Postadress: Internet: Matematisk statistik Matematiska institutionen Stockholms universitet Stockholm Sverige.

Transkript

1 Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ê ÔÖÓ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÐ Ú Ö Ä Ö ÓÒ Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½

2 ostadress: Matematis statisti Matematisa institutionen Stocholms universitet Stocholm Sverige Internet:

3 Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø Ü Ñ Ò Ö Ø ¾¼½ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ø º Ùº»Ñ Ø Ø Ø Ê ÔÖÓ Ð Ö Ö Ö Ò ÓÐ Ú Ö Ä Ö ÓÒ Ñ Ö ¾¼½ Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò ËØÙ Ò Ò Ð Ö Ñ Ð Ø Ò ØØ Ø Ö Ñ ØØ ÐÐ Ö Ö ÑØØ Ö ØØ ÑØ Ö Ò Ú Ò Ö Ö Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ð Ú ÓÐ Ø Ö Ö Ò Ú Ö Ñ Øº Ê Ò Ö ØØ Ö Ö Ò ÓÐ Ö¹ Ö Ò Ú Ö Ñ Ø Ö ØØ Ò ØÓØ Ð Ó ØÒ Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÖÚÒØ º Ò Ò Ö Ö Ö Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ò ØÓØ Ð Ó ØÒ Ò ÚÒØ ÚÖ ÑØ Ú Ö Ø ÓÒ º Ö ØØ ÒÒ Ö Ö ÐÒ Ò Ö Ò ØÓØ Ð Ó ØÒ Ò Ø º Å ÐÔ Ú Ø Ø Ø ÓÑ Ò ÓÑÑ Ø ÖÒ Ú Ò Ö Ö Ò ÓÐ Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô Ø ÓÒ Ò Ö Ö Ò ½ ¹ ½ Ö Ö ÐÒ Ò Ò Ö Ò ØÓØ Ð Ó ØÒ Ò ÒÔ Ø º ÍØ ¹ ÖÒ Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö ÖÑ Ö ØÖ Ö ÑØØ Ø Ø Ö Ñ ÓÑ Ò Ö Ò Ö ÑØÐ Ö Ö Ò ÓÐ ÓÑ Ö ÔÔÓÖØ Ö Ö Ò ÔÖ Ñ ¹ ÙÔÔ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô Ø ÓÒ Òº Ò ÒÚÒ Ò Ô Ø ÓÒ Ò Ò Ò ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ú Ò Ö Ö Ò ÓÐ Òº ÈÓ Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ø Ø ËØÓ ÓÐÑ ÙÒ Ú Ö Ø Ø ½¼ ½ ËÚ Ö º ¹ÔÓ Ø Ú Ö Ð Ö ÓÒ ÓØÑ ÐºÓѺ

4 Innehållsförtecning SAMMANFATTNING... 3 SUMMARY FÖRORD SYFT FINANSINSKTIONN INLDNING ROBLMBSKRIVNING RAORTRING TILL FINANSINSKTIONN FÖRSÄKRINGSGRNAR DATAMATRIALT SKADKVOTN Hur sadevoten beränas Medelvärde Variation Inflationsustering av sadevoten DRIFTSKOSTNADR OCH SÄKRHTSTILLÄGG FÖRDLNING FÖR TOTAL SKADKOSTNAD RISKMÅTT Beränat Solvensmått Normaliserat rismått BRÄKNINGAR ANTAGANDN SKATTNING AV ARAMTRAR Väntevärdesvetorn Kovariansmatrisen RSULTAT OCH DISKUSSION SKATTAD ARAMTRAR I SKADKVOTNS NORMALFÖRDLNING Kovariansmatrisen Korrelationsoefficienterna signifians Väntevärdesvetorn RISKMÅTT Solvensmått R1 - Normaliserat rismått med premien R2 - Normaliserat rismått med väntevärdet DRIFTSKOSTNADR ANTAGANDN SOLVNSMARGINAL SOLVNS I TRAFIKLJUST NYA SOLVNSRGLR - SOLVNS II ANDIX I. DFINITIONR OCH BTCKNINGAR DFINITIONR BTCKNINGAR BILAGA I (RDOGÖRLS SS) BILAGA II (SOLVNS II KLASSR) RFRNSR

5 Sammanfattning Studien behandlar möligheten att ta fram ett eller flera mått för att mäta risen svensa sadeförsäringsbolag åtar sig till föld av bolagets försäringsversamhet. Risen för ett försäringsbolags försäringsversamhet, är att den totala sadeostnaden överstiger det förväntade. Den an därför relateras till den totala sadeostnadens S väntevärde µ samt variation σ 2. För att finna dessa har fördelning för den totala sadeostnaden söts. Med hälp av statist som inommit från svensa sadeförsäringsbolag till Finansinspetionen för åren , har fördelningen för den totala sadeostnaden anpassats. Utifrån dessa parametrar har sedermera tre rismått tagits fram som an beränas för samtliga försäringsbolag som rapporterar sina premieuppgifter till Finansinspetionen. Dessa an användas i inspetionens finansiella analys av de svensa sadeförsäringsbolagen. Summary The study deals with the ability of developing one or more measures to evaluate the ris that Swedish non-life insurance companies assume as a result of their insurance business. This insurance ris can be defined as the ris that the total claim costs exceed the expected. The ris may therefore be related to the total claim costs S expected value µ and variationσ 2. To find these parameters, the distribution of the total claim costs was estimated using statistics provided by Swedish non-life insurance companies (FSA) to the Sweden's financial supervisory authority, for the years Based on these parameters, three ris measures have been developed that can be calculated for all insurance companies that report their premium information to the FSA. These measures may be used in Supervisory financial analysis of the Swedish non-life insurance companies. 3

6 1 Förord Denna rapport är resultatet av en studie som gorts på Finansinspetionen under år Den utgör examensarbete för filosofie magisterexamen i matematis statisti vid Stocholms universitet. Arbetet är gort på uppdrag av Finansinspetionen där Börn almgren, chefsatuarie på Finansinspetionen, har definierat arbetets uppgift. sbörn Ohlsson, Stocholms universitet samt Börn almgren, Finansinspetionen har handlett arbetet. Jag vill i detta förord passa på att taca mina handledare för stöd och hälp under arbetets gång. 1.1 Syfte Arbetets uppgift är att besriva och mäta den ris ett sadeförsäringsbolag är utsatt för till föld av sin försäringsversamhet. Genom att studera bolagens försäringsprofil (uppdelning av försäringarna i olia risgrupper) estimeras sadeförsäringsbolags totala risexponering till föld av dess försäringsversamhet. Målet är att finna ett eller flera mått på denna ris som an användas i Finansinspetionens risanalys. Detta behov har redan belysts i tidigare studier [1]. 1.2 Finansinspetionen Finansinspetionen är en myndighet som övervaar företagen på försärings-, redit- och värdepappersmarnaderna. De övergripande målen är att bidra till finanssetorns stabilitet och effetivitet samt vera för ett gott onsumentsydd [2]. Detta görs bland annat genom att bevaa de finansiella företagens centrala risområden. Till dessa risområden hör operativa riser, redit-, marnads- och lividitetsriser. Finansinspetionens versamhet delas år 2014 in i fyra saområden, Konsumentsydd, Ban, Försäring och Marnader [2]. Försäring har hand om frågor rörande försäringsföretag, försäringsmälare, understödsföreningar och större pensionsstiftelser. Risområden som speciellt betratas och analyseras inom denna avdelning är tecnings-, återförsärings- och reservsättningsriser. Område Försäring är indelat i tre avdelningar; Försäringstillsyn, Försäringsrätt och Ristillsyn försäring [2]. 4

