Om elliptiska integraler och funktioner

Transkript

1 Om elliptiska integraler och funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH Sammanfattning I den här artikeln ska vi diskutera bakgrunden till, och de viktigaste egenskaperna hos, de s.k. elliptiska funktionerna. Dessa uppkommer genom att vi behöver kunna lösa vissa differentialekvationer som dker upp i tillämpningarna. Vi formulerar dessa som integraler och försöker till dels följa den historiska utveckling som ledde till deras djupare förståelse.

2 Om elliptiska integraler och funktioner () Introduktion Ett sätt att definiera logaritmer och eponentialfunktioner utgår ifrån att vi definierar den naturliga logaritmen genom integralen ln = Eftersom d()/ = d/+d/, följer då additionsformeln för den naturliga logaritmen som formeln t + t = t. Eponentialfunktionen definierar vi sedan som inversen till ln, d.v.s. vi definierar e genom relationen e = t. Ur denna definition får vi direkt att de = e, och ur additionsformeln ovan får vi formeln e + = e e. Det den här artikeln ska handla om är att göra motsvarande sak för några andra integraler. Anledningen till detta är därför att man tidigt i analsens utveckling stötte på problemet att hitta en primitiv funktion till en differentialform t. R(, p())d, där R(, ) är en rationell funktion i och och p() ett polnom. Om polnomet var av grad löstes detta problem genom variabelsubstitution, där man ibland behövde använda de trigonometriska de funktionerna och logaritmfunktionen. Men i tillämpningar dök det också upp sådana integraler där p() var av grad tre eller fra, och för sådana integraler gick det inte att hitta någon motsvarande variabeltransformation. Det första kända diskussionen av problemet kom redan 655 när John Wallis ville bestämma båglängden av en ellips, vilket leder till en integral av denna tp. Det är av det skälet, att en av dessa integraler ger båglängden av en ellips, som integraler av denna tp kallas elliptiska integraler. Elliptiska integraler dök sedan upp i alla möjliga sammanhang, ett välkänt eempel är vid analsen av den matematiska pendeln. Dessa integraler studerades därför av bl.a. Euler, som upptäckte deras additionsformler, och Legendre, som ägnade år av sitt liv åt dem. Men det stora genombrottet vad gällde förståelsen av dessa integraler kom med Abel och Jacobi, som upptäckte att det man ska studera är integralernas inversa funktioner. Dessa fick namnet elliptiska funktioner och har den förvånande egenskapen att de inte bara är periodiska, utan, när man ser dem som funktioner av en komple variabel, dubbelperiodiska. Abel förstod dessutom den djupare innebörden av de additionsformler som vi ska diskutera i denna artikel. Vid den här tidpunkten, i början på 8-talet, var komple anals i sin linda, och det var inte förrän med Riemann som man börjarde förstå dessa elliptiska funktioner på ett djupare, mer geometriskt, plan. Riemanns insikt var att de inte skulle studeras som funktioner i det komplea talplanet, utan som funktioner på en speciell, -dimensionell,

