Föreläsningar i Mekanik (FMEA30) Del1: Statik och partikeldynamik. Läsvecka 6

Transkript

1 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva öelännga Mean (ME30) Del: Stat och pateldynam Läveca 6 öelänng : Kaftevatonen ola oodnatytem, fot. (3/4-3/5): Natulga oodnate: V övegå nu tll att tudea aftevatonen natulga oodnate G ( et en e b), båglängdoodnat. = G G(), ag = e t + e n, = ett + enn + ebb ρ Kaftevatonen = a ä då evvalent med omponentevatonena G m t = m n = m ρ b = 0 (.) Obevea att aftumman omponent bnomalen tnng ä noll! = 0 G G e b e t a G e n O j gu. Macentum öele natulga oodnate. V åtevände nu tll Exempel.8, Läveca 5 och tudea öelen läng uvlnjen.

2 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Exempel.: En ula P ä upptädd på en fx tåltåd fomad om en högeuvlnje med vetal axel enlgt Exempel.8 (Läveca 5). Det nemata ftontalet mellan ula och tåltåd ä µ. omulea dffeentalevatonen fö ulan öele läng tåltåden. Lönng: lägg ulan. Infö tyngdaften ( mg) och ontataften R fån tåltåden. Se fguen nedan. Då gälle enlgt aftevatonen ( mg) + R= a m, R= + N dä ä ftonaften och N ä nomalaften. Det gälle att etrt, Rt µ N, = 0 = v et µ N = µ N µ = et( µ N ) = et( µ Ngn( )), 0 v et Rt dä om < 0 gn() = om > 0 och fö nomalaften N = e R + e R n n b b α P g m R e t O j Kaftevatonen ha omponentena gu. Kula på tåltåd.

3 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva et ( mg) + Rt = m, en ( mg) + Rn = m, eb ( mg) + Rb = 0 ρ b a dä enlgt Exempel.8 och Uppgft. Läveca 5 et =, en = 0, eb =. Då följe att c c b ( mg) Rt m c + =, R n = m, Rb ρ a = mg c och dämed N = e n m + e ρ b a mg, c Rt, Rt µ N, = 0 R = t a µ gn( ) ( m) + ( mg ), 0 ρ c (.) Detta lede, med c ρ =, tll dffeentalevatonen ( 0) a 4 = g b µ gn() ( ) ( g a ) g b gn() a + = µ + g (.3) c ρ c c c c Denna dffeentalevaton ä elementät ntegeba. V nöje o emelletd med följande ontateanden om an avläa det u (.3). ntag att ulan befnne g vla, d v = 0, = 0 Då gälle, enlgt (.), a mg c b b 0 = mg + R R = mg c c N = e b, t t Icegldnngvlloet äve att b a b b R t = mg µ N = µ mg µ. Om µ < måte v c c a a föutätta gldnng. ntag att gn() = d v att ulan gde nedfö. Då gälle dffeentalevatonen Om v tata fån vla 0 ( ) = 0 b a 4 = g + µ + g c c c a b 0 ( ) = g ( µ ) c a ö att nu ulan all glda nedfö äv att 0 ( ) < 0vlet ä evvalent med 3

4 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva b µ < (.4) a b Men µ < och µ µ. Dämed ä vlloet (.4) uppfyllt och att ulan glde nedfö. Enlgt a b a Uppgft. (Läveca 5) gälle att coα = = n, nα = = co dä ä tåden lutnng c c b mot hoontalplanet, e även gu.. Sålede = tan och med µ = tanφ an vlloet (.4) a va <. V an ammanfatta: ö att ulan all utcha nedfö tåltåden måte tåden φ lutnng mot hoontalplanet vaa töe än ftonvneln φ, ty anna gälle att ulan öele upphö å månngom. Om > φ å omme ulan att utcha utfö tåltåden med tändgt växande fat (men med avtagande acceleaton) fö att aymptott näma g hatgheten b cg 4 ( ) µ a V övegå nu tll att tudea aftevatonen Cylndeoodnate: G ( e e e ), (,, z) = e + z = e + z G G G z V utelämna, fö enelhet ull, ndex G på oodnatena (,, z) fö macentum. a = e ( ) + e ( + ) + e z, = e + e + z (.5) G z Se nedantående fgu. Kaftevatonen = a ä då evvalent med omponentevatonena G m = ( ) m = ( + ) m z = zm (.6) Vd plan öele ( x-y-planet) gälle att z = 0 och dämed z = 0. Cylndeoodnatena ammanfalle då med planpoläa oodnate och öelevatonena ge då av = ( ) m = ( + ) m (.6) z = 0 4

5 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva z G G a G O j e e gu.3 Cylndeoodnate. Kaftevatonen = a ä då evvalent med omponentevatonena G m = ( ) m = ( + ) m z = zm (.6) Vd plan öele ( x-y-planet) gälle att z = 0 och dämed z = 0. Cylndeoodnatena ammanfalle då med planpoläa oodnate. Exempel.: En lten opp P med maan m tte fat ena änden av en fjäde med fjädeontanten och natulga (opända) längden R, e fgu nedan! Den anda änden av fjäden ä fat föanad punten O. Kng denna punt otea en am med ontanta vnelhatgheten = ω. Koppen P an öa g ett på amen och ä fö övgt tyd n öele av en am va pofl ge av = ( ) = R ( co ) (.7) Det anta att ontaten mellan P och amen amt mellan P och ammen ä glatt. Hela öelen e ett hoontalplan. etäm om funton av, a) nomalaften fån ammen på P. b) den töta vnelhatghet om tllåte att ontaten mellan oppen P och amuvan uppätthåll. 5

6 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva P Kamuva gu.3 Kamtynng. Lönng: lägg oppen P. Infö de ytte aftena: Kaften fån fjäden på oppen f = e ( ( R)), dä e ä den adella enhetveton. Nomalaften fån amuvan på oppen N = e n( N), N 0, dä e n ä huvudnomalen tll amuvan. Se nedantående fgu. Dvaften (nomalaften) fån amen på oppen D= e D. Röelen ge av = () t dä = ω = () t = ωt+ 0 och = 0 Sålede gälle, med utgångpunt fån (.7) = R( n ) = Rωn, = Rω co Koppen acceleaton a = e ( ) + e ( + ) = e ( Rω co R( co ω ) ) + e Rω n = Kaftumman P e Rω (co ) + e Rω n + N + D= e ( ( R)) + e ( N) + e D (.8) f n ö att tll fullo utnyttja cylndeoodnate behöve v uttyca huvudnomalen e n baen ( e e ). Koppen hatghet ge av v = e + e = e Rωn + e R ( co ω ) Tangentveton tll amuvan an va t = v e v dä v = ( Rωn ) + ( R ( co ω ) ) = 6