7 å enheten Försäringsriser under avdelningen Ristillsyn försäring görs analyser över de ensilda försäringsbolagens risområden men ocså analyser av marnadsutveclingen. å denna enhet finns inspetionens atuariella ompetens samlad. Avdelningen Försäringstillsyn ansvarar för uppfölning av företagens versamhet genom platsbesö, gransning och genomgång av centrala risområden. Tillstånds- och rättsfrågor hanteras av avdelningen Försäringsrätt. Här behandlas bland annat oncessionsärenden, mälarärenden samt dispensärenden. 5

8 2 Inledning Som beant erbuder sadeförsäringsbolag sina under att täca ostnaderna för framtida sador. Som motprestation betalar försäringstagaren en förutbestämd avgift, premie, till försäringsbolaget. å detta sätt fördelas den totala ostnaden över en stor grupp försäringstagare (olletivet) se [3], sid 5. remierna som olletivet betalar in till försäringsbolaget sall täca ostnaderna för de under försäringsperioden inträffade sadorna. Men eftersom premierna betalas i försott finns det alltid en ris att premieintäten inte räcer för att täca försäringsbolagets ostnader. För att få en uppfattning om ett framtida sadeårs totala sadeostnad gör försäringsbolagen antaganden om antalet sador en portföl ommer att drabbas av samt ostnaderna för dessa sador. ftersom både antalet sador, N (för en viss portföl), och ersättningsbeloppen, X i, för dessa sador är stoastisa görs antaganden om dessa variablers sannolihetsfördelningar. Med hälp av dessa antaganden an sedan en förväntad total sadeostnad beränas se [3], sid 9. Beräningar används sedan då premienivån för det atuella sadeåret sa bestämmas. Bolagen gör sedan orretioner i denna premienivå. Korretionerna an bland annat hänföras till fatorer som apitalavastning, driftsostnader och den atuella onurrenssituationen. Den ris ett försäringsbolag är utsatt för till föld av sin försäringsversamhet ligger främst i att den totala sadeostnaden, för en viss försäringsgren, an bli högre än förväntat. n annan risfator an vara att omvärldsförändringar ger sevheter i den baomliggande statistien som försvårar prognostisering av framtida sadeostnader. Detta arbete ommer framför allt att inritas på riser som an hänföras till höga sadeostnader. Dessa riser är, som nämnts, relaterade till variationer i bolagens totala sadeostnader. n portföl med stor variation av sadeostnaden mellan åren (givet att portfölen innehåller samma risexponering från år till år) är mer risfylld än en med liten variation. Detta eftersom det är svårare att preditera den totala sadeostnaden för en portföl med stor varians. Till exempel är en portföl utan variation i total sadeostnad en helt risfri portföl, eftersom man då utan osäerhet an beräna den framtida sadeostnaden. Arbetet ommer av denna anledning fouseras på variationen av ett försäringsbolags totala sadeostnad beroende på försäringsportfölens utseende. Delmål i arbetet är att 6

9 finna mått på den förväntade sadeostnaden för en given försäringsportföl samt att finna ett variationsmått för denna sadeostnad. Med hälp av dessa två omponenter an sedan ett normerat rismått tas fram som an användas i Finansinspetionens finansiella analys av svensa sadeförsäringsbolag. Att omma fram till ett detta rismått är arbetets slutmål och det behandlas i avsnitt 3.7 och framåt. 7

10 3 roblembesrivning 3.1 Rapportering till Finansinspetionen Den baomliggande informationen i detta arbete begränsade sig till Finansinspetionens föresrift FFFS 1999:5, som föresrev svensa sadeförsäringsbolag att lämna uppgifter för analys av lönsamheten för silda sadeår. Föresriften innefattade en bilaga, allad SS-rapporten som bland annat innehöll uppgifter om premieinomst, premieintät, utbetalda försäringsersättningar och avsättningar för oreglerade sador (se bilaga I). Finansinspetionens föresrift har sedan studien förnyats ett i ett par omgångar och den senaste är från 2008 (FFFS 2008:21), informationen som används i denna studie finns doc fortsatt var i de senare föresrifterna. Rapporteringen ser årligen till inspetionen och är uppdelad på sadeår och försäringsgren. År 1998 fic blanetten nytt utseende 1. Sillnaden är främst att sadestatisti för försäringsgrenar med lång regleringstid föls upp under fler avveclingsår, se tabell 1. Till exempel rapporteras statisti från sammanlagt nio avveclingsår för försäringsgrenen företags- och fastighetsförsäring. I den tidigare versionen av SS-rapporten sulle statisti från endast fyra avveclingsår lämnas för denna försäringsgren. SS- Rapport Fr.o.m Innan 1998 Trafi Transp ort Söfart Su- och olycsfall Motor Luftfart Husdur Hem - och villa Företags - och fastighet Tabell 1: Antalet avveclingsår som sadeuppgifter lämnas på SS-rapporten för respetive försäringsgren. ftersom det nyare utseendet endast hade funnits under två rapporteringsår (1998 och 1999) när studien utfördes ommer statistien vara begränsad till den tidigare mallen. 3.2 Försäringsgrenar Försäringsversamheten hos ett sadeförsäringsbolag delas upp i olia försäringsgrenar. Uppdelningen i försäringsgrenar regleras i FFFS 2008:21. 1 Nu gällande föresrifter hösten 2014 är från