3 Om elliptiska integraler och funktioner () ta som kom att kallas en Riemannta. I fallet med de elliptiska funktionerna var denna ta en torus, vilket förklarar deras dubbla perioder. I detta kapitel ska vi plocka ut några av de tidiga nckelstegen i denna utveckling för att illustrera de elliptiska funktionerna och integralerna. Dock ska vi inte göra en mer sstematisk genomgång, den lämnar vi boken omriemanntor. Det är också skälet till att vi inte väljer att diskutera Weierstrass mer grundläggande konstruktion av elliptiska funktioner. En alternativ sn på sinusfunktionen De trigonometriska funktionerna uppkommer egentligen inte ur anals av trianglar, utan från ett problem som har med cirkeln att göra: kordaproblemet. Problemet var aktuellt under antiken inom astronomin och handlar om att avgöra hur lång en given korda (röd) är, uttrckt i motsvarande båglängd (blå). Det är klart att om vi löser det problemet när cirkeln är enhetscirkeln så har vi löst det allmänt också. Den förste vi känner till som diskuterade detta var greken Hipparkus, någon gång kring 5 f.kr. Den indiska astronomen Arabhata valde på 5-talet e.kr. att istället titta på halva kordans längd och tabulera den som funktion av motsvarande vinkel (som ju på enhetscirkeln är detsamma som motsvarande båglängd om vi mäter i radianer). Därmed var sinusfunktionen född. Om vi lägger en kurva i ett ortonormerat koordinatsstem, så gäller att en liten kurvbit kan approimeras som hpotenusan i en rätvinklig triangel, och denna approimation blir bara bättre och bättre ju kortare bågen är. Man inför därför det s.k. bågelementet ds som, enligt Ptagoras sats, ges av uttrcket ds = d + d, där d, d är kateterlängderna. Eftersom ekvationen för enhetscirkeln + =, har vi för den först att d + d =, och ur det får vi att ds = + ( ) d = d C så länge som >. s A En rent geometrisk motivering för detta illustreras i D figuren till höger. En liten ändring i leder till en liten ändring i s, och omvänt. Vad figuren visar är att en ökning av s med förlänger s med längden s som approimativt är längden av den räta linjen CA. Triangeln ADC är nästan likformig med triangeln OBA, som vi ser O B från vinklarna. Den vore likformig om linjen OA vore vinkelrät mot linjen CA. Men linjen CA är nästan parallell med tangenten till cirkeln i punkten A, vilket betder att vinkeln där är (nästan) rät. Om likformigheten gällde fullt ut, skulle vi ha att sträckan CA förhåller sig till

4 Om elliptiska integraler och funktioner 3 () som förhåller sig till, och alltså s = /. I verkligheten gäller detta endast approimativt, men (den relativa) approimationen blir bara bättre och bättre, ju mindre vi gör, vilket betder att vi har relationen ds = d/. Ur detta får vi sedan att vi kan beräkna längden av den del av enhetscirkeln som svarar mot halvkordan, ur integralen s() = t. Det innebär att vi väljer att räkna båglängden med start i punkten (, ) och gå moturs. Notera att s() än så länge är definierad för och tar sina värden i intervallet [, π ] och att eftersom en kvartscirkel har båglängden π/, så gäller att π =. t Betrakta nu figuren höger. Vad den illustrerar är relationen s() + s() = s(z), och frågan är hur vi kan uttrcka z i och. Om vi skriver denna relation z = T (, ), så söker vi alltså den funktion T (, ) som är sådan att () + t T (,) = t t. s(z) z s() s() För stunden antar vi att,. Det är klart att T (, ) måste vara smmetrisk i och, och att T (, ) =, T (, ) =. Figuren till höger illustrerar en geometrisk härledning av funktionen T (, ). Båglängden från A till B är s() och båglängden från B till C är s(). Trianglarna C OEB, OF M, CDM s() är alla likformiga, vilket en anals av vinklarna visar (nckelvinkeln är visad i figuren). Från det har vi att CM = OE, MF OM =, MD = OE. z M D B s() Med hjälp av Ptagoras sats får vi ur detta att CF = CM + MF = + OM O F E A = + ( ).

5 Om elliptiska integraler och funktioner () Förenklar vi högerledet ser vi att () s() + s() = s(z), z = +. Så här långt har vi bestämt båglängden som funktion av halvkordan, s = s(). Den inversa funktionen är sinus-funktionen; = sin(s). Det betder att vi definierar sin(s) genom relationen (3) s = sin(s) t. Genom den blir sinusfunktionen definierad på intervallet [, π/] och väer på detta monotont från till. Vi ser också från (3) att vi kan utvidga definitionen av sinus, så att den blir en udda funktion på intervallet [ π/, π/], och är då strängt väande från till. Vidare har vi att d sin(s) = sin (s) ds = cos(s)ds, där vi av bekvämlighetsskäl infört funktionen cos(s) = sin (s). Vi ser då att cos( s) = cos(s) och att det gäller att cos (s) + sin (s) =. En alternativ definition av cosinus är att den är invers till funktionen t. Högerledet betder båglängden från den punkt på enhetscirkeln vars sin-värde är till toppen (, ), dvs denna definition innebär att vi definierar cos(s) = sin( π s). Att det ger samma definition följer t.e. ur figuren ovan om vi sätter C = (, ). Då är = sin(π/ s) och geometriskt har vi att = = sin (s). Än så länge är sinus och cosinus endast definierade då π/ s π/, och utgör en parametrisering av den högra halvan av enhetscirkeln. Vi kan dock utvidga dem så att de blir definierade för alla s genom att s (cos(s), sin(s)) ska vara en π-periodisk parametrisering av hela enhetscirkeln. Detta innebär att, för π/ s 3π/, vi ska definiera sin(s) = sin(s π), cos(s) = cos(s π). Om vi nu skriver α = s(), β = s() i formeln (), ser vi att den blir ekvivalent med att sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Genom t.e. derivation får vi en motsvarande formel för cosinusfunktionen.

