Matematiska tillämpningar i 3Dgrafik

Transkript

1 LITH-ITN-EX 4/37--SE Matematiska tillämpningar i 3Dgrafik Eamensarbete utfört i Matematik och grafik vid Linköpings Tekniska Högskola, Campus Norrköping Patrik Totero Julian Shabo Handledare: George Basta och Sasan Gooran Eaminator: George Basta och Sasan Gooran Norrköping

2 Avdelning, Institution Division, Department Institutionen för teknik och naturvetenskap Datum Date Department of Science and Technolog Språk Language Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttp Report categor Eamensarbete B-uppsats C-uppsats D-uppsats ISBN ISRN LITH-ITN-EX 4/37--SE Serietitel och serienummer ISSN Title of series, numbering URL för elektronisk version Titel Title Matematiska tillämpningar i 3D-grafik Mathematical applications in 3D-graphics Författare Author Patrik Totero Julian Shabo Sammanfattning Abstract 3D-grafiken fick sitt stora genombrott när processorernas kapacitet ökade markant i och med lanseringen av Pentium- och PowerPCprocessorerna. Särskilt stort blev genombrottet då Pentium MMX lanserades. Pentium MMX kunde hantera 8 bitar åt gången istället för 2 bitar och den hade även inbggt stöd för 3D-grafik och multimedia. Detta arbete ta upp hur 3D-grafiken fungerar och hur föremål presenteras på skärmen. Grafik beskrivs med hjälp av lineär algebra, d.v.s. vektorgeometri och matriser. Med operationer som matrismultiplikation kan man translatera, förstora/förminska och rotera objekt i den grafiska rmden. Arbetet är koncentrerat på de matematiska beskrivningarna av 3D-grafiken och inte hur man programmerar dem. Däremot kommer arbetet att avslutas med ett program i Java 3D för att visa hur en tillämpning av de mest grundläggande funktionerna som bgger upp enkla 3D-objekt kan uttrckas i ett programmeringssammanhang.[8] För att skapa en förståelse för hur grafiska objekt ritas upp på skärmen beskrivs hur de mest grundläggande grafiska elementen som t.e. linjer, cirklar och ellipser skapas. Det finns ett flertal olika algoritmer som tagits fram genom åren i sfte att skapa dessa element. 2D-grafiken ligger som grund för att förstå och beskriva hur 3D-grafiken fungerar. Här skapas en grundläggande förståelse för hur objekt representeras i olika koordinatsstem, hur objekt modifieras i dessa samt hur bte av koordinatsstem fungerar. Objekt kan translateras, skalas och roteras. Dessa operationer kan uttrckas matematiskt m.h.a. transformationsmatriser. För att välja ut en del av en bild används klippning. Klippning utförs mot ett gränsplan i sfte att ta bort den information i bilden man inte vill se. De flesta operationer som används i två dimensioner har vidareutvecklats för att kunna beskriva objekt i tre dimensioner. 3D-grafiken är ett mcket omfattande ämne. Konceptet och de grundläggande principerna för 3D-grafik är viktiga för att förstå hur det fungerar. Olika tredimensionella objekt och tor som t.e. polgoner och ekvationer för olika plan är viktiga element för att kunna skapa tredimensionella former. Ett flertal avancerade figurer i 3D-rmden som t.e. torus och superellipser används mcket i 3D-design. För att modifiera ett objekt, används transformationer i tre dimensioner. För att dessa sedan ska kunna visas på en skärm, projiceras en 3D-scen tvådimensionellt på skärmen. Det finns olika sätt att betrakta en 3D-scen på, olika s.k. betraktningsvolmer. I detta arbete kommer dessa tekniker att beskrivas. 3D-grafiken kommer att integreras alltmer i människornas vardag genom att bgga in stöd för detta i fler apparater. Datoranvändarens arbetsmiljö t.e. är på väg att ta steget in i 3D-grafiken med det tredimensionella skrivbordet som håller på att utvecklas av de ledande dataföretagen. Grafikmaskiner utvecklas konstant för att förbättras och ett steg i detta för att effektivisera presentationen av 3D-grafik är att bgga in s.k. grafiska bibliotek (OpenGL, DirectX m.fl.) som i sin kommer att bli mer avancerade och omfattande. Även datorns huvudprocessor och grafikprocessor kommer att utvecklas i mcket snabb takt i form av högre arbetsfrekvens och betdligt större och snabbare minne. Nckelord Keword 3D-grafik, 3D-graphics Matematik, Mathematics Datorgrafik, Computer graphic Java 3D

3 Eamensarbete LITH-ITN-EX 4/37--SE Matematiska tillämpningar i 3D-grafik Patrik Totero Julian Shabo Department of Science and Technolog Linköpings Universitet SE-6 74 Norrköping, Sweden Institutionen för teknik och naturvetenskap Linköpings Universitet 6 74 Norrköping

4 Sammanfattning 3D-grafiken fick sitt stora genombrott när processorernas kapacitet ökade markant i och med lanseringen av Pentium- och PowerPC- processorerna. Särskilt stort blev genombrottet då Pentium MMX lanserades. Pentium MMX kunde hantera 8 bitar åt gången istället för 2 bitar och den hade även inbggt stöd för 3D-grafik och multimedia. Detta arbete ta upp hur 3D-grafiken fungerar och hur föremål presenteras på skärmen. Grafik beskrivs med hjälp av lineär algebra, d.v.s. vektorgeometri och matriser. Med operationer som matrismultiplikation kan man translatera, förstora/förminska och rotera objekt i den grafiska rmden. Arbetet är koncentrerat på de matematiska beskrivningarna av 3D-grafiken och inte hur man programmerar dem. Däremot kommer arbetet att avslutas med ett program i Java 3D för att visa hur en tillämpning av de mest grundläggande funktionerna som bgger upp enkla 3D-objekt kan uttrckas i ett programmeringssammanhang.[8] För att skapa en förståelse för hur grafiska objekt ritas upp på skärmen beskrivs hur de mest grundläggande grafiska elementen som t.e. linjer, cirklar och ellipser skapas. Det finns ett flertal olika algoritmer som tagits fram genom åren i sfte att skapa dessa element. 2D-grafiken ligger som grund för att förstå och beskriva hur 3D-grafiken fungerar. Här skapas en grundläggande förståelse för hur objekt representeras i olika koordinatsstem, hur objekt modifieras i dessa samt hur bte av koordinatsstem fungerar. Objekt kan translateras, skalas och roteras. Dessa operationer kan uttrckas matematiskt m.h.a. transformationsmatriser. För att välja ut en del av en bild används klippning. Klippning utförs mot ett gränsplan i sfte att ta bort den information i bilden man inte vill se. De flesta operationer som används i två dimensioner har vidareutvecklats för att kunna beskriva objekt i tre dimensioner. 3D-grafiken är ett mcket omfattande ämne. Konceptet och de grundläggande principerna för 3Dgrafik är viktiga för att förstå hur det fungerar. Olika tredimensionella objekt och tor som t.e. polgoner och ekvationer för olika plan är viktiga element för att kunna skapa tredimensionella former. Ett flertal avancerade figurer i 3D-rmden som t.e. torus och superellipser används mcket i 3D-design. För att modifiera ett objekt, används transformationer i tre dimensioner. För att dessa sedan ska kunna visas på en skärm, projiceras en 3D-scen tvådimensionellt på skärmen. Det finns olika sätt att betrakta en 3D-scen på, olika s.k. betraktningsvolmer. I detta arbete kommer dessa tekniker att beskrivas. 3D-grafiken kommer att integreras alltmer i människornas vardag genom att bgga in stöd för detta i fler apparater. Datoranvändarens arbetsmiljö t.e. är på väg att ta steget in i 3D-grafiken med det tredimensionella skrivbordet som håller på att utvecklas av de ledande dataföretagen. Grafikmaskiner utvecklas konstant för att förbättras och ett steg i detta för att effektivisera presentationen av 3D-grafik är att bgga in s.k. grafiska bibliotek (OpenGL, DirectX m.fl.) som i sin kommer att bli mer avancerade och omfattande. Även datorns huvudprocessor och grafikprocessor kommer att utvecklas i mcket snabb takt i form av högre arbetsfrekvens och betdligt större och snabbare minne. 2