7 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva ωr 5 4co. Detta ge lutaten att v n co et = = e + e v 5 4co 5 4co och av detta an v da co n en = e( ) + e (.9) 5 4co 5 4co Obevea att v an ocå beäna e t med utgångpunt fån uttycet d d( e) de d = = + e = e R( co ) + e Rn d d d d dä nu e t = d d d d gu.4 Kamtynng, bavetoe. V an nu va aftumman uttyct baen ( e e ) d v, enlgt (.7) och (.8), co n = f + N + D= e( ( R)) + ( e( ) + e )( N) + e D= 5 4co 5 4co co n e ( ( R) + N) + e ( N+ D) 5 4co 5 4co Kaftevatonen = a m ge omponentfom av: 7

8 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva co ( R) + N = Rω (co ) m 5 4co n N + D = ( Rω n ) m 5 4co Detta evatonytem ( de obeanta N och D ) ha lönngen 5 4co N= N( ) = ( ω mr ) ( co ) co Rn D= D( ) = ( ω m+ ( co )) co (.0) Kavet N 0 ä evvalent med ω m 0, d v ω = ωmax. Vnelhatgheten m belopp få ålede nte öveda ω max om ontaten mellan oppen P och amuvan all behålla. Kaftumman ge nu, enlgt (.8), av = e ( ( R)) + e ( N) + e D= co n e( ( R)) + ( e( ) + e )( N) + e D= 5 4co 5 4co co n e ( ( R) + N ) + e ( D N ) 5 4co 5 4co dä N och D ge av (.0). Obevea att D( ) = D( ). nmänng: I exemplet ovan utnyttjade, fö lutaten om ledde fam tll (.0), följande: Om a = e a + e a och b= e ( a ) + e a å gälle att a b = a( a) + aa = 0. n Sammanfattnng: Kaftevatonen (macentum öele) = a G m Kaftevatonen ola oodnatytem Catet x = agx, m y= agy, m z = agz, m Natulgt t = m n = m ρ b = 0 Cylndt = ( ) m = ( + ) m z = zm 8

9 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Celöele ä ett mycet vtg pecalfall av olnjg öele. Om v anta att celöelen föggå x-y-planet, z = 0, = R å gälle = e R och enlgt (.4) Låt aftumman på pateln ge av v = e R, ( a = e R ) + e R (.) = e + e + z Kaftevatonen = a ä då evvalent med omponentevatonena G m = R m = R m (.) z = 0 e R e e R j a O e ( R ) R a O gu.5 Celöele. Exempel.3: (Extenta 003, Uppgft 5) En patel med maan m läpp fån vla läget och glde edan utfö den culäa banan om befnne g ett vetalplan. I ontaten mellan pateln och banan ä det nemata ftontalet µ = 0.. a) etäm öeleevatonen fö pateln uttyct om en dffeentalevaton fö oodnaten = () t. (p) b) etäm pateln fat nä den paea läget. (p) d (Lednng: = d ), Tyngdacceleatonen: g = g = 9. 8m 9

10 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva g gu.6 Extenta 003, Uppgft 5. Lönng: lägg pateln. Infö nomalaft N, ftonaft f och tyngdaft mg. f N mg gu.7 Pateln flagd. a) Pateln utfö en celöele med aden R = 3m. Kaftevatonen ge Kontatvllo: egynneledata: ( e - led) : f + mg co = R m, ( e - led) : N mg n = R m (.3) Evatonena (.3), (.4) ge dffeentalevatonen Med g = 9. 8m, R = 3m, µ = 0. ehålle f = µ N, N > 0 (.4) ( 0) = 0, ( 0) = 0 (.5) g + µ = (co µ n ) (.6) R 0

11 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva + 0. = 37. (co 0. n ) d b) Med = och om v ätte = u an (.5) va d du g µ u (co µ n ) d + = R (.7) om ä en lneä dffeentalevaton fö betämnng av funtonen u = u( ). egynneledata höande tll (.7) ge av u0 ( ) = ( 0) = 0 enlgt (.5). Den allmänna lönngen tll (.7) ge av u( ) = uh( ) + up( ) dä u h ä den å allade homogena lönngen om uppfylle dä C ä en godtyclg ontant och duh µ + µ uh = 0 uh( ) = Ce (.8) d u p ä en patulälönng tll (.7). V anätte u ( ) = co + n (.9) p dä och ä ontante om all betämma å att (.9) uppfylle (.7). Detta ge 6g µ = R, + 4 µ = g ( µ ) R + 4µ och dämed lönngen g ( ) ( ) ( ) R u = uh + u p = ( 3µ co + ( µ )n ) + Ce + 4µ 6g µ Men u0 ( ) = 0 C= R och dämed + 4µ g ( ) ( ) R µ = u = ( 3µ (co e ) + ( µ )n ) + 4µ (.0) Med g = 9. 8m, R = 3m, µ = 0. ehålle, enlgt (.0), µ

12 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva 9. 8 π π 0. ( ) 3 = ( 3 0e. + ( 0. )) 338. π och dämed v = R ( ) 5. 5m. Obevea att enlgt (.3) å gälle fö nomalaften att mg µ 3 N = R m + mg n = ( 3µ (co e ) + n ) 0 (.) + 4µ nmänng: En dé fö lönng av föegående poblem ull unna vaa att utnyttja ambandet mellan potentell eneg läge och net eneg läge, d v antag att mv = mgr v = gr 7. 67m att jämföa med ovan beänade v 5. 5m. Hatgheten bl hä töe efteom v nte tagt hänyn tll enegföluten på gund av fton. En oet enegevaton ge av mv U f = mgr + U f v = ( gr + ) (.) m dä U f epeentea ftonföluten, d v ftonaften abete. Detta abete an va ( d = Rd ) π π π U f f ( ) N( ) g µ 3 = Rd R d R ( 3 (co e ) n ) d m = µ µ µ m = m + = + 4µ m (.3) dä v utnyttjat ambanden (.4) och (.). Detta natt (.) ge v 5. 5m. Integalen (.3) uttyce ftonaften abete (pe maenhet). V a nu nämae tudea begeppet abete.