6 Om elliptiska integraler och funktioner 5 () Som avslutning på detta avsnitt ska vi titta närmare på hur man löser ekvationen () analtiskt. Vi har att T (, ) ska vara smmetrisk i och, och att T (, ) =, T (, ) =. För att bestämma den kan vi bestämma nivåkurvorna till T, alltså de alltså de, som uppfller T (, ) =, genom att lösa ekvationen d + d =. I eemplet ovan, om vi multiplicerar upp nämnarna och använder att d( ) = d d/, så får vi att d( + ) = d + d d ( + d =. Det följer att nivåkurvorna till T (, ) är nivåkurvorna till +. Eftersom båda tar värdet då = följer att T (, ) = +. Vi ska nu se vad som händer om vi vill utvidga detta program till några andra kurvor än enhetscirkeln. 3 Lemniskatan Ett sätt att generalisera cirkeln är att splittra ekvationen P M = r i produkten av avståndet till P två punkter M, M ska vara konstant. Ekvationen blir alltså P M P M = r. Om punkterna sammanfaller får vi cirkeln, och vi kallar punkterna M, M för brännpunkter, i analogi med terminologin för ellipsen. Om vi även kräver att kurvan ska gå M M igenom mittpunkten på sträckan mellan M och M, så kallas kurvan för lemniskatan. Vi börjar med att kort härleda lemniskatas ekvation. Vi lägger vår koordinatsstem så att brännpunkterna ligger i punkterna (±a, ). Eftersom origo ligger på kurvan måste då produkten bli a, så vi har villkoren (( a) + )(( + a) + ) = a ( + ) = a ( ). Det är nu praktiskt att välja längdskalan så att a = /. Vi får då ekvationen ( + ) =, en kurva som förutom att gå genom origo också går genom (±, ). För att beräkna båglängden av denna (standardiserade) lemniskata, väljer vi att skriva om den i polära koordinater. Den ges då av ekvationen r(θ) = cos(θ).

7 Om elliptiska integraler och funktioner 6 () Ur detta följer att dθ = rdr/ sin(θ), med hjälp av vilket vi kan beräkna bågelementet som ds = r dr + r dθ = + sin (θ) dr = + r r dr = dr. r Vi får alltså följande uttrck för båglängden på lemniskatan: s(r) = r t. s(r) r Om vi betecknar lemniskatans omkrets med ω (i analogi med cirkeln), så får vi att ω ska bestämmas ur relationen ω = t vilket ger ett ω (som är mindre än π). En första fråga man kan ställa sig om lemniskatan är om vi kan hitta en formel för båglängdens fördubbling, dvs om radien r definierar båglängden s(r), vilken radie R ska vi då ta för att s(r) = s(r)? Det vi söker är alltså en funktion T (r) sådan att T (r) r =. t t Fagnano hittade redan 78 lösnigen på detta problem: T (r) = r r + r. s(r) r s(r) T (r) Vad denna formel visar är att det är möjligt att fördubbla båglängden på lemniskatan genom att endast använda passare och linjal, liksom man kan på cirkeln. Vi kan f.ö. jämföra med motsvarande formel för cirkeln, vilken är T () =.

