Maxwells ekvationer. EMB: FDTD sammanfattning. Centraldifferenser. Konstitutiva relationer. I tidsdomänen används främst Faradays och Ampères lagar
|
|
- Simon Vikström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Maxwells ekvatione EMB: FDTD sammanfattning Mats Gustafsson Elekto- och infomationsteknik, Lunds Univesitet ET6, HT, 8 tidsdomänen används fämst Faadas och Ampèes laga D H J t B t + E dä konstitutiva elatione som D ɛe och B µh elle allmänna dispesiva bi-anisotopa modelle används. Divegensekvationena D ρ och B ska vaa uppfllda som begnnelseväden. Konstitutiva elatione Ledningsfömåga, Debe- och Loentzmodelle implementeas enkelt i FDTD. Debemodellen ges av D ɛ E + P med P t + P τ ɛ αe Maxwells ekvatione genealiseas till ɛ E t H + ɛ αe P τ µ H t + E P t +P τ ɛ αe Appoximea med centaldiffeense. Anisotopa mateial modelle kan också anpassas till FDTD. Centaldiffeense Appoximea deivatona med centaldiffeense f(z + ) f(z) f (z + /) + 4 f (z + /) evalueade på ett ekvidistant beäkningsnät f n p,q, f(p x, q,, n) dä E-fältet evalueas i n och H-fältet i (n + /) med n,,,....
2 Yee-cell ummet använde vi Yee-cellen (intoducead av K. Lee 966) dä E-fälten associeas med kantena och H-fälten med sidona av beäkningscellena. x z + E z q q+ {{ q+ + {{ p E x E H x H z H p+ p+ {{ FDTD i 3D Appoximationen med centaldiffeense ge och E x n+ E p+ x n ɛ,q, p+,q, H x n+ p,q+ µ,+ x n p,q+,+ H z n+ p+,q+, z n+ p+,q, H n+ p+,q,+ n+ p+,q, E n p,q+,+ E n p,q+, E z n p,q+,+ E z n p,q,+ och motsvaande fö E, E z, H, H z. E x n+ E p+ x n ɛ,q, p+,q, E n+ E p,q+ n ɛ, p,q+, E z n+ E p,q,+ ɛ z n p,q,+ och H x n+ p,q+ µ,+ x n p,q+,+ H n+ p+ µ,q,+ n p+,q,+ H z n+ p+ z n µ,q+, p+,q+, Explicit uppdateing i n ge FDTD. H z n+ p+ z n+,q+ H, p+,q, n+ p+,q,+ n+ p+,q, H x n+ p,q+,+ x n+ H p,q+, z n+ p+ z n+,q+, x p,q+, H n+ p+,q,+ n+ H p,q,+, x n+ p,q+,+ x n+ p,q,+ x E n p,q+,+ E n p,q+, E z n p,q+,+ E z n p,q,+ E z n E p+,q,+ z n E p,q,+ x n p+,q,+ E x n p+,q, x E x n p+,q+, E x n p+,q, E n p+,q+, E n p,q+, x FDTD i D Med E E x (t, z)ˆx och H H (t, z)ŷ ɛ E x n+ E x n H n+ + µ n + H n+ + n+ E x n + E x n Explicit uppdateing ge FDTD-schemat E x n+ E x n ɛ H n+ + H n + µ ( H n+ + n+ ( Ex n + E x n ) )
3 Matlab med andvillko FDTD: Yee cell i D nt/ t nt/ t fo n :Nt; % Update H fom n*dt-dt/ to n*dt+dt/ in the main gid 3 fo :Nz.5 H() H() - (Dt/mu/Dz) * (Ex(+)-Ex()); end.5 % Update E fom n*dt to (n+)*dt in the main gid except at the bounda end fo :Nz Ex() Ex() - (Dt/eps/Dz) * (H()-H(-)); end Numeisk dispesion E x H z/ z E x H Beäkningsnät Begnnelseväden: E x och H.5 kända Beäkning av E x Beäkning av E x Beäkning av E x 3 Beäkning av E x 4 E x och H.5 kända Beäkning av H x.5.5 Beäkning av H x.5.5 Beäkning av H x.5.5 Beäkning av H x Beäkning av H x E x och H.5 kända E x och H.5 kända E x och H.5 kända E x 3 och H.5 kända E x 3 och H 3.5 kända E x 4 och H 3.5 kända z/ z Dispesionselationen fö FDTD schemat i 3D beäknas som i D fallet med den tidshamoniska planvågen E(, t) E e j(ωtk ) E e j(nωpkx xqkkz), dä k k x x + k + k z z. Dispesionselationen ä a) b)! z c R R.9 R.77 R.577 R k z ¼ fashastighet,!/k/c R R.9 R.77 R.577 R punkte pe våglängd sin (ω/) (c) sin (k x x/) x + sin (k /) + sin (k z /) (a) Dispesionselationen fö olika väden på R c /. (b) Nomalisead fashastighet (ω/k/c) som funktion av antal sampelpunkte pe våglängd (λ/ π/(k)) fö olika väden på R.