13 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Sammanfattnng celöele (Celn ade la med R) = e R, R v = e, ( a = e R ) + e R = e + e + e = am= ( e ( R ) + e R ) m z z ( = R ) m = R m z = 0 öelänng : bete (3/6). I öelänng 3, Läveca 4, defneade v en aft abete U på en patel vd en föjutnng av pateln läge enlgt U =. Hu defnea v aften abete då pateln ö g läng banuvan och öelen ge av t ( ), t [ 0T, ] [ ] : = ˆ( ),, 0 T = med 0 ( ) = 0 och T ( ) = T. P = T = 0 O j gu. En aft abete vd olnjg öele. 3

14 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Kaften anta vaa gven av den ontnuelga funtonen = ( t), t [ 0T, ] = t ( ) > 0, t [ 0T, ] nvetea funtonen = t ( ), t [ 0T, ] och va t t ( ), [, ]. V anta nu att d v pateln ö g hela tden tnngen fån = 0 tll = T. Då an v aften om en funton av båglängdoodnaten = och v an då betata [ ] 0 T = ˆ ( ) = ( t ( )),, (.) V dela nu n banuvan ett antal punte defneade av båglängdoodnatena 0 T < < <... < < = (.) 0 n n T och defnea föjutnngana mellan puntena ˆ( ) ˆ = ( ), =,..., n och deutom ˆ ( = + ) dä =. Se fgu nedan. = = = T = = 0 gu. Defnton av en aft abete. V nfö nu n U (, ) = (.3) n = om ett (appoxmatvt) uttyc fö aften abete läng uvan. U (, ) ä ett eellt tal om natulgtv omme att beo på ndelnngen (.3). ö att ehålla ett obeoende väde låte v n å att max 0. Om funtonena = ˆ( ) och = t () ä två gånge ontnuelgt devebaa n och = () t ä ontnuelg å gälle att gänvädet lm U (, ) extea. V ve n n lm U (, ) = U(, ) = d (.4) n 0 n 4

15 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Denna å allade uvntegal alla abetntegalen. Obevea att U = U(, ) ä en alä tohet om an anta åväl potva om negatva väden. De fyala dmenon ä ML T. Obevea ocå att abetntegalen beo på och dä ä en oentead uva, d v uvan punte genomlöp en betämd tnng. Om uvan oenteng ända, d v genomlöp motatt tnng betecna v denna (oenteade) uva. Det gälle då att U(, ) = d = U(, ) = d (.5) Detta följe det av (.33) efteom Sat ev: V utgå fån (8.8) och ontatea att byt mot. V ha nu följande T ˆ dˆ U (, ) = () () d (.6) d 0 öljdat Med n T ˆ ˆ d U n(, ) = ( ) ( ) d, då n, 0 d = 0 () = e () ˆ (), d v aften tangentalomponent, ehålle t t T U (, ) = t () d (.7) 0 ˆ () t () e t () = T = 0 dˆ ev: Det gälle att t d = e och dämed gu.3 Kaften tangentalomponent. 5

16 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva T T T ˆ dˆ U (, ) = () () ˆ d = () t() d = t() d d e llmänt gälle fö en uva på paametefomen [ ] = ( u), u u, u 0 T ntag att d ( u) du 0. Då gälle att abetntegalen ge av ut d ( u) U (, ) = ( u) du du u0 (.8) Exempel.: En hyla påvea av en ontant aft P = ( co β + j n β)p betäm aften abete då hylan ö g läng vatcelbågen, med aden R, fån punten med lägeveton = j R tll punten med lägeveton = R gu.4 betntegalen. Lönng: anuvan ge av av detta ehålle π = ( ) = Rn + jrco, 0, d = Rd(n ) + jrd(co ) = R co d + j R( n ) d och dämed 6

17 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva π U( P, ) = P d = ( Pco β + j Pn β) ( Rco + j R( n )) d = π 0 0 ( P co βr co + Pn βr( n )) d = PR(co β n β) ltenatvt an v det använda (.8) med u π 0 =. Detta ge π d U(, ) = P( ) ( ) d = d 0 (( P co β) R co + ( Pn β) R( n )) d = PR(co β n β) Exempel.: En hyla påvea, om föegående exempel, av en ontant aft P = Pco β + j Pn β etäm aften abete då hylan ö g fån punten tll punten O läng y-axeln och däefte fån O tll läng x-axeln : = ( y ) = j ( R y ), y 0R, : = ( x ) = x, x 0R, [ ] [ ] j P β O gu.5 betntegalen fö altenatv banuva. Lönng: Låt =. Då gälle U( P, ) = P d = P d+ P d = 7

18 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva R ( P co β + jpn β) j( dy) + ( P co β + jpn β) dx = 0 d 0 R d R R Pn βdy + P co βdx = PR(co β n β) 0 0 d v amma väde på abetntegalen om föegående Exempel! I bägge exemplen ovan va aften P, va abete ulle betämma, ontant. Då gälle geneellt och v behöve däfö beäna lnjentegalen U( P, ) = P d = P d d och däefte aläpoduten mellan denna och P. ntag att banuvan tata punten och luta enlgt fguen nedan. P P = = O j gu.6 betntegalen fö ontant aft. Då gälle d d = d = [ ( ) ] = ( ) ( ) = = d och dämed U ( P, ) = P. 8

19 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Se fguen nedan fö en geomet tolnng av ntegalen d! d P = = O j gu.7 Geomet tolnng av d. Tyngdaften abete En patel P ö g tyngdaftfältet vd jodytan läng banuvan, fån punt tll punt. Tyngdaften abete ge då av U( g m, ) = g m d = g m d = g m ( ) (.8) d v abetet beo baa på lägevetoena fö tat- epetve lutpunt på banuvan. Hu banuvan e ut däemellan ha ålede ngen betydele. betntegalen äg vaa vägobeoende. Med g = ( g) ehålle U ( gm, ) = ( g) m ( ) = mg( z z ) = mgh dä h = z z ä den vetala höjdllnaden mellan och. V notea att h 0 U( g m, ) 0 d v om h = z z > 0 å utfö tyngdaften ett negatvt abete. Om en ytte aft all lyfta pateln fån nvån z tll nvån z å måte denna utfö ett potvt abete. Me om dett länge fam texten. 9

20 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva z = z P = z = z h = g m O j gu.8 betntegalen fö tyngdaften. nmänng: Hu ä det med gavtatonaften, ä de abetntegal vägobeoende? etata en atellt S om påvea av joden gavtatonaft Mm = e ( G ) dä M ä joden maa, m ä ymdtatonen maa, ä avtåndet fån joden centum O tll ymdtatonen, G ä unveella gavtatonontanten och e =, =. betntegalen läng Mm banuvan, fån tll, ge av U(, ) = e ( G ) d. S O gu.9 betntegalen fö gavtatonaften. Men = e d = d( e) = de + e d och dämed, efteom e de = 0 ( e e = d( e e ) = de e + e de = de e = 0 ) 0