5 Innehållsförteckning INLEDNING BAKGRUND SYFTE PROBLEMFORMULERING BEGRÄNSNINGAR METOD INTRODUKTION MATEMATIK PUNKTER OCH LINJER ALGORITMER FÖR LINJERITNING DDA Algoritmer Bresenhams algoritm Algoritmer för parallella linjer CIRKELSKAPANDE ALGORITMER Egenskaparna hos cirklar Algoritmen för mittpunktscirklar ELLIPSSKAPANDE ALGORITMER Egenskaparna hos ellipser Algoritmen för mittpunktsellipser ALGORITMER FÖR ANDRA KURVOR Konformade sektioner Polnomer PIXELADRESSERING Koordinater för skärmens rutnät Upprätthålla geometriska egenskaper för snliga objekt D TEKNIKER INLEDNING VEKTORERANALYS OPERATIONER MED VEKTORER EN VEKTORS STORLEK, ENHETSVEKTORER TRANSFORMATIONER Translation Rotation Skalning MATRISREPRESENTATION OCH HOMOGENA KOORDINATER Translation med homogena koordinater Rotation med homogena koordinater Skalning med homogena koordinater SAMMANSATTA TRANSFORMATIONER Translation Rotation Skalning Nckelpunktrotation Fastpunkt-skalning Sammansatta alternativ ANDRA TRANSFORMATIONER Reflektion

6 3.8.2 Shear TRANSFORMATION MELLAN OLIKA KOORDINATSYSTEM TVÅDIMENSIONELL VY Visningskanaler Referensramen för vkoordinater Koordinattransformation mellan fönster och objektfönster KLIPPNINGSMETODER Punktklippning Linjeklippning Polgonklippning ANVÄDNINGSOMRÅDE FÖR 2D-GRAFIK D TEKNIKER INLEDNING D KONCEPTET VISNINGSMETODER I 3D Parallell projektion Perspektiv projektion Djupanpassning Identifiering av snliga linjer och tor POLYGONER Polgontabeller Planets ekvation Polgonnät KVADRATISKA YTOR Sfär Ellipsoid Torus SUPERKVADRATISKA YTOR Superellips Superelipsoid BÉZIER-KURVOR de Casteljau algoritmen Béier-kurvors egenskaper D TRANFORMATIONER Translation Rotation Rotationer runt koordinatalar Generella tredimensionella rotationer... 7 Rotationer med kvaternion Skalning ANDRA TRANSFORMATIONER Reflektion Shear TREDIMENSIONELL VY Bestämma vplanet Transformation från rumskoordinater till vkoordinater PROJEKTION Parallell projektion Perspektivprojektion BETRAKTNINGSVOLYMER Generella parallellprojektionstransformationer Generella perspektivprojektionstransformationer KLIPPNINGSMETOTER

7 4.3. Klippning i objektfönster Klippning med homogena koordinater IDENTIFIERING AV SYNLIGA OCH OSYNLIGA YTOR Metodklasser Baksideseliminering Djupbuffertmetoden Double buffer Ra-casting FRAMTIDENS 3D-GRAFIK PRAKTISK TILLÄMPNING VERTEX_HC.JAVA VECTOR_C.JAVA POLYGONS.JAVA POLYGONMESH.JAVA MATRIX_HC.JAVA LIGHT.JAVA COLORS.JAVA GRAPHICWINDOW.JAVA CONTROLWINDOW.JAVA ICOSAHEDRON.JAVA MAINMETHOD.JAVA APPENDIX APPENDIX A, SKALÄRPRODUKT APPENDIX B, KRYSSPRODUKT APPENDIX C, VEKTOR- OCH MATRISMULTIPLIKATION APPENDIX C, VEKTOR- OCH MATRISMULTIPLIKATION APPENDIX D, HÖGERORIENTERADE- OCH VÄNSTERORIENTERADE KOORDINATSYSTEM APPENDIX E, KVATERNION SLUTSATS DISKUSSION REFERENSER

8 Inledning. Bakgrund Ofta när man läser matematiska kurser (teoretiska kurser) kan det vara svårt att sätta fingret på hur dessa kunskaper ska tillämpas praktiskt. Det underlättar en hel del och stärker motivationen till studierna om man vet hur och till vad dessa teoretiska kunskaper kan användas. Med detta som bakgrund vill vi visa hur lineär algebra används i 3D-grafik, särskilt med tanke på att 3D-grafik blir allt viktigare i datorbranschen och får allt större utrmme. Även något så fundamentalt som användarens skrivbord kan komma att bli tredimensionellt (3D skrivbord från SUN Microsstem är ett eempel)..2 Sfte Att studera strukturen i 3D-grafik och hur det hänger samman med lineär algebra. Att göra praktiska tillämpningar som visar grafiskt vad matematiken gör. Arbetet ska kunna användas som studiematerial för de som läser 3D-grafik. Upplägget ska vara så pedagogiskt som möjligt vilket ska göra det enkelt för studenter att förstå principerna och förhoppningsvis få en aha-upplevelse för såväl matematiken som 3D-grafiken. 6