4 Stabilitet llustatione av numeisk dispesion fö en Gaussisk och en ektangulä puls. Fomen på pulsena föändas då R <. E x E x t5ns R.58 z/m 3 4 R t.7ns R.9 R z/m FDTD schemat ä stabilt om sin (ω/) fö alla vågvektoe k. Högeledet maximeas av en vågvekto med komponente k x x π, k π och k z π. Obsevea att k x x π motsvaa två punkte pe våglängd (jämfö med Nquist samplingsteoem). Stabilitetsvillkoet ä ( c x + + ) / som föenklas till x c 3.57 x c fö ett kubiskt beäkningsnät x. Lax-Richtmes ekvivalenssats time is 4.885ns llustatione av stabilitet fö en Gaussisk och en ektangulä puls med R.. Efield Efield z/m time is.3369ns z/m Hu kan man veta att den numeiska lösningen, hä med FDTD, appoximea den den iktiga lösningen? Dispesionselationen visa att FDTD-appoximationen ä konsistent med den patiella diffeentialekvationen (Maxwells ekvatione). (Med konsistent menas att FDTD-appoximationen appoximea den patiella diffeentialekvationen fö långsamt vaieande fält, k och ω.) Dispesionselationen visa också att FDTD appoximationen ä stabil om tidssteget väljs lämpligt. Med stabilt menas att lösningen inte växe okontolleat.
5 Lax-Richtmes ekvivalenssats Tappstegsappoximation Vi kan använda Lax-Richtmes ekvivalenssats fö att visa att den numeiska lösningen konvegea mot den iktiga lösningen. Theoem (Lax-Richtmes ekvivalenssats) Ett konsistent finita diffeensschema fö en välställd patiell diffeentialekvation ä konvegent om och endast om schemat ä stabilt. Vad betde detta i paktiken? Lösningen komme att näma sig den iktiga lösningen nä beäkningsnätet föfinas,. Det betde att man bö studea hu lösningen föändas nä man föfina beäkningsnätet. Ett stot poblemet i FDTD ä modelleing av komplexa geometie då de måste appoximeas i det använda beäkningsnätet. Det ge ett fel på cika en halv beäkningscell i objektens stolek och placeing q/4 tappstegsappoximation objekt Det ä mcket svåt att ge någa allmänna feluppskattninga utan man ä ofta hänvisad till konvegensstudie fö att få en uppfattning om felens stolek och dämed möjlighet att lita på de numeiska beäkningana. px/4x Föfinat beäkningsnät Signalfome Ett ekvidistant beäkningsnät ä ba fö att modellea vågutbedning men ofta dåligt på att beskiva komplexa geometie. Det ä födelaktigt att kunna föfina beäkningsnätet lokalt. Enklast (och vanligast) med ektangulät nät med vaieande x,,. Finita volme och finita integations metoden. Tidsdomän FEM elle hbide mellan FDTD och FEM tid i ns tid i ns fekvens i GHz 3 4 fekvens i GHz Källo i tids och fekvensdomän. Bedbandig signal i öve aden och smalbandig signal i nede aden.
6 Geometi fö antenn- och spidningspoblem Nä- till fjäfältstansfom a) b) stålande antenn PML nä till fjäfältsta ta med infallande fält Tansfomea näfältet till fjäfältet i fekvensdomänen F (k, ˆ) jk 4π ˆ ( M(k, ) + η ˆ J(k, ) ) e jkˆ ds V infallande fält mateial totalt fält spitt fält dä ω kc, M ˆn E, J ˆn H samt E(k, ) ejk F (k, ˆ) + O( ) (a) Vanlig spidningsgeometi. (b) Beäkningsgeometi som appoximea spidningsgeometin. och E(k, ) E(t, )e jktc dt PML Pota Det ä vanligt att använda pefekt matchade lage (PML) fö att modellea fimd. dén med PML ä bädda in beäkningsnätet i ett icke fsikaliskt mateial som absobea men inte eflektea infallande vågo. Béenges PML med en elektisk, σ, och en magnetisk, σ σµ /ɛ, ledningsfömåga och en uppdelning av fältkomponentena e.g., E x E x + E xz. An-isotopa mateial paameta (i fekvensdomän) + σ/(jωɛ ) ɛ µ + σ/(jωɛ ) ( + σ/(jωɛ )) Pota används fö att modellea tansmissionsledninga (tex koaxialkabla) och vågledae. Det ä vanliga i antennsimuleinga dä matningen ä viktig. Ett fåtal popageande mode. Ofta analtiska uttck fö modena. Använde modena fö att definiea eflektionskoefficiente. 6 till celle äcke ofta.
7 Peiodiska andvillko Fö och nackdela med FDTD Det ä enkelt att implementea peiodiska andvillko, tex i FDTD. E(t, ) E(t, + L x ˆx) och E(t, ) E(t, + L ŷ) Vanligt fö stoa guppantenne, fekvensselektiva stuktue (FSS) och fotoniska bandgap. Ett fåtal popageande (Floquet) mode. Använde modena fö att definiea eflektions- och tansmissionskoefficiente. + Enkel att implementea + Klaa kompliceade mateialmodelle + Enkel anals + Bedbandig - Tappstegsappoximation - Numeisk dispesion Histoik Beäkningskomplexitet 98 Leap-fog och CFL villko 947 von Neumann stabilitetsanals 966 Yee algoitmen 97 Randvillkosteoi, Gustafsson,Keiss,Sundstöm 977 ABC, Engquist och Majda 994 PML, Beenge 997 PWT, (FDTD+MoM) FDTD+FEM, Rlande och Bondeson Stolek i våglängde minst till 5 punkte pe våglängd Geometi Antal tidssteg (lång tid vid esonans)
8 Tådlös kommunikation med pacemake Ex. Tådlös kommunikation med pacemake Hu ska man designa antenne och kommunikationssstem? Det finns fädiga modelle av människokoppen. Ex. Tådlös kommunikation med pacemake Ex. Tansmission av ljus genom blod Fekvens? f 4 45 MHz Pemittivitet ɛ 64 Ledningsfömåga σ.94 S/m Våglängd? λ c f c f ɛ 3 8 m.9 m Geometi? m 3 m 3 Sampling? λ/5.6 m Antal obekanta? 6 55 ( ) Finae nät fö att modellea antenn och ogan. Undesöka hu ljus spids mot blod samt enstaka blodkoppa fö olika fämst mättekniska fågeställninga med medicinska tillämpninga.