21 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva M m d U (, ) = e ( G )( d + d) = GM m = GM m( ) e e (.9) dä = och =. betntegalen ä ålede vägobeoende. jädeaften abete: En lneät elat fjäde med opända längden l 0 och fjäde-ontanten ä, en ena ände opplad tll en patel P och n anda ände opplad tll en fx punt O. etäm fjädeaften abete då pateln genomlöpe banuvan : = ˆ( ), [, ] med > 0. Se fguen nedan. I vetofom an fjädeaften va = e ( l ( l)) (.0) 0 dä e =, l = =, = OP. jädeaften abete ge då av ( l) 0 ( l0) ( l0) U(, ) = e( ( l0)) d = ( l0) d= = + (.) d v även detta fall ä abetntegalen endat beoende av banuvan tat- och lutpunte. Obevea att cylndeoodnate gälle = e d = de + ed e d = e de + e e d = d efteom e e d = 0 P P = = O l, 0 j O e j gu.0 jädeaften abete på pateln. Om ålede < å gälle, enlgt (.) ovan, att U(, ) < 0 och fjädeaften utfö ålede ett negatvt abete på pateln. Omvänt å omme fjädeaften att utföa ett la tot potvt

22 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva abete på fjäden. Se fguen nedan! = = l, 0 O j gu. jädeaften abete på fjäden. tonaften abete: Låt o betata en patel (en ula) upptädd på en fx tåltåd. V flägge ulan och nfö ontataften R fån tåltåden på ulan R= N + f N = e N + e N ä nomalaften och f ä ftonaften ( 0) dä n n b b v f = µ N = et( µ N ), v N = N = N + N (.) n b dä µ ä det nemata ftontalet. tonaften ä ålede mottad öelen. ntag att föutom ontataften R å vea yttelgae en aft P på ulan (t ex tyngdaften) och att ulan ha maan m. Då gälle enlgt aftevatonen R+ P = a m (.3) etäm ontataften abete då pateln genomlöpe banuvan : = ˆ( ), [, ] > 0. Det gälle, enlgt (.7), att U ( R, ) = Rt () d dä R = e R= e ( N + f) = e f = f = µ N. t t t t med

23 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva R P P = = O j gu. tonaften abete. Kula upptädd på tåltåd. P e t e b e n P N gu.3 tonaften abete. Kulan flagd. Detta ge U ( R, ) = µ () N() d (.4) dä v antagt att det nemata ftontalet µ = µ () an vaea läng tåden. ö att unna betämma ftonaften abete äv deutom ännedom om nomalaften N= N (). ntag nu, fö enelhet ull, att µ och N ä ontanta (obeoende av ). Då ehålle abetntegalen 3

24 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva U ( R, ) = µ Nd = µ N( ) dä N 0, µ > 0, > och dämed U( R, ) 0, d v ftonaften abete ä ce-potvt. Det ä uppenbat att abetntegalen detta fall nte enbat beo av tat- och lutpunten, d v = ( ) och = ( ), epetve. Stäcan beo uppenbalgen på vlen banuva om ammanbnde puntena och. Jämfö t ex banuvona och nedan. P gu.4 tonaften beoende av banuvan. llmänt betäm N= N () av aftevatonen (8.) om, omponentfom och med natulga oodnate, an va f + Pt = m Nn + Pn = m ρ Nb + Pb = 0 (.5) dä v utnyttjat famtällnngen P = etpt + enpn + e bpb. Obevea att om > 0 å gälle att f = µ N = µ Nn + Nb = µ ( m Pn) + Pb ρ Detta natt (.5) ge dffeentalevatonen µ ( m P n) + P b + P t = m (.6) ρ fö betämnng av öelen: = t (). V anta hä att Pt = Pt t(), Pn = Pn() t och Pb = Pb() t ä gvna funtone. Efteom v antagt att > 0 å an abetntegalen, va vaabelbytet t, d = dt, va U ( R, ) = µ () N() d = µ (()) t N(()) t dt t t 4

25 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Sammanfattnng abete : = ˆ( ),,, båglängdoodnat, betntegalen: [ ] 0 T T T ˆ dˆ U (, ) = d = () () d = t () d d 0 0 [ ] : = ( u), u u, u, 0 T d ( u) du 0 ut d ( u) U (, ) = ( u) du du u0 Konevatvt aftfält: V ha noteat att va afte ha den egenapen att abetntegalen ä vägobeoende. Den beo endat av tat- och lutpunt. Kan man avgöa det, utfån aften, om detta ä fallet, d v utan att beäna abetntegalen och om å ä fallet fnn det då något enelt ätt att utvädea abetntegalen. V all nedan va att man an vaa ja! på dea fågo. Ett aftfält defnea av en funton = () (.7) d v aften beo av läget ummet, gvet av lägeveton. Om v nfö ett Catet oodnatytem ( ) O j an v va Kaftfältet an då beva med uttycen = x+ jy+ z, = x + jy + z x = x( xyz,, ) y = y( xyz,, ) z = z( xyz,, ) (.8) Exempel 8.4: Tyngdaftfältet defnea av () = g m dä g ä tyngdacceleatonen vd jodytan och m ä maan fö en tänt patel (med lägeveton ). Notea att tyngdaftfältet detta fall ä ontant, d v obeoende av. Kaftfältet (.7)-(.8) äg vaa onevatvt om det extea en ontnuelgt deveba, eellväd funton V= V() = Vxyz (,,) (.9) 5

26 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva ådan att x V = x, y V = y, z V = z (.0) = ( ) O j gu.5 Kaftfält. untonen (.9) alla då potental tll. V an va V V V = ( + j + ) x y x Exempel.3: ntag att ett aftfält potental ge av V( x, y, z) = ax+ by+ cz (.) (.) dä abc,, ä eella ontante. etäm aftfältet. Lönng: Det gälle att V x = a, V y = b, V z = c och dämed, enlgt (.), = ( a+ jb+ c) d v aftfältet ä ontant. Genom att nföa veton a = a+ jb+ c an potentalen va V () = a. Om v välje a= b= 0 och c = gm ehålle = ( gm) (.3) 6