9 .3 Problemformulering Hur ritas grundläggande objekt t.e. punkter och linjer på skärmen? Vilka principer och tekniker används i 2D men framför allt i 3D för att skapa grafiska objekt? Hur modifierar man objekt? Hur kan man praktiskt visa användning av lineär algebra i 3D-grafik?.4 Begränsningar Arbetet koncentreras på 3D-grafik, men för att underlätta förståelsen och skapa en helhet i arbetet kommer vi översiktligt att gå igenom hur olika primitiva objekt och 2D fungerar. När det gäller 3D kommer vi detaljerat att gå igenom hur de mest förekommande objekten skapas och modifieras från grunden. Dock kommer vi inte att ta upp ljussättning och tetur- och trendering då detta inte behövs för att visa och skapa förståelse för hur lineär algebra används i 3D-rmden..5 Metod Vi började med en spånskiva där vi fick fram vilka delar som var väsentliga för arbetet. För att få en förståelse för hur 3D-grafiken fungerar delade vi upp arbetet i fra delar; en introduktion med grundläggande grafiska förklaringar, grunderna i 2D-grafik som en förutsättning för att förstå 3Dgrafik, huvuddelen i projektet, d.v.s. 3D-grafik och ett praktiskt programmeringsmoment. Vi delade sedan upp dessa fra delar i mindre komponenter för att lättare kunna angripa frågeställningen. Vi utförde en omfattande litteraturstudie för varje komponent. De kunskaper vi införskaffade oss sammanställdes i detta projekt. 7

10 Introduktion I detta kapitel Punkter och linjer Algoritmer för linjeritning Cirkelskapande algoritmer Ellipsskapande algoritmer Algoritmer för andra kurvor Pieladressering 2. Matematik I detta kapitel kommer en del matematiska termer som används vid ritandet och visualiseringen av grafiska objekt att tas upp. Funktioner som räta linjens ekvation bör redan vara bekant för läsaren sedan tidigare analskurser. Man bör även sedan tidigare ha kunskaper i lineär algebra. 8

11 2.2 Punkter och linjer En punkt på skärmen plottas genom att konvertera en koordinatposition, som anges av ett visst program, till passande operationer på en utmatningsenhet som t.e. en skärm. I en CRT skärm slås eempelvis elektronernas värde på för att belsa skärmen vid den angivna positionen. Hur elektronens position tas fram skiljer sig mellan olika skärmar. Ett sstem av vektorer lagrar instruktionerna för plottning av punkter i en lista, och koordinatvärdena i dessa. Instruktionerna konverteras till böjningar i voltspänningen som anger positionen för olika elektroner på de platser på skärmen där punkterna ska plottas varje gång skärmbilden uppdateras. I ett svartvitt rastersstem plottas en punkt genom att sätta bitvärdet till en specificerad position på skärmen till och lagra det i en rambuffert. När en elektronbom sveps horisontellt över skärmen, emitteras en stråle av elektroner varje gång värdet läses upp ur rambufferten. I ett RGB sstem däremot, laddas rambufferten i olika färgkoder med olika intensiteter i de beräknade positionerna. En linje ritas genom att beräkna de mellanliggande positionerna längs en linjes bana mellan två specificerade ändpunkter. För att linjen som ritas upp ska bli jämn och fin genereras olika horisontella och vertikala punkter som är proportionella mot ändringarna i - och -leden för den ritade linjen. Digitala enheter visar en rak linje genom att plotta diskreta punkter mellan två slutpunkter. Diskreta koordinatpositioner längs en linjes bana beräknas utifrån linjens ekvation. För en rastervideoskärm, lagras färgintensiteten för en linje i rambufferten för de motsvarande pielkoordinaterna. Linjen plottas genom att grafikkortet läser in de värden som finns lagrade i rambufferten. Positionerna på själva skärmen anges som heltal. Om man har t.e. positionen (5,45, 6,89), kommer dessa värde att konvertera till pielkoordinater (5, 6) vilket gör att linjen får ett trappstegsliknande form, se figur 2-. Trappstegsformen för linjer blir tdligare på skärmar med låg upplösning. Detta kan man förbättra genom att använda skärmar med högre upplösning, men det finns även algoritmer som justerar pilarnas intensitet och därmed linjens form. Figur 2-. Trappstegseffekten uppkommer då man ritar en linje som en serie eller sekvens av pielpositioner. Raster-grafiska enheter använder en annan teknik för att rita upp linjer. Positionerna för olika punkter anges direkt i heltalsvaiabler genom att läsa dessa utifrån kolumner och rader på skärmen. Angivelserna i vertikalled börjar från den nedersta kanten på skärmen vilket anges som och 9

12 stegar uppåt. Angivelserna i horisontell led börjar längst från vänster som anges med och stegar mot höger, se figur 2-2. [] Linje Kolumn Figur 2-2. Pielpositioner anges enligt radoch kolumnnumret. 2.3 Algoritmer för linjeritning Ekvationen för en linje ser ut enligt följande: = k. + m (2-) där k är linjens riktningskoefficient, m är förskjutningen i -led och är skärningspunkten på - aeln. Utifrån två angivna slutpunkter ( ) och ( 2 2 ), se figur 2-3, kan vi beräkna m, och lutningen k enligt följande: k = 2 2 (2-2) m = - k. (2-3) 2 2 Figur 2-3. Linjebana mellan två ändpunkter ( ) och ( 2 2 )

13 Algoritmen för linjeritning baseras på ekvation 2- och på beräkningarna från ekvationerna 2-2 och 2-3. För ett visst givet -intervall ', längs linjens bana, kan det motsvarande -intervallet ' beräknas: På liknande sätt kan vi beräkna ' utifrån motsvarande ': ' = k ' (2-4) ' = ' (2-5) k Ekvationerna ovan utgör grunderna för beräkning av böjningarna i voltspänningen i de analoga enheterna. Om linjen har en lutning k <, kan ' sättas proportionell mot en liten horisontell böjningen i voltspänningen och den motsvarande vertikala lutningen sätts då proportionell till ' i enlighet med ekvation 2-4. Om linjens lutning är k >, kan ' sättas proportionell mot en liten vertikalböjning i voltspänningen och den motsvarande horisontella lutningen sätts då proportionell till ' i enlighet med ekvationen 2-5. I rastersstem plottas linjer med pilar genom att stega i horisontell- och vertikalled begränsat med en piels avstånd, d.v.s. vi samplar linjen vid vissa punkter och bestämmer närmaste piel vid varje samplad punkt. Denna metod kallas för scan-conversion process. [] 2.3. DDA Algoritmer Digital Differential Algorithm är en scan-conversion algoritm baserad på beräkningarna av ' och ' enligt ekvationerna 2-4 och 2-5. Vi samplar en linje med vissa enhetsintervall i ett koordinatsstem och bestämmer motsvarande heltalsvärden närmast linjen i koordinatsstemet. Om vi har en linje med en positiv lutning där lutningen är mindre än eller lika med, samplar vi med enhetsintervall ('=) och beräknar varje på varandra följande värde: k+ = k + m, k =,2, 3,... och m = till (2-6) för linjer med en lutning större än vänder vi om på och :s roller, dvs vi samplar med enhetsintervall ('=) och beräknar varje på varandra följande värde: k+ = k + m (2-7) Ekvationerna 2-6 och 2-7 baseras på antagandet att linjerna ritas från den vänstra slutpunkten till den högra. Om man däremot ritar linjerna från högra slutpunkten till den väntra har vi antingen ' = - och