11 Försäringsgrenarnas utseende styrs alltså av FI:s föresrifter men har fastställts i samråd med försäringsbranschen. Vare försäringsgren representerar en viss typ av försäring. Till en viss grad an man därför säga att försäringar eller försärade riser inom en försäringsgren är homogena. Försäringsversamheten delas upp i nedanstående försäringsgrenar: 1. Su- och olycsfallsförsäring avser fristående försäring som inte är nuten till annan försäringsgren 2. Trafiförsäring avser obligatoris ansvarsförsäring för motorfordon enligt trafisadelagen 3. Motorfordonsförsäring avser övrig ansvarsförsäring för motorfordon samt delasoförsäring och vagnsadeförsäring. Till grenen förs även olycsfallsförsäring för fordonets förare. 4. Transportförsäring avser försäring av gods under transport oavsett transportmedel. 5. Företags- och fastighetsförsäring 6. Till Hem- och villaförsäring hänförs även fritidshus-, fritidsbåt-, rese-, smyce-, päls och urförsäringar. 7. Söfartsförsäring avser söasoförsäring och ansvarsförsäring samt därtill nuten olycsfallsförsäring. 8. Luftfartsförsäring avser asoförsäring och ansvarsförsäring samt därtill nuten olycsfallsförsäring 9. Husdursförsäring 10. Trygghetsförsäring vid arbetssada 11. Kredit- och borgensförsäring 12. Avgångbidragsförsäring å grund av försäringsgrenarnas nuvarande uppdelning an man ställa sig tvivlande till om försäringarna inom en gren an anses ha liartad ristyp. Till exempel an försäringar inom grenen företags- och fastighetsförsäring vara mycet varierande vad gäller omfattning och ristyp. Man an möligen tro att bolag med stora bestånd har liartade portföler inom vare försäringsgren, eftersom de onurrerar på samma marnad. För att få mer homogena grupper sulle man istället unna dela upp försäringarna efter de försäringslasser för vila försäringsbolagen söer oncession. Detta är en finare uppdelning ämfört med försäringsgrenarnas uppdelning (18 lasser ämfört med 12 försäringsgrenar) och utgår mer från försäringens ristyp. Inom de nya solvensregelveret (se avsnitt 6.3) ommer rapporteringslasserna att utvidgas till 28 lasser för saförsäringsbolag. 12 av dessa lasser, se bilaga II, är för diret inhems försäring medan övriga är utlandsriser som återförsäring. Alltså ommer antalet lasser för diret inhemsa riser inte utvidgas, men de an anses något mer homogena. 9

12 ftersom man vid en analys av detta slag behöver statisti över en längre tidsperiod sulle förändring av rapportering till mer homogena grupper inte omma detta arbete till användning. Däremot sulle detta på sit ge en bättre statis för analyser av detta slag. I detta arbete ommer doc statisti från de nuvarande försäringsgrenarna användas. 3.3 Datamaterialet I arbetet har information från SS-rapporteringen för rapporteringsåren används. Datamaterialet är uppdelat på försäringsgren, försäringsbolag och sadeår. För att få ett så bra statistist underlag som möligt tas uppgifter från dessa blanetter för de större försäringsbolagen i vare försäringsgren. Datamaterialet innehåller statisti motsvarande mellan 80 % och 100 % av den totala marnaden (gällande de ristäcande bolagen) för vare försäringsgren, se tabell 2. Försäringsgren Antal bolag i datamaterialet Su- och olycsfallsförsäring 3 Trafiförsäring 7 Motorfordonsförsäring 7 Transportförsäring 4 Företags- och fastighetsförsäring 5 Hem- och villaförsäring 7 Söfartsförsäring 5 Luftfartsförsäring 2 Husdursförsäring 4 Tabell 2: Försäringsgrenar, samt antalet försäringsbolag som innefattas i datamaterialet. För försäringsgrenarna trygghetsförsäring, redit- och borgensförsäring och avgångsbidragsförsäring finns ingen eller napphändig statisti vilet beror på att merparten försäringsbolagen på den svensa marnaden inte tecnar försäring i dessa grenar. Av denna anledning exluderas dessa i analysen. Huruvida detta datamaterial är omfattande nog för en analys av detta slag är en fråga man bör ställa sig. Dels an valt antal sadeår ifrågasättas, och dels an antalet försäringsbolag för vare försäringsgren disuteras. Vad gäller antalet bolag som finns med i materialet för respetive försäringsgren har det reglerats med hänsyn till den svensa försäringsmarnaden. Som nämnts täcer materialet cira % av den 10

13 svensa marnaden gällande de ristäcande bolagen. För vissa grenar betyder det endast statisti från två eller tre bolag vilet beror på att marnaden för dessa grenar domineras av ett fåtal bolag. Den andra förlaring är att utländsa försäringsbolag har tagit över en del av den svensa försäringsmarnaden inom vissa försäringsgrenar under senare år, vilet gäller för till exempel luftfartsförsäring. Då analysen är begränsad till rapportering från svensa sadeförsäringsbolag är det svårt att utöa materialet i detta hänseende. Man bör doc ha i åtane, när man senare gransar resultatet i denna studie, att datamaterialet har en viss begränsning. Vad gäller antalet sadeår som bör tas med i en analys av detta slag måste en avvägning göras mellan att dels få tillräcligt med statisti för att få så tillförlitliga sattningar som möligt, dels avgränsa tidsperioden för att få ett så homogent material som möligt. Statistien i tabell 3 nedan är hämtad från ett bolags rapportering (gällande försäringsgrenen su- och olycsfallsförsäring) från denna tidsperiod. Tabellen visar hur ett försäringsbolags reserver och utbetalningar utveclats för denna försäringsgren under sadeåren SK Utbetalda ersättningar Avveclingsår Sadeår Utgående reserv Avveclingsår Sadeår Tabell 3: Utvecling av utbetalda försäringsersättningar och reserver för ett bolag i en försäringsgren för sadeåren

14 För åren finns informationen för totalt fyra års avvecling. För resterande år ( ) finns information för mellan noll och tre avveclingsår. 3.4 Sadevoten Arbetets uppgift är att besriva och mäta den ris ett sadeförsäringsbolag är utsatt för till föld av sin försäringsversamhet. Denna ris ligger främst i att den totala sadeostnaden blir högre än förväntat. Risen är därför relaterad till variationer i bolagens totala sadeostnader. För att unna ämföra och analysera variationer i sadeutfall på grundval av statisti från flera bolag över ett antal år rävs att man normaliserar sadeostnaderna med bolagets risexponering. Förslag på mått som an mäta ett bolags risexponering är antal försäringar, antal årsriser, summa försärade belopp, premieinomsten och premieintäten per sadeår. Sillnaden mellan de två sistnämnda är att premieintäten är premier som intänats under året medan premieinomsten är totala bruttopremien som inbetalts före räensapsårets slut "se [4], sid 31. Vilet av ovanstående rismått som är att föredra beror främst på vad som sall analyseras. I detta arbete finns doc endast information om bolagens premieintäter (och premieinomster) varför detta rismått ommer att användas i analysen. n svaghet med premien som risexponeringsmått är att förändringar i premieintäten mellan åren inte nödvändigtvis beror på förändringar i risexponeringen utan an istället bero på det atuella onuntur- och onurrensläget. Förra årets sadeutfall an även påvera premienivån för nästommande år. Med andra ord behöver inte en sänt premieinomst betyda en minsad försäringsris utan an istället bero av en hårdare onurrenssituation. å linande sätt an en höd premienivå bero på ett högt sadeutfall föregående år och inte på en höd försäringsris. Fölande relation an sägas gälla för premieinomsten : [ a] = r + + Λ där r = rispremien, = driftsostnader, Λ = säerhetstillägg, a = apitalavastning Rispremien r motsvarar, den förväntade aggregerade sadeostnaden, S: r = ( S) Driftsostnaderna,, motsvarar försäringsbolagens ostnader utöver sadeostnaderna (inlusive ostnaderna för sadereglering). Dessa ostnader 12

