Lineär algebra grundkurs. Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind. Matematiska institutionen Stockholms Universitet

Transkript

1 Lineär algebra grundkurs Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind Matematiska institutionen Stockholms Universitet Fjärde tryckningen 204

2 Förord Följande sidor utgör kurslitteraturen i lineär algebra, en del av grundkursen i algebra på Stockholms Universitet. De handlar till en början om matriser, determinanter och ekvationssystem, ur ett rätt formellt och avsiktligt lite fantasilöst perspektiv. Styrkan hos teorin är nämligen att alla geometriska problem om figurer, linjer, plan, vinklar, volymer(alltså viktiga problem, sådant som vi verkligen bortom pedagogiken är intresserade av, t ex i tillämpningar) ska gå att översätta till problem om reella tal, via lämpliga koordinatsystem. Översättningen är, när väl teorin är på plats, omedelbar och kräver ingen fantasi eller problemlösning, och detta vill vi betona som kompendiets grundidé. Problem formulerade i tal är ju sedan lättare att behandla och lösa. För matematiskt inriktade läsare hoppas vi att det trots fantasilösheten är svårt att dölja att det är en härlig slags nya leksaker som introduceras, och för alla andra vill vi påpeka att det i alla fall är något väldigt nyttigt, ett slags algebrans muesli, med mycket bettstärkande tuggmotstånd. Det riktigt roliga kommer för de senare i ett eventuellt liv efter Matematik, i de många tillämpningarna på naturvetenskap, teknik och ekonomi. De senare kapitlena av kompendiet ger den geometriska användningen av matriser och lineära ekvationssystem. Där introduceras koordinater, skalärprodukter och vektorer och det inses att t ex determinanter inte bara är sjukt jobbiga att beräkna, utan att de också kan användas för att beräkna härligt komplicerade volymer, och lösa andra brinnande geometriska problem. Idéerna som tas upp här är en del av ett program som startades av den store franske 600-tals matematikern Rene Descartes. Hårddraget innebar det för honom ett eliminerande av den bildbaserade fantasi inom geometrin, som han tyckte krävdes i sjukt stor mängd för att lösa problem, till förmån för ett mer enkelt beräkningsmässigt upplägg, som bara använder tal. Programmet kallas för analytisk geometri och är en väsentlig faktor i den explosion av tillämpningar av matematik inom fysik och teknik som kom på 600-talet med portalfigurer som gravitationsteorins Isaac Newton, och så småningom lett till att samhället fått ett sådant ekonomiskt överflöd att vi alla här kan roa oss med matriser, istället för att valla får på magra halländska ljunghedar, typ. En biprodukt av Descartes program var också att man kunde ta de geometriska idéerna och använda dem i rymder av dimensioner många fler än våra vanliga slitna 3. Analytisk geometri förvandlar t ex det fantasieggande begreppet fyrdimensionell rymd till något enkelt och rätt banalt, där vilken student som helst kan beskriva hur man vänder ut och in på en männniska, med en enkel spegling i R 4, vilket illustrerar den råa styrkan i dess begreppsvärld och dess universella användbarhet. Vi har verkligen ansträngt oss, fast det ibland är svårt att hålla fantasin i de rätta grådaskiga tyglarna, för att verka i vår store idol Descartes anda. Ingen betydande matematiker som vi känner till har någonsin överträffat honom i storslagen och betydelsefull fantasilöshet!

3 Det här är också endast den tredje samlade versionen av vårt kompendium, och säkert fortfarande behäftat med många feltryck, oklarheter, rena felaktigheter, dumheter och brist på helt nödvändiga förklaringar och saknar kanske vissa saker som borde finnas med i en bra lärobok. Eller har med sådant som vi borde fattat skulle fattas. På kurshemsidan finns en wiki där man kan skriva in feltryck, kommentarer och där man också kan framföra önskemål om innehållet. Eller bara terapeutiskt småskälla. ( Fast dom som skäller för mycket, dom nitar vi på tentan, förstås...det finns ju gränser...) Vi vill framföra ett verkligen djupt känt tack till alla som hjälpt oss med detta och andra kompendier med uppgifter om (generande många) feltryck och gett insiktsfulla kommentarer. Bland de studenter som hjälpt oss med detta kompendium, är vår överlägset största tacksamhetsskuld till Richard Säldebring, som genom att hitta och korrigera ett par hundra eller mer fel i beräkningar, språk och t o m innehåll, suck, gjort ett fantastiskt omsorgsfullt och generöst arbete med evighetsprojektet att få texten bra och korrekt. Tack! Stockholm september 203 Rikard Bøgvad och Paul Vaderlind

4 Innehåll Kapitel. Matriser 5. Pina colada - en inblick i några matematikers vardagsliv 5 2. Matriser och matrisoperationer Addition av matriser Multiplikation av en matris med ett tal 2.3. Ekvationslösning 2.4. Multiplikation av matriser Vad betyder räknelagarna för den matrismultiplikationsälskande mänskligheten? Ett viktigt exempel ekvationssystem Ett annat kul exempel Matristransponering Inversa matriser Och vad har man inversa matriser för, då? Övningar Appendix: Bevis för en sats i kapitel 26 Kapitel 2. Determinanter 28. Determinanter av små matriser 28.. och 2 2 matriser matriser Egenskaper för determinanter av 3 3 matriser Determinanter av n n matriser Definition Alternativa definitioner Produktsatsen 4 3. Övningar Appendix: Bevis för några satser i kapitel 2 43 Kapitel 3. Lineära ekvationssystem 48. Inledande exempel 48.. Några exempel på den geometriska innebörden av ekvationssystem i planet Några tillämpade exempel på hur ekvationssystem kan användas 5 2. Gauss-Jordan elimination Ekvivalenta ekvationssystem De tillåtna operationerna Ett arketypiskt exempel på Gauss-Jordan elimination 57

5 2 INNEHÅLL 2.4. Om att bejaka lusten att vara lat, och vilken hjälp i det ett effektivt notationssystem är Fler exempel på Gauss-Jordan elimination Ett sista exempel på Gauss-Jordan elimination för den som vill klara tentan Övningar 65 Kapitel 4. Satser om lineära ekvationssystem 67. Vad är Gauss-Jordan elimination, egentligen? 67.. Slutresultatet av Gauss-Jordan eliminering 7.2. Antalet lösningar Matrisinvertering När finns det en invers? Lite mer om inhomogena och homogena ekvationssystem På återbesök hos determinanten Hur man använder Gauss-Jordanreduktion för att beräkna determinanter Elementära matriser och Elementära radoperationer Övningar 93 Kapitel 5. Vektorer i planet och rummet 96. Riktade sträckor och vektorer 96.. Riktade sträckor Vektorer Operationer på vektorer Några exempel Linjärt beroende Skalärprodukt En anmärkning* 4 4. Övningar 5 Kapitel 6. Bas och koordinatsystem 7. Bas och ON-bas 7.. En nästan definition 7.2. Bas och koordinater 8.3. Lineärt (o)beroende revisited ON-bas 2.5. Ortogonal projektion och Gram-Schmidts ortogonalisering Koordinatsystem Kartesiskt koordinatsystem Basbyte Övergång till en ON-bas Ortogonala matriser Övningar 36 Kapitel 7. Geometri: linjer och plan 38. En linje i plan och i rummet 38.. Parameterframställning av en linje 38

6 INNEHÅLL 3.2. Ekvation för en linje 4 2. Ett plan i rummet Parameterframställning och ekvation för ett plan Två eller fler plan Vektorprodukten Vektorprodukt i koordinatform Avstånd mellan en punkt och ett plan Area- och volymfunktion. Trippelprodukten Övningar 64 Appendix till kapitel Bevis av egenskap (g) för vektorprodukten, distributiva lagen 67 Kapitel 8. Lineära avbildningar 70. Arketypiskt exempel-till varje matris finns en lineär avbildning 72.. Först: på höjden eller bredden? Matriser Lineära transformationer finns faktiskt i naturen, speciellt nu på våren Några exempel på avbildningar som inte är lineära Första lärdom av exemplena Matrisframställning av en lineär avbildning vilken som helst Med en godtycklig bas Geometriska exempel på lineära avbildningar Projektion Spegling Rotation Rotation kring en linje Mer om lineära avbildningar Injektiva, surjektiva och bijektiva avbildningar Sammansättning och invers Operatorer Men seriöst, varför förekommer lineära avbildningar överallt, om de nu verkligen gör det? Övningar 202 Kapitel 9. Får vi gå nu, eller? Om andragradskurvor 205. Varför andragradskurvor lite historia Kägelsnitt Ellipser Hyperbler Parabler Andragradskurvor Ellips Hyperbel Parabel Klassifikation av andragradskurvor 27

7 4 INNEHÅLL 3.. Elimination av blandade termer Övningar 224 Lösningar till samtliga uppgifter 225

8 KAPITEL Matriser. Piña colada - en inblick i några matematikers vardagsliv Låt oss börja dagen med att blanda tre drinkar. Egentligen är det samma drink, piña colada, men Rikard, Anna och Paul gör den på tre olika sätt. Den traditionella piña coladan är en blandning av kokosmjölk, ananasjuice och vit rom (men det finns också andra varianter). Rikard gör sin blandning i proportioner kokosmjölk : ananasjuice : rom = 0,3 : 0,55 : 0,5. För en deciliter drink tar han alltså 0,3 dl kokosmjölk, 0,55 dl ananasjuice och 0,5 dl rom. Paul föredrar en jämnare fördelning mellan juice och mjölk och blandar drinken i proportioner 0,4 : 0,4 : 0,2. Annas starkare variant blandas som 0,35 : 0,4 : 0,25. Ett litet mera kompakt sätt att skriva dessa tre varianter är att forma en så kallad matris, ettschemamedtreraderochtrekolonner.varjeradrepresenterardepersonliga preferenserna för en av Rikard, Paul eller Anna. kolonnerna representerar ingredienserna: kokosmjölk, ananasjuice och vit rom. Matrisen A nedan beskriver alltså de tre olika blandningarna. 0, 3 0, 55 0, 5 A = 0, 4 0, 4 0, 2 0, 35 0, 4 0, 25 En sådan beskrivning är ju uppenbart mycket användbar. Lämpligt inplastad på ett kort, till exempel, kan man förvara den i plånboken och överlämna till sin matematiskt sinnade bartender istället för en vag och oprecis verbal beskrivning, som ju också ofta blir allt svårare att artikulera tydligt allteftersom kvällen går. Men vad är dess värde utöver detta? Vi påstår att vi kan använda matrisen för att räkna och besvara frågor. Här är en sådan fråga: Hur mycket kostar var och en av drinkarna om priserna är 22, 8 och 32 kronor per deciliter för kokosmjölk, ananasjuice och rom respektive? Rikards drink kostar 0, , , 5 32 = 5, 8 kronor. Vi har multiplicerat talen iförsta raden Rikards rad, som ger volymen av de olika ingredienserna i hans drink, med 22, 8 respektive 32, som är priset på respektive ingrediens. Detta ger kostnaden av 5

9 6. MATRISER respektive ingrediens och när vi sedan lägger ihop alla produkterna får vi totala kostnaden för drinken. På samma sätt kostar Pauls drink 0, , 4 8+0, 2 32 = 8, 4 och Annas 0, , 4 8+0, = 8, 9kronor.Varjeuträkning följer samma mönster: summa av produkter av en rads olika volymer och priser för motsvarande ingrediens. För att få en tydlig överblick kan man sammanfatta dessa uträkningar som en sorts operation på matriser, matrismultiplikation. Först introducerar vi prismatrisen B, enmatrismedtre rader och en kolonn, B = och skriver därefter kostnadsmatrisen 0, 3 0, 55 0, 5 C = A B = 0, 4 0, 4 0, , 35 0, 4 0, Multiplikationen A B innebär precis samma som uträkningarna ovan. Först räknar man de tre produkterna av elementen i den första raden i A med elementen i B: 0, , , 5 32 = 5, 8, sedan de tre produkterna av elementen i den andra raden i A med elementen i B: 0, , 4 8+0, 2 32 = 8, 4ochslutligensammameddensista raden i A. Resultatetskrivermansomennymatris,matrisen C = 5, 8 8, 4. 8, 9 Matrisen C sammanfattar alltså kostnaderna för var och en av de tre drinkarna. Den har en kolonn och tre rader och raderna representerar, precis som i matrisen A, detre personerna: Rikard, Paul och Anna. Observera mönstret i den ovan beskrivna matrismultiplikationen: elementen i var och en av raderna i matrisen till vänster, A, multiplicerasmedmotsvarandeelementidenenda kolonnen i matrisen till höger, B (en matris med en enda kolonn kallas för kolonnmatris). Eftersom detta är huvudidéen bakom matrismultiplikation så är det bra att man lägger detta på minne. Vi fortsätter med ett annat problem. Rikard, Paul and Anna festade tillsammans med några av sina vänner. Under kvällen tillverkades sju drinkar enligt Rikards recept, fem av Pauls blandningar och tio enligt Annas proportioner. Morgonen efter ställer de sig de vanliga dagenefterfrågorna var det värt det? Alltså: hur mycket av varje ingrediens gick det åt denna kväll och vad kostade alla drinkar? Återigen kommer samma uträkning att upprepas tre gånger, en gång för var och en av ingredienserna. Åtgången av respektive ingrediens var

10 . PIÑA COLADA - EN INBLICK I NÅGRA MATEMATIKERS VARDAGSLIV 7 7 0, 3+5 0, 4+0 0, 35 = 7, 6dlavkokosmjölk, 7 0, , 4+0 0, 4=9, 85 dl av ananasjuice och 7 0, , 2+0 0, 25 = 4, 55 dl av rom. Om man beskriver antalet drinkar med hjälp av en matris D med en rad och tre kolonner: D = ( ) så kan räkningarna ovan återigen sammanfattas som en matrisprodukt där D A = ( ) 0, 3 0, 55 0, 5 0, 4 0, 4 0, 2 = E, 0, 35 0, 4 0, 25 E = ( 7, 6 9, 85 4, 55 ). För att få E räknar man ut summan av produkter av de tre elementen i D med de tre elementen i den första kolonnen i A: 7 0, 3+5 0, 4+0 0, 35 = 7, 6, sedan summan av produkter av elementen i D med den andra kolonnen i A: 7 0, , 4+0 0, 4=9, 85, och slutligen summan av produkter av elementen i D med den tredje kolonnen i A. Lägg märke till att vi har precis samma mönster för multiplikationen som beskrevs tidigare: elementen i raden (radmatrisen) till vänster, D, multiplicerasmedmotsvarandeelement ivarochenavkolonnernaimatrisentillhöger, A. För att bestämma vad drinkarna kostade behöver vi beräkna summan 7, , , = 39, 6(volymgångerprisetför var och en av ingredienserna). Med tanke på matrismultiplikationen som den illustrerats tidigare kan detta beskrivas som E B = ( 7, 6 9, 85 4, 55 ) 22 8 =7, , , = 39, Eftersom E = D A så är kostnaden samma som (D A) B. Omviåandrasidan,tar matrisen C som sammanfattar kostnaderna för var och en av de tre drinkarna så borde den totala kostnaden vara lika med D C. Uträkningen D C = ( ) 5, 8 8, 4 =7 5, 8+5 8, 4+0 8, 9=39, 6 8, 9 verifierar detta påstående. Matrisen C räknades ut som C = A B. Därmed är kostnaden lika med D (A B). Vi har alltså verifierat att i vårt exempel gäller att (D A) B = D (A B). Detta samband kallas för associativa lagen för matrismultiplikationen och gäller faktiskt alltid, så långt som de ingående produkterna existerar.

11 8. MATRISER Stärkta med en eller flera piña colador kan vi nu klä exempletovanimerateoretiska kläder. Ett varningsord bör dock tilläggas: romdrickande är hälsofarligt! Hur farligt kan man lämpligen också analysera med matriser, gärna över en bloody mary, som ju är något helt annat. 2. Matriser och matrisoperationer Välkommen till matrisernas magiska universum! Matriser, det är just dessa objekt som vi ska nu titta närmare på. Vi ska införa operationer på matriser: en addition och två olika multiplikationer. Vi ska visa att dessa operationer uppfyller nästan alla lagar som gäller för addition och multiplikation av tal. Matrisernas betydelse i den moderna matematiken kan knappast underskattas. De tillåter oss att handskas med rymden och bortom som om vi fortfarande tultade omkring på tallinjen. Därför finns matristeorin alltid med i de första kurserna vid högskolorna och ofta även i gymnasieutbildningen. Med hjälp av matriser kan man sammanfatta och organisera stora datamängder, matriserna hjälper oss att lösa lineära ekvationssystem, de har mängder av tillämpningar i analysen osv(för att inte nämna att de förfogar över ett rätt frikostigt prkonto...). En formell definition är följande: Med en matris, ellermerprecisten matris av typ m n, där m och n är två positiva heltal, menas m n reella tal ordnade i ett rektangulärt schema med m rader och n kolonner. (Utan att det gör någon riktig skillnad skulle vi kunna betrakta komplexa matriser, d v smatriserdär de ingående talen tillåts vara komplexa, inte bara reella. För våra behov räcker det dock gott och väl om vi begränsar oss till reella matriser.) Alla rader har lika många element, liksom alla kolonner. Vi har redan sett exempel på matriser av typ 3 3, 3 och 3. Här är några fler, tillsammans med en -matris. Observera hur första talet m i m n talar om hur många rader matrisen har, medan n är antalet kolonner , , 7 ( 2 3 ), ( ). Den sista ser lite udda och fattig ut med bara ett enda och inte ens speciellt glassigt tal men den är också en riktig matris enligt definitionen: tag m = n =. Matriser kommer vi att beteckna med stora bokstäver A, B, C, osv. Vi kommer att jobba med matriser som är av varierande storlek och därför behöver vi effektiva sätt att beskriva dem, utan att alltid kunna rita ut dem helt och hållet, som vi gjorde i exemplet ovan. Det kan vi göra så här.

12 2. MATRISER OCH MATRISOPERATIONER 9 Allmänt, en matris A av typ m n beskrivs som a a 2 a 3... a n a A = 2 a 22 a a 2n a m a m2 a m3... a mn Talet a ij är alltså det element som finns i rad i och kolonn j. Detkallasför ett ) element imatrisen.för att förkorta notationen kan vi skriva matrisen ovan som A = (a ij. i m, j n Notera vissa enkla egenskaper hos en matris A, som att det alltid är lika många element ivarjeradia och i varje kolonn. Några matriser med speciella egenskaper är så vanliga att de har egna namn. Bland dessa återfinner vi: Nollmatrisen, 0 som är en matris där alla talen är lika med noll, dvs a ij =0för alla i m och j n. Detär uppenbart att nollmatrisen inte är unik: det finns en nollmatris för varje matristyp m n. Kvadratiska matriser som definieras som matriser där m = n. Tex, 2 2och 3 3-matriserna ( ) ( ) 2,, , Enhetsmatriser E n :kvadratiskamatrisermedn rader och n kolonner och talet på varje plats längs huvuddiagonalen samt talet 0 utanför huvuddiagonalen. Det finns en enhetsmatris för varje positivt heltal n. Omdetinteledertillmissförstånd så skriver man bara E istället för E n.vadär nu huvuddiagonalen förresten, om vi ska vara petiga? Jo det framgår nog av följande enhetsmatris: ) (a ij Om vi alltså har A = a,a 22,...,a nn. i m, j n så är elementen på huvuddiagonalen i A precis elementen Radmatris: enmatrisavtyp n, tillexempel ( a a 2 a 3... ) a n.kallasocksåi litteraturen för radvektor. b Kolonnmatris: enmatrisavtypm, till exempel A = 2.. Namnet kolonnvektor b m förekommer också. b

13 0. MATRISER ) Två matriser, A = (a ij i m, j n ) och B = (b ij i r, j k anses vara lika, A = B, omdehar samma typ: m = r och n = k, samtomelementenpåmotsvarandeplatserimatriserna A och B är lika, dvs. a ij = b ij för alla i m, j n. (Vadär nu nyttan av en sådan här definition av likhet -varför skulle det inte vara på det sättet? Jo, vi kan ju t ex få matriserna på olika sätt, men denna deras historia tar vi inte alls hänsyn till vad det gäller likhet. På samma sätt är 3+ och 2+2 samma tal fast de uppenbarligen tillkommit på olika sätt. Notera att alla dessa nollmatriser som ju allihop betecknas med samma symbol 0 ändå alltså inte är desamma, utan att det finns en av varje typ m n. Efter denna korta introduktion är vi beredda att träda in i matrisernas värld och vi börjar med att introducera operationer på matriser. 2.. Addition av matriser. Man kan enkelt definiera operationen addition av två matriser men detta kan enbart göras om båda matriserna har samma typ. Antag därför att A och B båda är av typ m n. ) ) (a ij (b ij Definition. Summan A + B av matriserna A = och B = i m, i m, ) j n j n definieras som matrisen C = (c ij av samma typ som A och B och som är sådan i m, j n att c ij = a ij + b ij för alla i m, j n. Med andra ord, man adderar talen som ligger på motsvarande platser i matriserna A och B. Ettexempelklargör: ( ) ( ) 2 5, 2 9 5, 3, 2 För A = och B = 2, , 22 π blir A + B = ( ) 7 0, π Vi har alltså definierat en ny slags addition! Det som gör att vi verkligen kan kalla den för det prestigeladdade namnet addition är att operationen uppfyller alla de egenskaper man normalt förväntar sig av ett förskoleplus. Låt oss beskriva vilka dessa är d v s vad vi en gång lärde oss om addition av tal ungefär samtidigt som vi fick tillgång till stora tal iformavfickpengar,godisochserietidningar.denandralagennedantexsäger i stort sett att ordningen i vilken vi adderar en summa av tre (eller fler) matriser spelar ingen roll för resultatet. Antag att A, B och C är tre matriser av samma typ. Då gäller att Sats. (Matrisaddition). (a) A + B = B + A, kommutativa lagen, (b) A +(B + C) =(A + B)+C, associativa lagen,

14 2. MATRISER OCH MATRISOPERATIONER (c) A + 0 = A, för nollmatrisen av samma typ som A. Bevis: Bevisen för dessa egenskaper reducerar sig till enkla tillämpningar av definitionen Multiplikation av en matris med ett tal. Ungefär som när man ska bada ienkallinsjösåskaviförst sticka ner tårna väldigt försiktigt i multiplikationsträsket, genom att bara multiplicera en matris med ett tal. ) (a ij Låt oss antaga att vi har en matris A = i m, j n och ett reellt tal λ. Produkten λ A är en ny matris av samma typ som A ivilkenvarjeingåendetalheltenkeltär ) lika med motsvarande tal i A multiplicerat med λ. Medandraordär λ A = (λa ij. i m, j n Det följer genast att för varje matris A är A = A och 0 A = 0, där nollmatrisen i högra ledet är av samma typ som matrisen A. Det är inte svårt att visa Sats 2. (Räkneregler för multiplikation av matriser med tal). (a) λ(a + B) =λa + λb, (b) (λ + µ)a = λa + µa och (c) (λµ)a = λ(µa), där A och B är matriser av samma typ och λ, µ är reella tal. ) Bevis: Vi visar bara egenskapen (c) för A = (a ij i m, j n ) (λµ)a = ((λµ)a ij =...dåassociativalagengäller för multiplikation av av reella talen så är (λµ)a ij = λ(µa ij ), vilket medför att... = λ(µa ij ) = λ i m, j n ( ) ) (µa i m, ij = i m, j n j n λ ( ) ) µ (a ij = λ(µa). i m, j n : 2.3. Ekvationslösning. Speciellt intressant är produkten med λ =. Matrisen ( )A har egenskapen att adderad till A ger den nollmatrisen: ( )A + A = 0. Det kan vi använda för att lösa ekvationer. Om A = ( ),

15 2. MATRISER så är Låt sedan ( )A = B = ( ) ( ), och antag att vi letar efter X, somär en lösning till ekvationen X + A = B. (Alla matriser antages förstås ha samma typ, så att additionen är definierad.) Då kan vi hitta X = B +( )A, precissomomvihaderäknat med tal istället för matriser. Det följer av att vi lägger till ( )A till bägge sidor av ekvationen : X + A = B (X + A)+( )A = B +( )A. Ty vänsterledet här är (X + A)+( )A = X +(A +( )A) =X + 0 = X, somdå är lika med högerledet: X = B +( )A. Alltså är X = ( ) +2 +( 5) + = +( 2) ( ) Argumentet var helt allmänt och berodde inte på vilka matriserna var, så vi kan formulera det som en allmän princip, något som alltid är sant, en sats. Sats 3. Antag att A, B, X är matriser av samma typ. Då X + A = B X = B +( )A. Den väsentliga egenskapen hos matrisen ( )A iargumentetovanvarattdenuppfyller att summan med A är 0-matrisen. Det skulle man kunna uttrycka som att den är den additiva inversen till matrisen A och, liksom i talaritmetiken, betecknar vi därför den med A. MatrissubtraktionenA B innebär, kommer vi överens om, fortsättningsvis A +( )B, precissomför tal Multiplikation av matriser. Vid sidan av multiplikationen av en matris med ett tal så finns det också en mera invecklad produkt, nämligen produkten av två matriser, A B. Detär denna som kommer att få teorin att lyfta, så den är värd att man tränger igenom den lite komplicerade definitionen. (Här är ett personlighetstest: den intelligente och engagerade, men lite godtrogne läsaren en sådan som teleförsäljare och golddiggers älskar accepterar detta och får så småningom om några veckor sin belöning i kapitlet om lineära avbildningar, eller i kapitlet om lineära ekvationssystem, medan den intelligente och misstrogne läsaren en fasa för telefonförsäljare och urtypen för en lyckad golddigger antingen miljömedvetet slänger boken i kompostpåsen och bestämmer sig för att studera något annat, typ filmvetenskap, eller, mindre dramatiskt tillfredsställande, redan nu smygtittar på sektion 2.6 och sats 8. Den första visar hur man kan skriva system

16 2. MATRISER OCH MATRISOPERATIONER 3 av ekvationer som matrisekvationer, medan den andra att man kan lösa ekvationer med matriser på ungefär samma sätt som ekvationer med tal). Dessvärre kan man inte multiplicera vilka två matriser som helst. Ett visst krav på matrisernas typ måste vara uppfyllt: Om den första matrisen, A, har typ m n så måste den andra matrisen, B, ha typ n p. Detta säger bara att antalet kolonner i den första faktorn, matrisen A, måstevara samma som antalet rader i den andra faktorn, matrisen B. Vi kan formulera om detta som att Antalet element i en rad i A är lika många som antalet element i en kolonn i B. Detta är viktigt att inse för att det gör att man kan ta vilken som helst rad i A och räkna summan av produkter av tal i denna rad med talen i en godtyckligt vald kolonn i matrisen B. Tittabarapåradi idenförsta matrisen och kolonn j idenandramatrisen iuttrycketnedan:bådainnehållern tal. a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n b b 2... b j... a p b. 2 b b 2j... b 2p b a i a i2 a i3... a in 3 b b 3j... b 3p b n b n2... b nj... b np a m a m2 a m3... a mn Vi kan alltså bilda summan a i b j + a i2 b 2j + a i3 b 3j...a in b nj.dentypenavuträkningar har vi redan mött i samband med drinkblandningar i föregående avsnitt. Vi kommer att referera till en sådan summa som produkten av raden i från den första matrisen med kolonnen j från den andra matrisen. Det finns m rader i matrisen A och p kolonner i B. Vi kan därmed bilda m p sådana produkter och vi kan skriva c ij = a i b j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a in b nj, för i =,...,m, j =,...,p. Detta kan vi komma ihåg så här, elementet c ij i den i:te raden och den j:te kolonnen i produkten A B fås som produkten av den i:te raden i den första matrisen A och den j:te kolonnen i den andra matrisen B. ) På detta sätt bildar vi en ny matris, matrisen C = (c ij som är produkten i m, j p C = A B. Dennadefinitionverkariförsta taget vara lite tillgjord och komplicerad men

17 4. MATRISER den är ytterst användbar och beter sig nästan så som man kan förvänta sig av en vanlig multiplikation. Matrisprodukten C = A B är alltså definierad enbart om antalet kolonner i matrisen A överensstämmer med antalet rader i matrisen B. Densåerhållnamatrisen C ärver antalet rader från A och antalet kolonner från B. ( ) 3 5 Exempel. Låt A = och B = Eftersom A är av typ 2 3 och B är av typ 3 4 så existerar produkten C = A B och matrisen C är av typ 2 4. Uträkningen går till på följande sätt: Bestäm en plats (ij) i matrisen C, till exempel plats (23), dvs andra raden och tredje kolonnen. Talet som ska skrivas in där är lika med produkten av andra raden i matrisen A och tredje kolonnen i matrisen B, alltså 2 +0 ( 3) + ( 4) 6= 26. Fortsätt på samma sätt med alla platser i matrisen C. Hela uträkningen ger ( ) C = Varning: Det är viktigt att observera att den så definierade multiplikationen ej uppfyller en av de viktigaste och vanligaste räknelagarna, nämligen den kommutativa lagen. Medan det för vanlig multiplikation av tal gäller att a b = b a så är i allmänhet inte bara A B B A utan det händer ofta att bara den ena av de två produkterna existerar! I exemplet ovan räknade vi ut produkten C = A B. ProduktenB A existerar ju däremot inte då antalet kolonner i B (fyra) inte är detsamma som antalet rader i A (två). Övningar. () Bestäm två stycken 2 2matriserA och B sådana att A B B A.(Ledning: ta vilka matriser som helst, nästan.) (2) Bestäm två stycken 2 2matriserC och D sådana att C 0 och D 0 och som uppfyller att C D = 0.(Ledning: ta två matriser med mycket nollor som element.) (3) För de reella talen a 0,b och c, gäller att om ab = ac så är b = c. Genomattge ett exempel, visa att motsvarande inte gäller för matriser, dvs. konstruera tre matriser, A 0, B och C sådana att A B = A C men B C. Även om matrisprodukten inte är kommutativ så uppfyller den en rad välkända lagar: Sats 4. (Räknelagar för matrisprodukt) Förutsatt att produkterna nedan existerar så är (a) A E = E A = A; A 0 = 0; 0 A = 0. (b) (A + B) C = A C + B C och C (A + B) =C A + C B (distributiva lagar). (c) (λa) B = A (λb) =λ(a B).

18 2. MATRISER OCH MATRISOPERATIONER 5 (d) A (B C) =(A B) C (associativa lagen). Observera att likheten (a) säger att enhetsmatrisen E beter sig på samma sätt vid matrismultiplikation som talet vid multiplikation av tal (de är multiplikativt neutrala element). Detta motiverar namnet - enhetsmatrisen. Observera också att E,somförekommer två gånger i likheten (a), inte behöver vara av samma typ båda gångerna. Till exempel, om matrisen A är av typ 3 4såmåsteE iproduktena E vara matrisen E 4,medani produkten E A måste den vara E 3.Motsvaranderesonemanggäller matrisen 0 ilikheten (a) (Övning (4) Förklara hur!). Bevis: (a) Elementet i rad i och kolonn j iproduktena E är detsamma som a i e j + a i2 e 2j + a i3 e 3j + + a in e nj, där matrisen A antages ha n kolonner och därmed E är en n n enhetsmatris. Eftersom alla e ij är lika med 0 utom e jj som är, så är summan ovan lika med a ij,vilketförstås är vad vi ville visa: A E = A. Påsammasätt visas att E A = A. Likheterna A 0 = 0 och 0 A = 0 är uppenbara. ) ) (b) Antag att A = (a ij, B = (b ij i m, j n i m, j n ) och C = (c ij i n, j p.eftersom antalet kolonner i A, B och A + B är samma som antalet rader i C (=n) såexisterar produkterna i vänstra och högra ledet. Raden i isummana + B är lika med ( a i + b i a i2 + b i2 a i3 + b i3... a in + b in ). Elementet i rad i och kolonn j iprodukten(a + B) C är därmed lika med (a i + b i )c j +(a i2 + b i2 )c 2j +(a i3 + b i3 )c 3j + +(a in + b in )c nj. () Åandrasidan,påplats(ij) imatrissummana C + B C finns summan av det som finns på plats (ij) ia C, dvs.a i c j + a i2 c 2j + a i3 c 3j + + a in c nj och det som finns på samma plats i B C, alltsåb i c j + b i2 c 2j + b i3 c 3j + + b in c nj.dennasummaär förstås samma som uttrycket () ovan: ( ai c j + a i2 c 2j + a i3 c 3j + + a in c nj ) + ( bi c j + b i2 c 2j + b i3 c 3j + + b in c nj ) = (a i + b i )c j +(a i2 + b i2 )c 2j +(a i3 + b i3 )c 3j + +(a in + b in )c nj. och vi är klara med beviset för (A+B) C = A C +B C. Denandradelen,C (A+B) = C A + C B, bevisaspåsammasätt. Observera att det räcker inte att enbart uppge den ena av de två distributiva lagarna. Orsaken till detta är att produkten inte är kommutativ, så multiplikation från vänster med en matris B är inte detsamma som multiplikation från höger med B. ( (c) (λa) B = A (λb) ) =λ(a B). Eftersom raden i imatrisenλa är lika med λai λa i2 λa i3... λa in så är elementet på plats (ij) iprodukten(λa) B lika med ) (λa i )b j +(λa i2 )b 2j +(λa i3 )b 3j + +(λa in )b j = λ (a i b j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a in b j,

19 6. MATRISER vilket är samma som finns på plats (i, j) iproduktenλ(a B). Likheten A (λb) =λ(a B) bevisas likadant. (d) Medan den kommutativa lagen för matrisprodukten inte gäller i allmänhet så gäller i alla fall den associativa lagen, A (B C) =(A B) C så fort som de inblandade produkterna existerar. Beviset för denna egenskap tillhör dessa argument som läraren helst vill hoppa över eller lämna åt studenternas självläsning: det är varken elegant eller tilltalande, bara några mödosamma tekniska argument. Alltså ingenting som skulle tjäna som argument för att matematiken är vacker eller ens uthärdlig. Vi väljer därför att be läsaren om att tro på oss när vi säger att sambandet gäller och hänvisar misstrogna till beviset i Appendix Vad betyder räknelagarna för den matrismultiplikationsälskande mänskligheten? Låt oss illustrera med ett antal exempel. Men först, låt oss komma överens om att strunta i att använda multiplikationsprickar, så att AB betyder produkten A B av de två matriserna A, B. Vidare låt oss vara överens om att så fort vi nu skriver AB så förutsätter vi också att A och B har rätt typer så att de går att multiplicera ihop. Exempel 2. Skriv A + AB som produkten av två matriser. Lösning: Vi vet att A = AE(enligt a)), och alltså kan vi skriva A + AB = AE + AB = A(E + B), (den sista likheten ur distributiviteten b).) Jämför med samma problem för tal: a + ab = a( + b). Exempel 3. Förenkla (A + B)(C + D). Lösning: Distributiviteten tillämpat sammantaget tre(3) gånger ger att (A + B)(C + D) =A(C + D)+B(C + D) =AC + AD + BC + BD. Skiljer sig resultatet från hur räkningen skulle sett ut om A, B, C, D hade varit tal? Nä. Exempel 4. Förenkla (A + B)(A + 2B). Lösning: Distributiviteten tillämpas igen och ger att (A + B)(A +2B) = A(A +2B)+B(A +2B) = = AA + A(2B)+BA + B(2B) = = AA +2AB + BA +2BB. Skiljer sig resultatet från hur räkningen skulle sett ut om A, B hade varit tal? Jo, eftersom ordningen i vilken vi multiplicerar matriser spelar roll för resultatet, d v s i allmänhet är inte AB = BA, så kan vi inte förenkla resultatet som vi gör för tal: Icke-kommutativiteten ställer alltså till det. (a + b)(a +2b) =a 2 +3ab + b 2.

20 2. MATRISER OCH MATRISOPERATIONER 7 Låt oss komma överens om att A n är produkten av A med sig själv n gånger, så att texa 3 = AAA. Exempel 5. Kan vi nu beräkna (A+B) 0? Ja, men bara i princip för livet innehåller så mycket annat av värde. Så här skulle vi ha börjat, med en tillämpning av distributiva lagen (A + B) 0 = A(A + B) 9 + B(A + B) 9. Sedan skulle vi ha fortsatt med distributiva lagen tillämpad på (A + B) 9, om det nu verkligen inte är något roligt på TV, (A+B) 0 = A(A+B) 9 +B(A+B) 9 = AA(A+B) 8 +AB(A+B) 8 +BA(A+B) 8 +BB(A+B) 8. Vi inser att antalet termer dubblas i varje steg slutresultatet kommer därför att innehålla 2 0 =024termer, och det är alldeles för många för att vi ska idas räkna ut dem, eller ens skriva ut dem. Men vi kunde ha gjort det i vilket fall som helst, i princip, och det är kontentan av detta exempel. Stora tal är inte svåra bara krångliga... Den associativa lagen säger att det är fullt korrekt att skriva produkten av tre matriser A, B och C som A B C, alltsåutanparenteser(sålänge villkoren på antalet rader/kolonner är uppfyllda). Exempel 6. På hur många olika sätt kan man multiplicera ihop fyra matriser A, B, C, D i denna ordning och hur många olika matriser får man? Notera att uttrycket produkten ABCD inte är meningsfullt utan vidare, innan vi har talat om var vi ska börja multiplicera. Vi kan t ex först multiplicera ihop C, D och sedan multiplicera resultatet, först med B och sedan med A. Med hjälp av parenteser kan vi beskriva detta som A(B(CD)). Med lite experimenterande ser man att det dessutom finns möjligheterna (A(BC))D,A((BC)D), ((AB)C)D. Usch, vill man kanske säga. Det underbara är emellertid att den associativa lagen ger att alla dessa fyra uttryck är lika, trots att de representerar helt olika uträkningar. T ex ger den associativa lagen A(BC) =(AB)C multiplicerad med D att (A(BC))D =((AB)C)D. Det är så den associativa lagen används i allmänhet och inte bara för produkter av tre matriser den säger då att en produkt av k matriser A A 2...A k är oberoende av hur man stoppar in parenteser för att ge produkten mening. Exempel 7. Ytterligare en aspekt av matrismultiplikation är bra att känna till. Antag att vi räknar produkten av två matriser ( ) 2 C = A B = , där A är alltså den första faktorn och B är den andra. Matrisen C här kommer att ha två rader och tre kolonner. Om vi av någon anledning inte är intresserade av hela matrisen

21 8. MATRISER C utan enbart av till exempel rad två i C, så behöver vi inte utföra hela multiplikationen. Formeln för matrisprodukten medför att det räcker med att bara multiplicera den andra raden i matrisen A med B (kontrollera hur man räknar elementen c 2, c 22 och c 23, till exempel c 2 = a 2 b + a 22 b 2 + a 23 b 3 ): ( ) = ( ). 2 3 Den första raden i A är alltså inte alls involverad i uträkningen. På motsvarande sätt, om vi enbart skulle vara intresserade av en kolonn i C, till exempel den tredje kolonnen, så skulle det räcka att enbart multiplicera A med den tredje kolonnen i B: ( ) 2 3 ( ) 4 5 = Det spelar då ingen roll vad som finns i de andra kolonnerna i B Ett viktigt exempel ekvationssystem. Låt oss introducera den för oss viktigaste tillämpningen av teorin för matriser. Betrakta tre matriser: ( ) ( ( ) 7 4 x 2 A =,X=, och B =. 2 5 y) 3 Med tanke på matrisernas typ är det uppenbart att uttrycket A X = B är matematisk helt korrekt, d v s att produkten är definierad. Efter uträkning av produkten i vänstra ledet får vi likheten ( ) ( ) 7x +4y 2 =, 2x +5y 3 vilken är detsamma som att säga att elementen på motsvarande plats ska vara lika, d v s att { 7x +4y = 2 2x +5y = 3 Matrisekvationen A X = B kunde alltså tolkas som ett lineärt ekvationssystem. Detta gäller för varje matrisekvation av typ A X = B, där X och B är två kolonnmatriser, X är kolonnen av variabler och kolonnen B sammanfattar högra ledet i systemet. Matrisen A bildar då systemets koefficienter, rad efter rad. Omvänt, om vi betraktar det lineära ekvationssystemet x +2y 3z = 2x +5y z +2u = 3 7x y +2z + u = 0 så kan systemet skrivas i matrisform A X = B, som x y z = 3, u

22 2. MATRISER OCH MATRISOPERATIONER 9 där matrisen A kallas för koefficientmatrisen för systemet. Matriser ger oss alltså en metod att skriva lineära ekvationssystem på ett kompakt, elegant sätt. Vår huvudmotiv för att studera teorin för matriser är för tillfället deras tillämpningar vid lösningen av just lineära ekvationssystem. Mer om detta kommer vi att berätta i kapitel Ett annat kul exempel. Du har troligen redan hört om den berömda Fibonacciföljden :talföljden som börjar med f 0 =0ochf =,ochsomsedanfortsätter så att varje nästa tal i följden är summan av de två närmast föregående. Vi har alltså f 2 = f + f 0 =+0=, f 3 = f 2 + f =+=2, f 4 = f 3 + f 2 =2+=3, osv. Du kan lätt räkna ut att de efterföljande tio fibonaccitalen är 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, 44, 233 och 377. Allmänt definieras följden via en så kallad rekursionsformel: f 0 =0,f =samtf n+ = f n + f n för alla n. Det tråkiga med en sådan definition är att vi inte utan vidare kan säga vad till exempel f 00 är lika med. För detta behövs att vi känner till f 99, f 98, f 97, osv. Finns det en annan väg att finna f 00 utan att först bestämma alla de föregående fibonaccitalen? För att se hur detta hänger ihop med matriser låt oss titta på matrispotenser. Detär uppenbart att om A är en kvadratisk matris så existerar produkten A A, somviska beteckna med A 2.Dennamatrisär återigen av samma typ som A och vi kan igen multiplicera den ned A: A 2 A = A 3. Allmänt, för ett positivt heltal n låtervia n beteckna produkten av n kopior av A. OmvikompletterardettameddefinitionenA 0 = E så har vi en välfungerande potensräkning för kvadratiska matriser (med exponenter som är ickenegativa heltal). Det krävs bara en stunds eftertanke för att inse att potenslagarna A m A n = A m+n = A n A m och (A m ) n = A mn =(A n ) m för m, n 0 gäller i detta fall. ( ) Som ett exempel titta på matrisen A = och på matriserna av typ B 0 n = ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) fn f f2 f7 3. Vi har B f = =, B n f 0 0) 2 = =, B f ) 7 = =, osv. f 6 8 Försök nu att multiplicera matrisen A med B n (och ha rekursionsformeln för Fibonaccitalen i bakhuvudet): A B n = ( ) ( ) ( ) ( ) fn fn + f = n fn+ = = B 0 f n f n f n+. n Konsekvenserna av den formel som vi fick fram, B n+ = A B n, är följande: Fibonacci var en italiensk matematiker i början på 200 talet. Följden tas upp i hans bok Liber abaci i samband med tillväxten i en kaninpopulation. Fibonacciföljden dyker ofta upp i bland annat biologiska sammanhang.

23 20. MATRISER B 2 = A B, B 3 = A B 2 = A (A B )=(A A) B = A 2 B, B 4 = A B 3 = A (A 2 B )=(A A 2 ) B = A 3 B,ochallmänt (vilket bör visas med induktion) B n+ = A n B, dvs. ( ) fn+ = B f n+ = A n B = A n n ( ( ) a,vilketär kolonnen imatrisena 0) a n. 2 Om vi bara hade en enkel metod att finna formen på matrisen A n så skulle talen ifibonacciföljden, till exempel f 00,varaenklaattbestämma: f 00 =elementeta i matrisen A 99.Ensådanmetod(för att finna A n )finnsmenjustnuär det lite för tidigt för oss att fördjupa oss i detta Matristransponering. Transponering är en lite annorlunda operation på matriser som involverar bara en matris. Om A är en m nmatris så är den transponerade matrisen, A t,enmatrisavtypn m. DenfåsgenomattradernaochkolonnernaiA byter plats med varandra. Elementet i rad i och kolonn j imatrisena t är samma som elementet i rad j och kolonn i i A. Ett exempel: om A = ( 3 5 ) så är A t = Första raden i A är första kolonnen i A t,andraradenia är andra kolonnen i A t.de viktigaste egenskaperna för matristransponeringen sammanfattas i satsen nedan: Sats 5. (Matristransponering) (a) (A t ) t = A för varje matris A. (b) (A + B) t = A t + B t om matriserna A och B har samma typ. (c) (λa) t = λa t för varje matris A och reellt tal λ. (d) Om produkten A B existerar så existerar produkten B t A t och (A B) t = B t A t. (Obs: bytet av ordningen på faktorerna i produkten!) Bevis: (a) Om rader och kolonner i en matris byter plats med varandra två gånger efter varandra, så är det uppenbart att man får tillbaka den ursprungliga matrisen. (b) Raden k imatrisen(a + B) t är samma som kolonnen k i A + B, somisinturär lika med kolumen k i A adderat till kolumen k i B. Detöverenstämmer alltså med raden k i A t adderat till raden k i B t.därmed är (A + B) t = A t + B t.

24 3. INVERSA MATRISER 2 (c) Om vi på platsen (ik)imatrisena har talet a ik så finner vi på platsen (ik)ivänstra ledet talet λa ki.idethögra ledet finns på platsen (ik) ocksåtaleta ki multiplicerat med λ. Därför är båda matriserna lika. (d) Antalet kolonner i B t =antaletraderib =antaletkolonneria =antaletrader i A t.därmed existerar produkten B t A t. Vidare, talet c kj iradk, kolonnj imatrisen (A B) t är samma som talet i rad j, kolonnk imatrisena B, alltsåär det produkten av raden j i A och kolonnen k i B. Medandraordär c kj lika med produkten av kolonnen j i A t och raden k i B t. Ändrar vi ordföljden i den sista meningen får vi att c kj är lika med produkten av raden k i B t och kolonnen j i A t,alltsåliggerpåplats(kj)imatrisprodukten B t A t.dettabevisarpåståendet. Särskild betydelse i matristeori har matriser A som uppfyller likheten A t = A. Vi noterar att detta kräver automatiskt att A är en kvadratisk matris. En matris med denna egenskap kallas för symmetrisk matris. Exempel 8. Om A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23, a 3 a 32 a 33 så är A t = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 32, a 3 a 23 a 33 så man inser att huvuddiagonalen i denna matris fungerar som en spegel. Alltså är matrisen symmetrisk om om och endast om a ij = a ji för alla i, j 3. Ett exempel är 0 00 A = En godtycklig kvadratisk matris A = a ij = a ji för alla i, j n. (a ij ) i n, j n är symmetrisk om och endast om 3. Inversa matriser Om A är en matris så är det uppenbart att matrisen B = A är den additiva inversen till A: A + B = B + A = 0. Litemerakomplexär situationen med den multiplikativa inversen, alltsåmatrisenc sådan att A C = C A = E. För det första är det uppenbart att så fort A inte är kvadratisk så kan inte en sådan matris C ens finnas till. Minst en av produkterna A C och C A existerar ju i så fall inte ens! (Övning (5) Förklara varför!). Därför är det rimligt att tala om vänster invers C till A: omc A = E och höger invers C 2 till A om A C 2 = E. Idenhär kursen ska vi dock

25 22. MATRISER inte uppmärksamma sådana situationer och behandlar endast det mest intressanta fallet, fallet då A är en kvadratisk matris, och den sökta inversen är både höger och vänster invers. Här skissar vi bara den viktigaste informationen rörande inversen. Mera teori (och de svårare bevisen) kommer senare i kursen. Definition 2. Låt oss antaga att A är en kvadratisk matris. Matrisen C kallas för inversen till A om A C = C A = E. Det är uppenbart att eftersom A är kvadratisk så måste både C och E vara av samma typ som A. Nu skulle vi vilja använda beteckningen A för matrisen C, omden existerar. Men det kanske finns fler, matriser som fungerar som C och vilken av alla skall vi då beteckna med A? Nej, som tur är gör det inte det. och Sats 6. Om så är C = D. A C = C A = E A D = D A = E, Bevis: Multiplicera båda leden i likheten A D = E med C från vänster. Vänsterledet blir efter förenkling C(AD) =(CA)D = ED = D, (p g a associativiten, respektive att CA = E, respektive att E är enhetsmatrisen.) Högerledet E multiplicerat med C ger förstås bara C. Mendetvåprodukternaär lika, så C = D. På grund av detta resultat finns det högst en invers och vi kan vi då beteckna den om den finns som A.Observeradockattdettaendastär en beteckning och inte, som i fallet med talen, något som resulterat från en uträkning i stil med A.Mankanintedela med en matris! ( ) Övning 6. Låt A =. Visa att det inte finns någon invers matris till A, genom att multiplicera ihop och försöka lösa för a, b, c, d ekvationen ( ) ( ) ( ) a b 0 = = E. c d 0 ( ) ( ) 0 x y 7. Bestäm inversen till matrisen A =. (Ledtråd: Ansätt B = och z t bestäm x, y, z, t för att B ska vara invers till A.) Observera att definitionen säger att matrisen C är inversen till A om båda villkoren A C = E och C A = E är uppfyllda. Så småningom kommer vi att visa (i Kapitel 4)

26 3. INVERSA MATRISER 23 att det räcker att endast ett av dessa villkor är uppfyllt: Om A är en kvadratisk matris och A C = E så är C inversen till A (och därmed gäller även C A = E). För tillfälle har vi dock inte tillräckligt med teoretisk backgrund för att kunna bevisa denna sats. En kort lista över inversens viktigaste egenskaper är följande Sats 7. (a) Om A är inverterbar så är även A inverterbar och ( A ) = A. (b) Om A är inverterbar och λ 0är ett reellt tal så är även λa inverterbar och ( λa ) = λ A. (c) Om A och B är inverterbara och A B existerar så är även A B inverterbar och ( A B ) = B A. (Lägg märke till byte av ordningen!) (d) Om A är inverterbar så är även A t inverterbar och ( A t) = ( A ) t. Bevis: (a) Eftersom A A = A A = E så är A den inversa matrisen till A, dvs. A = ( A ). (b) ( λ A ) (λa ) = ( λ λ) (A A ) = E = E. Likadantvisasattäven ( ) ( λa λ A ) = E, vilketmedför att λ A är invers till λa, dvs. λ A = ( λa ). (c) Vi vill visa att B A är inversen till A B. Uträkningarna ger ( B A ) ( A B ) = B (A A ) B = B E B = B B = E samt ( A B ) (B A ) = A (B B ) A = A E A = A A = E (observera en flitig anvädningav den associativa lagen). Därmed är B A inversen till A B, dvs. ( A B ) = B A. (d) Eftersom A t (A ) t ( =... med tanke på sats 5(a)... = A A ) t = E t = E ( samt ) A t A t = ( A A ) t = E t = E så är ( A ) t en inversmatris till A t,dvs. ( ) A t ( ) = A t. 3.. Och vad har man inverser för, då? Vi kommer så småningom att gå genom metoder för att avgöra om en matris är inverterbar eller inte(kapitel 4) och hur man kan bestämma inversen i förekommande fall. Just nu ska vi bara antyda hur betydelsefull inverterbarheten kan vara i praktiska sammanhang. Ekvationssystemet AX = B ser ju ut som en ekvation ax = b mellan tal. Vi har infört ett sätt att skriva och en notation som gör att det ser ut som om vi handskas med vanliga tal. Kanske kan vi dra parallellen ännu längre? Hur löser vi den ekvationen i tal, nämligen? Jo, genom att dela med a. Detär ju detsamma som att multiplicera med den multiplikativa inversen a till a, dettalsomuppfyllera a =.Såhär gör vi:

27 24. MATRISER ax = b a ax = a b x = a b x = a b. Vi har utnyttjat inverser och associativitet, och inverser finns ju för matriser också och associativitet gäller, så argumentet kan kopieras. Vi återgår till ekvationssystemet skrivet i form av en matrisprodukt A X = B. Omvi vet att matrisen A är inverterbar och kan bestämma dess invers A så räcker det nu att multiplicera bägge leden från vänster med A (observera att eftersom matrisprodukten inte är kommutativ så är det viktigt att man anger från vilken sida multiplikationen ska ske). Vi får alltså Då matrisprodukten är associativ så blir A (A X) =A B. A (A X) =(A A) X = E X = X. Därmed får vi att X = A B och systemet är löst! ( ) 3 Exempel 9. Låt A =. Med en enkel kontrollräkning kan vi verifiera att 5 2 ( ) 2 inversen till A är A =. Vi ska använda denna information till att lösa 5 3 { ( ) ( ) 3x + y =2 x 2 ekvationssystemmet 5x +2y =. Med beteckningarna X = och B = y kan systemet skrivas i matrisform som A X = B. Vänstermultiplikation med A ger A (A X) =A B. Då A (A X) =(A A) X = E X = X så är ( ) ( ) ( ) X = A B = =, dvs. x =5och y = 3. Detta är värt att formulera som en sats. Sats 8. Antag att matrisen A har en invers A. Då gäller att AX = B X = A B. Snälla, var försiktig med ordningen av multiplikationen här. Det är inte sant att AX = B X = BA. Däremot gäller att XA = B X = BA.