14 eller också har vi ' = - och k+ = k - m (2-8) k+ = k - m (2-9) Ekvationerna 2-6 till 2-9 kan också användas för att beräkna pilarnas positioner längs en linjes bana med negativ lutning. Om det absoluta värdet på lutningen är mindre än och slutpunkten där en n linje startar är till vänster, sätter vi ' = och beräknar värdena enligt ekvation 2-6. Om slutpunkten där en n linje startar är till höger sätter vi ' = - och beräknar värdena enligt 2-8. På liknande sätt om det absoluta värdet på lutningen är större än, sätter vi ' = - och ekvation 2-9 eller ' = och ekvation 2-7. DDA algoritmen är betdligt bättre och snabbare än den metod man använder i ekvation 2-. Den eliminerar multiplikationen i ekvation 2- genom att använda raster så att ökningen tillämpas på eller riktning på pilarna. Nackdelen med denna metod är eliminering av decimalerna i positionerna, vilket kan leda till att punkterna avviker från de riktiga positionerna de egentligen skulle ha haft. [] Bresenhams algoritm En mer noggrann och effektiv metod för ritande av rasterlinjer är en algoritm som Bresenham tog fram. Linjerna ritas upp genom att använda inkrementella heltalsberäkningar som kan tillämpas på cirklar och kurvor. Linjen samplas i ett antal enhetsintervall och sedan bestäms vilken av två möjliga pilar eller punkter som ligger närmast linjen och som ska plottas. Om man börjar från linjens vänstra slutpunkt bestämmer man att antingen sampla på aktuell punkt eller den kommande punkten. Om man däremot börjar från linjens högra slutpunkt bestämmer man att antingen sampla på aktuell punkt eller föregående punkt. Detta innebär att man testar tecknet för olika parametrar, vilkas värde är proportionella till differensen mellan två pilar eller punkter längs linjen, se figur 2-4. [5] För att illustrera hur Bresenhams algoritm fungerar, betraktar vi en linjebana med positiv lutning större än, se figur 2-4a. Pilarnas positioner bestäms genom att sampla ett antal enhetsintervall. Om vi startar från linjens vänstra slutpunkt ( ), stegar vi successivt till varje kolumn ( positioner) och plottar den piel vars värde är närmast linjens bana. Anta att vi har bestämt att piel ( k k ) ska ritas, bestämmer vi härnäst vilken piel som ska ritas i positionen k+. Nästkommande två pilar som ska ritas väljer vi på positionerna ( k+ k ) och ( k+ k+ ). Jack Bresenham, professor I datateknik vid Stanford Universit 2

15 5 (a) 5 (b) 4 3 Specifiera d linjeban a Specifiera d linjeban a På samlingsposition k+, sätter vi avståndet från de två sista pilarna till linjens bana lika med d och d 2. -koordinaterna för linjen kan då beräknas enligt följande: blir och Figur 2-4. (a) Ett linjesegment ritas från kolumn och rad 3. (b) Ett linjesegment ritas från kolumn och rad 5. Skillnaden mellan pilarnas avstånd till linjebanan blir: = k( k + ) + m (2-) d = - k (2-) d 2 = ( k + ) = k + -k( k + ) m (2-2) d - d 2 = 2k( k + ) - 2 k + 2m - (2-3) En beslutsparameter p k för k:te steget i algoritmen kan tas fram genom att göra om ekvation 2-3 så att den endast inkluderar heltalsberäkningar. En beslutsparameter används för att bestämma vilken av två pilar som ska plottas. Detta kan man göra genom att sätta k = '/' där ' och ' är vertikala och horisontella avstånden till slutpunkternas positioner, då får vi: p k = '(d - d 2 ) = 2'. k - 2'. k + c (2-4) p k är positiv då d - d 2 är positivt och ' > i detta fall. Parametern c är konstant och har värdet 2' + '(2m-), vilket är oberoende av pielns position och kommer att elimineras i de rekursiva beräkningar för p k. Om pieln på k är närmare linjebanan än k+ blir p k negativ och då ritar vi den lägre pieln, annars ritar vi den högre. 3

16 Ändringar i koordinaterna längs linjen uppkommer antingen i -eller -riktningen. Man kan ta fram värdena för den successiva beslutsparametern genom att använda inkrementella beräkningar. På steg k+, beräknas beslutsparametern enligt följande: Genom att dra av ekvation 2-4 från ekvationen ovan får vi: men vi också sätta att k+ = k+, då blir: p k+ = 2'. k+ -2'. k+ +c (2-5) p k+ - p k = 2'( k+ - k ) - 2'( k+ - k ) (2-6) p k +=p k + 2' - 2'( k+ - k ) (2-7) där k+ - k har antingen värdet eller beroende på vad p k har för tecken. Denna rekursiva beräkningsmodell tillämpas på varje position från den vänstra slutpunkten av linjen. Första parametern p beräknas enlig ekvation 2-4 på startpielns position ( ) och med m beräknad ur '/' får vi: p = 2' - ' (2-8) Bresenhams algoritm är generaliserad till linjer med godtcklig lutning genom att betrakta smmetrin mellan olika oktanter eller kvadranter i -planet. För en linje med positiv lutning större än kastar vi om - och -rollerna, d.v.s. vi stegar längs -riktningen i enhetssteg och beräknar successiva -värden närmast linjen. Dessutom vi kan revidera lösningen så att man kan börja från vilken ändpunkt som helst. För att vara säker på att alltid samma pilar ritas upp oavsett vilket håll man börjar från, väljer vi de två närmaste eller föregående möjliga pilar, där punkternas vertikala avstånd till linjen är samma (d = d 2 ). För en linje med negativ lutning tillämpar vi eakt samma princip men med omvänt resonemang. [5] Algoritmer för parallella linjer Man kan beräkna pilarnas position längs en linjes bana genom att partitionera beräkningarna i flera andra bland de olika tillgängliga processerna. Målet med att partitionera problemet är att få en eisterande sekventiell algoritm att dra ntta av multipla händelser, alternativt att man hittar en metod för att beräkna flera händelser parallellt. I denna metod är det viktigt att balansera de laddade händelserna i förhållande till de tillgängliga. Om vi har n p olika händelser, kan man dela upp en Bresenham linje genom att partitionera den i n p olika delar och samtidigt generera ett linjesegment till varje del. För en linje med en lutning < m < och vänster slutpunkt ( ) delar vi upp linjen längs -aeln. Avståndet mellan de olika delarna och deras positioner i -ledet kan beräknas enligt följande: 4

