?a y(t? )? : : :? a na y(t? n a ) + e(t): En AR-modell innebar att signalens varde beror pa en viktad summa av gamla varden. Ordningen pa modellen sager hur manga gamla varden som viktas ihop. AR-modellen anvands sedan for att rakna fram en skattning for nasta varde av signalen. Detta skattade varde anvands vidare for att bedoma om nasta varde pa signalen ar rimligt. Skattning av AR-modellen. Parametrarna (a ; : : : ; a na ) anpassas rekursivt, d v s de uppdateras efter varje nytt matvarde av signalen. Man ansatter da en modell for parametrarna som sager att parametrarna anses vara konstanta men storda av vitt brus. Uttryckt matematiskt blir modellen for parametrarna (t) = (t? ) + w(t): Parametrarna ligger i vektorn. Man uppdaterar sin parameterskattning pa foljande satt: ^(t) = ^(t? ) + K(t)(y(t)? ^y(t)) ^y(t) = T (t)^(t? ) K(t) = P (t) (t)

15 P (t) = " P (t? )? P (t? ) (t) T (t)p (t? ) + (t) T P (t? ) (t) dar (t) ar en vektor som innehaller de data (n a stycken) som behovs for att rakna fram prediktionen ^y(t). Tillampning av AR-modellen. For att ta bort outliers sa ansatts en andra ordningens AR-modell och parametrarna skattas rekursivt. Efter varje nytt sampel sa jamfors prediktionen som modellen ger med det nya vardet. Ar skillnaden mellan de bada storre an nagot pa forhand valt varde sa ersatts helt enkelt det nya uppmatta vardet med det predikterade. Proceduren ovan ar lamplig att tillampa pa alla signaler forutom pa produktionen, dar det kan handa att signalen valdigt abrupt gar till noll, pa grund av korta produktionstopp, och far darfor ej forandras. Hur man hanterar produktionstopp aterkommer vi till senare i kapitel.6. Kors proceduren ovan pa data i gur 3 far man som resultat en signal som aternns i gur 4. Till den har lite kom- # Data rensat fran sk "outliers" sampel Figur 4: Signal rensad fran outliers. plexare proceduren bor man lagga till ett par enkla procedurer som tar bort alla negativa data och ersatter dem med noll, detekterar och marker ut pa nagot satt nar signalen ar noll (behovs for att veta nar produktionen ar noll). Till de enklare procedurerna bor man ocksa lagga till kontrollrutiner som meddelar fel och marker ut det i den framtida massadatabasen. Med fel menas da till exempel om uppehallstiden antar ett orimligt varde beroende pa fel i matutrustningen eller daliga signaler. Vad som ar ett orimligt varde far bestammas specikt for varje block och med hansyn till den erfarenhet man har..5. Decimering och ltrering. Beroende pa samplingstiden for signaler och matmetoder kan man ocksa behova decimera data. Decimering innebar att data plockas bort fran signalen. Det kan konkret betyda att bara var tredje matvarde behalls i en signal och resten kastas bort. I princip behaller man anda all information men far bort en del av bruset. Forutom decimering, som i sig innehaller