28 4. ÖVNINGAR Övningar (8) Låt A = 3 3 0, B = och C = Bestäm (a) A + B, (b) A B + C samt (c) A +2(3B C). (9) Bestäm matrisen X som uppfyller matrisekvationen 2A 3X =4B, där matriserna A och B är från förra övningen. (0) Betrakta fyra matriser: ( ) ( ) A =, B =, C = och D = Om man väljer två matriser X och Y bland dessa fyra (det kan vara en och samma matris två gånger) så kan man försöka multiplicera dessa X Y. Hur många sådana produkter finns det? Beräkna dessa i förekommande fall. ( ) x () Bestäm alla matriser A = sådana att A y z 2 = 0. ( ) a (2) Låt A =.Bestäm A 0 2, A 3 och A 4.GissahurmatrisenA n ser ut och bevisa ditt påstående med induktion. (3) Antag att A och B är två kvadratiska matriser av samma storlek. Är någon av de två formlerna (A + B) 2 = A 2 +2AB + B 2 och (A + B)(A B) =A 2 B 2 sann eller är båda falska? Motivera ditt svar. (4) Låt A och B vara två lika stora kvadratiska matriser. Betrakta faktoriseringen A + AB = A( + B). Vad är det som är fel med en sådan faktorisering? Hur bör faktoriseringen av A + AB se ut? a a 2 a 3... a n a (5) Låt A = 2 a 22 a a 2n vara en matris. Bestäm matriserna X och a m a m2 a m3... a mn Y sådana att X A = ( ) a a j a j2 a j3... a jn och A Y = 2i.. a mi a i

29 26. MATRISER (6) Antag att a a 2 a 3... a 9 a A = 2 a 22 a a a 7 a 72 a a 79 är en matris med 7 rader och 9 kolonner. Bestäm en matris X och en matris Y sådana att produkten X A Y är en matris av typ ochär lika med ( a 53 ). (7) Visa att för varje kvadratisk matris A är matrisen A + A t symmetrisk. (8) En kvadratisk matris A kallas skev-symmetrisk om A t = A. (a) Ge ett exempel på en 3 3skev-symmetriskmatris? (b) Visa att för varje kvadratisk matris A är matrisen A A t skev-symmetrisk. (9) Visa att för matrisen A = ( ) 0 gäller att A 3 = E. Är matrisen A inverterbar? (20) Antag att A är en kvadratisk matris som uppfyller sambandet A 2 3A + E = 0. Visa att A är inverterbar. (Ledtråd: försök finna inversen). (2) (a) Visa att matrisen B = är invers till A = x y z =4 (b) Använd del (a) till att lösa ekvationssystemet 2x y 2z =0. 4x +3y +5z =3 ( ) a b (22) Låt A = vara en matris och antag att talet λ = ad bc 0.Låtmatrisen c d ( ) d b B = λ.bestäm produkterna A B och B A. Vilken slutsats kan vi c a dra om matrisen A? 5. Appendix: Bevis för en sats i kapitel Bevis för associativa lagen för matrisprodukten, sats4(d) i kapitel 2, dvs att A (B C) = (A B) C. Bevis: Vi väljer att presentera ett av de tråkigare bevisen för denna sats men i gengäld behöver vi inte utveckla någon vidare teori som skulle förenkla argumenten.

30 5. APPENDIX: BEVIS FÖR EN SATS I KAPITEL 27 Låt A vara en m n matris, B enn r matris och låt C vara en r s matris. Kontrollen av antalet rader och kolonner visar att båda produkterna (AB)C och A(BC) existerar och ger en m s matris. ) ) ) (a ij (b ij (c ij Vi har alltså matriserna A = i m, j n, B = i n, j r Produkten AB är en m r matris i vilken på plats (ik) finnstalet n a i b k + a i2 b 2k + + a in b nk = a ij b jk. ( n Raden i imarisenab är alltså a ij b j j= n a ij b j2 j= j= n a ij b j3... Talet på plats (it) iprodukten(ab)c kan då skrivas som n n n a ij b j c t + a ij b j2 c 2t + a ij b j3 c 3t + + j= j= r ( n a ij b jk )c kt = k= j= j= j= r ( n ) a ij b jk c kt = k= j= r och C = n a ij b jr ). j= n a ij b jr c rt = j= k= j= n a ij b jk c kt. i r, j s Vi tittar nu på uttrycket i högra ledet, A(BC). Produkten BC är en n s matris och idenfinnsdetpåplats(pt) talet r b p c t + b p2 c 2t + + b pr c rt = b pk c kt. r k= b r kc kt kolonnen t imatrisenbc är därmed lika med k= b 2kc kt.. Således är talet på plats r k= b nkc kt (it) iproduktena(bc) likamed r r a i b k c kt + a i2 b 2k c kt + a i3 k= k= n r ) (a ij b jl c kt = j= k= k= r b 3k c kt + + a in k= n ( r ) a ij b jk c lt = j= k= n j= k= r b nk c kt = k= r a ij b jl c kt. Det är exakt samma summa som vi fick när vi räknade produkten (AB)C så när som på termernas ordning. Därmed är (AB)C = A(BC)..

31 KAPITEL 2 Determinanter För att göra introduktionen kort begränsar vi oss till ett tvärt yttrande: Determinanten är ett tal!. Determinanter av små matriser Determinanten är alltså ett tal. Den är ett tal som associeras med varje kvadratisk matris (obs: endast för kvadratiska matriser). Determinanten kan därför ses, om man så vill, som en funktion från mängden av kvadratiska matriser till mängden av de reella talen. Det finns flera olika sätt att beteckna determinanten för en (kvadratisk) matris a a 2... a n a A = 2 a a 2n ( ) = a ij. i,j n a n a n2... a nn Man brukar beteckna den som a a 2... a n a 2 a a 2n......, eller som aij i,j n, eller A, eller bara det A. a n a n2... a nn Hur definieras då determinanten? Eftersom den allmänna definitionen kan verka vara lite tillgjord och onaturlig så börjar vi med små matriser, där en definition är lite mera hanterbar... och 2 2 matriser. För en matrisa =(a) definierasdeterminanten helt enkelt som talet a: deta = a. Iallafalllätt att räkna ut. ( ) a b För en 2 2matrisB = definieras determinanten som talet det B = ad bc. c d Så är till exempel =3 4 7 =5, =4 ( 4) ( 3) ( ) = 9 och =0. 28

32 . DETERMINANTER AV SMÅ MATRISER 29 Självklart säger determinanten något väsentligt om en matris och har dessutom en viktig geometrisk tolkning, men det kommer vi att diskutera först i ett senare kapitel(se avsnittet om volymfunktioner). För tillfället ska vi ägna oss åt determinantens viktigaste formella egenskaper. Dessa egenskaper gäller för alla determinanter men bevisen i det allmänna fallet blir lättare att förstå om man först arbetar sig genom bevisen i fallen med 2 2och3 3matriser. Egenskap. λa b λc d = λ a b c d,ochlikadantomλ finns som faktor i den andra kolonnen, eller i den första, eller i den andra raden. Alltså, multiplicerar man en rad eller en kolonn i determinanten med ett tal så multipliceras determinanten med samma tal. Bevis: λa λc b d = λa d b λc = λ(ad bc) =λ a c b d En gemensam faktor i en hel kolonn eller rad kan man alltså faktorisera ut. Till exempel =3 2 2 =3 ( 5) = 5 och = = 4. Övning (). Visa att om A är en 2 2matrissåär (a) det(λa) =λ 2 det A. (b) det A t =deta Egenskap 2. a b + b 2 c d + d 2 = a b c d + a b 2 c d 2. Alltså om båda talen i en kolonn eller ienradkanskrivassomensummaavtvåtalsåär determinanten lika med summan av två determinanter. Bevis: a b + b 2 c d + d 2 = a(d + d 2 ) (b + b 2 )c = ad + ad 2 b c b 2 c =(ad b c)+ (ad 2 b 2 c)= a b c d + a b 2 c d 2. Ett exempel är följande 2 5 x + x 2 = 2 5 x x 2 =2x 5+2x2. Nästa två egenskaper kan också verifieras omedelbart genom en tillämpning av definitionen:

33 30 2. DETERMINANTER Egenskap 3. Om båda kolonnerna är lika (eller om båda raderna är lika) så är determinanten lika med 0, dvs. a a c c =0 och a b a b =0 Egenskap 4. Om en rad eller en kolonn består av enbart nollor så är determinanten lika med 0. Egenskap 5. Om raderna byter plats med varandra, eller om kolonnerna byter plats med varandra så ändrar determinanten tecken. Bevis: c d a b = cb da = ad + bc = (ad bc) = a c beviset likadant. b d.för kolonnerna görs Egenskap 6. Här är en egenskap som kommer att visa sig mycket användbar. Om till en kolonn adderas en multipel av den andra kolonnen så ändras inte determinanten. Motsvarande gäller för rader. Till exempel a b+ λa c d+ λc = a b c d och a + λc b + λd c d = a b c d. Bevis: Vi bevisar egenskapen i det första exemplet ovan: a b+ λa c d+ λc = a b c d + a λa c λc = a b c d + λ a a c c = a c Den första likheten följer från Egenskap 2, den andra från Egenskap och den tredje från Egenskap 3. Alla dessa egenskaper kommer att vara sanna för alla determinanter och de kommer att underlätta beräkningar av determinanter av större matriser. Hur då? Jo, tanken är att de faktiskt utgör operationer under vilka vi förstår precis hur determinanten ändrar sig, och att de är tillräckligt många för att vi ska kunna ändra en determinant till en form som är lätt att räkna ut matriser. En ganska omständlig definition för determinanten av matrisen A = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 är följande: a 3 a 32 a 33 b d. det A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3. Visst ser det grymt ut och man kan tro att det inte är möjligt alls att koma ihåg en sådan invecklad formel. Det är dock inte alls sant. För det första så finns det en viss systematik i denna summa av produkter, och för det andra så finns det en enkel minnesregel som används i praktiken. Den kallas för Sarrus regel efter en fransk matematiker från 800-talet. Så här fungerar den.

34 . DETERMINANTER AV SMÅ MATRISER 3 Ta en kopia av de två första kolonnerna i A och lägg den till höger om matrisen. Förbind därefter elementen i den nya, utökade matrisen med diagonala linjer enligt figuren nedan a. a 2. a 3. a.. a 2 a 2. a 22. a 23. a 2.. a 22 a 3. a 32. a 33. a 3. a 32. Räkna därefter ut produkterna av talen längs varje linje. De tre produkterna som finns längs linjer som går snett nedåt (heldragna linjer) tas med samma tecken som de har (d vsmultiplicerasmed+).detreprodukternasomfinnslängs linjer som går snett uppåt (streckade linjer) tas med omvänt tecken mot det de har (multipliceras med -). Läggs dessa produkter ihop så får vi determinanten. 2 3 Ett exempel: determinanten räknas enligt Sarrus regel ut som dvs. 2 0 ( ) + ( 3) ( 2) ( 2) ( 3) 5 ( ) = 22. x Övning (2). Lös ekvationen x 4 x x =0. Övning (3). Använd Sarrus regel för att visa att det A =deta t för en godtycklig 3 3matrisA. Observera att Sarrus regel bara är en minnesregel, inget annat. Dessutom gäller den enbart för 3 3 matriserochkanabsolutinteanvändas för större determinanter. Viktigare än att lära sig den är därför att inse hur beräkning av determinanten för en 3 3-matris reducerar sig till beräkningar av tre stycken 2 2determinanter.Detär denna idé som senare ligger till grunden för definitionen av determinanter av större matriser.

35 32 2. DETERMINANTER Efter ändring av termernas följd och ordningen på faktorerna i produkterna får vi det A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3 = a (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 2 (a 2 a 33 a 23 a 3 )+a 3 (a 2 a 32 a 22 a 3 ) a = a 22 a 23 a 32 a 33 a 2 a 2 a 23 a 3 a 33 + a 3 a 2 a 22 a 3 a 32. En annan faktorisering ger det A = a 2 (a 2 a 33 a 23 a 3 )+a 22 (a a 33 a 3 a 3 ) a 32 (a a 23 a 3 a 2 ) a = a 2 a 23 2 a 3 a 33 + a 22 a a 3 a 3 a 33 a 32 a a 3 a 2 a 23. Det som syns ovan kallas för utvecklingen av determinanten efter rad ett (i det första fallet) och utvecklingen efter kolonn två (i det andra fallet). Man kunde ha valt andra faktoriseringar också och får då utveckling efter en godtyckligt vald rad eller kolonn. Varför kallas det så? Titta på det första uttrycket. Varje term börjar med ett tal från matrisen (med tecken +eller ) följt med en 2 2determinant.Talenär valda i tur och ordning från den första raden, a, a 2 och a 3.Talenmultiplicerasmed+eller beroendepåplaceringen + + imatrisen.dettakanmanlätt komma ihåg enligt följande schema: (Närmare förklarat så finns det på plats (ij) talet( ) i+j.) Den 2 2determinantsomföljer talet a k får man genom att i den ursprungliga 3 3 determinanten stryka bort rad och kolonn k. Kontrolleradetta! Det andra uttrycket följer precis samma mönster, men denna gång väljs de tre talen från den andra kolonnen och den 2 2determinantsomföljer talet a k2 får man genom att i den ursprungliga 3 3determinantenstrykabortradk och kolonn 2. Så här fungerar alltså uträkningen av determinanten utan hänvisning till Sarrus regel: Välj en rad eller en kolonn i matrisen, till exempel raden i. För var och en av talen i denna rad, a i,a i2,a i3,multiplicerataleta ik med ( ) i+k samt med den 2 2determinantsom man får genom att i den ursprungliga 3 3determinantenstrykabortradioch kolonn k. Lägg sedan ihop de tre produkterna och resultatet är den sökta determinanten Ett exempel: Betrakta determinanten Vilken rad eller kolonn man än väljer för att utveckla den efter så blir resultatet detsamma. Finns det val som är smartare än andra? Jo, det gör det. Man kan lätt inse att bäst är att välja den rad eller kolonn som innehåller flest nollor. Varje nolla minskar nämligen antalet 2 2 determinanter som måste beräknas: en sådan determinant multiplicerat med 0 blir ändå 0.

36 . DETERMINANTER AV SMÅ MATRISER 33 Ivårtexempelväljer vi alltså rad två eller kolonn tre. Låt oss göra det andra valet. Då får vi: =(+) ( ) (+) ( 4) = 5(28 + 2) 4(0 2) = Egenskaper för determinanter av 3 3 matriser. Rubriken är lite missvisande för de egenskaper vi går genom gäller alla kvadratiska matriser. För tillfället koncentrerar vi oss endast på de som har storlek 3 3. Vi har konstaterat att det är optimalt att utveckla determinanten efter denna rad eller kolonn som innehåller flest nollor. Den fråga som man genast kan ställa sig är: kan man manipulera matrisen på sådant sätt att man trollar fram fler nollor utan att determinanten ändras? Det skulle förstås underlätta uträkningen väsentligt (i synnerhet för större matriser). Svaret är JA! och för detta har vi de sex egenskaperna som introducerades redan för 2 2determinanter.Här kommer de igen. Egenskap. En gemensam faktor i en hel kolonn eller rad kan faktoriseras ut. Till exempel = ( 2) = Bevis: Antag att den gemensamma faktorn λ finns i den tredje raden. Utvecklingen efter denna rad ger a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 λa 3 λa 32 λa 33 = λa 3 a 2 a 3 a 22 a 23 λa 32 a a 3 a 2 a 23 + λa 33 a a 2 a 2 a 22 ( a = λ a 2 a 3 3 a 22 a 23 a 32 a a 3 a 2 a 23 + a 33 a a 2 ) a a 2 a 3 a 2 a 22 = λ a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33. Egenskap 2. Om talen i en kolonn, eller i en rad, kan skrivas som en summa av två tal så är determinanten lika med summan av två determinanter, som i exemplet nedan: a a 2 a 3 a 2 + b 2 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 3 a 32 a 33 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 + a a 2 a 3 b 2 b 22 b 23 a 3 a 32 a 33. Bevis: Beviset genomförs på liknande sätt som för egenskap. Man börjar med utveckling av determinanten efter den rad eller den kolonn vars element uttrycks som summan två tal.

37 34 2. DETERMINANTER Med samma teknik, utveckling efter en lämplig rad eller en lämplig kolonn, bevisar man nästa tre egenskaper: Egenskap 3. Om två av kolonnerna är lika (eller om två av raderna är lika) så är determinanten lika med 0. (Om två kolonner är lika utveckla efter den tredje. Motsvarande för rader. Använd sedan samma egenskap för 2 2matriser.) Egenskap 4. Om en rad eller en kolonn består av enbart nollor så är determinanten lika med 0. (Utveckla efter noll-kolonnen eller noll-raden.) Egenskap 5. Om två rader byter plats med varandra, eller om två kolonner byter plats med varandra, så ändrar determinanten tecken. (Om två rader (kolonner) byter plats med varandra, utveckla efter den tredje. Använd sedan samma egenskap för 2 2matriser. Slutligen den mycket användbara egenskapen 6. Egenskap 6. Om till en kolonn adderas en multipel av en annan kolonn så ändras inte determinanten. Motsvarande gäller för rader. Bevis: Beteckna med u, v och w kolonnerna i matrisen A, dvs.a =(uvw). Antag vidare att vi vill räkna determinanten det(u v+ λu w), där alltså till mittersta kolonnen i A adderades λ gånger den första kolonnen i A. Dåär det(u v+ λu w) =...enligt egenskap... =det(uvw)+det(uλuw)=...enligt egenskap 2... =deta + λ det(u uw)=...enligt egenskap 3... =deta + λ 0=detA. Övning (4). Visa att om A är en 3 3matrissåär det(λa) =λ 3 det A. 2. Determinanter av n n matriser 2.. Definition. Nu när vi bekantat oss med determinanter av 2 2och3 3 matriser, samt med utveckling efter en rad eller en kolonn, så är vi redo för definitionen av determinanter av en godtycklig n n matris A. Definitionenvigerär induktiv: det betyder att vi antar att vi redan vet hur man räknar determinanter av matriser av storlek upp till (n ) (n ) och använder detta i definitionen av determinanten av en n n matris.

38 2. DETERMINANTER AV n n MATRISER 35 a a 2... a n a Antag att A = 2 a a 2n LåtA kvara matrisen som vi får från A genom a n a n2... a nn att stryka bort raden och kolonnen k. Dåär förstås A k en mindre matris, en (n ) (n ) matris, och alltså vet vi vad dess determinant är. Nu är vi redo att definiera determinanten av A: Definition 3. det A =( ) + a det A +( ) +2 a 2 det A 2 +( ) +3 a 3 det A 3 + +( ) +n a n det A n. Detta liknar alltså det vi gjorde tidigare med 3 3matriser:utvecklingenavdeterminanten av A efter rad. I ord kan man uttrycka sig så här: i uttrycket står alla elementen i rad, a,a 2,...,a n, vart och ett multiplicerat med sin motsvarande determinant A,A 2,...,A n, som man får genom att stryka första raden och den kolonn i vilket elementet står. Dessa produkter har adderats, med ett tecken som alternerar mellan + och. Övning (5). Visa att om D är en diagonalmatris så är det D =produktenavelementen längs diagonalen. Speciellt gäller att det E =. Vår strategi är just nu följande: A. Vi ska visa att om vi istället gör en likadan utveckling, fast efter en annan rad än rad så blir det erhållna talet lika med det A. Dettainnebär i så fall att vilken rad vi än väljer för att utveckla efter så blir det erhållna talet alltid samma, det A. B. Vi visar därefter att determinanten verkligen kan även räknas ut genom utveckling efter godtycklig kolonn och från detta kan vi att dra slutsatsen att det A t =deta gäller för alla kvadratiska matriser A. C. Vi ska slutligen visa att egenskaperna 6(somvisadesför 2 2och3 3matriser) gäller för alla n n matriser. Vi börjar alltså med steget A. Sats 9. Låt A vara en n n matris, A = ( a ij, och låt <k n vara ett ) i,j n n heltal. Då är utvecklingen efter rad k, ( ) k+i a ki A ki = i= ( ) k+ a k det A k +( ) k+2 a k2 det A k2 +( ) k+3 a k3 det A k3 + +( ) k+n a kn det A kn lika med matrisens determinant det A.

39 36 2. DETERMINANTER Ett mycket tekniskt bevis för denna sats (genom matematisk induktion) finns i Appendix (för den som inte vet vad Appendix är kan förklaras att det är en matematisk variant av Min storebror är starkare än din, älskad av matematiklektorer, och används när man utanegetarbete villfåliteskjutsframåtisamtaletellerkolafördelningen genom att hänvisa till Starka Makter Bortom Horisonten, eller som här i Slutet av Kompendiet). För steget B måste vi visa att determinanten kan räknas genom utveckling efter godtycklig kolonn, dvs. Sats 0. Låt A vara en n n matris och låt k n.dåär A = n ( ) i+k a ik A ik. Beviset, som återigen finns i Appendix ( Mycket, mycket starkare ) görs i två steg: först visar vi att utvecklingen efter den första kolonnen ger det A och sedan visar vi att samma gäller för utveckling efter godtycklig annan kolonn. En viktig konsekvens av denna sats är Sats. Låt A vara en n n matris. Då är A t = A. i= Bevis. Beviset genomför vi med hjälp av induktion. För n =är satsen en självklarhet då A t = A. Anta att ) påståendet gäller för något k ochlåta vara en (k +) (k +) matris, A = (a ij.betecknamedb matrisen A t.desselementär alltså b ij = a ji för i k+, j k+ i, j k +. k+ För att beräkna B utvecklar vi efter den första raden: B = ( ) +i b i B i. k+ För att räkna ut A utvecklar vi efter den första kolonnen: A = ( ) +i a i A i. Ibådauträkningarna får vi en summa av k +determinanteravstorlekk k men eftersom B i = A t i (i =, 2,...,k+) så följer från induktionsantagandet att B i = A i. Då vi också har att b ij = a ji (i =, 2,...,k+)såär B = A, dvs. A t = A. i= i= Nu kan vi avsluta denna sektion genom att visa determinantens grundläggande egenskaper. Bevisen är inte svåra och vi nöjer oss med att endast skissera metoden. Det är bra om man själv tänker efter lite hur ett detaljerat bevis bör se ut. Det är bra träning iproblemlösning av den typ som dyker upp mer och mer senare i ens matematiska(eller fysiska eller naturvetenskapliga liv.)

40 2. DETERMINANTER AV n n MATRISER 37 Egenskap. En gemensam faktor i en hel kolonn eller rad kan faktoriseras ut. Till exempel om faktorn λ finns i en kolonn så gäller att: a... λa k... a n a... a k... a n a 2... λa 2k... a 2n a = λ 2... a 2k... a 2n a n... λa nk... a nn a n... a nk... a nn Bevis: Utveckling efter kolonnen med λ ger : n n Vänstra ledet = ( ) i+k λa ik det A ik = λ ( ) i+k a ik det A ik =Högra ledet. i= i= Egenskap 2. Om talen i en kolonn, eller i en rad, kan skrivas som en summa av två tal så är determinanten lika med summan av två determinanter, som i exemplet nedan: a... a k + a k... a n a a 2... a 2k + a... a k... a n a... a k... a n 2k... a 2n a = 2... a 2k... a 2n a a 2k... a 2n a n... a nk + a nk... a nn a n... a nk... a nn a n... a nk... a nn Bevis: (Skiss) Utveckla efter kolonnen med summan a ik + a ik som vi gjorde i fallet med 3 3matriser. och fortsätt sedan så Egenskap 3. Om två av kolonnerna är lika (eller om två av raderna är lika) så är determinanten lika med 0. Bevis: (Skiss) Antag att två rader är lika. Utveckla determinanten efter en annan rad. Då får man determinanter av typ (n ) (n ) med samma egenskap (två lika rader). Alltså kan vi använda induktion. Egenskap 4. Om en rad eller en kolonn består av enbart nollor så är determinanten lika med 0. Bevis: (Skiss) Utveckla efter noll-kolonnen eller noll-raden. Egenskap 5. Om två rader byter plats med varandra, eller om två kolonner byter plats med varandra, så ändrar determinanten tecken. Bevis: Vi visar att om två kolonner i A byter plats så ändrar determinanten tecken. Beviset för rader kan göras på samma sätt.

41 38 2. DETERMINANTER Antag att u och v är två kolonner i A, A =(...u...v...), och att B får vi från A genom att u och v byter plats: B =(...v...u...). Betrakta matrisen C =(...u+v...u+ v...). Enligt Egenskap 3 är det C =0.Omvidåanvänder Egenskap tre gånger får vi 0=detC =det(...u+ v...u+ v...)=det(...u...u+ v...)+det(...v...u+ v...)= det(...u...u...)+det(...u...v...)+det(...v...u...)+det(...v...v...)=... den första och sista termen är lika med 0 (enligt Egenskap 3) och kvar har vi då = det A +detb. Därmed är det B = det A, Alternativt kan man genomföra beviset med hjälp av matematisk induktion: Antag att två kolonner är lika. Utveckla determinanten efter en annan kolonn. Då får man determinanter av typ (n ) (n ) med samma egenskap (två lika kolonner). Nu kommer vi fram till den mycket användbara egenskap 6. Egenskap 6. Om till en kolonn adderas en multipel av en annan kolonn så ändras inte determinanten. Motsvarande gäller för rader. Bevis: Beviset är identiskt med beviset tidigare för 3 3determinanter. Man kan förstås undra vad det är som gör dessa egenskaper så viktiga. Deras förträfflighet ligger huvudsakligen i beräkningstekniken. Genom att tillämpa dessa egenskaper kan matrisen omarbetas till en med ett stort antal nollor och det förenklar väsentligt uträkningen av determinanten. Som en illustration betrakta följande exempel: = faktorisera 3 från kol. tre och 2frånradtre addera rad ett till rad tre och (-4) ggr rad ett till rad fem = addera 3 ggr rad tre till rad två och fyra = adddera (-2) ggr kol. utveckla ett till kol. fyra och 2 efter kol. ett = 6 ( ) ggr kol. ett till kol. tre =

42 DETERMINANTER AV n n MATRISER = 6 ( ) utveckla efter rad tre faktorisera 4 ur kol tre, subtrahera rad två från rad ett och addera 2 ggr rad två till rad tre = ( ( 3) ( 2) ) =28. Sarrus = En viktig klass av matriser utgörs av de så kallade triangulära matriserna. En matris är uppåt triangulär om alla elementen under huvuddiagonalen är 0, medan en matris är nedåt triangulär om alla elementen över huvuddiagonalen är 0. Matrisen A nedan är uppåt triangulär medan B är nedåt triangulär. a b c d a A = 0 e f g 0 0 h i, B = b c 0 0 d e f j g h i j En diagonalmatris är ett specialfall av en triangulär matris, och de är de enda matriser som är både uppåt och neråt triangulära. Övning (6) Visa att determinanten av en triangulär matris är lika med produkten av elementen längs huvuddiagonalen Alternativa definitioner för determinanter. (Obs. Överkurs) Den definition av determinant som gavs här är bara en av flera möjliga sätt att introducera detta begrepp. Anledningen till att vi här valde just denna variant är att den genast ger en procedur för hur determinanten kan beräknas effektivt. Ett par andra viktiga sätt att definiera determinanten på är följande: En kombinatorisk idé går ut på att räkna produkter av de så kallade generaliserade diagonalerna i matrisen. En generaliserad diagonal är ett val av n element i matrisen på sådant sätt att två element aldrig är från samma rad eller från samma kolonn. Eftersom matrisen har n rader och n kolonner så blir det precis ett element från varje rad liksom ett från varje kolonn. Matrisens vanliga diagonal är alltså bara ett specialfall av en generaliserad diagonal. Antag då att man väljer elementet a i idenförsta raden, elementet a 2i2 idenandra raden, osv, och slutligen elementet a nin idensistaraden.eftersomtvåtalaldrigväljs i samma kolonn så är talen i,i 2,...,i n en permutation av, 2,...,n.Ochtvärtom, varje permutation (i,i 2,...,i n )av(, 2,...,n)gerprecisengeneraliseraddiagonala i,a 2i2,...,a nin.

43 40 2. DETERMINANTER Vi räknar nu ut produkten a i a 2i2 a nin av elementen i denna diagonal och utrustar den med tecknet + eller enligt en viss regel. Tecknet beror på just den aktuella permutationen (i,i 2,...,i n ). Man tittar på alla par (i j,i k )somär sådana att talet i k kommer efter talet i j iföljden (i,i 2,...,i n )samtidigtsomi k är mindre än i j.ettsådantparkallas för en inversion. Titta till exempel på permutationerna σ =(2, 3,, 5, 4) och σ 2 =(4, 2, 5,, 3) av (, 2, 3, 4, 5). I σ finns det tre inversioner: paren (2, ), (3, ) och (5, 4) medan i σ 2 finns det sex inversioner: paren (4, 2), (4, ), (4, 3), (2, ), (5, ) och (5, 3). Låt oss nu introducera permutationens tecken som sgn(σ) =( ) antalet inversioner i σ.i exemplet ovan får vi sgn(σ )=( ) 3 = ochsgn(σ 2 )=( ) 6 =. Nu är vi redo att ge en alternativ definition för determinanten till en n n matris A: det A = σ=(i,i 2,...,i n) sgn(σ)a i a 2i2 a nin, där summan tas över alla n! permutationerav(, 2,...,n). Ytterligare ett intressant sätt att introducera determinanter baseras på så kallade multilineära funktioner F från mängden av kvadratiska matriser till mängden av de reella talen. Låt oss beteckna kolonnerna i matrisen A med symbolerna v,v 2,...,v n.tillexempel a a n a v = 2. och v a n = 2n..DåkanmatrisenA skrivas som A =(v,v 2,...,v n ). a n a nn Låt F vara en funktion som till varje kvadratisk matris A tillordnar ett reellt tal F (A) på sådant sätt att F uppfyller följande tre villkor: (a) F är multilineär, dvs. om någon av kolonnerna i A är en lineär kombination av två kolonner, till exempel v k = αv k +βv k, sågäller att F (v,...,v k,αv k + βv k,v k+,...,v n )= αf (v,...,v k,v k,v k+,...,v n )+βf(v,...,v k,v k,v k+,...,v n ). (b) Om två kolonner i A är lika så är F (A) =0. (c) Om E är en enhetsmatris så är F (E) =. Man kan visa att det bara finns en enda funktion F som uppfyller de tre villkoren och att denna funktion F är just determinanten av matrisen A. Iandrasammanhangkallas funktionen F för volymfunktion. Meromdettaikapitel7. Dessa två definitioner av determinanten är förstås ekvivalenta med den vi gav. Detta bör så klart bevisas vilket vi dock avstår från här.

44 2. DETERMINANTER AV n n MATRISER Produktsatsen. Nu är vi äntligen där, vid kapitets avslutning. Här har vi ytterligare en viktig egenskap för determinanter: Produktsatsen. Men först en liten övning: ( ) ( ) 2 2 Övning (7). Låt A = och B =. Visa att A B B A. Visa 3 2 därefter att det(a B) =det(b A). Det är ingen tillfällighet att det(a B) =det(b A) iövningen ovan. Detta gäller alltid, ett faktum som är en av konsekvenserna av satsen nedan: Sats 2. (Produktsatsen) För alla kvadratiska n n matriser gäller det(a B) = det A det B. Beviset för denna sats ges lite senare i kapitel 4, när vi lärt oss manipulera ekvationssystem. Lite starkare är: Sats 3. För alla kvadratiska n n matriser gäller det(a B) = det(b A) = det A det B. Bevis: Enligt satsen ovan gäller att det(a B) =deta det B =detb det A = det(b A). Ordningen spelar alltså ingen roll när vi beräknar determinanten av en produkt, trots att AB BA iallmänhet. Låt oss avsluta med ett må-bra-exempel på determinantberäkningar. ( ) 2 Exempel 0. Låt A =. Vi ska beräkna det(a ), alltså determinanten av den matris som du får när du har multiplicerat A med sig själv 2345 gånger. Det är förstås en fälla, man ska absolut inte hetsa iväg och börja beräkna A 2,A 3 med siktet inställt på att nå A 2345 innan pensionen, i alla fall. Istället ska man ta ett djupt andetag, lugna ner sig och när pulsen stabiliserat sig utnyttja att det A = 0 2 =, och sedan använda produktsatsen som lite generaliserad(se d) i övningen nedan), säger att det(a 2345 )=(deta) 2345 = 2345 =. Detta var alltså ett exempel på hur en djupare insikt i matematik räddar matematikern från ett dystert liv i multiplikativt slavarbete, ett exempel av många på matematikens frälsande roll.(är det förresten någon som har några idéer till ett passande dansnummer, t ex baserat på detta exempel, så att vi kan sälja hela kompendiet till Bollywood, så är det bara att höra av sig till Paul eller Rikard.) Övning (8). Antag att A är en inverterbar matris. Visa att a) det A 0.

45 42 2. DETERMINANTER b) det(a )=(deta). c) det(a 2 )=(deta) 2. d) det(a k )=(deta) k,kpositivtheltal. 3. Övningar (9) Låt A = och B = 4 2 vara två matriser (a) Bestäm det A, det B samt det(a + B). (b) Är det allmänt sant att det A +detb =det(a + B)? 3 2 (0) Beräkna determinanterna a) , b) c) , d) (ledtråd: en lämplig ko lonnoperation förenklar uppgiften väsentligt). () Låt A vara en Vandermonde matris av ordning 3, A = det A =(a b)(b c)(c a). a a2 b b 2. Visa att c c 2 d +7 4 d +5 (2) För vilka värden på konstanten d är matrisen 3 3 icke inverterbar? d +6 3 d +4 3 (3) Lös ekvationerna a) x x =0, 2 x b) x 0 2 x + x 2 3 x x 2 = 2.

46 4. APPENDIX:BEVIS FÖR NÅGRA SATSER I KAPITEL 2 43 (4) Låt A = och låt E vara 3 3enhetsmatrisen.Bestäm alla 4 4 reella tal λ som uppfyller ekvationen det(a λe) =0. (5) Låt A och B vara två matriser av ordning 3 sådana att det A =8ochdetB =2. Bestäm det( 3 A)samtdet(B A t ). (6) Antag att A och B är två matriser av ordning n och att B är inverterbar. Visa att det(b AB) =deta. (7) En kvadratisk matris B kallas idempotent om B 2 = B. Vadkansägas om determinanten av en idempotent matris? (8) Visa att det(λa) =λ n det A, är A där en matris av ordnig n. (9) Låt A vara en skevsymmetrisk matris av ordning n, där n är ett udda tal. Visa att det A =0(skevsymmetriskbetyderattA t = A). (20) Lös ekvationen... x... 2 x... = x 4. Appendix:Bevis för några satser i kapitel 2 Vi bevisar här några satser från kapitel 2. Bevis för sats 9 i kapitel 2: Beviset är induktivt med avseende på matrisens storlek n. Endierktkontrollvisarattsatsengäller för 2 2matriser.Låtossdåantaga att den gäller för alla matriser av typ (n ) (n ), för något n 3ochattvår matris A är av typ n n. n Enligt definitionen är A = ( ) +i a i A i,(utvecklingefterdenförsta raden). i= a 2... a 2(i ) a 2(i+)... a 2n Eftersom A i är en (n ) (n ) matris, A i = a k... a k(i ) a k(i+)... a kn, a n... a n(i ) a n(i+)... a nn så kan vi räkna dess determinant genom att utveckla efter rad k.

47 44 2. DETERMINANTER A i = i ( ) (k )+s a ks (A i ) ks + s= n ( ) (k )+(s ) a ks (A i ) ks, s=i+ där symbolen (A i ) ks betecknar matrisen som vi får från A genom att stryka bort raderna och k samt kolonnerna i och s. Vi måste vara försiktiga med exponenten vid ( ) och ta hänsyn till att visa rader och/eller kolonner inte finns med i den aktuella, mindre, matrisen. Till exempel är raden k imatrisena som vi utvecklar efter i själva verket rad (k ) i den aktuella matrisen A i. Insättningen i formeln för A ger nu A = n ( i ( ) +i a i ( ) k +s a ks (A i ) ks + i= i= s= s= n ( ) +i a i A i = i= n s=i+ n ( i ) n ( ( ) +i a i ( ) k +s a ks (A i ) ks + ( ) +i a i n i ( ) i+k+s a i a ks (A i ) ks + i= s= n i= s=i+ i= ) ( ) k+s a ks (A i ) ks = n s=i+ n ( ) +i+k+s a i a ks (A i ) ks. Låt oss gå tillbaka till matrisen A och studera nu summan T = vilken svarar mot utveckling efter rad k. Vårtmålär att visa att T =deta. Vi noterar att A ks är en (n ) (n ) matris, a... a (s ) a (s+)... a n a A ks = (k )... a (k )(s ) a (k )(s+)... a (k )n, a (k+)... a (k+)(s ) a (k+)(s+)... a (k+)n a n... a n(s ) a n(s+)... a nn och vi räknar dess determinant genom att utveckla efter rad : s A ks = ( ) +i a i (A ks ) i + i= talet T som T = ) ( ) k+s a ks (A i ) ks = ( ) n ( ) k+s a ks A ks, s= n ( ) +(i ) a i (A ks ) i.följaktligen kan vi skriva om i=s+ n ( s ( ) k+s a ks ( ) +i a i (A ks ) i + s= i= n i=s+ ) ( ) i a i (A ks ) i =

48 4. APPENDIX:BEVIS FÖR NÅGRA SATSER I KAPITEL 2 45 n ( s ) ( ) k+s a ks ( ) +i a i (A ks ) i + s= i= n ( ( ) k+s a ks s= n i=s+ ) ( ) i a i (A ks ) i = n s n n ( ) k+s++i a ks a i (A ks ) i + ( ) k+s+i a ks a i (A ks ) i. s= i= s= i=s+ ( ) Om vi nu jämför uttrycken( ) och( ) finnerviattde nästan ser identiska ut. n i Skillnaden ligger i summationen. Den första termen i ( ) är ( ) i+k+s a i a ks (A i ) ks medan den andra termen i ( ) är n s= i=s+ i= s= n ( ) k+s+i a ks a i (A ks ) i. Uppenbarligen är (A i ) ks =(A ks ) i :bådafåsjuuragenom att stryka bort raderna och k samt kolonnerna n i n n i och s. Däremot ser summorna och inte precis identiska ut. Som tur är i= s= s= i=s+ så är de lika och det är lätt att övertyga sig om detta genom att skriva en lämplig tabell: välj talen i succesivt till, 2, 3, osv, fram till n och ange sedan alla tillåtna s enligt n i den första summationen,.tillexempel,för i =harviingaallss (eftersom s i= s= varierar från till i somjudåär 0). För i =2fårvienbarts = osv. Vi får följande par (i, s): (2,) (3,), (3,2) (4,), (4,2), (4,3) (5,), (5,2), (5,3), (5,4)... (n,), (n,2), (n,3), (n,4),..., (n,n ) Om vi sedan tittar på samma tabell kolonnvis så ser vi att för ett fixt s har vi med alla i som är större än s, vilketjuär inget annat än de par (i, s) somdykeruppisummationen n n.dettabevisarattdenförsta termen i ( ) är densamma som den andra i ( ). På s= i=s+ samma sätt kan vi övertyga oss att den andra termen i ( ) är densamma som den första i ( ). Sammanfattningsvis betyder det att uttrycken ( ) och( ) är identiska och därmed är T =deta.

49 46 2. DETERMINANTER Nu ska vi visa att det A även fås då man utvecklar determinanten efter den första kolonnen i A. Dettaskavianvända för att visa att determinanten kan beräknas genom utveckling efter en godtycklig kolonn (sats 0 kapitel 2). Vi ska alltså visa att Sats 4. A = n ( ) i+ a i A i. i= Bevis: (För Sats 0 i kapitel 2). Återigen använder vi matematisk induktion över matrisens storlek n. Satsenär uppenbarligen sann då n =2.Sålåtossantagaattden gäller för alla matriser av typ (n ) (n ), för något n 3. Vår matris A är av typ n n. SomtidigarelåterviA ij beteckna den (n ) (n ) matris som man får genom att i matrisen A stryka bort raden i och kolonnen j. Vi låter också C ij beteckna den (n 2) (n 2) matris som man får genom att i matrisen A stryka bort raderna och i samt kolonnerna och j. Vi utgår från definitionen A = n ( ) +i a i A i.eftersoma i är en (n ) i= a 2... a 2(i ) a 2(i+)... a 2n (n ) matris, A i = , såräknar vi A i genom a n... a n(i ) a n(i+)... a nn n utveckling efter den första kolonnen. För i 2: A i = ( ) (j )+ a j (A i ) j = n ( ) j a j C ji och för i =: A = j=2 A = a n ( ) +i a i A i = a i= n ( ) j a j2 (A ) j2 + j=2 n i=2 j=2 n ( ) (j )+ a j2 (A ) j2.därmed får vi att j=2 n ( ) j a j2 (A ) j2 + j=2 n ( ) +i+j a i a j C ji. j=2 n ( n ) ( ) +i a i ( ) j a j C ji = Åandrasidanär A j en matris av typ (n ) (n ) och vi räknar dess determinant genom utveckling efter rad ett. För j 2: A j = ( ) +(i ) a i (A j ) i n = n ( ) i a i C ji och för j =: A = i=2 i=2 i=2 n ( ) +(i ) a 2i (A ) 2i. i=2 j=2 ( )

50 4. APPENDIX:BEVIS FÖR NÅGRA SATSER I KAPITEL 2 47 För matrisen A gäller alltså att utvecklingen efter den första kolonnen är lika med n n n ( n ) a A + ( ) j+ a j A j = a ( ) i a 2i (A ) 2i + ( ) j+ a j ( ) i a i C ji = a j=2 n ( ) i a 2i (A ) 2i + i=2 n j=2 i=2 n ( ) j++i a j a i C ji. i=2 De andra termerna i ( ) och( ) är identiska. De första är lika eftersom båda räknar determinanten för den (n ) (n ) matris A,denenamedutvecklingefterden första efter matrisens första rad och den andra efter matrisens första kolonn. Därmed är uttrycken ( ) och( ) likaochpåståendeär bevisat. Nu är vi äntligen redo att visa att att determinanten för matrisen kan räknas ut genom att utveckla efter en godtycklig kolonn. Bevis: (För Sats 9 i kapitel 2). Beviset följer precis samma steg som beviset för motsvarande sats för rader i matrisen A (Sats i kapitel 2). j=2 i=2 ( )

51 KAPITEL 3 Lineära ekvationssystem Detta kapitel handlar om ekvationssystem, framförallt om hur man löser dem. Ekvationssystem är viktiga, ur många synpunkter. De dyker upp i så gott som alla tillämpningar av matematik, inte bara som system med två eller tre okända variabler, utan ofta med många fler. Googles sökmaskin t ex använder sig av (och löser regelbundet den s k Googledansen) ekvationssystem med flera miljarder variabler. Även för andra praktiska tillämpningar av matematik som att koda CD-skivor, maximera vinsten av att sälja kläder eller se till att mobiltelefonsamtal inte går att avlyssna, laborerar man med geometri i rum som har mycket högre dimension än våra vanliga futtiga 2(ett paper), 3(ett rum) eller 4(rummet med tid). Och inte ens i modern fysik har universum bara fyra rums och tidsdimensioner, utan i många modeller avsevärt fler, ibland oändligt många. En av nycklarna till att genomföra denna generalisering av geometri till högre dimensioner och som får den att bli enkel är teorin för ekvationssystem, och framförallt det faktum att det är enkelt att beskriva en systematisk metod Gauss-Jordan eliminering för att lösa dem. Som student i matematik får man lätt intrycket att alla problem kan lösas, men det är helt fel. Man kan enkelt verifiera detta genom ett experiment: skriv ner en funktion lagom komplicerat sammansatt av exponentialfunktioner, några cosinus, lite logaritmer och fråga sedan din lärare efter dess primitiva funktion. Explicit numeriskt kan vi beräkna den, men oftast inte som ett exakt uttryck. Ett annat exempel på ett svårlösligt problem är att trots att det finns en utomordentlig matematisk modell för vädret, kan vi inte förutsäga om det regnar om en månad eller inte. Det är faktiskt väldigt få av alla matematiska problem som vi kan lösa fullständigt. Därför är ett så allmänt problem som att finna alla lösningar till ekvationssystem, som verkligen alltid går att lösa, så viktigt.. Inledande exempel.. Några exempel på den geometriska innebörden av ekvationssystem i planet. Vi ska börja med att beskriva och också använda lite av den geometriska intuition om enkla ekvationssystem, som vi har vunnit efter alla våra års slit i skolan. Så småningom kommer vi att göra detsamma med mer komplicerade ekvationssystem i rummet. Vi vet t ex att lösningarna till en ekvation i två variabler, typ 2x +3y =5svarar mot de punkter (x, y) somliggerpåenvisslinjel iplanet.omvivillkanvilösa ut y = (2/3)x +(5/3), och vi vet då att vi får alla punkter på linjen genom att titta på grafen till funktionen f(x) = (2/3)x +(5/3). Om vi sedan har en ekvation till, typ 3x +2y =5,såsvarar(lösningarna till) dessa två ekvationer alltså mot två linjer. 48

52 Dessutom svarar lösningarna till ekvationssystemet 2x +3y = 5 3x +2y = 5. INLEDANDE EXEMPEL 49 där vi vill hitta alla (x, y) somuppfyllerbägge ekvationerna, motskärningen mellan linjerna. Detta är, eftersom våra ekvationer bara har två variabler, trevligt geometriskt å s k å d l i g t o c h v i k a n r i t a u p p d e t v å l i n j e r n a o c h s e h u r s k ärningspunkten mellan linjerna syns i figuren nedan. () Figur. Lösningen till ekvationssystemet ()

53 50 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Om vi ändrar ekvationerna, så kommer vi att byta linjer. Nu kan vi fundera på hur två olika linjer kan vara placerade gentemot varandra i planet. Det kan vara som i figuren nyss, så att de har en unik skärningspunkt som ligger på bägge linjerna. Men de kan också vara placerade så att de är parallella, och då har de ingen skärningspunkt alls. Och motsvarande ekvationssystem har ingen lösning alls. Att linjerna är parallella svarar mot Figur 2. Det finns ingen lösning till ekvationssystemet (2) att de har samma riktningskoe cient, så ett exempel på denna situation är linjerna i följande ekvationssystem: 3x +2y = 5 3x +2y = 6 Bägge linjerna har ju samma riktningskoe cient 3/2(eftersom 3x +2y =5 () y = ( 3/2)x +5/2 och3x +2y =6 () y =( 3/2)x +3.)Attdetintefinnsnågonlösning till ekvationssystemet kan vi se direkt från ekvationssystemet : anta nämligen att (x, y) är en lösning. Då ska 3x +2y både vara 5 och 6, men det går ju inte. En situation till kan faktiskt uppträda nämligen att de två linjerna är en och samma linje. Det behöver inte vara helt uppenbart från ekvationerna. Tag t ex ekvationssystemet 2x +3y = 7 (3) 20x 30y = 70 Vi har uppenbarligen två olika ekvationer, men delar vi den andra ekvationen med 0 ser vi att 20x 30y = 70 () 2x +3y =7.Detbetyderattlösningarna till bägge (2)

54 . INLEDANDE EXEMPEL 5 ekvationerna är desamma, nämligen en linje. I det här fallet har vi alltså oändligt många lösningar till systemet, och det som såg ut som en trevlig och snäll ensam punkt visade sig vara en hel linje. Vi sammanfattar dessa exempel: Vi har observerat att ett ekvationssystem (två ekvationer, två variabler x och y) kan ha En enda unik lösning Ingen lösning alls En hel oändlighet av lösningar Vad vi inte har observerat är ett system med säg precis 37 lösningar, beroende på att den situationen inte kan uppträda. Två (räta) linjer kan ju inte skära varandra i precis 37 punkter. Det finns alltså bara möjligheterna ovan. Våra observationer att lösningarna till ett ekvationssystem är som i de tre fallen ovan kommer att visa sig gälla för hur många ekvationer och variabler som helst..2. Några tillämpade exempel på hur ekvationssystem kan användas. I föregående avsnitt såg vi hur lösningen av ett ekvationssystem svarade mot en geometrisk konstruktion att dra två linjer och bestämma deras skärningspunkt. Ekvationsssystem dyker ofta upp i komplicerade geometriska situationer, som vi ska se senare, men också imångaandrasituationer.där kan storleken på dem enkelt bli hårresande, men låt oss börja blygsamt. Exempel. (Det här är en generalisering av piña coladaexemplet i kapitel ). Antag att en fabrik producerar i princip 00 olika varor, A,A 2,...,A 00 (t ex olika kläder) och att var och en av dessa kräver tillgång till 20 olika råvaror R,...,R 20 (tyger, tråd, färger, blixtlås...) närmare bestämt per enhet av A j går det åt a ij ton av R i. Fabriken har ett lager på b i ton av R i, i =,...,20. Hur ska man beskriva vad som kan tillverkas med detta? Antag att x j enheter av A j tillverkas (j =,...,00). Då går det för varje A j åt x j a ij ton av ingrediensen R i, och totalt P 00 j= x ja ij ton av R i. Att fabriken tillverkar x j enheter av A j (i =,...,00), och gör slut på alla råvaror, kan då uttryckas som ett ekvationsssystem, med tjugo ekvationer, X00 j= a ij x j = b i, i =, 2,...,20. Att ge en beskrivning av möjliga produktionsscheman hur mycket av plagget A j kan tillverkas är alltså detsamma som att lösa ekvationssystemet. (En sådan här beskrivning kan tyckas artificiell, men i nästa instans som lärs ut i kursen om optimering kan den användas för att se hur man ska maximera vinsterna genom att undersöka vilket produktionsschema som är förmånligast...och ekvationssystem är därför ett standardverktyg iföretagsekonomi.)