17 ' p = ' n p (2-9) np där ' är bredden på linjen och bredden på varje del ' p kan beräknas med hjälp heltalsdivision. De olika delarna en linje delas upp på numreras från till n p-. Koordinaterna för startdelen kan beräknas enligt följande: k = + k' p (2-2) Eempelvis anta att vi har '=5 och n p =4 händelser eller delar. Detta innebär att bredden på partitionerna är 4 och att startvärdet för partitionerna blir, +4, +8 och +2. Med detta partitioneringsschema blir den sista händelsen mindre än alla de andra. Om linjens slutpunkter inte är heltal kan fel i trunkering resultera i en variabel bredd på partitionerna längs längden av linjen. För att kunna tillämpa Bresenhams algoritm på varje partition behöver vi ett startvärde för - koordinaterna och ett startvärde för beslutsparametern i varje partition. För att ändra ' p i -led över varje partition beräknar vi det utifrån linjens lutning k och partitionens bredd ' p : ' p = k' p (2-2) På den k:te partitionen, är värdet för de startande -koordinaterna: k = +round(k' p ) (2-22) Den första beslutsparametern, p k, för k:te intervallet tas fram ur ekvation 2-4: p k = (k' p )(2') - (k' p )(2') + 2' + ' (2-23) Varje händelse beräknar sedan pielpositionerna över dess uppdelade partition genom att använda första beslutsparametern för delintervallet och startkoordinaterna ( k k ). Tillägget för den parallella Bresenham-algoritmen till en linje med en lutning större än nås genom att partitionera linjen längs -aeln och beräkna startvärdet för i varje partition. För negativ lutning ökar värdet för koordinaterna i en riktning och minskar det i en annan. En annan metod för att sätta upp parallella algoritmer för rastersstem är genom att tilldela varje händelse till en grupp av pilar. Sedan kan man tilldela varje händelse till en piel inom varje område av skärmen. I en linje kan antalet pilar i en grupp beräknas av '. '. Avståndet d från linjen till pieln kan beräknas enligt följande: d = A + B + C (2-24) Där 5

18 ' A = linjelä ngden ' B = linjelä ngden C = ' ' linjelä ngden och Linjelängden= ' ' 2 2 När konstanterna A, B och C har beräknats för linjen, behöver varje process utföra två multiplikationer och två additioner för att beräkna pielavståndet d. En piel plottas då avståndet d är mindre än den specificerade linjens tjocklek. [7] 2.4 Cirkelskapande algoritmer 2.4. Egenskaparna hos cirklar En cirkel definieras som en mängd av punkter som är på ett visst avstånd r från en mittpunkt ( c c ). Avståndet r kan uttrckas med hjälp av Pthagoras sats: ( - c ) 2 + ( - c ) 2 = r 2 (2-25) c r c Figur 2-5. Cirkel med centrumkoordinater ( c c ) och radien r. Punkternas position på cirkelns bana kan beräknas med ekvationen ovan genom att stega längs - aeln i enhetssteg från c -r till c +r och beräkna motsvarande värden: 2 2 = c r r ( ) (2-26) c 6

19 Denna metod är inte praktisk för den kräver mcket beräkningar vid varje steg och avståndet mellan de plottade pilarna blir aldrig enhetligt. Ett sätt att råda bot på detta är att beräkna punkterna längs cirkelns omkrets med hjälp de polära 2 koordinaterna r och T: = c + r cos T = c + r sin T (2-27) Stegstorleken som väljs för T beror mcket på applikationen och tekniken som används i utmatningsenheten. Större vinkelavstånd kan bindas samman med raka linjer, och för att få finare gräns och omkrets kan man sätta stegstorleken till /r. Detta gör att punkterna plottas med ungefär en enhets intervall. Beräkningar kan minskas drastiskt om man betraktar smmetrin hos cirklarna. Cirklarnas utformning i -planet är detsamma i varje kvadrant. Vi kan generera en del av cirkel i den andra kvadranten genom att notera att cirkelns två delar i de två kvadranterna är desamma i förhållande till -aeln. Cirkels övriga delar i den tredje och fjärde kvadranten kan tas fram ur samma princip som i de två första kvadranterna men i förhållande till -aeln. Man kan gå ett steg längre med detta resonemang och betrakta smmetrin mellan oktanter. En cirkel kan genereras genom att oktanter som har 45 grader mellan varje punkt i -planet. På så sätt kan man enkelt beräkna pilarnas positioner runt cirkeln utifrån punkten då = och =. Ett annat mer effektivt sätt att beräkna pilarnas position baseras på inkrementella beräkningar för beslutsparametrar som beskrivits i Bresenhams algoritm. Pilarnas positioner tas fram genom att sätta beslutsparametrar för att hitta den närmaste punkten till och i omkrets vid varje samplingssteg. På så sätt undviker man de onödiga beräkningarna i ekvation 2-25 genom att jämföra pielavståndet mellan olika kvadrater. [4] Algoritmen för mittpunktscirklar Algoritmen för mittpunktscirklar går ut på att sampla med enhetsintervall och bestämma närmaste pielposition till cirkelbanan vid varje steg. För en given radie r och en centerposition ( c c ) börjar vi med att beräkna pielpositionerna runt cirkelbanan med start vid nollpunkten ( ). Därefter beräknar vi samtliga positioner ( ) genom att addera c till och c till. Lutningen på kurvan varierar från till -. Vi tar enhetssteg i -aelns positiva riktning över oktanten och använder oss av beslutsparametern för två möjliga -värden som är närmast till cirkelbanan vid varje steg. När vi bestämt vilken piel som är närmast cirkelbanan och då vilken piel som ska ritas, kan de resterande punkterna i oktanten ritas med hjälp av smmetrin. För att kunna tillämpa mittpunktsmetoden, definierar vi cirkelfunktionen enligt följande: f cirkel (, ) = r 2 (2-28) 2 Polära koordinater representerar en punkt med dess avstånd från origo, och vinkeln som en linje från origo till punkten har mot -aeln. 7

20 Den relativa positionen för varje punkt kan bestämmas genom att kontrollera tecknet i cirkelfunktionen: <, om (, ) är inom cirkeln =, om (, ) är på cirkelns >, om (, ) är utanför cirken (2-29) Testerna man gör med ekvation 2-29 utförs för mittpositionerna mellan två pilar nära cirkelbanan när man samplar. Vi antar att vi har två möjliga pilar vid samlingsposition k +. Anta vidare att vi just har plottat en piel på ( k k ). Det vi ska bestämma härnäst är om vi ska plotta nästa piel på positionen ( k + k ) eller på ( k + k -) beroende på vilken av dem som är närmast cirkelbanan. För att bedöma detta på ett korrekt sätt, använder vi oss av beslutsparametern p k : p k = [( k + ) +] 2 + ( k+ - 2 )2 - r 2 (2-3) Om beslutsparametern p k < är mittpunkten inom cirkeln och pieln är närmast cirkelbanan Vi väljer då att plotta pieln vid k. Om p k > är mittpunkten utanför cirkeln och pieln ligger då längre bort från cirkelbanan. Vi väljer då att plotta den andra pieln vid k -. För att gå vidare måste vi bestämma nästa beslutsparameter: där är k+ antingen k eller k-, och beror på tecknet hos p k. p k+ = p k + 2( k + ) + ( 2 k+ - 2 k) - ( k+ - k ) + (2-3) Ökningarna för att ta fram p k+ är antingen 2 k+ + (om p k är negativ) eler 2 k+ +-2 k+. Ett annat sätt att bedöma ökningen är att utgå från följande inkrementella termer: 2 k+ = 2 k k+ = 2 k+ -2 (2-32) På startposition ( r) har dessa två termer värden respektive 2r. Varje successiva värde är framtaget genom att addera 2 till föregående värde av 2 och dra av 2 från föregående värde av 2. Den första beslutsparametern tas fram genom att bedöma cirkelfunkionen vid startpositionen ( ) = ( r): p = r (2-33) p = - r, om radien är heltal Som i Bresenhams algoritm för linjer, beräknar mittpunktsmetoden för cirklar pielpositionerna längs cirkelns bana genom heltalsaddition och heltalssubtraktion. Detta görs med antagandet att cirkelns parametrar är specificerade som heltal i skärmens koordinatsstem. [4] 8