16 lagpassltrering, kan man ocksa lagpassltrera signalerna for att ta bort brus och snabba variationer men behalla de variationer man ar intresserad av utan att fa samre upplosning av signalen. En regel ar har att man bor ha signaler som ar samplade 4-5 ggr sa fort som den tidskonstant man forsoker skatta..5.3 Skalning. Nar vi identierar medeluppehallstiden direkt fran data far vi ofta problem. Dessa problem beror pa uppehallstiden varierar med tiden. Man vill helst att uppehallstiden skall vara konstant, da vore det mycket enklare att identiera. Det galler alltsa att sampla pa ett sadant satt att att man far bort variationerna i uppehallstiden. Ser man pa in och utsignalen upptacker man att man skulle vilja \dra isar" signalerna dar uppehallstiden ar kort och \trycka ihop" dem dar uppehallstiden ar lang. Detta kan uppnas genom att man samplar olika fort beroende pa om uppehallstiden ar kort eller lang, d v s man samplar fort om man vill \dra isar" signalerna och tvartom om man vill \trycka ihop" dem. Detta innebar egentligen att man skalar om tiden till en ny enhet i vilken uppehallstiden ar konstant. Vi antar att uppehallstiden paverkas av nivan i tankarna och odet pa sa satt att storre ode innebar kortare uppehallstid och lagre niva ocksa innebar kortare uppehallstid. De bada variablerna antas paverka uppehallstiden linjart. Nar identieringen ar genomford skalar man bara tillbaka den nya tidsenheten till den gamla. Betrakta en modell for en val omrord tank. Koncentrationen valjs som insignal och utsignal. Tanken antas ha samma in och utoden och konstant volym. Balansekvationen for tanken ger da _xv =?fx + fu Lat = f=v. Ekvationerna ovan blir da y = x: _x =?x + u y = x: Skrivs systemet om pa tidsdiskret form dar samplingstiden ar T s = = fas x(t + T s ) = e? x(t) + (? e? )u(t) y(t + T s ) = x(t + T s ) = e? y(t) + (? e? )u(t) som ar oberoende av, d v s ode och volym. Ett allmannare fall ar att om vi antar olika in och utoden samt att volymen varierar. Foljande ekvationer fas _V = f? f d dt (V x) = _ V x + V _x =?f x + f u ) ) _x =? f V x? _ V V x + f V u;

17 eller _x =? f + f? f x + f V V u _x = f V x + f V u y = x dar f ar inode och f ar utode. Ekvationen har samma struktur som i det enkla fallet och det gar aven nu att fa bort beroendet av ode och volym om samplingstiden valjs ratt. Om nu inte in- och utode ar lika stora och det inte ar en perfekt omrord tank som ovan uppstar det ett problem. Det ar namligen inte uppenbart vilket av odena skall man anvanda? Om man har ett pluggode kan man generellt inte saga vilken av dem man skall valja. I den har tillampningen har vi valt att skala med variabeln produktion/niva. Anledningen att vi valt produktionen i stallet for odet ar att det t ex vid OXY-reaktorn nns tva inoden som behover adderas ihop och innehaller mycket brus. Det galler generellt over hela linjen att odesmatningarna ar brusiga. Det faktum att koncentrationen for det mesta ar konstant gor att det da inte blir nagon skillnad om ode eller produktion anvands. Om man lyckas behandla odessignalerna sa att bruset dampas men de snabba odesandringarna bibehalls bor man anvanda odet i stallet..6 Identiering on-line. Identiering on-line eller rekursiv identiering har till en del redan beskrivits i tidigare kapitel om rensning fran orimliga data. Algoritmen presenterad for en tidsserie ar den samma i det har fallet, men nu anvands ocksa insignaler och de nya parametrarna (B(q)-polynomets koecienter) kommer till i -vektorn. Gamla insignaler tillkommer i '-vektorn. Modellen antas alltsa vara A(q? )y(t) = q?k B(q? )u(t) + e(t); eller utskrivet y(t) =?a y(t? )? : : :? a na y(t? n a ) + b u(t? k) + : : : + b nb u(t? k? n b ) + e(t): Skrivs uttrycket ovan om pa vektorform fas y(t) = '(t) T + e(t); dar '(t) T = [?y(t? ) : : :? y(t? n a ) u(t? k) : : : u(t? k? n b )] och T = [a : : : a na b : : : b nb ]. Parametervektorn uppdateras enligt P (t) = (t) = (t? ) + w(t) ^(t) = ^(t? ) + K(t)(y(t)? ^y(t)) " ^y(t) = ' T (t)^(t? ) K(t) = P (t)'(t) P (t? )? P (t? )'(t)'t (t)p (t? ) + '(t) T P (t? )'(t) # :

18 Vid rekursiv identiering maste man dessutom valja glomskefaktorn, som talar om hur manga gamla data man anvander vid identieringen. Antal data man anvander kan ungefarligt bestammas med formeln n =. Ju lagre ar desto mindre data tas med och skattningen? foljer da lattare med i modellforandringar men blir kansligare mot matfel. Det ar alltsa en avvagning mellan matfelkanslighet och snabbhet man maste gora nar man valjer. Denna avvagning gors bast genom att forsok gors med olika och det, i nagon mening, basta valjs. Den rekursiva identieringen bor stoppas nar ett produktionsstopp detekteras. Man tar sedan det sista vardet pa uppehallstiden och nar produktionsstoppet ar over sa vantar man den tiden (aktuell uppehallstid) innan man satter igang identieringen (med samma parametrar som innan stoppet) igen. Detta for att fa in- och utsignal som hor ihop. For att hantera tillfallen da nagon av signalerna ar konstant (matgivare faller bort) uppdateras inte skattningen av medeluppehallstiden vid dessa tillfallen. Detta kan astadkommas genom att rakna fram variansen av de tio senaste matvardena for de bada signalerna och om den underskrider ett troskelvarde uppdateras ej skattningen av medeluppehallstiden.