55 52 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Vad är (den matematiska, alltså...) moralen av detta exempel? Jo att ett rätt enkelt produktsortiment kan ge ett rejält stort ekvationssystem, och i praktiken innebära, som vi ska se om ett tag, att vi arbetar med 00-dimensionella rymder. Exempel 2. Ett exempel till på praktisk användning av stora ekvationssystem är Google. Och nu handlar det inte bara om måttligt stora, utan om gigantiska ekvationssystem med många miljarder rader. Det praktiska problemet bakom en sökmotor, som Google, är att snabbt hitta de sajter som innehåller mest relevant information, när man söker på något, t ex ekvationssystem. För att göra detta ges varje internetsajt en ranking, som ska ha egenskapen att ju större detta tal är, desto intressantare och mer väsentlig är sajten. Wikipedias utmärkta artikel om Gauss-Jordan eliminering ska förstås ha högre ranking än en gnällig lärarblogg om hur jobbigt det är att lösa ekvationssystem för hand på en nerkritad tavla tidigt på måndagsmorgonen. Det som gjorde att Google blev mer populär än konkurrerande sökmotorer, var att dess ranking upplevdes som mer e ektiv och användbar. Idéen till den kom från grundarnas kunskaper i lineär algebra, egentligen inte så komplicerade, utan ungefär vad man lär sig på ett års matematikstudier. Vi ska inte gå in på detaljer googla på eh,...google för att hitta ett antal utmärkta framställningar... utan bara notera att en fundamental del var att beskriva internet självt med en kvadratisk matris alltså ett kvadratiskt talschema A(se kapitel ). Det går till så här. Varje internetsajt ges en egen rad och en kolonn, och på plats (i, j) i i:te raden och j:te kolonnen står om sajt i länkar till sajt j, och 0 annars. Detta kallas nätets adjacensmatris, och antalet rader och kolonner är alltså lika med ofattliga antalet internetsajter... Inte nog med det, för att nu beräkna ranking för olika sajter, multiplicerar man ihop denna matris med sig själv...många gånger(se kap för hur man gör det). Håll med om att detta låter totalt vansinnigt och helt opraktiskt! Men så är det alltså inte, sett ur perspektivet av ett börsvärde på numera 00 miljarder dollar för Google. Fast det är förstås så att den fulla matematiska historien om hur man ska genomföra sådana multiplikationer(och hur de används) är (lite) mer komplicerad än så, och basen för börsvärdet också, för den delen, är inte bara lineär algebra. 2. Gauss-Jordan elimination Det går alltid att lösa ekvationssystem! Eller åtminstone när det finns lösningar...eller mer precist: det går att ge en enkel metod för att se om det finns lösningar, och som dessutom hittar dem i så fall...i alla fall om det är rimligt många ekvationer och man har en vänligt inställd dator i närheten. Vi ska beskriva metoden i det här avsnittet. Gauss-Jordan elimination består av två delar Vissa tillåtna operationer

56 2. GAUSS-JORDAN ELIMINATION 53 En strategi för att använda dessa operationer systematiskt för att förenkla ekvationssystemet De tillåtna operationerna är vad man kan göra med ett ekvationssystem och få ett nytt ekvationssystem, som har precis samma lösningar. Ett exempel på en tillåten operation är att byta plats på ekvationerna i systemet... Men att göra ett antal platsbyten, kan kanske vara psykologiskt mycket tillfredsställande, men det räcker förstås inte för att lösa ett ekvationssystem, så det finns flera andra tillåtna operationer. Två ekvationssystem med precis samma lösningar kallar man ekvivalenta. Strategin i Gauss-Jordan elimination är att systematiskt använda de tillåtna operationerna för att till slut få ett ekvivalent och jätteenkelt ekvationssystem, så vansinnigt enkelt att man helt enkelt inte kan undvika att direkt se vad den eventuella lösningen är. Låt oss börja med att titta närmare på ekvivalens. 2.. Ekvivalenta ekvationssystem. Vi upprepar: två ekvationssystem med precis samma lösningar kallar man ekvivalenta. Exempel 3. Här är ett exempel på två enkla system som är ekvivalenta. x + 2y = 2 y = () x = 0 y = Observera att det andra systemet här verkligen är ett system av ekvationer, men att det förstås är så enkelt att vi bara kan läsa av lösningen x =0,y =. Det första systemet har också den enda lösningen x =0,y =. (Antag nämligen att (x, y) löser det första ekvationssystemet. Då är y =och vi kan stoppa in detta värde i den första ekvationen: 2 = x +2y = x +2 () x =0.)Eftersom systemen har precis samma lösningar är de ekvivalenta. Exempel 4. Här ett varnande exempel på hur man begår dödssynden att förlora information (oavsiktligt). Starta med ekvationssystemet 8 >< >: x + y + z = 0 y + z = 0 z = 0 x + y + z = Den tredje ekvationen i systemet talar om vad z är. Stoppar vi in detta värde i den andra ekvationen får vi att y +0=0 () y =0. Stoppar vi sedan in värdena på y och z i den första ekvationen så får vi att också x =0. Alltså bör väl ekvationssystemet ha den enda lösningen x =0,y =0,z =0. Men vänta! Vi har ju inte använt den fjärde ekvationen, och alltså förlorat en del av informationen i det ursprungliga systemet. Om vi nu kontrollerar ser vi att vår lösning

57 54 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM inte alls fungerar för det ursprungliga systemet. Om nämligen x =0,y =0,z =0så är x + y + z =06=. I själva verket ser vi att om vi betraktar den första och den fjärde ekvationen så kan det inte finnas några värden på x, y, z som gör bägge dessa ekvationer sanna samtidigt. Summan x + y + z kan ju inte både vara 0 och. Sammanfattning: vårt argument i början av exemplet visade att 8 >< >: x + y + z = 0 y + z = 0 z = 0 x + y + z = =) 8 < : x = 0 y = 0 z = 0 Det ska tolkas som Om det finns x, y, z som gör det första systemet sant så måste x =0,y =0,z =0. Men omvändningen För x =0,y =0,z =0,så är alla ekvationer i det första systemet sanna. är inte sann, och därför är systemen inte ekvivalenta. 8 < : x = 0 y = 0 z = 0 8 x + y + z = 0 >< y + z = 0 ; z = 0 >: x + y + z = Ett sådant här beteende kan vara gömt och mindre uppenbart än här. Det är därför vi behöver en systematisk metod De tillåtna operationerna. Vad kan man då göra med ett ekvationssystem utan att förändra vilka dess lösningar är? De första operationerna här känns så uppenbara att det kan tyckas lite fånigt att ens ta med dem, men vi ska se att de också är användbara och nödvändiga. Vi har tre tillåtna typer av operationer som inte förändrar lösningarna av ett ekvationssystem. Byta plats på två ekvationer i systemet... Multiplicera en ekvation med ett tal som är skilt från noll. Multiplicera en ekvation med ett tal och dra bort eller lägga resultatet till en annan ekvation i systemet. Vi ska visa vad vi menar och se hur dessa operationer ser ut i några exempel. Byta plats på två ekvationer i systemet. Ja, det är väl klart att t ex x + 0y = 3 00x + 2y = 84

58 2. GAUSS-JORDAN ELIMINATION 55 har samma lösningar som 00x + 2y = 84 x + 0y = 3. Vi får alltså ett system med samma lösningar som det vi startar med om vi byter plats på några ekvationer... Multiplicera en ekvation med ett tal som är skilt från noll. Det är t ex klart att två tal x, y har egenskapen att x +2y =3omochendastom 000(x +2y) =000 3 () 000x +2000y =3000.(Tyantarviattx +2y =3 och multiplicerar bägge leden i x+2y =3med000fårvi000x+2000y =3000, och omvänt om vi antar att 000x +2000y = 3000 och delar bägge leden i 000x +2000y =3000med000fårvix +2y =3.) Därav följer att systemet x + 2y = 3 7x + 2y = 84 har samma lösningar som 000x y = x + 2y = 84 (Men om vi multiplicerar en ekvation med 0 så tappar vi information, och hamnar idendelavhelvetetsomär reserverad för denna synd. Det är ju absolut inte sant att x +2y =3omochendastom 0(x +2y) =0 3 () 0=0.Tydåskullealltid x +2y =3gälla, för alla tal x, y.) Multiplicera en ekvation med ett tal och lägga till en annan ekvation i systemet Detta är lite knivigare. Ett exempel: Vi vill förenkla följande system, helst lösa det. x + 2y = 3 2x + 5y = 86 (Det här enkla exemplet vet ni hur man löser, men vi vill göra det på ett sätt som fungerar när det är fler obekanta än 2. Därför gör vi det på ett lite krångligare sätt här). En idé är att multiplicera den första ekvationen med ett lämpligt tal, och dra bort den från den andra ekvation allt med avsikten att en av variablerna försvinner. Så här: Antag att vi har (x, y)som löser ekvationssystemet. Vi multiplicerar den förstaekvationen x+2y = 3med2: 2(x +2y) =2 3, Vänsterledet här är alltså samma tal som högerledet, även om de har olika form, och det talet kan vi i vänsterledsform respektive högerledsform dra bort från bägge sidor av den andra ekvationen i systemet: (2x +5y) 2(x +2y) =86 2 3

59 56 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM eller y =80. Visst ser denna ekvation (ty en sådan är det ju i alla fall...) bra mycket bättre ut! Men har vi inte tappat kontrollen över lösningarna nu? Det är klart att om (x, y) löser det första systemet, d v s löser bägge ekvationerna där, så löser den dels x +2y =3,eftersomdettaärenekvation i det första systemet, och dels y =80,somvisågovan.Dettabetyderatt x + 2y = 3 x + 2y = 3 =) 2x + 5y = 86 y = 80 Men omvänt om (x, y) uppfyllerdetandraekvationssystemet,dvs x + 2y = 3 y = 80 så kan vi ju addera 2 gånger den första ekvationen i detta system till den andra ekvationen och få tillbaka den ursprungliga ekvationen från det första systemet: 2(x +2y) +y = () 2x +5y = 86. Alltså uppfyller (x, y) bägge ekvationerna i det ursprungliga systemet, och de två systemen är ekvivalenta. Låt oss formulera argumentet ovan så här: x + 2y = 3 2x + 5y = 86 () x + 2y = 3 y = 80 Vi kan väl förresten lika gärna avsluta lösningen med att stoppa in det värde på y som vi hittade och få ut x: x+2y =3, ger att x+2 80 = 3 () x = 57. Även detta kan vi formulera som en tillämpning av den tredje operationen ovan: om vi drar bort 2 gånger ekvationen y =80fråndenförsta ekvationen får vi (x +2y) 2y =3 2 80, d v s x = 57. Här har vi alltså ett (baby)-exempel på hur man kan lösa ekvationerna ovan med de tre operationerna, ja, t o m bara en, i detta exempel. Alltså x + 2y = 3 2x + 5y = 86 () x = 57 y = 80 Notera att det sista ekvationssystemet så att säga är sin egen lösning, alltså är så enkelt att det omedelbart syns vad lösningen är... Låt oss vara övertydliga och formulera innehållet i denna sektion som en sats. Sats. Antag att vi har två ekvationssystem och att det ena fås ur det andra med hjälp av en av de tillåtna operationerna. Då är systemen ekvivalenta. Bevis. Vi vill inte införa beteckningar här, eftersom vi tycker att de döljer att satsen bara är några väldigt enkla påståenden. Låt oss istället göra så här. Kalla de två systemen system och system 2. Vi ska visa två påståenden Aattom(x, y) löser system, så löser det system 2 och sedan Battom(x, y) löser system 2, så löser det system.

60 2. GAUSS-JORDAN ELIMINATION 57 Vi har tre fall: i) om system 2 fås från system genom att två ekvationer har bytt plats, så är väl påståendena A och B helt klara. Så är det väl också i fall ii) där en av ekvationerna multiplicerats med ett tal c skiljt från noll. Det första påståendet följer av att vi kan multiplicera en likhet med c och fortfarande ha en likhet, medan det andra följer av att vi kan få tillbaka ekvationen i system genom att dela med c (eftersom c var skiljt från 0). Slutligen har vi fall iii) där system och system 2 skiljer sig åt med precis en ekvation, säg den j:te, som i system 2 består av att vi multiplicerat ekvation i i system med ett tal d och lagt till ekvation j. Återigen är A klart, därför att så kan vi handskas med likheter, och B är klart, eftersom vi kan få tillbaka system från system 2 genom att multiplicera ekvation i isystem2meddoch dra ifrån ekvation j isystem2.(omläsaren inte tycker om detta bevis, så analysera ett exempel, i stil med det ovan, och genomför sedan ett bevis för ett allmänt system.) 2.3. Ett arketypiskt exempel på Gauss-Jordan elimination. Nu när vi vet vad som är tillåtet att utföra på ett ekvationssystem utan att förändra lösningarna ska vi beskriva strategin i Gauss-Jordan eliminering via ett exempel. Löst sagt är vi ute efter att succesivt få nya system som använder allt färre och färre variabler, och därmed är enklare. I det första exemplet nedan startar vi med ett 3 3-system. Vi antar att vi har x, y, z som uppfyller följande ekvationssystem: 8 < : x + y + z = 3 2x + 4y + 6z = 4 20x + 26y + 28z = 4 (4) Nu ska vi plocka fram ekvationer som följer ur de ovanstående, men som inte innehåller x. Vi ska eliminera variabeln x. Starta med att dra bort 2 gånger den första ekvationen från den andra ekvationen: (2x +4y +6z) 2(x + y + z) =4 (2 3) () 2y +4z = 2. (Här ser man varför vi valde att multiplicera den andra ekvationen med just 2, nämligen för att då försvann x.) Det ger oss det ekvivalenta systemet 8 < : x + y + z = 3 2y + 4z = 2 20x + 26y + 28z = 4 Om x, y, z är tal som uppfyller ekvationerna i (4), så såg vi nyss att då uppfyller x, y, z ekvationerna i (5). Omvänt om x, y, z är tal som uppfyller ekvationerna i (5) så kan vi multiplicera första ekvationen med 2 och lägga till den andra ekvationen, och få att andra ekvationen i system (4) är sann. Alltså är alla ekvationer i (4) sanna. Därmed är systemen (5)

61 58 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM ekvivalenta. Det visste vi redan från satsen i föregående avsnitt, men tjat är all kunskaps moder, och en yrkesskada hos lektorer. Nu fortsätter vi med att eliminera x ur den tredje ekvationen, på samma sätt: (20x +26y +28z) 20(x + y + z) =4 (20 3) () 6y +8z = 56. Detta ger det ekvivalenta systemet 8 < x + y + z = 3 2y + 4z = 2 : 6y + 8z = 56 (6) Utan att vi förändrat lösningarna till system (6) har vi alltså fått två ekvationer som innehåller färre variabler, eller annorlunda uttryckt, det finns bara en ekvation som innehåller x kvar. Kan vi eliminera y på samma sätt, så att det bara finns en ekvation som innehåller y? Multiplicera först, för att ge enklare räkningar, den andra ekvationen med /2: Detta ger det ekvivalenta systemet 8 < : x + y + z = 3 y + 2z = 6y + 8z = 56 Eliminera sedan y ur den första och tredje ekvationen genom att dra bort lämpliga multiplar av den andra ekvationen. Först: (7) Sedan (x + y + z) (y +2z) =3 ( ) () x z =4 (6y +8z) 6(y +2z) = 56 6 ( ) () 4z = 50 Detta ger oss det ekvivalenta systemet: 8 < x z = 4 y + 2z = : 4z = 50 (8) Vi ser alltså att vi verkligen har lyckats eliminera y ur alla ekvationer utom en. Nu gör vi samma med z. Först multiplicerar vi den sista ekvationen med /4 såattkoe cienten framför z är. 8 < : x z = 4 y + 2z = z = 25/2 (9)

62 2. GAUSS-JORDAN ELIMINATION 59 Det betyder alltså att vi vet vad z är i en (eventuell) lösning. Vi kan stoppa in detta värde på z idetvåandraekvationerna,ochfåframvärden på x och y. Eller, vilket egentligen är samma sak, vi kan göra som nyss och eliminera z ur första och andra ekvationen, genom att multiplicera med lämpliga multiplar av den sista ekvationen z = 25/2 i systemet ovan och dra bort dessa multiplar. Alltså, samt (x z)+z =4+25/2 () x =33/2, (y +2z) 2z = 2 (25/2) () y = 26. Detta har alltså till slut gett oss följande ekvivalenta ty vi har bara använt oss av de tillåtna operationerna system, som förstås samtidigt är det ursprungliga systemets lösning. 8 < : x = 33/2 y = 26 z = 25/2 (0) 2.4. Om att bejaka lusten att vara lat, och vilken hjälp i det ett e ektivt notationssystem är. Nu är det ju visserligen inte läsaren som skrivit ner det nyss genomlästa exemplet, men tro oss, det blir ett antal smärtsamma rader med x, y, z att skriva och allt som kan förenkla räkningarna och skrivandet är välkommet. Vi ska presentera ett sådant notationssystem, där vi åtminstone slipper att skriva ut variablerna, och i vilket vi kan beskriva de operationer vi genomför genom snygga förkortningar. Låt oss börja med att koda, alltså beskriva, ekvationssystemet på ett lämpligt sätt, i en matris, dvsett rektangulärt schema av tal(mer om matriser står i kapitel, men det behövs inte nu). Vi använder varsin kolonn för koe cienter till respektive x, y, z och sedan en egen kolonn för talen till höger om likhetsstrecket i ekvationerna(separerad från de andra kolonnerna med ett streck): 8 < : x + y + z = 3 2x + 4y + 6z = 4 20x + 26y + 28z = 4 kodas som A () Första kolonnen i matrisen är alltså koe cienterna för x idetreekvationerna,osv. De tre första kolonnerna utgör systemets koe A Det lodräta strecket(som strikt taget inte hör hemma i en matris) representerar likhetstecknet och kolonnen till höger om det har som element de tre tal som utgör högerleden

63 60 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM i ekvationerna. Varje ekvationssystem, kan kodas på detta sätt, och omvänt beskriver varje matris av denna form ett ekvationssystem. Notera att varje rad beskriver en av ekvationerna i ekvationssystemet. Vad innebär nu de tillåtna operationerna för matrisen? Jo, förstås att byta plats på två ekvationer svarar mot att byta plats på motsvarande två rader, och att multiplicera en ekvation med ett tal c skilt från noll svarar mot att multiplicera varje element i motsvarande rad med samma tal c. Vi har också en operation på matrisen som svarar mot den tredje tillåtna operationen på ekvationssystem. Matrisen kodar förstås följande ekvationssystemet i variablerna x,x 2,x 3,x 4. (2). x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 x + 0x x x 4 = 0000 Att multiplicera den första ekvationen med säg 2 och dra bort från den andra ekvationen, d v s ger (x +0x 2 +00x x 4 ) 2(x +2x 2 +3x 3 +4x 4 )= , ( 2 )x +(0 2 2)x 2 +(00 2 3)x 3 +( )x 4 = Uttryckt i raderna av matrisen (2) som kodar ekvationssystemet så har vi multiplicerat första raden med 2( d v s multiplicerat varje element i den raden) och dragit bort resultatet från den andra raden(elementvis, precis som vi multiplicerar och adderar/subtraherar matriser). Det hade synts tydligare om vi ställt upp subtraktionen så här, så att samma variabel hamnar i samma kolonn:. x + 0x x x 4 = (x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 )= 2 5 x + 6x x x 4 = 9990 Att ta en multipel av en ekvation och lägga till en annan ekvation svarar alltså mot matrisoperationen att ta en multipel av raden motsvarande den första ekvationen och lägga till raden motsvarande den andra ekvationen. Vi får alltså tre tillåtna radoperationer på matriser som svarar mot de tre tillåtna operationerna på ekvationssystem. De kallas för elementära radoperationer.

64 V V Y 2. GAUSS-JORDAN ELIMINATION 6 Byta plats på två rader Multiplicera en rad med ett tal som är skilt från noll. Multiplicera en rad med ett tal och dra bort eller lägga resultatet till en annan rad. Exempel 5. Nu kan vi uttrycka räkningarna som gav lösningen av ekvationssystemet nyss på matrisform. Att två matriser kodar ekvivalenta ekvationssystem beskriver vi med symbolen, som utläses som ekvivalent med. Vi beskriver också vilka radoperationer vi använder: >: >; >: >; >: >; >: >; >: >; 2 2 >: >; Notera hur vi beskriver operationerna: talen inuti cirklarna står vid den rad som ska multipliceras med det talet och pilen pekar på den rad till vilket resultatet ska läggas. Iförsta vändan har vi alltså gjort två radoperationer. Vi har multiplicerat elementen i första raden med 2 respektive 20 och lagt till andra raden respektive den tredje raden. I den andra vändan har vi multiplicerat andra radens element med /2, vilket är markerat med vid den raden. O s v. Att vi kommit fram till en lösning, ser vi direkt av 2 slutresultatets form. Där står ju till vänster om strecket 3 3- enhetsmatrisen, och uttolkat i ekvationssystem svarar det mot ett ekvationssystem (0) från vilket vi kan avläsa lösningarna direkt.

65 V { LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM 2.5. Fler exempel på Gauss-Jordan elimination. Som vi redan sett i de allra första exemplena i detta kapitel, så är lösningarna inte alltid så snälla som i de två föregående sektionerna. Det är inte så att det alltid finns någon lösning överhuvudtaget alls, och det är inte ens så att det alltid bara finns en enda unik lösning om det nu råkar finnas en lösning! Idettaavsnittskaviillustreradettamedtvåexempeltill,ettpåvart och ett av dessa två fenomen. Vi har förresten redan sett liknande exempel i två variabler ideninledandesektionenidettakapitel.där såg vi precis samma sak hända, att antalet lösningar till ett ekvationssystem kunde vara noll eller oändligt många, och gav det en geometrisk motivering med hjälp av grafer i planet. Och samma sak kan alltså hända med fler variabler. Exempel 6. Vi ska lösa ekvationsssystemet 8 < x + y + z = 3 2x + 4y + 6z = 4 : 20x + 40y + 60z = 40 (3) Vi kodar systemet som en matris och sätter igång med att eliminera variabler med de tillåtna radoperationerna >: >; >: >; >: >; >: >; Ja, vad ska vi göra nu? Det går inte att eliminera fler variabler och en ekvation har försvunnit. Vi är förvirrade och vilse i matrisdjungeln, men räddas av att vi tittar på det ekvationssystem som svarar mot matrisen. 8 < : x z = 4 y + 2z = 0 = 0 Den sista ekvationen är förstås uppfylld, vad än för x, y, z vi har. Den är alltså totalt intetsägande, en nolla bland ekvationer s a s, och vi kan glömma den. Men notera nu att, om vi testar ett värde på z vilket som helst, t ex z =23, så kan vi lösa ut först y = 2z = 427 och sedan x =4+z =27. Vi kan upprepa denna räkning för vilket (4)

66 V { 2. GAUSS-JORDAN ELIMINATION 63 annat värde på z som helst, och får alltså oändligt många lösningar, en för varje värde på z. De kan beskrivas så här: sätt z = t 2 R. Dåär som nyss y = 2z = 2t och sedan x =4+z =4+t, så att alla lösningar kan beskrivas som x =4+t, y = 2t, z = t, t 2 R. Vi beskriver alltså hur en lösning ser ut om dess z-värde är t. Till varje värde på t hör precis en lösning, och till varje lösning hör precis ett värde på t. Visäger att t är den parameter som beskriver de olika lösningarna och att vi har löst ekvationssystemet med en parameterlösning. Exempel 7. Hur ser det ut när ett ekvationssystem inte har några lösningar? Vi ska lösa ekvationsssystemet 8 < : x + y + z = 3 2x + 4y + 6z = 4 20x + 40y + 60z = 42 (5) Vi kodar återigen systemet som en matris och sätter igång med att eliminera variabler med de tillåtna radoperationerna. (Observera att det är nästan samma system som i föregående exempel, och att operationerna därför blir desamma.) >: >; >: >; >: >; >: >; Ja, vad ska vi göra nu? Det går inte att eliminera fler variabler och den sista ekvationen ser konstig ut. I det ekvationssystem som svarar mot matrisen är den ju bara ekvationen 0=2, som aldrig kan ha några lösningar, vilka värden vi än tilldelar x, y, z. Alltså kan inte heller det ursprungliga systemet ha några lösningar. Vi har alltså analyserat ekvationssystemet fullständigt.

67 64 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM 2.6. Ett sista exempel på Gauss-Jordan elimination för den som vill klara tentan. Precis som konkreta tal inte dyker upp så ofta i tillämpningar av matematik, utan mycket oftare variabler, så är ekvationssystem med obekanta parametrar som koe cienter läskigt vanliga. Ska man reda ut deras beteende kan man emellertid fortfarande använda sig av Gauss-Jordan elimination. Exempel 8. Lös, för varje värde på a 2 R, ekvationssystemet 8 < x + y + z = x + a 2 y + z = a : x + 2y = För åskådlighetens skull kodar vi inte detta som en matris, utan redovisar beräkningarna direkt på ekvationerna. Först drar vi bort den första ekvationen från de två andra, och får en intressant situation: 8 < : x + y + z = (a 2 )y = a y z = 2 Varför intressant? Jo, titta på mittenekvationen. Normalt sett skulle vi vilja dela med koe cienten a 2 framför y, för att fortsätta Gauss-Jordan elimineringen. Det kan vi göra om a 2 6= 0, men inte när a 2 =0 () = a = ±. Vi får tre olika fall och vi ska se att lösningarnas utseende är olika i alla tre. Fall : a 2 6= 0. Då delar vi den andra ekvationen med a 2 och får (efter förenkling, utnyttjande att a 2 =(a )(a +)) 8 < : x + y + z = y = a+ y z = 2 8 < : () x + z = a+ y = a+ z = 2+ a+ 8 < : () x + z = a+ y = a+ z = 2 a+ 8 < : 2 x = a+ y = a+ z = 2+ a+ () Vi har alltså en unik lösning för varje a som inte är ±. Fall 2: a =. Ja, då sätter vi förstås in a =i det ursprungliga systemet och får 8 8 < < : x + y + z = x + y + z = x + 2y = () : x + y + z = 0 = 0 y z = 2 Vi ser att vi nu kan lösa ut x, y i termer av z, så att oberoende av vilket värde på z som är aktuellt, kan vi hitta en lösning med det z-värdet. Vi har alltså en parameterlösning, som vi kan beskriva så här:

68 3. ÖVNINGAR 65 z = t, y = 2+z = 2+t, x = y z = ( 2+t) t =3 2t. Fall 3: a =. Ja, då sätter vi förstås som nyss in värdet på a = i det ursprungliga systemet och får 8 8 < < : x + y + z = x + y + z = x + 2y = () : x + y + z = 0 = 2 y z = 2 Mittenekvationen har ingen suck att ha en lösning, och alltså finns det ingen lösning till systemet heller. För att sammanfatta: även om det inte är så att koe cienterna i ens ekvationssystem är konkreta tal utan parametrar, kan man fortfarande lösa ekvationssystemet med Gauss- Jordan elimination. Man råkar normalt ut för olika fall och de lösningar man får uttrycks i termer av vilka parametrarna är. 3. Övningar () Lös ekvationen 8 < : x + x 2 + x 3 = 30 x + 2x 2 = 25 2x + 2x 2 + x 3 = 45 (2) Lös ekvationen. (3) Lös ekvationen 8 < : 8 < : x + x 2 2x 3 = 6 0x + x 2 x 3 = 3 7x + 3x 2 x 3 = 2 x + x 2 + x 3 = 30 x + 2x 2 = 25 2x + 3x 2 + x 3 = 55 (4) Lös ekvationen 8 < : x + x 2 + x 3 = 30 x + 2x 2 = 25 2x + 3x 2 + x 3 = 60

69 66 3. LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM (5) Lös ekvationerna 8< : 0x + x 2 + x 3 = 3 x + 2x 2 + 3x 3 = 2 2x + 3x 2 + x 3 = 5 och 8 < (6) Lös ekvationen : 0x + x 2 + x 3 = 3 3x + 2x 2 + 3x 3 = 2 3x + 3x 2 + 4x 3 = 5 0x + x 2 + x 3 + 4x 4 + x 5 = 3 (7) Lös ekvationen 8<. : x + ax 2 + x 3 = 3 3x + (3a +)x 2 + 3x 3 = 2 2x + 2ax 2 + a 2 x 3 = 5 (8) Bestäm parametern a 2 R så att följande ekvationssystem har oändligt många lösningar. 8 < x + ax 2 + x 3 = 0 x + (a +)x 2 + 2x 3 = 0 : 3x + (3a +2)x 2 + a 2 x 3 = 0. (9) Avgör för alla värden på a, b,b 2,b 3 om det finns lösningar till systemet. 8 < x x 2 + (a +)x 3 = b 2x x 2 + ax 3 = b 2 : x + (a +2)x 2 + (2a +3)x 3 = b 3. (0) Beskriv för vilka värden på parametern a som ekvationssystemet X7 i=k (a i)x i =,k=,...,7, har en unik lösning. OBS: svårigheten är att förstå hur i all världen systemet ser ut, sedan är det lätt.

70 KAPITEL 4 Satser om lineära ekvationssystem. Vad är Gauss-Jordan elimination, egentligen? Låt oss nu först sammanfatta den strategi vi följde i exemplena i det föregående kapitlet, i form av en allmän beskrivning för ett godtyckligt ekvationssystem av vad vi gjorde. Det kommer att ha det utomordentliga med sig att vi får förståelse för ett antal kraftfulla resultat om ekvationssystem helt gratis på köpet. Vi startar med ett ekvationssystem som har ett visst antal ekvationer m och ett visst antal obekanta, n stycken. Vi kallar de obekanta x,x 2,...,x n. Vi kan ge namn åt koe cienterna i ekvationerna och beskriva ett allmänt ekvationssystem så här: 8 a x + a 2 x a n x n = b >< a 2 x + a 22 x a 2n x n = b (6) a m, x + a m,2 x a m,n x n = b m >: a m x + a m2 x a mn x n = b m Motsvarande matris ser då ut som: 0 a a a,n a,n a 2 a a 2,n a 2,n a m a m a m,n a m,n b b 2... b m C A Observera hur de två indexen ij till koe cienterna a ij används. Koe cienterna i matrisens första rad har allihop första index, medan de i andra raden har första index 2, o s v. Första indexet i är alltså ett radindex som talar om i vilken av matrisens rader koe cienten a ij står. Det andra indexet j talar i ekvationssystemet om vilken variabel x j som a ij är koe cient till. Alltså är t ex a 7,2 koe cienten framför x 2 iden7:deekvationen. Imatrisentalardetandraindexetj om i vilken kolonn den j:te som a ij står. Alltså står t ex a 7,2 iden7:deradenochdenandrakolonnen. Matrisen som hör till ekvationssystemet har n + kolonner (en extra kolonn till höger om det lodräta strecket förutom koe cientmatrisen till ekvationssystemet). Vi vill kanske ha en ännu enklare principiell bild av hur en sådan matris ser ut, så att vi inte hänger 67

71 68 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM upp oss på detaljer. Då kan vi beskriva den så här: 0 Här har vi markerat alla element med en som bara står för att på den platsen står ett tal förstås inte samma i allmänhet. Observera att vi i alla fallen tänker oss att vi har ett fixt ekvationssystem eller matris, medan vi resonerar. Gauss-Jordan eliminationen är en procedur som upprepas, egentligen på samma sätt, i flera steg. Vi ger nu en principiell beskrivning av den strategi som vi följde i exemplet iföregående sektion, och lägger till vad vi skulle ha gjort i andra tänkbara fall, när det finns (eller blir) en överdrivet massa nollor i matrisen. Just dessa gör att beskrivningen kan bli lite svårsmält, så låt oss först starta med en idealiserad snäll barbiedocksversion, som förresten ofta inträ ar i praktiken.... Här är vad som händer med matrisen i första steget. Steg : Vi betraktar och jobbar med första kolonnen i matrisen som kodar ekvationssystemet. Antag att den inte bara består av nollor(detta är snällhetsantagandet) Då kan vi genom att byta plats på lämpliga rader(en av de tillåtna radoperationerna) se till så att ett nollskilt element är det översta elementet i första kolonnen. Sedan kan vi multiplicera första raden med ett lämpligt tal (en av de tillåtna radoperationerna) så att det översta elementet i första kolonnen blir. Slutligen kan vi genom att ta multiplar av första raden och lägga till/dra ifrån de andra raderna(en av de tillåtna radoperationerna) se till så att första kolonnen enbart har ett enda nollskilt element som är och står på första raden Ett nollskilt element som används för att eliminera andra element i sin kolonn som i steg kallas ibland för ett pivotelement, och att eliminera genom att utnyttja detta kallas för att pivotera. Vi kan specificera hur den matris vi får efter att ha genomfört steg ser ut. Hela första kolonnen är noll, utom översta elementet som är, och alltså ser matrisen ut som 0... B 0... A 0... Vi har fått ett nytt, ekvivalent ekvationssystem. Om vi vill beskriva det så är det behändigt att kalla koe cienterna i det nya systemet a 0 ij. Detnyasystemetserutsom C A

72 . VAD ÄR GAUSS-JORDAN ELIMINATION, EGENTLIGEN? 69 8 >< >: x + a 0 2x a 0 nx n = b 0 a 0 22x a 0 2nx n = b a 0 m,2x a 0 m,nx n = b 0 m a 0 m2x a 0 mnx n = b 0 m (7) Motsvarande matris ser ut som: 0 a a 0,n a 0,n 0 a a 0 2,n a 0 2,n a 0 m a 0 m,n a 0 m,n b 0 b b 0 m C A Det här var alltså steg. Vi har lyckats eliminera x iallaekvationerutomdenförsta. Nu ska vi upprepa precis samma åtgärder som i steg, men nu med det ekvationssystem som består av alla ekvationer utom den första, alltså de som är ekvationer i x 2,...,x n. Steg 2: Titta alltså på matrisen där vi har strukit första raden och som alltså ser ut så här: 0 0 a 0 22 a a 0 2,n a 0 2,n 0 a 0 32 a a 0 3,n a 0 3,n a 0 m2 a 0 m a 0 m,n a 0 m,n b 0 b b 0 m C A Vi antar återigen, med Barbie och Ken, att det i andra kolonnen av denna matris finns ett element skiljt från noll. Sedan gör vi precis som i steg : Med tillåtna radoperationer får vi 0 0 a a 00 2,n a 00 2,n b 00 B 0 0 a a 00 3,n a 00 3,n b 00 2 A 0 0 a 00 m a 00 m,n a 00 m,n b 00 m Detta var alltså steg 2. Resultatet av steg och 2 är att vi med tillåtna radoperationer har fått 0 a a 0,n a 0,n 0 a a 00 2,n a 00 2,n 0 0 a a 00 3,n a 00 3,n a 00 m a 00 m,n a 00 m,n b 00 b b 00 m C A

73 70 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Nu tittar vi i tredje steget på matrisen som består av alla rader utom de två översta, och upprepar åtgärderna i steg och 2. O s v... Till slut kommer vi ha fått något som sägs vara på reducerad trappstegsform. Texsomsåhär(fallet när antalet rader är lika med antalet ekvationer, och Barbie härskar supreme): Eller så här(fortfarande Barbieantagande, men antalet ekvationer är mindre än antalet variabler) B A C A Eller så här: C A Ivårtinledandearketypiskaexempelikapitel3.2.3gjordevinågotmer visågtillså att det inte bara nedanför varje pivot-etta var noll, utan också ovanför. Det kan vi förstås göra i allmänhet också och då skulle slutformen i det första fallet ovan vara precis det som innebär att vi har löst systemet och har en entydig lösning. Så här ser det ut: C A Om kolonnen längst till höger har elementen b 0,b 0 2,...,b 0 m,såsvarardettamotattvi hittat lösningarna x = b 0,x 2 = b 0 2,...,x m = b 0 m. Inästa sektion ska vi diskutera variationer av detta slutresultat, och se hur andra varianter ger upphov till andra typer av lösningar.

74 . VAD ÄR GAUSS-JORDAN ELIMINATION, EGENTLIGEN? 7.. Slutresultatet av Gauss-Jordan eliminering. Vad händer om vårt system inte vill leka Barbie med oss? Då kan det t ex vara så att hela första kolonnen består av nollor, kanske till och med följt av ännu fler nollkolonner. Men till slut, om nu inte alla koe cienter är noll så dyker det upp en kolonn med åtminstone ett element skiljt från noll, och vi kan genomföra det steg som vi skildrade i föregående sektion på den kolonnen. Sedan stryker vi (tillfälligt) första raden, tittar på matrisen som återstår och upprepar. Till slut får vi, en matris vars koe har följande egenskaper. cientmatris(delen till vänster om likamedstrecket) Varje rad består antingen av bara nollor eller har ett första element som är skilt från noll och lika med kalla en sådan :a ett pivot element. Ikolonnennedanför varje pivotelement finns bara nollor. En sådan koe cientmatris sägs vara på reducerad trappstegsform,ochvihariföregående avsnitt visat hur man med elementära radoperationer kan få varje matris att bli en sådan. Här är en principiell bild av hur en sådan matris kan se ut Om vi fortsätter eliminationen så att C A (8) I varje kolonn som innehåller ett pivotelement finns bara nollor(förutom pivotelementet själv). så ser matrisen ut så här. Observera att man kan se några pivotelement(tre stycken) (9) B A Nu kan man från denna form av ekvationssystemet omedelbart avläsa hur många lösningar ekvationssystemet har, och hur de ser ut. Vi gör tre observationer om vad matrisens form säger om lösningar till det ursprungliga systemet.

75 72 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Inga lösningar: Om någon rad består av nollor t v om likhetsstrecket och ngt b 6= 0till höger om likhetsstrecket, så finns inga lösningar alls. Ty detta svarar ju mot en ekvation 0 = b 6= 0,somaldrigkanuppfyllas.Omdetintefinnsnågrasådana rader så har systemet alltid lösningar. Unik lösning: (Antag att det inte finns något hinder för lösningar som i föregående fall.) Precis när alla kolonner har en pivotetta så finns det en unik lösning(givet att det inte finns något hinder som i föregående fall). Ty då kommer det reducerade systemet att se ut som x = b,...,x n = b n. Oändligt många lösningar: (Antag återigen att det inte finns något hinder för lösningar som i första fallet.) Kolonner utan en pivotetta svarar mot variabler som ges parametervärden. Dessa variabler kan alltså tilldelas ett godtyckligt värde, och sedan kan uttryck för variabler som svarar mot kolonner med en pivotetta lösas i termer av parametervärden. Dessa är alltså bestämda när parametervärdena är kända. Speciellt finns det oändligt många lösningar. Detta följer eftersom varje ekvation(som inte är av formen 0=0) nu kan användas för att lösa ut en variabel svarande mot en pivotetta i termer av variabler som svarar mot kolonner utan pivotettor. Det var alltså inte svårt att diskutera sig fram till när dessa olika fall uppstår, men det är enklare att förstå ett exempel. Vi börjar med den sista typen av lösningar. Exempel 9(Oändligt många lösningar). De obekanta är x,...,x 5 och ekvationssystemet är: 8 >< >: x 2 + x 3 + x 5 = x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 2 2x 2 + 2x 3 + 2x 5 = 2 2x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 3 (20) Motsvarande matris är >: >;

76 . VAD ÄR GAUSS-JORDAN ELIMINATION, EGENTLIGEN? >: >; >: >; Titta nu på motsvarande ekvationssystem, som bara har två ekvationer: x2 + x 3 + x 5 = x 4 + x 5 = (2) Kolonnerna som inte har en pivotetta är, 3 och 5. Alla rader som inte bara består av nollor innehåller en pivotetta som första element. Det betyder att i varje ekvation finns det precis en variabel som svarar mot en pivotetta. I den första ekvationen är detta x 2, och i den andra x 4. Det betyder enligt påståendet nyss att variablerna x,x 3 och x 5 ska kunna tilldelas godtyckliga värden och ur dessa värden ska vi kunna lösa ut värden på variablerna x 2 och x 4. Vi går igenom argumentet för de som längtar efter en curlinglektor, fast det kanske är bättre att hålla andan och kasta sig ut i det stora ekvationssystembadet, alltså gå till fler exempel. Tänk nu att x 5 har ett värde, vilket som helst, t ex x 5 =0.89. Då måste x 4 = x 5 =0.. Detta fungerar för vilket värde s 2 R som helst på x 5. Vi kan lösa ut att x 4 = x 5 = s, såx 4 är bestämt om vi vet värdet på x 5. Vet vi dessutom ett värde t på x 3, så kan vi lösa ut att x 2 = x 3 x 5 = s t. De två talen s och t kan vara vad som helst. Bara vi vet att x 2 = s t, x 3 = t, x 5 = s och x 4 = s, så har vi en lösning till ekvationssystemet. Slutligen, x kan också vara vilket tal som helst.

77 74 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Ekvationssystemet har alltså lösningsmängden {(x,x 2,x 3,x 4,x 5 ):x = u, x 2 = s t, x 3 = t, x 5 = s och x 4 = s, för några reella tal s,t,u}. Alltså finns det oändligt många lösningar, men de har ju ändå en viss struktur. De godtyckliga tal s, t, u som förekommer här kallas parametrar och man säger att lösningen är given på parameterform. För varje värde på de tre parametrarna har vi en lösning, och när parametrarna varierar bland alla reella tal så får vi precis alla lösningar. Vi har alltså beskrivit alla lösningar, på ett enkelt och fullständigt sätt och kan därför säga att vi har löst systemet. Vi beskriver ett exempel till på system med parameterlösning, väldigt mycket enklare. Exempel 0 (När det bara finns en ekvation). Antag att vi vill lösa ekvationssystemet x +2y 3z = Vadå lösa? Vi kan inte reducera detta ekvationssystem ytterligare, eftersom vi bara har en ekvation. Men vi kan återigen hitta parameterlösningar. Det finns ju många lösningar: om vi t ex tittar på om det finns någon lösning med y =0och z =0, så ser vi att vi kan ta x =och har alltså en lösning (x, y, z) =(, 0, 0). Men vi kunde också ha tittat på om det finns någon lösning med y =och z =2och då blir kravet på x att x =, vilket ger att vi måste ha x =7. En annan lösning är alltså (x, y, z) =(7,, 2). Hur ska vi få en överblick över alla dessa lösningar? Vad vi gjorde ovan var att vi lät y och z vara två fixa tal, och sedan tittade vi efter om det gick att hitta en lösning med dessa y och z. Låt oss göra detta mer abstrakt: antag alltså att y = s 2 R och z = t 2 R. Finns det något passande x så att ekvationen har en lösning? Vi ska alltså ha x +2s 3t = () x =+2s 3t. Svaret är alltså Ja oberoende av vilka värden på y och z vi väljer så finns det ett x-värde så att ekvationen har en lösning. Vi kan alltså beskriva alla lösningar så här: x +2y 3z = () (x, y, z) =(+2s 3t, s, t), s,t 2 R Här ser man y och z som parametrar som beskriver lösningarna till systemet. För varje värde till parametrarna finns det en unik lösning, som ges av formeln i högerledet ovan.vi har alltså en parameterlösning. Det finns andra möjligheter att välja parametrar. I exemplet ovan använde vi y och z-koordinaten som parametrar för att beskriva lösningarna. Men vi kunde också istället ha valt, säg x och z som parametrar. Då sätter vi alltså x = s 2 R och z = t 2 R och löser ut ett passande y-värde, ur

78 `. VAD ÄR GAUSS-JORDAN ELIMINATION, EGENTLIGEN? 75 s +2y 3t = () y = Vi kan alltså beskriva alla lösningar så här: x +2y 3z = () (x, y, z) =(s, + s +3t. 2 + s +3t,t), s,t 2 R, 2 Det är alltså två totalt annorlunda sätt att beskriva samma lösningar. I ena fallet är x, y-koordinaterna parametrar, medan i det andra fallet är det x, z-koordinaterna. Det gemensamma och viktiga egenskapen hos bägge parametriseringarna är att till varje par av parametervärden finns en och endast en lösning av systemet, så att parametrarna precis beskriver systemets lösningar.... När det finns en entydig lösning. Vi har redan sett exempel på detta, som f ö inte ska uppfattas som det enda normala. I de exempel vi har sett har antalet ekvationer oftast varit lika många som antalet obekanta, men det är inte nödvändigt. Det kan vi se på hur den reducerade matrisen kommer att se ut i det fall när det finns en unik lösning: Exempel (Entydig lösning). Vi ska lösa ekvationssystemet C A. 8 < : x + 2x 2 = 5 x + x 2 = 0 2x + 3x 2 = 5 Vi beskriver Gauss-Jordan reduktionen. Ekvationssystemet och reduktionen svarar mot matriserna: >: >; >: 0 5 >;

79 76 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM >: >; >: >; En ekvation har alltså försvunnit på vägen och vi har bara två stycken ekvationer kvar, som säger att x =5respektive x 2 = 5, och som ju samtidigt utgör lösningen. Vi kan göra observationen Om det finns en unik lösning måste antalet ekvationer åtminstone vara lika många eller fler än antalet obekanta. För isåfall ska vi ju komma fram till att varje kolonn innehåller en pivotetta, och alltså är antalet kolonner eller ekvivalent antalet obekanta, lika många eller mindre än antalet pivotettor, som är mindre än antalet ekvationer, eftersom det bara finns högst en pivotetta i varje rad...2. När allt är oåterkalleligen olösbart. Det är också lätt att känna igen när ett system inte har några lösningar. Exempel 2. Låt oss knyta an till det första exemplet. Antag att vårt system är 8 x >< 2 + x 3 + x 5 = x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 2 (22) 2x 2 + 2x 3 + 2x 5 = 2 >: 2x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 Det skiljer sig från systemet (20) bara genom att högerledet i den sista ekvationen har ändrats till 2 från 3. Det innebär att alla operationer blir likadana i reduktionen som i Gauss-Jordan eliminering av (20), men att i slutresultatet kommer enda skillnaden vara att högerledet i fjärde ekvationen fortfarande är 0 mer än det var i slutversionen av (20). Alltså får vi från systemet i det här exemplet det ekvivalenta systemet 8 >< >: x 2 + x 3 + x 5 = x 4 + x 5 = 0 = 0 0 = 0 (23) Och den fjärde ekvationen är olösbar, så systemet saknar lösningar. Notera att det enbart är högre stående rymdvarelser som skulle sett detta direkt från det ursprungliga systemets form.

80 . VAD ÄR GAUSS-JORDAN ELIMINATION, EGENTLIGEN? 77 Exempel 3. Ibland ser man olösbarheten snabbare. Ekvationssystemet här kan lösas så här med Gausselimination. 8 8 >< >< >: x + y + z = 3 x + 2y + z = 4 2x + y + z = 4 3x + 2y + z = 5 8 >< >:, >: x + y + z = 3 + y = z = 2z = 3 x + y + z = 3 + y = y z = 2 y 2z = 4 De två sista ekvationerna i det sista systemet kan aldrig vara sanna samtidigt för ett värde på z. Därmed saknar också det första systemet lösning..2. Antalet lösningar. Vi sammanfattar exemplena i det föregående avsnittet. Sats 2. För ett lineärt ekvationssystem gäller precis ett av följande alternativ: i) Systemet har ingen lösning. ii) Systemet har oändligt många lösningar. iii) Systemet har precis en lösning., Bevis: Vi resonerar principiellt om hur systemet ser ut efter att vi genomfört Gauss- Jordan reduktion på motsvarande matris.(se fig 8) Vi antar att vi har eliminerat alla element i varje kolonn där det är möjligt med en pivotetta (utom pivotettan), med tillåtna operationer. Då ser matrisen ut på ett av följande sätt: i) Längst ner i den reducerade matrisen står eventuellt ett antal rader som till vänster om likhetsstrecket bara innehåller nollor. Om det finns en rad som bara består av nollor och där det till höger om likhetsstrecket står ett tal b som inte är noll, så svarar detta mot ekvationen 0 = b. Dennakanomöjligt ha några lösningar. ii) Om inte i) gäller så svarar alla rader med enbart nollor t v om likhetsstrecket bara mot ekvationen 0 = 0. Det betyder att alla rader som inte bara består av nollor innehåller precis en pivotetta. Antag nu att det finns ett antal kolonner som inte innehåller en pivotetta. Då kan vi tilldela motsvarande variabler vilket värde som helst och lösa ut de variabler som svarar mot kolonner med pivotetta, en för varje ekvation. Alltså finns det speciellt oändligt många lösningar. iii) Slutligen har vi fallet när alla kolonner innehåller en pivotetta. Då kan vi direkt läsa av vad varje variabel har för värde.

81 78 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Vi noterar att beviset här är väl så viktigt som satsen det talar ju om för oss hur vi ska känna igen de olika fallen genom att betrakta slutresultatet i Gauss-Jordan reduktionen. i) Systemet har precis en lösning. ii) Systemet har oändligt många lösningar. Om systemet har fler obekanta än ekvationer finns det oändligt många lösningar. Bevis. Ett homogent system har ju alltid lösningen x =0,x 2 =0,...,x n =0,och därmed återstår ju bara dessa två alternativ för antalet lösningar från föregående sats. Vidare så har vi sett att enda möjligheten för att få unik lösning är att antalet ekvationer är lika många som eller fler än antalet variabler. Exempel 4. Hur många lösningar finns det till ekvationssystemet X00 i= cos(ij)x i =0, j =,...,73? Vi noterar att detta är ett homogent system och att antalet ekvationer är 73, som med en enkel fingerräkning inses vara strikt mindre än antalet variabler som är 00. Alltså finns det oändligt många lösningar. Enkelt va? Vi har tyvärr tid att passa om en timme hos tandläkaren och hinner därför inte lösa ekvationssystemet...kanske i morgon. Sats 4. Ett ekvationssystem har en unik lösning precis när motsvarande homogena ekvationssystem har en unik lösning. Sats 3. För ett homogent lineärt ekvationssystem gäller precis ett av följande alternativ: Bevis. Gauss-Jordan elimination styrs bara av det ursprungliga systemets koe cientmatris, som är den del av matrisen till vänster om likhetsstrecket och de tal som står till höger om likhetsstrecket hänger bara passivt med. Alltså ser operationerna i Gauss- Jordan eliminationen för ett system och motsvarande homogena system helt likadana ut. Det betyder att den del av matrisen som står till vänster om likhetsstrecket ser likadan ut i slutresultatet av eliminationen av de två systemen. Men vi vet att det faktum att ett ekvationssystem har en unik lösning avspeglas i formen på den matris vi får genom Gauss-Jordan elimination. Närmare bestämt hur den matrisen ser ut till vänster om likhetsstrecket varje kolonn ska ha en pivotetta. Och eftersom denna form kommer att vara densamma för ett system och motsvarande homogena system så har ett ekvationssystem en unik lösning precis när motsvarande homogena ekvationssystem har en unik lösning..

82 2. MATRISINVERTERING Matrisinvertering I det här avsnittet ska vi beskriva matrisinvertering. Vi ska se att det kan ske genom att man löser flera ekvationssystem samtidigt men att detta lyckligtvis inte är mycket svårare än att lösa ett. Låt oss börja med ett enkelt lemma som beskriver hur kolonner beter sig vid matrismultiplikation. Sats 5. Antag att A och B är respektive k m och m n matriser. Deras produkt C = AB är en k n-matris. Kalla B:s kolonner b,b 2,...,b n och C:s kolonner c,c 2,...,c n. De kan vi betrakta som kolonnmatriser, så att produkten Ab i är definierad. Då är Ab i = c i, i =,...,n. Bevis: Följer direkt ur definitionen av matrisprodukt: elementen i första kolonnen i C fås ju t ex genom att första kolonnen i B multipliceras successivt med första till sista raden i A. Tänk nu att vi har två kända n n matriser A och C, ochattvårtproblemär att hitta en n n matris X som löser ekvationen AX = C. KallaX:s kolonner x,x 2,...,x n och C:s kolonner c,c 2,...,c n.lemmatovansäger att vi kan hitta X genom att först lösa Ax = c och på det sättet få första kolonnen i matrisen X och sedan få de andra kolonnerna x i genom att lösa Ax i = c i,i =2,...,n.VarjeAx i = c i beskriver ett ekvationssystem. Tänk nu efter hur vi gör för att lösa ett av dessa med Gauss-Jordan elimination: vilken operation som vi genomför i varje steg styrs enbart av hur A successivt ser ut, medan värdena på c i bara spelar en passiv roll, och viljelöst följer med. Därför kan vi lösa flera ekvationssystem samtidigt. Vi illustrerar med ett exempel. Exempel 5. Lös matrisekvationen 2 x x 2 = 3 x 22 x Enligt lemmat ovan handlar detta om att lösa de två ekvationssystemen 2 x 0 2 x2 20 =, och =, 3 x x eller x + 2x 2 = 0 x + 3x 2 = 00 och x2 + 2x 22 = 20 x 2 + 3x 22 = 300 När vi ska lösa dessa tittar vi alltså på de två matriserna

83 V SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM , och , (24) och ska med Gauss-Jordan elimination baxa dem till att till vänster om det lodräta strecket ha enhetsmatrisen. Det kan vi göra genom att i bägge matriserna först dra bort första raden från den andra och få , och och sedan dra 2 gånger den andra raden från den första och få , och Nu har vi alltså löst våra två ekvationssystem eller vår matrisekvation. x x 2 = x 22 x Den användbara insikten i detta exempel var att vi gjorde precis samma manipulationer med bägge matriserna i (24). Alltså kunde vi ha beskrivit vår lösning av de två ekvationssystemen kompaktare så här:, >: >; >: >; >: >; Observera att till vänster om det lodräta strecket står en enhetsmatris, som ju svarar mot att vi har en entydig lösning.