21 2.5 Ellipsskapande algoritmer 2.5. Egenskaparna hos ellipser En ellips definieras som en mängd av punkter där summan av avstånden från två fasta punkter (fokalpunkt) är detsamma som för alla andra punkter. Om avstånden till två fokalpunkter från vilken punkt P=( ) som helst betecknas som d och d 2, får vi den allmänna ekvationen: d + d 2 = konstant (2-34) P=(,) d d 2 F F 2 Figur 2-6. En ellips skapad omkring F och F 2 Om vi uttrcker d och d 2 som fokala koordinater F =( ) och F 2 =( 2 2 ) får vi följande: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 = konstant (2-35) Genom att kvadrera ekvation 2-35, isolera de resterande rottermerna och kvadrera igen kan vi skriva om ellipsekvationen på följande sätt: 2 2 A 2 + B 2 + C + D + E + F = (2-36) där A, B, C, D, E och F är framräknade i förhållande till de fokala koordinaterna och dimensionerna på storael och lillael i ellipsen. Ellipsekvationer kan underlättas en hel del om storael och lillael orienteras längs koordinatalarna. Om vi betecknar halva storael för r, halva lillael för r och har en centrumpunkt ( c c ) kan vi uttrcka ellipsen på följande sätt: r c 2 2 c ¹ r ¹ = (2-37) 9

22 r c r c Figur 2-7. En ellips centrerad i (r r ) med semimajor aeln r och semiminor aeln r. Genom att använda polära koordinater r och T kan vi också uttrcka ellipsen i standard parametrar: = c + r cos T = c + r sin T (2-38) Att ta hänsn till smmetrin kan förenkla beräkningarna en hel del. En ellips i standard position är smmetrisk mellan kvadranterna, men till skillnad från en cirkel, är ellipsen smmetrisk mellan två oktanter i en kvadrant. Pilarnas positioner måste beräknas längs ellipsen båge. [4] Algoritmen för mittpunktsellipser Utgångspunkten för mittpunktsellipser är detsamma som för mittpunktscirklar. Om man har givet parametrarna r, r och ( c c ) kan vi ta reda på ( ) för en ellips i standardpositionen, och vi skiftar sedan punkterna så att ellipsen centreras i punkterna ( c c ). Om man vill placera ellipsen på en annan plats än den standardcentrerade platsen, kan man bara rotera ellipsen runt sina centerkoordinater för att på så sätt omplacera storael och lillael. Mittpunktsmetoden tillämpas i första kvadranten som vi delar i två delar, region och 2. Vi fortsätter i den första kvadranten genom att stega med enhetssteg längs -aeln där lutningen är mindre än och tar enhetssteg längs -ael där lutningen är större än. Nästa steg är att definiera ellipsfunktionen där ( c c ) = ( ): f ellips ( ) = r r r 2 r 2 (2-39) Ellipsfunktionen har följande egenskaper: <, om ( ) är inom ellipsen =, om ( ) är på ellipsens gränser >, om ( ) är utanför ellipsen (2-4) 2

23 Ellipsfunktionen fungerar som en beslutsparameter i mittpunktsmetoden, enligt samma princip som i mittpunktsmetoden för cirklar. Vi startar i ( r ) och tar enhetssteg längs -aeln tills vi når ellipsens gränser mellan region och 2. Sedan tar vi enhetssteg längs -aeln över resterande del av kurvan i den första kvadranten. Vid varje steg måste vi testa kurvans lutningsvärde. Ellipsen lutning kan beräknas från ekvation 2-39: d d = r 2 2r (2-4) Lutning = - r Region Region 2 r På gränsen mellan region och 2, d/d = -: därför ska vi fltta från region då: Figur 2-8. Ellips skapande regioner 2r 2 = 2r 2 (2-42) 2r 2 t 2r 2 (2-43) Anta att vi har en mittpunkt mellan två möjliga pilar på samplingsplats k + i den första regionen. Anta vidare att positionen ( k k ) är vald i ett tidigare steg. Vi kan då bestämma nästa position längs ellipsbanan genom att bedöma beslutsparametern på just den antagna mittpunkten: p k = r 2 ( k +) 2 + r 2 ( k + 2 )2 - r 2 r 2 (2-44) Om p k < är mittpunkten inom ellipsen och pieln är på linjen k närmast till ellipsbanan och då är den punkten som ska ritas. Annars är mittpunkten utanför ellipsen och på så sätt inte närmast till ellipsbanan och därför ska punkten k - väljas. På nästa samplingsposition ( k+ += k +2) beräknar vi beslutsparametern enligt följande: 2

24 p k+ = r 2 [( k +)+] 2 + r 2 ( k+ - 2 )2 - r 2 r 2 (2-45) Som i fallet med cirkelalgoritmen, kan ökningen i beslutsparametern beräknas genom addition och subtraktion, i och med att värdet för termerna 2 r 2 och 2 r 2 också kan beräknas inkrementellt. Om vi utgår från positionen ( r ): 2 r 2 = 2 r 2 = 2 r 2 (2-46) När och ökar, uppdateras de framtagna värden genom att addera 2 r 2 till 2 r 2 = och dra av 2 r 2 från 2 r 2 = 2 r 2. De uppdaterade värdena jämförs vid varje steg och vi flttar från region till region 2 när villkoren i ekvation 2-43 är uppfllda. I region beräknas första beslutsparametern genom att bedöma ellipsfunktionen vid startpositionen (, )=(, r ): p = r 2 - r 2 r + 2 r 2 (2-47) I region 2 samplar vi med enhetssteg längs -aeln i den negativa riktningen och mittpunkten tas mellan horisontella pilar vid varje steg. För region 2 blir beslutsparametern följande: p2 k = r 2 ( k + 2 )2 + r 2 ( k -) 2 - r 2 r 2 (2-48) Om p2 k < är mittpunkten utanför ellipsen väljer vi pieln vid k. Om p2 k > är mittpunkten innanför ellipsen väljer vi därför pieln vid k+. För att bestämma relationen mellan successiva beslutsparametrar i region 2, bedömmer vi ellipsfunktionen vid nästa samplingssteg k+ -= k -2: p k+ = r 2 ( k+ + 2 )2 + r 2 [( k - ) - ] 2 - r 2 r 2 (2-49) När vi kommer in i region 2 är den första positionen ( ), den sista i region. Den första beslutsparametern i region 2 blir därför: p2 = r 2 ( + 2 )2 + r 2 ( - ) 2 - r 2 r 2 (2-5) Anta att vi har r, r och ellipscentrum som heltalskoordinater. Det enda vi behöver ta fram är inktrementella heltalsberäkningar för att bestämma värdet för beslutsparametern i mittspunktsalgoritmen för en ellips. Tillvätvariablerna r 2, r 2, 2 r 2 och 2 r 2 beräknas endast en gång vid start av ellipsritandet. [4] 22