8 Om elliptiska integraler och funktioner 7 () Anmärkning En variant på vad Fagnano kan ha observerat är följande. Med variabelbtet t = ( ± i)/ får vi att / t = ( ± i)d/. Detta ger oss att där ( + i)d = t ( + i)( i)dz = z = dz z, t = ( + i) z = ( + i)( i) = z z. z ( ( i)z z ) + z Men från denna observation är steget kort till att hitta en additionsformel för båglängden på lemniskatan. Det var Euler som hittade den, genom att utgå ifrån Fagnanos formel och vad som gäller på cirkeln. Det han räknade sig till var att om ( är en konstant) T (, ) = + +, så gäller att dt T = d, vilket i sin tur leder till att. () + t T (,) = t t. Att definiera en motsvarighet till sinusfunktionen för lemniskatan blir nu att definiera en funktion φ(s), s ω/, genom ekvationen s = φ(s) t, vilket går bra eftersom integranden är positiv. Den kallas lemniskatans sinusfunktion och betecknas (i varje fall i bland) sl(s). Dess värden kommer då att ligga i intervallet [, ], men vi kan fortsätta den till en udda funktion på intervallet [ ω/, ω/]. Derivatan av lemniskatans sinusfunktion får vi genom derivation av den relation som definierar den: sl (s) = sl(s). Liksom vi gör för de trigonometriska funktionerna kan vi fortsätta sl till en funktioner definierad på intervallet [ ω, ω] genom sl(s) = sl(s ω). När vi gjort det kan vi sedan fortsätta den så att de blir definierade på hela den reella tallinjen genom att göra dem ωperiodiska. I figuren nedan är grafen för sl ritad svart, medan den vanliga sinusfunktionen är ritad blå, som jämförelse.

9 Om elliptiska integraler och funktioner 8 () Från additionsformeln () får vi nu följande additionsformel för lemniskatans sinusfunktion: sl(r + s) = sl(r) sl(s) + sl(s) sl(r) + sl(r) sl(s). Vi kan också definiera en cosinus lemniskata funktion som inversen till så att s ω/ s t, cl(s) = sl( ω s). För att uttrcka den i sl(s) noterar vi att vi ska lösa ut som funktion av i ekvationen T (, ) =, vilket ger = /( + ). Med andra ord sl(s) cl(s) = + sl(s). Den är än så länge endast definierad på [, ω/], men kan först fortsättas till [ ω/, ω/] som en jämn funktion och därefter, analogt med hur vi gör för lemniskatans sinusfunktion, till en ω-periodisk funktion. Motsvarigheten till den trigonometriska ettan blir nu att sl(s) + cl(s) + sl(s) cl(s) =, dvs (cl(s), sl(s)) är en parametrisering med båglängd av kurvan + + =. Additionsformeln ovan kan alternativt skrivas sl(r) cl(s) + cl(r) sl(s) sl(r + s) = sl(r) cl(r) sl(s) cl(s). Vi ser alltså att på samma sätt som vi kan definiera de trigonometriska funktionerna med hjälp av cirkeln, kan vi definiera liknande funktioner med hjälp av lemniskatan. Dessa får liknande egenskaper (om än lite krångligare) som de vanliga trigonometriska funktionerna. Ur additionsformeln får vi att sl(r + s) + sl(r s) = från vilken vi ser, efter lite räknande att sl(r) sl (s) + sl (r) sl (s) sl(3r) = sl(r) 3 6 sl(r) sl(r) sl(r) 3 sl(r) 8,