15 an till sillnad från sadeostnaderna anses vara deterministisa eftersom de till största delen består av för bolagen fasta ostnader i form av till exempel personal och loalostnader. Med andra ord motsvarar den del av premien som sall täca driftsostnaderna inte ett risåtagande i försäringshänseende. Säerhetstillägget Λ är storleen på intäten som överstiger årets förväntade totala ostnad. Med hälp av säerhetstillägget an bolagen till exempel bygga upp en säerhetsreserv. Kapitalavastning är den förväntade eller återförda apitalavastningen till försäringsrörelsen. remien som risexponeringsmått har alltså den nacdelen att den inte bara motsvarar den förväntade sadeostnaden utan täcer även driftsostnaderna samt säerhetstillägget Λ. Senare i arbetet ommer vi att se hur rismåtten påveras av vilet normaliseringsmått som väls. Till en böran ommer doc premieintäten att användas i analysen. Med hälp av premieintäten an den så allade sadevoten, s, beränas. Den definieras som voten mellan sadeostnad, S, och premieintät,. Sadevoten beränas för respetive försäringsgren försäringsbolag och sadeår enligt: s S,, =. i,, Sadevoten är alltså ett mått på ett sadeårs sadeutfall i förhållande till samma periods premieintät och är alltså ett normaliserat sadeostnadsmått med hänsyn till premievolymen Hur sadevoten beränas För att unna beräna sadevoten måste man ha en uppfattning om sadeårets sadeostnad. För vissa försäringsgrenar dröer det doc flera år innan sadeåret an anses slutreglerat (så allade långsvansade grenar). För exempelvis trafiförsäring ränar man med att det an dröa upp till 45 år innan sadeåret är slutreglerat (på grund av svårigheter att fastställa definitiv invaliditetsgrad). Bolagen gör därför avsättningar som sa täca framtida ostnader för de oreglerade sadorna. Avsättningarna är alltså en uppsattning av framtida ostnader för de oreglerade sadorna. Innan sadeåret är slutreglerat består därför sadeostnaden av två delar: utbetalda försäringsersättningar, U, och avsättningar för oreglerade sador, R (i fortsättningen allad reserven, vilet anspelar på den äldre termen 'ersättningsreserven'). 13

16 För långsvansade grenar är reserven till en böran den dominerande delen av sadeostnaden. ftersom avsättningarna är en uppsattning av framtida ostnader finns det en osäerhetsfator vid beräningen av sadeostnaden för ännu inte slutreglerade sadeår. Sadevoten beränas m- år efter sadeårets slut som: s, R + m,,, n n= = (3.1), U För att minsa osäerheten i sadevoten, som reserven ger upphov till, bör sadeostnaden beränas tidigast två år efter sadeårets slut. Detta eftersom reserven, för flertalet försäringsgrenar, är en betydande del av sadeostnaden under de två första åren efter sadeårets slut. fter ytterligare år ommer sedan osäerheten i sadeostnaden att minsa eftersom den uppsattade delen, reserven, minsar i tat med att utbetalningar ser till försäringstagarna. Då sadeåret är slutreglerat an den slutgiltiga sadeostnaden beränas. I detta arbete an doc sadevoten inte beränas på slutreglerade sadeår eftersom rapporteringen inte innehåller tillräcligt många avveclingsår. Av denna anledning behandlas tre olia förslag för hur sadevoten an beränas för ännu inte slutreglerade sadeår: 1. Sadevoterna beränas efter en bestämd avveclingstid, till exempel efter två års avvecling. I tabell 4 nedan beränas då sadevoterna för en försäringsgren och ett försäringsbolag med hälp av marerade sadeostnader samt med premieintäten för motsvarande år. I detta exempel an sadevoter beränas för sadeåren

17 Total sadeostnad (för försäringsgren i och försäringsbolag ) 1000SK Avveclingsår Sadeår Tabell 4: xempel på statis över totala sadeostnden för en försäringsgren för sadeåren Här visas för vila sadeår sadevoter an beränas om metod 1 tillämpas (se ovan). 2. Sadevoterna beränas efter så lång avvecling som rapporteringen ger mölighet till. Detta innebär att sadevoterna beränas efter olia lång avvecling beroende på försäringsgren. För de långsvansade försäringsgrenarna ommer detta doc att leda till få observationer. Vid exemplet nedan an sadevoter beränas för sadeåren Total sadeostnad (för försäringsgren i och försäringsbolag ) 1000SK Avveclingsår Sadeår Tabell 5: xempel på statis över totala sadeostnden för en försäringsgren för sadeåren Här visas för vila sadeår sadevoter an beränas om metod 2 tillämpas (se ovan). 15

18 3. Sadevoterna beränas efter så lång avvecling som det för vare ensilt sadeår finns information om. Detta leder till en sevhet i datamaterialet eftersom sadevoterna för olia sadeår ommer att beränas efter olia lång avvecling. Total sadeostnad (för försäringsgren i och försäringsbolag ) 1000SK Avveclingsår Sadeår Tabell 6: xempel på statis över totala sadeostnden för en försäringsgren för sadeåren Här visas för vila sadeår sadevoter an beränas om metod 3 tillämpas (se ovan). Om man, enligt metod 3 ovan, beränar sadevoterna för de olia sadeåren utifrån uppgifter från det senast tillgängliga inrapporteringsåret betyder det att man får en större säerhet i beräningarna för de äldre sadeåren ämfört med de yngre. Detta gäller speciellt de långsvansade försäringsgrenarna. Detta betyder att man för dessa grenar får en sevhet i datamaterialet. För att undvia denna sevhet an man, i enlighet med metoderna 1 och 2 ovan, istället beräna sadevoterna efter m- års avvecling för samtliga sadeår. För att få en uppfattning hur sadevoten lämpligen beränas undersös nedan sadevotens medelvärde och variation för de långsvansade försäringsgrenarna Medelvärde Figur 1 nedan visar genomsnittet av sadevoterna de senaste tio åren beränade efter olia avveclingsår. Sadevoterna har beränats enligt evation 3.1 (där sadeostnaden definieras som summa utbetalt samt för tidpunten atuell reserv). Det är svårt att se en tydlig gemensam trend för hur sadevoterna utveclas beroende på hur långt efter sadeåren de beränas. 16