84 b V Z 2. MATRISINVERTERING 8 Nu kan vi visa hur man hittar en matrisinvers. Idén är att lösa en matrisekvation, som i det föregående exemplet. Exempel 6. Vi vill hitta en 3 3-matris X som löser ekvationen AX = E, där E är enhetsmatrisen av typ 3 3. Låt kolonnerna i den okända X betecknas med x,x 2,x 3 och kolonnerna i E vara e 0A, e 2 0 A, e 3 0 0A. 0 0 Enligt lemmat är att finna X detsamma som att lösa de tre ekvationerna Ax = e, Ax 2 = e 2, Ax 3 = e 3, vilket svarar mot att efter vartannat lösa de tre ekvationssystemen < < < : x + 2y + 3z = x + 3y + 4z = 0 x + 4y + 6z = 0 : x + 2y + 3z = 0 x + 3y + 4z = x + 4y + 6z = 0 : x + 2y + 3z = 0 x + 3y + 4z = 0 x + 4y + 6z = Detta kan vi som i föregående exempel organisera som att vi tittar på den följande matrisen, som vi med hjälp av tillåtna elementära radoperationer ska förvandla så att det står en enhetsmatris till vänster om det lodräta skiljestrecket >: >; >: >; >: >;

85 82 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM >: >; De tre kolonnerna till höger har passivt följt med i räkningarna, och representerar alltså lösningar till Ax = e, Ax 2 = e 2, Ax 3 = e 3, och tillsammans representerar matrisen som står till höger om det lodräta strecket, den unika lösningen till ekvationen AX = E IexemplethittadevienmatrisX sådan att AX = E, dvssåattx är en högerinvers till A, ochdetär inte omedelbart uppenbart att detta är tillräckligt för att X ska vara en invers till A, eftersomviför detta kräver att också XA = E(kom ihåg att ordningen i vilken vi multiplicerar matriser spelar roll!). Men världen är omotiverat snäll ibland, och det är bara att tacksamt rulla över som en annan katt, spinna och låta sig klias bakom örat: Sats 6. Antag att A är en kvadratisk n n matris. Låt E vara en n n enhetsmatris, och X en kvadratisk n n sådan att AX = E. Dågäller också att XA = E, och X är alltså A:s invers. Bevis: Vi kan anta att vi har hittat X genom proceduren som vi beskrev nyss. Det innebär alltså att vi startade med ( A E )ochmedenserieelementära radoperationer får vi ( E X ). Vi kan göra detta baklänges med en serie tillåtna radoperationer kan vi starta med ( E X )ochfåtillbaka(a E ). Om vi nyss multiplicerade med c ska vi nu dela med c, ochomvinyssmultipliceraderadi med d och lade till rad j, skavinu omvänt multiplicera rad i med d och lägga till rad j. Antag nu att vi startar med ( X E )istället för ( E X )ochanvänder oss av denna sista följd av radoperationer. Då får vi som resultat ( E A )(istället för som nyss ( A E )), och det betyder enligt vår metod för att hitta högerinverser, att vi faktiskt har XA = E. Vi har alltså följande allmänna metod för att hitta matrisinverser. Att vi alltid hittar en invers på detta sätt om den finns, följer av att vi faktiskt alltid löser ekvationen AX = E, med Gauss-Jordan eliminering.

86 2. MATRISINVERTERING 83 Startande med en kvadratisk matris A och en enhetsmatris av samma storlek E, skrivupp(a E). Om (och endast om) det är möjligt att med ett antal tillåtna radoperationer få denna på formen (E B), med en matris B så är B matrisinversen till A. 2.. När finns det en invers? Det finns ett enkelt nödvändigt och tillräckligt kriterium för när det finns en invers, som följer ur metoden i föregående sektion, nämligen att det ska gå att med tillåtna radoperationer reducera A till enhetsmatrisen E. Vi har ju sett att vi kan hitta en invers B precis när det går att reducera (A E) medelementära radoperationer till (E B), och det innebär precis att det ska gå att med tillåtna radoperationer reducera A till enhetsmatrisen E. Vi vet vid det här laget rätt mycket om när det finns inverser till en matris och vad det innebär. I följande sats går vi igenom ett antal, som ofta är användbara. I nästa avsnitt ska vi visa att det finns ett kriterium till, nämligen att determinanten av A ska vara skiljd från noll. Sats 7. Följande villkor är ekvivalenta för en n n-matris A: i) A har en invers. ii) Genom att använda tillåtna radoperationer kan A reduceras till enhetsmatrisen E. iii) Ekvationssystemet AX = B (där X =(x,...,x n ) t ) har en unik lösning för varje n -matris B. iv) Det homogena ekvationssystemet AX =0(där X =(x,...,x n ) t ) har den unika lösningen X =0. Bevis: ii) liksom iii) och iv) svarar mot att slutresultatet i Gauss-Jordan eliminationen av (A E), respektive av (A B) och(a 0) ska vara en diagonal med bara ettor, till vänster om likhetsstrecket. Matrisen till vänster om likhetsstrecket fås genom att vi använder elementära radoperationer på koe cientmatrisen A. Detär alltså samma villkor iallatrefallochdeär därför sanna precis samtidigt. Att ii) sedan svarade mot att det finns en matrisinvers, villkoret i), såg vi i föregående avsnitt Lite mer om inhomogena och homogena ekvationssystem. Sats 8. Antag att ett visst inhomogent ekvationssystem AX = B (där X =(x,...,x n ) t har en lösning X 0. Då får man alla lösningar som X = X 0 + X h,där X h är en lösning till det homogena ekvationssystemet AX =0. Genom att variera X h kan man alltså beskriva samtliga lösningar till det inhomogena systemet. Exempel 7. Titta på ekvationssystemet 2x +3y + z = 5 2x +4y + z = 6

87 84 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Man gissar sig bums till en lösning, nämligen x =, y =, z =0. Vårt X 0 =(,, 0) t. Vad är då lösningen till det homogena systemet 2x +3y + z = 0 2x +4y + z = 0? Jo, Gauss-Jordan föreskriver att vi ska dra bort den första ekvationen från den andra. Då får vi 2x +3y + z = 0 y = 0, som är på reducerad radform. Alltså kan vi läsa ut lösningen rätt omedelbart. Först så är y =0, och z, som står i en kolonn utan pivotelement, kan tas som parameter. Alltså är X h =( s/2, 0,s) t s 2 R. Till slut, lösningen av det inhomogena ursprungliga systemet ser ut som X = X 0 + X h =( s/2,,s) t s 2 R. Vi vann inte mycket i räkningarna här mot om vi hade löst systemet direkt, men satsen är användbar i sig och för större ekvationssystem kan den vara till stor hjälp. Bevis: Antag att AX = B, ochjämför med AX 0 = B. Dåfårvi AX = AX 0 () AX AX 0 =0 () A(X X 0 )=0, vilket innebär att X X 0 är en lösning till det homogena systemet. Kalla den för X h = X X 0,ochviharvisatattX = X 0 + X h. Delarna av följande sats återkommer på flera platser, nyss såg vi den som en beskrivning av när det finns en invers till en matris, men vi tycker det är viktigt att framhäva den i perspektivet att man vill få lösa ekvationssystem. Sats 9. Ett lineärt ekvationssystem med lika många ekvationer som variabler har en unik lösning, precis när motsvarande homogena system endast har den triviala lösningen(d v s det homogena systemet har också en unik lösning, nämligen den triviala). Att det finns en unik lösning är också ekvivalent med att något av följande påståenden är sant: i) Koe cientmatrisen är inverterbar. ii) Determinanten till koe cientmatrisen är skiljd från 0. Bevis. Sats 7 innehåller ekvivalensen av i) och det inledande påståendena i satsen. Vi ska i nästa sektion visa ekvivalens med ii).(sats 4). 3. På återbesök hos determinanten Gauss-Jordanreduktion ger ett e ektivt sätt att beräkna determinanter. Detta har vi redan varit inne på, men ska repetera här. Idén är väldigt enkel, och har två delar. Den ena är att om vi har en triangulär kvadratisk matris så är determinanten bara produkten

88 3. PÅ ÅTERBESÖK HOS DETERMINANTEN 85 av elementen på huvuddiagonalen. Den andra är att vi med Gauss-Jordanreduktion kan överföra en matris till triangulär form utan att förändra determinantens värde. Varför behövs ett e ektivt sätt att beräkna determinanter på? Ja, kanske inte för determinanter av 3 3-matriser, men skulle man följa definitionen av determinant för en matris(inte alls ovanligt stort) så kan man se att räkningarna omfattar 00! steg, ett tal som är större än universums ålder i sekunder. Om vi startar nu kommer alltså solen att bli en supernova(och ja, delfinerna har stuckit först) innan vi är färdiga. Vi har alltså inte en suck att beräkna determinanter av sådana matriser? Jo, med Gauss- Jordanreduktion, kan vi få ner räkningarna till bara (00) 2 /2=5000steg,vilketgör det till något vi (nästan) kan klara av på papper, och absolut och ögonblickligen med ett räkneprogram, typ Mathematica eller Matlab. Vi börjar med ett avsnitt där vi går igenom hur man praktiskt beräknar determinanter. Det ger också ett bevis för att A har en invers omm det A 6= 0,ochattdeekvationssystem, för vilka A är koe cientmatris har en unik lösning om det A 6= 0. Sedan, i följande avsnitt, ska vi gå igenom denna teknik utförligare och formulera om radoperationer som multiplikation med vissa s k elementära matriser. Det använder vi för att bevisa den viktiga satsen att determinanten av en produkt är produkten av determinanter: detab =(deta)(detb). Vi kommer också att se att vi får ett sätt att beskriva alla matriser som produkter av enklare matriser. 3.. Hur man använder Gauss-Jordanreduktion för att beräkna determinanter. Sats 0. Om A är en övre triangulär n n matris så är dess determinant produkten av elementen på huvuddiagonalen: deta = a a 22...a nn. Bevis: Genom att vi utvecklar längs första kolonnen(i vilket bara ett enda element är skilt från noll) följer det att deta = a deta 0,där A 0 är den övre triangulära n n matrisen som blir kvar när första raden och första kolonnen i A stryks. A 0 har a 22 som element i övre vänstra hörnet, och utvecklar vi den i sin tur efter sin första kolonn får vi deta = a a 22 deta 00,där A 00 är den övre triangulära n 2 n 2matrisensomblirkvar när de två första raderna och kolonnerna i A stryks. Vi fortsätter på samma sätt med A 00 och får till slut resultatet i satsen.

89 86 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Exempel 8. Huvudräkning och satsen ger bums att determinanten av den övre triangulära matrisen nedan är = A = B A (25) Vi behöver veta hur determinanten deta beter sig under de elementära radoperationerna. Kom ihåg att följande gäller för determinanter: Byter man två rader mot varandra i en determinant byter matrisen tecken. Multiplicerar man en rad i A med en skalär 0 6= 2 R, såär determinanten av den nya matrisen deta. Lägger man till en multipel av en rad till en annan så förändras inte determinanten. De beskrivna operationerna svarar precis mot elementära radoperationer, och med dem kan vi få en matris på reducerad trappstegsform, med Gauss-Jordanreduktion. Den är då på övre triangulär form, och vi kan beräkna dess determinant. Exempel 9. Beräkna determinanten av följande matris A = B A Vi tänker på A som en koe cientmatris på vilken vi använder elementära radoperationer och drar som ett första steg bort första raden från de andra. Det påverkar inte determinantens värde, och resultatet är att vi redan efter detta steg får en övre triangulär matris, nämligen (25) vars determinant vi såg var Om A är en n n matris, och A 0 är resultatet av att applicera en av de elementära radoperationerna, så ser vi, genom att konsultera listan ovan över sambandet mellan determinanterna, att deta 6= 0 () deta 0 6=0.Attdeterminantenär skild från noll påverkas alltså inte av en radoperation. Om vi nu genomför Gauss-Jordan reduktion på A, ochfårsomslutresultata 00 på reducerad trappstegsform, ser vi alltså att deta 6= 0 om och endast om determinanten av A 00 är skild från noll. Det kan bara inträ a när hela huvuddiagonalen bara består av ettor(se diskussionen om hur slutresultaten ser ut i avsnitt.). Det är samma karakterisering som vi har av existensen av en invers i Sats 7. Vi har alltså följande resultat. Sats. En matris är inverterbar omm dess determinant är skild från noll. Ofta behöver man bara den enda operationen att lägga en multipel av en rad till en annan för att beräkna determinanten.

90 Exempel 20. Avgör om matrisen 0 3. PÅ ÅTERBESÖK HOS DETERMINANTEN 87 A är inverterbar. Följande serie av radoperationer, där vi multiplicerar en rad med en skalär och drar bort från andra rader, förändrar inte determinantens värde A Den sista matrisen har determinant 84 6= 0och matrisen är därför inverterbar. Nu ska vi göra en mer noggrann analys av detta sätt att tänka Elementära matriser och Elementära radoperationer. Det finns tre typer av elementära matriser och de svarar mot de elementära radoperationer som introducerades i Gauss-Jordan elimineringen för att lösa lineära ekvationssystem i avsnitt 2.4. Poängen är att varje elementär radoperation svarar mot multiplikation med en viss sorts matris. Det finns alltså tre typer av sådana matriser, kallade elementära matriser. Var och en av de tre typerna av elementära matriser kan man få genom en enda operation utförd på enhetsmatrisen E. Enelementärmatris 0 av typ (EM) får man från E genom ett enda radbyte. Till exempel är A = B A en EM: raderna ett och tre i E 4 bytte plats med varandra. En elementärmatris av typ 2 (EM2) får man0 från E genom att multiplicera en av raderna med ett tal 6= 0.Ettexempelär A 2 = B A Slutligen, en elementärmatris av typ 3 (EM3) får man genom att till en rad i E addera 0 en multipel av en annan rad i E. SomettexempelkanvitamatrisenA 3 = B A.DenmatrisenfårvigenomatttillradfyraiE 4 addera produkten ( 2) (rad två). En EM3 är alltid en triangulär matris med :or längs diagonalen. Elementära radoperationer på en matris kan nu definieras som vänstermultiplikation med en elementär matris. Hur ser då sådana operationer ut? Betrakta några exempel A.

91 88 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM 0 a a 2 a 3 a 4 med matrisen A = Bb b 2 b 3 b 4 c c 2 c 3 c 4 A och matriserna A, A 2 ocha 3 från exemplet ovan. d d 2 d 3 d 4 Uträkningarna (som läsaren borde genomföra själv) ger följande: 0 0 c c 2 c 3 c 4 a a 2 a 3 a 4 A A = Bb b 2 b 3 b 4 a a 2 a 3 a 4 A, och A 2A = B3b 3b 2 3b 3 3b 4 c c 2 c 3 c 4 A d d 2 d 3 d 4 d d 2 d 3 d 4 0 a a 2 a 3 a 4 och A 3 A = B b b 2 b 3 b 4 c c 2 c 3 c 4 A. d 2b d 2 2b 2 d 3 2b 3 d 4 2b 4 Elementära radoperationer på matrisen A svarar alltså mot multiplikation med en elementär matris, av samma typ som radoperationen. Multiplikation med en EM svarar mot ett radbyte i A, av precis samma rader som bytts i den aktuella EM. I vårt exempel var det raderna ett och tre. Multiplikation med en EM2, i vilken en av raderna multiplicerats med ett,svararmotmultiplikationavsammaradia med samma tal.slutligen svarar multiplikation med en EM3 mot additionen av en multipel av en rad i A till en annan rad i A, precispåsammasätt som i den givna EM3. Övning (). Visa att produkterna AA, AA 2 och AA 3 svarar mot kolonnoperationer. Notera också att i samband med elementära radoperationer behöver matrisen A inte vara kvadratisk. Om A är av typ m n så svarar också elementära radoperationer mot vänstermultiplikation med en elementär m m matris. Det behövs bara lite eftertanke för att inse att om man behöver göra fler än en elementär radoperation på en matris B, operationersomalltsåvarochensvararmotelementära matriser A, A 2,...,A k (i den ordningen) så är resultatet lika med produkten A k A 2 A B.Förändringen i matrisen B är alltså lika med vänstermultiplikation av B med (A k A 2 A ). I exemplet ovan betyder A 2 A A först radbyte mellan raderna ett och tre, följt av multiplikationen av rad två med talet 3. Det öppnar för att hela Gauss-Jordan eliminationen kan formuleras som en följd av multiplikationer med elementära matriser. Men först låt oss se att det inte är svårt att verifiera att elementära matriser är inverterbara: Sats 2. Elementära matriser är inverterbara. Bevis: Antag att A är en EM. Byter man två gånger samma två rader så är man tillbaka där man började. I matrisspråket kan detta uttryckas som att A A = E. Med andra ord A = A.OmA 2 är en EM2 så är inversen till A 2 matrisen A 0 2 som har talet

92 3. PÅ ÅTERBESÖK HOS DETERMINANTEN 89 på samma plats på diagonalen som matrisen A 2 har talet.för den elementära matrisen A 3 som är EM3 och ficks genom att man adderade gånger raden k till raden l har den inversa matrisen A3 talet på samma plats där A hade.mankanuttryckadet som att A3 är den elementära matris som fås genom att raden k nu subtraheras med faktor från raden l. Attmultiplicerameddenfrånvänster innebär alltså den elementära radoperationen att från raden l nu subtraheras gånger raden k. Vi observerar, från beviset, att om en elementär matris svarar mot en viss elementär radoperation, så svarar multiplikation från vänster med inversen till den elementära matrisen mot den inversa radoperationen, den som upphäver den ursprungliga. och att Exempel 2. För de elementära matriserna i början av detta avsnitt ser vi att A2 = B A, A 3 = B A Multiplikation av en matris A med A2 (från vänster) svarar mot att andra raden i A, multipliceras med /3. Multiplikation A med A3 (från vänster) svarar mot att andra raden i A multipliceras med 2 och adderas till den fjärde raden. Detta är den inversa operationen till att andra raden i A multipliceras med 2 och läggs till den fjärde raden, som är den operation som multiplikation med A 3 svarar mot. Utför vi dessa två operationer efter varandra är det som inget har hänt. Matrisen låtsas att det regnar, typ. Det svarar mot att multiplikation av A med A 3 A3 är detsamma som multiplikation med E Gauss-Jordan eliminering uttryckt med elementära matriser. Vad innebär nu Gauss-Jordan eliminering om vi ser de elementära radoperationerna som utförda genom multiplikation med elementära matriser. Vi tänker oss att vi startar med en inverterbar matris A, utför ett antal radoperationer, och simsalabim, så har vi fått en matris som är enhetsmatrisen. Lyckliga kan vi då skriva resultatet av vårt tänkande som att produkten A r A r...a 2 A A = E n, om A är en n n matris och A i :na är de elementära matriser vi tänkte på. Från det kan vi dra slutsatsen att A = A A2...Ar Ar. Att läsaren säkert känner härliga gåshudsrysningar här beror förstås på faktumet att vi har insett att varje inverterbar matris alltså kan sättas ihop som en produkt av elementära matriser (för kom ihåg, inverser till elementära matriser är också elementära). Vi har funnit matrisvärldens multiplikativa motsvarighet till legoblock! Dessutom vet vi att produkten av två, eller fler inverterbara matriser är inverterbar, och att elementära

93 90 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM matriser är inverterbara, så alla produkter av elementära matriser är inverterbara. Vi har visat det mesta av följande sats(och resten följer av karakteriseringen av inverterbara matriser i det föregående avsnittet). Sats 3. Låt A vara en n n matris. Följande tre villkor är ekvivalenta: (a) Matrisen A är inverterbar. (b) Ekvationssystemet AX = 0 har en enda lösning, nämligen X = 0. (c) Matrisen A kan fås som produkten av ett antal elementära matriser. Notationen som används i villkoret (b) har vi redan mött i kapitel, avsnitt 2.4. Detta är ett kompakt sätt att beskriva lineära ekvationssystem med hjälp av matriser och matrisprodukten. Villkoret (b) säger att ekvationssystemet har enbart noll-lösning, den triviala lösningen. Observera att X = 0 alltid är en lösning till systemet AX = 0. Från satsen följer att om matrisen A inte är inverterbar så har systemet icke-triviala lösningar Produktsatsen. Nu börjar vi närma oss produktsatsen för determinanter, samt det fi ga knepet som skall låta oss impa på våra krogbekanta i alla fall alla matematiska bartendrar genom att på bara någon kvart och endast halva bardisken, beräkna determinanter av asstora matriser exakt, meninnanviformulerarochbevisardembehöver vi ett par förberedande lemmor och en sats. Lemma. Om A och D är två n n matriser, varav D är elementär, så är det(da) = (det D)(det A) och det(ad) =(deta)(det D). Dessutom följer att determinanten för en elementär matris aldrig är 0. Bevis: Antag att D är en EM och multiplikation med den byter alltså plats på två rader i matrisen A. Dåär (se egenskapen 5 för determinanter) det(da) = det A. Om vi då tar specialfall med A = E så blir det D =det(de) = det E =. Därmed gäller allmänt att det(da) = det A =(detd)(det A). Antag nu att D är en EM2 och multiplikation med den innebär alltså att vi multiplicerar rad k i A med ett tal 6= 0.Dåär (egenskapen 3för determinanter) det(da) = deta. Speciellt med A = E blir det D = det(de) = det E =. Allmänt får vi då att det(da) = det A =(detd)(det A). Låt slutligen D vara en EM3, så att multiplikation med den adderar gånger rad k till rad r imatrisena. EftersommatrisenD är triangular med :or längs diagonalen så är det D =. Nu har vi, enligt egenskap 6 för determinanter, också att det DA =deta. Därmed är det DA =deta = det A =(detd)(det A). Beviset för det(ad) =(deta)(det D) genomförs på motsvarande sätt.

94 3. PÅ ÅTERBESÖK HOS DETERMINANTEN 9 Under bevisets gång har det framgått att för en elementär matris D gäller att 8 < om D är EM det D = om D är EM2, ( 6= 0) : om D är EM3 Lemma 2. Om A och D,...,D k är n n matriser och alla D i är elementära (i =,...,k), så är det(d k D 2 D A)=(detD k ) (det D 2 )(det D )(det A) och motsvarande för höger-produkten med matriserna D i. Bevis: För multiplikation med en elementär matris (k =)visadevidettaalldeles nyss. För multiplikation med två matriser får vi det(d 2 D A)=(detD 2 )(det(d A)) = (det D 2 )(det D )(det A), itvåtillämpningar successivt av fallet med multiplikation av en enda elementär matris. Osvför k =3,... alternativt kan man beskriva detta som ett induktionsbevis baserat på föregående lemma. Nu kan vi bevisa ytterligare en viktig karakterisering av inverterbara matriser, alltså utöka Sats 7 och Sats 3 med ett ekvivalent villkor till. Sats 4. Matrisen A är inverterbar om och endast om det A 6= 0. Bevis: Med ett antal elementära radoperationer kan matrisen A överföras till radreducerad form B. Därmed finns det elementära matriser A k,...,a 2,A sådana att B = A k A 2 A A.Enligtlemma2är det B =det(a k A 2 A A) = det(a k ) (det A 2 )(det A )(det A) Eftersom det A i 6=0(enligtlemma)såär det A =0omochendastomdetB =0. Matrisen B är triangulär och därmed är detb produkten av sina diagonalelement. Dessa är eller 0. Om inget av diagonalelementen i B är 0 så är det B 6= 0ochsamtidigt kan B med lämpliga radoperationer överföras vidare till E. Dettabetyder,enligtsats3, att A är inverterbar. Om något av diagonalelementen i B är 0 så måste nödvändigtvis den sista raden i B vara en nollrad(eftersom B är på radreducerad form!). Det innebär att systemet BX = 0 har icke-triviala lösningar(sats 7) och detta gäller även för det ekvivalenta lineära ekvationsystemet AX = 0 och därmed, enligt samma sats, är A icke-inverterbar. Vi avslutar med beviset till Produktsatsen, sats2 i kapitel 2, som ju säger att det för alla kvadratiska n n matriser gäller det(a B) = det A det B. Bevis för Sats 2 i kapitel 2: Betrakta determinanten av produkten av två n n matriser A och B. Bevisetär indelat i två delar. Först visar vi satsen i fallet då A är en inverterbar matris och sedan i fallet då A är en icke-inverterbar matris.

95 92 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM Antag att A är en inverterbar matris. Då kan A fås ur matrisen E genom vänstermultiplikation med ett antal elementära matriser: A = A k A 2 A E.Därför är A = A k A 2 A och det AB =det (A k A 2 A )B =det(a k A 2 A B)=...enligt lemma 2 = (det A k ) (det A 2 )(det A )(det B)...lemma 2 igen =(deta k A 2 A )(det B) = (det A)(det B). Antag nu att A ej är en inverterbar matris. Vi ska först visa att matrisen AB inte är inverterbar heller. Återigen ska vi dela upp beviset i två fall: Först fallet då B är inverterbar och sedan då B inte är det. Så antag B är inverterbar. Då existerar den inversa matrisen B.Ikapitelharvi visat att produkten av två inverterbara matriser är inverterbar. Hade då matrisen AB varit inverterbar så skulle produkten (AB)B vara inverterbar. Men (AB)B = A(BB )= AE = A och vi har antagit att A inte var inverterbar. Därmed kan produkten AB inte vara inverterbar. Antag då slutligen att B inte är inverterbar. Enligt sats 3 har systemet BX = 0 icketriviala lösningar. Det inneber också att systemet (AB)X = 0 har icke-triviala lösningar för om BX = 0 för något X så är (AB)X = A(BX) =A 0 = 0 för samma X. Isåfall är matrisen AB ej inverterbar (enligt sats 3). Hur som helst har vi visat att om matrisen A ej är inverterbar så är matrisen AB inte inverterbar heller. Detta kan med hjälp av sats 4 tolkas som att om deta = 0 så är det(ab) =0.Följaktligen är det(ab) =0=0 (det B) =(deta)(det B). Beviset är därmed komplett. Pu f. Anfäkta och anamma, för hundra gubbar, det är ju rena rama sammansvärjningen, för att citera den vittbereste kapten Haddock Avslutning på krogen. Antag att din bardiskgranne nu, efter att de sedvanliga raggningsfraserna misslyckats, osökt kommer in på problemet att beräkna stora matrisers determinanter och föreslår problemet att beräkna determinanten av en matris som är icketriangulär, och, säg, 7 7. En drink per säg tre matriser låter väl inte orimligt Han/hon föreslår t ex följande matris av den storleken. A = B... A.... Å, kan du nu säga(tack vare detta kompendium) det är väl ingen konst, den har ju determinant 0, eftersom flera rader är lika. Nå, men den här då, följande diagonalmatris

96 4. ÖVNINGAR med talen 0,,...,6 på diagonalen: D = B A?Likabanal,tydess determinant är också noll, eftersom den är produkten av diagonalelementen och ett av dem 0 är noll. Nå till slut, lägg ihop dem, vad är det(a + D)? Summan är A + D =... B 2... A Determinanten är inte 0, som man kanske hade svarat efter ett antal drinkar till, det är ju inte så att det(a+d) =deta+detd, mendenär faktiskt enkel att bestämma. Sätt nämligen igång med att Gauss-Jordan eliminera. Då tar vi översta raden med bara :or och drar bort ifrån de övriga, och tingeling, då blir matrisen övre triangulär(nedanför diagonalen står bara nollor). Alltså är dess determinant produkten av diagonalelementen, och du har alltså klarat det tredje exemplet. Nu är det din tur: Vilken matris ska du ta som omöjlig att räkna ut? 4. Övningar (2) Visa att det finns värden på a, b så att följande system har oändligt många lösningar, inga alls eller en enda unik lösning. Bestäm parametrarna a, b 2 R så att följande ekvationssystem inte har några lösningar alls.. 8 < : x + ax 2 + x 3 = 0 x + (a +)x 2 + 2x 3 = 0 3x + (3a +2)x 2 + a 2 x 3 = b (3) Om ett ekvationsssystem har 7 ekvationer och 7 variabler, hur många variabler som ges parametervärden kan det minimalt förekomma i lösningen av systemet med Gauss-Jordan eliminering?maximalt? Ge varsitt exempel på minimalt/maximalt många parametrar. a b x e (4) Låt A =,ochvidarex = och B =. Antag att ad bc 6= 0. c d y f Lös med Gauss-Jordan elimination ekvationssystemet AX = B, ochvisaattdet finns en unik lösning.

97 94 4. SATSER OM LINEÄRA EKVATIONSSYSTEM 0 (5) Låt A A. Bestäm med Gauss-Jordan eliminering inversen till A. 0 (6) Låt A 2 3A. Bestäm med Gauss-Jordan eliminering inversen till A (7) Låt A = B A.Bestäm med Gauss-Jordan eliminering inversen 3 3 till A (8) Låt A = B C.Bestäm determinanten och inversen till a ba 0 0 c d (9) Låt A = B A. Visa med determinanter att A inte har någon invers. (0) Använd determinanter för att avgöra när ekvationssystemet 8 < x + ax 2 + x 3 = 0 3x + (3a +2)x 2 + 4x 3 = 0 : x + ax 2 + (a 2 4)x 3 = 0 har en unik lösning. 0 () Betrakta ekvationssystemet AX = B,där A 0 A,ochB =(, 0, 00) t samt C =(b,b 2,b 3 ) t.beräkna determinanten och inversen till A och använd den för att lösa ekvationssystemen AX = B och AX = C. (2) Lös matrisekvationen AX = B, där 0 A 2 3 2A, X a b c da e f

98 och 0 B A (3) Lös matrisekvationen AXA = B, där 0 A A, X a b c d e fa g h i och 0 B 2 4 A ÖVNINGAR 95

99 KAPITEL 5 Vektorer i planet och rummet Det finns flera sätt att introducera begreppet vektor i planet och i rummet. Det man ofta finner i litteraturen är ett suggestivt, men lite vagt, koncept av riktning i en kombination med längd. Det har sin charm och är lämpligt i diverse fysikaliska tillämpningar, men vi kommer bara att använda det som intuition i denna matematiska framställning. Man kan också mycket formellt introducera vektorer som ordnade par av reella tal (a, b), alltså punkter i planet. Detta har också sina fördelar, t ex att det genast leder till en naturlig generalisering: ordnade n-tupler av reella tal (a,a 2,...,a n ), vilket är en n-dimensionell utvidgning av planet och rummet. Vi väljer dock ett mera intuitivt närmande via så kallade riktade sträckor. Vi slipper då, åtminstone för tillfället, att prata om koordinatsystem och koordinater. Detta är bekvämt i synnerhet då vi nu begränsar oss till att studera vektorer enbart i planet eller i rummet. För att kunna nå våra ändamål förutsätter vi dock visa kunskaper i skolgeometrin. Utan några basfakta från Euklidisk geometri som ingår i gymnasieprogrammet kan vissa resonemang vara svåra att förstå. De geometriska objekt vi studerar (punkter, linjer, trianglar osv) finns antingen i planet eller i rummet. Alla kanske kommer ihåg a) att två olika punkter i planet eller rummet entydigt definierar en linje som går genom dessa punkter, b) att genom en punkt P utanför en linje l i planet går en och endast en linje som är parallell med l (har inga gemensamma punkter med l). Det är det så kallade parallellpostulatet. c) likformighets- och kongruensbegreppen för trianglar, i synnerhet likformighets- och kongruensfallen. d) definitioner och grundläggande egenskaper hos sådana geometriska figurer som trianglar, cirklar, rektanglar och parallellogram. Med dessa baskunskaper kommer begreppen vi introducerar nedanattförhoppningsvis kännas enklare och mera naturliga.. Riktade sträckor och vektorer.. Riktade sträckor. En riktad sträcka i planet eller i rummet är ett ordnat par av punkter (A, B). Ja, sträckan mellan dem också, men den följer ju med på köpet så att 96

100 . RIKTADE STRÄCKOR OCH VEKTORER 97 säga, eftersom den är bestämd av punkterna. Att det är ett ordnat par betyder förstås bara att punkten A är den första punkten och B den andra. Eftersom det är ett ordnat par så kan sträckan AB representeras grafiskt som en pil ritad från punkten A till B. Sträckan betecknar vi då som AB. B A Vi tillåter också sträckor som börjar och slutar i samma punkt, som till exempel AA. Nu ska vi beskriva vektorer. För att motivera definitionen kan vi argumentera så här. Riktade sträckor kan vi tänka oss kodar förflyttningar, d v s AB, beskriver förflyttningen från A till B. Nu visar det sig (så småningom) att det också är mycket behändigt att ha ett begrepp förflyttning som inte är så hårt knutet till att starta i en viss punkt A och stoppa i en annan punkt B, utan bara handlar om riktningen av förflyttningen och dess storlek. Låt oss ta ett vardagsexempel, som emellertid inte är vår egentliga motivation den kommer först om ett tag. Tänk att det nu blåser in en vind på xyplanet som kommer att förflytta alla (löst limmade) punkter lika mycket och i samma riktning(se fotot på nästa bild). Alla dessa riktade sträckor med samma riktning och längd vill vi se som i någon mening lika, och beskrivande vindens blåst. Det gör vi på typiskt halsbrytande matematiskt abstrakt sätt genom att säga att vinden blåser längs en vektor som består av alla dessa riktade sträckor med samma riktning och längd. Det är väl ändå rätt rimligt vindens blåst är ju rätt lätt att beskriva med kompass (riktning) och hastighetsmätare (storlek) och den påverkar ju alla punkter. Vi skyndar oss också att tillägga att det i praktiken sedan kommer att vara enkelt att jobba med detta begrepp också det rätt typiskt matematiskt. Nu ska vi beskriva detta lite noggrannare. Vi delar in alla riktade sträckor i klasser, som vi kommer att kalla vektorer (de är de riktade sträckor som ses som representerande samma vektor och består av de riktade sträckor som intuitivt tänks ha samma storlek och riktning ): (a) Två sträckor, AB och CD är i samma klass om fyrhörningen ABDC är en parallellogram. (Observera ordningen: ABDC och inte ABCD! Se bild). I en parallellogram är motstående sidor lika långa, och förstås parallella. Det betyder alltså speciellt att (*) längden av AB och CD är densamma och linjerna genom dels de två punkterna A, B och dels genom C, D är parallella.

101 98 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET Om man omvänt vet att AB och CD är lika och att linjerna genom dels de två punkterna A, B och dels genom C, D är parallella, så är antingen ABDC en parallellogram, eller ABCD en parallellogram. Det betyder att det nästan räcker att kräva bara att villkoret ovan är uppfyllt. Dessutom måste man bara hålla reda på att ABDC inte skär sig själv, utan verkligen är en parallellogram.) Eftersom vi vill att två riktade sträckor som ligger utefter en rät linje också ska kunna vara i samma klass så behöver vi utöka villkoret (a) ovan till (a ) Två sträckor, EF och GH är i samma klass om det finns en tredje sträcka XY sådan att båda fyrhörningarna EFY X och GHY X är parallellogram (om punkterna E,F,G,H ligger längs samma räta linje så kan figuren EFHG kallas (skällas?) för en degenererad parallellogram). Dessutom bildar alla sträckor som börjar och slutar i samma punkt, sträckor av typ AA, en klass för sig. C D B X Y G H A F E Det är klart att om sträckorna AB och CD är lika långa och parallella samt om sträckorna CD och EF är lika långa och parallella så är även sträckorna AB och EF lika långa och parallella. Därmed följer det, att om ABDC och CDFE är två parallellogram så är även ABF E en parallellogram (det kan vara förstås vara en degenererad parallellogram). Den stora konsekvensen av detta äratt två olika klasser av riktade sträckor är disjunkta deharaldrignågraelementgemensamt!en riktad sträcka kan inte tillhöra två olika klasser samtidigt. Mängden av alla riktade sträckor i planet, eller i rummet, kan därmed delas in i disjunkta klasser. Var och en av dessa klasser kommer vi att kalla för en vektor. Visst är det en berusande definition. Nu ska vi visa hur man handskas med den..2. Vektorer. En vektor är alltså en mängd av riktade sträckor allihopa bundna till varandra genom relationen: AB är i relation med CD om ABDC är en parallellogram.(ignorera (a ) ) Vektorer kommer vi att beteckna med u, v eller w. Detsomär bra (och viktigt) att inse nu är att för varje vektor u och för varje punkt A i planet (eller rummet) finns en riktad sträcka AB som tillhör klassen u. Inte helt korrekt kommer vi att säga något i stil med låt AB vara en vektor, eller att skriva u = AB medanvimenar att sträckan AB bara är en representant för klassen u, en av oändligt många element i denna mängd. Vi tror dock inte att detta kommer att leda till några missförstånd.

102 . RIKTADE STRÄCKOR OCH VEKTORER 99 Med denna konvention blir det klart vad vi menar med att vi flyttar vektornab till punkten C: istället för riktade sträckan AB väljer vi sträckan CD som bara är en annan representant för samma vektor som sträckan AB. Vikanuttryckadettaockså genom att säga att vi hänger vektorn AB ipunktenc. Det kommer så småningom att vara speciellt viktigt att hänga vektorn i origo alltså välja den representant som har sin startpunkt i origo i ett koordinatsystem. Detta ger också ett alternativt sätt att se på vektorer överhuvudtaget, nämligen som riktade sträckor, med det extra villkoret att vi får parallellförflytta dem så att de startar i vilken punkt som helst. Vi säger alltså att två riktade sträckor betraktade som vektorer är desamma om de uppfyller villkoret (a) i föregående avsnitt. På ett sätt är det mycket mindre konstigt än att identifiera två som i två massmördare med två som i ett par liljekonvaljer. Med 0 kommer vi beteckna noll-vektorn, klassen av alla riktade sträckor av typ AA..3. Operationer på vektorer. Det finns två grundläggande operationer vi kan utföra på vektorer: addition och multiplikation, fast multiplikationen gäller inte mellan två vektorer utan mellan en vektor och ett reellt tal (senare ska vi introducera ytterligare en slags produkt mellan två vektorer). Så låt oss definiera summan u + v av två vektorer u och v i planet eller i rummet. Välj en representant AB för vektor u och en representant AC för vektor v. Med summan u + v kommer vi att mena vektorn som representeras av den riktade sträckan AD, där D är det fjärde hörnet i parallellogrammen ABDC. C A D A D B B Alternativt kan summan definieras på följande sätt: Välj en representant AB för vektor u och en representant BD för vektor v, alltså en representant för den sista som startar där den första riktade sträckan slutar.. Med summan u + v menar vi vektorn som har representanten sträckan AD. Denna definition av addition svarar mot den addition vi kan göra med riktade sträckor, sedda som förflyttningar. Om vi åker först från A till B, och sedan från B till D, såär nettoresultatet att vi förflyttat oss från A till D. Däremot kan vi ju inte addera ihop godtyckliga riktade sträckor, det kräver att den första slutar där den andra börjar. Men vektorer går bra, just för att vi kan flytta dem till godtyckliga punkter, så att detta villkor blir sant.

103 00 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET Som vi ser så involverar definitionen valet av specifika representanter för u och v. Man borde då fråga sig om en sådan definition verkligen är entydig: om man väljer ett annat par av representanter, kommer då den resulterande sträcka vara från samma klass (tillhöra samma vektor) som i det ursprungliga valet? Svaret är förstås ja vilket inses så här. Om vi (i den alternativa definitionen) väljer en annan startpunkt A och om ABB A och BDD B är parallellogram(vilket alltså enligt definitionen på vektor betyder att AB och A B, liksom BD och B D representerar samma vektor), så är även ADD A en parallellogram. Detta betyder alltså att de två riktade sträckorna AD och A D,somde två olika definitionerna ger upphov till, representerar samma vektor. A D A D B B Låt u, v och w vara tre vektorer i planet eller i rummet. Från definitionen följer genast Egenskap. u + v = v + u, samt Egenskap 2. (u + v)+w = u +(v + w). Övning. Verifiera egenskapen 2 från figuren nedan: (u + v)+w = u +(v + w) u u + v v + w w v Egenskap 3. u + 0=u. Egenskap 4. För varje vektor u finns en vektor som vi ska beteckna med u och som har egenskapen att u +( u) =0.

104 . RIKTADE STRÄCKOR OCH VEKTORER 0 Det är uppenbart att om u representeras av sträckan AB så representeras u av sträckan BA. Motsatsen mot att trilla ned från Eiffeltornet är att ta hissen upp... Den andra operationen som vi ska introducera nu är produkten λu mellan ett tal λ och en vektor u. Resultatet av denna multiplikation är alltså en vektor. Ofta säger man produkt med en skalär, där man med skalär menar ett tal. Den nya operationen kräver bekantskap med begreppet längd av en sträcka. Detta antar vi att alla har, om inte annat, en intuitiv känsla för vad det betyder. Eftersom motstående sidor i en parallellogram har samma längd så har alla representanter för en vektor samma längd. Detta ligger till grund för att vi ska kunna associera en vektor med ett entydigt bestämt icke negativt tal vektorns längd. Låt först λ vara ett positivt tal. Antag att vektorn u representeras av sträckan AB. Vektor λu representeras då av sträckan CD, sådanattfyrhörningen ABDC är en s k parallelltrapets, d v s med parallella sidor AB och CD,ochdär längden av sträckan CD är lika med λ (längden av AB). C λu D A u B Speciellt kan man, om man nu en gång har den läggningen, låta sig dras till degenererade parallelltrapetser, d v s låta A = C. Dårepresenterasλu av AD, där D är bestämd av att längden av AD precis som tidigare är λ (längden av AB). Vektorn 2u där u representeras av en riktad sträcka AB representeras alltså av en riktad sträcka AB som är dubbelt så lång men går åt samma håll. Om λ = så definieras vektorn ( )u som u. Alltså om u representeras av en riktad sträcka AB så representeras ( )u av BA. Eller om man tycker bättre om det av en riktad sträcka AB där B ligger på linjen genom A, B, påsammaavståndfråna som B men på motsatt sida om A. Slutligen, om λ är ett negativt tal så definieras λu = ( λ u). Till exempel ( 2)u = ( 2 u) = (2u). Som en direkt konsekvens av definitionen ser vi att för varje sträcka CD som är parallell med AB så gäller för motsvarande vektorer att det finns ett tal λ så att CD = λab.

105 02 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET Därför att antingen gäller att ABDC är en parallelltrapets och då är λ vad man ska multiplicera längden av AB med för att få längden av CD, eller så är ABCD en parallelltrapets, och då är λ vad man ska multiplicera längden av AB med för att få längden av CD. Produkten med skalärer har en rad mer eller mindre självklara egenskaper som alla är ganska enkla att bevisa genom geometriska resonemang. Vi formulerar här dessa egenskaper utan bevis, men beviset till en av dessa lämnas som en övning. Egenskap. 0u = 0 och u = u. Egenskap 2. λ(u + v) =λu + λv. Egenskap 3. (λ + µ)u = λu + µu. Egenskap 4. (λµ)u = λ(µu). Övning 2. Bevisa egenskap 2 för λ>0. Vi säger att vektorerna u och v är parallella om den ena är en multipel av den andra, dvs. om det finns ett tal λ sådant att u = λv. Omλ 0såföljer att v = λ u.låtervi λ = 0 får vi att 0 = 0 v, dvs. noll-vektorn är parallell med varje annan vektor. Att två vektorer, som inte är nollvektorer är parallella, svarar förstås mot att alla riktade sträckor som representerar dem är parallella. Sats. Antag att u och v är två icke-parallella vektorer i planet. Då kan varje vektor w isammaplanskrivaspåentydigsätt som en så kallad lineärkombination av vektorerna u och v, dvs.detfinnstvåentydigtbestämda tal λ och µ sådana att w = λu+µv. Bevis. Låt AB, AC och AD representera u, v och w respektive. Dra genom punkten D en linje parallell med AB. Då denna linje inte är parallell med linjen AC så skär den linjen AC ipunktene. EftersomAE då är parallell med AC så är AE = µac för något, entydigt bestämt tal µ. F A w D v E C u B

106 . RIKTADE STRÄCKOR OCH VEKTORER 03 Genom punkten D dra nu en linje parallell med AC. Denskär linjen AB ipunktenf. Eftersom AF då är parallell med AB så är AF = λab för något, entydigt bestämt tal λ. Från konstruktionen följer genast att AD = λab + µac, dvs.w = λu + µv. Vi utgår för tillfället ifrån att läsaren har en intuitiv uppfattning vad ett plan i rummet är. Vidare, en vektor u definieras som parallell med ett plan om det finns en representant AB för u där både A och B ligger i detta plan. Tre vektorer i rummet kallas för komplana om de är parallella med ett och samma plan. Med tanke på sats betyder det att någon av dessa tre vektorer kan skrivas som en lineärkombination av de övriga två. Sats 2. Antag att u, v och w är tre icke-komplana vektorer i rummet. Då kan varje vektor t irummetskrivaspåettentydigsätt som en lineärkombination av vektorerna u, v och w, dvs.detfinnstreentydigtbestämda tal λ, µ och ν sådana att t = λu+µv+νw. Övning 3. Skissera ett bevis för sats 2. (Ledtråd: Välj representanter AB = u, AC = v, AD = w och AE = t. LåtF vara den punkten i samma plan som A, B och C som är sådan att vektorn FE är parallell med AD. Dåär AE = AF + FE och AF är komplan med u och v, som i figuren nedan.) D w E t v C A u F B.4. Några exempel. Exempel. Låt ABC vara en triangel (i planet eller i rummet). Beräkna AB + BC + CA. Lösning: Eftersom AB + BC = AC = CA så är AB + BC + CA = 0. Exempel 2. Ifyrhörningen ABCD är AB = u samt AD = v. PunkternaE och F delar sidorna BC respektive CD mitt itu. Skriv vektorn EF som en lineärkombination av u och v.

107 04 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET D F C v A E u B Lösning: EF = EC+CF = 2 BC + 2 CD = 2 (BC +CD)= 2 BD = 2 (BA+AD) = 2 ( AB + AD) = 2 u + 2 v. Exempel 3. Mittpunkten på sträckan AB är T.Om P är en godtycklig punkt så gäller det att Det bevisas så här. Vi har att Men vi vet att PT = (PA+ PB). 2 PT = PA+ AT = PA+ 2 AB. PA+ AB = PB AB = PB PA. Sätter vi in det sista uttrycket i den första ekvationen får vi PT = PA+ 2 (PB PA)= 2 PA+ 2 PB, som är precis resultatet vi ville få fram. Det säger alltså lite mer suggestivt uttryckt att vektorn från P till medelpunkten av sträckan AB är medelvärdet av vektorerna från P till A respektive B. Exempel 4. Vi ska först visa att det finns en punkt kallad tyngdpunkten T itriangeln ABC som ligger i skärningen mellan triangelns tre medianer AA, BB och CC. Medianerna är linjerna som går från ett hörn till respektive motstående sidas mittpunkt (punkterna A, B och C ligger alltså i mitten på sidorna BC, AC och AB respektive). Det är inte förvånande att två linjer skär varandra i en punkt, det gör de ju för det mesta, men att tre linjer gör det är ovanligt. Låt T vara skärningspunkten mellan två av medianerna, t ex AA och BB.Viska nu utnyttja att vi kan beskriva alla vektorer i planet i termer avtvåstyckensominteär parallella, t ex AB och AC. Vihar AT = AB + BT = AB + λbb,

108 . RIKTADE STRÄCKOR OCH VEKTORER 05 eftersom BT är parallell med BB och därmed en multipel av den. Vidare så har vi att AB + BB = AB BB = AB AB = AC AB 2 så vi får att AT = AB + λ( 2 AC AB) =( λ)ab + λ 2 AC. Eftersom vi inte vet vad λ är kan detta tyckas vara meningslöst, men vi har ju bara använt att T låg på en av medianerna, nämligen BB.Nuanvänder vi på samma sätt att T ligger på den andra, för att sedan jämföra uttrycken. Det är en enklare räkning AT = µaa = µ( 2 (AB + AC) =µ 2 AB + µ 2 AC. (här använde vi föregående exempel A är mittpunkten på sträckan BC!) Jämför vi nu dessa två uttryck för samma vektor så ser vi att vi får ett ekvationssystem { λ = µ 2 λ 2 = µ 2 Det ser vi har lösningarna λ = µ =2/3. Nugäller det att tolka detta resultat sofistikerat nog. Vi tog skärningspunkten mellan medianen AA och medianen BB och fann att skärningspunkten T låg (förstås) på AA men (och det var det väsentliga) på avståndet 2/3 av hela AA från A(eftersom µ = 2/3). Vadhadehänt om vi istället räknat på skärningspunkten mellan medianen AA och medianen CC?Jo,attexaktsammatypav räkningar hade gett till resultat att dessa medianers skärningspunkt ligger på AA på avståndet 2/3 av hela AA från A. Detär ju samma punkt T som nyss och alltså går också CC genom T.Precisvadvivillevisa! Exempel 5. Vi fortsätter med tyngdpunkten i en triangel. Nu ska vi se ett skäl till varför den kan kallas tyngdpunkten. Vi såg i det föregående exemplet att T delar varje median i förhållande 2: (den längre delen är den som utgår från triangelns hörn). Låt nu P vara en punkt. Visa att PA+ PB + PC 3 = PT Detta säger att medelvärdet av vektorerna från P till triangelns hörn är PT. Lösning: PT = PA+ AT = PA+ 2 3 AA, men eftersom AA = AB + BA = AB + 2 BC så är PT = PA+ 2 3 (AB + 2 BC) =PA+ 2 3 AB + 3 BC

109 06 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET På samma sätt visas att PT = PB+ 2 3 BC + 3 CA och PT = PC CA + 3 AB Lägger vi ihop dessa tre likheter ledvis får vi, med hjälp av exempel ovan, att 3PT = PA+ PB + PC + AB + BC + CA = PA+ PB + PC. Exempel 6. Punkten E delar sidan AB av parallellogrammen ABCD iförhållande :0.Diagonalernaiparallellogrammenskär varandera i punkten F.SkrivvektornEF som en lineärkombination av AB och AD. D C F A E B Lösning: EF = EB + BF = 0 AB + 0 BD = 2 AB + (BA + AD) =0 2 AB 2 AB + 2 AD = 9 22 AB + 2 AD. 2. Linjärt beroende Antag att vi har en linje. Alla vektorer EF där E och F är punkter på linjen är parallella med varandra. Vi säger att sådana vektorer är parallella med linjen. Tag nu två olika punkter A och B. De definierar entydigt linjen AB. Varje vektor CD som är parallell med linjen AB, är alltså parallell med AB och kan alltså skrivas som en multipel av AB, dvsdetfinnsetttalλ så att CD = λab. Talet λ är förstås entydigt bestämt, eftersom det är förhållandet mellan de två vektorernas längder. Det gäller också: för varje reellt tal µ är vektorn µab parallell med linjen AB. Med andra ord finns det en entydig avbildning eller motsvarighet µ µab mellan mängden av alla vektorer på linjen AB och mängden av de reella talen R. Viser det som att vi beskriver varje vektor parallell med en linje, genom ett unikt reellt tal.