27 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Om e z ä tad vetalt uppåt å ä (.3) tyngdaftfältet vd jodytan. Motvaande potental ge då av (.) V ( x, y, z) = mg z och ålede ä tyngdaftfältet onevatvt. Med g = e ( g) an tyngdaftfältet potental va V = V() = g m Exempel.4: ntag att ett aftfält potental ge av Vxyz (,, ) = ax ( + y + z ) dä a 0 ä en eell ontant. etäm aftfältet. z Lönng: Det gälle att V x = ax, V y = ay, V z = az och dämed, enlgt (.), = a( x + jy + z) = a Obevea att potentalen an va V() = a. Gvet en potental V= V() = Vxyz (,,). Veton V V V gadv = + j + x y x (.4) alla gadenten av V. Om = () ä ett onevatvt aftfält med potentalen V å gälle enlgt (.) och (.4) = gadv Mnutecnet evatonen ovan ä en onventon om bygge på, den och fö g godtyclga, föetällnngen att tyngdaften potental all öa med höjden öve jodytan, d v de gadent all vaa tad uppåt. Men tyngdaften ä ju tad nedåt och däav mnutecnet. Obevea ett potentalen tll ett onevatvt aftfält nte ä entydgt betämd, ty om V ä en potental tll = () å ä även V + V0, dä V 0 ä en ontant, en potental tll = () efteom gad( V + V ) = gadv gadv = gadv = 0 0 dä gadv 0 = 0. Val av ontanten V 0 bua alla att välja nollnvån fö potentalen. ntag 7

28 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva t ex att fö potentalen V = V() gälle att V( ) = V. Om v då tället välje potentalen 0 0 V() = V() V0 å gälle att V( 0) = V( 0) V0 = 0 och = gadv = gadv. V ha nu följande vtga Sat ntag att = () ä ett onevatvt aftfält med potentalen V = V(). Då gälle fö alla : = ˆ( ),,, med = ( ) och = ( ) att banuvo [ ] U(, ) = V( ) V( ) (.5) ö att beäna abetntegalen fö ett onevatvt aftfält äce det ålede att blda llnaden mellan potentalen väden tat- epetve lutpunten ho banuvan. ev: Enlgt (.6) gälle att ˆ dˆ( ) U (, ) = () d (.6) d Infö funtonen V ˆ () = V(()) ˆ, d v potentalen läng banuvan. Då gälle, enlgt edjeegeln, att dv ˆ() (()) ˆ ˆ() ˆ ˆ() = dv = gadv (()) ˆ d = () d (.7) d d d d dä ˆ () = (()) ˆ. Genom att ombnea (.6)-(.7) ehålle dvˆ( ) U(, ) = ˆ( ) ˆ( ) ˆ d = V V V( ) V( ) V( ) d = = Sat (Tyngdaften potental) Låt g betecna tyngdacceleatonen vd jodytan. Tyngdaften ge då av g m. Då gälle att tyngdaften potental ge av V() = g m (.8) Sat (jädeaften potental) Kaften = e ( ( l)), = ha potentalen 0 V() = ( l ) 0 (.9) Sat Om = () ä ett onevatvt aftfält gälle att U(, ) = 0 fö alla lutna banuvo [ ] : = ˆ( ),,, d v ˆ( ) = ˆ( ). 8

29 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva P = ( ) = O j gu.6 Sluten banuva. ev: Låt V = V() vaa en potental höande tll = (). Då gälle, enlgt (.5), efteom = ˆ( ) = ˆ( ) =. U(, ) = V( ) V( ) = 0 Sammanfattnng potentell eneg = () onevatvt aftfält med potentalen V = gadv [ ] : = ˆ( ),,, med = ( ) och = ( ) U(, ) = V( ) V( ) Tyngdaften potental: = g m V() = g m jädeaften potental: = e ( ( l)), = 0 V() = ( l ) 0 9

30 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva öelänng 3: Effet (3.6). Eneg- och effetlaga (3.7) Effet (8.5) Defnton: Gvet en puntaft (, P) om angpe en patel P. Det an ammanhanget fnna även anda afte om angpe P men v fouea på aften. ntag att pateln ha hatgheten v. Saläpoduten v = P (3.) 3 alla v aften effet ( Powe ) med den fyala dmenonen dm( P) = ML T. Enhet SIytemet ä Watt (W). Med betecnngana gälle att =, e =, 0, v = v, t v = e v P = v = e e v = vco = v = v (3.) t v dä e e t = co, v = vco ä hagheten omponent aften tnng och v = co ä aften omponent hatgheten tnng. P v e t = T = 0 O j gu 3. En aft effet. Kaften äg vaa effetlö om P= 0. Sat Kaften ä effetlö om och endat om ä vnelät mot v ( v ). ev: P= 0 v = 0 v. 30

31 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Obevea att detta med att aften ä effetlö på ntet ätt nnebä att aften nte påvea pateln. Kaften bda ju fotfaande tll pateln acceleaton. Exempel 3.: En patel, med maan m, ä fatatt en ena änden av en lna och ö g en celbana med lnan täct. Lnan anda ände ä nuten tll en fx punt O. V flägge pateln och anta att den endat påvea av pännaften S fån lnan. Efteom pateln utfö en celöele med celn centum ammanfallande med O gälle att pateln hatghet v ä vnelät mot S. Se fguen nedan! Detta nnebä att S = e ( S) ä effetlö efteom Pateln acceleaton ge av P= S v = e ( S) e v= 0 (3.3) S S S v a = = e ( ) v = 0, = (3.4) m m m R mv v (3.4) följe att pateln fat v ä ontant och att S =. Spännaften ä effetlö och R påvea dämed nte pateln fat men den hålle pateln va celbanan. v v e S O O R gu 3. En aft effet. fö pateln P och en aft = () t veande på pateln. Kaften effet ge då av P= Pt () = () t v () t dä v =. Kaften acumuleade effet P( t, t ), unde tdntevallet t t t dä 0 t < t T, defnea av Eneg- och effetlaga (8/6) Defnton: Gvet en öele = ( t), t [ 0T, ] t Pt (, t) = Ptdt () (3.5) Obevea att v nte utelute att yttelgae afte, föutom = () t, an vea på pateln unde det betatade tdntevallet. t 3

32 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Sat Om ( t), t [ t, t ] v 0 å gälle att dä : = ˆ( ), [, ] P( t, t ) = U (, ) (3.6) ä banuvan med ˆ( ) = ( t) och ˆ( ) = ( t). Kaften acumuleade effet ä ålede la med aften abete. ev: V välje u = t uttycet (8.3) fö abetntegalen. Då ehålle t t t d() t U (, ) = () t dt = () t () t dt = P() t dt = P( t, t) dt v t t t Obevea att v() t = e ( t ()) t () 0 t () > 0 t läng banuvan amma tnng hela tden. Om ( ) elle t ( ) < 0, t [ t, t] t = 0fö något t [ t, t ] vaa ann. etata nu en patel Q om påvea av ett aftytem : (, Q),...,(, Q) 0 n 0, d v pateln ö g å behöve (3.6) ej med aftumman n =. Puntaften (, Q), =,..., n ha effeten P = v på pateln I= dä v ä pateln hatghet. Q v = T = 0 n O j gu 3.3 Ett aftytem effet. 3