9 Ex. Spidning mot en blodcell Våglängd (fimd) λ.63 µm Btningsindex: plasma np.345 Btningsindex: cell nc.4 Minimum(våglängd)? µm λ λnc µm.4 Diamete 7.76 µm 7λ Höjd.5 µm 6λ Geometi? 8 3 nm3 9 µm3 Sampling? λ/ µm.3 µm Antal obekanta? 9 6 (.3 3) Guppantenne Designa övegången mellan en bedbandig guppantenn och ett skov. Finae nät fö att modellea cellmemban. Vanligt med 3 3 till antennelement. Föenkla med peiodiska andvillko. a) E Ei µ µi E k Ei µ µi z k 4 x ².5 6. mm 7.3 mm feed b) esistive sheet, `4a z x a 7. mm Ex. Radom a) Ei E Höjd λ Längd λ Geometi?.5 λ3 λ3 Sampling? λ/4 µ µi E k Ei µ µi k Undesök hu vågo utbede sig längs en fekvensselektiv adom. En adom (ada & dome) ä ett skdd fö (ada) antenne. z x ².5 6. mm 7.3 mm feed b) esistive sheet, `4a a 7. mm elements 8 elements 8 elements with edge tape dbm d E in - dbm -4 dbm 8GHz 9± -9± ± dbm E in dbm B Bm -9± x z ± Antal obekanta? λ3 6 6 (λ/4) Bedd λ/ Antennelement på högst λmin / avstånd. Ex. RCS fö en antennkant dbm - dbm -4 dbm GHz 9± Elementavstånd på högst λmin /. Vanligt med minst element på en kökt ta. Föenkla med peiodiska andvillko. db TM TE f/ghz 7 8 9
10 Ex. Metamateial Metamateial ä ett slags kompositmateial med egenskape som inte finns i vanliga mateial. Unde de senaste åen ha de studeats intensivt och det spekuleas om tillämpninga som pefekta plana linse, miniatiseing av antenne och cloaking (ett sätt att dölja objekt). Elementavstånd på λmin / till λmin /4. Föenklas ofta med peiodiska andvillko. Efield ( Tidsdomän: FDTD, FDTD+FEM och fekvensdomän: integalekvatione (MoM), PO Mikovågstomogafi Light as Light souce Kan använda FDTD fö lösa vissa invesa poblem (som inom Mikovågstomogafi) iteativt. a) Kan komma ne till omåden på (. m)3 till (. m)3. 8. db db e) ² 5 ²5 ²78 b) 3.4 ¾3.4 d) 78.m ¼ ¾.8 ¾.. c) 4 db db Behöve ofta lösas gg. Efield ( Tidsdomän, fekvensdomän, integalekvatione..4.3 n db db
Geometrisk optik reflektion och brytning
Geometisk optik eflektion oh bytning Geometisk optik F7 Reflektion oh bytning F8 Avbildning med linse Plana oh buktiga spegla Optiska system F9 Optiska instument Geometisk optik eflektion oh bytning Repetition:
Läs merTentamen i Energilagringsteknik 7,5 hp
UMEÅ UNIVERSIE illämpad fysik och elektonik Las Bäckstöm Åke Fansson entamen i Enegilagingsteknik 7,5 hp Datum: -3-5, tid: 9. 5. Hjälpmedel: Kusboken: hemal Enegy Stoage - systems and applications, Dince
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Gudkus i disket matematik Sammafattig, del I G. Gipebeg 1 Mägde och logik 2 Relatioe och fuktioe Aalto-uivesitetet 15 maj 2014 3 Kombiatoik etc. G. Gipebeg Aalto-uivesitetet MS-A0409 Gudkus i
Läs merSkineffekten. (strömförträngning) i! Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten. Skineffekten!
14 15 Stömma alsta magnetfält." Magnetfältet fån en lång ak stömföande tåd: (stömfötängning i B Fältet bilda cikla unt tåden, oienteade enligt högehandsegeln B = i 2" 16 J 17 Stömfötängningen beo av fekvensen
Läs merA.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden
A.Uppgifte om stödmottagae Namn och adess Enköpings Biodlae c/o Mattias Blixt Kykvägen 3 749 52 GRILLBY Jounalnumme 2012-1185 E-postadess mattias.blixt@enviotaine.com B.Uppgifte om kontaktpesonen Namn
Läs merReglerteori, TSRT09. Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet. Torkel Glad. Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet
Reglerteori, TSRT09 Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Sammanfattning av Föreläsning 3 2(19) Kovariansfunktion: Spektrum: R u (τ) = Eu(t)u(t τ)
Läs merLösningsförslag till Problem i kapitel 3 i Mobil Radiokommunikation
Lösningsförslag till Problem i kapitel 3 i Mobil Radiokommunikation 3.1 En mottagarantenn med 50 Ω matningsimpedans och 10 db antennförstärkning befinner sig i ett fält med styrkan 75 dbµv/m vid frekvensen
Läs merTSRT09 Reglerteori. Sammanfattning av Föreläsning 3. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts. Sammanfattning av Föreläsning 3, forts.