110 2. LINJÄRT BEROENDE 07 En liknande situation har vi i planet. Vi har tidigare visat att om vi har två ickeparallella vektorer u och v i planet så kan varje vektor w i planet entydigt framställas som en lineärkombination av u och v: w = λu + µv. (Kom ihåg att ingen av vektorerna u och v är noll-vektorn. Noll-vektorn är parallell med varje annan vektor!). Med andra ord finns det en entydig motsvarighet mellan mängden av alla vektorer i planet och mängden R 2 av alla par (λ, µ) av reella tal. För ett givet par av icke parallella vektorer u och v beskriver vi alltså varje vektor i planet med ett unikt par av reella tal. Viktigt är att inse att denna motsvarighet w (λ, µ) i allra högsta gradär beroende av valet av det ursprungliga par av vektorer u och v. Väljer man ett annat fixt par av vektorer så tillordnas ett annat talpar till vektor w. Efter denna öppning är vi redo att introducera ett av den linjära algebrans viktigaste begrepp: linjärt beroende och oberoende. En mängd av vektorer kallas för linjärt beroende om minst en av dessa vektorer kan skrivas som en lineärkombination av de övriga. En mängd av vektorer som inte är linjärt beroende kallas för (en intelligent gissning?)... linjärt oberoende. Av diskussionen ovan följer att två vektorer parallella med en linje alltid är linjärt beroende. En uppsättning av tre eller fler vektorer i planet är också alltid beroende. Högst två av dessa är linjärt oberoende och detta endast om de är icke-parallella (Se Sats ). I rummet är varje uppsättning av fyra eller fler vektorer linjärt beroende. Tre ickekomplana vektorer är den största mängd av oberoende vektorer som vi kan ha i rummet. Två linjärt oberoende vektorer i planet (eller tre i rummet) kan ses som grundstenar för att konstruera alla vektorer i planet (rummet). Har vi dessa två (eller tre) vektorer så har vi alla vektorer genom att betrakta alla möjliga linjära kombinationer av dessa vektorer. Mer om detta kommer vi att studera i samband med begreppet baser. Det är klart att noll-vektorn alltid kan skrivas som en lineärkombination av varje uppsättning av vektorer {v, v 2,...,v k }.Deträcker att ta kombinationen med alla koefficienter lika med 0: 0v +0v v k = 0. En nyttig test, som vi återkommer till senare, för att avgöra om en uppsättning av vektorer är linjärt oberoende eller inte är följande: Sats 3. Uppsättningen av vektorer {v, v 2,...,v k } är linjärt oberoende om och endast om den enda linjära kombinationen av dem som ger noll-vektorn är kombinationen med alla koefficienter lika med noll. Bevis. ( ) Antagattλ v + λ 2 v λ k v k = 0 och att inte alla koefficienterna λ i är noll. Till exempel antag att λ 0.Dåfårviattv = λ 2 v 2 λ k v k, vilket λ λ strider mot antagandet att uppsättningen {v, v 2,...,v k } är linjärt oberoende.

111 08 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET ( ) Om,motförmodan, uppsättningen är linjärt beroende, så kan någon av vektorerna skrivas som en lineärkombination av de övriga. Till exempel v k = λ v +λ 2 v λ k v k. Men då kan nollvektorn skrivas som en lineärkombination av uppsättningen, utan att alla koefficienter är noll, på följande sätt: λ v + λ 2 v λ k v k v k = 0 Exempel 7. Visa att om vektorerna u och v är linjärt oberoende så är även vektorerna (u + v) och (u v) linjärt oberoende. Lösning: Antag motsatsen, dvs att (u+v) och (u v) linjärt beroende. Det innebär att det finns två tal λ och µ, som inte båda är 0, och som är sådana att λ(u+v)+µ(u v) =0, dvs. (λ + µ)u +(λ µ)v = 0. Eftersomu och v är linjärt oberoende så måste båda koefficienterna vara 0, dvs. λ + µ =0och λ µ =0.Fråndettaföljer att λ = µ =0, alltså en motsägelse. Övning 4. Vilka par av de fem riktade sträckorna i parallellogrammet nedan representerar olika par av linjärt oberoende vektorer? D C A B 3. Skalärprodukt Med u kommer vi i fortsättningen mena längden av vektorn u, alltså längden av var och en av dess representanter. Med andra ord, om u = AB så är u längden av sträckan AB. Nu är vi redo att introducera en ny operation på vektorer, skalärprodukten. Medan resultatet av produkten med en skalär, λu, resulterar i en ny vektor så är resultatet av skalärprodukten mellan två vektorer, u v, ett tal(en skalär). Produkten kallas i litteraturen också för punktprodukten (dot product) eller inre produkten (inner product). Den betecknas också på olika sätt i olika böcker, tex u v, < u, v>, (u v) mm.viska använda den första notationen. I skalärprodukten multiplicerar man alltså två vektorer med varandra. Skalärprodukten, utöver uppenbara fysikaliska tillämpningar(lugn, de kommer strax!), ger inte bara ett elegant sätt att binda samman de geometriska begreppen längd och vinkel men tillåter oss också att beräkna vinklar mellan vektorer i högre dimensioner än tre, och definiera begreppet vinkel för objekt som inte alls är vektorer i vanlig mening (till exempel mellan matriser, eller polynom, eller funktioner)(lämpligen kan man givet en ledig timma, eller så fråga någon vänligt inställd matematiker i närheten vad vinkeln mellan cos x och sin x är och vilka konsekvenser för skivindustrin det har...)

112 3. SKALÄRPRODUKT 09 Övning 5. [Detta är en slamkrypare.obs!] Låt u, v och w. Vilken är skillnaden mellan uttrycken (u v)w och (u v) w? Innan vi definierar skalärprodukten låt oss titta på ett exempel. Antag att kraften F,här representerad med vektorn AC, verkarpåkroppenk och förflyttar den sträckan AB. Det arbete W som då utförs är lika med kraften i riktningen av rörelse multiplicerad med längden av sträckan.(kom ihåg att det är alltså bara när en kraft åtföljs av rörelse som det går åt energi. Även om det kan kännas fel när man stått och väntat med en tung last, så innebär det att t ex våra bord inte hela tiden förlorar energi på att hålla upp våra tallrikar, för att till slut försvinna.) Kraften i riktningen av rörelse representeras här av vektorn AD och sträckan av vektorn AB. Vidare är AD = AC cos φ. Därmed är W = AC AB cos φ. F C l K A φ D B Det är just sådana fysikaliska tillämpningar som motiverar införandet av begreppet skalärprodukt. Låt u och v vara två icke-noll vektorer (i planet eller rummet) och låt AB och AC vara ett par representanter för dem. Sträckorna AB och AC bildar två vinklar så låt φ vara den mindre av dem, dvs 0 φ π. C v φ A u B Nu till definitionen: u v = { u v cos φ om u 0 och v 0, 0 om u = 0 eller v = 0. Det andra villkoret behövs verkligen, för trots att 0 = 0, så någon vinkel mellan en vektor och noll-vektorn är inte definierad. Övning 6. Låt K vara en kvadrat med sidan. Hur många olika vektorer representerar sidorna i K? Bestäm alla möjliga skalärprodukter mellan dessa vektorer.

113 0 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET Observera att vinkeln φ mellan vektorerna u och v är π/2 (vi kallar sådana vektorer för ortogonala eller vinkelräta) omochendastomu v = u v cos π/2 = 0. Noll-vektorn är ortogonal mot alla vektorer. Det här visar sig vara så viktigt att vi formulerar det som en sats. Sats 4. Två vektorer u och v är vinkelräta mot varandra om och endast om u v =0. Man ser också omedelbart att u och v är parallella om och endast om u v = u v. Eftersom u v = u v cos φ så har vi ju likhet precis när cos φ = φ =0,π.Men φ = 0 svarar mot att vektorerna har samma riktning, och φ = π mot att de har motsatt riktning, och i bägge fallen är de parallella. Antag nu att u = AB och v = AC (se figuren nedan). Vi har att AC cos φ = AD, och därför är u v = AB AC cos φ = AB AD. Vektorn AD kallas för den ortogonala projektionen av v på u och betecknas med v u. Eftersom u = AB och v u = AD är parallella är deras skalärprodukt bara produkten av deras längder, alltså AB AD, d v s samma skalärprodukt som vi fick nyss. Därmed får vi att u v = u v u ( ) C A φ D B Den senaste observationen kommer väl till hjälp i flera sammanhang, till exempel i beviset för satsen nedan. Satsen sammanfattar några viktiga egenskaper hos skalärprodukten. Sats 5. a) u v = v u (kommutativa lagen), b) u (v + w) =u v + u w (distributiva lagen), c) u (λv) =(λu) v = λ(u v), d) u u 0, medlikhetomochendastomu = 0. Bevis. a) och d) följer direkt ur definitionen. För att visa b) betrakta figuren nedan.

114 3. SKALÄRPRODUKT E w v D v + w A F u G B Eftersom AF = v u, FG = w u och AG =(v + w) u så får vi att u (v + w) =u (v + w) u = u AG = u ( AF + FG ) = u AF + u FG = u v u + u w u = u v u + u w u = u v + u w. Vi använde här alltså observationen ( ) ovan. Slutligen använder vi samma teknik för att visa c. Här är AB = u, AC = v, AD = λv, AE = v u,ochaf = (λv) u. Eftersom trianglarna AEC och AF D är likformiga och AD = λ AC så är AF = λ AE. Därmed är u (λv) =u (λv) u = AB AF = AB (λ AE ) =λ AB AE = λ u v u = λ(u v u )=λ(u v). D λv v C A E u F B

115 2 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET Observera att distributivitetslagen b) bara beskrevs för den andra faktorn, men från symmetrin sats 5a)och 5b)följer genast att (u+v) w = w (u+v) = w u+w v = u w+v w. Vinkeln φ mellan vektorerna u och v är 90 eller π/2 radianer(vi kallar sådana vektorer för ortogonala) omochendastomu v = u v cos π/2 = 0. Noll-vektorn är ortogonal mot alla vektorer. Slutligen, från egenskap d) följer att u u = u u cos 0 = u 2, alltså är u = u u. Specielt får vi att λu = (λu) (λu) = λ 2 (u u) = λ u. Med en enhetsvektor menar man varje vektor w med längd w =.Attnormera en vektor u 0 betyder att finna en enhetsvektor w som är parallell med u och som har samma riktning som u, alltså, en vektor av typ w = λu med λ>0. Eftersom det innebär att = w = λu = λ u så får vi att λ =.Därmed är w = u u u. Vi sa i introduktionen att skalärprodukten omfattar både längd och vinkelmätning iettförföriskt paket. Förföriskheten beror på att som vi ska se i nästa avsnitt när vi inför baser och koordinater så är skalärprodukten enkel att beräkna. Redan nu kan vi se hur man kan beräkna längder och vinklar med den givet att man nu kommer att kunna beräkna den på ett annat bättre sätt... Sats 6. Låt u och v vara två vektorer. Längden av u är u = u u. Vinkeln θ mellan de två vektorerna fås som cos θ = u v u v θ =arccos( u v u v ). Låt oss titta på ett par exempel på räkningar med skalärprodukt. Exempel 8. Antag att vektorn u har längd 3 och v har längd 5. Bestäm (u+v) (u v). Lösning: Enligt sats 5 får vi att (u + v) (u v) = u (u v) +v (u v) = u u u v + v u v v = u 2 v 2 =9 25 = 6. Exempel 9. Uttryck w 2 med hjälp av u, v och vinkeln φ. v w = v u φ u Lösning: w 2 = v u 2 =(v u) (v u) =v v v u u v+u u = u 2 + v 2 2u v = u 2 + v 2 2 u v cos φ.

116 3. SKALÄRPRODUKT 3 Resultatet är inget annat än den välkända(?) Kosinussatsen. Dessutomär w 2 = u 2 + v 2 om och endast om φ =90, dvs. Pythagoras sats. Vi har alltså bara i förbifarten bevisat Pythagoras 5000-åriga sats. Men Exempel 0. Visa att diagonalerna i en romb är ortogonala. Lösning: Det räcker att visa att AC BD =0. AC BD =(AB + BC) (AD AB) = = AB AD + BC AD AB AB BC AB = = AB (AD BC)+BC BC AB AB = BC 2 AB 2 =0. D C A B Exempel. Antag att u och v är två vinkelräta vektorer med längd 3 respektive 4. Antag vidare att vektorn w ligger i samma plan som u och v. Visaattframställningen av w som en lineärkombination av u och v är w = u w 9 u + v w 6 v. Lösning: Eftersom vektorn w ligger i samma plan som u och v så kan den skrivas som en lineärkombination w = xu + yv. Skalärmultiplikation av denna likhet med u ger u w = x(u u) +y(u v) =x u 2 +0= 9x. Därmed är x = u w. Multiplicerar man 9 istället med v så blir det v w = x(v u)+y(v v) =0+y v 2 =6y, vilketgery = v w 6. Övning 7. Om vektorerna u och v vet vi att u = 6, v = 8ochu v = 6. Bestäm vinkeln mellan u och v. Vi avslutar denna sektion med två viktiga olikheter. Den första är en olikhet som är uppenbar för skalärprodukten i planet och i rummet men som kommer att ha betydligt större betydelse längre fram(i senare kurser).

117 4 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET Sats 7. Cauchy-Schwarz olikhet.omu och v är två vektorer i planet eller i rummet så är u v u v. Bevis. Om u = 0 eller v = 0 så är VL=HL=0. Annars, eftersom cos φ såföljer olikheten direkt ur skalärpoduktens definition: u v = u v cos φ u v. Den andra olikheten är känd både från geometri och från algebrakursen del. Vi vet nämligen att summan av längderna av två sidor i en triangel aldrig är mindre än den tredje sidans längd. Med hjälp av vektorer kan detta uttryckas på följade sätt: Sats 8. Triangelolikheten. u + v u + v. Bevis. Om vi ritar en lämplig bild (gör det!) så kommer de tre vektorerna att bilda sidor i en triangel. Resten är ren geometri, speciellt karaktäriseringen av den räta sträckan mellan två punkter som den kortaste kurvan mellan dessa två punkter(fågelvägen s a s). Men det finns ett annat, mycket elegant bevis som inte alls refererar till den geometriska tolkningen, är mycket mer komplicerat men som kommer att fungera lika bra i en mycket mera generell situation, då vektorer inte nödvändigtvist betyder pilar i rummet. Det enda man refererar till och behöver använda är Cauchy-Schwarz olikheten. Här kommer detta bevis. Vi ska visa att u+v 2 ( u + v ) 2.Omvidrarrotenurbägge sidor av denna olikhet får vi precis triangelolikheten då båda sidor i denna är icke-negativa tal. u + v 2 =(u + v) (u + v) = = u u + u v + v u + v v = u 2 +2(u v)+ v 2... (eftersom a a för alla reella tal a, texför a = u v) )... u 2 +2 u v + v 2... (Cauchy-Schwarz olikhet)... u 2 +2 u v + v 2 =( u + v ) En anmärkning*. Skalärprodukten tillordnar alltså ett tal till varje par av vektorer (i planet eller i rummet). Man kan alltså se den som en tvåvariabelsfunktion f(u, v) från mängden V av alla vektorpar till mängden av reella talen R. De fyra grundläggande egenskaperna hos skalärprodukten som vi bevisade i sats 5 kan skrivas som: () f(u, v) =f(v, u) (2) f(u, (v + w)) = f(u, v)+f(u, w), (3) f(u, λv) =f(λu, v) =λf(u, v), (4) f(u, u) 0, med likhet om och endast om u = 0.

118 4. ÖVNINGAR 5 Man kan förstår undra om det finns andra funktioner från mängden V till R och som också uppfyller egenskaperna () - (4) ovan. Och det visar sig faktiskt att det finns hur många som helst sådana funktioner och var och en är ett slags skalärprodukt. Senare, i mera generella sammanhang, blir det just de fyra villkoren som ska definiera en skalärprodukt. Och då behövs det ingen referens till det geometriska innehållet i begreppen längd eller vinkel. Men då är vi i en värld där nästan vad som helst kan vara vektorer...du vektor, jag vektor är bjudna av trollen till gästabud i natt, som den gamla svenska folkramsan mot kreaturssjukdomar (nästan:byt vektor mot nål) säger. 4. Övningar (8) Låt AB = u och AC = v (i figuren nedan). Antag att D delar sträckan BC i mitten och att E delar sträckan BD iförhållande : 2. Uttryck vektorerna DE och AE som lineärkombinationer av u och v. C D E B v u A (9) Visa att diagonalerna i en parallellogram delar varandra på mitten. (Ledtråd: Låt ABCD vara en parallellogram och låt E dela AC mitt itu och F dela BD mitt itu. Visa att AE = AF.Dettamedför förstås att punkterna E och F sammanfaller. Det är en mycket fruktbar teknik och tillämpas ofta i problem som rör vektorer i planet eller rummet.) (0) Visa att medianerna i en triangel delar varandra i proportionerna 2 : (den längre delen vid hörnet). (Ledtråd: Låt punkten T A dela medianen AA iförhållande 2 :ochlåtpunktent B dela medianen BB iförhållande 2 :. Använd samma teknik som i den föregående uppgiften. Visa till exempel att AT A = AT B.) C B A A T A T B B

119 6 5. VEKTORER I PLANET OCH RUMMET () I triangeln ABC är AB =3, BC =2och ABC =60.Bestäm AB AC. (2) Antag att u är en enhetsvektor, att vinkeln mellan u och v är 30 samt att vinkeln mellan u och w är 60.Bestäm v w om u v =3 3ochu w =0.(Obs.det finns två svar.) (3) Vinkeln mellan vektorerna u och v är 45.Dessutomär u =2och v =5. Bestäm (2u 3v) (7u +2v). (4) Vinkeln mellan vektorerna u och v är 30.Dessutomär u =4och v =7. Bestäm u +2v. (5) Bestäm u v då det är känt att u =4, v =7och u v =8. (6) Visa att vektorer som representeras av motstående sidor i en regelbunden tetraeder är ortogonala. (Ledtråd: Skriv vektorn CD som en lineärkombination av AB, AC och AD och bestäm AB CD.) (7) Låt ABCDA B C D vara en kub med basen ABCD och motstående sida A B C D (sidokanterna är AA, BB osv.) Bestäm vinkeln mellan diagonalen AC och rymddiagonalen AC.Bestäm också vinkeln mellan diagonalen BD och rymddiagonalen AC (observera: det räcker att bestämma cosinus för dessa vinklar). (8) Antag att u =. Visa att för varje vektor v är w = v (u v)u vinkelrät mot u. Beskriv grafiskt vektorn, alltså rita en principiell bild, gärna med färgkritor av w. (9) Låt ABCD vara en parallellogram. Visa att AC 2 + BD 2 =2 AB 2 +2 AD 2 (20) Finns det två vektorer u och v med u =, 5och v = 3, 3, sådanaatt 2u+3v = 3, 6? (2) Låt k vara ett positivt heltal. I triangeln ABC definiera punkterna A, B och C så att A delar BC i proportionen : k, B delar CA i proportionen : k och C delar AB i proportionen : k. Visa att tyngdpunkten (medianernas skärningspunkt) i triangeln ABC sammanfaller med tyngdpunkten i triangeln A B C.(Ledtråd:Använd samma teknik som i övning 9. Om du tycker det är för krångligt med parametern k så tag istället k =2).

120 KAPITEL 6 Bas och koordinatsystem Vi är ute efter att ersätta den geometriska beskrivningen av vektorer som klasser av riktade sträckor med tal, eller talpar, eller taltripplar. Det är en del i att föra över hela geometrin avstånd,vinklar,areor,linjerochplan tillattintelängre handla om bilder utan vara ytterligare ett område där man kan lösa de flesta problem genom vardagligt enkla och helst trista i den meningen att man vet precis hur man ska göra aritmetiska räkningar, istället för halsbrytande resonemang med snygga diagram och fantasirika satser. Med betoningen på lösa alla problem. Detta program kallas analytisk geometri eller lineär algebra, och startades av officern René Descartes på 600-talet. En vinter när han satt uppkrupen på en härligt varm ugn i Tyskland, såg visioner av Jungfru Maria och väntade på att kriget mot svenskarna skulle börja kom han på en ny metod att lösa alla problem med (han var inte precis av den blygsammaste sorten). Sedan tidigare hade han tröttnat rejält på att det var så jobbigt för fantasin med geometriska problem. Mer algoritmer, mindre fantasi, skulle man kunna sammanfatta hans program. Och med sin nya metod skapade han den mycket enklare (och rikare och effektivare) geometri som vi här går igenom.. Bas och ON-bas.. En nästan-definition. Iförra kapitlet visade vi att om u är en icke-noll vektor iplanetellerrummetsåkanvarjevektorparallellmedu skrivas som λu för något reellt tal λ. Iplaneträcker det med två icke parallella vektorer u och v: varjevektorw kan då på ett entydigt sätt skrivas som en lineärkombination w = λu + µv. Irummetbehöver vi i samma syfte tre icke-komplana vektorer, alltså tre vektorer som inte är parallella med ett och samma plan. Ett val av en uppsättning sådana vektorer utgör ett slags grundbyggstenar, med vars hjälp vi kan få alla andra vektorer som lineärkombinationer. Vi säger då att uppsättningen spänner upp linjen, eller planet, eller rummet. Om dessutom denna uppsättning är lineärt oberoende så kallas den för en bas. (Begreppet lineärt oberoende definierade vi i förra kapitel. Att en uppsättning vektorer är lineärt oberoende betyder i korthet att ingen av vektorerna i uppsättningen kan skrivas som en lineärkombination av de övriga. Med andra ord så innehåller uppsättningen inga överflödiga vektorer.) 7

121 8 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM En bas för alla vektorer parallella med en linje utgörs av en enda vektor u 0 parallell med linjen. En bas för alla vektorer i ett plan utgörs av två icke-parallella vektorer. I rummet är det tre icke-komplana vektorer som utgör en bas. Övning. Hur många olika baser i rummet kan man få ur vektorerna som representeras av kanter i en given kub? Exempel. Antag att vektorerna u, v och w är lineärt oberoende. Måste då vektorerna u + v, v + w och u + w vara lineärt oberoende? Lösning: Antag att x(u + v)+y(v + w)+z(u + w) =0. Detta är ekvivalent med att (x + z)u +(x + y)v +(y + z)w = 0. Eftersom vektorerna u, v och w är lineärt oberoende så har den enda lineärkombinationen av dessa som ger noll-vektorn alla koefficienter lika med 0. Vi kan därför konstatera att x + z =0, x + y =0och y + z =0. Den enda lösningen till detta system är x =0, y =0och z =0. Vektorerna u + v, v + w och u + w är alltså lineärt oberoende. Övning 2. Antag att vektorerna u, v och w är lineärt oberoende. Visa att vektorerna z = u +2v w, z 2 = u +4v + w och z 3 =2u + v 2w är lineärt beroende..2. Bas och koordinater. Antag att vi har en given bas B irummetbeståendeav tre vektorer u, u 2 och u 3.Varjevektorw irummetkandåskrivaspåentydigtsätt som en lineärkombination av basvektorerna, w = λu + µu 2 + νu 3. Vi kan därför med varje vektor w associera en taltripel w (λ, µ, ν). Det ligger nu nära till hands att definiera dessa talen λ, µ och ν som koordinater för vektorn w med avseende på basen B. Till exempel är talen (2,, 3) koordinater för vektor w med avseende på basen B om w =2u u 2 +3u 3.Mensamtidigtkanjuw skrivas som w = u 2 +3u 3 +2u och då skulle koordinater för w vara (, 3, 2). Detta låter inte helt likt det sätt som vi vill ha det: vi vill ha en entydig framställning av en vektor med hjälp av koordinater. Samma vektor får inteha två olika koordinatframställningar i samma bas. Felet i vårt exempel kan lätt avhjälpas genom att omdefiniera begreppet bas till att vara en ordnad mängd av uppspännande och lineärt oberoende vektorer. Vi har en första basvektor, en andra basvektor och en tredje basvektor. Därför, visst kan koordinaterna för w få vara (, 3, 2), havet är ju stort, med då är det inte längre med avseende på basen B =(u, u 2, u 3 )utanmedavseendepåenannanbas,nämligen basen B =(u 2, u 3, u ). Observera att när vi beskriver en ordnad mängd så använder vi inte klamrar {u 2, u 3, u } utan vanliga parenteser. Notationen {...} är reserverad för oordnade mängder och där är {u, u 2, u 3 } = {u 2, u 3, u }. Övning 3. Hur många olika baser i rummet kan man få ur vektorerna som representeras av kanter i en given kub? ( Basen ska tolkas här enligt den nya, reviderade definitionen).

122 . BAS OCH ON-BAS 9 Exempel 2. Antag att w har koordinater (2, 3) i basen B =(u, u 2 ) och att w 2 har koordinater ( 3, 2) i samma bas. Bestäm koordinater för vektorn w =4w 5w 2 i basen B. Lösning: Eftersom w =2u +3u 2 och w 2 = 3u +2u 2 så är w =4w 5w 2 = 4(2u +3u 2 ) 5( 3u +2u 2 )=23u +2u 2.Därmed har w koordinaterna (23, 2) i basen B. Exempel 3. Vektorn w har koordinater (, 2) i basen B =(u, u 2 ). Vilka koordinater har w i basen B =(u + u 2, u u 2 )? (Obs. Vi har tidigare visat att om u, u 2 är lineärt oberoende så är även u + u 2, u u 2 lineärt oberoende.) Lösning: Låt w = λ(u + u 2 )+µ(u u 2 )=(λ + µ)u +(λ µ)u 2. Men eftersom framställningen w = u +2u 2 är entydig så måste λ + µ = och λ µ =2.Lösningen är λ = 2 och µ = 3 2. En och samma vektor kan alltså ha olika koordinatframställningar, beroende på vilken bas har man valt. När vi alltså skriver att w har koordinater (α, β, γ), eller, som vi ifortsättningen kommer att skriva, w =(α, β, γ), så betyder det att det finns en underliggande (och underförstådd) bas B =(u, u 2, u 3 )sådanattw s koordinater i B är just (α, β, γ). Idesituationerdär det inte är tydligt vilken bas B som menas så kommer vi att använda uttryck av typen w B = (α, β, γ) när vi vill betona att det handlar om w:s koordinater i B. Övning 4. Betrakta parallellogrammen ABCD. Låte = AB, e 2 = AD, f = AC och f 2 = BD. VektorernaB =(e, e 2 )utgör en bas i planet. Men det gör också vektorerna B 2 =(f, f 2 ). Låt E vara den punkt som delar DC mitt itu och låt u = AE. Bestäm (a) u B och (b) u B2.(Ledtråd:För (b) är det smartast att uttrycka f och f 2 som lineärkombinationer av e och e 2,ochdärefter använda (a).) D E C A B Exempel 4. Antag att B =(u, u 2, u 3 ) är en bas i rummet och att v B =( 2, 3, ), samt w B =(2, 2, 5). Uttryck v w med hjälp av skalärprodukter av vektorerna i B. Lösning: v w =( 2u +3u 2 + u 3 ) (2u 2u 2 +5u 3 )= 2u 2u 2u ( 2u 2 ) 2u 5u 3 +3u 2 2u +3u 2 ( 2u 2 )+3u 2 5u 3 + u 3 2u + u 3 ( 2u 2 )+u 3 5u 3 = 4 u 2 6 u u u u 2 8u u 3 +3u 2 u 3.

123 20 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM Följande sats är en del av programmet att få geometri att svara mot enkla hushållsnära egenskaper hos taltripplar. Tänk bara på hur komplicerad definitionen av en summa av vektorer är och jämför med hur enkelt vi får summan av deras koordinater. Sats. Låt B =(u, u 2, u 3 ) vara en bas i rummet och antag att u =(a,b,c ) och v =(a 2,b 2,c 2 ) i denna bas. Då är () u + v =(a + a 2,b + b 2,c + c 2 ), (2) λu =(λa,λb,λc ) och (3) 0 =(0, 0, 0). Bevis. Beviset går i sama spår som lösningen till exempel 4. Vi har nämligen att u = a u + b u 2 + c u 3 och v = a 2 u + b 2 u 2 + c 2 u 3.Därmed är u + v =(a u + b u 2 + c u 3 )+(a 2 u + b 2 u 2 + c 2 u 3 )=(a + a 2 )u +(b + b 2 )u 2 +(c + c 2 )u 3.Dettabevisar(). Beviset av (2) är lika omedelbart: λu = λ(a u + b u 2 + c u 3 )=λ(a u )+λ(b u 2 )+ (λc )u 3 =(λa )u +(λb )u 2 +(λc )u 3. För beviset av (3) räcker det att ta λ =0i(2). Övning 5. Låt u =(3,, 2), v =( 4,, 3) och w =(2 2, 3) vara tre vektorer med koordinater i en bas i rummet. Vilka koordinater har vektor 3u 2v +4w isamma bas? Anmärkning. Koordinater för en vektor i rummet (eller en vektor i planet) är alltså en taltrippel (ett talpar). Vi har ovan skrivit en vektor både som u =(α, β, γ) ochsom u =(a,b,c ). Beroende på sammanhanget kommer beteckningar att variera och annan notation, till exempel u =(x,x 2,x 3 ), kommer att dyka upp. Vi hoppas att detta inte ska leda till några missförstånd..3. Lineärt (o)beroende revisited. Antag att vektorerna u, u 2 och u 3 inågon bas B irummetharkoordinateru =(a,b,c ), u 2 =(a 2,b 2,c 2 )ochu 3 =(a 3,b 3,c 3 ). Traditionellt är det ofta bekvämt att skriva koordinater i kolonnform: u = a, u 2 = a 2, u 3 = a 3. b c Vektorerna u, u 2 och u 3 är lineärt oberoende om och endast om ekvationen xu + yu 2 + zu 3 = 0 enbart har den triviala lösningen x = y = z =0.Eftersomekvationenkan skrivas om som systemet a x + a 2 y + a 3 z =0 b x + b 2 y + b 3 z =0 c x + c 2 y + c 3 z =0 b 2 c 2 b 3 c 3

124 så kan den också framställas på matrisform:. BAS OCH ON-BAS 2 a a 2 a 3 b b 2 b 3 x y = 0 0 c c 2 c 3 z 0 ( ) Om vi alltså låter koordinater för u, u 2 och u 3 bilda kolonner i matrisen A, A = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 så kan detta sammanfattas som en sats (jämför med sats 9 i kap 4): Sats 2. Vektorerna u, u 2 och u 3 är lineärt oberoende om och endast om ekvationen ( ) enbart har den triviala lösningen, d v s om och endast om det A 0. Motsvarande gäller förstås också för två vektorer i planet. Exempel 5. Antag att punkterna A, B, C och D har koordinater (2, ), (, 3), (3, 2) och (, 4) i en bas i planet. Är vektorerna AB och CD lineärt beroende eller ej? Lösning: AB =( 3, 2) och CD =( 2, 2). Eftersom = 0 0så är vektorerna lineärt oberoende..4. ON-bas. Låt oss återgå en stund till exempel 4 ovan. Vad skulle svaret bli om vi dessutom antog att de tre vektorerna i basen B var parvis ortogonala? Detta skulle innebära att alla parvisa skalärprodukter u i u j var 0 om i j och svaret skulle då i detta fall bli v w = 4 u 2 6 u u 3 2. Och om vi vidare antog att basvektorerna hade längd så skulle svaret bli v w = 4 6+5= 5, eller, med andra ord: v w =( 2, 3, ) (2, 2, 5) = ( 2) + 5= 5. (Om vi väljer att se v B =( 2, 3, ) och w B =(2, 2, 5) som rad-matriser så innebär det att v w = v B w t B,där punkten i högra ledet betyder matrisprodukten. Man kan ju fråga varför man skulle vilja göra detta förstås...) Nyttan med baser där vektorerna är parvis ortogonala är därmed uppenbar. Sådana baser kallas också för ortogonala baser. En bas är ortonormal, elleron-bas, omdenär ortogonal och dessutom alla vektorer har längd. Detta kan uttryckas som att { 0 om i j, ( ) u i u j = om i = j,

125 22 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM där basen B =(u, u 2, u 3 ). Villkoret u i u j =0omi j står för parvis ortogonalitet medan u i u j =omi = j säger att längderna är. Här kommer nu den första riktigt märkligt fantastiska satsen i det här kompendiet. Observera vad den gör: vi har ju kodat längd och vinkelmätning i ett mystiskt begrepp skalärprodukten, och denna sats säger att om vi bara väljer en bra och hederlig ON-bas, så kan vi beräkna denna skalärprodukt utan att gå till dess definition, bara direkt från koordinaterna av de inblandade vektorerna. Alltså kan vi nu räkna ut alla vinklar och alla längder. Vi kan slänga alla linjaler och gradskivor! Skalärprodukten är det rätta sättet att sammanfatta både längder och vinklar. Sats 3. Låt B =(u, u 2, u 3 ) vara en ON-bas i rummet och antag att u =(a,b,c ) och v =(a 2,b 2,c 2 ) i denna bas. Då är (a) u v = a a 2 + b b 2 + c c 2 och (b) u = a 2 + b 2 + c 2. Likheterna ovan är två av flera orsaker som gör att arbete med ON-baser är särskilt bekvämt. ON-baserna är basernas X2000: snabba och bekväma, och går t o m ofta punktligt. Bevis. (a) u v =(a u + b u 2 + c u 3 ) (a 2 u + b 2 u 2 + c 2 u 3 )= (a u ) (a 2 u )+(a u ) (b 2 u 2 )+(a u ) (c 2 u 3 )+(b u 2 ) (a 2 u )+(b u 2 ) (b 2 u 2 )+(b u 2 ) (c 2 u 3 )+(c u 3 ) (a 2 u )+(c u 3 ) (b 2 u 2 )+(c u 3 ) (c 2 u 3 )= a a 2 (u u )+a b 2 (u u 2 )+a c 2 (u u 3 )+b a 2 (u 2 u )+b b 2 (u 2 u 2 )+b c 2 (u 2 u 3 )+ c a 2 (u 3 u )+c b 2 (u 3 u 2 )+c c 2 (u 3 u 3 )=... med tanke på likheten ( ) ovan... = a a 2 + b b 2 + c c 2. (b) Det räcker att sätta in v = u i(a), komma ihåg att u 2 = u u och göra en rotutdragning. Exempel 6. Låt oss antaga att vektorn uhar koordinater (a, b) i en ON-bas. Enligt definitionen från förra kapitlet utgör vektorn w = u u en normering av u, alltså en enhetsvektor parallell med u och med samma riktning som u. Därmed är w = u u = a (a, b) =( a2 + b2 a2 + b, b 2 a2 + b ). 2 Övning 6. Normera vektorerna u = (3, 4) och u 2 = ( 2,, 2). I båda fallen är koordinaterna givna i en ON-bas. Exempel 7. Antag att B är en ON-bas i rummet och att u B =(, 0, ) samt v B = (,, 0). Bestäm vinkeln mellan u B och v B.

126 . BAS OCH ON-BAS 23 Lösning: Enligt sats 3(a) ovan är u B v B = +0+0 =. Samtidigt, enligt sats 3 (b), är u B v B = u B v B cos φ = cosφ =2cosφ. Därmed =2cosφ, dvs. cos φ = 2 som medför att φ =20 = 2π 3. Följande sats talar om precis hur bekväma fåtöljerna är ombord på ON-bas 2000 vi kan t o m använda skalärprodukten för att beräkna koordinater, som i satsens del b). Sats 4. (a) Antag att B =(u, u 2, u 3 ) är en ortogonal bas i rummet och att v är en vektor i rummet. Då är v =( u v u )u 2 +( u 2 v u 2 )u 2 2 +( u 3 v u 3 )u 3. 2 (b) Om B dessutom är en ON-bas så är Motsvarande gäller förstås i planet. v =(u v)u +(u 2 v)u 2 +(u 3 v)u 3. Bevis. Eftersom B är en bas så är v = α u + α 2 u 2 + α 3 u 3 för lämpligt valda reella tal α, α 2 och α 3.Omvimultiplicerardennalikhetmedu får vi v u = α u u + α 2 u 2 u + α 3 u 3 u = α u 2.Därmed är α = v u u 2.Likadanträknas α 2 och α 3 ut. Om B är en ON-bas så är dessutom u 2 = u 2 2 = u 3 2 =,sånämnarna försvinner iformelnia). Exempel 8. Kan det finnas en vektor v som bildar vinkel 30 med alla basvektorer i en ON-bas i rummet? Vilka koordinater har den i så fall? Lösning: Låt ON-basen vara B =(u, u 2, u 3 ). Enligt satsen räcker det för att få en vektors koordinater att bestämma dess skalärprodukt med de olika basvektorerna. Antag att v längd är a. Dåär u v = v u cos 30 = a 3 = a 3, och likadant för de 2 2 andra basvektorerna. Om v finns är den alltså entydigt bestämd genom sina koordinater v B =( a 3 2, a 3 2, a 3 2 ). Men har denna vektor rätt längd? Nej, ty dess längd är 3 3a2 = 4 a. Alltså kan det inte finnas en sådan vektor. 3a 2.5. Ortogonal projektion och Gram-Schmidts ortogonalisering. Låt u och v vara två icke-parallella vektorer i planet eller i rummet. I figuren nedan är u = AB och v = AC. Vi har också ritat in s = AE, somär en enhetsvektor parallell med u, dvs. s = u. Antag vidare att vektorn w = DC är vinkelrät mot vektorn u. VektornAD u kallar vi då (precis som vi gjorde tidigare) för den ortogonala projektionen av v på u och

127 24 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM betecknar den med v u.dess längd är v cos φ (citationstecken används för att det kan var ett negativt tal om vinkeln φ mellan u och v är större än 90 ). Därmed är AD =( v cos φ) s =( v cos φ) u Formeln u = v cos φ u v u = u v u 2 u u = u v cos φ u 2 u = u v u 2 u. kommer vi att använda vid flera tillfällen och därför är det bra att lägga den på minnet. Notera också att v u = u v u u u v u v = u =. 2 u 2 u v C A s E D u B Iflerakonkretaproblemlönar det sig att konstruera en speciell ortogonal bas, eller en ON-bas, som är anpassad till just detta problem. En effektiv metod att konstruera en ortogonal bas utifrån några givna vektorer eller villkor kallas för Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess. Här följer en kort beskrivning av stegen i den metoden för att finna en bas på linjen, i planet och i rummet. Om vi bara är intresserade av mängden V av alla vektorer parallella med en given vektor u så kommer förstås den normerade vektorn w = u att utgöra ON-basen för V. u Om vi har två icke-parallella vektorer u och v iplanetochvivillanvända dessa för att konstruera en ortogonal bas för planet så kan vi, som den första vektorn, gärna ta w := u (se beteckningar i figuren ovan). Vektorn AD ifigurenär förstås lika med v u, den ortogonala projektionen av v på u. Ifigurensynsjuentillu ortogonal vektor, en sådan som vi är ute efter, nämligen Räknar vi ut vad den är ser vi att och vi är klara. w 2 = DC. w 2 = AC AD = v w v w 2 w

128 . BAS OCH ON-BAS 25 Observera att om vi var intresserade av en ON-bas istället för en ortogonal bas så skulle vi bara behöva normera vektorerna w och w 2. Iteorinlåteralltdettaganskainvecklat,menommanharförstått hur vi kom fram till formeln, är det inte så konstigt. Ibland kan man fuska. En sådan småmysig situation är om vi känner till koordinater till u i någon ON-bas för då behöver vi inte någon vektor v som vi hade till hjälp. Antag nämligen att u =(a, b). Då är förstås vektorn v =( b, a) ortogonalmotu, ty(a, b) ( b, a) = ab + ba =0.Sedanåterstårbaraatt normera u och v och vi är klara. Exempel 9. Givet vektorn (, 2). Finn en ortogonal bas i vilken denna vektor ingår. Lösning: Enligt fuskreceptet alldeles nyss är ( 2, ) en ortogonal vektor, och tillsammans bildar de en bas av den sökta typen. Exempel 0. Givet en kurva y = f(x) i planet, där f(x) är en deriverbar funktion. I analyskursen visar man att vektorn (,f (x)) är parallell till tangenten genom (x, f(x)). Finn en vektor som är vinkelrät mot tangenten. Lösning: Enligt fuskreceptet alldeles nyss är ( f (x), ) en sådan ortogonal vektor..5.. I rummet. Irummetär situationen lite mer komplicerad, t ex absolut inte så endimensionell som två dimensioner ofta kan ge en en känsla av att vara. För en icke-noll vektor u finns det hur många som helst enhetsvektorer vinkelräta mot u. Om man däremot har en vektor till, v som inte är parallell med u, såfinnsdetprecistvå enhetsvektorer som är vinkelräta mot u och som ligger i samma plan som u och v (alltså är en lineärkombination av u och v). Om den ena av dessa är vektorn w så är den andra lika med w. Vektornw räknar vi ut precis som vi gjorde ovan. Här ett exempel. Exempel. Låt u =(2, 2, ) och v =(,, ) i en ON-bas i rummet. Bestäm två ortogonala enhetsvektorer v, v 2 (dvs en ON-bas) i samma plan som u och v (alltså båda ska vara lineärkombinationer av u och v). Lösning: Som i proceduren ovan bestämmer vi först enhetsvektorn v = u u = 3 (2, 2, ) = (2 3, 2 3, 3 ) (observera att vi normerar direkt eftersom vi är ute efter en ON-bas). Sedan räknar vi ut w 2 = v u v (2, 2, ) (,, ) u =(,, ) (2, 2, ) = u 2 (2, 2, ) 2 =(,, ) + 9 (2, 2, ) = (,, ) + (2 9, 2 9, 9 )=( 7 9, 9, 8 9 ). Slutligen normerar vi w 2 och får v 2 = w 2 w 2 = ( 7 9, 9, 8 9 )= 26 3 ( 7 9, 9, 8 9 )= 3 ( , 9, 8 9 )= 3 ( 7,, 8). 26

129 26 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM.5.2. Gram-Schmidt i rummet*. Antag nu att vi har tre lineärt oberoende vektorer u, u 2, u 3 irummetochattvisöker en ortogonal bas (w, w 2, w 3 )sådanattvektorerna (w, w 2 )liggerisammaplansomu och u 2. Precis som tidigare kan vi, som den första vektorn, ta w = u och som den andra vektorn w 2 = u 2 w u 2 w 2 w. D u 3 s u 2 C A E u B Betrakta nu vektorn AE, somär ortogonalprojektionen av u 3 på det plan som spänns upp av u och u 2.Eftersomw, w 2 är en ortogonal bas i detta plan så kan AE, enligtsats 4(a), skrivas som AE = w AE w w 2 + w 2 AE w w Observera att AE = u 3 s och att s är ortogonal mot hela planet som spänns upp av u och u 2.Därför är w AE = w (u 3 s) =w u 3 w s = w u 3.Likadantär det med w 2 AE = w 2 u 3 och detta medför att AE = w u 3 w 2 w + w 2 u 3 w 2 2 w 2. Vektorn w 3 vi söker ska vara ortogonal mot hela planet som spänns av u och u 2 och som syns i figuren är bästa kandidaten förstås s = u 3 AE. Därmed är w 3 = u 3 w u 3 w 2 w w 2 u 3 w 2 2 w 2. Vi kan nu sammanfatta hela Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess (då tre lineärt oberoende vektorer u, u 2, u 3 irummetär givna): w = u, w 2 = u 2 w u 2 w 2 w,

130 w 3 = u 3 w u 3 w 2 w w 2 u 3 w 2 2 w KOORDINATSYSTEM 27 Om man vill ha en ON-bas bör man förstås sedan normera vektorerna w, w 2 och w 3. Den stora poängen med processen är för det första att w spänner upp samma mängd av vektorer som u,nämligen de som är parallella med en linje som är parallel med u,och för det andra att planet som w och w 2 spänner upp är detsamma som planet som u och u 2 spänner upp. På så sätt bevarar man en del väsentlig information av de ursprungliga vektorerna, samtidigt som man får en ortogonal bas. Övning 7. I en ON-bas har tre vektorer koordinater u =(, 2, 3), u 2 =(,, ) och u 3 =(0,, ). Visa att dessa tre vektorer är lineärt oberoende. Bestäm därefter en ON-bas (w, w 2, w 3 )sådanattdeförsta två vektorerna är parallella med planet som spänns upp av u och u Koordinatsystem Det visar sig som läsaren sedan länge vet vara mycket bekvämt att i planet eller i rummet välja en fix referenspunkt O, viskakalladenför origo, ochför varje vektor välja en representant som hänger just i O. Medettkoordinatsystem iplanet,ellerirummet, menas en bas tillsammans med ett val av origo. Med varje punkt P iplanet(likadantgäller i rummet) kan vi då entydigt associera vektorn u som representeras av OP. Omdåu har koordinater (a, b) idengivnabasen B så associerar vi paret (a, b) medpunktenp och vi säger att P har koordinater (a, b). Vi skriver detta som P =(a, b), eller, ibland, för att understryka att den underliggande basen är B så skriver vi P B =(a, b). Exempel 2. Låt punkterna P och Q ha koordinater P =(a,b,c ), Q =(a 2,b 2,c 2 ) i ett koordinatsystem i rummet. Den riktade sträckan PQ representerar då vektorn eftersom u =(a 2 a,b 2 b,c 2 c ), u = OQ OP =(a 2,b 2,c 2 ) (a,b,c )=(a 2 a,b 2 b,c 2 c ). Övning 8. I ett koordinatsystem i planet med en ON-bas (vad man kan kalla ett ON-koordinatsystem) givenhartvåpunkterkoordinaternaa =( 2, 3) och B =(7, 3). (a) Bestäm koordinaterna för vektorn AB, samt (b) Bestäm koordinaterna för punkten C som är sådan att BC =(6, 6).

131 28 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM Det är förstås så att man kan alltid ta vilken punkt som helst som origo i koordinatsystemet varvid den får koordinaterna (0, 0). En punkts koordinater beror alltså på valet av origo, men det är viktigt att inse att en punkts koordinater också beror på valet av basen. I exemplet nedan har punkten P koordinater (2, ) i basen B =(u, v), medan i basen B 2 =(v, u v) harsammapunktp koordinater (3, 2) (kontrollera detta!!). P v w O u Övning 9. Vilka koordinater har punkten P ibasenb 3 =( 2u + v, 3u 2v)? Det är uppenbart att om B =(u, v) såär u B =(, 0) och v B =(0, ). 2.. Kartesiskt koordinatsystem. (Kartesius är förresten det gamla svenska namnet på Descartes, som omnämndes tidigare). Det är säkert ingen större överraskning att vårt gamla från skolan välkända kartesiska koordinatsystem är ett exempel på ett koordinatsystem i planet. Detta är bara ett av flera möjliga koordinatsystem men är kanske viktigast då det ofta fungerar som en bra referens. Om man väljer en godtycklig positivt orienterad (ooops, ett nytt begrepp; det ska vi prata mera om i Kapitel 7 )ortonormal bas e och e 2 för planet så får vi ett kartesiskt koordinatsystem; och om man bara skriver upp någon vektor utan hänvisning till bas så kan man förutsätta att det är med avseende på en ortonormal bas (e, e 2 ). Basen själv har så klart koordinaterna e =(, 0) och e 2 =(0, ). 2 e 2 e ON-basen (e, e 2 ) i planet är positivt orienterad om vektor e vriden 90 grader moturs överförs på vektor e 2.

132 3. BASBYTE 29 Basen B =(e, e 2 )kallasoftaför standardbasen iplanet.motsvarandestandardbasi rummet utgörs av vektorerna e =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0) och e 3 =(0, 0, ). Standardbasen är förstås en ON-bas. z y e 3 e2 x e Exempel 3. Visa att om x 2 + y 2 + z 2 =så är x +2y +3z 4. Lösning: Betrakta två vektorer i rummet med koordinater i standardbasen u =(, 2, 3) och v =(x, y, z). Enligt Cauchy-Schwarz olikhet (sats 7 i kapitel 5) är u v u v, alltså x +2y +3z = u v u v = 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4. Vidare är a a för varje reellt tal a, vilket medför att x +2y +3z x +2y +3z Basbyte Redan tidigare har vi funnit att samma vektor oftast har olika koordinater i olika baser. Vilken bas man vill arbeta i beror i stort sett på vilken problemformulering man använder. Iettlämpligt val av basen kan uppgiften förenklas betydligt. Låt oss bara reflektera ett ögonblick över några exempel på detta. Om jag ska beskriva en flugas rörelse här i rummet så tar jag kanske ett koordinatsystem där origo är en punkt i rummet och jag har ett ONsystem parallellt med väggarna säg. Men det koordinatsystemet är uppenbart idiotiskt att använda, om jag ska beskriva jordens rörelse kring solen. För det ändamålet bör jag väl ta ett koordinatsystem med origo i solens mitt, och med basvektorer som bildar ett ON-system, fixt visavi stjärnorna. Läsaren kan hitta på andra egna favoritexempel. Detta var exempel från tillämpningarna, men vi ska se att det finns många fler rent matematiska exempel. Om man nu vill syssla med flera av dessa koordinatssystem samtidigt, som t ex (mjukvaran i) en satellit måste göra, som å ena sidan använder ett lokalt koordinatsystem för att hålla reda på vad som är höger, vänster, eller framåt kamera, och å andra sidan orienterar sig med ett annat koordinatsystem efter stjärnorna och för det tredje fotograferar jorden och ska kunna tala om att den just nu fotograferar en misstänkt skräpig gårdsplan i Lundaskog i ett tredje koordinatssystem. Ja hur gör den då? Jo, den använder basbyte, som vi nu kommer att visa i stort sett bara innebär multiplikation med en lämpligt vald matris.