33 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva V ha följande Defnton: Kaftytemet effet på pateln ge av n P= P I= Sat P = v (3.7) d v aftytemet effet ge av aläpoduten mellan aftumma och hatghet. n n n ev: P= P = v = ( ) v = v. I= I= I= Defnton: Pateln neta eneg T ge av T = v m (3.8) dä v ä pateln hatghet och m ä de maa. ( v = v v = v, dä v= v ). Knet eneg ha amma fyala dmenon om abete, d v öljande at nyte hop begeppen effet och net eneg. ML T. SI-enheten bl då Nm. Sat (Effetaten I) ntag att en patel påvea av ett ytem av afte om ha effeten P. Då gälle att ev: Med hjälp av edjeegeln ehålle dä v utnyttjat aftevatonen och (3.7). T = P (3.9) d d T v = ( v m) = v m= v am= v = P dt dt Innehållet effetaten an ocå uttyca enlgt följande Sat (Enegaten I) Låt 0 t t T. Då gälle att Tt ( ) Tt ( ) = Pt (, t) (3.0) d v llnaden net eneg vd e två tdpuntena t och t ä la med den unde tdntevallet t, t acumuleade effeten. [ ] ev: Effetaten ge 33

34 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva t t Tt ( ) Tt ( ) = Ttdt () = Ptdt () = Pt (, t) t t Kaftytemet abete på pateln ge av n n n U(, ) = U(, ) = d = ( ) d = d = U(, ) = = = Sat (Enegaten II) Låt 0 t t T : = ˆ( ),,, = t ( ), = t ( ) v( t) 0, t t, t å gälle att och låt [ ] vaa pateln banuva. Om [ ] Tt ( ) Tt ( ) = U(, ) (3.) d v llnaden net eneg vd e två tdpuntena t och t ä la med abetntegalen fö aftumman m a p banuvan. ev: Detta ä en det oneven av (3.0) och (3.6). Gvet ett aftytem : (, Q),...,(, Q) (3.) n veande på pateln Q. Va av aftena an vaa onevatva och anda ce-onevatva. Om v gö en uppdelnng av aftytemet två delaftytem : (, Q),...,(, Q), : (, Q),...,(, Q) m dä nnehålle alla onevatva afte och nnehålle alla ce-onevatva afte. Låt Vj, j =,..., m betecna potentalen fö den onevatva aften j, j =,..., m, d v j = gadv j. Då gälle att m+ n V = V (3.3) j= j ä potental fö umman av de onevatva aftena, ty m m gadv = ( gadvj) = j = (3.4) j= j= betecna aftumman fö de ce- dä ä aftumman fö de onevatva aftena. Låt onevatva aftena. Då gälle att n = j, j= m+ = + (3.5) 34

35 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva ö effetena gälle = + (3.6) P P P dä P ä effeten av det totala aftytemet, P ä effeten av de ce-onevatva aftena. Uppgft3.: Va ambandet (3.6). Sat P ä effeten av de onevatva aftena och (3.7) V = P ev: Med = () t = xt () + jyt () + zt () och V= V() = Vxyz (,,) ehålle efte deveng, med edjeegeln d V V V V = V ( x( t), y( t), z( t)) = x+ y+ z = ( gadv ) v = ( ) v = P dt x y x Defnton: Pateln meana eneg E defnea av d v om umman av den neta och potentella enegn. Sat (Effetaten II) ev: Med utgångpunt fån (3.8) ehålle dä v utnyttjat (3.9), (3.6) och (3.7). E = T + V (3.8) (3.9) E = P E = T+ V = P+ V = P + P P = P öljdat (Meana enegn bevaande) Om de ce-onevatva aftena ä effetlöa, d v om P ( t) = 0, t [ 0T, ], å gälle att meana enegn E= Et () ä en ontant funton, d v E = 0, t 0T,. Detta an även uttyca enlgt [ ] ev: Det följe det av (3.9). Et ( ) = Et ( ), 0 t t T (3.0) öljdat Om de ce-onevatva aftena ha negatv effet, d v om P () t 0, t 0T,, å gälle att meana enegn E= Et () ä en avtagande funton, d v E < 0, t [ 0T, ]. Detta an även uttyca enlgt < [ ] 35

36 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva ev: Det följe det av (3.9). Et ( ) > Et ( ), 0 t < t T (3.) öljdat 3 Låt 0 t t T : = ˆ( ),,, = t ( ), = t ( ) vaa v( t) 0, t t, t å gälle att och låt [ ] pateln banuva. Om [ ] Et ( ) Et ( ) = U(, ) (3.) d v llnaden mean eneg vd e två tdpuntena t och t ä la med abetntegalen fö aftumman av de ce-onevatva aftena m a p banuvan. ev: Med utgångpunt fån (3.9) ehålle t t Et ( ) Et ( ) = Etdt () = P() tdt= P( t, t) = U(, ) t t Exempel 3.: En hyla med maan m an glda läng en tång om lgge ett vetalplan och ä fomad om en vatcelbåge med aden R. Hylan tata fån vla den öveta punten, läge. etäm hylan fat då den nå det undeta läget, läge. Kontaten mellan hyla och tång ä glatt och hylan påvea av aften dä β och P ä ontante. P = ( co β + j n β)p (3.3) g gu 3.4 Hyla på tång. Lönng: lägg hylan Q. Den påvea av aftytemet :( P, Q), ( gmq, ), ( N, Q) dä Ν ä nomalaften fån tången på hylan. Infö lägeoodnaten fö hylan enlgt nedantående fgu. 36

37 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva P Q N j g m O gu 3.5 Hylan flagd. Kaftytemet ä onevatvt med potentalen ( = ) OQ :( P, Q),( gmq, ) V = V() = gm P = ( gm+ P) (3.4) Hylan meana eneg ge då av mv E = T + V = + V (3.5) ö aftytemet gälle att P 0 :( N, Q) = N v = efteom N v. öljdat ge då att meana enegn läge ; E ä la med meana enegn läge ; E. Men ( = j R ) E = T + V = 0 ( gm + ( co β + jn β) P) j R = mgr PR n β mv mv E = T + V = ( gm + ( co β + jn β) P) R = PR co β och dämed mv E = E mgr PR n β = PR co β v = ( PR(co β n β) + mg) m 37