Reglerteori 2016, Föreläsning 4 Daniel Axehill 1 / 18 Sammanfattning av Föreläsning 3 Kovariansfunktion: TSRT09 Reglerteori Föreläsning 4: Kalmanfiltret & det slutna systemet Daniel Axehill Reglerteknik,
Läs merI detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.
STUDIEAVSNITT EKVATIONER I de vsni sk vi i på den enklse fomen v ekvione de linjä. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden nä mn löse ekvione v fös gden, llså ekvione som innehålle -eme men ej eme v pen,,...
Läs merVad är ljus? Fundamental krafter. James Clerk Maxwell. Kapitel 3, Allmänna vågekvationen. Maxwells ekvationer i vakuum FAF260
FA0 Vad ä ljus? FA0 Lunds Univesitet 016 Fundamental kafte FA0 Lunds Univesitet 016 James Clek Maxwell FA0 Lunds Univesitet 016 Gavitatin Elektmagnetism föenades på 1800 talet Staka känkaften Svaga känkaften
Läs merTemperaturmätning med resistansgivare
UMEÅ UNIVESITET Tillämpad fysik och elektonik Betil Sundqvist Eik Fällman Johan Pålsson 3-1-19 ev.5 Tempeatumätning med esistansgivae Laboation S5 i Systemteknik Pesonalia: Namn: Kus: Datum: Åtelämnad
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merProjekt. Mats Gustafsson, Electroscience, Lund University, Sweden
Elektromagnetiska ti k beräkningar Projekt 1 Människa och mobil EMB Projekt Metamaterial Fotoniska kretsar MIMO-antenner Spridning i mot antenner Självkomplementära antenner friskt eller rötskadat? FSS
Läs merElektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson
Föreläsning 26/9 Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner 1 Maxwells ekvationer Mats Persson Maxwell satte 1864 upp fyra stycken ekvationer som gav en fullständig beskrivning av ett elektromagnetiskt
Läs merFördjupningsrapport om simuleringar av bombkurvan med Bolins och Eriksson matematisk modell
1 Föjupningsappot o siuleinga av bobkuvan e Bolins och Eiksson ateatisk oell Av Peh Bjönbo Rappoten ge en bakgun so beskive Bolin och Eiksson (1959), speciellt eas ateatiska oell fö att siulea ängen aioaktiv
Läs merVågräta och lodräta cirkelbanor
Vågäta och lodäta cikelbano Josefin Eiksson Sammanfattning fån boken Ego fysik 13 septembe 2012 Intoduktion Vi ska studea koklinjig öelse i två dimensione - i ett plan. Våätt plan och lodätt plan Exempel
Läs merEDI615 Tekniska gränssnitt Fältteori och EMC föreläsning 3
EDI615 Tekniska gränssnitt Fältteori och EMC föreläsning 3 Daniel Sjöberg daniel.sjoberg@eit.lth.se Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds universitet April 2014 Outline 1 Introduktion
Läs merA.Uppgifter om stödmottagare. B.Uppgifter om kontaktpersonen. C.Sammanfattning av projektet. C.1.Projektet genomfördes under perioden
A.Uppgifte om stödmottagae Namn och adess Destination Stömsholm Bige Jals väg 9 734 51 Kolbäck Jounalnumme 2009-2686 E-postadess ulla.b-son@telia.com B.Uppgifte om kontaktpesonen Namn och adess Sigwad
Läs mer2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)
1 Föeläsning 11 9.1-9.2.2 i Giffiths Randvillko (Kap. 7.3.6) (Vi vänta till föeläsning 12 med att ta upp andvillkoen. Dä används de fö att bestämma eflektion och tansmission mot halvymd.) De till Maxwells
Läs merREGLERTEKNIK KTH. REGLERTEKNIK AK EL1000/EL1110/EL1120 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 2015 04 08, kl. 8.00 13.00
REGLERTEKNIK KTH REGLERTEKNIK AK EL000/EL0/EL0 Kortfattade lösningsförslag till tentamen 05 04 08, kl. 8.00 3.00. (a) Signalen u har vinkelfrekvens ω = 0. rad/s, och vi läser av G(i0.) 35 och arg G(i0.)
