Modellering och reglering av mjölkningsrobot

Transkript

1 Modellering och reglering a mjölkningsroot Eamensarete tfört i reglerteknik a Fredrik Karlsson Mattias Kastman LiTH-ISY-EX

2 Modellering och reglering a mjölkningsroot Eamensarete tfört i reglerteknik id Linköings tekniska högskola a Fredrik Karlsson Mattias Kastman LiTH-ISY-EX-38-

3 Modellering och reglering a mjölkningsroot Eamensarete tfört i reglerteknik id Linköings tekniska högskola a Fredrik Karlsson Mattias Kastman LiTH-ISY-EX-38- Handledare: Sante Gnnarsson Ingela Lind Jan-Erik Andersson, DeLaal Eaminator: Sante Gnnarsson Linköing den 8 Mars

4 Adelning, Instittion Diision, Deartment Instittionen för Systemteknik LINKÖPING Datm Date -3-8 Sråk Langage X Senska/Swedish Engelska/English Raortty Reort category Licentiatahandling X Eamensarete C-sats D-sats Örig raort ISBN ISRN LITH-ISY-EX-ET-38- Serietitel och serienmmer Title of series, nmering ISSN URL för elektronisk ersion htt:// Titel Title Författare Athor Modellering och reglering a mjölkningsroot Modelling and controlling of a milking root Fredrik Karlsson, Mattias Kastman Sammanfattning Astract In this master thesis a root arm elonging to an atomatic milking machine from DeLaal is inestigated. The root arm is controlled y a nematic cylinder and a ale. The goal of the master thesis is to inestigate instaility rolems and to find ot if it is ossile to sole them y sing gain schedling. Gain schedling is a tye of controller where the arameters of the controller are changed dring oeration, for eamle deending on the working oint. First a nonlinear mathematical model of the system was made. Then a test rig was ilt with a root arm and sensors, identical to the ones monted on the real machine from DeLaal. The different arameters of the nonlinear model were then tned and alidated against data from the test rig to make sre that the model is correct. After that the nonlinear model was linearized for a closer analysis of the arameters that seemed to hae an aarent effect on the system ehaior. The reslt of the analysis showed that the roale case of instaility is a decrease of the iscos friction, which gies worse daming characteristics. It was more sitale to ase the controller arameters on the ale oening instead of the working oint for the root arm, since the gain in the ale increases with increasing ale oening. To aoid deterioration in hase margin ecase of the increased gain, the controller is adjsted so that the total gain is the same regardless of ale oening. The reslt is a system with larger andwidth, less sensitie to changes in the iscos friction. Nyckelord Keyword modellering, reglering, nematik, root, friktion, entil, cylinder

5 Sammanfattning I detta eamensarete ndersöks en rootarm tillhörande en atomatisk mjölkningsanläggning från DeLaal. Rootarmen styrs a en nematisk cylinder med tillhörande entil. Målet med aretet är att ndersöka rolem med instailitet och se om det är möjligt att lösa det med arameterstyrning. Parameterstyrning är en ty a reglator där reglatorns arametrar ställs om nder drift, t e eroende å aretsnkt. Först gjordes en olinjär matematisk modell a systemet. Därefter yggdes en rorigg med likadan rootarm och giare som finns i DeLaals riktiga mjölkningsanläggning. Den olinjära modellens olika arametrar trimmades in och aliderades mot mätdata från roriggen, för att kontrollera att modellen stämmer öerens med systemet. Sedan linjäriserades den olinjära modellen för att göra en närmare analys a de arametrar som isat sig åerka systemets förande markant. Resltatet a analysen isade att den troliga orsaken till instailitet är en minskning a den iskösa friktionen, ilket i sin tr ger sämre dämningsegenskaer. Det isade sig ara lämligare att asera reglatorarametrarna å entiltstyrningen än å olika aretsnkter för rootarmen. Förstärkningen i entilen ökade nämligen med ökad entiltstyrning. För att ndika försämrad fasmarginal ga förstärkningsökningen, anassas reglatorn så att den totala förstärkningen är densamma oasett tstyrning a entilen Resltatet le ett system som har större andredd och som är mindre känsligt för ändringar a den iskösa friktionen.