38 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Exempel 3.3: (Extenta 003) En mngolfbana betå av en hoontell, a del och en del C fom av en halv-cylnd yta med aden. I fguen va banan ett vetalplan, edd fån dan. Vlen utgångfat v 0 a man ge bollen vd fö att den all hamna hålet det? ollen få betata om en patel och eventuella enegfölute an föumma. Tyngdacceleatonen: g = g g C gu 3.6 Mngolfbana. Lönng: lägg pateln ett godtyclgt läge mellan och C. Den påvea av tyngdaften g m och nomalaften N fån den halvcylnda ytan. Låt h betecna pateln höjd öve den hoontella bandelen och låt v betecna pateln fat. Infö lägeoodnaten enlgt fguen nedan. Pateln meana eneg: mv( ) E( ) = T ( ) + V ( ) = + mgh( ) C N h O g m gu 3.7 lagd boll. Det gälle att mv( 0) mv E( 0) = + mgh( 0) = 0, mv( π) mv( π) E( π) = + mgh( π) = + mg Efteom nomalaften ä effetlö gälle att meana enegn bevaa, d v mv0 mv( π ) E( 0) = E( π) = + mg v( π) = v0 4g 38

39 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva dä det äv att v0 4g (3.6) V tudea nu luftfäden. lägg bollen. De påvea endat av tyngdaften. Infö Catea x= xt (), y= yt () oodnate fö bollen. Då gälle xm = 0, ym = gm med begynneledata: x( 0) = 0, y( 0) = och x( 0) = v( π ) = v0 4g, y ( 0) = 0. Detta ge gt öelen: x() t = t v0 4g, y() t = vlet ge banuvan gx y = ( v 4g) 0 (3.7) Hålet oodnate ä x = och y = 0. Detta natt (3.7) ge evatonen g( ) 0 = ( v 4g) 0 v0 = 5g (3.8) Vad v lutlgen behöve ontollea ä nomalaften tecen. ntag att N = e ( N). Kaftevatonen adell led ge då Men mv( ) mv( ) N( ) mg co = N = mg co + (3.9) mv0 mv( ) mv( ) mv( ) mv0 = + mgh( ) = + mg( co ) = mg( co ) detta natt (3.9) ge mv( ) mv N = mg co + = mg co + 0 mg( co ) = mv0 mv0 3mg co mg + 5mg 0 + = dä v utnyttjat (3.8). 39

40 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva En opp neta eneg T defnea av T = v v dm P P P v G G GP dm P P v P V an va vp = vg + GP och dämed gu 3.8 En opp neta eneg. T = ( G GP ) ( G GP ) dm P G G dm P G GP dmp GP GP dmp v + v + = + + = v v v v v m + v dm + dm = m + dm = T + T v G G G GP P GP GP P G GP GP P G el = 0 dä T G = v Gm ä macentumöelen neta eneg och Tel = GP GP dmp ä oppen neta eneg elatvt macentumöelen. Om oppen ä en patel å gälle att T el = 0. I va tllämpnnga gälle att elatvöelen ä lten föhållande tll macentumöelen den menngen att GP vg. Då gälle att T dm dm dm m T el = GP GP P = GP P vg P = vg = G och dämed att T TG. En opp utfö en tanlatonöele om ( t GP ) = 0, P. Detta ä evvalent med att v () t = v (), t P I detta fall gälle att Tel = 0 och T = TG. P G 40

41 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Q O G v P v v v gu 3.9 Tanlatonöele. ö ammanatt oppa betående av tela oppa ( n tycen) och fjäda ( m tycen), dä oppana utfö en tanlatonöele, gälle att oppen neta eneg ge av T n = v m = dä v och m betecna oppana hatghete och mao, epetve. Koppen potentella eneg an va V = V + V g e med V n m = gm och Ve = ( l l0, ) dä, l0,, =,.., m ä fjädana tyvhete g G = = och opända längde. Koppen meana eneg ge av E = T + V = T + V + V g e Effetaten nnebä att y (3.30) E = P y dä P ä de ytte aftena effet, exluve tyngdaften. Obevea att fjädana hä anta vaa en del av oppen och att fjädeaftena dämed bl ne afte oppen. ö att onetea detta tudea v nu en ammanatt opp betående av två tela oppa och tanlatonöele och opplade med en lneät elat fjäde med fjädeontanten och opända längden l 0. Koppana befnne g tyngdaftfältet. ntag att ha hatgheten v och att ha hatgheten v. V anta att oppana ha maona m och m, epetve. Den ammanatta oppen = maa ä m= m+ m, om v föumma fjäden maa. Låt nu y ( ) : (, P),,(, P ),( gm, G ),( gm, G ) n n vaa ett ytem av ytte afte veande på, dä v anta att 4

42 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva y ( ) : (, P),,(, P ),( gm, G ) m m vea på och y ( ) : (, P ),,(, P ),( gm, G ) m+ m+ n n y vea på oppen. Obevea att fjädeaften nte äna n. Den ä en ne aft oppen. jäden ä opplad mellan puntena och. v g G l, 0 G v gu 3.0 Sammanatt opp: Två oppa opplade med fjäde. lägg nu de båda oppana och nfö fjädeaften f, = e ( l) (3.3) f 0 = e, e =. Se fguen nedan! Koppen påvea då av ytemet av ytte afte: dä y f y ( ) : ( ),(, ) med aftumman: m R = + gm + och av f = y f y ( ) : ( ), (, ) med aftumman: n R = + gm f = m+ 4

43 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva v G g f f G v Effetaten tllämpad på oppen ge då gu 3. Koppana flagda. T = P (3.3) dä T y = v m ä neta enegn fö och P = R v ä effeten av aftytemet ( ) på gälle att. ö T = P (3.33) dä T = v m ä neta enegn fö och på. v (3.3)-(3.33) följe att y P = R v ä effeten av aftytemet ( ) y T = P + P (3.34) dä T = T+ T ä neta enegn fö den ammanatta oppen och m n P + P = R v + R v = ( + g m + ) v + ( + g m ) v = f f = = m+ m n v + v + g ( mv + m v ) + ( v v ) = f = = m+ y P + g ( mv + m v ) ( v v ) f dä 43

44 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva P y m = v + v = = m+ n ä de ytte aftena y ( ) effet på oppen, exluve tyngdaften. V ha dä d g ( mv + m v ) = g ( mv + m v ) = g ( m + m ) = V dt G G G G g V = g ( m + m ) = g m (3.35) g G G G ä potentella enegn tyngdaftfältet fö oppen v an va (3.35) och G ä macentum fö. Obevea att Vg = Vg + Vg dä Vg = g m G ä potentella enegn tyngdaftfältet fö oppen och V g = g m G ä potentella enegn tyngdaftfältet fö oppen. Enlgt (3.3) gälle, då v ha tanlatonöele, dä ( v v ) = e ( l) ( v v ) = e ( l) ( ) = e ( l) = f ( ) ( ) l d 0 = l0 = V e (3.36) dt V ( ) e = l0 (3.37) ä fjäden elata eneg. Vd hälednngen av (8.89) ha v utnyttjat att = e = e + e e =. Sambandet (3.34) an nu va (3.38) y T = P Vg Ve Koppen meana eneg E defnea av E = T + V + V (3.39) g e d v om umman av den neta, den gavtatonella och den elata enegn. V ha Sat (Effetaten fö ammanatt opp) ö en ammanatt opp gälle att y (3.40) E = P 44