Läs merTentamen i Matematisk statistik, LKT325, 2010-08-26
Tentamen i Matematisk statistik, LKT35, 010-08-6 Uppgift 1: Beräkna sannolikheten P(A B) om P(A C B) = 0.3 och P(B C ) = 0.6 Uppgift : Sannolikheten för att behöva kassera en balk p.g.a. dålig hållfasthet
Läs merDagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)
Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna
Läs merTentamen i FysikB IF0402 TEN2:3 2010-08-12
Tentamen i FysikB IF040 TEN: 00-0-. Ett ekolod kan användas för att bestämma havsdjupet. Man sänder ultraljud med frekvensen 5 khz från en båt. Ultraljudet reflekteras mot havets botten. Tiden det tar
Läs merLösningsförslag nexus B Mekanik
Lösningsföslag 1 Mekanik 101. Stenen falle stäckan s. s gt 9,8 1, 6 m 1,6 m Sva: 1 m 10. Vi kan använda enegipincipen: mv mgh v gh Hastigheten vid nedslaget bli då: v gh 9,85 m/s 6 m/s Sva: 6 m/s 10. a)
Läs mer2. Reflektion. Z= oo. λ / 4
2. Reflektion Z= oo Z=0 λ / 4 En kortsluten ledning, som är en kvarts våglängd lång, ger en oändlig impedans på ingången. Men om frekvensen avviker, så att det inte längre är en kvarts våglängd, kommer
Läs merÄngsbacken Välkommen hem till en modern bullerby
Ängsbacken Välkommen hem till en moden bulleby BRF Ängsbacken, Hallena i Stenungsund Ett njutbat hemmaliv Nu bygge vi 40 tivsamma lägenhete i ett ofyllt kvate i Hallena, Stenungsund. Hä bo du i ett bostadsomåde
Läs mer13. Plana vågors reflektion och brytning
13. Plana vågors reflektion och brytning [RMC] Nu skall vi använda resultaten för plana vågors fortskridande och speciellt resultaten för gränsvillkor som härleddes i förra kapitlet för att behandla de
Läs mer1 Rörelse och krafter
1 Röelse och kafte 101. Man bö da vinkelätt mot vektyget. Kaften F beäknas då genom att momentet M = F! l " F = M l Sva: 40 N = 110 0,45 N = 44 N 10. a) Maximalt moment få Ebba i de ögonblick då kaften
Läs merReglerteknik M3. Inlämningsuppgift 3. Lp II, 2006. Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:...
Reglerteknik M3 Inlämningsuppgift 3 Lp II, 006 Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:... Uppskattad tid, per person, för att lösa inlämningsuppgiften:... Godkänd Datum:... Signatur:... Påskriften av
Läs mer001 Tekniska byråns information. Värmefrån ventiler. Inom alla områden av såväl nyprojektering som ombyggnad och drift av redan byggda hus riktas inom
pe" `sfk K ".` _. :...... -.Y BS 00 Byggnadssyelsen Teknska byåns nfomaon 979-04 Vämefån venle VÄRMEAVGVNNG CENTRALER M M FRÅN OSOLERADE VENTLER UNDER- nom alla omåden av såväl nypojekeng som ombyggnad
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät med återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät med återkopplingar.
Läs mer16. Spridning av elektromagnetisk strålning
16. Spidning av elektomagnetisk stålning [Jakson 9.6-] Med spidning avses mest allmänt poessen dä stålning antingen av patikel- elle vågnatu) växelveka med något objekt så att dess fotskidningsiktning
Läs merVad är ett oscilloskop? TFMT3 Fö : Digitala oscilloskop och pulsmätngar tt graf-ritande stument för att visa elektriska signaler X tid Y Spänng (Z- tensitet) Per Sandström Institutionen för Fysik, Kemi
Läs merMin cykel. 5 Cykelhjälm Det är viktigt att använda cykelhjälm när man cyklar. Men hur ska cykelhjälmen sitta på huvudet för att ge bäst skydd?
Min cykl Sidan Innhåll 4 På väg hm Ands och Osca ha båttom hm. Osca måst lämna matvaona han vait och handlat innan han och Ands kan cykla till täningn. 5 Cyklhjälm Dt ä viktigt att använda cyklhjälm nä
Läs merTentamen i Fotonik - 2012-03-09, kl. 08.00-13.00
FAFF25-2012-03-09 Tentamen i Fotonik - 2012-03-09, kl. 08.00-13.00 FAFF25 - Fysik för C och D, Delkurs i Fotonik Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, godkänd formelsamling (t ex TeFyMa), utdelat formelblad.
Läs merKap.7 uppgifter ur äldre upplaga
Ka.7 ugifte u älde ulaga 99: 7. Beäkna aean innanfö s.k. asteoidkuvan jj + jyj Absolutbeloen ha till e ekt att, om unkten (a; b) kuvan, så gälle detsamma (a; b) (segelsymmeti m.a.. -aeln), ( a; b) (segelsymmeti
Läs merStrömtänger för AC. DN serien 5.00 (1/2) DN series
Strömtänger för AC DN serien Denna serie är högprestanda strömtänger för de riktigt höga AC strömmarna. Med utmärkt omsättningsförhållande och mycket låg fasvridning, kombinerat med ett brett frekvensband
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merUppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund tel. 073 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merTentamen i Krets- och mätteknik, fk - ETEF15
Tentamen i Krets- och mätteknik, fk - ETEF15 Institutionen för elektro- och informationsteknik LTH, Lund University 2015-10-29 8.00-13.00 Uppgifterna i tentamen ger totalt 60. Uppgifterna är inte ordnade
Läs merLösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)
Institutionen fö Matematik, KTH, Olle Stomak. Lösningsföslag till tentamen i 5B117 Diffeential- och integalkalkyl II fö F1, 2 4 1. 1. Funktionen f(x, y) = xy x 2 +y 2 (x, y) (, ), (x, y) = (, ) ä snäll
Läs merFör att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.