6 Astract In this master thesis a root arm elonging to an atomatic milking machine from DeLaal is inestigated. The root arm is controlled y a nematic cylinder and a ale. The goal of the master thesis is to inestigate instaility rolems and to find ot if it is ossile to sole them y sing gain schedling. Gain schedling is a tye of controller where the arameters of the controller are changed dring oeration, for eamle deending on the working oint. First a nonlinear mathematical model of the system was made. Then a test rig was ilt with a root arm and sensors, identical to the ones monted on the real machine from DeLaal. The different arameters of the nonlinear model were then tned and alidated against data from the test rig to make sre that the model is correct. After that the nonlinear model was linearized for a closer analysis of the arameters that seemed to hae an aarent effect on the system ehaior. The reslt of the analysis showed that the roale case of instaility is a decrease of the iscos friction, which gies worse daming characteristics. It was more sitale to ase the controller arameters on the ale oening instead of the working oint for the root arm, since the gain in the ale increases with increasing ale oening. To aoid deterioration in hase margin ecase of the increased gain, the controller is adjsted so that the total gain is the same regardless of ale oening. The reslt is a system with larger andwidth, less sensitie to changes in the iscos friction.

7 Förord Först ill i tacka åra handledare å ISY, Sante och Ingela, som med sina enorma knskaer hjält oss nder hela eamensaretstiden. Vi ill också tacka Jan-Erik, Anders och Flin id DeLaal som gjorde detta eamensarete åde möjligt och mycket intressant.

8 Nomenklatr A Kolarea kammare [m ] A Kolarea kammare [m ] A e Stryarea [m ] V Volym kammare, kol i mittläge [m 3 ] V Volym kammare, kol i mittläge [m 3 ] V Volym kammare [m 3 ] V Volym kammare [m 3 ] T Temeratr olym [K] T Temeratr olym [K] T s Temeratr id systemtryck [K] T Temeratr id atmosfärstryck [K] T Temeratr olym [K] s Systemtryck [Pa] Atmosfärstryck [Pa] Tryck olym [Pa] & Tryckderiata [Pa/s] m Massan hos kolen [kg] m& Massflöde till olym [kg/s] m& Massflöde till olym [kg/s] m Massa olym [kg] m Massa olym [kg] m Massa olym [kg] m& Massflöde in i olym [kg/s] F L Last [N] F f Total friktionskraften [N] F c Colomfriktion [N] c f Viskös friktions koefficient [Ns/m] c c Kraft ga Colomfriktion [N] Kolosition [m] & Kolhastighet [m/s] & & Kolacceleration [m/s ] Ventilosition [m] n Polytroeonent [-] Kritisk tryckniå [-] ρ Lftens densitet [kg/m 3 ] C m Flödeskonstant [m 3 /Pa s] insignal till systemet [-] R Gaskonstanten [J/kg K] κ Isentroeonent [-] Hastighet [m/s] i Initialtryck olym olinjär modell [Pa] i Initialtryck olym olinjär och linjär modell [Pa]

9 i 3 Initialtryck olym linjär modell [Pa] β e Komressionsmodl för lft [Pa]

10 . INLEDNING.... FÖRETAGSBESKRIVNING.... BAKGRUND....4 SYFTE....5 UTFÖRANDE....6 AVGRÄNSNINGAR....7 RAPPORTENS STRUKTUR.... GRUNDLÄGGANDE TEORI OCH METODER MODELLERING AV SYSTEM Olika sätt att ta fram modeller Validering a modeller Tyer a modeller Tillståndseskrining Princier för fysikaliskt modellygge Modellalidering Modellers giltighetsområde LINJÄRISERING SIMULERING OCH SIMULERINGSVERKTYG GRUNDLÄGGANDE GASTEORI Ideala gaser Termodynamiska rocesser PNEUMATISKA SYSTEM Lft Lftens komressiilitet Tömning och fyllning a olym Fyllning a olym Massflöde genom stryning FRIKTION Colomfriktion Viskös friktion REGLERTEKNIK Frekensanalys PID Reglator Parameterstyrning MODELLERING AV SYSTEMET MODELLERING AV CYLINDER OCH VENTIL Matematisk modell a cylindern Matematisk modell a entilen MATEMATISKA MODELLEN AV VENTIL OCH CYLINDER LINJÄRISERING Linjärisering a tillståndsmodellen Stationär nkt för modellen PROVRIGG RIGGENS UPPSTÄLLNING... 3