19 3 Tillgang av data. Utmed berlinjen pagar det kontinuerliga matningar av diverse fysikaliska storheter som oden av olika slag, pappersmassakoncentrationer, nivaerna i tankarna, kvalitetsmatt pa massan sasom kappatal och ljushet m m. Ur dessa storheter kan sedan andra beraknas t ex kan man berakna produktionen som massakoncentration multiplicerat med ode. Ibland kan man vara inresserad av vissa egenskaper som man inte kan berakna fram ur de matsignaler som man har tillgodo utan man maste gora ytterligare matningar genom att ytta bentliga matutrustningar eller, om det inte racker med de signaler som man mater, utfora sparamnesforsok. Denna rapports syfte ar att beskriva hur man kan bestamma medeluppehallstiden for massan i processen. For identiering av transportmodeller e t c behovs matsignaler som ar ett \marke" pa massan. Om man bestralar en mangd massa med en radioaktiv isotop och sedan mater radioaktiviteten pa massan kan man folja massan under hela processen. Radioaktiviteten ar saledes ett bra marke pa massan, men detta ar inte sarskilt praktiskt utan man bor titta efter andra marken. Om man i stallet blandar en liten del av massan med litiumklorid och mater halten av litiumklorid i massan utmed berlinjen har man fatt en miljovanligare metod. Detta ar ett exempel pa sparamnesforsok med litiumklorid som sparamne. Sadana forsok har gjorts pa ett ertal stallen langs med berlinjen och nar sparamnesforsok namns i rapporten menas forsok av denna typ. Oftast ar det inte enkelt att utfora sparamnesforsoken da det kan vara svart att blanda ut massan med litiumkloriden t ex kan man bli tvungen att under hogt tryck pumpa in litiumkloridlosning och sedan forsoka tappa ur massan i en senare del av processen for att mata litiumkloridhalten i massan. Under sparamnesforsoken maste man ocksa strava efter att halla alla signaler, som kan tankas paverka uppehallstiden, konstanta for att om t ex produktionen skulle variera kommer ocksa uppehallstiden att variera och stora matningarna. Att halla alla signaler som paverkar uppehallstiden konstanta ar ytterligare en svarighet vid sparamnesforsoken. Om vi tittar pa de signaler som mats kontinuerligt; massakoncentrationen, kappatal, ljushet, ode, niva och indirekt produktion sa ar kappatalet ett bra marke pa massan eftersom kappatalet beskriver andelen lignin i brerna och pa sa satt kan man folja massa med olika ligninhalt. De andra signalerna ar svarare att anvanda som marke; koncentrationen paverkas av spadoden och halls pa for konstant niva for att kunna ge tillrackligt med information. De andra signalerna ode, niva och produktion paverkar uppehallstiden men duger inte som marke for massan. Ljusheten mats pa for fa stallen och har for liten variation for att den skall vara anvandbar. Slutsatsen blir att man skall anvanda kappatalet for att identiera men man skall ocksa ta hansyn till produktion och niva som paverkar dynamiken i systemet. En mojlig svarighet med att ha kappatalet som marke kan dock vara att kappatalet paverkas i vissa steg, t ex vid blekning.