I. Reella gase iialkoefficientena beo av fomen på molekylenas växelvekningspotential i en eell gas. Bestämmandet av viialkoefficientena va en av den klassiska statistiska mekanikens huvuduppgifte. Fö att
Läs mer9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 3 juni, 15, V-huset. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 3
Föeläsninga 1 / 15 TSRT91 Regleteknik: Föeläsning 3 Matin Enqvist Regleteknik Institutionen fö sstemteknik Linköpings univesitet 1 Inledning, gundläggande begepp. 2 Matematiska modelle. Stabilitet. PID-egleing.
Läs merRobust navigering med ett tätt integrerat GPS/INS och adaptiv lobformning. Johan Malmström 14 april 2003
1 Robust navigering med ett tätt integrerat GPS/INS och adaptiv lobformning 2 Syfte Skapa en simuleringsmiljö för en tät integrering mellan ett tröghetsnavigeringssystem och GPS Modellera och implementera
Läs merImpedans och impedansmätning
Impedans och impedansmätning Impedans Många givare baseras på förändring av impedans Temperatur Komponentegenskaper Töjning Resistivitetsmätning i jordlager.... 1 Impedans Z = R + jx R = Resistans = Re(Z),
Läs merKapitel IV. Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser
Kapitel IV Partikeltalet som termodynamisk variabel & faser Kemiska potentialen Kemiska potentialen I många system kan inte partikelantalet antas vara konstant så som vi hittills antagit Ett exempel är
Läs mer6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER
Kvantstatistik fö ideala gase 6 6 KVANTSTATISTIK FÖR IDEALA GASER 6. Fomuleing av det statistiska poblemet Vi betakta en gas av identiska patikla inneslutna i en volym V vilken befinne sig i ämvikt vid
Läs merMalmö stad, Gatukontoret, maj 2003 Trafiksäkra skolan är framtaget av Upab i Malmö på uppdrag av och i samarbete med Malmö stad, Gatukontoret.
Miljö Malmö stad, Gatukontot, maj 2003 Tafiksäka skolan ä famtagt av Upab i Malmö på uppdag av och i samabt md Malmö stad, Gatukontot. Txt: Run Andbg Illustation: Las Gylldoff Miljö Sidan Innhåll 4 Miljö
Läs merFORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C
FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C ALGEBRA Kdeigsegle ( + ) + + ( ) + Kojugtegel ( + )( ) Adgdsektioe Ektioe + p + q 0 ötte p p p p + q o 4 4 id + p o q q ARITMETIK Pefi Tiopotes
Läs merSkate Film Golf Skytte MTB cykling Konst RC skärmflyg Circus Mimulus Dans Discgolf Fiske Boxning
ban & ungdoma! Kostnadsfitt fö alla e g ä l a m Som Skate Golf Skytte MTB cykling Konst RC skämflyg Cicus Mimulus Discgolf Fiske Boxning 2016 Vafö ha jag fått den hä boschyen? Ä du elev i någon av Foshaga
Läs merPartiklars rörelser i elektromagnetiska fält
Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003 1 Inledning
Läs merNivåmätning Fast material Flytande material
Nivåmätning Fast mateial Flytande mateial Nivåmätning fö pocessindustin Nivåkontoll fö: Övefyllnadsskydd Batchkontoll Poduktmätning Lagekontoll Säkehetslam Skiljeyto Industie: Koss o Asfalt Olja o Gas
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3
levaiabelanals I Vinten 9 Övesikt föeläsninga läsvecka Det teje kapitlet i kusen behanla ubbel- och tippelintegale. Den integalen vi känne till fån envaiabelanalsen, f ( ) b a, kan ju ofta ses som aean
Läs merEMB: Projekt. EM Projekt. Ickeförstörande detektion av röta i träd
a) Sound tree V b) Equipotential surface rrent density z zi zv zv zi Tree with decay ρrot rot cone Vd EMB: Projekt Mats Gustafsson Elektro- och informationsteknik, Lunds Universitet ET6, HT, 8 EM Projekt
Läs merSÄKERHETSDATABLAD Enligt EG-direktiv 1907/2006/EG
Vesion 1.0 Sida 1/7 1. NAMNET PÅ ÄMNET/BEREDNINGEN OCH BOLAGET/FÖRETAGET Poduktinfomation Handelsnamn: Mat.No./ GenisysNo.: 03260267123 Användningsomåde: Laboatoiebuk Föetag: Roche Diagnostics Scandinavia
Läs mer100318/Thomas Munther IDE-sektionen/Högskolan i Halmstad. Formelsamling Reglerteknik
38/Thoms Munther IDE-sektionen/Högskoln i Hlmstd Formelsmling Reglerteknik Smbnd melln stegsvr och överföringsfunktion ( insignlen u är nedn ett steg med mplitud = som pplicers vid t=, där är llmänt y/
Läs merStrömning och varmetransport/ varmeoverføring
Lektion 8: Värmetransport TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Den gul-orange färgen i den smidda detaljen på bilden visar den synliga delen av den termiska strålningen. Värme
Läs merBasbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
Läs merPositiv geometri för bearbetning av rostfria stål
New Septembe 2013 Nya poukte fö kätekniken Poitiv geometi fö beabetning av otfia tå...och etta me en innovativa Dagonkin beäggningteknoogin Fägko fö Dagonkin: fö otfia tå (autenitikt, feitikt, matenitikt)
Läs merMålsättning: modell. Kvinnor kan uppnå fantastisk fysik genom att lyfta tunga vikter och äta bra mat utan att svälta sig själva.