11 4. DATOR MED DSPACE OCH CONTROLDESK UTVÄRDERING AV PARAMETRAR INVERKAN AV FLÖDESKONSTANTEN INVERKAN AV FRIKTIONEN OCH MASSAN INTRIMNING AV PARAMETRAR OCH MODELLVALIDERING INTRIMNING AV FLÖDESKONSTANTEN MODELLVALIDERING REGLERING VERIFIERING AV LINJÄRISERAD MODELL ANALYS AV PARAMETERNAS INVERKAN Variation a iskösa friktionen Variation a flödeskonstanten Variation a massan Variation i aretsnkt REGLERDESIGN Reglatordesign Intrimning a den arameterstyrda reglatorn Utärdering a reglatorn genom simlering RESULTAT OCH SLUTSATSER MODELLERING ORSAKER TILL INSTABILITET PARAMETERSTYRNING FÖRSLAG TILL FORTSATT ARBETE REFERENSER BILAGOR... 59

12 . Inledning. Inledning. Företagseskrining DeLaal rodcerar trstning och system för följande hdområden: mjölkning, kyla, tfodring, esättningskontroll, koskötsel, gödselhantering, stallklimat, energiåterinning, hygien och lantrkstrstning med tillehör. DeLaal är ärldsledande inom mjölknings- och tfodringsteknologi och lantrksanassad elektronik. De är också marknadsledande inom teknologi för mjölkkylning och stallrengöring. Företaget finns å öer marknader och har ca 435 anställda.. Bakgrnd Detta eamensarete gjordes å adelningen VMS id DeLaal. Där tillerkas atomatiserade mjölkningstrstningar för mjölkrodcerande gårdar. DeLaals trstning är yggd så att kon leds in i ett ås i maskinen. Därefter fälls en lcka t mot kons aken för att leda ort eentell aföring och anändas som ositioneringshjälmedel när kon rör sig. Innan senkoarna för mjölkning sätts å med en rootarm, ilken med hjäl a ositioneringslckan och en laserkamera lokaliserar senarna, tättas senarna rena med en seciell rengöringsko. Efter rengöringen sätts senkoarna å med hjäl a rootarmen. Under själa mjölkningen håller rootarmen ndan slangarna för att ndika att kon sarkar lös dem. Efter att mjölkningen är färdig desinficeras senarna genom att srta desinficeringsätska r ett mnstycke som är lacerat å rootarmen. Kon släs t och mjölkanläggningen är redo för en ny ko, se figr. Rootarmen styrs med hjäl a nematikcylindrar med tillhörande roortionalentiler. Efter en tids anändning tenderar rootarmen att li instail, ds. rootarmen får sårt att hitta senarna å kon. Prolemet har hittills lösts genom att en sericetekniker med jämna mellanrm ändrar reglatorns arametrar genom att göra en systemidentifiering. Instailiteten kommer när de fysikaliska förtsättningarna för rootarmen ändras med tiden. Orsaken till förändringarna är inte kända och är moti för eamensaretet. Bås Rootarm Figr. Schematisk ild öer mjölkningsroot.

13 . Inledning.4 Syfte Syftet med aretet är att ndersöka rolem med instailitet i rootarmen för en ael. Det ska görs genom modellering och simlering, ndersöka ad som orsakar instailitet och därefter se om det går att lösa instailitetsrolemen med arameterstyrning..5 Utförande Aretet inleds med litteratrstdier och esök å anläggningen i Tma för att få en fattning om hr mjölkrooten fngerar. En olinjär matematisk modell a systemet ställs för att anändas för simleringar. Därefter yggs en testrigg med likadan rootarm och giare som finns i DeLaals riktiga mjölkningsanläggning. Därefter trimmas den olinjära matematiska modellen in mot mätdata från testriggen, kallat systemet för att få en korrekt modell. Nästa steg i aretet är att linjärisera den olinjära matematiska modellen för att göra en närmare analys a issa arametrar. Analysen görs för att se hr de olika arameterarna åerkar systemet och för att se ad som kan orsaka instailitet. Sedan ndersöks det om det går att lösa instailitetsrolemet med arameterstyrning..6 Agränsningar Modellering kommer endast att ske å en cylinder med tillhörande entil. Rootarmen kommer enart att ses som en massa id simleringar. Vid reglatordesign kommer endast mätsignaler som finns i narande system att anändas..7 Raortens strktr Raorten inleds i kaitel tå med grndläggande teorier och metoder. I kaitel tre görs en matematisk modell a systemet för att knna göra simleringar och analyser. I kaitel fyra resenteras ställningen a roriggen och mätdatorn. Den matematiska modellen trimmas in mot systemet i kaitel fem och se. Analys och reglerdesign tas i kaitel sj och det hela asltas med resltat och förslag till idare arete i kaitel åtta och nio.