10 Om elliptiska integraler och funktioner 9 () Anmärkning Ur detta följer att vi genom att lösa ekvationen sl(3r) = kan dela upp lemniskatan i 3 lika stora delar. Det intressanta är att vi för detta ska lösa ett polnom av grad 9. Detta har 3 reella rötter, vilka definierar uppdelningen, samt tterligare 6 lösningar som alla är imaginära. Om vi fortsätter så gäller att ekvationen sl(nr) = svarar mot att vi ska hitta nollställena till ett polnom av grad n. Den 9-årige Gauss funderade kring detta i sin dagbok 797. Dessa funderingar ledde honom till de elliptiska funktionerna, och år senare gjorde Abel samma upptäckt: man behövde utvidga funktionen till en funktion definierad för komplea tal. Med hjälp av induktion får vi vidare att sl(r) P n(sin(r) sl(nr) = Q n (sl(r) ) sl(r) P n(sl(r) Q n (sl(r) ) sl (r) n udda. n jämn där P n, Q n är polnom med heltalskoefficienter. Sats Den punkt på lemniskatan som svarar mot båglängd s kan konstrueras med hjälp av passare och linjal om och endast om talet r = sl(s) är konstruerbart. Bevis. Vi vet att lemniskatan kan skrivas r =, vilket betder att vi kan bestämma, med hjälp av rotutdragningar så blir, konstruerbara om r är det. Eempel Betrakta s = ω/3, som är en sjättedel av den totala båglängden. Vi har då att sl(3s) =, vilket betder att = sl(s) löser ekvationen =. Här kan vi lösa ut och få = 3 3, som är ett konstruerbart tal. Men de har mer förvånande egenskaper som de trigonometriska funktionerna saknar. Vi uppskjuter dock diskussion om dem tills vi har sett på några andra naturligt uppkommande elliptiska integraler. Andra additionsformler för elliptiska integraler Vi såg i föregående avsnitt hur båglängden på en cirkel leder till införandet av de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Vi ska nu titta på motsvarande problem på ellipsen. Ellipsen är som bekant den kurva för vilken det gäller att summan av avstånden till två givna punkter är konstant. Om vi väljer koordinatsstemet rätt och längdskalan så att summan av längderna ska vara, betder det att dess ekvation ges av + =, < b <. b Differentierar vi denna får vi ekvationen d + d/b = och med hjälp av det kan vi beräkna båglängden till ds = d + d = + ( b ) d = + b d = b ( b ) d.

11 Om elliptiska integraler och funktioner () Om vi inför eccentriciteten e > genom e = b, betder det att båglängden ges av integralen s(, e) = b e d = ( e )d ( )( e ). En snarlik integral dker upp i fsiken, i samband med den matematiska pendeln 3, nämligen d e(, k) = ( )( k ). Även för dessaa integraler hittade Euler additionsformeler med samma sorts struktur som de som beskriver båglängden för en cirkel eller lemniskata. Mer precist fann han att om vi sätter T k (, ) = ( )( k ) + ( )( k ) k så gäller att (5) e(, k) + e(, k) = e(t k (, ), k). medan formeln för ellipsens båglängd är lite mer komplicerad s(, k) + s(, k) = s(t k (, )) + k T k (, ). Som tidigare nämnts så kom en djupare förståelse av dessa formler med Abel, som visade en mer generell form av formlerna 5 Jacobis elliptiska funktioner Ett alternativt uttrck för integralen e(, k) får vi om vi sätter = sin φ. I denna variabel blir integralen F F (φ, k) = φ dφ k sin φ, som är lite bekvämare att arbeta med. Eempel på dessa är ritade i figuren till höger. De blå kurvorna representerar tterlighetsfallen k = (den räta linjen) och k = (som är primitiv funktion till / cos φ), medan den röda visar grafen för F då k =.8. Det var denna integral Abel och Jacobi inverterade, d.v.s de löste ekvationen F (φ(u), k) = u. Lösningen φ(u) kallade Jacobi för amplituden av u, φ(u) =.5.5 φ am(u). Ursprungsfunktionen = sin φ blev då sin am(u), vilket Guderman förkortade till sn(u) (eller sn(u, k) om vi vill specificera k). Dessutom införde Jacobi den relaterade elliptiska funktionerna som definieras av cn(u) = cos φ, dn(u) = k sin φ = k sn (u).