Målättig: dll E plig tä tä kvi bö fku på tt lä ut följd: Kvi k it v ädd fö tug vikt, Få kvi tt i tt d k b ut vtt kppvikt å läg d ä fit, D k it bt fölit ig på våg fö tt utväd i ftg, D bö lägg tö fku på
Läs merAntenner exempel. Klassiska antenner
Antenner exempel Gerhard Kristensson Institutionen för elektro- och informationsteknik Klassiska antenner Dipolantenn (Wi-Fi) Yagi-Uda-antenn GK Sida 1 Klassiska antenner, små antenner GK Sida 2 Kommunikationsantenner
Läs merTentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801)
Tentamen: Atom och Kärnfysik (1FY801) Onsdag 30 november 2013, 8.00-13.00 Kursansvarig: Magnus Paulsson (magnus.paulsson@lnu.se, 0706-942987) Kom ihåg: Ny sida för varje problem. Skriv ditt namn och födelsedatum
Läs merk x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTENTAMEN I TILLÄMPAD VÅGLÄRA FÖR M
TENTAMEN I TILLÄMPAD VÅGLÄRA FÖR M 2012-01-13 Skrivtid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Formelblad och räknedosa. Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Börja varje ny uppgift på ett nytt blad och skriv
Läs merObservera att uppgifterna inte är ordnade efter svårighetsgrad!
TENTAMEN I FYSIK FÖR n, 18 DECEMBER 2010 Skrivtid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Formelblad och räknare. Börja varje ny uppgift på nytt blad. Lösningarna ska vara väl motiverade och försedda med svar. Kladdblad
Läs mer( ) ( ) Kap. 5.5-7. Kolligativa egenskaper + fasjämvikter för 2-komponentsystem 5B.2/5.5 Kolligativa egenskaper R T
Ka. 5.5-7. Kolligativa egeskaer + fasjämvikter för 2-komoetsystem 5.2/5.5 Kolligativa egeskaer Kolligativa egeskaer: Egeskaer som edast beror å atalet artiklar som lösts Förutsättig: utsädda lösigar, lösta
Läs merLABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 LÄSÅRET 03/04. Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel
Lennart Edsberg Nada, KTH December 2003 LABORATIONSHÄFTE NUMERISKA METODER GRUNDKURS 1, 2D1210 M2 LÄSÅRET 03/04 Laboration 3 3. Torsionssvängningar i en drivaxel 1 Laboration 3. Differentialekvationer
Läs mer1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.
Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentiale och fält Vågekvationena fö potentialena educeas nu till [Giffiths,RMC] Fö att beäkna stålningen fån kontinueliga laddningsfödelninga och punktladdninga måste deas el- och magnetfält vaa kända.
Läs merXVIII. Maxwells ekvationer och elektromagnetiska vågor
XVIII. Mawells ekvationer och elektromagnetiska vågor I detta kapitel lär vi oss att förstå hur elektromagnetiska vågor (e. ljus) kan fortplantas i vakuum och andra media. lektromagnetiska vågor är t.e.
Läs merTentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE3 Sannolihet, statisti och ris 215-6-4 l. 8.3-13.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Johan Jonasson, telefon: 76-985223 31-7723546 Hjälpmedel: Typgodänd
Läs merIndustriell matematik och statistik, LMA136 2013/14
Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 14 Februari 2014 Disposition ion Funktioner av stokastiska variabler E[aX + b] = ae[x ] + b Var(aX + b) = a 2 Var(X ) E[g(X { )] = x i Ω g(x i)p(x =
Läs merZA5888. Flash Eurobarometer 372 (Women in Developing Countries) Country Questionnaire Sweden
ZA888 Flash Euobaomt 7 (Womn in Dvloping Countis) County Qustionnai Swdn FL 7 Womn in dvloping countis - SE D Hu gammal ä du? (SKRIV NER OM "VÄGRAR" KOD '99') D Kön Man Kvinna Euopés åsikt om situationn
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merI ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0
Föeläsning 3 Motsvaa avsnitten 3. 3.2.4, 3.3.2 3.4 i Giffiths Laplace och Poissons ekvation (Kap. 3.) I ett omåde utan elektiska laddninga satisfiea potentialen Laplace ekvation 2 () = 0 och i ett omåde
Läs mer14. Potentialer och fält
4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast
Läs merSurveysektionens årsmöte 20 oktober 2004.
uvesektonens åsmöte oktobe 4. åga aspekte på anals av suvedata av Lennat odbeg, CB ----------------------------------------------------------------- Anals av suve-data kan betda allt mölgt...tll eempel:
Läs mera hudceller b nervceller c blodceller d njurceller
Celler som leder signaler kallas för S04_01 a hudceller b nervceller c blodceller d njurceller S042013 S04_02 Organ X Vad är organ X? S042006 a lever b magsäck c tunntarm d tjocktarm Fred har ett paket
Läs mer9.3. Egenvärdesproblem
9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.
Läs merFOURIERANALYS En kort introduktion
FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................