45 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva y dä P ä de ytte aftena effet, exluve tyngdaften (och fjädeaften om ju hä betata om en ne aft). ev: ölje det av (3.38). Om t ex oppen ä fx (oölg) gälle att v = 0 och dämed T = 0 och V g = 0. V an då defnea den meana enegn fö enlgt E = T + Vg + Ve och effetaten ge ambandet (3.40) dä detta fall P y n = v = m+ Exempel 3.4: (Extenta 09060) En lten hyla med maan m läpp fån vla, läge, och glde däefte ftonftt nedfö en mal tång fån läge tll läge C. Stången betå av en a del O och en halvcelfomad del CD med aden R. Stången befnne g ett vetalplan. Tll hylan ä opplad en lneät elat fjäde enlgt fguen. jäden ha fjädeontanten och opända längden l0 = R. Tyngdacceleatonen: g. a) etäm hylan fat nä den nå läge C. (p) b) etäm nomalaften fån tången på hylan läge C. (p) g O D gu 3. Exempel 3.4. Lönng: a) lägg oppen hyla + fjäde Infö ytemet av ytte afte: H, V, N och mg. Koppen meana eneg: E = T + Vg + Ve = mv + mgh+ ( l l0) 45

46 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva dä v ä hylan fat, fjäden opända längd. R + h om h 0 l= lh ( ) = R om h< 0 ä fjäden atuella längd och l 0 = R ä D H V mg N h R C gu 3.3 lagd opp (hyla + fjäde). y Kaftena H, V, N ä effetlöa. Effetaten ge då att E = P = 0 ä bevaad. I läge gälle att h= R, l = R och v= 0. Dämed I läge C gälle att h E = mgr+ ( R R) = mgr+ R ( 3 ) = R och l = R. Dämed dä v ä hylan fat läge C. Men EC = mv + mg( R) + ( R R) = mv mgr E = EC mgr+ R ( 3 ) = mv mgr R v = 4gR + ( 3 ) m, d v den meana enegn b) lägg hylan Läge C. Infö nomalaft N, tyngdaft mg och fjädeaft f. Se fguen nedan! Det gälle att Kaftevatonen läge C: = l ( l) = R ( R) = 0 f 0 mv ( ): f + N mg = R N mv = mg + N = 5mg + R( 3 ) R 46

47 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Se nedantående fgu! f N mg gu 3.4 lagd hyla. Uppgft: Lö ovantående poblem genom att flägga endat hylan. Infö fjädeaften fguen nedan och använd effetaten! f enlgt f N h R D mg gu 3.4 lagd hyla. C V åtevände nu tll Exempel 3.6 Läveca 5 och löe detta poblem med enegmetod. Exempel 3.5: Ett meant ytem betå av två oppa och, med maona m = 40 g och m = 8 g, epetve. Koppana ä föbundna med en lätt, fullomlgt böjlg och otänjba lna. Lnan löpe öve fya to enlgt fguen. Dea ä alla ftonftt lagade på na axla. Tona mao an föumma. Kopp an öa g ftonftt (ulla utan att glda på må lätta hjul) läng ett lutande plan med lutnngvneln α = 0. Kopp hänge ftt tyngdaftfältet. Sytemet läpp fån vla ett utgångläge enlgt fguen. etäm de båda oppana hatghete det läge dä opp ha öt g täcan 0m. fån utgångläget. g = g = 9. 8 m. 47

48 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva g gu 3.6 Meant ytem. Lönng: lägg den opp om betå av: + + lna + to. Infö de ytte aftena: N, N, HC, VC, HD, VD, mg och mg enlgt nedantående fgu. Infö lägeoodnate x och y, e fgu nedan. Knematt tvångvllo ge (e Exempel 3.6, Läveca 5) v detta följe att L = 3x+ y + l L l x= y, 3 3 x = y (3.30) 3 Koppen meana eneg: E= T+ Vg = m x + my mgxnα mgy (3.3) V D m g x V C C H C D H D α N N y gu 3.7 lagd opp (meant ytem). Om v, med hjälp av (3.30), elmnea x och x (3.3) å ehålle 48 mg

49 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva E= ( 4 m + m) y + ( mn α m) gy m ( L l) g I utgångläget Läge gälle att: y = y, y = 0 och dämed meana enegn E = ( mn α m) gy m ( L l) g 3 3 I lutläget Läge gälle att: y = y +, =±. 0m och dämed den meana enegn E = ( 4 m + m) y + ( mn α m) gy ( + ) m ( L lg ) Effetaten ge E = P = 0, efteom aftena N, N, HC, VC, H D och V D ä effetlöa, vlet medfö att E = E, d v ( mn α m) gy m ( L l) g = ( 4 m + m) y + ( mn α m) g( y+ ) m ( L lg ) 3 Detta ge evatonen 4 ( m + m) y + ( mn α m) g= vlet medfö ( m n α m ) g y = m 4 m + m 8 dä =. 0m, vlet ä enda möjlgheten om uttycet unde ottecnet a vaa potvt. Detta ge n tu valet av tecen famfö oten! Om v utnyttja (3.30) å ehålle x 0. 65m Jämfö denna lönng med lönngen av Exempel 3.6. Läveca 5! 49

50 Mean, Del, Stat- och Pateldynam 04, Utgåva Sammanfattnng abete, effet och eneglaga ö patel: En aft effet P på en patel med hatgheten v P = v cumulead effet: Pt (, t) = Ptdt () Om v( t) 0, t [ t, t ], : = ˆ( ), [, ] t t, ˆ( ) = ( t ), ˆ( ) = ( t ) å P( t, t ) = U (, ) En patel neta eneg ge av: T = v m Effetaten fö en patel I: T = P En patel meana eneg: E = T + V Effetaten fö en patel II: E = P Meana enegn bevaande: P = 0 E = 0 Et ( ) = Et ( ), 0 t t T ö tel opp tanlatonöele med hatgheten v = v () t : Effetaten: T = P T = v m, P= v. ö ammanatt opp (tela oppa + fjäda, tanlatonöele) Koppen meana eneg: E = T + Vg + Ve T = m V = m V = l l n n m v, g g G, (, ) e 0 = = = Effetaten: E = P y 50