19 Sadevoter - Su- och olycsfallsförsäring 1 Sadevoter s 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Bolag 1 Bolag 2 Bolag 3 Bolag Avveclingsår, a Sadevoter- Trafiförsäring 1,2 Bolag 1 sadevot s 1,1 1 0,9 0, Bolag 2 Bolag 3 Bolag 4 Bolag 5 Bolag 6 Avveclingsår a Sadevoter- Företag- och fastighetsförsäring 0,9 Sadevot s 0,8 0,7 0,6 0,5 0, Bolag 1 Bolag 2 Bolag 3 Bolag 4 Bolag 5 Avveclingsår, a Figur 1: Medelvärde för sadevoterna för ett antal försäringsbolag i tre olia försäringsgrenar. I figuren an man se hur sadevoternas medelvärde utveclas beroende på antalet avveclingsår som löpt innan sadevoterna beränas. Vid beräningarna har ingen ustering gorts för inflation. Detta an bero på att olia försäringsbolag, i enlighet med inspetionens erfarenhet, an ha olia reservsättningspolicy. Då vissa bolag endast avsätter 17

20 förväntad sadeostnad för de oreglerade sadorna an vissa avsätta förväntad sadeostnad plus en säerhetsmarginal. Detta för att man hellre ser avveclingsvinster än avveclingsförluster då sadeåret är slutreglerat. Detta betyder att vissa bolags sadevoters väntevärde, ), ommer att avta ( s i,, med tiden medan andra bolag ommer att ha en mer trendlös utvecling på väntevärdet. Figur 1 ovan tyder på att de flesta bolags sadevoter avtar med tiden, vilet innebär att en maoritet av bolagen har en försitig inställning vid reservsättningen Variation Figur 2 nedan visar hur sadevoternas varians förändras beroende på hur lång tid efter sadeåret de beränas. Sticprovsvariansen har här beränats per försäringsbolag med hälp av uppgifter om premie, utbetalda försäringsersättningar och reserver för åren för ett antal försäringsgrenar. För att göra dessa sattningar har sadeåren antagits oberoende. De beränade sadevoterna från åren har alltså antagits vara oberoende observationer från de stoastisa variablerna s,, a. Här betecnar a hur många avveclingsår som gått då sadevoten beränats. Sattad varians av sadevoterna - Su- och olycsfallsförsäring Sattad varians, S 0,3 0,2 0, Bolag 1 Bolag 2 Bolag 3 Bolag 4 Avveclingsår, a Sattad varians av sadevoterna - Företagoch fastighetsförsäring Sattad varians, s^2 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Bolag 5 Bolag 4 Bolag 3 Bolag 2 Bolag 1 Avveclingsår, a 18

21 Sattad varians av sadevoterna - Trafiförsäring Sattade varians, s^2 0,04 0,03 0,02 0, Bolag 1 Bolag 2 Bolag 3 Bolag 4 Bolag 5 Avveclningsår, a Figur 2: Sticprovsvariationen för sadevoterna för ett antal försäringsbolag i tre olia försäringsgrenar. I figuren an man se hur variationen utveclas beroende på antalet avveclingsår som löpt innan sadevoterna beränas. Figur 2 visar att det ofta gäller att variansen öar med tiden för sadevotens beräningsår. Detta betyder att man, för långsvansade grenar, allmänt får en lägre varians på sadevoten om den beränas med information från tidigare avveclingsår. ftersom risen är relaterad till variationer i sadeostnaden, för vare försäringsgren, innebär detta att man får en för låg sattning av risen om sadevoterna beränas efter för ort avveclingstid. n förlaring till ovanstående fenomen är att sadeostnaden (den stoastisa variabeln) under de första avveclingsåren till stor del består av avsättningar för oreglerade sador. Avsättningarna är, som tidigare nämnts, en uppsattning av de förväntade framtida ostnaderna för dessa sador. Då detta i sig alltså är ett väntevärde försummas variansen i denna del av sadeostnaden. För något försäringbolag suner variansen under delar av den analyserade perioden, till exempel för Bolag 5 mellan avveclingsår två till fyra. Förlaring till detta an vara att mindre onservativa och robusta reservsättningsmetod har använts, där stor vit ges till änd sadeostnad under de tidiga avveclingsåren. I tat med att sadeåren åldras består sadeostnaden till allt större del av utbetalda försäringsersättningar, vilet innebär att den uppsattade delen av sadeostnaden får allt mindre betydelse. Av denna anledning är det rimligt att tro att variansen öar i tat med att reserven minsar. För att minimera risen för att undervärdera försäringsriserna bör därför sadevoterna beränas då en så stor del som möligt av sadeostnaderna är slutreglerade. För att undvia sevheter i datamaterialet bör även sadevoterna beränas efter lia lång avvecling för alla sadeår. fter hur 19

22 lång avvecling sadevoterna sa beränas an bestämmas genom att se på statisti över försäringsgrenarnas avveclingstat. Se tabell 7. Avvec lingsår Trafi Transport Söfart Su- och olycsfall Motor Luftfart Husdur Hemoch villa Företagsoch fastighet 0 0,27 0,58 0,22 0,20 0,76 0,63 0,90 0,68 0,36 1 0,51 0,95 0,53 0,39 0,95 0,88 0,98 0,96 0,73 2 0,58 0,97 0,68 0,59 0,99 0,92 0,97 0,95 0,82 3 0,64 0,69 0,87 4 0,70 0,69 0,89 Tabell 7: Andelen acumulerade utbetalda försäringsersättningar av total sadeostnad per försäringsgren. Tabell 7 visar hur stor del av den totala sadeostnaden som är avveclad efter respetive avveclingsår för de olia försäringsgrenarna. Som redan nämnts siler sig antalet avveclingsår åt mellan försäringsgrenarna i rapporteringen till Finansinspetionen. ftersom man inte änner den slutgiltiga sadeostnaden har information från senaste inrapportering för vare sadeår använts vid beräningarna av andelen avveclad sadeostnad. För att uppnå en avveclingsnivå på cira 3/4 av den totala sadeostnaden (som efter gransning av variansens utvecling i tiden bedöms vara en rimlig nivå) rävs för de långsvansade försäringsgrenarna (trafiförsäring och suoch olycsfallsförsäring) en period på minst fyra års avvecling. Sadevoterna ommer därför beränas efter fyra års avvecling för de försäringsgrenar där denna statisti är tillgänglig. För övriga försäringsgrenar ommer sadevoterna beränas efter två års avvecling. Av beräningsmetoderna som presenterades tidigare i avsnittet har alltså metod 2 använts. Se tabell 8. Trafi Transport Söfart Su- och olycsfall Motor Luftfart Husdur Hemoch villa Företagsoch fastighet Tabell 8: Antalet avveclingsår som löpt innan sadevoterna i detta arbete beränats. Detta innebär att sadevoterna, med hälp av befintlig statist an beränas för sadeåren för långsvansade försäringsgrenar och för sadeåren för övriga försäringsgrenar. Totalt sätt ommer därför statisti över sadevoterna finnas tillgänglig för sadeåren Inflationsustering av sadevoten För långsvansade försäringsgrenar ser utbetalningar för ett sadeår under en lång tidsperiod, se figur 3 nedan. Detta får som föld att reservens storle 20