20 4 OXY-blekeri. Den har delen av processen innehaller en syrgasreaktor (vidare kallad OXY-reaktor) och blastank (vidare kallad T8). I denna delen paverkas kappatalet genom att man blandar oxiderad vitlut i massan, varmer den till 8? o och later den passera OXY-reaktorn. OXYreaktorn ar ett torn med fem horisontellt parallella bord och massan foryttas aven over borden med stycken schabrar pa varje bord. Via en oppen sektor i varje bord foryttas massan ett bord ner varje varv. Med denna konstruktion kan man med schabermotorns varvtal styra massans hastighet genom tornet samtidigt som massan far god kontakt med syrgasen. De signaler som har anvants for identiering ar kappatalet fore OXY-reaktorn ( in ) och kappatalet efter T8 ( ut ), eftersom kappatalet ar ett bra marke pa massan (se kapitel 3) och eektivt alkali ea (vitlutsatsen) som paverkar kappatalet. Har kan svarigheter forvantas att identiera medeluppehallstiden med hjalp av kappatalet eftersom det paverkas i den har delen av processen. Dynamiken i den har delen av processen forvantas vara tidsberoende och beror da framst pa produktionen fore OXY-reaktorn p oxy och nivan i tanken h T 8 sa aven dessa signaler paverkar medeluppehallstiden. For identiering av modeller anvands har konfektionsmodellen (4) av ARX-typ och vid veri- eringen av konfektionsmodellerna nns bl a ett sparamnesforsok dar man kan se att den rena tidsfordrojningen ligger ungefar mellan 5 och 6 minuter. Medeluppehallstiden kan skattas till att ligga ungefar mellan och minuter (medelproduktionen p oxy for det intervallet ligger nagot under 3 ton/timme). Sparamnesforsoket kan ses i gur Sparamnesforsok over OXY+T8 OXY-reaktor 7 6 T minuter Figur 5: Sparamnesforsok for OXY-reaktorn och T8.

21 Foljande ideer har testats: Identiering med hjalp av in som insignal och ut som utsignal. Identiering med hjalp av in och ea som insignaler och ut som utsignal. Decimering och ltrering av signalerna innan ovanstaende identieringar utfors. Anvandning av STFI framtagen olinjar modell som beskriver paverkan av ea pa kappatalet. Anvandning av skalning med avseende pa produktion. 4. Identiering med hjalp av in och ut. Manga identieringsforsok har gjorts genom att ta fram ARX-modeller pa olika datamangder och samstammiga resultat har erhallits. Som exempel har vi data fran omkring :e maj, dar in och ut kan ses i gur 6 och produktionen p oxy i gur 7, ur vilka en ARX-modell [ 7], se kapitel., erholls med en medeluppehallstid pa timmar och min 5 min, se kapitel. och.. Denna skattning stammer overens med sparamnesforsoket men vid simulering av erhallen modell fas ej bra resultat, se gur 8. Det kan tillaggas att identieringsforsoken har gjorts pa \snalla" data. 4 OUTPUT # INPUT # timmar Figur 6: In och utsignal for identiering.

22 3.5 Produktion sampel, T=4 minuter Figur 7: Produktionen i intervallet som anvands for identiering. x -3 Output number Output # Fit: timmar sampel Figur 8: Impulssvar och simulering for modell [ 7]. 4. Identiering med hjalp av in och ea som insignaler och ut som utsignal. Om man antar att den eektiva alkali-satsen ea paverkar kappatalet ut linjart och i stallet forsoker hitta ARX-modeller med tva insignaler och en utsignal som beskriver hur kappatalet andras genom OXY-reaktorn och T8 sa far man ett resultat som liknar det i foregaende fall. For att forsta hur svar identieringen kan vara visas kappatal in och kappatal ut pa vilka identiering ska utforas i gur 9. Har kan man se hur mycket kappatalet paverkas genom den har delen av processen.

23 4 Kappatal in - Kappatal ut sampel, T= min. Figur 9: Kappatal in: Streckad linje. Kappatal ut: Heldragen linje. Decimerade data. Produktionen over intervallet aternns i gur. Om samma data som i forsoket beskrivet ovan anvands ( maj) och eektiv alakali ea, se gur, tas med som ytterligare insignal fas ARX-modellen [ 7 9] med impulssvar och simulering av det identierade systemet enligt gur. 3.5 Produktion 3.5 ton/timme sampel Figur : Produktion over intervallet da identiering utfors.

24 7 EA-tillsats sampel Figur : Eektiv alkali-tillsats (ea). x -3 Output number Output # Fit: timmar sampel Figur : Impulssvar och simulering for modell [ 7 9]. Uppskattad medeluppehallstid blev timmar och min 5 min. Anvandningen av multivariabla modeller tycks alltsa ge nagot battre beskrivning av processen da simuleringen blir battre.