12 Om elliptiska integraler och funktioner () För dessa funktioner har vi direkt att sn (u) + cn (u) =, dn (u) + k sn (u) =. och att sn(u) kan utvidgas till en udda funktion medan cn och dn utvidgas till jämna funktioner. Om vi sätter K = d π/ ( )( k ) = dφ k sin φ K 3 kan vi sedan fortsätta sn först till att vara definierad för K u 3K genom relationen sn(u) = sn(u K), och därefter som en K-periodisk funktion. Detsamma gäller de andra elliptiska funktionerna, utom det att dn(u) blir K-periodisk. Grafen till höger illustrerar K som funktion av k. Vi kan notera att då k = är sn = sin etc, och alltså K = π/. När k = blir sn(u, k).5 invers funktion till k t = ln +, vilket betder att sn(u, ) = tanh(u). På motsvarande sätt är cn(u, ) = dn(u, ) = / cosh(u). I figuren nedan är delar av graferna ritade för olika k-värden (k = (blå), k = / (grön), k =.99 (röd) och k = (orange)). Den vänstra figuren i första raden föreställer sn, och den högra cn, medan figuren i andra raden föreställer dn Additionsformeln (5) ger oss nu att sn(u + v) = sn(u) cn(v)dn(v) + sn(v) cn(u) dn(u). k sn (u) sn (v)

13 Om elliptiska integraler och funktioner () Ur denna får vi sedan motsvarande formler för cn(u) och dn(u). Dessutom ser vi direkt från definitionerna att d sn(u) = cn(u) dn(u), d cn(u) = sn(u) dn(u), d dn(u) = k sn(u) cn(u). Anmärkning Vi kan (naturligtvis) uttrcka lemniskatans funktioner i Jacobis elliptiska funktioner, nämligen som sl() = sn(, ) dn(, ), cl() = cn(, ). Att så är fallet beror på att funktionen φ(, k) = sn(, k)/ dn(, k) är invers funktion till integralen ( (k ) t )( + k t ), där k = k. Legendres stora bidrag till teorin för elliptiska integraler var egentligen att han visade att en allmän elliptisk integral på formen r()d p() där r() är en rationell funktion i och p() ett fjärdegradspolnom, kan reduceras till problemet att bestämma integraler av tre tper: e(, k) och s(, k) ovan och π(, n, k) = ( + nt ) ( t )( k t ). (strict sett skrev han på lite annat sätt detta är Jacobis form på dem). Legendre kallade dessa elliptiska integraler av första, andra och tredje ordningen. Även för elliptiska integraler av tredje ordningen har vi en additionsformel, nämligen, med z = T k (, ), π(, n, k) + π(, n, k) = π(z, n, k) + pnz arctan( p + nz n ( z )( k z ) ), då p = ( + n)( + k /n) >, med ett motsvarande uttrck när p <. 6 Ut i det komplea För sinusfunktionen har vi additionsformeln sin( + ) = sin cos + sin cos för alla reella tal,. Det är nu frestande att använda detta till att definiera sin z för ett komplet tal z = + i genom sin z = sin cos(i) + sin(i) cos.

14 Om elliptiska integraler och funktioner 3 () Vi måste bara komma underfund vad sin(i) och cos(i) ska vara för något. Om vi går tillbaka till definitionen av sinusfunktionen ovan ska det gälla att i = sin(i) t (annars kan vi inte hoppas på att additionsformeln ska gälla). Om vi nu gör variabelbtet t = iu i integralen, får vi att = i sin(i) du + u, vilket betder att sin(i) = i sinh(). Ur det får vi sedan att cos(i) = cosh(). Additionsformlerna innebär därför att vi ska definiera sin z = sin cosh i cos sinh, och det ska ge en π-periodisk funktion definierad i hela det komplea planet. Däremot har den ingen annan period. Om det nämligen finns ett ω = a+ib, sådant att sin(z+ω) = sin z för alla komplea tal, så gäller att sin( + a + ib) = sin( + a) cosh b + i cos( + a) sinh b = sin för alla reella. Det betder att sinh b =, och alltså att b =. Men då följer att a måste vara en multipel av π. Låt oss nu göra samma sak med lemniskatans sinusfunktion. Liksom ovan vill vi då komma underfund med vad sl(i) ska betda, varför vi sätter in i i den definierande integralrelationen i = sl(i) i sl(i) = i t du u med samma variabelbte som ovan. Det betder att sl() = i sl(i) och alltså sl(i) = i sl(). Det följer att cl(i) = cl() och alltså att vi kan definiera sl för komplea z = +i genom sl() cl() + i sl() cl() sl(z) =. sl() sl() Men det intressanta här är att sl får tterligare en period, eftersom sl är ω-periodisk, blir sl(i) = i sl() en iω-periodisk funktion. När vi därför utvidgar sl till en funktion i det komplea talplanet med hjälp av additionsformeln får vi en dubbelperiodisk funktion. Dem får de två perioderna ω och iω. En konsekvens av att sl(z) är dubbelperiodisk är att den inte går att uttrcka på något sätt i de elementära funktionerna, vilket alltså gäller alla dubbelperiodiska funktioner. För att definiera sn-funktionen för imaginära tal gör vi först variabelbtet = i i integralen i d iu = i ( + )( + k ) för att sedan göra transformationen = tan ψ i denna: u = i tan ψ dψ cos ψ ( + tan ψ)( + k tan ψ) = i tan ψ dψ k sin ψ