23 förändras under samma tidsperiod. Om sadevoten beränas efter en längre tids avvecling bör man därför disutera huruvida utbetalningarna vid de olia tidpunterna bör usteras med avseende på inflationen. Detta eftersom värdet av utbetalningarna under avveclingsperioden inte är detsamma som summan av de fatisa utbetalningarna. Väler man att ustera utbetalningarna an man även disutera huruvida premien och reserven bör usteras. Till detta bör man även beata möligheten att bolagen i modellerna för premiesättningen gör antaganden om framtida inflation och ränta. Även vid reservsättning an bolagen göra linande antaganden (disonterade reserver). Huruvida bolagen, för de i studien atuella rapporteringsåren, gorde ränteantaganden an antas bero på hur lång avvecling affären i försäringsgrenen väntas ha. I FFFS 2008:28, Finansinspetionens föresrifter och allmänna råd om årsredovisning i försäringsföretag, med senaste uppdatering år 2013, largörs detta: I sådan versamhet där en sada an omma att slutregleras först avsevärd tid efter det att den inträffade, exempelvis olia slag av ansvarsförsäring, sa försäringsföretaget ta den hänsyn som rävs till förväntad utvecling som an påvera sadeostnaderna. Vidare står att disontering av reserver endast får göras då: Den förväntade genomsnittliga återstående tiden till sadeutbetalning sa vara minst fyra år för den berörda gruppen av sador. remie och utbetalningar för ett sadeår remie Inflation Utbetalningar utan inflation Figur 4: Schematis bild över hur premie och utbetalningar utveclas med tiden för ett specifit sadeår. Den övre delen av de utbetalda försäringsersättningarna anger effeten av den inflation som onstaterats mellan sadeåret och året för utbetalningen. 21

24 Nedan presenteras en hypotes för hur sadevoterna bör beränas då hänsyn tas till inflationen (för de in studien atuella sadeåren). Hypotes Bolagen beränar premien utan explicita antaganden om framtida inflation. Den merostnad som inflationen bidrar till antas täcas av avastningen på reservsatt apital (premiereserv och avsättningar för oreglerade sador). Utbetalda försäringsersättningar tillhörande ett visst sadeår usteras för inflation som onstaterats mellan sadeåret och utbetalningsåret. I figur 4 ovan innebär det att man inte tar med de övre delarna (lust marerade) av de utbetalda försäringsersättningarna då man beränar sadevoterna. ftersom värdet av utbetalningarna usterats till sadeårets penningvärde behöver premien inte usteras för inflation. Om sadevoten beränas innan sadeåret är slutreglerat (vilet är atuellt i detta arbete) måste även frågor rörande reservens storle behandlas. Reservens storle är uppsattad att täca framtida ostnader för oreglerade sador. Även här an bolagen sila sig i sina antaganden om ränta och utbetalningstat. Det är inte osannolit att bolagen före 1996 beränade reserverna med realränteantagandet noll, så allad implicit disontering med en ränta som antas motsvara framtida inflation exat. Av denna anledning an man säga att reserven är usterad för eventuell framtida inflation. Däremot bör reserven usteras för den inflation som onstaterats mellan sadeåret och året då storleen på reserven bestämdes. Hypotesen ovan ger oss att sadevoterna bör beränas enligt fölande: s, = R, λ m, + m n=, U,, n λ n, (3.2) där λ, m betecnar ett inflationsindex som usterar penningvärdet till år. Inflationsustering görs med hälp av prisbasbelopp. I arbetet ommer beräningar fortsättningsvis att göras med sadevoter beränade enligt 3.2. Sedan 1996 tillämpas U:s redovisningsdiretiv för försäring, vilet inte tillåter implicit disontering. Med nuvarande låga inflationsförväntningar får detta mycet liten effet. I en utveclad modell an man doc behöva överväga 22

25 vad som är lämplig metod för en orret omräning till sadeårets penningvärde av en odisonterad respetive disonterad reserv. 3.5 Driftsostnader och säerhetstillägg Som nämnts finns det brister i att använda premieintäten som normaliseringsmått vid beräning av sadevoten. Detta eftersom premien inte bara består av rispremien r, som är beränad att täca de förväntade sadeostnaderna, utan ocså består av driftsostnads- och säerhetstillägg samt förväntad apitalavastning ( = r + + Λ [ a] ). ftersom vi i detta arbete inte har tillgång till rispremien, har premieintäten används som normaliseringsmått. För att se hur varianssattningarna påveras utifrån vilen normalisering som används vid beräning av sadevoten görs fölande ämförelse: Sadevoten beränas med hälp av premieintäten som normaliseringsmått S S s = = r + + Λ. [ a] Variansen på sadevoten beränas som: S S Var ( s) = Var( ) = Var( r+ + Λ r ( r+ + Λ ) [ a] Var( ) r 2 S S r ) = Var( ) [ a] r r+ + Λ [ a] = Sadevoten beränas med hälp av rispremien som normaliseringsmått s = S r Variansen på sadevoten beränas som: S Var ( s) = Var( ) r ftersom det gäller att variansberäningarna: r r+ + Λ a [ ] < 1 fås fölande olihet vad gäller S S Var ( ) > Var( ) r 23

26 Med andra ord får vi en lägre sattning av variansen på sadevoten om premieintäten används som risexponeringsmått ämfört med om rispremien används vid beräning av sadevoten. När vi med hälp av sadevotens sannolihetsfördelning beränar fördelningen för sadeostnaden får vi doc samma varianssattningar vid de två olia beräningarna: Med premieintäten som risexponeringsmått fås: 2 S (r+ + Λ [ a] ) Var( ) = Var( S) Med rispremien r som risexponeringsmått fås: S r 2 Var ( ) = Var( S) r Vid den övre beräningen förutsätts doc att samtliga bolag har samma driftsostnader samt säerhetstillägg Λ (eftersom bolagens sadevoter antas ha samma sannolihetsfördelning, vilet vi ommer att se senare). Givetvis gäller detta inte. Snarare an man anta att storleen på driftsostnaderna är proportionella mot rispremien r. Av denna anledning är premien med avdrag för driftsostnaderna ett bättre risexponeringsmått. Vad det gäller säerhetstillägget är det mycet svårt att bilda sig en uppfattning om hur de olia försäringsbolagen siler sig åt vid premieberäningen. Därför är det svårt att (med den information vi har tillgång till) rensa premiemåttet från säerhetstillägget, Λ. Fölande normaliseringsmått ommer därför användas vid beräning av sadevoterna: i, = r + Λ = där, = observerad driftsostnad för försäringsgren i och för i försäringsbolag. Vi får nu fölande definition av den från driftsostnader rensade sadevoten, s i, : s = R λ m + m n= U, n λ n (3.3) 24