133 30 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM Exempel 4. I basen B u =(u, u 2 ) i planet har vektorn w koordinater w Bu =(a, b). Vektorerna v =2u u 2 och v 2 = u +3u 2 är lineärt oberoende (kolla detta!), alltså utgör de en ny bas B v =(v, v 2 ) i planet. Vilka koordinater har w i basen B v? Vi byter alltså basen från den gamla basen B u till den nya basen B v. Lösning: Om vi löser ut u och u 2 ur ekvationssystemet { v =2u u 2 ( 2) v 2 = u +3u 2 så får vi { u = 3 5 v + 5 v 2 u 2 = 5 v v 2 ( 3) Insättning av detta i sambandet w = au + bu 2 ger då w = a( 3 5 v + 5 v 2)+b( 5 v v 2)= 3a + b 5 Koordinater för w i basen B v är därmed w Bv =( 3a + b 5 v + a +2b v 2. 5, a +2b ). 5 Som kolonnvektor (kolonnmatris) kan koordinaterna för w i basen B v skrivas som ( 3a+b ) ( 3 5 a+2b = a + b ) ( 3 ) 5 5 a + 2b = 5 5 a )( b Observera att kolonnerna i matrisen A = ( ) är inget annat än koordinaterna för basvektorerna i den gamla basen B u uttryckta i den nya basen B v,enligtsambandet( 3). Första kolonnen är koordinaterna för första basvektorn, andra kolonnen är koordinaterna för andra basvektorn. Detta innebär dessutom, att eftersom vektorerna i den gamla basen B u är lineärt oberoende, så är deras koordinatvektorer också lineärt oberoende, och därmed, eftersom de är A:s kolonner, så är det A 0,ochalltsåär matrisen A inverterbar. Exempel 5. Antag nu att en vektor z har koordinaterna (α, β) i basen B v från förra exemplet. Vilka koordinater har z i basen B u? Lösning: Insättning av sambandet ( 2) i z = αv + βv 2 medför att z = α(2u u 2 )+β( u +3u 2 )=(2α β)u +( α +3β)u 2. I kolonnform kan därmed koordinaterna skrivas som ( ) 2α β = α +3β ( )( 2 α. 3 β)

134 Låt oss med Bbeteckna matrisen B = 3. BASBYTE 3 ( 2 3 Som vi såg i de två exemplena så kan byte av bas uttryckas som multiplikation med en lämplig matris. Matrisen A i det förra exemplet och matrisen B kallas då för basbytesmatriser. A är basbytesmatris från basen B u till B v,medanb är basbytesmatris från basen B v till B u. Man kan förstås undra vilket samband det finns, om något, mellan matriserna A och B. Detär lätt att kontrollera att BA = AB = E, alltsåb = A.Dettabör med lite eftertanke inte vara någon överraskning då den ena byter basen från B u till B v medan den andra byter tillbaka. Som matrismultiplikation kan detta skrivas som B(Aw) =(BA)w = Ew = w (där w framställs som kolonnmatris). Vi sammanfattar exemplen och diskussionen ovan i en sats, som formuleras i rummet snarare än bara för planet. Sats 5. Antag att vi har två baser i rummet: B u =(u, u 2, u 3 ) och B v =(v, v 2, v 3 ). Då finns det en inverterbar matris A så att sambandet mellan koordinater för samma vektor i de två systemen är givet av w Bv = Aw Bu, där vektorerna w Bu och w Bv är skrivna som kolonnvektorer. Kolonnerna i matrisen A, som kallas för basbytesmatrisen från B u till B v, utgörs av koordinater för vektorerna i basen B u uttryckta i basen B v. ). Bevis. Låt oss uttrycka vektorerna u, u 2, u 3 ibasenb v : u = a v + a 2 v 2 + a 3 v 3, u 2 = b v + b 2 v 2 + b 3 v 3 och u 3 = c v + c 2 v 2 + c 3 v 3. Om w Bu =(α, β, γ), dvs. w Bu = αu + βu 2 + γu 3,såär w Bu = α(a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 )+β(b v + b 2 v 2 + b 3 v 3 )+γ(c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 ) =(αa + βb + γc )v +(αa 2 + βb 2 + γc 2 )v 2 +(αa 3 + βb 3 + γc 3 )v 3. Med andra ord är w Bv kolonnvektor =(αa + βb + γc,αa 2 + βb 2 + γc 2,αa 3 + βb 3 + γc 3 ), eller som αa + βb + γc αa 2 + βb 2 + γc 2 = a b c a 2 b 2 c 2 α β. αa 3 + βb 3 + γc 3 a 3 b 3 c 3 γ

135 32 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM Matrisen A = a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 är den sökta basbytesmatrisen från basen B u till B v.denär uppenbart inverterbar då kolonnerna är lineärt oberoende, eftersom de är koordinatvektorer för lineärt oberoende vektorer. Alternativt kan man ju explicit konstruera dess invers: som beskrevs alldeles nyss, är den basbytesmatrisen åt andra hållet, från basen B v till B u.sekorollariumnedan. Korollarium. a) Antag att vi har tre baser, B u, B v och B w. Om A är basbytesmatris från basen B u till B v och B är basbytesmatris från basen B v till B w så är BA basbytesmatris från B u till B w. b) Om A är basbytesmatris från basen B u till B v så är A basbytesmatris från basen B v till B u. Bevis. a) Om z Bv = Az Bu och z Bw = Bz Bv så är z Bw = B(Az Bu )=(BA)z Bu.Det betyder att BA spelar samma roll som basbytesmatrisen från B u till B w gör i föregående sats. Detta innebär att det handlar om precis samma matris, dvs att BA är lika med basbytesmatrisen från B u till B w. b) Eftersom A är inverterbar så existerar A och, om vi multiplicerar sambandet z Bv = Az Bu från vänster med A,såfårviA z Bv = A (Az Bu )=(A A)z Bu = Ez Bu = z Bu.DetbetyderattA spelar samma roll som basbytesmatrisen från B v till B u gör i föregående sats. Men det innebär återigen att de matriserna måste vara lika. Exempel 6. Vektorerna u, u 2, v, v 2 har koordinater (3, ), ( 2, 0), (, ) och (, ) i en bas B i planet. Eftersom u, u 2 är lineärt oberoende och v, v 2 är lineärt oberoende så utgör de baser i planet, skilda från standardbasen, B u och B v. Bestäm basbytesmatrisen A från B u till B v samt basbytesmatrisen B från B v till B u. Lösning: Kolonnerna i A utgörs av koefficienterna för vektorerna u, u 2 i basen B v, ( ) { x z u = xv + yv 2 dvs. A =, där. y t u 2 = zv + tv 2 ( ( ( ) 3 För u ser vi att = x + y, vilket ger x =2och y =.För u ) ) 2 får vi ( ) ( ( ) ( ) 2 2 = z + t, vilket ger z = t =. Därmed är A =. Matrisen B 0 ) ( ) är inversen till A alltså, efter uträkning, B =. 2

136 3. BASBYTE 33 Ett annat, smartare sätt att lösa uppgiften i exemplet ovan är följande. Observera att ekvationerna ( ) ( ( ) 3 = x + y ) och kan skrivas som ( ) ( ( ) 2 = z + t 0 ) ( ) ( x 3 = )( y ) och ( ) z = )( t ( ) 2. 0 Detta kan vidare sammanfattas som en enda matrisprodukt: ( )( ) ( ) x z 3 2 = y t 0 ( 4) ( ) Kolonnerna i C = utgörs av vektorerna v, v 2 medan kolonnerna i ( ) 3 2 D = utgör av vektorerna u 0, u 2. Eftersom matrisen C är inverterbar (kolonnerna ( är lineärt ) oberoende) så finns den /2 /2 inversa matrisen och vi kan beräkna den: C =.Frånsambandet(*4)får /2 /2 vi därmed att ( ) ( )( ) ( ) x z /2 / A = = C y t D = =. /2 /2 0 Samma resonemang fungerar förstås också i rummet och vi kan sammanfatta detta på följande sätt: Basbytesmatrisen A från basen B u till basen B v kan fås som A = C D,där kolonnerna i C utgörs av vektorerna i B v medan kolonnerna i D utgörs av vektorerna i B u. Använd nu samma metod för att lösa följande uppgift: Övning 0. Vektorerna u, u 2, u 3, v, v 2, v 3 har koordinater (,, 2), (, 2, ), (2,, ), (,, ), (,, ) och (,, ) i en bas B irummet. (a) Verifiera att u, u 2, u 3 är lineärt oberoende samt att v, v 2, v 3 är lineärt oberoende och därmed utgör två nya baser, B u och B v,irummet.

137 34 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM (b) Bestäm basbytesmatrisen A från B u till B v samt basbytesmatrisen B från B v till B u. 3.. Övergång till en ON-bas. Antag att B u =(u, u 2, u 3 ) är en godtycklig bas irummetmedanb v =(v, v 2, v 3 ) är en ON-bas. Basbytesmatrisen till ON-basen B v är särskilt enkel att bestämma eftersom, enligt sats 4(b), har vi u =(v u )v +(v 2 u )v 2 +(v 3 u )v 3, och likadant för u 2 och u 3. Basbytesmatrisen är därmed A = v u v u 2 v u 3 v 2 u v 2 u 2 v 2 u 3. v 3 u v 3 u 2 v 3 u 3 Övning. Vektorerna v, v 2, v 3 har koordinater ( (0, 0, ) i standardbasen i rummet. (a) Visa att B v =(v, v 2, v 3 ) är en ON-bas , 2, 0), ( 2,, 0) och 2 (b) Vektorerna u =(,, 2), u 2 =(, 2, ) och u 3 =(2,, ) utgör en annan bas, B u, irummet.bestäm sambandet mellan koordinaterna z Bv och z Bu för en godtycklig vektor z irummet Ortogonala matriser. En kvadratisk matris A kallas för ortogonal om AA t = A t A = E. Dettainnebär att A är inverterbar och A = A t. Vi ska strax visa att ortogonala matriser inte bara är algebraiska leksaker utan att de är precis basbytesmatriser mellan ON-system, och därför centrala i många användningar av lineär algebra. ( Enhetsmatrisen ) är förstås ortogonal och ett annat viktigt exempel är matrisen A = cos α sin α (kontrollera att A sin α cos α = A t!) Observera att det är enkelt att räkna ut inversen till en ortogonal matris det är ju bara att byta rader mot kolonner, inga räkningar alls behövs. Vi sjunker ännu djupare ner i ON-basernas bekväma förstaklassfåtöljer... Lyssna bara: Sats 6. Givet en ON-bas. Kolonnerna i en given matris kan betraktas som koordinater för vissa vektorer, kallade kolonnvektorer i denna bas. Om vi har en ortogonal matris A så är kolonnvektorerna parvis ortogonala och har längd. Samma egenskap har radvektorerna i A. Det betyder speciellt att kolonnvektorerna också är en ON-bas.

138 3. BASBYTE 35 Bevis. Antag att A = a b c a 2 b 2 c 2 är en ortogonal matris. Vi vill visa att skalärprodukten a 3 b 3 c 3 av en kolonn med sig själv är lika med medan skalärprodukten mellan två olika kolonner är 0. Eftersom A är ortogonal (alltså A t A = E) ocha t = a a 2 a 3 b b 2 b 3 så är c c 2 c 3 A t A = a a 2 a 3 b b 2 b 3 a b c a 2 b 2 c 2 = = E. c c 2 c 3 a 3 b 3 c Räknar vi ut produkten mellan matriserna i mitten följer det att a 2 + a a 2 3 =, a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 =0,a c + a 2 c 2 + a 3 c 3 =0,osv.Detär precis det som vi ville visa. Från likheten AA t = E kan vi dra liknade slutsats för raderna i A. Övning 2. (a) Antag att matrisen A är ortogonal. Vilka värden kan determinanten det A antaga? (b) Visa att produkten av ortogonala matriser av samma storlek också är en ortogonal matris. Ortogonala matriser är av globalt intresse, även utanför den lilla skara som samlar på veteranmatriser, framför allt därför att de precis är basbytesmatriser mellan ON-baser. Exempel 7. Vektorn u har koordinater (3, ) i en ON-bas. Vilka koordinater har vektor u om vi roterar basen med vinkel π 6 moturs? Lösning: Låt oss först finna basbytesmatrisen mellan ON-baserna B u =(u, u 2 ) och B v =(v, v 2 ), som är definierade enligt figuren nedan. u 2 v 2 G 30 v 30 O u F

139 36 6. BAS OCH KOORDINATSYSTEM 3 Uppenbarligen är OF = v cos 30 = cos30 = och OG = v sin 30 = 2 sin 30 = 3 2.Därmed är OF = 2 u och OG = 2 u 2. Eftersom v = OF + OG så följer 3 det att v = 2 u + 2 u 2. På motsvarande sätt får vi att v 2 = sin 30 u +cos30 u 2 = 3 2 u + 2 u 2. Sambandet { v = 3 u 2 + u 2 2 v 2 = u u 2 2 ( ) cos 30 sin 30 ger oss basbytesmatrisen A = sin 30 cos 30 = ( ) från basen B v till B u. Matrisen A är, enligt ovan, ortogonal, vilket medför att basbytesmatrisen från B u till B v är lika med ( ) ( 3 ) cos 30 A = A t sin 30 = sin 30 cos 30 = och de sökta koordinaterna är ( ) ( ) ( 3 3 ) 3 = Observera att istället för vinkeln 30 kunde vi ha betraktat ( rotationen moturs ) med en cos α sin α godtycklig vinkel α och då skulle basbytesmatrisen varit A =. sin α cos α Övning 3. Om vi istället för att rotera basen i exemplet ovan håller basen fix och roterar vektorn u =(3, ) med vinkeln 30 moturs, vilka koordinater får den erhållna vektorn? (Ledtråd: Uppgiften kan tänkas som att det är vektorn som är fix, men att basen roterar...) 4. Övningar (4) Antag att vektorerna u, u 2, u 3 ienbasb har koordinater (, 2, 2), (2, 4, ) och (3,, 2). Visa att u, u 2, och u 3 är lineärt oberoende. (5) Bestäm alla vektorer av längd som bildar vinkel π med vektorn (, 0, ) och 4 vinkel π med vektorn (2, 2, ). Koordinater är givna i en ON-bas. 3

140 4. ÖVNINGAR 37 (6) Bestäm alla enhetsvektorer w som är ortogonala mot u =(, 2, 2) och mot v =(, 3, 8) (ON-bas). (7) (a) Punkterna A, B, C och D har koordinater (, 0, ), (2,, 3), (2, 4, 9) och (3,, 2) respektive i ett koordinatsystem i rummet. Avgör om punkterna ligger iettplan. (b) Samma fråga för punkterna A =( 3,, ),B =(, 2, ),C =( 2, 0, 3) och (2, 2, 7), (8) För vilka värden på talet a är vektorerna (3,a 2, 7), (, 2,a)och(,, ) lineärt oberoende? (9) Antag att B v =(v, v 2 ) är en bas i planet och att u = v +4v 2 samt u 2 = 5v 3v 2. Visa att (a) B u =(u, u 2 )ocksåär en bas i planet. (b) Bestäm basbytesmatrisen från B u till B v. (c) Finn basbytesmatrisen från B v till B u och bestäm w Bu för w =5v +3v 2. (20) Antag att B v =(v, v 2, v 3 ) är en bas i rummet och att u =4v v 2, u 2 = v + v 2 + v 3 samt u 3 = v + v 2 2v 3. (a) Visa att B u =(u, u 2, u 3 )ocksåär en bas i rummet. (b) Bestäm basbytesmatrisen från B u till B v och finn z Bv för z =3u +4u 2 +u 3. (c) Bestäm också basbytesmatrisen från B v till B u. (2) * Använd Gram-Schmidts ortogonalisering för att finna en ON-bas i rummet med utgångspunkten från basen u =(, 0, ), u 2 =(3,, ), u 3 =(2, 2, 3). (22) Vektor u bildar samma vinkel α med alla vektorerna (,, ), (,, 0) och (, 0, 0) (koordinater givna i en ON-bas). Visa att cos α = (23) Låt a,a 2,a 3,b,b 2,b 3 vara reella tal. Visa att (a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 (a 2 + a a 2 3)(b 2 + b b 2 3). (Ledtråd: Cauchy-Schwarz olikhet.) (24) Låt B vara en bas för rummet. Vektorerna u, u 2, u 3, v, v 2, v 3 har koordinaterna (,, 2), (,, 2), (, 3, 2), (0,, 2), (, 0, 2), (0, 3, 2) i basen B. a) Visa att B u =(u,u 2,u 3 )ochb v =(v,v 2,v 3 ) är baser för rummet. b) Hitta basbytesmatrisen från B till B v. c) Hitta basbytesmatrisen från B v till B u. d) Vektorn w har koordinater (3,, 2) i basen B u.vadär dess koordinater i basen B v?

141 KAPITEL 7 Geometri: linjer och plan Introduktion. I detta kapitel återupptar vi bekantskapen med förhoppningsvis välkända och älskade geometriska begrepp från skolmatematiken: ekvationer för linjer och plan. Med hjälp av teorin för matriser och vektorer från tidigare kapitel kommer vi att ge de geometriska begreppen en algebraisk touche, och bereda marken ehh, rummet, för en expansion mot högredimensionaliteten. För att göra genomgången enklare kommer vi att förutsätta att både planet och rummet är utrustade med ett ON koordinatsystem. En stor del av teorin är sann även i ett mera generellt sammanhang, i ett godtycklig kooordinatsystem (t ex beskrivning med ekvationer av linjer och plan), medan andra satser kräver just ortonormerat koordinatsysten (t ex satser om normalvektorer). Vi ska alltså genomgående antaga i detta kapitel att koordinater för alla punkter och vektorer är uttryckta i ett fixt ON-koordinatsystem. Vad betyder det där med algebraisk touche egentligen, i praktiken? Vi påminner(tjatar, skulle kanske en del säga) om att idén med hela det projekt som vi redogör för, är att beskriva allting med tal. Vi vill inte digitalisera världen alltså beskriva den med heltal, det kommer sedan, först vill vi göra det mycket enklare att beskriva den med reella tal. Vi har sett att vi kan beskriva punkter med taltripplar, krafter likaså med taltripplar, och att vi också kan komma åt sådant som längder och vinklar i utrymmen där vi inte kan krypa runt med måttband typ inuti levande celler genom enkla beräkningar med de fyra enkla räknesätten (och så en räknedosa för trig-funktioner). Vi har alltså ersatt geometri bilder, verklighet med banal, trist räkning och ju tristare desto bättre, tycker vi, för därmed ökar vi möjligheten att använda vår geometriska förståelse på verklighetens alla linjer och plan. (Även om de sällan dominerar verkligheten totalt, utom kanske i Stockholms härligt fyrkantigt matematiska förorter, så är de flesta kurvor och ytor i praktiken approximerbara med sådana). Nu ska vi i detta kapitel fortsätta projektet och förvandla också linjer och plan till något härligt kraftfullt trist.... En linje i planet och i rummet.. Parameterframställning av en linje. En punkt A och en icke-noll vektor u i planet eller i rummet bestämmer entydigt linjen l som passerar genom A och är parallell med u. Vektornu kallas för linjens riktningsvektor. Detär uppenbart att för alla tal λ 0 38

142 . EN LINJE I PLANET OCH I RUMMET 39 är λu också en riktningsvektor för samma linje. En riktningsvektor till en linje är alltså långt ifrån entydigt bestämd. Det finns många. u l A B Eftersom en punkt B ligger på l om och endast om vektorn AB är parallell med u, alltså är lika med tu för något tal t, såkanl karakteriseras som mängden av punkter {B : AB = tu för t R}. u l A B O Om vi låter O vara origo så har vi att OB = OA+AB = OA+tu. Låtervi(a, b) vara koordinater för den fixa punkten A (alltså för vektorn OA), och (x, y) vara koordinater för den varierande punkten B (alltså för vektorn OB) så kan linjen l beskrivas med en så kallad parameterframställning (här föredrar vi att skriva vektorerna i kolonnform): l : ( x = y) ( a b) + t ( α β), () där u =(α, β). Denna beskrivning är en kortform för följande: linjen l består precis av alla punkter (x, y) sådana att det finns ett reellt tal t, sådant att ekvation () gäller. Ifortsättningen använder vi kortformen. Motsvarande parameterframställning i rummet blir då l : x y = a b + t α β. z c γ Ofta är det bekvämt att skriva dessa samband i form av lineära ekvationssystem, som { x = a + tα y = b + tβ eller x = a + tα y = b + tβ z = c + tγ. () Lägg märke till att vi nu valde att skriva koordinater för punkter och vektorer i kolonnform. Detta för att göra saker mera åskådliga. Men det är klart att man kan också skriva uttrycken som radvektorer (som vi redan använt i samband med parameterlösningar av

143 40 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN lineära ekvationssystem i kapitel 3), till exempel eller rentav l :(x, y, z) =(a, b, c)+t(α, β, γ), l :(x, y, z) =A + tu. Det sista är bara en kortversion av likheten OB = OA + tu ovan, där (x, y, z) är koordinater för punkten B (alltså för vektorn OB) och A betyder egentligen vektorn OA. Exempel. Bestäm en parameterframställning för linjen l genom punkterna P = (,, 2) och Q =(2, 3, 5). Lösning: Eftersom vektorn PQ =(, 4, 3) är parallell med l och punkten P ligger på l så är l : x =+t y = 4t z =2+3t En sådan framställning är inte entydig ty samma linje beskrivs av framställningen x =3+2s l : y = 7 8s z =8+6s Observera att vektorerna u =(, 4, 3) och v =(2, 8, 6) = 2u är parallella och att punkten P =(,, 2) ligger på båda linjerna: på den första för t =0ochpådenandra för s =. Exempel 2. Låt A =(4,, 5) och B =(3, 3, 2) vara två punkter i rummet. Bestäm koordinater för punkten C sådan att B ligger i mitten på sträckan AC. Lösning: Låt u = AB =(, 2, 7). PunktenC ligger på linjen l :(x, y, z) =A + tu genom A och B. EftersompunktenB fås för t =(man kan se detta som en förflyttning, vilket i matematiken kallas för en translation) från punkten A ett steg (t =)iriktning u = AB. PunktenC ligger på samma linje, lika långt från B som punkten A. Därför får vi C genom att ta t =2,ochC = A +2u =(4,, 5) + 2(, 2, 7) = (2, 5, 9). Liknade resonemang använder man när man löser uppgifter som handlar om speglingar (senare i texten). Exempel 3. Bestäm skärningspunkten mellan linjerna { { x =+2t x = +s l : och l 2 : y = t y = 3+3s

144 . EN LINJE I PLANET OCH I RUMMET 4 Lösning: Eftersom de två linjernas riktningsvektorer (2, ) och (, 3) inte är parallella så skär linjerna varandra i en punkt P.För { något t = t 0 och s = s 0 har vi alltså att +2t 0 = +s 0 P =(+2t 0, t 0 )=( +s 0, 3+3s 0 ),dvs.. t 0 = 3+3s 0 Löser vi detta ekvationssystem får vi t 0 = 3 7 och s 0 = 8.Instättningen av till exempel 7 t 0 i l ger P =( 7, 3 7 ). Medan två linjer i planet antingen är parallella eller skärande så är situationen i rummet annorlunda. Två linjer i rummet behöver varken vara det ena eller det andra. Till exempel är x = t x = +s l : y = t och l 2 : y = +s z = z = s inte parallella (deras riktingsvektorer (,, 0) och (,, ) är inte parallella) och inte heller skärande. (Övning. Visa detta!) Två sådana linjer kallas för skeva..2. Ekvation för en linje. Vid sidan om parametrisk framställning kan en linje i planet även { skrivas på den från skolan kända ekvationsformen. Betrakta till exempel x =+2t linjen l :. Ekvationssystemet kan skrivas som (vi har löst ut t) y =3 t { x = t l : 2. 3 y = t vilket medför att x 2 =3 y, dvs.x +2y 7=0. Observera också att om vi tar vektorn (, 2) som bildas av koefficienterna vid x och y så är den vinkelrät mot linjen l, ty(, 2) (2, ) = 2 2=0.Dettaär ingen tillfällighet för vi kan bevisa följande sats: Sats. i) Lösningarna (x, y) till ekvationen Ax + By + C =0(där A och B inte samtidigt är noll) utgör en linje i planet. ii) Varje linje i planet svarar mot en sådan ekvation. iii) Vektorn (α, β) är parallell med linjen Ax + By + C = 0 om och endast om Aα + Bβ =0.Medandraord,vektornn =(A, B) är vinkelrät mot denna linje. Vektorn n kallas för normalvektor till linjen. Bevis. i). Eftersom A och B i ekvationen Ax + By + C = 0 inte samtidigt är noll så kan vi (t ex) antaga att A 0.Låterviy = t så får vi ur ekvationen att x = B A t C A.

145 42 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Lösningen till Ax + By + C =0är därmed { x = C B t A A y = t som är en linje genom punkten ( C A, 0) och parallell med vektorn ( B A, ). { x = a + bt ii) Antag att vi har linjen l :. Låt oss multiplicera den första ekvationen y = c + dt { dx = ad + bdt med d och den andra med b. Vifårdåsambanden. Om vi nu subtraherar den andra ekvationen från den första får vi dx by = ad bc. MedA = d, B = b by = bc + bdt samt C = bc ad, kan detta skrivas som Ax + By+ C =0.Detär uppenbart att A och B inte samtidigt kan vara noll.(om bägge är noll så säger parameterbeskrivningen av linjen att x = a, y = b, och vi har alltså ingen linje, utan bara en punkt.) iii) Antag att punkten P =(x 0,y 0 ) ligger på linjen Ax + By + C = 0, d v s uppfyller Ax 0 + By 0 + C = 0. Vektorn u = (α, β) är parallell med linjen om och endast om punkten Q = P + u =(x 0 + α, y 0 + β) också ligger på linjen, alltså om och endast om A(x 0 + α)+b(y 0 + β)+c =0. Det sista sambandet kan skrivas som att (Ax 0 + By 0 + C)+(Aα + Bβ) =0.Eftersom den första parentesen är 0 så reduceras villkoret till Aα + Bβ =0,dvs.(A, B) (α, β) =0, vilket vi ville visa. Antag nu att vi har linjen l : Ax + By + C =0ochenpunktP =(x 0,y 0 )utanför l. Låt också Q =(x,y ) vara en punkt på linjen. Låt vidare R vara den punkt på l för vilken RP är vinkelrät mot l. I så fall är RP = λ n, för något reellt tal λ, ochdär n =(A, B) är linjens normalvektor. P l R n Q Vektorn RP är förstås lika med QP n, den ortogonala projektionen av QP på n och därmed är RP = n QP n 2 n.

146 . EN LINJE I PLANET OCH I RUMMET 43 Längden av vektorn RP anger då avståndet d(p, l) mellan punkten P och linjen l. Observera också att QP =(x 0 x,y 0 y ). Därmed är d(p, l) = RP = n QP n n QP = n = n 2 n 2 A(x 0 x )+B(y 0 y ) A2 + B 2 n QP n = (Ax 0 + By 0 + C) (Ax + By + C) A2 + B 2. = (A, B) (x 0 x,y 0 y ) A2 + B 2 = Den andra parentesen i täljaren är lika med 0 (ty punkten Q ligger på l)ochföljaktligen har vi bevisat följande sats: Sats 2. Om l : Ax + By + C =0är en linje och P =(x 0,y 0 ) är en punkt i planet så är avståndet mellan P och l lika med d(p, l) = Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2. Övning 2. Bestäm avståndet mellan punkten P =(, 3) och linjen l : { x =2+3t y = t. Vinkeln mellan två linjer defineras som den mindre av de två vinklar som bildas vid skärningspunkten. Denna vinkel är alltså alltid mellan 0 och 90 grader. α Det finns två vinklar i figuren: den mindre, α,och80 α. Tar vi cosinus av den mindre får vi alltid ett tal större än noll, eftersom cosinus av en vinkel mellan 0 och 90 grader är positiv. Däremot tar vi cosinus av den större vinkeln får vi (med additionsformeln) cos(80 α) =cos80 cos( α) sin 80 sin( α) = cos α. Det betyder att tar vi en riktningsvektor till vardera linjen och räknar ut cosinus för vinkeln mellan dem, med hjälp av skalärprodukten, så får vi som svar ± cos α, och vill vi då ha fram cos α så tar vi bara absolutbeloppet. Samma teknik gäller också för linjer i rummet.

147 44 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Exempel 4. Bestäm vinkeln mellan linjerna x +2y 3=0och 3x + y +=0. Lösning: Man kan förstås omvandla dessa två ekvationer till parametriska framställningar och då söka vinkeln mellan linjernas riktningsvektorer. Enklare blir det om man inser att vinkeln mellan linjernas riktningsvektorer är densamma som vinkeln mellan deras normalvektorer (Rita bild!). Därmed söker vi vinkeln φ mellan vektorerna (, 2) och ( 3, ). Vifåratt cos φ = (, 2) ( 3, ) (, 2) ( 3, ) = 5 0 = 5 2. Eftersom vi fick negativt värde på cosinus, vet vi att φ är den större av de två vinklar som linjerna skapar och att den mindre α densomär vinkeln mellan linjerna uppfyller eller α =arccos 5 2. cos α = 5 = 2 5 2, Övning 3. Bestäm vinkeln mellan linjerna x +4y 2=0och (Det räcker att bestämma cosinus för denna vinkel.) { x =2+3t y = 2 2t. Det är viktigt att lägga märke till skillnaden mellan planet och rummet. I planet kan en linje representeras med både en ekvation och en parametrisk framställning, medan i rummet en linje endast kan representeras med en parametrisk framställning. Det finns ingen (enda) ekvation som beskriver en linje i rummet vi ska snart se att en ekvation beskriver ett plan. (För att beskriva en linje kommer vi att behöva två ekvationer. ) Övning 4. Vi har tre linjer i rummet: x = t x =+s l : y =3t, l 2 : y =5+2s z = +t z = 5 3s och l 3 : x = +2q y = 6q z = 2q. Avgör vilka par av dessa linjer som är parallella, skärande eller skeva. x = Exempel 5. Låt l : y =2+3t vara en linje i rummet och P =(2, 0, ) en z = +t punkt. Bestäm koordinater för punkten P 2 som är spegelbilden av P ilinjenl,alltså vridningen av P med 80 runt l.

148 2. ETT PLAN I RUMMET 45 Lösning: Låt Q var den punkt på l för vilken vektorn P Q är ortogonal mot l.omdå Q har koordinater Q =(, 2+3t 0, +t 0 ) så är P Q =(, 2+3t 0,t 0 ).Ortogonaliteten till l betyder att P Q (0, 3, ) = 0, dvs.0+6+9t 0 + t 0 =0.Därmed t 0 = 3 5. P l Q P 2 Vi har funnit att P Q =(, 5, 3 5 ).EftersomP P 2 =2P Q =( 2, 2 5, 6 ) så följder 5 det att P 2 = P + P P 2 =(2, 0, ) + ( 2, 2 5, 6 5 )=(0, 2 5, 5 ). Övning 5. Låt l : 2x +3y 2 = 0 vara en linje i planet och låt P =(4, ) vara en punkt. Bestäm koordinater för punkten P 2 som är spegelbilden av P i linjen l. Övning 6. Förklara, { utan att hänvisa till tidigare resultat om lineära ekvationssystem, varför systemet har antingen precis en lösning, inga lösningar a x + b y = c a 2 x + b 2 y = c 2 alls eller oändligt många lösningar. 2. Ett plan i rummet 2.. Parameterframställning och ekvation för ett plan. Genom att utveckla ett liknande resonemang som vi gjorde när vi introducerade parametrisk framställning av en linje i planet så kommer vi fram till parametrisk framställning av ett plan i rummet. För att beskriva en linje behövde vi en parameter. För att beskriva ett plan kommer vi att behöva två parametrar. Antag att vi har ett plan Π. Det bestäms entydigt av att vi vet en punkt P idet,två icke-parallella vektorer u och v som båda är parallella med Π. En punkt Q ligger i planet ΠomochendastomvektornPQ är en lineärkombination av u och v. Medandraordså ligger Q i planet Π om och endast om det finns reella tal t och s sådana att PQ = tu + sv (se figuren nedan). Om vi låter O vara origo i rummet (det är inte nödvändigt att O ligger i Π ) så har vi att OQ = OP + PQ = OP + tu + sv. Låtervi(a, b, c) vara koordinater för punkten P

149 46 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN (alltså för vektorn OP), och (x, y, z) vara koordinater för punkten Q (alltså för vektorn OQ) så kan planet Π beskrivas med en parameterframställning (återigen föredrar vi att skriva vektorerna i kolonnform): v Q P u Π Π: x y = a b + t α β + s α 2 β 2, z c γ γ 2 där u =(α,β,γ )ochv =(α 2,β 2,γ 2 ). Som ett lineärt ekvationssystem kan detta samband skrivas som Π: x = a + tα + sα 2 y = b + tβ + sβ 2. z = c + tγ + sγ 2 Varje punkt i planet Π kan alltså fås ur dessa ekvationer med lämpligt valda parametrar t och s. Liksom parameterframställningen av en linje kan parameterframställningen av planet skrivas i radform: Π : (x, y, z) =(a, b, c) +t(α,β,γ )+s(α 2,β 2,γ 2 ), eller kortare som Π:(x, y, z) =P + tu + sv. Exempel 6. Låt u =(2, 7, ), v =( 3, 3, 5), ochp =(2, 3, 0). Enparametrisk framställning av planet Π genom punkten P och parallellt med vektorerna u och v är Π: x = 2+2t 3s y = 3+7t +3s z = t +5s.

150 2. ETT PLAN I RUMMET 47 Låt oss nu undersöka om punkten Q = ( 4, 5, 22) ligger i Π. Detfinnsflerasätt att göra det på. Man kan till exempel se om det finns en lösning till ekvationssystemet 5 = 3+7t +3s En annan variant är att undersöka om vektorn PQ = 4 = 2 + 2t 3s 22 = t +5s. ( 6, 2, 22) är en lineärkombination av vektorerna u och v, alltsåompq, u och v är lineärt beroende. För att göra detta räknar vi ut determinanten Eftersom den är lika med 0 så är vektorerna lineärt beroende och därmed ligger punkten Q iplanetπ. Det senaste exempel kan ligga till grund för följande resonemang: Punkten Q =(x 0,y 0,z 0 ) ligger i planet Π: x y = a b + t α β + s α 2 β 2, z c γ γ 2 som går genom punkten P =(a, b, c) ochär parallell med vektorerna u =(α,β,γ )och v =(α 2,β 2,γ 2 )omochendastomvektorernapq =(x 0 a, y 0 b, z 0 c), u och v är x 0 a α α 2 lineärt beroende. Detta inträffar om och endast om y 0 b β β 2 = 0. Utveckling av z 0 c γ γ 2 denna determinant leder till ett uttryck av typ Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D =0. Ekvationen Ax + By + Cz + D = 0 kallas för planets ekvation på normalform, eller x 0 a α α 2 helt enkelt planets ekvation, och determinant-ekvationen y 0 b β β 2 =0är planets z 0 c γ γ 2 ekvation på determinantform. Resonemanget ovan bevisar del 2 i följande sats som är en motsvarighet till sats (som handlade om linjer i planet). Glöm självklart inte vår förutsättning i början av kapitlet att alla koordinater är givna i ett ON-system. Utan detta antagande skulle till exempel del iii) i satsen inte vara sann. Sats 3. i) Lösningarna (x, y, z) till ekvationen Ax + By + Cz + D =0(där A, B och C inte samtidigt är noll) bildar ett plan i rummet. ii) Varje plan i rummet svarar mot en sådan ekvation. iii) Vektorn (α, β, γ) är parallell med planet Ax + By + Cz + D =0om och endast om Aα + Bβ + Cγ =0.M.a.o.är vektorn n =(A, B, C) vinkelrät mot planet Ax + By + Cz+ D =0.Vektornn kallas för normalvektor till planet. Denär förstås definierad upp till multiplikation med skalär: vektor λn är också normal till samma plan för varje λ 0.

151 48 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Bevis. i). Eftersom A, B och C i ekvationen Ax + By + Cz+ D = 0 inte samtidigt är noll så kan vi antaga att A 0.Låterviy = t och z = s så får vi att x = B A t C A s D A. Lösningen till Ax + By + Cz + D =0är därmed x = D B t C s A A A y = t z = s som är ett plan genom punkten ( D A, 0, 0) och parallell med vektorerna ( B,, 0) och A ( C, 0, ). A ii). Bevisades ovan. iii). Antag att punkten P =(x 0,y 0,z 0 ) ligger i planet Ax + By + Cz + D =0,dvs. uppfyller Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D =0.Vektornu =(α, β, γ) är parallell med detta plan om och endast om punkten Q = P + u =(x 0 + α, y 0 + β,z 0 + γ) också ligger i planet, alltså om och endast om A(x 0 + α)+b(y 0 + β)+c(z 0 + γ)+d =0. Det sista sambandet kan skrivas som att (Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D)+(Aα+Bβ+Cγ)=0. Eftersom den första parentesen är 0 så reduceras villkoret till Aα + Bβ + Cγ = 0,dvs. (A, B, C) (α, β, γ) = 0, vilket vi ville visa. Övning 7. Vilken ekvation har planet som går genom punkten P =(, 2, 3) och är ortogonal mot vektor u =( 2,, 3)? x =3+2t s x = 3t Exempel 7. Låt Π: y = +t +2s vara ett plan och låt l : y = 4t z =2 3t 3s z = +9t x = +s samt l 2 : y = +s vara två linjer i rummet. Avgör om dessa linjer skär planet Π z = s och i förekommande fall bestäm skärningspunkten. Lösning: Vi börjar med linjen l.vikontrolleraromvektorernasomär parallella med planet, alltså (2,, 3) och (, 2, 3), samtlinjensriktningsvektor( 3, 4, 9) är lineärt oberoende. 2 3 Eftersom =0så är vektorerna lineärt beroende. Därmed är linjen l parallell med planet Π. Detkanförstås hända att linjen ligger i planet Π. Lättast är det att kontrollera genom att övergå till planets ekvation. Detta kan vi göra som tidigare,

152 2. ETT PLAN I RUMMET 49 x 3 2 alltså genom att först skriva determinanten y + 2 =0.Uträkningen ger planets z ekvation 3x +9y +5z 0 = 0. Vi kan nu kontrollera att punkten (, 0, ) som ligger på l inte uppfyller planets ekvation och därmed är linjen parallell med Π och någon skärningspunkt finns inte. 2 För linjen l 2 finner vi på samma sätt att 2 = 7. Linjens riktningsvektor är därmed inte lineärt beroende av de två vektorer som är parallella med planet 3 3 och således är linjen inte parallell med planet. Därmed finns det en skärningspunkt P : x 0 = +s 0 y 0 = +s 0.Insättning i planets ekvation ger 3( +s 0 )+9( +s 0 )+5( s 0 ) 0 = z 0 = s 0 0, dvs s 0 =0.Vifårs 0 = 22 och P =(5 7 7, 5 7, 22 7 ). Övning 8. Bestäm den linje som går genom punkten (3, 2, ) och är ortogonal mot x = 2t +3s planet Π : y = 2+3t. z = 3t s Exempel 8. Bestäm spegelbilden P av punkten P =(2, 2, ) iplanet Π:2x 3y z +5=0. P Q Π P

153 50 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Lösning: Linjen l :(x, y, z) =(2, 2, ) + t(2, 3, ) går genom punkten P och är ortogonal mot planet Π. Densökta punkten P ligger på denna linje, på andra sidan av planet Π. För något tal t 0 ligger punkten Q =(2+2t 0, 2 3t 0, t 0 ) i Π (skärningspunkten mellan l och Π). Insättning i planets ekvation ger 2(2 + 2t 0 ) 3( 2 3t 0 ) ( t 0 )+5= 0,vilketger t 0 =. EftersomPP =2PQ och Q = P +t 0 (2, 3, ) så är P = P +2t 0 (2, 3, ) = (2, 2, ) 2(2, 3, ) = ( 2, 4, 3). Övning 9. Bestäm en parametrisk framställning av linjen l,somär spegelbilden av linjen l :(x, y, z) =(3, 4, 4) + t(, 2, 5), speglad i samma plan som i exemplet ovan. Antaga att vi har två ekvationer A x+b y +C z +D =0ochA 2 x+b 2 y +C 2 z +D 2 =0 som förstås betyder två plan i rummet. För dessa plan finns det tre möjligheter: planen är skärande (längs en linje), planen är parallella eller så sammanfaller båda planen. Vilket av dessa tre alternativ som gäller kan lätt avläsas från de två ekvationerna. Sats 4. i). Om det finns ett tal k sådant att A = ka 2,B = kb 2,C = kc 2 och D = kd 2 så sammanfal ler de två planen. ii). Om det finns ett tal k sådant att A = ka 2, B = kb 2 och C = kc 2 men D kd 2 så är planen parallella. iii). I annat fall skär planen längs en linje. Bevis. i). Efter division med k (som inte kan vara 0) reduceras den första ekvationen till den andra. Båda ekvationerna har alltså samma lösningsmängd: ett plan i rummet. ii). Efter division med k kommer den första ekvationen, A x + B y + C z = D,att vara A 2 x+b 2 y +C 2 z = D k,medandenandraär A 2x+B 2 y +C 2 z = D 2.Då D k D 2 så har ekvationerna inga gemensamma lösningar. Planen är alltså parallella. { A x + B y + C z = D iii). Betrakta systemet. A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 Någon av koefficienterna A 2,B 2 eller C 2 måste vara 0såvikanantagaattA 2 0 och låter då A A 2 = k. Eftersom båda likheterna B = kb 2 och C = kc 2 inte kan gälla samtidigt (vi skulle då ha fallet eller 2 ovan) så antar vi att B kb 2. Låt oss lösa ( ekvationssystemet med) Gauss eliminationsmetod. Först skriver vi motsvarande matris C D A B A 2 B 2 C 2. D 2

154 2. ETT PLAN I RUMMET 5 Om vi nu adderar ( k) gånger andra raden till den första raden så får vi ( ) 0 B kb 2 C kc 2 D + kd 2 A 2 B 2 C 2. D 2 Eftersom talet B kb 2 0 så dividerar vi den första raden( med B kb) 2 och 0 a b samtidigt dividerar vi den andra raden med A 2.Därmed får vi c d,där e bokstäverna a, b, c, d, e betecknar respektive kvoter. ( Slutligen ) adderar vi ( c) gångerden 0 a b första raden till den andra raden och erhåller 0 f. g { y + az = b Det slutliga ekvationssystemet är och om vi tar z = t (en parameter) x + fz = g x = g ft så blir lösningen y = b at alltså en linje i rummet. z = t 2.2. Två eller fler plan. Från satsen ovan följer bland annat att även om en linje i rummet, till skillnad från en linje i planet, inte kan beskrivas med en ekvation i rummet utan endast ges en parametrisk framställning, så kan den framställas som skärningsmängden mellan två plan, och alltså beskrivas med två ekvationer. { 2x y +2z =0 Övning 0. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller linjen x + y + z = och punkten P =(0, 2, 0) Vinkel mellan två plan. Denna definieras som vinkeln mellan två normalvektorer till respektive plan, där man väljer normalvektorerna så att vinkeln mellan dessa är mellan 0 och 90 grader. Om vinkeln β mellan n och n 2 är mer än 90, får vi ett negativt cosinusvärde. Då räcker det med att ersätta en av vektorerna, till exempel n med den alternativa motsatt riktade normalvektorn n, som har vinkeln α =80 β till n 2 Då är α vinkeln mellan planen. Till exempel, för att finna vinkeln α mellan planen 2x+y 2z = 0och x+y+z = ( 2,, 2) (,, ), använder vi skalärprodukten cos α = =,somär negativ Vinkeln β mellan de två använda vektorerna var alltså större än 90 grader. Vi ska alltså byta ut vektorn ( 2,, 2) mot den motsatt riktade och lika stora vektorn (2,, 2), och får då att cos α = cos(80 β) = cos β = 3.Vifårdåattα = arccos 3. Observera att vi kunde mer direkt lika gärna ha tagit absolutbeloppet 3 av det negativa cosinusvärdet 3 och använt det.

155 52 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Vinkel mellan ett plan Π och en linje l. Denna vinkel α definieras som vinkeln mellan l och dess ortogonala projektion på Π. Det enklaste sättet att bestämma den är att först finna vinkeln β mellan l och planets normalvektor n och sedan finna α genom α =90 β. Återigen måste vi komma ihåg att om vi vid beräkningen av cos β får ett negativt värde så tar vi absolutbeloppet (d v s ersätter normalen n med n. Vinkeln β är ju mellan 0 och 90 grader. n l β α Π Övning. Bestäm vinkeln mellan planet Π : (x, y, z) =(3,, 3) + t(, 3, 4) + s(,, 4) och linjen l :(x, y, z) =(2, 2, ) + t(0, 7, ) Möjliga skärningar mellan tre plan. Antag nu att vi har tre plan Π,Π 2 och Π 3 i rummet.det finns flera möjligheter för skärningsmängden av dessa: En punkt En linje Tom skärning Exempel 9. Bestäm för varje värde på konstanten a skärningsmängden mellan de tre planen Π = {(x, y, z) :x+2y 3z =3}, Π 2 = {(x, y, z) :a 2 x+(2a+4)y (3a+6)z = 3a +6} och Π 3 = {(x, y, z) :x + ay 3z =5 a}.

156 2. ETT PLAN I RUMMET 53 x +2y 3z =3 Lösning: Vi söker lösningar till systemet a 2 x +(2a +4)y (3a +6)z =3a +6. x + ay 3z =5 a 2 3 Beräkning av determinanten för koefficientmatrisen ger a 2 2a +4 3a 6 a 3 = 3(a + )(a 2) 2.Följaktligen, om a och a 2finns det en entydig lösning. Löser man för sådana värden på a systemet så ser man att punkten (0,, 5 ) tillhör alla tre planen, 3 oberoende av a, ochalltsåär { deras skärningsmängd. Om a = sammanfaller planen Π x +2y 3z =3 och Π 2 och lösningen till är linjen l : (x, y, z) =(5,, 0)+t(3, 0, ). x y 3z =6 Slutligen, för a =2sammanfaller alla tre planen. Observera att även om en linje inte har någon ekvation i rummet utan endast en parametrisk framställning { så kan den framställas som skärningsmängden mellan två plan, precis x +2y 3z =3 som linjen i exemplet ovan. x y 3z = Vektorprodukten. I detta avsnitt behöver vi först införa ytterligare ett viktigt begrepp, nämligen orientering i planet eller rummet. Detta begrepp hänger samman med den valda basen. Det är just denna som kan vara positivt eller negativt orienterad. En bas B =(u, v) i planet sägs vara positivt orienterad om vektorn u, genomen vridning moturs på mindre än 80 kan fås att peka i samma riktning som v. Iannat fall är basen B negativt orienterad. v u v u Positiv orientering Negativ orientering Exempel 0. Det bör vara klart att om basen B =(u, v) är positivt orienterad så är basen B 2 =(v, u) negativt orienterad. I rummet är situationen något mer komplicerad. Det finns flera sätt att introducera begreppet orienterad bas och vi väljer ett som kanske är intuitivt enklast att förstå. En bas B =(u, v, w) i rummet är positivt orienterad om vektorerna (u, v) utgör en positiv orienterad bas i det plan som de spänner upp, sett från spetsen av vektorn w. Medandraord, om vi sitter uppflugna (och kanske mummsar på lite myggröra nu när telefonlinjerna

157 54 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN nästan försvunnit sitter svalorna mycket oftare än förr på vektorer istället...) vid spetsen på w och låter u röra sig mot v genom vridning längs den mindre av de två vinklarna som uppstår mellan u och v, så är vridningen riktad moturs. Sker vridningen medurs så är basen negativt orienterad. w v w u u v Positiv orientering Negativ orientering Exempel. Standardbasen e =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0), e 3 =(0, 0, ) idetvälkända kartesiska systemet är positivt orienterad. Exempel 2. Ikapitel6övning 3 har vi funnit att det finns 48 olika baser i rummet som har sitt ursprung i kanterna i en given kub. Hur många av dessa baser är positivt orienterade? Lösning: Det är en omedelbar observation när man ritat upp bilderna att av de två baserna (u, v, w) och (u, v, w) en är positivt och en är negativt orienterad. Därmed är hälften av de 48 baserna positivt orienterade och de övriga 24 är negativt orienterade. Övning 2. Antag att B =(u, v, w) är en positivt orienterad bas i rummet. Bestäm orienteringen av följande fem baser (övriga permutationer av (u, v, w)): (u, w, v), (v, u, w), (v, w, u), (w, u, v), (w, v, u). Utrustade med det nya begreppet orientering kan vi nu definiera vektorprodukten, ytterligare en produkt av två vektorer. Den definieras endast för vektorer i rummet och till skillnad från skalärprodukten resulterar den inte i ett tal utan i en vektor. Definitionen är drömaktigt flippad. Den är som en sådan där medicin, som får en att känna att den bara måste fungera eftersom den smakar så illa i alla fall till en början. Den har en riktigt stor poäng den är lätt att räkna ut algebraiskt, ska vi strax se. Detta har vi sett var viktigt för användbarheten med skalärprodukten, likaså med en konstig definition. Vidare så löser den två problem, och det är förstås det som ger den existensberättigande. Det ena är att konstruera en vektor som är normal till två givna vektorer (se (i) i definitionen) och det andra är att räkna ut arean av parallellogrammet som spänns upp av de två vektorerna (se (ii) i definitionen). Vektorprodukten finns bara i R 3, det tredimensionella rummet. Sent på kvällarna kan man ibland höra mattedoktorander diskutera meriterna av detta som är förklaringen till

158 2. ETT PLAN I RUMMET 55 att vi bor i gamla fattiga torpar-r 3 och inte är typ, moderna tjusiga 7-dimensionella varelser. Vektorprodukten w = u v definieras av följande tre egenskaper: (i) w är ortogonal mot både u och v. (ii) w = u v sin α, där α är vinkeln mellan u och v. (iii) Om u, v är icke-parallella så är vektortrippeln (u, v, w) positivt orienterad. w = u v v u Exempel 3. Det är lätt att kontrollera (bra om läsaren gör det) att för standardbasen gäller att e e 2 = e 3, e 2 e = e 3, e e 3 = e 2, e 3 e = e 2, e 2 e 3 = e och e 3 e 2 = e. Från definitionen följer omedelbart att (a) Om u och v inte är parallella så är u v ortogonal mot det plan som spänns upp av de två vektorerna. (b) u v = 0 om och endast om vektorerna u och v är parallella (därför att u v = 0 α = 0 enligt (ii) i definitionen) (c) Längden w = u v sin α är lika med arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna u och v. (d) Från (iii) följer att vektorprodukten är antikommutativ: u v = v u. (e) Eftersom resultatet av vektorprodukten är en vektor så är uttrycken som u (v w) och (u v) w fullt legitima. Dessvärre är de i allmänhet inte lika för vektorprodukten är inte associativ: u (v w) (u v) w. Till exempel är e (e e 2 )=e e 3 = e 2 medan (e e ) e 2 = 0 e 2 = 0.

159 56 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Mindre omedelbar är egenskapen (f), den homogena lagen, men den blir enklare att visa om man delar beviset i två fall: för positiva λ och för negativa λ.läsaren kan själv fundera på beviset (om en sida i en parallellogram ökar med faktorn λ så ökar arean med samma faktor). (f) (λu) w = u (λw) =λ(u w). Lite svårare däremot är beviset för den distributiva lagen: (g) w (u + v) =w u + w v samt (u + v) w = u w + v w. Det något långa beviset är flyttat till Appendix. Exempel 4. Två vektorer u och v uppfyller att u =3, v =5och u v =2. Beräkna (2u +7v) (3u +5v). Lösning: Från lagarna för vektorprodukten följer att (2u+7v) (3u+5v) =2u 3u + 2u 5v +7v 3u +7v 5v =0u v +2v u = 0v u +2v u =v u. Om α är vinkeln mellan u och v så är cos α = u v u v = 2 5 = 4 5.Därmed är sin2 α = cos 2 α = 9 25 och då är sin α = 3 5 (observera att 0 α 80 vilket medför att sin α 0). Slutligen är (2u +7v) (3u +5v) = v u = v u sin α = =99. (n v) n Övning 3. Med hjälp av figuren nedan visa att v Π =,där n är normalvektor till planet Π och v Π betecknar den ortogonala projektionen av vektorn v på planet n 2 Π.

160 2. ETT PLAN I RUMMET 57 v n l A v Π n v Π (Ledtråd: Tänk dig planet Π som går genom punkten A Πochsomär parallell med n och v. Dåär v Π parallell med skärningslinjen l mellan Π och Π. Visa först att vektorn (n v) n är parallell med planet Π,ochsedanatt (n v) n n 2 har den rätta riktningen och längden.) 2.4. Vektorprodukt i koordinatform. Nu kan man undra hur vektorprodukten kan beräknas i praktiken om koordinater för vektorerna u och v är kända. Som tur är finns det då en enkel metod att finna koordinater för u v. Låtossantagaattu =(α,α 2,α 3 ) och v =(β,β 2,β 3 )(glöm inte att koordinater är givna i ett fixt ON-system, fast denna gång bör det tilläggas att systemet är positivt orienterat. Om inget annat anges så antas detta i fortsättningen också). Upprepad användning av räknelagarna för vektorprodukt ger följande hemska ramsa, i vilken vi bara använder dels att vi har linearitet hos vektorprodukten (egenskaperna (f) och (g) alldeles efter definitionen), dels att vi vet alla vektorprodukter av basvektorerna (se Exempel 3 alldeles efter definitionen): u v =(α e + α 2 e 2 + α 3 e 3 ) (β e + β 2 e 2 + β 3 e 3 )= α β (e e )+α β 2 (e e 2 )+α β 3 (e e 3 )+α 2 β (e 2 e )+α 2 β 2 (e 2 e 2 )+α 2 β 3 (e 2 e 3 )+α 3 β (e 3 e )+α 3 β 2 (e 3 e 2 )+α 3 β 3 (e 3 e 3 )= α β 2 e 3 α β 3 e 2 α 2 β e 3 + α 2 β 3 e + α 3 β e 2 α 3 β 2 e = (α 2 β 3 α 3 β 2 )e +( α β 3 + α 3 β )e 2 +(α β 2 α 2 β )e 3 = (α 2 β 3 α 3 β 2, α β 3 + α 3 β,α β 2 α 2 β ).

161 58 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Resultatet framstår som slumpvis, men med några århundradens erfarenhet kan det skrivas elegant med hjälp av determinanter: α u v = e 2 β 2 α 3 β 3 e 2 α β α 3 β 3 + e 3 α β α 2 β 2, ( ) och som en utmärkt minnesregel kan vi skriva detta som en formell determinant e α β u v = e 2 α 2 β 2 e 3 α 3 β 3. (observera att uttrycket förstås egentligen är nonsens i determinanter ska det stå tal och inte vektorer, men att det fungerar utmärkt just som minnesregel.) Formeln ( ) får vi då vi utvecklar determinanten efter första kolonnen. Detta är hur man i praktiken beräknar vektorprodukter. Det är aldrig, i alla fall sällan, som man använder definitionen direkt för beräkningar, utan istället använder man denna förhållandevis lätta formel Vektorproduktens användbarhet. De egenskaper hos vektorprodukten som beskrivs i definitionen är det som gör den användbar. Med den kan vi t ex finna en vektor som är vinkelrät mot två givna. Exempel 5. Med vektorprodukt kan man snabbt räkna om en parameterbeskrivning av ett plan till ekvationsform. Låt till exempel Π : (x, y, z) = (, 0, 3) + t(0, 2, ) + s(3, 3, 2).Vi finner koordinater för planets normalvektor (som ju är en vektor vinkelrät e 0 3 mot (0, 2, ) och (3, 3, 2)): e =(7, 3, 6). Därmed Π:7x 3y 6z + D =0. e 3 2 Eftersom punkten (, 0, 3) ligger i Π så får vi +D =0.SlutligenΠ:7x 3y 6z+ = Areor beräknas med vektorprodukt. Vektorprodukten är mycket användbar för att räkna ut areor och volymer. Del (ii) i definitionen säger t ex att u v är lika med arean av den parallellogram som u och v spänner upp. Om speciellt u och v är vektorer i planet med koordinater (a,a 2 )och(b,b 2 )säföljer att arean av den parallellogram de spänner e a b upp är (a,a 2, 0) (b,b 2, 0) = e 2 a 2 b 2 e = (0, 0,a b 2 a 2 b ) = (a b 2 a 2 b ) 2 = a b 2 a 2 b. Övning 4. Bestäm arean av triangeln T som har hörn i punkterna A =( 2,, 3), B =(2, 3, 4) och C =(3, 2, 0). (Ledtråd: triangelns area är hälften av arean av en parallellogram. En parallellogram bildas av två vektorer, t ex AB och AC.)