25 2.6 Algoritmer för andra kurvor Ett flertal olika kurvor är viktiga vid objektmodellering och animering. Kurvor som vanligen används är konformiga objekt, trigonometriska och eponentiella funktioner och polnomer. Visualiseringen av dessa kurvor kan utföras på ett liknande sätt som beskrivits i tidigare avsnitt. Ett enkelt sätt att presentera och visa en kurva är genom att uppskatta den med raka linjesegment. Det är viktigt att avstånden mellan linjesegmenten är lika stora. Detta kan man göra antingen genom att tillämpa parametriska representationer eller eplicita respresentationer genom att välja en oberoende variabel utifrån lutningen. Uppskattning av linjer och kurvor används för att grafiskt visa en uppsättning data av diskreta koordinatpunkter. Antingen förser man punkterna med linjesegment, som nämnts tidigare eller tillämpar man diskret regression (minsta kvadrat metoden) för att uppskatta linjerna mellan punkter Konformade sektioner Generellt kan man beskriva konformade sektioner med en andragradsekvation: A 2 + B 2 + C + D + E + F = (2-5) där A, B, C, D, E och F anger vilken tp av kurva som ekvationen kommer att ge. Viken tp av kurva man i slutändan får beror på dessa koefficienter samt vad ekvationen B 2-4AC ger: [9] <, ger ellips =, ger parabel >, ger hperbel (2-52) Ellipser, hperbel och parabel är speciellt användbara när man ska animera. De används flitigt vid simulering av gravitation och planetsstem. För att uttrcka en projektil för en parabel kan man använda sig av följande formel: = + a( + ) + b( - ) (2-53) Figur 2-9. En parabellbana för ett objekt med startposition ( ) 23

26 med konstanterna a och b bestämda med hjälp av objektets starthastighet v och gravidationskonstanten g kan vi räkna fram en parabelrörselse genom att använda en parametrisk ekvation uttrckt i tiden t: = + v o t (2-54) = + v t - 2 gt2 där v o och v är starthastigheten och värdet på g är ca 9,8 m/sec 2. Ett objekts position längs en parabelbana kan då beräknas vid en viss tidpunkt. Hperbelrörelse uppkommer i samband med kollisioner mellan olika partiklar och i vissa problem med gravitationskonstanten. En hperbelrörelse kan uttrckas på följande sätt: 2 2 r ¹ r ¹ (2-55) där d- r. I och med att denna ekvation skiljer sig i tecknet från ellipsekvationen, ekvation 2-37, kan vi generera en rad punkter längs hperbelbanan och en något modiefierad algoritm för ellipser. Parabel och Hperbel har en smmetrilinje i sig. Man kan använda mittpunkts metoder för ellipsar för att generera punkter längs smmetrilinjen på det stället på kurvan där lutningen är större eller mindre än. [9] Polnomer En polnom med n-grader i definieras enligt följande: k n k a k = a + a a n- n- + a n n (2-56) där n är ett ickenegatit heltal och a k är en konstant. Polnomer är användbara i en rad olika grafiska applikationer som t e utformning av objekt och tor, animationsbanor och grafisk visning av data och information. Att utforma olika objekt eller rörelsebanor görs ofta genom att specificera några punkter som anger kurvans konturer för att sedan passa ihop dessa med en kubisk polnom. En kubisk polnomkurva skapas då mellan varje par av punkter. Varje sådan kurva beskrivs av följande två formler: = a + a u + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a + a u + a 2 u 2 + a 3 u 3 (2-57) (2-58) där u varierar mellan och. Värden för u i en parametrisk ekvation bestäms utifrån villkoren för gränsvärdet i en del av kurvan. Det ena villkoret är att två närliggande kurvor har samma 24

27 koordinatposition som gränsvärdet och det andra villkoret är att två kurvors lutning ska stämma med gränsvärdet så att man får en kontinuerlig och jämn kurva. [9] 2.7 Pieladressering Objektbeskrivningar ges inom ramen av rumsreferenser valda att passa en viss applikation. Rumsbeskrivningar av objekt ges ofta i form av eakta koordinatpositioner som ofta är oändligt små matematiska punkter. Pielkoordinater, däremot, refererar till en skärmarea. Om vi ska bevara ett objekts geometri, måste vi kompensera för plottning av de matematiska ingångspunkterna till pielareor. Detta genom att justera dimensionerna av de visade objekten i förhållande till de pielareor som överlappar varandra med objektets gränser. Ett annat mål är att plotta rumsskoordinater på skärmpositionerna så att objektets gränser hamnar i rät linje med pielgränserna istället för pilarnas mittpunkt Koordinater för skärmens rutnät Ett alternativ till adressering av visningskoordinater i termer av pilarnas mittpunkt är att referera till skärmkoordinater i förhållande till ett rutnät med horisontella och vertikala linjegränser åtskilda med ett givet enhetligt avstånd. En position i skärmkoordinater är ett par heltalsvärden som anger en skärningsposition i rutnätet mellan två pilar Figur 2-. Linjebana för en serie sammankopplade linjesegment mellan koordinaterna i en skärms rutnär. Rent allmänt identifieras arean som upptas av en piel med skärmkoordinaterna ( ) som en enhetskvadrat med diagonalt motsatta hörn i ( ) och (+ +). Detta schema av pieladressering har flera fördelar bl.a. att den undviker pielgränser som inte är heltal och att den förenklar precisering av objektrepresentation. Algoritmer för att rita linjer och kurvor som vi diskuterat i tidigare avsnitt kan användas utan problem när dess beräknade ingångspositioner ska uttrckas som koordinater i ett rutnät. 25