25 4.3 Decimering. Kappatalet mats endast var :e minut men de ovriga signalerna mats var 4:e minut och for att fa tidsmassigt overensstammande signaler har man darfor interpolerat fram kappatalet var 4:e minut ur de ursprungliga matningarna. Men det faktum att man endast mater kappatalet var :e minut kvarstar och darfor bor signalerna decimeras med en faktor tre. Aven det faktum att data ej mats samtidigt pa in och utgangen av processen talar for att decimering bor goras. Ingen markbar forbattring fas aven om decimering utfors pa signalerna, decimering bor dock anda utforas pa grund av tidigare namnda skal. 4.4 Olinjaritet. Vi har fran STFI fatt en olinjar modell av hur ea satsen paverkar kappatalet. Sambandet har foljande form: ut = in e? 55 ea : Om eekten av ea-satsen ansatts som momentan ( STFI bekraftade antagandet) kan man ur ea-sats och in rakna fram det kappatal som gar in i OXY-reaktorn enligt ^ ut = in e? 55 ea och sedan anvanda det framraknade kappatalet, ^ ut och ut som in- respektive utsignal for identiering. Metoden fungerar inte tillfredstallande och en orsak till detta kan bero pa att den till en utsignal, med valdigt lite information (variationerna i kappatal in regleras ut med ea-tillsatsen), raknar fram en ny insignal som inte heller innehaller information (olinjariteten dampar variationerna i kappatal in). Identieringsforsok pa det nya in- och utsignalparet visar sig darfor vara daliga. 4.5 Filtrering. Nar decimering gors sker ju ocksa en lagpassltrering. Man kan nu tanka sig att man forutom decimeringen gor ytterligare lagpassltrering for att ta bort brus och framhava de viktiga variationerna i kappatalet. Ytterligare decimering vore inte bra eftersom man da skulle fa samre upplosning i skattningen av medeluppehallstiden. Just i den har delen av processen ar iden med ltrering inte sa bra eftersom medeluppehallstiden ligger kring - minuter varav den rena tidsfordrojningen ar kring 6 minuter. Detta innebar att den dynamiska delen star for cirka 5-6 minuter. En regel ar att man vid identiering bor ha signaler som ar samplade 4-5 ggr sa fort som den tidskonstant man forsoker skatta. Detta skulle innebara att vi redan slagit i taket. Det visade sig daremot fungera bra for identiering av medeluppehallstiden i torn O, se kapitel 5, sa forsok gjordes aven i den har delen av processen. Om samma data anvands som tidigare och signalerna ltreras genom ett andra ordningens Butterworth lter fas ARX-modellen [ 5 6] med en medeluppehallstid pa timmar och min 5min. Impulssvar och simulering for modellen ovan nns i gur 3. En jamforelse med identieringen utan ltrering ger att resulterande simuleringar ar lika bra, dock bor ltrering utforas da eventuella hogfrekventa storningar dampas.

26 Output number Output # Fit: timmar Figur 3: Impulssvar och simulering for modell [ 5 6] 4.6 Produktionsberoendet och skalning. Eftersom produktionen kan variera ganska kraftigt over olika tidsintervall och rimligen bor ha inverkan pa medeluppehallstiden borde man pa nagot satt ha med produktionen i berakningen. Produktionen paverkar medeluppehallstiden pa sa satt att en hogre produktion ger en snabbare genomstromning genom tankarna med kortare uppehallstid som foljd. Om produktionen varierar mycket over ett intervall, fran vilket vi tar data for identiering av medeluppehallstiden, sa innebar det att vi forsoker identiera en parameter som ar tidsvariabel. Denna tidsvariabilitet kommer da in i osakerheten i var skattning. Hur ska man gora for att komma at dessa variationer? En ansats som gjorts har ar att skala med produktionen sa att det mellan varje sampel passerar en lika stor mangd massa och sedan skatta medeluppehallstiden i enheten sampel och sedan rakna baklanges for att fa uppehallstiden vid en speciell tidpunkt, se kapitel.5.3. Simuleringsresultaten har ar liknande dem med enbart ltrering, se gur 4 dar impulssvar och simulering gjorts pa data fran :e maj. Skillnaden.35 Output number 3 Output # Fit: timmar sampel Figur 4: Impulssvar och simulering da skalning utforts. har ar nu att medeluppehallstiden har blivit tidsberoende (produktionen nns i gur 5) men nar man sedan skalar tillbaka sa far man att medeluppehallstiden varierar mellan -3