162 2. ETT PLAN I RUMMET Avstånd mellan en punkt och ett plan. Låt P =(x 0,y 0,z 0 )varaenpunkt irummetochlåtπ:ax + By + Cz + D = 0 vara ett plan. Låt u = (A, B, C) A2 + B 2 + C 2 =(A,B,C ) vara enhetsvektorn parallell med planets normalvektor. Linjen genom P i riktningen av u skär planet Π i en punkt som vi kallar Q = P + t 0 u =(x 0 + A t 0,y 0 + B t 0,z 0 + C t 0 ). Eftersom u =såär t 0 = t 0 u lika med avståndet mellan punkten P och planet Π. alltså Punkten Q uppfyller planets ekvation, vilket ger Observera nu att AA = C 2 och därmed är A2 + B 2 + C2 A(x 0 + A t 0 )+B(y 0 + B t 0 )+C(z 0 + C t 0 )+D =0, (Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D)+(AA + BB + CC )t 0 =0. A 2 A2 + B 2 + C 2, BB = AA + BB + CC = A2 + B 2 + C 2 A2 + B 2 + C 2 = A 2 + B 2 + C 2. B 2 A2 + B 2 + C 2, och CC = Likheten (Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D)+(AA + BB + CC )t 0 = 0 kan alltså skrivas som och vi får att Således har vi bevisat (Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D)+ ( A 2 + B 2 + C 2) t 0 =0 t 0 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. Sats 5. Avståndet mellan punkten P =(x 0,y 0,z 0 ) och planet Π:Ax+By+Cz+D =0 irummetgesavformelnd(p, Π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. Exempel 6. Bestäm avståndet mellan linjen l :(x, y, z) =(2, 3, ) + t(3,, 0) och planet Π:x +3y 2z 5 = 0. Lösning: Linjens riktningsvektor är parallell med planet, ty (3,, 0) (, 3, 2) = 0 (linjens riktningsvektor och planets normalvektor är ortogonala). Därmed räcker det att ta vilken som helst punkt på linjen, t ex (2, 3, ) och räkna avståndet från denna punkt till planet. Vi får d(l, Π) = =

163 60 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Exempel 7. Bestäm avståndet mellan linjen l :(x, y, z) =(8, 2, ) + t(6,, 2) och linjen l 2 :(x, y, z) =( 5, 3, 4) + s( 2, 0, ). Lösning: Först kontrollerar vi att linjerna saknar skärningspunkt. Hade det funnits en sådan punkt T så skul le vi ha T =(8, 2, ) + t 0 (6,, 2) och T =( 5, 3, 4) + 8+6t = 5 2s s 0 ( 2, 0, ) för två tal t 0,s 0 R. Detär dock lätt att visa att systemet 2 t = 3 2t =4+s saknar lösningar. Låt därför P =(8+6t 0, 2 t 0, 2t 0 ) och Q =( 5 2s 0, 3, 4+s 0 ) vara de punkter på respektive l och l 2 för vilka PQ är vinkelrät mot båda linjerna. Avståndet mellan linjerna är då lika med PQ. Eftersom PQ =( 3 6t 0 2s 0, +t 0, 3+2t 0 + s 0 ) så medför ortogonalitet mot de två linjerna att PQ (6,, 2) = 0 och PQ ( 2, 0, ) = 0, dvs { 4t 0 +4s 0 = 83. 4t 0 +5s 0 = 29 Lösningen är t 0 = och s 0 = 3. Därmed är PQ =(, 2, 2) och d(l,l 2 )= PQ = +4+4=3. Alternativt kan man konstruera ekvationen för det plan Π som innehåller l och som dessutom är parallellt med l 2,alltsåplanetgenompunktenR =(8, 2, ), parallellmed vektorerna (6,, 2) och ( 2, 0, ): x Π: y +2 0 = x 2y 2z +6=0 z 2 och därefter beräkna avståndet d(q, Π) som är samma som d(l,l 2 ).Alltså d(l,l 2 )=d(q, Π) = =3. Övning { 5. Bestäm avståndet mellan linjerna l :(x, y, z) =(,, 3) + t(, 2, 3) x y +3z =0 och l 2 :. 2x +3y 6z 3=0

164 3. AREA- OCH VOLYMFUNKTION. TRIPPELPRODUKTEN 6 3. Area- och volymfunktion. Trippelprodukten Låt oss göra ett kort återbesök hos arean av en parallellogram. Antag att vektorerna u =(a,b )ochv =(a 2,b 2 )spänner upp en parallellogram i planet. Dess area A kan enkelt beräknas från figuren nedan: den är lika med area av rektangeln, (a + a 2 )(b + b 2 ), minskad med areor av ett par mindre rektanglar och fyra rätvinkliga trianglar (visst har ordet enkelt fått att anta oanade betydelser under dennna kurs?). Uträkningen ger A = a b 2 a 2 b. (Vi ger inga detaljer, eftersom vi faktiskt redan har visat denna formel med vektorprodukten tidigare. Vi är bara ute efter att man inser att detta är ett genuint enkelt problem som resulterar någon kvarts arbete i en formel.) y b + b 2 b 2 v b u x a 2 a a + a 2 Vad vi har visat är att arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna u =(a,b )ochv =(a 2,b 2 )räknas enligt A(u, v) =a b 2 a 2 b.lägg märke till formelns logik: (första koordinaten i den första vektorn multiplicerad med den andra koordinaten i den andra vektorn) minus (andra koordinaten i den första vektorn multiplicerad med den första koordinaten i den andra vektorn). Om vi istället lämnar bilden och försöker se om arean av parallellogrammet som spänns upp av vektorerna v =(a 2,b 2 )ochu =(a,b ) alltid ges av samma formel A(v, u) = b a 2 b 2 a, så ser vi att detta inte fungerar. Det kan ju upplevas som total motsägelse att A(v, u) = A(u, v), eftersom det innebär att arean ofta kommer att vara negativ. (Orsaken till denna diskrepans ligger i att orienteringen av vektorparet (u, v) är den motsatta till orienteringen av (v, u). I bilden är paret u, v positivt orienterade, men så behöver det förstås inte vara för två godtyckliga vektorer) Å andra sidan visar det sig vara mycket bekvämt och enkelt att räkna med det algebraiska uttrycket A(u, v) =a b 2 a 2 b = a a 2 b b 2.

165 62 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Vi introducerar därför areafunktionen A(u, v) = a a 2 b b 2 och den faktiska arean av parallellogrammen som spänns upp av vektorerna u och v är då lika med A(v, u). Notera att om två kolonner i matrisen byter plats så byter determinanten tecken, alltså A(v, u) = A(u, v). Vi kan genomföra liknande resonemang för tre lineärt oberoende vektorer i rummet, u =(a,b,c ), v =(a 2,b 2,c 2 )ochw =(a 3,b 3,c 3 ). Dessa tre vektorer spänner upp en parallellepiped (se figuren nedan) med basen som spänns upp av u och v (arean lika med u v ) ochhöjden som är lika med längden av projektionen av w på vektorn u v, w u v. Volymen av parallellepipeden är därmed lika med (u v) w u v w u v = u v = (u v) w. u v u v w u v w v u Själva produkten (u v) w kan vara ett negativt tal beroende om vektortrippeln (u, v, w) är positivt eller negativt orienterad. I figuren ovan är den positivt orienterad men om man byter plats på u och v så blir den negativt orienterad. Liksom i fallet med areafunktionen A(u, v) kan vi införa volymfunktionen V (u, v, w) =(u v) w. Eftersom b u v = e b 2 c c 2 e 2 a a 2 c c 2 + e 3 a a 2 b b 2 =( b b 2 c c 2, a a 2 c c 2, a a 2 b b 2 ), w =(a 3,b 3,c 3 )ochsystemetär ortonormerat så är (u v) w = b b 2 c c 2 a 3 a a 2 c c 2 b 3 + a a 2 b b 2 c 3. Detta är inget annat än utveckling av en determinant och vi får

166 3. AREA- OCH VOLYMFUNKTION. TRIPPELPRODUKTEN 63 a a 2 a 3 V (u, v, w) =(u v) w = b b 2 b 3 c c 2 c 3. Produkten (u v) w kallas ibland för trippelprodukten. Övning 6. Visa att (u v) w =(w u) v =(v w) u. Volymfunktionen (och areafunktionen i planet) uttrycks alltså som determinanten av den matris vars kolonner spänner upp parallellepipeden (parallellogramen). Detta gör att de egenskaper som vi har visat för determinanter automatiskt gäller för volymfunktionen. De viktigaste sammanfattas i följande sats (som formuleras för rummet men den gäller förstås också i planet för areafunktionen). Sats 6. Låt u, v, w och w 2 vara fyra vektorer i rummet och låt λ vara ett reellt tal. Då gäller att (a) V (u, v, w + w 2 )=V (u, v, w )+V (u, v, w 2 ) (b) V (u, v, λw )=λv (u, v, w ) (c) V (u, v, w )=V (w, u, v) =V (v, w, u) = V (u, w, v, )= V (w, v, u) = V (v, u, w ) (d) V (u, v, v) =0 (e) V (e, e 2, e 3 )=,där (e, e 2, e 3 ) är standardbasen i rummet. Anmärkning. Del (c) är en konsekvens av att om två kolonner i en matris byter plats så byter determinanten tecken. Från (c) och (a) följer att volymfunktionen uppfyller även V (u, v + v 2, w) =V (u, v, w) +V (u, v 2, w) samtv (u + u 2, v, w) =V (u, v, w) + V (u 2, v, w). Likadant kan λ i egenskap (b) stå vid u eller v. Volymfunktionen är alltså en sådan multilineär funktion som omnämndes i kapitel 2.2. Detta definierades där som en funktion V som till varje kvadratisk matris A tillordnar ett reellt tal V (A) på sådant sätt att följande tre villkor är uppfyllda: (i) V är multilineär, dvs. om någon av kolonnerna i A är en lineär kombination av två kolonner, till exempel v k = αv k + βv k,sågäller att V (v,..., v k,αv k + βv k,v k+,..., v n )= = αv (v,..., v k,v k,v k+,..., v n )+βv (v,..., v k,v k,v k+,..., v n ). (ii) Om två kolonner i A är lika så är V (A) =0. (iii) Om E är en enhetsmatris så är V (E) =.

167 64 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN Det är inte svårt att visa att en funktion som uppfyller egenskaperna ovan är entydigt bestämd och kan alltså i sig fungera som en definition av determinanten av en godtycklig n n matris A. Talet V (A) är då volymen av den erhållna hyperparallellepipeden. En viktig tillämpning av volymfunktionen presenteras i nästa exempel. Exempel 8. Låt u och v vara två vektorer i planet ( ) och( låt u )( = a u ) + b v samt u a b v = a 2 u + b 2 v.sambandetkanskrivasformelltsom = u.viräknar v a 2 b 2 v arean av parallellogramen som spänns upp av u och v.genomattviupprepadegånger tillämpar sats 6 så får vi A(u, v ) = A(a u + b v, a 2 u + b 2 v) = A(a u, a 2 u)+a(a u, b 2 v)+a(b v, a 2 u)+ A(b v, b 2 v)=a(a u, b 2 v)+a(b v, a 2 u)=a b 2 A(u, v)+a 2 b A(v, u) =(a b 2 a 2 b )A(u, v) = a b a 2 b 2 A(u, v). Därmed har vi visat följande sats Sats 7. A(u, v ) = (detb) A(u, v), där matrisen B beskriver ( sambandet ) ( mellan ) a b vektorerna som spänner upp de två parallellogrammen: B = u och = a 2 b 2 v ( )( ) a b u. b 2 v a 2 Motsvarande gäller förstås också för vektorer i rummet. Om u, v och w är tre vektorer irummetochsambandet u v = A u v definierar tre nya vektorer, u, v och w för w w någon 3 3 matris A så är V (u, v, w )=(deta) V (u, v, w). Faktorn det A fungerar alltså som en förstoringsfaktor av volymen (eller arean) då en parallellepiped (parallellogram) ersätts av den nya vi får genom att avbilda de vektorer som spänner upp den med A. Exempel 9. Satsen ovan ger också ett bevis för produktregeln för determinanter (av 2 2 och 3 3 matriser). Detta är sats 2 i kapitel 2, bevisad i kapitel 4. Vi skisserar här beviset för 2 2-matriser. Antag nämligen att vi har två matriser A = ( ) α α 2, och B = β β 2 ( ) a b. a 2 b 2 ( ( ) u u Raderna i A = och raderna i BA = är sammankopplade med just den relation v) v ( ) ( )( ) u a b som förekommer i satsen: = u.därför gäller enligt satsen att v b 2 v a 2 det(ba) =A(u, v )=(detb) A(u, v) =detb det A

168 4. ÖVNINGAR 65 (kom ihåg att areafunktionen definierades som en determinant!). Beviset för 3 3 -matriser är likadant. Övning 7. Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet. Visa att V (u + v w, u + 2v +3w, 3u +3v w) =V (u +3w, 2u v + w, u +3v +2w). Förändringen av area och volym är en avgörande faktor i variabelbyte i teorin för dubbel, trippel- och multipelintegraler. Den substitution man gör då man ersätter dxdy med J(u, v) dudv är just ersättning av en areaenhet, dxdy, med en annan, dudv, multiplicerad med en lämplig förstoringsfaktor, Jakobianen J(u, v). 4. Övningar (8) Bestäm en ekvation och en parametrisk framställning för den linje som (a) går genom punkterna (3, ) och ( 2, 2), (b) går genom punkten (, 5) och är parallell med linjen 3x { 2y +4=0, x =2 4t (c) går genom punkten (2, 3) och är vinkelrät mot linjen. y = 2+5t (9) Bestäm en parametrisk framställning för den linje som (a) går genom punkterna (,, 4) och ( 2, 0, 3), x =2+3t (b) gårgenom punkten (3,, ) och är parallell med linjen y = t, z =3t x = 3t (c) går genom punkten (, 2, 3) och skär linjen y = 2+t under rät z =5 vinkel. (20) Bestäm en ekvation för den linje i planet som är parallell { med vektorn (2, ) och som går genom skärningspunkten mellan linjerna x = 3t y =2+t och 3x + 3y 4 = 0. (2) Låt A =(2, 3, ) och B =( 4, 7, 5) vara två punkter i rummet. Bestäm koordinater för punkten C sådan att B delar sträckan AC i proportionen 2 : 3. (22) Låt l : x +2y +=0 och l 2 : 3x y = 0 vara två linjer i planet. Visa att linjerna skär varandra och bestäm ekvationen för linjen l 3 som är spegelbilden av l i linjen l 2.

169 66 7. GEOMETRI: LINJER OCH PLAN beskri- x =6+t (23) Bestäm talen a, b och c sådana att y = 3+at z = b + ct ver en och samma linje. och x =2+2s y = s z =6s (24) Bestäm en parametrisk framställning för den linje som går genom punkten P = (2, 3, 2) och som korsar linjerna l : (x, y, z) = (, 0, ) + t(3,, ) och l 2 : (x, y, z) =(2, 3, 4) + s(, 2, 0). (25) Ange en parametrisk framställning och en ekvation för det plan som går genom punkterna (, 2, 3), (2,, 3) samt (3, 3, 6). (26) Två vektorer u och v uppfyller att u =, v =2och u v = 3. Vilka värden kan (u +2v) (3u +4v) ha? (27) Bestäm en ON-bas i rummet som har två vektorer parallella med planet Π : x +2y + z 4=0.(Ledtråd:Välj en godtycklig vektor u parallell med Π. Tag sedan som v en vektor vinkelrät mot Π. Bestäm därefter den tredje vektorn den ska också vara parallell med Π. Glöm inte att normera på slutet.) (28) Bestäm a och b så att planen Π : x 2y + z +5=0,Π 2 : ax + by +2z +=0 samt Π 3 :3x 3y 2z =0skär varandra längs en linje och beskriv linjen på parameterform. (29) Bestäm avståndet mellan planet Π : 2x 3y +2z = 0 och linjen som ges av (a) l :(x, y, z) =(5, 2, ) + t(3, 4, 3), (b) l 2 :(x, y, z) =(3, 5, 2) + t(,, 2). (30) Visa att u v 2 +(u v) 2 = u 2 v 2. (3) Vektorerna u =(2, 2, ), v =(, 2, 3) och w =(3, 4, 3) spänner upp en parallellepiped i en positivt orienterad ON-bas. Vilken volym har parallellepipeden? Är vektortrippeln (u, v, w) positivt eller negativt orienterad? (32) Bestäm volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna 2u v +3w, u +2v w och 2u +3v +2w, där u, v och w definierades i förra övningen. (33) Ett rätblock ABCDA B C D (alla vinklar är räta) har hörnen B och D ipunkterna ( 5, 2, 3) och (7,, 5). Punkten A ligger på y koordinataxeln.

170 4. ÖVNINGAR 67 A D A D B C B C (a) Bestäm koordinater för hörnet A. Hur många möjliga svar finns det? (b) Bestäm koordinater för hörnet A om det är känt att AA =.(Det finns fyra möjliga svar.) (34) En strålkastare skiner på en ogenomskinlig triangel med hörn i punkterna A = (0, 0, 5), B =(2, 8, 7) och C =(0, 0, 3), så att den kastar en skugga på marken i xy planet. Bestäm skuggbildens area om ljuskällan finns i punkten P =(8, 7, 6).

171 Appendix till kapitel 7 5. Bevis av egenskap (g) för vektorprodukten, distributiva lagen Vi ska visa distributiva lagen för vektorprodukten (egenskapen (g) i kapitel 7), dvs. w (u + v) =w u + w v samt (u + v) w = u w + v w. Vi börjar med tre lemman. Den första är en viktig egenskap hos funktionen som tar u till u Π, som vi ska återkomma till i kapitel 8. Lemma. För ett plan Π och en vektor u irummet,låtu Π projektionen av u på Π. Dågäller beteckna ortogonala (u + v) Π = u Π + v Π samt (λu) Π = λu Π. Bevis. Bevis för den första delen följer raskt från nedanstående figur. Med hjälp av liknande figur visas lätt även den andra delen. u v u + v u Π (u + v) Π v Π Π Lemma 2. Låt Π vara ett plan ortogonal mot vektorn u. Dågäller för varje vektor v att u v = u v Π. 68

172 5. BEVIS AV EGENSKAP (G) FöR VEKTORPRODUKTEN, DISTRIBUTIVA LAGEN 69 Bevis. Eftersom v Π ligger i samma plan som u och v (planet Π vinkelrät mot Π), så är u v Π vinkelrät mot både u och v. u v = u v sin α = u v Π = u v Π sin 90 = u v Π (se figuren). v u α v Π Π Slutligen har u v Π har samma riktning som u v (i figuren ska det vara vektorn riktad mot läsaren). Därmed uppfyller u v Π de villkor som definierar u v och vi är klara. Lemma 3. Låt Π vara ett plan ortogonalt mot vektorn u, där u] =.Antagocksåatt vektor v är parallell med Π. Dåär u v en vektor parallell med planet Π, somfåsgenom att rotera v med 90 vinkel moturs, sett från spetsen av u. Bevis. Följer direkt från definitionen av vektorprodukten. Nu kan vi återgå till beviset för egenskap (g) för vektorprodukten distributiva lagen. Vi ska visa att w (u + v) =w u + w v. Bevis. (För egenskap (g)). Låt Π vara ett plan ortogonal mot w. Först konstaterar vi att enligt lemma 2 är w (u + v) =w (u + v) Π =... enligt lemma... = w (u Π + v Π ) och att w u + w v = w u Π + w v Π. Vi behöver alltså bara visa att w (u Π + v Π )=w u Π + w v Π,dvs.egenskapen (g) då vektorerna u och v ligger i planet Π som är ortogonal mot w. Antag därför att vektorerna u och v ligger i ett plan ortogonal mot w. Vårtmålär att visa att w (u + v) =w u + w v

173 70 APPENDIX TILL KAPITEL 7 Låt oss antaga att w = λe, där e är en enhetsvektor. Då är VL = w (u + v) = (λe) (u + v) =... enligt egenskapen (f)... = λ ( e (u + v) ). Samtidigt är HL = w u + w v =(λe) u +(λe) v =... återigen enligt (f)... = λ(e u + e v). Vi blir alltså klara om vi kan visa att e (u + v) =e u + e v. Detföljer dock automatiskt från lemma 3 eftersom vektorprodukten e z innebär rotation av vektor z med 90 vinkel moturs i samma plan som e och z, settfrånspetsenave. Likheten ovan säger bara att det spelar ingen roll om man först adderar två vektorer i och sedan roterar summan med 90 moturs eller först roterar vektorerna och adderar sedan. Detta avslutar beviset för w (u + v) =w u + w v. Beviset för den andra delen, (u + v) w = u w + v w, följer från det bevisade ovan samt antikommutativa lagen (d): (u + v) w = w (u + v) = w u w v = u w + v w.

174 KAPITEL 8 Lineära avbildningar Vi ska nu, speciellt för detta kapitel och till slut, efter att ha pratat om det så länge, införa ett namn på rummet. I enlighet med all god internationell praxis kommer vi att kalla det för... R 3.Rentformelltsåär förstås R 3 = {(x,x 2,x 3 ) x,x 2,x 3 R} mängden av alla ordnade taltripplar. Orsaken att vi kan använda sådana taltripplar som namn på punkter i rummet är förstås för att vi valt ett koordinatsystem. Vi tänker oss att vi har en fix bas, e =(e, e 2, e 3 )ochmedhjälp av denna bas, och ett origo O, kanviförst beskriva varje vektor v irummetmeddesskoordinater och sedan punkter P irummetgenom v e =(x,x 2,x 3 ), (OP) e =(x,x 2,x 3 ). Tänker vi lite närmare på detta ser vi att elementen i R 3,tex(x,x 2,x 3 )ovan beskriver två helt olika begrepp, dels vektorer, och dels punkter. Vi inför alltså inte bara R 3 som namn på alla punkter i rummet, vi har också döpt vektorer i rummet med samma sorts namn (sambandet fick vi genom det som vi kallade för ortsvektorer: varje punkt P svarade mot ortsvektorn OP). När vi nu har satt namn på både punkter och vektorer i rummet med element i R 3,så kan vi lika gärna identifiera både punkter och vektorer med taltripplar. Vi kan alltså säga: låt u =(x,x 2,x 3 ) R 3 och mena det ärligt som likhet (inte bara som en beskrivning med hjälp av koordinater). Här syns det att det är en vektor vi menar från vänstersidans avslöjande streck u, menomvibaraser(, 2, 3) så måste det egentligen till en förklaring. Är det en punkt eller vektor? Ibland kommer vi, speciellt i senare kurser, att tala om vektorrummet R 3 för att markera att våra taltripplar representerar vektorer och därför kan adderas och multipliceras med skalärer och så. För att fixera terminologi och kontext, kom ihåg några basfakta från tidigare kapitel. Iallapunkternedan(utomdelvisdenförsta) handlar det om vektorrummet R 3. Vektorn mellan punkten P =(a,a 2,a 3 ) R 3 och Q =(b,b 2,b 3 ) R 3 är PQ =(b a,b 2 a 2,b 3 a 3 ) R 3 Om u =(x,x 2,x 3 ) R 3 och v =(y,y 2,y 3 ) R 3 så u + v =(x,x 2,x 3 )+(y,y 2,y 3 )=(x + y,x 2 + y 2,x 3 + y 3 ) R 3. 7

175 72 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Om u =(x,x 2,x 3 ) R 3 och λ R så λu = λ(x,x 2,x 3 )=(λx,λx 2,λx 3 ) R 3. Om u =(x,x 2,x 3 ) R 3 och v =(y,y 2,y 3 ) R 3 så definierar vi standardskalärprodukten av vektorer i R 3 som u v =(x,x 2,x 3 ) (y,y 2,y 3 )=x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 R Ivåridentifikationär basvektorerna e =(e, e 2, e 3 ) standardbasen e =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0), e 3 =(0, 0, ). (Standardskalärprodukten är alltså skalärprodukten med avseende på ON-basen e = (e, e 2, e 3 )) Nu kan vi äntligen börja med kapitlets tema. Följande är en definition av en speciell sorts funktion (avbildning) från vektorer i rummet till vektorer i rummet. och Definition. En funktion G : R 3 R 3 sägs vara lineär om för alla u, v R 3 och λ R. G(u + v) =G(u)+G(v), G(λu) =λg(u), Vi observerar att det handlar om vektorrummet R 3,eftersomviadderartaltripplar. Vi har ju tidigare sett att addition av vektorer och multiplikation av vektorer med skalärer är centrala och användbara begrepp. En lineär avbildning bevarar summor d vsbildenunderfunktionenavensummaavtvåvektorerär summan av deras bilder. Detta (tillsammans med att avbildningen bevarar produkter med skalärer), ska vi se, gör lineära avbildningar enkla att handskas med, och att beskriva. Ändå är de, ska vi också se, tillräckligt komplicerade för att inte vara ledsamt tråkiga (vilket man inte kan säga om alla matematiska begrepp). I resten av denna sektion ska vi visa upp flera exempel på lineära avbildningar och en ytterligare intimt öppenhjärtig beskrivning av varför de förekommer överallt i matematiska sammanhang finns i den sista sektionen i det här kapitlet. Till sist, kontentan av definitionen av en lineär avbildning, var ju att den bevarade addition och multiplikation med skalärer. Alltså, frågar en kritisk inställd läsare, kunde vi väl i definitionen ha bytt 3 i R 3 mot 2 eller 4 eller 7? Helt sann och insiktsfull invändning! Det är bara att sätta igång, men teorin är kanske lite konkretare i R 3,vilket är skälet till att vi går igenom teorin för det fallet. I nästa lineär algebrakurs finns de berusande högredimensionella varianterna av satserna i detta kapitel, som förresten ser precis likadana ut, så när som på alla prickar (i typ x,...,x 7,)ochharsammabevis

176 . ARKETYPISKT EXEMPEL-TILL VARJE MATRIS FINNS EN LINEÄRR AVBILDNING och av vilka de flesta också går ut på att lösa ekvationssystem... ett av livets riktigt stora teman... :-). Arketypiskt exempel-till varje matris finns en lineärr avbildning.. Först: på höjden eller bredden? Vi påminner om att för att det är behändigt vill vi ibland kunna beskriva en vektor v R 3 inte bara med hjälp av dess koordinatvektor istandardbasen(somharbasvektorernae =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0) och e 3 =(0, 0, )) som en följd av koordinater (x,x 2,x 3 )utanocksåiblandsomenkolonnmatris, [v] e = x. (Notera hur notationen fungerar indexet talar om att vi använder basen e =(e, e 2, e 3 ). Liknande notation använde vi tidigare i samband med basbyten i kapitel 6.) Det viktiga för att beskriva vilken vektor det är fråga om är ju följden av koordinater, så det ska väl inte vara några problem, utan vi kommer (slarvigt men effektivt) att kalla både den horisontella och den vertikala formen för vektorns v:s koordinatvektor. Det är också klart att addition av vektorer nu svarar mot addition av deras koordinatvektorer, sedda antingen som vektorer eller som matriser, och att en liknande överensstämmelse också gäller för multiplikation med skalär. x 2 x 3.2. Matriser. Nu till det typiska exemplet på en lineär avbildning. Sätt u =(x,x 2,x 3 ). Vi påstår att följande är en lineär avbildning: G(u) =(x + x 2 + x 3, 0x +x 2 +2x 3, 00x +0x 2 +02x 3 ). Vi ger namn till koordinaterna för v = G(u) explicitgenomv =(y,y 2,y 3 )=G(u). Notera att koordinaterna av bilden under G är lineärkombinationer av u:s koordinater. Det ska vi så småningom se är typiskt för lineära transformationer. För att se att G verkligen är en lineär avbildning på latast möjliga sätt, kan vi använda några saker vi vet om matrismultiplikation. Notera nämligen att vi kan skriva om högerledet (om vi transponerar allting, d v s skriver vektorer på höjden istället för på bredden) y x + x 2 + x 3 y 2 = 0x +x 2 +2x 3 = 0 2 x x 2. y 3 00x +0x 2 +02x x 3 Kallar vi matriserna i ekvationens ytterled, från vänster till höger, för [v] e, A och [u] e, har vi alltså att v = G(u) [v] e = A[u] e.

177 74 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR (Observera att högerledet alltså är produkten mellan de två matriserna A och [u] e.) Vi har talat om hur man ska beräkna avbildningen G, genomatttalaomhurmanska räkna ut koordinaterna till G(u) ommanvetkoordinaternatillu. Detspeciellamed denna avbildningen var att sambandet gavs som multiplikation med matrisen A. Detta ger additiviteten. Den följer nämligen ur en av räknelagarna för matrismultiplikation, dess distributivitet. Här är argumentet: Antag att mot vektorerna u och u 2 svarar kolonnmatriserna [u ] e och [u 2 ] e.dåsvarar mot G(u )ochg(u 2 )detvåkolonnmatrisernaa[u ] e och A[u 2 ] e.motg(u + u 2 )svarar A([u ] e +[u 2 ] e ). Men nu har vi ju att A([u ] e +[u 2 ] e )=A[u ] e + A[u 2 ] e och detta säger (skrivet på bredden) precis att samt att G(u + u 2 )=G(u )+G(u 2 ) G(λu )=λg(u ) samt A(λ[u ] e )=λa[u ] e Vad var nu nyttan av detta jo, detta är ett riktigt allmänt exempel på en lineär avbildning. Varje 3 3matrisgerupphovtillensådan vikanbytauta iexempletmot vilken matris som helst. Nu kan vi sitta till sent, långt efter midnatt och bara spotta ur oss lineära avbildningar, om vi skulle önska. Vi ska snart se att avbildningar av denna typ egentligen är de enda som finns, d v s att varje lineär transformation (= avbildning =funktion) kan beskrivas som matrismultiplikation på detta sätt. Sats. Låt A vara en 3 3-matris. Konstruera en avbildning F A : R 3 R 3, F A (u) =v, på följande sätt. Använd beteckningarna u =(x,x 2,x 3 ) och v =(y,y 2,y 3 ).Dåär [u] e = x och [v] e = y. x 2 x 3 y 2 y 3 Definiera F A (u) =v A[u] e =[v] e y = A x. y 2 x 2 y 3 x 3 Då är F A en lineär avbildning. Bevis: Precis som för den konkreta matrisen ovan så kokar det ner till distributivitet av matrismultiplikation och kommutativitet av multiplikation med skalär. I allmänhet skulle det räcka med termen funktion men av historiska skäl använder man i vissa matematiska ämnen andra termer, för exakt samma begrepp. I lineär algebra säger man oftast en avbildning eller en transformation.

178 . ARKETYPISKT EXEMPEL-TILL VARJE MATRIS FINNS EN LINEÄRR AVBILDNING 75 Observera att konstruktionen av en lineär transformation i satsen hade fungerat lika bra för en 2-matris. Då hade vi fått en lineär transformation R 2 R Lineära transformationer finns faktiskt i naturen, speciellt nu på våren. Nämligen som projektioner, speglingar och rotationer. T ex speglingar i smältande is. Och det syns direkt från definitionerna av avbildningarna att de är lineära, utan att man behöver använda minsta bevis... det räcker att bara titta på bilder. I den här sektionen ägnar vi oss åt projektioner. Vi har redan tidigare pratat om projektioner i samband med Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess, men det är först nu som vi ska titta på dem som avbildningar. Vi utgår från ett plan Π genom origo, i ett ON-system, och som antas ha normalen n. Dåkanvidefinieradenvinkelräta projektionen w = Proj Π (v) avenvektorv på planet, genom att framställa v som summan av två vektorer (se bilden nedan) v = w +(v w). Här vill vi att de två termerna i summan i högerledet uppfyller följande villkor: i) w ligger i (är parallell med) planet Π. ii) v w är parallell med normalen till planet. n v v w w Π Titta nu på nästa bild som beskriver summan av två vektorer och deras projektioner. Vad svarar nu additiviteten hos Proj Π mot? Jo, den svarar ju mot att triangeln som (i termer av riktade sträckor) beskriver w = u + v projiceras på triangeln som beskriver att Proj Π (w) =Proj Π (u)+proj Π (v). Men det är väl uppenbart! Lemma. Proj Π (u + v) =Proj Π (u)+proj Π (v) samt Proj Π (λu) =λp roj Π (u).

179 76 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Bevis. Bevis för den första delen följer raskt från nedanstående figur. u v w = u + v Proj Π(u) Proj Π(u + v) Proj Π(v) Π Men livet är förstås inte bara en additiv dans på rosor... Beviset för Proj Π (λu) = λp roj Π (u) är inte lika lätt, utan kräver betraktande av likformiga trianglar eller trigonometri. Titta på nästa bild och meditera (likformigt) själv. u λu Proj Π(u) Proj Π(λu) Π Vi återkommer till detta exempel senare när vi ska räkna mer precist och då ska vi se att man kan få fram lineariteten och mer också på ett betydligt mer komplicerat sätt, som inte alls är det minsta naturligt. Yes box, vi är ju rena matematiker, inte tillämpade... men den senare metoden ger också praktiska formler..4. Några exempel på avbildningar som inte är lineära. Vi vill se vissa enkla egenskaper hos lineära avbildningar. Låt oss introducera dessa genom att vi ger några exempel på avbildningar varav en del inte är lineära avbildningar, av rätt fåniga skäl.

180 och. ARKETYPISKT EXEMPEL-TILL VARJE MATRIS FINNS EN LINEÄRR AVBILDNING 77 Exempel. Låt u =(x,x 2,x 3 ). En av är en lineär avbildning. Vilken? G (u) =(x +2x 2 +3x 3 +, 4x, 9x 3 ) G 2 (u) =(x +2x 2 +3x 3, 4x, 9x 3 ) Vi kan använda följande egenskap hos en lineär avbildning. Stoppa in λ =0och u = 0 i egenskapen hos en lineär avbildning att Då får vi speciellt G(λu) =λg(u). G(0) =0 G(0) =0. En lineär avbildning tar alltså nollvektorn till nollvektorn. Men det betyder att G inte kan vara en lineär avbildning, eftersom G (0, 0, 0) = (, 0, 0) (0, 0, 0). (Det är alltså den konstanta termen här som sabbar lineariteten.) Alltså måste G 2 vara den lineära avbildningen, om vi kan lita på problemformuleringen. Vi kollar (för u =(x,x 2,x 3 ) och v =(y,y 2,y 3 )): och G 2 (u + v) =((x + y )+2(x 2 + y 2 )+3(x 3 + y 3 ), 4(x + y ), 9(x 3 + y 3 )) = ( (x +2x 2 +3x 3 )+(y +2y 2 +3y 3 ), (4x )+(4y ), (9x 3 )+(9y 3 ) ) = (x +2x 2 +3x 3, 4x, 9x 3 )+(y +2y 2 +3y 3, 4y, 9y 3 )=G 2 (u)+g 2 (v). G 2 (λu) =((λx )+2(λx 2 )+3(λx 3 ), 4(λx ), 9(λx 3 )) = λ(x +2x 2 +3x 3, 4x, 9x 3 )=λg 2 (u) Alltså är bägge villkoren uppfyllda för att G 2 ska vara en lineär avbildning. Exempel 2. Vi såg i föregående exempel att konstanta termer inte gick bra ihop med linearitet. Det gör inte heller termer av grad större än. (Vi preciserar vad detta betyder: ett polynom i flera variabler är ett uttryck som kan bildas med multiplikation och addition från variablerna, t ex 3+x 4 x 3 2. Ett monom är ett polynom som kan fås genom bara multiplikationer, t ex x 3 x 2 x 7 3. Graden hos ett monom är antalet variabler som ingår, i exemplet lägger vi alltså ihop exponenterna och får 3++7 = 2. Graden hos ett polynom är den maximala graden hos något ingående monom, t ex så har 3 5x + x 2 x 2 +2x 4 x 3 2 grad 7.) Nu till exemplet: sätt G(u) =(x +3x 2 x 3,x,x 3 ). Vi har att G(0) =0 men avbildningen är trots detta inte lineär. Titta t ex på det andra villkoret G(λu) =((λx )+3(λx 2 λx 3 ),λx,λx 3 ). = = λ(x +3λx 2 x 3,x,x 3 ).

181 78 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Vi ser att vi lyckas bryta ut λ men att det är kvar ett λ bland vektorns koordinater. Tar vi lämpliga värden på variablerna så att (x +3λx 2 x 3,x,x 3 ) (x +3x 2 x 3,x,x 3 ) ser vi att avbildningen inte är lineär. T ex G(00 0, 00, 00 ) = (3 0 4, 0, 00), medan 00G(0,, ) = 00(3, 0, ) = (300, 0, 00), och dessa två vektorer är olika varandra, i strid mot vad linearitet hade krävt. Exempel 3. Nu ett mer intelligent exempel, nämligen på en geometrisk typ av avbildningar som är mycket användbara men som inte är lineära avbildningar. Låt a = (a,a 2,a 3 ) 0 vara en fix vektor och definiera translationen T a med denna vektor som T a (u) =u + a. (Vi knuffar, vilket på latin heter translaterar, alltså iväg alla vektorer u med den fixa vektorn a.) Om vi tänker oss att translationen agerar på ortsvektorer, translaterar vi alla punkter med vektorn a. Detta är inte en lineär transformation, t ex av samma skäl som i det första exemplet, eftersom T a (0) =a 0, enligt antagandet..5. Första lärdomar av exemplena. Sats 2. Om G är en lineär avbildning så gäller i) G(0) =0 och ii) G(λ v + λ 2 v 2 )=λ G(v )+λ 2 G(v 2 ) för alla v, v 2 R 3 och λ R. Bevis: Den första egenskapen visade vi ovan. Den andra följer så här: av additiviteten får vi först G(λ v + λ 2 v 2 )=G(λ v )+G(λ 2 v 2 ). Sedan har vi att G(λ v )=λ G(v )ochmotsvarandeför den andra termen G(λ 2 v 2 )= λ 2 G(v 2 ). Tillsammans ger detta påståendet. Notera två saker. Den första är att egenskapen hos en avbildning att uppfylla ii) i satsen här faktiskt är detsamma som att avbildningen är lineär. Om vi vet att ii) är sann kan vi t ex sätta λ = λ 2 =ochfåg( v + v 2 )= G(v )+ G(v 2 ), vilket bara är ett annat sätt att säga att G är additiv på. Den andra egenskapen följer på liknande sätt. Ibland använder man därför egenskapen ii) som definition av lineär avbildning. Den andra saken värd att notera är att man kunde haft en summa av fler än två vektorer. Egenskap ii) kallas linearitet, ochsäger, lite löst, att G tar en lineärkombination 2 av två vektorer till en lineärkombination med samma koefficienter. Om vi tar en lineärkombination med 3, 4 eller fler vektorer, så kommer samma sak att gälla. Vi har alltså 2 uttryck av typ λ u + λ 2 u λ k u k.

182 2. MATRISFRAMSTÄLLNING AV EN LINEÄR AVBILDNING VILKEN SOM HELST 79 G(λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 )=G(λ v )+G(λ 2 v 2 )+G(λ 3 v 3 ), och så vidare. Att visa detta är förstås (och faktiskt, vi är helt seriösa) en busenkel övning på induktion Matrisframställning av en lineär avbildning vilken som helst Vi såg tidigare att vi med en (3 3)-matris A kunde definiera en lineär transformation F A : R 3 R 3. Nu ska vi se att omvändningen också är sann, att varje lineär transformation F har en unik matris A så att avbildningen F svarar mot multiplikation med matrisen A, dvsf = F A. Vi ska göra detta i två versioner, först med R 3,vilket innebär att vi ser vektorer i rummet som lineärkombinationer av de tre basvektorerna e =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0) och e 3 =(0, 0, ). Vi har (x,x 2,x 3 )=x e + x 2 e 2 + x 3 e 3. () Inästa delavsnitt ska vi notera att det argument vi använder för att analysera lineära avbildningar fungerar lika bra för vilken annan bas som helst (men då ger oss en annan matris!) Det enda väsentliga för att vi ska få en matris är sambandet (). Vi påminner om notationen. Om v =(x,x 2,x 3 ) R 3 så betecknar [v] e = x. Detta utläses som att v: skoordinater(iformavenkolonnmatris)ibaseneär [v] e. Sats 3. i) Givet en 3 3-matris A så finns det en lineär avbildning F A : R 3 R 3 definierad av [F A (v)] e = A[v] e. ii) Om F är en lineär avbildning R 3 R 3 finns det en unik matris A, sådan att [F (v)] e = A[v] e. x 2 x 3 Satsen säger först att till varje matris A kan man få en lineär transformation genom att se på effekten som A ger på koordinaterna när man multiplicerar med den, och sedan att alla lineära transformationer fås på detta sätt från någon matris.

183 80 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Bevis: i) är en omformulering av Sats. Där definierade vi den lineära avbildningen F A på koordinatnivå som vänstermultiplikation med matrisen A. Alltså om v =(x,x 2,x 3 ) så att [v] e = x, så är bildvektorns koordinater givna av y =[F A ((x,x 2,x 3 ))] e = A[v] e = A x. y 2 y 3 ii) Vi ska hitta matrisen A givet transformationen F.Tillämpa lineariteten på () x 2 x 3 F (x,x 2,x 3 )=F (x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 )=x F (e )+x 2 F (e 2 )+x 3 F (e 3 ). (2) Nu är F (e ),F(e 2 ),F(e 3 )vektorerochalltsåkanvibeskrivaderaskoordinater(istandardbasen e). Låt oss göra det i form av deras koordinatkolonnmatriser, alltså bestående av några bestämda reella tal, som vi numrerar på ett sätt som strax inses är naturligt. [F (e )] e = a Räkna sedan på: ur (2) får vi att a 2 a 3 [F (e 2 )] e = a 2 a 22 a 32 [F (e 3 )] e = a 3 a 23 a 33 x 2 x 3 [F (x,x 2,x 3 )] e = x [F (e )] e + x 2 [F (e 2 )] e + x 3 [F (e 3 )] e eller [F (x,x 2,x 3 )] e = x a a 2 + x 2 a 2 a 22 + x 3 a 3 a 23 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 x x 2. a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 x 3 Kalla nu 3 3-matrisen i den sista ekvationen för A och vi har bevisat satsens påstående. Notera ett mycket användbart faktum från beviset, nämligen att kolonnerna i matrisen som hör till F är koordinatkolonnmatriser som hör till F :s värden på de tre olika basvektorerna, alltså[f (e )] e, [F (e 2 )] e och [F (e 3 )] e.detgör det ibland enkelt att bestämma matrisen som hör till F.

184 2. MATRISFRAMSTÄLLNING AV EN LINEÄR AVBILDNING VILKEN SOM HELST 8 Exempel 4. (Tentatal: osannolikt lätta varianten) Bestäm matrisen och den lineära transformation som hör till en lineär transformation F som uppfyller F (, 0, 0) = (, 2, 3) F (0,, 0) = (0, 0, ) F (0, 0, ) = (2, 3, 4) Lösning: Matrisen är alltså bara att skriva upp A = och det innebär att F (x,x 2,x 3 )=(y,y 2,y 3 ) där y y 2 = A x x 2 = x +2x 3 2x +3x 3, y 3 x 3 3x + x 2 +4x 3 vilket kan skrivas som F (x,x 2,x 3 )=(x +2x 3, 2x +3x 3, 3x + x 2 +4x 3 ). Exempel 5. (Tentatal: mer realistiskt svåra varianten) Följande är en typ av tal som är storsäljare i tentabranschen. Givet en lineär transformation F sådan att följande är känt. F (, 0, 0) = (, 2, 3) F (,, 0) = (0, 0, ) F (,, ) = (2, 3, 4) Bestäm F fullständigt! Lösning: Vi löser den på två olika sätt. Sätt som vanligt e =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0) och e 3 =(0, 0, ). De tre vektorer vars bilder under F vi känner till, ser ut som (, 0, 0) = e, (,, 0) = e + e 2, (,, ) = e + e 2 + e 3. Utnyttjar vi nu lineariteten och den information vi har om F får vi att (, 2, 3) = F (, 0, 0) = F (e ), (0, 0, ) = F (,, 0) = F (e + e 2 )=F (e )+F (e 2 ), (2, 3, 4) = F (,, ) = F (e + e 2 + e 3 )=F (e )+F (e 2 )+F (e 3 ). Men då vet vi ju för det första att F (e )=(, 2, 3), vilket följer från den första ekvationen, och sedan, från den andra och tredje ekvationen, att och slutligen F (e 2 )=(F (e )+F (e 2 )) F (e )=(0, 0, ) (, 2, 3) = (, 2, 2), F (e 3 )=(F (e )+F (e 2 )+F (e 3 )) (F (e )+F (e 2 )) = (2, 3, 4) (0, 0, ) = (2, 3, 3).

185 82 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Därmed vet vi koordinaterna för bilder av samtliga basvektorer, [F (e )] e, [F (e 2 )] e och [F (e 3 )] e, och kan helt sonika skriva upp F :s matris. Den är 2 A = och det innebär att med (y,y 2,y 3 )=F(x,x 2,x 3 ) är y y 2 = A x x 2 = x x 2 +2x 3 2x 2x 2 +3x 3, y 3 x 3 3x 2x 2 +3x 3 och alltså är F (x,x 2,x 3 )=(x x 2 +2x 3, 2x 2x 2 +3x 3, 3x 2x 2 +3x 3 ). Men hallå, hur ska jag göra om vektorerna inte har dessa överdrivet enkla uttryck i basvektorerna? Snällhet är väl inte livets normalsituation, men då kan man göra så här. Vi löser samma exempel, men nu med en metod som alltid fungerar, givet att det faktiskt finns en enda (alltså entydig) lösning F. Vi tillämpar den genialiska grekiska metod, som går ut på att man ska antaga att man redan har löst problemet, och sedan resonera baklänges från det. (Metoden kallas analys förresten... så vi löser det här lineär algebraproblemet med analys...) Antag alltså att vi redan har hittat A, som är F :s matris. Vad vet vi då? Hur ska vi få håll på A? Jo, matrisen A kodar ju om sambandet y = A x, x 2 x 3 y 2 y 3 mellan en vektors koordinater x (i kolonnmatrisform) och koordinaterna y av dess bild (också i kolonnmatrisform) under F och tillämpar vi detta på de tre värden vi känner till så får vi följande: 2 = A 0, 0 0 = A, 2 3 = A Tänk nu efter och rita diagram och se att vi kan slå ihop detta till följande matrisekvation vitsen är att A gånger en kolonn är en kolonn... : = A x 2 x 3 y 2 y 3

186 2. MATRISFRAMSTÄLLNING AV EN LINEÄR AVBILDNING VILKEN SOM HELST 83 Och hur man löser sådana matrisekvationer för att få A vet vi precis det är bara att hitta en lämplig invers matris, och multiplicera med den (på rätt sida): A = = = och däremellan räknades inversen till matrisen ut till En snabb koll visar att detta gav samma resultat som den föregående metoden vilket alltid är lika djupt tillfredsställande. Exempel 6. (Diagonalmatriser) Givet den lineära transformationen F som bara multiplicerar varje vektor med 3. Vad är dess matris? Vi vet alltså att F (v) =3v. Vi ser att vilket innebär att dess matris är F (, 0, 0) = (3, 0, 0) F (0,, 0) = (0, 3, 0) F (0, 0, ) = (0, 0, 3) A = Sambandet mellan koordinater är förstås bara att man multiplicerar koordinaterna med 3. Såhär härligt komplicerat kan vi nu beskriva detta (vi tar med det som en övning huvudsakligen i konsten att använda terminologiskt snömos, men också för att terminologin ska sitta lite bättre senare när vi kommer till basbyte och det blir vad soldathandboken antagligen hade kallat terminologiskt skarpt läge.) [F (v)] e = y y 2 = 3x 3x 2 = x x 2 = A[v] e y 3 3x x 3 Speciellt ser vi att identitetsavbildningen Id(v) =v har enhetsmatrisen som matris, ett faktum som vi återkommer till. 2.. Med en godtycklig bas. Antag nu att vi har en bas b =(b, b 2, b 3 )för R 3, som inte är standardbasen. I tillämpningar se till exempel nedan hur man analyserar rotation är ofta en annan bas än den vanliga bättre. Vi har redan gått igenom basbyte ikap6.3,ochhär ger vi bara en snabb repetition och ett minnestrick.