28 Beslutsparametrar i dessa algoritmer betraktas nu som mätningar av differensen i avstånden i ett rutnät. [7] Upprätthålla geometriska egenskaper för snliga objekt När den geometriska beskrivningen av objekt konverteras till pielrepresentationer, tranformeras de matematiska punkterna och linjerna till ändliga skärmareor. Om man ska upprätthålla de ursprungliga mättningar som specificerades av ingångskoordinater för ett objekt, måste man ta hänsn till pilarnas ändliga storlek när en objektbeskrivning ska transformeras så att objektet kan se större eller mindre ut efter konverteringen. Om vi plottar en linje på skärmen, kommer den att korsa rutnätet på eakta positioner. Den plottade linjen kommer att ha två ändpunkter på skärmen som anger linjens gränser. Linjen kan uttrckas som avstånd i horisontell- (') och vertikalled (') från ena slutpunkten till den andra. Om pilarna ska adresseras med hänsn till deras mittpunkter, ritas linjen genom att ena slutpunktens pilar utelämnas (omiteras). Om pilarna däremot adresseras i förhållande till deras gränser, ritas linjen genom att flla ut de pilar som ligger mellan linjens slutpunkter. Egenskaperna för instängda areor upprätthålls genom att rita ut endast de pilar som ligger mellan objektets gränser. En rektangel som definieras av punkter med skärmkoordinater blir betdligt större när samtliga av dess mellanliggande pilar ritas ut. Därför måste man kompensera och justera beräkningarna när man ska tranformera objektet med bibehållna mått. Ett sätt att göra det är att rita ut pilarna medurs längs objektets bana. För varje ritad piel, ritas ett antal kommande pilar (beror på tp av objekt) med minst en enhet mindre i - och -ael. Det finns ett flertal olika liknande metoder som används speciellt för cirklar, ellipser, rektanglar och övriga objekt. [7] 26

29 2D tekniker I detta kapitel Vektorer och grafik Vektoranals Operationer med vektorer Transformationer Matrisrepresentation och homogena koordinater Sammansatta transformatoner Andra transformationer Transformation mellan olika koordinatsstem Tvådimensionell v Klippningsmetoder 3. Inledning I datorgrafiken har man två fundamentala delar till sin hjälp, vektoranals och transformation. Genom att studera dessa två element kan vi lära oss att beskriva olika geometriska objekt och hur man kan fltta (transformera) dessa. I detta kapitel kommer vi att förklara grundläggande operationer i lineär algebra och hur de används i datorgrafiken. Tanken är att klargöra och motivera studierna av lineär algebra och vektorer. 27

30 3.2 Vektoreranals Geometriskt är vektorer föremål med längd och riktning. De representerar olika fsiska storheter som t.e. kraft och hastighet. Vektorer representeras oftast med pilar i olika längder som pekar i olika riktningar. Man kan tänka sig en vektor som en förflttning från en punkt till en annan. Figur 3- visar, i ett 2D koordinatsstem, punkterna P = ( 3) och Q = (4 ). En förflttning från punkten P till punkten Q bildar en vektor v. Koordinaterna för denna vektor fås genom att subtrahera varje koordinatvärde i de båda punkterna separat. v = Q - P d.v.s. v = (4 ) - ( 3) = (4 -, - 3) = (3-2) (3-) Man kan säga att skillnaden mellan två punkter är en vektor. Man kan också se det på följande sätt. Om man flttar punkten P längs en vektor v kommer man till punkten Q. Matematiskt är då punkten Q summan av P och v. Q = P + v = ( 3) + (3-2) = (+3, 3-2) = (4 ) (3-2) Vektorer (och punkter) kan skrivas som en radmatris t.e. r t = ( ) t för en 2D vektor eller t t = ( ) t ª º för en 3D vektor, men i vissa fall måste de skrivas som en kolumnmatris, d.v.s. r = och t ¼ ª º =. Dessa fall är då man vill multiplicera en vektor (eller en punkt) med en matris. [] ¼ P v T Q Figur 3-. En förflttning från punkten P till punkten Q bildar en vektor v 3.3 Operationer med vektorer Det finns två grundläggande operationer som utförs på vektorer, man kan antingen addera eller multiplicera dem. Om vektorerna v = (2 4 3) och u = (-5 4) kan vi skapa na vektorer m.h.a. summan v + u eller produkten 4v. v + u = (2 4 3) + (-5 4) = (2-5, 4+, 3+4) = (-3 5 7) (3-3) 28

31 4v = 4(2 4 3) = (4. 2, 4. 4, 4. 3) = (8 6 2) (3-4) Dessa operationer utförs alltid komponentvis. Figur 3-2 visar ett tvådimensionellt eempel med v = ( -) och (2 ). Grafiskt kan addition av två vektorer visas på två sätt. I figur 3-2 (a) ser vi vektorerna v och u som startar i samma punkt och som spänner upp ett parallellogram. Summan av dessa två vektorer bildar diagonalen av detta parallellogram, d.v.s en vektor v+u som startar i samma punkt som v och u. Man skulle också kunna säga att vektor v+u är den resulterande kraften från v och u. Alternativt kan man låta vektor u starta där vektor v slutar som visas figur 3-2 (b). Summan av dessa två vektorer ger samma resultat som tidigare, men istället för att bilda diagonalen av ett parallellogram, bildas nu den tredje sidan som skapar en triangel. (a) v (b) v + u v + u u u v Figur 3-2. Summan av två vektorer. Figur 3-3 visar hur en vektor förändras då den multipliceras. Med en skalningsfaktor s = 2 kommer vektorn s. v ha samma riktning som vektor v fast två gånger så stor. Då s = - kommer vektor v att bta riktning, d.v.s v. v - u v - u v 2v v u v -u -v Figur 3-3. Skalning av en vektor Figur 3-4. Subtraktion av vektorer Att subtrahera vektorer är enkelt när man vet hur addition av vektorer fungerar. v -u blir helt enkelt v + (-u). Figur 3-4 visar hur detta fungerar grafiskt där skillnaden på v och u är summan av v och u. [] 29

32 3.4 En vektors storlek, enhetsvektorer En vektors längd beräknas enligt w w w2... w n¹ w 2 w w 2 n. Till eempel är storleken på 4 w 2. Om vektor w går från punkt A till punkt B, är w avståndet från A till B. 2¹ Det är ofta användbart att skala en vektor så att resultatet blir en enhetsvektor. Denna tp av skalning kalla normalisering av en vektor. Genom att normalisera vektor v får vi en vektor v och detta görs genom att skala v med en faktor v : v' v v (3-5) Vi kan nu se att v ' och v är en enhetsvektor med samma riktning som v. Till eempel om v = 3 4 (3 4) så är v = 5 och den normaliserade vektorn v ',. Ibland använder man 5 5 ¹ enhetsvektorn för att ange ritning då alla vektorer kan skrivas som sin storlek gånger sin riktning. Om v är den normaliserade versionen av v, kan man skriva v som v v v'.[] 3.5 Transformationer En transformation är en funktion som avbildar en punkt (eller en vektor) och förflttar den eller gör om den till en annan punkt (eller vektor). P'= T(P) för punkter och v = T(u) för vektorer (3-6) De tre mest grundläggande transformationerna är translation, rotation och skalning. Om vi använder homogena koordinater för punkter och vektorer, kan vi representera dessa med frdimetionella kolumnmatriser. [2] 3.5. Translation Ett föremål translateras då det förflttas längs en rak linje från en koordinatposition till en annan. En tvådimensionell punkt translateras genom att man lägger till ett translationsavstånd, t och t, på originalkoordinaterna ( ). Punkten förflttas då till den na positionen (''). (figur 3-5) '= + t, '= + t (3-7) Translationsavståndet (t t ) kallas för en translationsvektor eller shiftvektor. 3