15 Om elliptiska integraler och funktioner () där k = k. Detta betder att sn(iu, k) = i tan ψ där sin ψ = sn(u, k ). Det följer att sn(iu; k) = i sn(u; k ) cn(u; k ), cn(iu; k) = cn(u, k ), dn(iu; k) = dn(u; k ) cn(u : k ). Med hjälp av additionsformlerna ovan kan vi nu utvidga inte bara sn, utan även cn och dn till hela det komplea talplanet C. Dessa blir alla dubbelperiodiska funktioner; sn(u) får perioderna K och ik, där K är beräknad som K, fast med k utbtt mot k, medan cn(u) får perioderna K, ik och dn(u) perioderna K, ik. Det innebär att vi endast behöver studera dessa funktioner i en rektangel i det komplea talplanet för att lära känna dem fullständigt. 7 Riemann och fortsättnignen Riemanns stora bidrag var att förstå att vi inte skulle se differentialformerna R(, p())d som differentialformer på C, utan som differentialformer på tan = p() i C. Denna ta, som kom att kallas en Riemannta, förklarar väldigt mcket av det vi ser. Den ta som svarar mot enhetscirkeln ( = ) ser topologiskt ut som en clinder, eller, hellre, en sfär i vilken nord- och sdpolen svarar mot punkter i oändligheten. En sådan ta kan parametriseras i rationella funktioner, vilket väsentligen betder att en integral R(, )d kan lösas genom att man först uttrcker den i de trigonometriska funktionerna och sedan gör Weierstrass tangenshalvasubstitution. Resultatet kan därför uttrckas i elementära funktioner. Den ta som svarar mot = p() där p() är ett fjärdegradspolnom med fra olika nollställen ser istället topologiskt ut som en torus, vilket man inser genom att ta två plan på vilka man gör snitt mellan samma par av nollställen och sedan klistrar ihop dem lämpligt. Hur man gör detta mer detaljerat diskuteras i artikeln Vad är Riemanntor och vad är de bra till?. Det viktiga är att en funktion som är definierad på en torus har två perioder, vilket betder precis att de elliptiska funktionerna blir dubbelperiodiska. Additionsformlerna i sin tur fick sin geometriska förklaring redan av Abel, i en sats som på ett naturligare sätt leder till de formler som vi diskuterat ovan och andra för andra polnom. De elliptiska funktionerna blev på detta sätt starten på en helt n matematisk disciplin, teorin om Riemanntor, som ledde till inte bara högre-dimensionella generaliseringar, utan även områden som algebraisk geometri, i vilken man studerar just tor som definieras av polnomekvationer p(, ) =. Noteringar. Om detta, se artikelnweierstrass elliptiska funktioner. Som ju är att summan av avstånden ska vara konstant 3. För härledning, se artikeln Den matematiska pendeln. Vi har bara nämnt tre av Jacobis elliptiska funktioner. I verkligheten definierade han nio stcken, av vilka en är kvoten sn / dn.