27 timmar, vilket ar for stora variationer for att vara fysikaliskt rimliga. Slutsatsen man kan dra av detta ar att uppehallstiden inte ar direkt proportionell mot produktionen. 4 Produktion ton/timme sampel, 4 min. Figur 5: Ojamn produktion. 4.7 Slutsatser om OXY-blekeriet. Identieringsforsok med olika val av in- och utsignaler har gjorts och sammanfattningsvis kan sagas att det inte racker med in som insignal under normala produktionsforhallanden. Anvands aven ea som ytterligare insignal fas battre resultat men den da framtagna ARXmodellen lyckas inte beskriva systemet tillrackligt bra. Vidare har forsok att kompensera bort olinjariteter gjorts men det gav inget tillfredsstallande resultat. Till sist undersoktes mojligheten att skala om signalerna med produktionen for att fa bort inverkan av den parametern pa uppehallstiden. Eftersom variationen av den tillbakaskalade uppehallstiden blev for stor kan inte uppehallstiden bero linjart pa produktionen. Ingen av metoderna har lyckats att forklara systemet sa bra att vi kan veriera metoderna m h a simuleringarna utan det skulle behovas alternativa metoder for veriering av dessa. Det har varit stora problem att valja ratt modell och det har sallan funnits klara indikationer pa vilken modell som ar bast. Anledningen till detta ar att de signaler som identieringen forsoker goras pa inte innehaller tillrackligt med information for att ett sakert modellval skall kunna goras. Man skulle i stallet kunna tanka sig att man andrade processbetingelserna sa att man far en alternativ markning av massan, t ex upprepade sparamnesforsok. Alternativt kan inverkan av ea-tillsatsen goras mindre genom att halla den konstant. Iden att infora variationer i ea-tillsatsen har testats men detta gav inte mer information an forsoken tidigare. Det kan ocksa tillaggas att identiering med tva insignaler ar mindre robust eftersom risken for att nagon av signalerna ar felaktiga (matfel etc) ar storre.

28 Eftersom de modeller som erhallits med de olika metoderna som beskrivits ovan inte riktigt har kunnat beskriva processen har vi foljande forslag for att forbattra villkoren vid identi- eringen: i) Konstant tillsats av ea (sa lag niva som mojligt). ii) Fler sparamnesforsok vid olika processbetingelser samt matdata. Ett forsok enligt punkt i) har redan gjorts, men under intervallet da ea holls konstant fanns det inte tillrackligt med information i signalerna. Om ea halls konstant under ett langre intervall okar chansen att informationsrik data samlas in. Det kan tillaggas att ju lagre tillsatsen av ea ar desto gynnsammare ar utgangspunkten for lyckad identiering. Fortsatta identieringsforsok pa data med konstant tillsats av ea och er sparamnesforsok skulle kunna avgora om metoden som anvands pa torn O aven skulle kunna anvandas har.

29 5 O-torn. I den har delen av processen vantade vi oss att det skulle vara relativt enkelt att uppskatta medeluppehallstiden med hjalp av kappatalet. I O paverkas namligen inte kappatalet utan man kan latt se ur data att signalerna bara ar forskjutna. Ur sparamnesforsoket kan man se att vid detta tillfalle ar den rena tidsfordrojningen ar cirka 7 minuter och den totala medeluppehallstiden kan uppskattas till cirka 5 minuter. Sparamnesforsoket nns i gur 6. Sparamnesforsoket ar gjort over O utan tvatteriet som innehaller blandningstankarna T3 och T35. Produktionen under sparamnesforsoket lag pa 3.4 ton/timme och nivan pa 36 enheter. Inkluderar man tvatteriet (kappatalet mats direkt efter T8 och efter O) borde medeluppehallstiden oka med cirka 3 minuter (enligt uppgift fran STFI). Resultatet vi forvantar oss fa ligger kring 4 timmar och 5 minuter. Det har gjorts ett sparamnesforsok till under andra produktionsbetingelser. Produktionen ligger pa.3 ton/timme under det andra sparamnesforsoket och nivan ligger pa 95 enheter. Sparamnesforsoket nns i gur O minuter Figur 6: Sparamnesforsok for torn O.