187 84 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Varje vektor v kan beskrivas som en lineärkombination med vissa koordinater. Vi beskriver detta som att [v] b = x, v = x b + x 2 b 2 + x 3 b 3. (3) vilket utläses som vektorn v:s koordinatmatris. Det fiffiga med koordinater är att de precis, exakt och unikt beskriver vektorn givet att vi vet vilken bas vi använder. För att komma ihåg hur ekvation (3) ser ut kan vi lite fuskaktigt införa en radmatris b vars element är vektorer inte tal, men som multipliceras med reella tal likt en matris: v = x b + x 2 b 2 + x 3 b 3 =(b b 2 b 3 ) x = b[v] b. (4) Nyttan med detta sätt att skriva är att det ska göra det enklare att förstå och därmed komma ihåg formlerna för basbyte. Men det är bara frågan om samma gamla basbytesmatris som infördes i Sats 5 i kapitel 6. En lineär avbildning F tar förstås v till F (v). Bägge dessa vektorer beskrivs med koordinater, och vi kan fråga oss efter sambandet mellan dessa beskrivningar. Föga förvånande är det ordagrant detsamma som för standardbasen sambandet sker med matriser och argumentet är precis detsamma som tidigare. Det enda som man behöver göra är att överallt byta e mot b. Istället för att upprepa oss (än mer än vad vi redan gör) och ge dessa likadana bevis, ger vi några exempel efter satsen. Men var redan nu varnad att vilken matris som svarar mot en lineär transformation beror på basen. Enochsamma lineära transformation har i olika baser olika matriser. x 2 x 3 Sats 4. i) Givet en 3 3-matris A så finns det en lineär avbildning F A : R 3 R 3 definierad av [F A (v)] b = A[v] b. i) Om F är en lineär avbildning R 3 R 3 finns det en unik matris A, sådan att [F (v)] b = A[v] b. Några exempel skingrar kanske dimmorna. Exempel 7. Vi har följande bas i rummet b =(,, ), b 2 =(,, 0), b 3 =(, 0, 0), och dessutom är matrisen A = given. Enligt satsen ovan finns det en lineär transformation F A som svarar mot denna matris, i basen b. Vad är nu F A (0, 2, 32)? x 2 x 3

188 2. MATRISFRAMSTÄLLNING AV EN LINEÄR AVBILDNING VILKEN SOM HELST 85 Enligt definitionen i satsen tar F A vektorn v med koordinaterna [v] b = vektorn F A (v) med koordinaterna [F A (v)] b = y y 2 := x x y 3 x 3 x till x 2 x 3 Men detta sker när vektorerna uttrycks med sina koordinater i b-basen, så för att lösa uppgiften måste vi först ta reda på vilka koordinater i b-basen som v =(0, 2, 32) har. Gör vi detta på enklast möjliga sätt ska vi alltså lösa (0, 2, 32) = x b + x 2 b 2 + x 3 b 3 =(x + x 2 + x 3,x + x 2,x ), eller ekvationssystemet x + x 2 + x 3 =0 x + x 2 =2 x =32 Vi räknar lätt ut att lösningen till systemet är x =32, x 2 =,x 3 = och med en del mer jobb sedan att A 32 = att Då har vi alltså räknat fram bildvektorn F A (v):s koordinater i b-basen, och vi har fått F A (v) = 23b +7b 2 +37b 3. (Vi kan uttrycka högersidan här i standardbasen och får då som förväntat, eftersom baserna är olika ett helt annat uttryck: F A (v) =(2, 6, 23)) Vi såg indirekt från detta exempel att samma lineära avbildning kan ha och oftast har olika matriser i olika baser. Man kan då fråga efter ett systematiskt samband i stil med det samband mellan koordinater som vi tidigare sett. Följande exempel visar hur sambandet ser ut. Exempel 8. Vi har vektorerna b =(2, 3, ), b 2 =(, 0, ), b 3 =(,, ). De utgör en bas t ex därför att determinanten av matrisen B med dessa basvektorer som kolonner är skild från noll: det =9

189 86 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Antag nu att vi har en lineär avbildning F som i denna bas svarar mot en matris som vi kallar [F ] b.för att vara konkreta (och rätt räknemässigt) loja kan vi tänka på den som , och intrycket vi vill ge är att detta är en väldigt enkel matris, utan något mer komplicerat själsliv, ett slags sommarlovs- och shampooreklammatris. Och det är förstås sant i denna bas. Men i andra baser... Problemet är alltså att se vad matrisen för F är i en annan bas, t ex i standardbasen. Den matrisen kallar vi förstås om läsaren har knäckt koden [F ] e. Låt oss lägga allt vi kan om situationen på bordet i form av ekvationer och se vad vi kan få ut. Vi har en vektor v. Den har koordinater, dels i den ena, dels i den andra basen. Som i (4) kan vi skriva detta som och (för samma vektor v) v = b[v] b =(b b 2 b 3 ) x, v = e[v] e =(e e 2 e 3 ) x 2 x 3 x x 2 x 3 (Här är e =(, 0, 0), e 2 =(0,, 0) och e 3 =(0, 0, ).) Sambandet mellan dessa två uppsättningar koordinater vet vi. Inför basbytesmatrisen B, som uttrycker hur basvektorerna b, b 2, b 3 uttrycks i e-vektorerna. (se Sats 5 kapitel 6.3) (b b 2 b 3 )=(e e 2 e 3 ) = eb Notera hur första kolonnen i basbytesmatrisen här precis är koordinaterna( i e-basen) till första basvektorn b =(2, 3, ), o s v. Basbytesmatrisen är (se Sats 5 kapitel 6.3) förstås den matris som ger sambandet mellan koordinater. Det kan vi komma ihåg så här: Stoppa in uttrycket för b-basen från den tredje ekvationen i den första ekvationens uttryck för v och jämför med den andra ekvationens uttryck för samma vektor. v =(b b 2 b 3 ) x x 2 =(e e 2 e 3 ) x x 2 =(e e 2 e 3 ) x x 2. x 3 Ur detta får vi följande samband mellan koordinater:. x 3 x 3

190 2. MATRISFRAMSTÄLLNING AV EN LINEÄR AVBILDNING VILKEN SOM HELST 87 eller med vårt tjusiga beteckningssätt x x 2 = x 3 x x 2 x 3, [v] e = B[v] b. (5) Allt detta hade vi gjort tidigare, och vi har bara med det här som repetition. Nu till F. Vi har två matriser till F i de två baserna: [F (v)] e =[F ] e [v] e [F (v)] b =[F ] b [v] b Utnyttja nu dessutom att (5) också ger sambandet mellan koordinaterna i de två baserna för F (v), och att vi alltså har: Men vi hade också och alltså har vi [F (v)] e = B[F (v)] b = B[F ] b [v] b (6) [F (v)] e =[F ] e [v] e =[F ] e B[v] b, B[F ] b [v] b =[F ] e B[v] b. Detta ska vara sant för alla vektorer v, och därav följer(se följande övning) att (En basbytesmatris är ju alltid inverterbar.) B[F ] b =[F ] e B B[F ] b B =[F ] e (7) Vi har löst problemet! Så när som på att vi måste räkna ut resultatet i vårt konkreta fall: [F ] e = B[F ] b B = Vi använde följande resultat: Övning. Antag att A och B är 3 3-matriser. Visa följande: i) Om C = 0 och AC = BC, så behöver inte A = B.(Du ska alltså hitta två 0 matriser A B så att AC = BC) ii) Om C är en fix 3 kolonnmatris, vilken som helst, och AC = BC, så behöver inte A = B.(Du ska alltså hitta två matriser A B så att AC = BC)

191 88 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR iii) Slutligen visa att om AC = BC, för alla 3 kolonnmatriser, så gäller A = B(Ledning: titta på kolonnmatriserna som hör till standardbasen.) Räkningarna i exemplet ovan var helt generella, inte knutna till de konkreta matriserna eller ens till vilka baser vi hade, så därför har vi ett bevis för följande sats. Sats 5. Givet två baser b, b 2, b 3 och c, c 2, c 3. Det finns då en basbytesmatris B, från basen b till basen c (vars kolonner består av koordinaterna för b-vektorerna i c-basen). Om F är en lineär transformation så har den i respektive bas matriserna [F ] b och [F ] c. Sambandet mellan dessa två matriser ges av [F ] c = B[F ] b B Exempel 9. I standardbasen har den lineära transformationen F matrisen Vilken matris har F i basen b =(, 0, 2), b 2 =(,, ), b 3 =(0, 0, )? Lösning: Förutom basen b är standardbasen e involverad här. Vi vet F :s matris i standardbasen, [F ] e samt basbytesmatrisen som uttrycker b-basen i e-basen kolonnerna är bara koordinaterna till b-vektorerna : B = Enligt satsen vet vi då att [F ] e = B[F ] b B, men, hallå, det är ju [F ] b vi letar efter, inte [F ] e?! Men det fixar sig, vi kan lösa ut genom att multiplicera med B (från vänster OBS!), och B (från höger OBS!) B [F ] e B = B B[F ] b B B =[F ] b. Det ger oss alltså en formel till för basbyte och ytterligare möjligheter att komma ihåg allting fel... Hur som, i vårt fall, får vi [F ] b = B [F ] e B = = Exempel 0. Det finns några (men väldigt få) lineära transformationer som har samma matriser i alla baser. Tag t ex identitetstransformationen Id(x) =x. Om b, b 2, b 3 är basen så är Id(b )= b +0 b 2 +0 b 3, o s v. Eftersom koordinaterna för bilderna av de olika basvektorerna under den lineära transformationen ger transformationens matris så får vi att matrisen som hör till identitetsavbildningen är enhetsmatrisen E. Generellare,

192 3. GEOMETRISKA EXEMPEL På LINEÄRA AVBILDNINGAR 89 den lineära transformation som består av att vi multiplicerar vektorer med λ R, har också samma egenskap av att dess matris är densamma i alla baser. Eftersom λ(b )= λ b +0 b 2 +0 b 3,såär dess matris oavsett basen en diagonalmatris med λ på diagonalen. Man kan visa att dessa är de enda. 3. Geometriska exempel på lineära avbildningar 3.. Projektion. Antag att det är en solig dag. Ett flygplan flyger lågt över ett slättlandskap, så lågt att man ser skuggan av planet fara snabbt över marken. Givet att man vet längs vilken linje flygplanet flyger och solens position, hur ska man räkna ut den bana skuggan följer? Är det överhuvudtaget en rät linje? Om läsaren tycker detta är problem som möjligtvis skulle intressera tjuren Ferdinand, så kan man förvandla det fredliga Thailandsplanet till ett bombplan och fråga: hur designar man en app eller ett program som talar om var eventuella bomber hamnar? 3... Projektion på ett plan. Ett enklare och fredligare problemär följande. Antag att Π är ett plan genom origo, i ett ON-system, och att planets normal är n.dåkanvidefiniera den vinkelräta projektionen Proj Π (v) avenvektorv på planet, vilket vi redan tidigare visade är en lineär avbildning. Enligt definitionen ska alltså den vinkelräta projektionen w = Proj Π (v) avv uppfylla två villkor, som faktiskt bestämmer den entydigt, nämligen att om vi skriver (se figuren) v = w +(v w). så gäller att i) w ligger i (är parallell med) planet, och ii) v w är parallell med normalen till planet. n v v w w Π

193 90 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Vi kan översätta detta till följande villkor. Eftersom w ligger i planet så är den därför vinkelrät mot planets normal. Det kan uttryckas som att skalärprodukten av w och planets normal är 0. Det är det första villkoret nedan. i) n w =0 ii) v w = tn, för något t R Att v w ska vara parallell med normalen n, till planet, innebär ju att den är en multipel av normalen, och det är det andra villkoret. Nu ska vi bestämma t först genom att ta skalärprodukten av den andra ekvationen med n: n (v w) =n (tn) n v n w = n v = tn n t = n v n n. Kunskapen om t bestämmer w = v (v w) =v tn. Alltså har vi: Sats 6. Den vinkelräta projektionen Proj Π (v) av en vektor v på planet Π med normalvektorn n är Proj Π (v) =v n v n. (8) n n Dags att bli fysiska med ett exempel. Den stora poängen med detta exempel är att det visar hur man ska få fram matrisen till en godtycklig projektion. Exempel. (ON-system) Låt planet Π vara givet av ekvationen x +2x 2 +3x 3 =0. Om v =(x,x 2,x 3 ), vad är koordinaterna för Proj Π (v)? Beskriv sambandet på matrisform. Lösning: Vi har att normalen till planet är (, 2, 3), sån n =+4+9=4och n v = x +2x 2 +3x 3. Alltså är Proj Π (v) =(x,x 2,x 3 ) x +2x 2 +3x 3 (, 2, 3) = 4 (x x +2x 2 +3x 3,x 2 2 x +2x 2 +3x 3,x 3 3 x +2x 2 +3x 3 )= (3x 2x 2 3x 3, 2x +0x 2 6x 3, 3x 6x 2 +5x 3 ). Detta samband kan beskrivas på matrisform som y = x y 2 y x 2 x 3

194 3. GEOMETRISKA EXEMPEL På LINEÄRA AVBILDNINGAR 9 Exemplet får oss att återigen inse att projektion på plan genom origo är en lineär avbildning från R 3 till R 2,eftersomdenkanbeskrivassomenproduktmedenmatris(se Sats ). Det kan vi också se direkt, från det uttryck vi räknade fram i föregående sats. Sats 7. Antag att Π är ett plan i R 3. Avbildningen är lineär. v Proj Π (v), Bevis: Vi visar bara additiviteten. Enligt formel 8 har vi ett uttryck för Proj Π (v + w) =(v + w) n (v + w) n = v + w ( n v n n n n + n w n n )n = = v n v n n n + w n w n n n = Proj Π(v)+Proj Π (w). Vi ser alltså att additiviteten följer av additiviteten hos skalärprodukten. På samma sätt bevisas lineariteten, att Proj Π (λw) =λp roj Π (w) somenkonsekvensavmotsvarande egenskap hos skalärprodukten Spegling. Matematiker menar med spegling avbildningen av en vektor i den verkliga världen genom spegeln in i spegelvärlden på baksidan av spegeln. Se bilden nedan. Matematiker rör sig alltså lika nördaktigt hemvant in i spegelvärlden som i den riktiga världen, till skillnad från vanliga människor som hindras av glasytan. P v Π O Proj Π(v) T S Π(v) Q Låt S Π (v) betecknaspeglingenavvektorv iplanetπ. Frånbildenär det klart att OP har spegelbilden S Π (OP) =OQ och att PQ är vinkelrät mot planet Π och därför parallell med normalen n. Speglingenbevararlängder och vinklar (när vi speglar i plan, som här, men förstås inte när speglingarna är buktiga som på lustiga huset. Så roligt ska vi inte ha. Inte nu i alla fall.) Alltså är trianglarna med hörn OPT respektive OQT lika stora (kongruenta), och speciellt är PQ =2 PT. Somvektorerinnebär det att PQ =2PT.

195 92 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Punkten T,där PQ skär planet, är ändpunkten för projektionen OT av OP på planet Π. Och den vet vi redan hur vi ska räkna ut! Vi startade med OP och så drog vi bort TP : OT = OP TP = v ( n v )n. DrarvinubortQP =2TP istället så får vi spegelbilden, n n vektorn OQ. Därmed har vi visat följande Sats 8. (ON-system) Spegelbilden S Π (v) av en vektor v i planet Π med normalvektorn n är S Π (v) =v 2( n v n n )n. Vi räknar ut matrisen till speglingen i det plan som vi nyss studerade projektionen på. Exempel 2. (ON-system) Låt planet Π vara givet av ekvationen x +2x 2 +3x 3 =0. Om v =(x,x 2,x 3 ), vad är koordinaterna för S Π (v)? Beskriv sambandet på matrisform. Vi har att normalen till planet är (, 2, 3), sån n =+4+9=4och n v = x +2x 2 +3y 3. Alltså är S Π (v) =(x,x 2,x 3 ) 2( x +2x 2 +3y 3 )(, 2, 3) = 4 (x 2 x +2x 2 +3x 3,x 2 4 x +2x 2 +3x 3,x 3 6 x +2x 2 +3x 3 )= (2x 4x 2 6x 3, 4x +6x 2 2x 3, 6x 2x 2 4x 3 ). Detta samband kan beskrivas på matrisform som y = x y 2 y x 2 x Rotation. Om inte läsaren redan har tänkt tanken att 3, som i R 3,ikapitlets text är speciellt, kanske för speciellt, så är det dags att göra det nu. Varför skulle inte 3 kunna vara 2? I den meningen att vi tittar på avbildningar R 2 R 2,ochbeskriverdem med matriser som vi har gjort nyss? (Det är förstås så att vi också kan ersätta 3 med 4, men så stora tal som 4 och bortom är det bäst vi väntar med tills nästa kurs). Rotationer kring en punkt i planet är ett bra exempel. Låt oss nu hålla i huvudet den karismatiske folkskolläraren i Slättåkra, Pär Bartilssons maxim Matematik är det enda skolämne där man verkligen ska vara lat, ett förföriskt yttrande, som tyvärr visade sig vara huvudsakligen helt fel, men som dessförinnan hann påverka framtidsvalet för vissa av denna skrifts författare på ett avgörande sätt.

196 3. GEOMETRISKA EXEMPEL På LINEÄRA AVBILDNINGAR 93 Q v P O θ v Q P Vi har alltså avbildningen R θ,somroterarvarjevektorv med θ radianer kring origo (se bilden ovan). Det är en avbildning R 2 R 2. Vi kan göra som nyss, och räkna ut effekten på en vektor vilken som helst v =(x, y). Det skulle folkskollärare Bartilsson tyckt varit osmart, en bokstavlig idoghet snarare passande för naturkunskap eller gymnastik. Istället skulle han rekommenderat att man i) noterar att R θ är en lineär avbildning (se bilden nedan för R θ (u+v) =R θ (u)+r θ (v). Rita själv den andra delen, för R θ (λu) =λr θ (u)), R θ(v) R θ(u) R θ (u + v) = R θ (u)+r θ (v) v u + v θ u O samt att ii) då vet vi precis hur man får fram dess matris. Kolonnerna är ju nämligen koordinaterna av bilderna av basvektorerna e =(, 0) och e 2 =(0, ). Från bilden nedan (och

197 94 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR definitionen av cos och sin) syns det att dessa är R θ (e )=(cosθ, sin θ) ochr θ (e 2 )=( sin θ, cos θ). e 2 R θ(e 2) R θ(e ) θ θ e Det betyder att vi kan beskriva sambandet mellan ursprungsvektorns v =(x,x 2 ) koordinater och bildvektorns koordinater R θ (v) =(y,y 2 )påmatrisformsåhär. ( ) ( )( ) y cos θ sin θ x = y 2 sin θ cos θ x Rotation kring en linje. Nu kan vi gå tillbaka till tre dimensioner. Antag att vi har en linje L och vill rotera vektorer kring denna (se figuren nedan: Låt u = PQ.Låt vidare Π vara planet genom P vinkelrät mot linjen L. PunktenP är rotationen av P med vinkel θ kring L, alltsåenrotationinomplanetπ.sammahänder med punkten Q inom planet Π 2,somocksåär vinkelrät mot L. VektorP Q är alltså lika med rotationen av PQ med vinkel θ kring linjen L.). L Q P R θ(u) θ P u θ Q Π Π 2 Även detta är en lineär avbildning, som vi betecknar med R L θ. Vi ställer oss frågan: hur ska man göra för att vara lat här? Hur skulle Bartilsson löst problemet?

198 3. GEOMETRISKA EXEMPEL På LINEÄRA AVBILDNINGAR 95 En idé är att hitta en bas som förenklar problemet. Tag en vektor b som är parallell med linjen. Den förändras inte av rotationen: R L θ (b )=b.sedankanvihittaenon-bas (b 2, b 3 )för planet som är vinkelrät mot linjen. Då kommer rotationen att beskrivas i det planet som om den var en rotation i dimension 2: R L θ (x 2 b 2 + x 3 b 3 )=(x 2 cos θ x 3 sin θ)b 2 +(x 2 sin θ + x 3 cos θ)b 3 Då har vi alltså bestämt matrisen i denna bas: [Rθ L ] b = cosθ sin θ (9) 0 sinθ cos θ Sedan kan vi utnyttja basbytessatsen(sats 5) för att få fram matrisen i en annan bas. Exempel 3. Antag att vi har linjen L med riktningsvektor (,, ) genom origo. Beskriv matrisen i standardbasen för rotation θ radianer kring L. Lösning: Enligt det som sades nyss ska vi hitta en ON-bas för planet som är vinkelrätt mot L. Det planet ges av {(x, y, z) x + y + z =0}. Löser vi ekvationen (sätt z = t, y = s) så får vi lösningarna på parameterform: ( s t,s, t) =s(,, 0)+t(, 0, ). Från detta ser vi att två basvektorer för planet är f 2 =(,, 0) och f 3 =(, 0, ). Men de är inte vinkelräta, och bildar därmed absolut inte ett ON-system, vilket vi behöver. Som tur är har vi en teknik för att få fram vinkelräta vektorer: vi behåller en av dessa, till exempel f 3 och istället för f 2 tar vi helt enkelt och subtraherar från f 2 den vinkelräta projektionen på f 3 (enligt det vi gjorde i avsnittet om projektioner, eller rentav det vi gjorde i kapitel 6 Gram-Schmidts ortogonalisering): g 2 = f 2 ( f 2 f 3 f 3 f 3 )f 3 =( 2,, 2 ). De två vektorerna g 2 och f 3 är nu vinkelräta mot varandra men har inte nödvändigtvist längd. Det kan vi åstadkomma genom att normera vektorerna och vi får en ON-bas för planet vinkelrät mot L. b 2 = (,, ) 2 2 = (, 2, ), b 3 = (,, ) (, 0, ) (, 0, ) = (, 0, ), 2 som tillsammans med riktningsvektorn för linjen L, b =(,, ), utgör en bas anpassad för systemet. Nu vet vi att matrisen till Rθ L i denna bas ges av (9), och kan applicera basbytessatsen(sats 5) ovan för att få matrisen i standardsystemet. Basbytesmatrisen är och det sökta svaret är B = ,

199 96 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR B[R L θ ] b B. Vadå? Ska vi inte tillbringa ytterligare en mysig halvtimme med att räkna ut denna matris? Nej, inte just nu, ty vi har verkligen löst problemet, upp till två enkla multiplikationer och en inversion, som inte kommer att lära någon något, och svaret i explicit form kan vi enklast få genom att kila iväg till närmsta datoralgebrasystem, och vi känner oss lata idag... solen skiner. Man ska också notera att realistiska problem, typ det som vi sysslade med här, snabbt blir räknemässigt jobbiga, till skillnad från de snälla, tillrättalagda problem som vi oftast har i lineär algebraboken. Därför behöver man i verkligheten just effektiva datorer... gärna utomhus, med en drink, vid vattnet. 4. Mer om lineära avbildningar 4.. Injektiva, surjektiva och bijektiva avbildningar. Vi har i analysen sett att det är viktigt och intressant att hålla reda på en funktions värdemängd, t ex undersöka när den antar alla värden i målmängden, liksom när den är injektiv, d v s aldrig har samma värde på två olika argument. Vi påminner om definitionerna. Definition 2. En avbildning mellan två mängder F : V W är injektiv om och endast om v v 2 = F (v ) F (v 2 ) surjektiv om och endast om det till varje w W finns ett v V sådant att F (v) =w. bijektiv om och endast om den är både surjektiv och injektiv. Definitionen ovan fungerar för vilken avbildning F : R 3 R 3 som helst. Låt oss skynda oss att se att man kan förgylla livet med linearitet, eller i alla fall göra det enklare att kolla injektivitet. Sats 9. En lineär avbildning F : R 3 R 3 är injektiv om och endast om F (v) =0 v =0. Bevis: Kom ihåg att för en lineär avbildning gäller att F (0) = 0. Om F är injektiv så gäller speciellt att enda chansen att värdena av v och 0 är desamma, d v s F (v) =F (0) = 0 är när v =0.Omvänt, om villkoret i satsen är uppfyllt, så ska vi visa att F är injektiv. Antag alltså att F (v )=F (v 2 ). Då gäller 0=F (v ) F (v 2 )=F (v v 2 ). Alltså avbildas v v 2 på 0 av F,ochenligtvillkoretisatsenbetyderdetattv v 2 =0 eller att v = v 2.

200 5. SAMMANSÄTTNING OCH INVERS Bas. Antag att R 3 är rummet av vektorer i rummet och a, a 2, a 3 är tre vektorer idet.definieraenavbildningf : R 3 R 3 genom F (x,x 2,x 3 )=x a + x 2 a 2 + x 3 a 3. Följande påståenden är ett sätt att se på vad det innebär att a, a 2, a 3 är lineärt oberoende och bas. Lineärt oberoende svarar mot att F är injektiv och vi har en bas när avbildningen dessutom är surjektiv. Intuitionen med bas är att vi kan använda den för att ersätta vektorer jobbiga geometriska begrepp med snälla tripplar av tal. Vi gör det med funktionen F (eller snarare dess invers). Sats 0. För avbildningen F gäller: i) F är en lineär avbildning ii) F är injektiv precis när vektorerna a, a 2, a 3 är lineärt oberoende. iii) F är bijektiv precis när vektorerna a, a 2, a 3 är en bas. Bevis: i) Vi bevisar bara additiviteten. Antag att u =(x,x 2,x 3 )ochv =(y,y 2,y 3 ). Då är F (u + v) =(x + y )a +(x 2 + y 2 )a 2 +(x 3 + y 3 )a 3.Mendettaär samma som F (u)+f (v) =(x a + y a )+(x 2 a 2 + y 2 a 2 )+(x 3 a 3 + y 3 a 3 ). ii) Att avbildningen är injektiv betyder enligt satsen nyss precis att F (u) =0 u =0, eller med användning av F :s definition: x a + x 2 a 2 + x 3 a 3 =0 (x,x 2,x 3 )=0 x =0,x 2 =0ochx 3 =0. Det sista villkoret här är ju nu precis detsamma som att de tre vektorerna ska vara lineärt oberoende. iii)att a, a 2, a 3 är en bas innebär att vektorerna dels ska vara lineärt oberoende, och dels ska varje vektor i R 3 kunna skrivas som en lineärkombination av dem. Det sista villkoret innebär att till varje v R 3 så ska det finnas x,x 2,x 3 R så att v = x a + x 2 a 2 + x 3 a 3. Men detta är ju precis villkoret för att det ska finnas u =(x,x 2,x 3 )såattv = F (u), d vs villkoret för att F ska vara surjektiv. 5. Sammansättning och invers Om F är en lineär avbildning R 3 R 3,ochG är en annan lineär avbildning R 3 R 3, så kan vi bilda de två avbildningarnas sammansättning: v F (v) =w G(w) =G(F (v)). Denna avbildning kallas ibland G F.Detgäller alltså definitionsmässigt att (G F )(v) = G(F (v)). Observera ordningen: först tillämpar vi F på v sedan G. Gör vi tvärtom får vi en annan avbildning, (F G)(v) =F (G(v)).

201 98 8. LINEÄRA AVBILDNINGAR Sats. Antag att F och G är lineära avbildningar R 3 R 3, med matris A respektive B (i basen b). Sammansättningen G F : v G(F (v)) är en lineär avbildning med matris BA. Vi kan också formulera detta som att [(G F )] b =[(G)] b [(F )] b. Bevis: Att F har matrisen A betyder att koordinatmatrisen till F (v) är [F (v)] b = A[v] b, och på samma sätt är [G(w)] b = B[w] b.omdettasistatillämpas på w = F (v) fårvi [G(F v))] b =[G(w)] b = B[w] b = BA[v] b, vilket precis säger att sammansättningen representeras av matrisprodukten BA. Exempel 4. (Typiskt tentatal) Den lineära avbildningen F är definierad som vektorprodukten F (v) =v (, 2, ), medan G är projektionen på planet med ekvation x + x 2 =0. Vad är matrisen för sammansättningen G F (i standardbasen)? För att få fram F :s matris, kan man räkna ut F :s värde på de olika basvektorerna: så F (, 0, 0) = (0,, 2), F(0,, 0) = (, 0, ), F(0, 0, ) = ( 2,, 0), 0 2 [F ] e = För att få G:s matris tillämpar vi teorin i förra avsnittet. Ekvation (8) säger att G(v) =v n v n n n. Normalen till planet kan vi läsa av från ekvationen till n =(,, 0) och sätter vi v = (x,x 2,x 3 ) så får vi då n v = x + x 2 och n n =2,så G(v) =(x,x 2,x 3 ) ( x + x 2 )(,, 0) = 2 2 (x x 2,x 2 x, 2x 3 ). Från detta ser vi vad matrisen är, eftersom vi nämligen har 2 (x x 2,x 2 x, 2x 3 )= 0 0 x x x 3 Till slut får vi alltså att matrisen för sammansättningen är [G F ] e =[G] e [F ] e = =

202 5. SAMMANSÄTTNING OCH INVERS 99 Sats 2. Antag att G är en bijektiv lineär avbildning R 3 R 3, med matris A (i basen b). Då finns en invers avbildning G som är en lineär avbildning R 3 R 3. Dessutom är A inverterbar, och den inversa avbildningens G :s matris är A. Omvänt, om G är en lineär avbildning R 3 R 3, med inverterbar matris A så har G en invers och är alltså bijektiv. Bevis: Att en bijektiv avbildning G har en invers är klart (och diskuterat i analysdelen av kursen). Inversen definieras som v = G (w) precisnär G(v) =w. (Surjektivitetenhos G behövs för att denna definition ska ge ett resultat v för varje w och injektiviteten för att detta v ska vara entydigt.) Den inversa avbildningen är lineär, ty låt w = λ w +λ 2 w 2,ochvälj v så att G(v )= w och G(v 2 )=w 2.DetbetyderattG (w )=v och G (w 2 )=v 2. Nu har vi å ena sidan, Åandrasidanär därför G(λ v + λ 2 v 2 )=λ G(v )+λ 2 G(v 2 )=λ w + λ 2 w 2 = w. G (w) =λ v + λ 2 v 2 = λ G (w )+λ 2 G (w 2 ), och därmed är inversen en lineär transformation. Ur definitionen av den inversa transformationen är det klart att sammansättningarna G G och G G är identitetsavbildningen. Identitetsavbildningen har enhetsmatrisen som matris. Men enligt föregående sats betyder det att produkten av de två avbildningarnas matriser [G] b [G ] b =[G ] b [G] b = E. Det betyder att den inversa avbildningens matris är inversen till A =[G] b. Omvänt om A är inverterbar så kan vi definiera den lineära avbildning F som har A:s invers som matris. Sammansättningarna G F och F G har då enhetsmatrisen AA = A A = E, sommatrisochär därmed identitetsavbildningen. Det betyder att G har inversen F. Exempel 5. (Typiskt tentatal)den lineära transformationen G är given av matrisen a + 2 a +2 a +5 i standardbasen. Bestäm för vilka värden på parametern a som G har invers. Enligt satsen ovan är det frågan om att ta reda på för vilka a som matrisen är inverterbar. Det kan vi göra genom att beräkna dess determinant som är a 2 +5a. Denna är skild från noll precis när a inte är 0 eller 5. Så då är matrisen och avbildningen inverterbar. Hade någon nu bett oss(mycket snällt t ex) att beräkna inversen, så hade vi också kunnat göra det, med den vanliga tekniken, baserad på Gauss-Jordan elimination. Svaret hade då utan större

203 LINEÄRA AVBILDNINGAR möda blivit a2 +7a +4 a 5 a a 4 a +5 a 2 +5a a 0 a (Vi ser förresten också på detta uttryck, som vi ju kommer fram till utan determinanter, varför vi måste ha a 2 +5a 0för att det ska finnas en invers.) Här har vi fått den inversa matrisen, och den inversa avbildningen ges då av G (x,x 2,x 3 )= a 2 +5a a2 +7a +4 a 5 a a 4 a +5 a 0 a x 5.. Operatorer. De lineära transformationer vi har betraktat är speciella. Titta t ex på avbildningen R R 3 given genom G(t) =(t, 2t, 3t). Det är lätt att kolla att den är additiv G(t + s) =(t + s, 2(t + s), 3(t + s)) = (t, 2t, 3t)+(s, 2s, 3s) =G(t)+G(s), och ännu enklare att G(λt) = λg(t). Alltså är det en lineär transformation? Ja, men inte så som vi definierade dem, eftersom vi byggde in i definitionen att lineära transformationer var avbildningar R 3 R 3.Generelltär lineära transformationer avbildningar R n R k som bevarar addition och multiplikation med skalärer. I del 2 av denna kurs kommer vi, som vi har tjatat om, att behandla dem i denna allmänhet. Nu vill vi bara nämna detta för att läsaren inte ska minnas och sedermera tro att följande sats gäller alla lineära transformationer. Följande starka sats gäller bara om vi har lineära transformationer från R k till sig själv. Sådanalineära transformationer kallar man operatorer. Sats 3. Antag att F är en lineär transformation från R 3 till R 3.Följande påståenden är ekvivalenta: i) F är bijektiv ii) F är surjektiv iii) F är injektiv iv) Matrisen [F ] e till F är inverterbar. v) Matrisen [F ] b till F är inverterbar i vilken bas bsom helst. vi) det[f ] e 0 vii) det[f ] b 0i vilken bas bsom helst x 2 x 3 Bevis: Vi har sett(sats 2) att i), iv) och v) är ekvivalenta. Vidare så är inverterbarhet hos en matris ekvivalent med att dess determinant är skild från noll. Det ger att vi) och vii) är ekvivalenta med i), iv) och v). Om nu F är bijektiv är den förstås både surjektiv och injektiv. Det säger att i) = ii) och i) = iii). Omvänt, antag nu först att F är surjektiv. Då har vi alltså att för varje vektor w så kan vi hitta en vektor v så att w = F (v). Översatt till matriser säger detta,

204 6. MEN SERIÖST, om A =[F ] e är F :s matris, att det för varje Z är möjligt att hitta X så att Z = z = A x = AX. z 2 z 3 Speciellt kan vi då göra som i ett tidigare exempel (Exempel 7 i kapitel 4.2),där det diskuteras hur man hittar en invers till en matris, och lösa de tre ekvationerna x 2 x 3 AX = 0, AX 2 = 0 AX 3 = Om nu B är matrisen vars kolonner är X,X 2,X 3 så gäller då att AB = E. Alltså är A inverterbar. Detta visar att ii) = iv). Injektiviteten går också att uttrycka i termer av ekvationssystem. Den säger att F (v) = 0medför att v = 0. Uttryckt i dessa vektorers koordinater sägerdettaatt0 = AX bara har den triviala lösningen X = 0.Menettsådant ekvationsssystem har en koefficientmatris som är inverterbar(sats i kapitel 4.3) Alltså gäller också att iii) = i). Detta avslutar beviset! Vi har visat att alla påståendena är sanna precis samtidigt. Exempel 6. Nu ska vi titta på en lineär avbildning F a som varierar, beroende av en parameter a R. Problemet är att avgöra när (alltså för vilka a) transformationen F a är injektiv, surjektiv eller bijektiv. Transformationen är beskriven genom sin matris, alltså dess verkan på koordinater. Om v =(x,x 2,x 3 ) så är bildvektorns koordinater F a (v) =(y,y 2,y 3 ),där sambandet mellan koordinater ges av följande matrisekvation. y y 2 = a7 +cos(e 7a ) 57a 0 a 2 x x a y 3 En kallblodig läsare, med mer än normalt starka nerver, har redan hunnit noterat att detta är en övre triangulär matris, med snäll diagonal och nåt som säkert är avsett att vara chockerande komplicerat ovanför den. Frågan var när F a är injektiv, surjektiv eller bijektiv. Vi vet att detta är detsamma som att matrisen till avbildningen ska ha determinant skild från noll. Men determinanten av matrisen är a(a 2 ), som är skild från noll precis när a 0, ±. x 3 6. Men seriöst, varför förekommer lineära avbildningar överallt, om de nu verkligen gör det? Vi vill motivera att lineära avbildningar, som studeras i detta avsnitt verkligen är grundläggande och i någon mening de enklaste av alla avbildningar eller funktioner från R n R k.itextenovanharvimestjobbatmedn = k =3,menallteorigårlikabraför n, k vilka som helst.

205 LINEÄRA AVBILDNINGAR Motivation kan ges på många olika sätt, och en del av dessa har synts i exemplen ideföregående sektionerna, men här vill vi göra detta, genom att skissa hur lineära avbildningar används för att generalisera begreppet derivata, sett som en lineär approximation till en funktion. Detta är ingenting vi kommer att säga mer om under kursen, utan tillämpningar kommer i senare kurser, men det ger alltså en slags förklaring till varför matriser och varför lineära avbildningar är ofrånkomliga i all matematisk praxis. Den läsare som blint litar på att allt vi lär ut är lika användbart som intressant och roligt kan nöja sig med att läsa definitionen av lineära avbildningar en gång till och sedan gå vidare till nästa avsnitt... Ianalyskursenharvispenderatmyckettidmedattstuderafunktioneravenreell variabel. Vi startade mycket allmänt med funktioner vars enda egenskap var att de var kontinuerliga, och sedan skaffade vi oss en arsenal av verktyg för att studera sådana allmänna funktioner. Ett sådant verktyg eller idé är derivator och tangenter, som i en formulering säger att en funktions beteende kan approximeras med en lineär funktion (i närheten av en punkt). Approximationen fungerar (oftast) bara bra just nära en punkt, så i närheten av en annan punkt får man välja en annan lineär funktion, men idén med lineära approximationer används gång på gång, både i bevis av satserna i den matematiska teorin och som ett tanke- och beräkningshjälpmedel i tillämpningar av matematik. Men de flesta funktioner man studerar beror inte bara på en enda variabel utan på många ska vi beskriva t ex vädret på jordytan behöver vi två koordinater för att beskriva vilken plats det är frågan om, och sedan beskrivs kanske vädret i form av en vektor med en koordinat som beskriver temperaturen, en för trycket, två för vindriktningen, en för vindstyrkan... Det blir en funktion R 2 R 5,ochhurskamandågeneraliserainsikten om lineära approximationer från envariabelteorin? Låt oss titta närmare på tangenter och derivator i en variabel. Vi fixerar en punkt a, och det är i närheten av den punkten vi vill ha en bra approximation. Om funktionen f är deriverbar i x = a,såsäger detta att, för alla förändringar x i x-värdet, blir motsvarande förändring i y-värdet y = f(a + x) f(a) =f (a) x + R( x), där feltermen R( x) snabbtgårmot0när x går mot 0 (se analysboken för en mer precis formulering). Poängen, dit vi vill komma, är att approximationen yf (a) x, är en riktigt bra approximation (nära punkten x = a), den bästa approximation vi kan göra med en lineär funktion i viss mening. Vad är det för typ av approximation? Tittar vi på högerledet och ställer oss frågan vilken typ av funktion detta är, och försöker få en känsla för dess snällhet, ser vi att det förstås svarar mot multiplikation med ett tal (f (a) ) x f (a) x. Varför är detta snällt? Jo t ex, för att det är en lineär funktion G( x) iföljande mening.

206 7. ÖVNINGAR 203 (För att vara riktigt äckligt överpedagogiska: givet att vi har t ex funktionen x G(x) =3x, visstär det så att och G(x + x 2 )=3(x + x 2 )=3x +3x 2 = G(x )+G(x 2 ), så alla villkor i definitionen gäller för G(x).) G(λx )=3λx = λ(3x )=λg(x ), Vår motivation för begreppet lineär avbildning i definitionen är nu framför allt hur följande definition ser ut. Den generaliserar begreppet deriverbarhet av en funktion av en variabel, till vektorvärda funktioner av flera variabler, och är ett sätt att studera sådana funktioner med hjälp av lineära approximationer. Den ges här som en liten aptitretare... Definition 3. En funktion F : R n R k sägs vara differentierbar i x = a R n om det finns en lineär transformation G : R n R k, sådan att för någon funktion R( x) sådan att lim x 0 y = F (a + x) F (a) =G( x)+r( x) R( x) )=0. x Det sista ska förstås (och tills vidare) bara kommas ihåg som att feltermen R uppfyller ett villkor som uttrycker att den går snabbt mot 0 när x går mot 0. Kontentan är att förändringen av funktionsvärdet yg( x), är approximativt givet av den lineära transformationen G. 7. Övningar (2) Låt A = och F A vara den lineära avbildning vars matris i standardbasen är A. (a) Bestäm F A (,, ). (b) Visa att F A är inverterbar och bestäm F A (x,x 2,x 3 )explicit. (3) Givet en lineär transformation F sådan att följande F (, 0, ) = (, 2, 3) F (,, 0) = (, 0, ) F (0,, ) = (2, 3, 4) är känt. Bestäm F fullständigt, d v s räkna ut F :s matris.

207 LINEÄRA AVBILDNINGAR (4) Låt w R 3. Visa att avbildningen F (v) :=v w är en lineär avbildning(du får använda satser om vektorprodukt, förstås). (a) Visa att den aldrig kan ha en invers. (b) Beräkna matrisen till den lineära transformationen F (v) :=v (,, ). (5) Beräkna matrisen till den vinkelräta projektionen på planet x +2x 2 + x 3 =0. (6) Beräkna matrisen till speglingen i planet x +2x 2 + x 3 =0. (7) S är den lineära transformation som svarar mot spegling i ett plan. I en bas b har S matrisen A. Visa att AA = E, såatta är sin egen inversa matris. (8) R θ, för θ R är den lineära transformation som svarar mot rotation θ radianer moturs. (a) Vad är R θ R η? (b) Låt A θ vara matrisen till R θ, θ R i standardbasen i planet. Visa att A θ A η = A θ+η. Visa att ur detta följer additionsreglerna för cos och sin. (9) (a) Låt F vara en lineär transformation för vilken F (,, 0) = (, 0, 0), F(0,, ) = (0,, 0) och F (, 0, ) = (0, 0, ). Visa att F är bijektiv och bestäm matrisen för F.(Ledning: inga räkningar behövs, utan det räcker att stirra på givna data.) Bestäm matrisen till F. (b) Låt G vara speglingen i planet x + y +2z =0.Bestäm G:s matris. (c) Bestäm matrisen för G F. (0) Istandardbasenhardenlineära transformationen F matrisen. Vilken matris har F ibasenb =(, 2, 3), b 2 =(,, ), b 3 =(0, 0, )?

208 KAPITEL 9 Får vi gå nu, eller? Om andragradskurvor Det finns förstås mer. Detta är ett bonuskapitel, som bara finns här för att visa glädjen i vad man kan använda matematik till. Och så förstås för att det ger så bra tentamensfrågor, men det behöver man ju inte bekymra sig om. Just nu, i alla fall. Vi lovar att återkomma till detta. Retoriska frågor är underbara. Den här t ex: Vad är en linje? Ett tänkbart svar är: Det är den kortaste vägen mellan två punkter. Ett annat: Den bana genom rummet som en partikel färdas om den inte utsätts för några krafter alls. Om den är alldeles ensam i ett flyttstädat universum, utan sol, stjärnor, utan måne. I kompendiet har vi haft flera andra delvis mer matematiska svar. Vi har pratat om ekvationer, och parameterframställningar. Det blir, om jag har räknat rätt, fyra olika möjliga definitioner (och om man konsulterar Matematikterminologi för skolan, kan man roande se att en rejäl kvalitetsdefinition, som t o m mammiga småskolebarn ska kunna känna sig trygga med, kräver begrepp som Hausdorffdimension och fraktaler, men så är ju matematiken, även ur andra aspekter mycket enklare här på universitetet än där.) Linjer kan alltså införas eller definieras på många olika sätt, fyller alltså många olika funktioner, och dyker upp i många olika fysikaliska modeller. De är naturliga objekt att studera ur flera olika aspekter. Vad vore då nästa steg, när man har smält linjer och plan, och inte längre vill låta sig nöjas med dessa, utan kräver kraftigare stimulans? Vilka kurvor ska man undersöka då? Och vilka tillämpningar finns det? En linje är ju lösningsmängden, d v s alla lösningarna (x, y) tillenekvationavtypenx + y +=0.Ettförsiktigt förslag, som utgår från denna användning av ekvationer för linjer, är att titta på kurvor som beskrivs av andragradsekvationer linjer och plan beskrivs ju av förstagradsekvationer. Några sådana kurvor känner vi ju redan till: en är cirkeln som består av alla lösningar till andragradsekvationen x 2 + y 2 =. Ett annat djärvare förslag, inspirerad av den nyss nämnda partikeln som i frånvaron av yttre krafter rör sig längs en linje, är att se vilken bana en partikel, typ jorden, som rör sig påverkad av en annan partikel, typ solen, med en kraft med vissa egenskaper, typ gravitation. Det är ett litet, men inte helt ensamt universum med två påverkade partiklar, alltså. Vilka är kurvorna i ett sådant universum? Ett tredje förslag är att skära sönder en glasstrut. 205

209 ANDRAGRADSKURVOR Märkligt nog leder alla dessa förslag till samma kurvor: ellipser, parabler och hyperbler.. Varför andragradskurvor lite historia Låt oss starta med att precisera det där med glasstrutar. Vi är inte psykopater (i alla fall inte en del av oss), utan det är (nästan) den historiskt äldsta definitionen av kägelsnitt... Kägelsnitt. Ta en glasstrut en kägla, i äldre språkbruk, eller kon och skär den med en skarp kniv, i ett plan. Skär vi vinkelrät mot glasstrutens centralaxel får vi ett snitt som ser ut som en cirkelskiva. Ett snett snitt ger ett område begränsat av en deformerad cirkel, som vi kallar ellipsformad. Ettväldigt snett snitt ger ett hyperbelformat område. Däremellan, om snittet skär glasstrutens centralaxel under precis samma vinkel som centralaxeln bildar med strutens yttre skal, så ger snittet ett parabelformat område. Dessa snitt kallas för kägelsnitt(eller direktöversatt från engelskan koniska sektioner). En del av illustrationerna nedan är f öhämtade från internet, och använder därför engelsk terminologi. Figur. Kägelsnitt Eller, mindre våldsamt och mindre komplicerat, tag en ficklampa och lys med den på en vägg. När vi pekar den rakt på väggen får vi ett cirkelformat ljust område, lutar vi ficklampan lite får vi ett ellipsformat som sedan när vi lutar alltmer, övergår till ett parabelformat och slutligen till hyperbelformat område. Väggen skär den kon av ljus som ficklampan sprider. Visst är det långtifrån intuitivt och rätt udda att dessa koniska sektioner ska svara mot kurvor som är andragradsekvationer, och i någon mening är de näst mest komplicerade

210 . VARFÖR ANDRAGRADSKURVOR LITE HISTORIA 207 av kurvor? Men mest fascinerande är att dessa kurvor har så mycket både osannolikt speciella, men också användbara egenskaper. Låt oss välja ut några få och beskriva dem, innan vi går över till hur vi ska beskriva kurvorna med hjälp av ekvationer. Egenskaperna har med ljus och radio, ljud och gravitation att göra..2. Ellipser. Detta är kurvorna du ska använda om du är en grym och despotisk tyrann som vill avlyssna dina undersåtar, men göra detta på ett ekologiskt sätt. Men först hur kan man rita upp en ellips? I punkterna F och F2 i figuren nedan har man fäst ett snöre, som sedan sträcks med en penna. När man flyttar pennan runt, hela tiden med snöret sträckt, får man en ellips. Figur 2. Konstruktion av en ellips Matematiskt kan vi uttrycka detta som att punkter P på ellipsen är precis de punkter som uppfyller att PF + PF2 = L, (där L är längden på snöret). Detta är ett snabbt och rätt effektivt sätt att konstruera en ellips, men här är en intressantare egenskap. Punkterna F ochf 2ifigurenkallasbrännpunkter. Det beror på följande underbara egenskap. Antag att vi i figuren nedan har tänt ett ljus i den ena av brännpunkterna, samt försilvrat insidan av ellipsen(lite gotiskt det där). Då studsar ljusstrålarna mot ellipsens insida och går därefter allihop genom den andra brännpunkten, som alltså blir mycket ljus. Denna egenskap har utnyttjats i Westminster Abbey. Där finns ett whispering gallery som är ett stort rum med väggar som är ellipsformade. Står man vid den ena

211 ANDRAGRADSKURVOR brännpunkten kan man avlyssna ett samtal som förs i den andra brännpunkten, trots att detta inte hörs av andra som står mycket närmare. Ljudet studsar på precis samma sätt som ljuset nyss. Observera hur detta bygge sparar på ström och dyrbar utrustning, i sann mening något att stolt ta upp under rubriken miljöarbete i säg MI5:s (Bonds gamla arbetsgivare) årsrapport. Figur 3. På insidan försilvrad ellips från ett 500-tals träsnitt.3. Hyperbler. Detta är kurvan för dig som snabbt vill lämna solsystemet. Ett av förslagen för hur man skulle kunna skapa mer komplicerade kurvor i inledningen var att titta på en partikel och solen. Detta var den första riktigt viktiga tillämpningen av kägelsnitt, och ledde till den moderna civilisationen, om man vill göra det till en bra historia. Så här gick det till. Tycho Brahe (en dansk på Ven, numera svensk ö, 500-talet) skaffade omfattande astronomiska mätdata, innan den utsugna bondebefolkningen reste sig inte en kvadrant till! och slog sönder alla hans instrument. Han flydde vagnar fulla av astronomiska observationer till Prag där kejsar Rudolf II gav honom arbete och alla, främst Tycho Brahes släktingar, försökte lägga beslag på hans mätningar. Man förutspådde att de skulle ha stor ekonomisk betydelse, eftersom de skulle leda till en vetenskaplig astrologi. Tänk om man verkligen kunde beräkna vilken den rätta dagen är för att gå upp i en muntlig tenta! Eller snarare när man ska så vete... Tycho Brahes assistent Johannes Kepler ung, mörklockig lyckades tänk nu vilda biljakter i Prags smala gränder få anteckningarna med sig, och nu kommer kägelsnitten insågsedanheltgenialisktattmarsbanakringsolenverkligenvarenellips,inteen komplicerad modell med 72 små cirklar som snurrade i otakt, som alla dittils ansett och räknat (rätt exakt) på. Verkligen ett praktexempel på att tänka utanför boxen (det låter förstås fånigt i efterhand men är helt sant, även att Kepler faktiskt var riktigt genialt enastående!)

212 . VARFÖR ANDRAGRADSKURVOR LITE HISTORIA 209 Att planetbanorna var ellipser av olika storlekar accepterades (utom av katolska kyrkan, som förbjöd Keplers böcker fram till 800-talet i alla katolska länder, vilket gjorde att nervösa matematiker, typ Descartes, flyttade till Holland en plats där man f ö ungefär samtidigt uppfann den moderna bekväma fåtöljen.) I mitten av 600-talet åtog sig Isaac Newton projektet att utifrån detta faktum (planeters banor, inte fåtöljen) räkna ut hur krafterna i hela universum kunde se ut. Vissa människor är väldigt främmande för blygsamhet. Han kom fram till den moderna gravitationslagen, och hans uträkningar bekräftades av mera experiment och plötsligt kunde man förutsäga månens rörelser, tidvattnet, och inte minst kanonprojektilers banor. De engagerade blev lite smått tagna av detta genombrott: ur ett enda litet observerat faktum beskrev Newton universums struktur, lika mycket för äpplen som trillar som för stjärnor och planeters rotation kring dem. Nu är vi ju mer vana vid att se sådana genombrott, inte minst på långfilm, men då var det stort. Newtons ideér inkluderade förresten också derivator, integraler och det mesta annat i analys, och det utbröt en allt mer febril aktivitet kan man inte göra vad Newton gjorde för astronomin med allting annat? Så småningom ledde detta till fler genombrott t ex (under talet) de matematiska teorierna för magnetism och elektricitet (Maxwell), för ekonomin (Wargentin i Sverige, t ex), och inte minst den solitt matematiska teorin för engelska adelsätters undergång (Galton), och ett alltmer stegrat behov av matematiker, och inte minst dagens ljusa jobbmarknad, för sådana som kan skilja en ellips från en hyperbel... Vad Newton visade var bland annat följande. Om man har en kropp S tillexempel en sol som är placerad i origo i ett rum och som enbart genom Newtons gravitationslag påverkar en annan kropp K iettför övrigt tomt rum, så kommer K att röra sig i en bana som är ett kägelsnitt. Banan kan t ex vara en ellips som för Mars, med solen i den ena brännpunkten, men det kan också vara en hyperbel. Det innebär att kroppen kommer in i solsystemet, tar en vända runt solen och sedan sticker, för alltid. Kometer är av motsvarande två slag, sådana som som Halleys komet som följer en elliptisk bana (tillbaka vart 75:e år, och Edmund Halley var just den som frågade Newton om hur världen skulle se ut om alla kroppar rörde sig längs ellipser och därmed väckte Newtons intresse för frågan), och de som aldrig kommer tillbaka. I figuren nedan syns olika banor..4. Parabler. Detta är kurvan du ska använda för att fånga solsken till en vattenkokare på ökenresan (parbelbaserade sådana används faktiskt fortfarande dagligen i Tibet), alternativt kan du köpa en till tv:n i närmsta shoppingcenter (och titta på ett lämpligt ökenreportage). Parabeln fås, betraktad psykopatiskt som kägelsnitt, precis när knivensom skäroffrets glasstrut är parallell med ett tangentplan.

213 20 9. ANDRAGRADSKURVOR Figur 4. Kroppars möjliga banor kring solen Figur 5. Parabel som kägelsnitt Egenskapen som gör parabeln så användbar är den som syns i denna figur: Låt oss återigen tänka att vi har försilvrat insidan av parabeln. Sol- eller radiostrålar, som kan anses som parallella, eftersom solen är så långt borta, kommer in ovanifrån och träffar parabeln i P :na. Därefter reflekteras de och färdas mot brännpunkten F.Snurrar man parabeln runt axeln FV så får man en paraboloid. Om man vill göra en ugn, placerar man det man vill steka eller smälta i F detär fullt möjligt att komma upp i flera tusen graders hetta (paraboloida kok-anordningar i Tibet). Paraboloidantennen förstärker en svag radio- och tvsignal då är mottagaren placerad i F.Slutligenvillmananvända den för att prata med en vän genom en stojig folksamling, så kan man sätta varsin paraboloidantenn bakom huvudet det kan man pröva på TomTits i Södertälje.

214 2. ANDRAGRADSKURVOR 2 Figur 6. Parabolisk spegel 2. Andragradskurvor Nu ska vi äntligen börja arbeta. En linje i planet var lösningarna (x, y) tillenekvation Ax + By + C =0. Koefficienterna A, B, C bestämmer linjen. Här är nästa fall: Definition. En andragradskurva är mängden av alla lösningar (x, y) till en ekvation Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F =0. Exempel. Här är andragradskurvan x 2 + xy +0.5y 2 +3x +0.y 3=0. Vi ser (i figuren nedan) att det är en ellips, men att den har flyttats lite bort från origo, och vridits, i förhållande till de ellipser vi sett. Vi kan titta på fler exempel och efter ett tag är det kanske naturligt att börja fundera på följande, rätt intressanta problem, (men lite suddigt formulerat): Antag att vi har en andragradskurva. Hur kan den se ut? Vilka olika former kan den ha?