Läs merEn debatt på http://www2.vansterpartiet.se/debatt/
En debatt på http://www2.vanstepatiet.se/debatt/ Åke Eiksson: Sluta slia i fedsfågan! [2005-03-14] - Fösvasuppgöelsena i iksdagen gös alltid mellan valen. Fågan om kig och fed bli aldig en valfåga. Det
Läs merTentamen MVE265 Matematisk statistik för V, 2013-01-19
Tentamen MVE6 Matematisk statistik V, 03-0-9 Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 0 poäng. Det krävs minst 0 poäng betyg 3, minst 30 poäng 4 och minst 40. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel:
Läs merFö. 3: Ytspänning och Vätning. Kap. 2. Gränsytor mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (mer i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska)
Fö. 3: Ytspänning och Vätning Kap. 2. Gänsyto mellan: vätska gas fast fas vätska fast fas gas (me i Fö7) fast fas fast fas (vätska vätska) 1 Gänsytan vätska-gas (elle vätska-vätska) Resulteande kaft inåt
Läs merREDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK
Chiste Nbeg REDVISNINSUIFT I MEKANIK En civilingenjö skall kunna idealisea ett givet vekligt sstem, göa en adekvat mekanisk modell och behandla modellen med matematiska och numeiska metode I mekaniken
Läs merJOHAN KLINGSTEDT GUSTAV MA RTENSSON VNA. + h - + x+k-1 +
zk VNA Ф x-k + h - Σ K + x+k-1 + Σ x+k Design av Kalmanfilter fo r signalbehandling av antennsvar fra n riktade mikrova gsantenner Utveckling av demonstrationsuppsta llning fo r realtidspositionering av
Läs merFRIIs Kvalitetskod Antagen av FRIIs årsmöte 2007-05-30
FRIIs Kvalitetskod Antagen av FRIIs åsmöte 2007-05-30 Utabetad i samabete mellan FRII och Öhlings PicewatehouseCoopes Jämtlands läns Cance- och Omvådnadsfond å 2012. 1. Övegipande pincipe i FRIIs kvalitetskod
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merReglerteknik, TSIU 61
Reglerteknik, TSIU 61 Föreläsning 7 Regulatorkonstruktion i Bodediagram Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Innehåll 2(18) 1. Sammanfattning av föreläsning 6 2. Hur ställer man in en PID-regulator
Läs merSammanfattande redovisning av rådslag/konferens om Folkbildningens framsyn
Eic Sandstöm Diekt telefon 044-781 46 29 E-post:eic.sandstom@fuuboda.se 2003-10-20 Till Folkbildningsådet Sammanfattande edovisning av ådslag/konfeens om Folkbildningens famsyn 1. Fakta om seminaiet/ådslaget
Läs merReglerteknik 6. Kapitel 10. Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln. William Sandqvist william@kth.se
Reglerteknik 6 Kapitel Köp bok och övningshäfte på kårbokhandeln Föreläsning 6 kap Reglersystemets egenskaper Stabilitet är den viktigaste egenskapen. Ett ostabilt system är oanvändbart. Stabilitet är
Läs merAckrediteringens omfattning
Sveriges Tekniska Forskningsinstitut, Enheten för Kalibrering och Verifiering, Borås - 1002 Ackrediterad kalibreringsverksamhet bedrivs vid följande laboratorier: Box 56 230 53 ALNARP Sundsvägen 8 Box
Läs mer1 Cirkulation och vorticitet
Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös
Läs merElektromagnetisk strålning. Lektion 5
Elektromagnetisk strålning Lektion 5 Bestämning av ljusets hastighet Galilei lyckades inte bestämma ljusets hastighet trots flitiga försök Ljuset färdas med en hastighet av 300000 km/s genom tomma rymden
Läs merReglerteknik M3, 5p. Tentamen 2008-08-27
Reglerteknik M3, 5p Tentamen 2008-08-27 Tid: 08:30 12:30 Lokal: M-huset Kurskod: ERE031/ERE032/ERE033 Lärare: Knut Åkesson, tel 0701-749525 Läraren besöker tentamenssalen vid två tillfällen för att svara
Läs merOp-förstärkarens grundkopplingar. Del 2, växelspänningsförstärkning.
Op-förstärkarens grundkopplingar. Del 2, växelspänningsförstärkning. I del 1 bekantade vi oss med op-förstärkaren som likspänningsförstärkare. För att kunna arbeta med op-förstärkaren vill vi kunna mäta
Läs merEnda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.
KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer
Läs merMichelson-interferometern och diffraktionsmönster
Michelson-interferometern och diffraktionsmönster Viktor Jonsson vjons@kth.se 1 Sammanfattning Denna labb går ut på att förstå fenomenen interferens och diffraktion. Efter utförd labb så ska studenten
Läs merTentamen i Trådlös Internet-access
Mittuniversitetet Inst. för IT och medier, ITM Stefan Pettersson 005-08- Tentamen i Trådlös Internet-access Tid: 08.00-13.00. Hjälpmedel: Valfri miniräknare. Bifogad formelsamling. Ansvarig lärare: Stefan
Läs merOnsdagen den 16 mars 2005, 8:00 13:00
Onsdagen den 16 mars 2005, 8:00 13:00 Tentamen omfattar fem uppgifter och till samtliga skall fullständiga lösningar lämnas. Maximal poäng per uppgift är 5. Godkänt garanteras på 11 poäng. Som hjälpmedel
Läs mer