27 3.6 Fördelning för total sadeostnad tt av arbetets mål är att finna ett mått på den ris ett sadeförsäringsbolag är utsatt för till föld av sin försäringsversamhet. Detta mått bör unna appliceras på samtliga sadeförsäringsbolag med en betydande försäringsversamhet i en eller flera försäringsgrenar. Risen är som nämnts relaterad till variationer i sadeostnaden för de olia försäringsgrenarna. Genom att försöa estimera ett möligt sadeutfall utifrån ett bolags premieintäter inom de olia försäringsgrenarna sulle man få en uppfattning av den ris bolaget är utsatt för till föld av sin försäringsversamhet. Än mer intressant vore att få en uppfattning om det framtida totala sadeutfallets varians. Låt oss se sadeostnaderna, för nästa års sador (år ), för ett bolag (bolag ): S 1,,, S2,,, S3,,,..., Sn,, för de n olia försäringsgrenarna som en vetor av stoastisa variabler. För att unna estimera sadeostnaderna måste man göra antaganden om dess sannolihetsfördelning. ftersom sadeutfallet för ett bolag är beroende av dess premieintät börar vi med att titta på sadevoterna för respetive försäringsgren och antar att dessa är normalfördelade. Antagandet om normalfördelningen disuteras vidare i avsnitt 5.4. ftersom man an anta att sadevoternas fördelning är oberoende av sadeåret fås med ovanstående antagande att: s1, s2, M ~ N( µ, Λ), där sn 1, s n, µ 1, µ 2, µ = M och µ n 1, µ n1, σ σ Λ = M σ n σ σ σ M n2 L L O L σ σ σ 1n 2n M nn. 25

28 Här är µ väntevärdet och Λ är ovariansmatrisen för den flerdimensionella stoastisa variabeln s, s,..., s ). Vetorn representerar sadevoterna ( 1, 2, n, för försäringsgrenarna 1 till n, för försäringsbolag nummer. Med ovanstående antaganden om sadevoternas sannolihetsfördelning samt med information om sadeårets premieintät,,..., ), fås fölande fördelning för sadeostnaderna, S, : i ( 1, 2, n, S S M S S där 1, 2, n 1, n, = 1, 2, n 1, M n, s s s s 1, 2, n 1, n, ~ N( B µ, BΛB ) B = 1, 0 M 0 0 M 0 2, L L O L 0 0 M n,. Ovan har antagits att sadevoternas fördelning är specifi för vare försäringsgren och försäringsbolag. För att unna finna ett mått på risen som an appliceras på samtliga bolag (eller i alla fall en maoritet av dessa) gäller att fördelning inte är bolagsspecifi. Fördelningen för den totala sadeostnaden, S, i en nytecnad portföl med premien,,..., ) fås sedan som: ( 1, 2, n, S = S, ~ N(1 B,1 BΛB 1 i µ ) (3.4) i där ( ) 1 =. 3.7 Rismått Utifrån antagandet att sadevoternas slumpvariation är normalfördelad samt sattningar för väntevärde och ovarians an den förväntade totala sadeostnaden, S samt dess onfidensintervall beränas, med hälp av premieintäterna för en nytecnad portföl,,..., ). ( 1, 2, n, 26

29 3.7.1 Beränat Solvensmått För att mäta den ris ett bolag är utsatt för an man med hälp av väntevärdet µ och variansen σ 2 för den totala sadeostnaden söa dess percentil Z, α : Z, = + z σ (3.5) α µ α Därefter an fölande differens beränas: RS = Z i,,α (3.6) i Differensen RS an tolas som ett enelt solvensmått för ett försäringsföretag. Solvensmarginalen är det minsta rav på fria medel ett bolag måste ha, se avsnitt 6. RS är ämfört med solvensmarginalen mer fouserad på försäringsbolagens risexponering i de olia försäringsgrenarna. Här sulle en portföl med stor exponering i en risfylld gren leda till större solvensmarginal ämfört med en mer risbalanserad portföl. Sannolihetsfördelning för total sadeostnad Sannolihet T. ex. 5 % sadereserv sadereserv + apitalbas Figur 5: Sannolihetsfördelningen för total sadeostnad. I figuren är onfidensintervallets övre gräns,, marerad. Z, α Figur 5 ovan är en schematis bild hur ett solvensmått enligt ovan an tolas. Den lodräta mareringen till höger symboliserar percentilen Z, där det i detta fall gäller att α =0, 05. Reserven för de oreglerade sadorna, täcer det förväntade sadeutfallet (med en liten säerhetsmarginal). Dessa avsättningar är marerade med ett vågrätt strec nedtill i figuren. De fria medlen, apitalbasen sall sedan täca ostnaderna upp till Z., α, α 27

30 n fråga som måste behandlas vid beräningar enligt ovan är vilen risgrad 1- α som sa välas. Detta eftersom valet av onfidensgraden ommer spela en avgörande roll för resultatet av RS. tt högre värde på 1-α leder till större rav på den erforderliga solvensmarginalen för försäringsbolagen. n annan frågeställning som bör disuteras är vilen hänsyn det beränade solvensmåttet RS sa ta till försäringsföretagens återförsäringsprogram. Detta an främst göras på två sätt: 1. Solvensmåttet uttrycs med hälp av premien för egen räning. å detta sätt tar man diret hänsyn till återförsärarens andel av affären. Detta sätter doc stort förtroende till de återförsärare bolagen använder, samt att bolagens återförsäringsprogram täcer de tilltänta riserna. Vid ice proportionell återförsäring finns det en ris att återförsäringsprogrammet ice täcer det fatisa sadeutfallet fullt ut (så allat genombrott). 2. Solvensmåttet uttrycs med bruttopremien och regleras därefter på lämpligt sätt efter andelen återförsärad affär. Detta sulle till exempel unna regleras genom att multiplicera det erhållna solvensmåttet med voten mellan försäringsersättningar för egen räning (f.e.r) och försäringsersättningar brutto. å detta sätt får man ett mått på hur stor del av affären som försäringsbolaget står för. Solvensmarginalen i solvensdelarationen beränas med hälp av premieindex och sadeindex (se avsnitt 6) som bland annat beränas utifrån uppgifter om premieinomst brutto. Indexen usteras sedan på linande sätt som besrivs i punt två ovan. Beräningen av premie- och sadeindex har doc en begränsningsregel som säger att voten, för reducering med hänsyn till avgiven återförsäring, inte får understiga 0,5. Det ter sig därför enlast att på sätt som besrivs i punt 2 ustera måttet avseende återförsärad affär. Om man använder sig av ovan nämnda begränsningsregel fås fölande solvensmått, Råf, där hänsyn är tagen till återförsärarens andel av affären: försäringsersättningar f. e. r. vot = försäringsersättningar brutto = maximum(vot; 0,5) Råf = ( Z, α i,, * c, )* = RS (3.7) * i Kvoten ovan beränas lämpligen med siffror från atuell solvensdelaration. 28