30 8 Sparamnesforsok for O 6 4 Li mg/l minuter Figur 7: Sparamnesforsok for torn O. 5. Skalning och ltrering. I det har avsnittet gors forsok med ltrering av signalerna innan identieringen utfors. Filtreringen ufors med tva lter. Det ena ltret har en lag gransfrekvens medan det andra har en hog gransfrekvens. Bada ltren ar andra ordningens Butterworthlter. Nar vi forsokt hitta en bra modell for O har de storsta problemen varit att bestamma den rena tidsfordrojningen. Ritar man upp in- och utsignalen i samma gur, se gur 8, sa inses varfor man far problem. Data for det har forsoket togs fran :a augusti. Man maste fa bort inverkan av den 6 Kappa in - Kappa ut, O h.8 h 4.6 h 3.6 h -.6 h h sampel, minuter Figur 8: Kappatal in och kappatal ut fran O. guren. Uppmatt tidsfordrojning nns utsatt i variabel som paverkar uppehallstiden. Detta kan uppnas med hjalp av skalning. Vi valde da att skala och ltrera signalerna med ltret som har lag gransfrekvens och anvanda dem for att skatta den rena tidsfordrojningen. Sedan anvandes de skalade signalerna, men den har gangen ltrerade genom ltret med hog gransfrekvens, for att skatta dynamiken. Efter den har proceduren ser data ut som i gur 9. Man ser ur gur 9 att variationen i uppehallstid ar ungefar 5 enheter medan motsvarande matt i gur 8 ar ungefar sampel. Variationerna

31 6 Variabler med omskalad tid 4 6. enheter 5 enheter.3 enhete 6. enheter enheter 4.4 enheter 7.7 enheter Figur 9: Kappatal in och kappatal ut fran O. Upmatt tidsfordrojning nns utsatt i guren. Tiden ar skalad med produktion/niva. har minskats med en faktor 4 bara genom att skala om tiden. Skalas tiden om for sparamnesforsoken i borjan pa kapitlet och ritas ut i samma bild med den nya x-axeln fas resultatet i gur. Skalning med endast niva respektive endast produktion har utforts, men det visade sig att variationerna blev minst om variabeln produktion/niva anvands. Signalerna som anvants for skalning nns i gur. 8 Sparamnesforsok i omskalad tid Figur : De tva sparamnesforsoken utritade i samma bild men med omskalad tid.

32 6 Niva.4 Produktion/Niva Produktion Figur : De tre variablerna som anvandes for skalning i olika forsok. Modellen som vi ck enligt proceduren beskriven ovan blev [ ]. simuleringen for modellen nns i gur. Impulssvaret och

33 .8 Output number 3 Output # Fit: timmar sampel Figur : Impulssvar och simulering for modell [ ]. Problemet som nu aterstar att losa ar hur man anvander den har modellen i drift. Det naturliga tycks vara att gora tidsskalning och sedan kora rekursiv identiering eftersom det fortfarande nns kvar sma variationer i uppehallstiden (se gur 9) och till sist skala tillbaka for att fa uppehallstiden i enheten tid. Parametern man maste valja vid rekursiv identiering ar glomskefaktorn. Resultatet av identieringarna med olika glomskefaktorer aternns i gur 3. Glomskefaktorn.95 motsvarar alltsa ungefar anvandning av de senaste data, medan faktorn.995 motsvarar anvandning av de senaste data. I det har fallet verkar = :97 vara bra, vilket motsvarar de 35 senaste data och darmed 7 timmar.

34 5 Uppehallstid i omskalad tidsenhet 5 Uppehallstid i omskalad tidsenhet Omskalad tidsenhet 3 5 lambda=.95 Omskalad tidsenhet 3 5 lambda= Uppehallstid i omskalad tidsenhet 5 Uppehallstid i omskalad tidsenhet Omskalad tidsenhet 3 5 lambda=.97 Omskalad tidsenhet 3 5 lambda= Figur 3: Rekursiva identieringar av uppehallstiden med fyra olika varden pa glomskefaktorn.

35 Skalar man tillbaka tiden fas uppehallstiden i timmar och den aternns i gur 4. De punkter i guren dar uppehallstiden antar orimliga varden kan forklaras med att det ar produktionsstopp i de punkterna. Denna metod verkar vara den ratta att anvanda. Det aterstar att utreda hur metoden skall fungera obevakad under drift. Uppehallstid timmar Figur 4: Uppehallstid skattad rekursivt ur varibler med omskalad tidsaxel. 5. Obevakad drift. I det har kapitlet undersoks hur beroende metoden ar av manuell overvakning av data, eller om det gar att lata metoden jobba utan overvakning med matta data. Data som anvands ar fran len staug.t. Radata nns i gur 5. Efter automatisk rensning fran orimliga varden far man signalerna i gur 6. Den rekursiva skattningen av uppehallstiden over hela intervallet nns i gur 7. Metoden som anvants ar skalning och ltrering enligt foregaende kapitel. De orimliga varden som nns i gur 7 beror pa att produktionen vid de tillfallena gar ner till noll, och nagon hansyn har inte tagits till det har. De daliga vardena i borjan beror pa att utsignalen ar dalig. Principen for hur detta skall hanteras beskrivs i kapitel.6. Detta verkar vara den metod, skattning av uppehallstiden, som ar robust nog att anvandas oovervakad, tillsammans med gransvarden for rimliga uppehallstider. Kappatal ut Kappatal in sampel, 4 minuter sampel, 4 minuter Figur 5: Kappatal in och ut fran O.

36 Kappatal ut 4 Kappatal in sampel, 4 minuter sampel, 4 minuter Figur 6: Radata efter automatisk rensning av orimliga varden. 4 Uppehallstid timmar sampel, minuter Figur 7: tillampats. Uppehallstiden skattad over ett intervall dar automatisk rensning av data For att veriera att metoden ovan kan anvandas pa en storre datamangd utfordes ett langtidstest. Skalningen gjordes med ode i stallet for produktion och samtidigt kontrollerades att det forutom ode och niva inte nns nagon parameter som paverkar uppehallstiden. Forsoket utfordes pa en datamangd med ca 7 datapunkter, vilket motsvarar dagar. Signalerna behandlades enligt kapitel 5.. Efter den rekursiva identieringen beraknades den ejaterskalade uppehallstiden och resultatet kan ses i gur 8. Beraknas medeluppehallstiden, d v s medelvardet av den framraknade uppehallstiden, erhalls ett varde pa 3:4 4:7 (4.7 ar standardavvikelsen for signalen). Insignal och utsignal kan ses i gur 9. I gur 3 visas den omskalade skalvariabeln (ode/niva) och i gur 3 visas ode och niva explicit.

37 5 Uppehallstid lambda= sampel Figur 8: Uppehallstiden under langtidskorning. 8 In- och utsignal sampel Figur 9: Omskalad in- och utsignal under langtidstest. 8 Omskalat flode Omskalad niva sampel sampel Figur 3: Omskalat ode respektive niva under langtidstest.

38 3 Omskalad skalvariabel sampel Figur 3: Omskalad skalvariabel (ode/niva) under langtidstest. Efter insvangningsforloppet, som bara nns med i uppstartningsforfarandet, ar skattningen relativt konstant. De ganger da metoden ger daliga varden kan det oftast forklaras med att antingen insignalen eller utsignalen ar konstanta (matgivaren har slutat fungera). En losning pa detta problem ar att variansen pa respektive signal raknas fram over ett xt antal senaste data och ligger den under en pa forhand bestamd niva sa uppdateras ej skattningen for uppehallstiden. Resultatet av langtidskorningen med denna metod aternns i gur 3 (intervallen dar uppehallstiden ar konstant indikerar att skattningen ej har uppdateras). Medeluppehallstiden med denna metod blir : :7 (.7 ar standardavvikelsen). Om man skalar tillbaka till verklig tid far man ett utseende enligt gur 33.Nar denna jamfors med gur 34 ses tydligt sambandet mellan produktionsstopp och att uppehallstiden \rusar ivag". 5 Uppehallstid (varianskontroll) lambda= sampel Figur 3: Uppehallstiden under langtidstest med varianskontroll(ej omskalad).