31 3.7.2 Normaliserat rismått För att unna mäta ett försäringsbolags ris till föld av sin försäringsversamhet i förhållande till bolagets totala risexponering måste man, till sillnad mot rismåttet ovan, sapa ett normaliserat rismått. Med hälp av ett normaliserat rismått an Finansinspetionen i sin analys av försäringsriser ämföra försäringsföretagen mot varandra. Detta eftersom dessa rismått är beränade i förhållande till vare bolags risexponering. Av denna anledning har dessa mått ingen enhet. Nedan finns två förslag på hur man sulle unna definiera ett dylit rismått: Z R1 = 100*, α i i = 100* i RS Z, α µ zα σ R2 = 100* = 100* µ µ R1 beränas alltså med hälp av solvensmåttet RS. Solvensmåttet normaliseras med den totala premieintäten (efter orretion för driftsostnader), och ger därför en indiation på bolagens solvensmått (enligt RS ) i förhållande till dess premievolym. tt högt värde på R1 antyder därför att bolaget är utsatt för en hög ris till föld av sin försäringsversamhet i förhållande till total premievolym. R2 beränas som halva onfidenslängden ( z väntevärdet µ. α σ ) normaliserad med Kvoterna multipliceras med hundra för att tolningen av rismåtten sa bli lättare (procent av premien alternativt procent förväntad sadeostnad). 29

32 4 Beräningar För att finna de rismått som besrivs i avsnitt 3.7 måste vi först bestämma parametrarna µ och Λ i den flerdimensionella variabeln s, s,..., s ). För att omma fram till dessa måste först ett antal ( 1,, 2,, n,, antaganden göras. 4.1 Antaganden För vare försäringsgren an fölande modell för sadevoterna, upp: s i,, sättas s, µ i + α + ε, =, där µ = Väntevärdet totalt per försäringsgren, i α = Det :te bolagets avvielse från totala väntevärdet, ε = Kvarstående slumpvariation. i,, Vidare görs fölande antagande: 2,, i ε i ~ N(0, σ ) och Cov ε ε = σ. ( i1,,, i ) 2,, i1i2 Här antas alltså att sadevoterna har samma väntevärde oberoende av sadeår och försäringsbolag. Antagandet att försäringsbolagens sadevoter är oberoende an ifrågasättas men görs för att vi senare sa unna finna ett rismått som an appliceras på samtliga bolag med betydande versamhet i en eller flera försäringsgrenar. 4.2 Sattning av parametrar Väntevärdesvetorn Med modell och antagande enligt avsnitt 4.1 ovan får vi fölande sattning av sadevoternas, s,, väntevärde µ i för vare försäringsgren i: m i ( f h = 1 ˆ µ i = där m i = 1 ( f + 1) ˆ µ + 1) 30

33 f, = antalet frihetsgrader för försäringsbolag i i f försäringsgren +1 = antalet observationer för försäringsbolag i försäringsgren ˆµ = det sattade väntevärdet för sadevoterna i försäringsgren i och försäringsbolag. µˆ i är ett vägt medel av försäringsbolagens sattade väntevärden i försäringsgren ˆµ. Väntevärdet ˆµ för vare ensilt försäringsbolag sattas genom maximum lielihoodmetoden som: ˆµ 1 = n n i, = 1 s, ftersom åren i datamaterialet antas vara oberoende är antalet observationer lia med antalet år ( ) Kovariansmatrisen För observationer från en flerdimensionell normalfördelad population, X 1, X 2,..., X n, med medelvärde µ och ovariansmatris Λ gäller att µˆ = X w och n Λ ˆ 1 = ( X X )( X X ), n 1 = är maximum lielihood estimaten för µ och Λ, se [6], sid 182. lementen i ovariansmatrisen sattas bolagsvis. Vidare gäller att respetive försäringsföretag an ha olia lång sadehistori för olia försäringsgrenar, vilet innebär att vare element i ovariansmatrisen sattas med för den tillgänglig data. Kovariansmatrisens element för det :te försäringsföretaget, mellan det första (1) och i:te försäringsgrenen sattas därför som: 31

34 1 ˆ σ µ n 1, = ( s1,, ˆ µ 1, )( s, ˆ ) n = 1 Där n är antalet sadeår med data för dessa båda försäringsgrenar. Kovarianserna vägs sedan samman med hälp av frihetsgrader mellan de bolag som har affär i de atuella försäringsgrenarna: mi f s, h ˆ σ sp, = 1 ˆ σ sp =. m i = 1 f s, 32

35 5 Resultat och disussion Som nämnts sattas parametrarna i sadevoten sannolihetsfördelningen med hälp av uppgifter tagna från SS-rapporten under åren , vilet betyder att sadevoter an beränas för sadeåren Detta eftersom olia försäringsgrenar beränas efter olia lång avvecling. Resultatet av sattningarna presenteras i fölande avsnitt. 5.1 Sattade parametrar i sadevotens normalfördelning Kovariansmatrisen I tabell 9 har ovariansmatrisen för s, s,..., s ) sattats med hälp av sadevoter enligt avsnitt 4. Kovariansmatris Su- och olycsfall ( 1, 2, n, Trafi Motor Transport Företagsoch fastighet Hemoch villa Söfart Luftfart Husdur Su & olycsf 0,023 0,000-0,017-0,007-0,009-0,008 0,012-0,022-0,018 Trafi 0,000 0,021 0,009 0,005-0,001 0,005 0,014-0,009-0,018 Motor -0,017 0,009 0,027 0,011 0,005 0,014 0,018 0,013 0,024 Transport -0,007 0,005 0,011 0,039 0,004 0,014 0,003-0,003 0,041 Företag & fastig -0,009-0,001 0,005 0,004 0,051 0,010 0,001 0,005 0,024 Hem & villa -0,008 0,005 0,014 0,014 0,010 0,030 0,000 0,005 0,036 Söfart 0,012 0,014 0,018 0,003 0,001 0,000 0,429 0,042 - Luftfart -0,022-0,009 0,013-0,003 0,005 0,005 0,042 0,105 - Husdur -0,018-0,018 0,024 0,041 0,024 0, ,062 Tabell 9: Sadevoternas sattade ovariansmatris. Med hälp av ovariansmatrisen an även orrelationerna mellan försäringsgrenarna beränas, se [8], sid 132. ρ = Cov( X, Y ) Var( X ) Var( Y) 33