14 . Grndläggande teori och metoder. Grndläggande teori och metoder. Modellering a system För att knna analysera och simlera system enligt Glad och Ljng (99) ehös en matematisk modell a systemet. I detta kaitel tas de grndläggande asekterna å modellygge... Olika sätt att ta fram modeller En modell kan tas fram analytiskt genom att anända sig a kända ekationer som te Newtons kraftsamand, Bernollis strömningslagar os. Ett annat sätt att skaa modeller är systemidentifiering, ilket görs genom att anassa modellen till mätdata från systemet. Denna metod anänds ofta som komlement till fysikaliskt modellygge om fysikaliskt modellygge lir alltför komlet... Validering a modeller Sårigheten i att göra modeller a system är att få dem tillförlitliga. För att knna anända modellen till simleringar och design a styralgoritmer kräs att den ger rättisande resltat. För att nå tillförlitlighet måste modellen erifieras eller alideras. Princiiellt sker det genom att jämföra modellens tsignal med systemets tsignal och tärderar skillnaden...3 Tyer a modeller Matematiska modeller: Med en matematisk modell menas en eskrining a systemet, där relationerna mellan modellens arialer och signaler ttrycks i matematiska samand. Modeller a system estår a olika differential- eller differensekationer. Blockschemamodeller: En lockschemamodell a ett system är en logisk delning a fnktionerna för systemet som genom olika sammankolade lock isar hr fnktionerna åerkar arandra. Antalet lock kan isa hr aancerad eller detaljerad modellen är. Simleringsmodell: Modeller kan skaas för att anändas till olika syften. Att anända dem till simlering är ett hdsyfte. För stora komlea modeller är det anligt att man elicit sammanfattar modellekationerna å slten form. Modellen eisterar kanske endast som ett datorrogram som anänds enart för simlering. Sådana modeller kallas simleringsmodeller. 3

15 . Grndläggande teori och metoder..4 Tillståndseskrining För att realisera en matematisk modell, eemelis för simlering kan den skrias om å tillståndsform. Ett tillstånd id tiden t är en informationsmängd som gör det möjligt att entydigt estämma framtida tsignaler om framtida insignaler är kända. För ett tidskontinerligt system fås tillståndsformen genom att ilda ett system a första ordningens differentialekationer. & ( t) = f ( ( t), ( t)) y( t) = h( ( t), ( t)) (-) Här är en tillståndsektorn (t) kolonnektor a dimension n. Fördelen med att ha ett system å tillståndsform är att en- och flerariala system ehandlas å samma sätt. En annan fördel är att i regel fås tillståndsmodeller som resltat a fysikaliskt modellygge...5 Princier för fysikaliskt modellygge För att ygga en ra modell kräs goda knskaer om rolemet. För att få en ild a hr en modell kan tas fram kan tre olika faser anändas i modellygget.. Strktrera rolemet. Ställ asekationerna 3. Forma en tillståndsmodell Strktrera rolemet Först ska systemet delas å delsystem och här skall hdsakliga orsakssamand estämmas och ilka arialer som är iktiga och hr de åerkar arandra. I detta arete är det iktigt att eta ad modellen ska anändas till. Den första fasen är den del a modelleringen som ställer störst kra å modellyggarens förståelse och intition för systemet. Det är äen nder denna fas som komleiteten och aroimationsgraden å modellen estäms. Ställ asekationerna Man etraktar delsystemen som strktrerades i fas ett. Samanden som råder mellan arialerna och konstanterna i delsystemet ställs. Natrlagarna anänds för fysikaliska system och äen de asekationer som finns. Äen en del aroimationer och förenklingar görs för att inte få alltför komlicerade ttryck. För system som inte är tekniska och där allmänna asekationer saknas finns trymme för hyoteser. 4

16 . Grndläggande teori och metoder Forma en tillståndsmodell Här gäller det att organisera de ekationer som tagits fram i fas tå. Fast modellen redan är gien i fas tå är detta steg nödändigt för att få en modell som lämar sig för simlering eller analys...6 Modellalidering En modell är aldrig en eakt eskrining a ett system. Enligt Glad och Ljng (99) kräs inte att en modell ska ara eakt, sann eller korrekt. Modellen har tecklats för att ara till hjäl för att lösa issa rolem. En modell som å så sätt är till nytta kallas giltig. För att fastställa om en modell har den önskärda egenskaen att ara giltig anänds modellalidering. Procedren inneär att kritiskt granska stegen i modellygget, kanske förkasta och förättra issa delar a modellen. Valideringen är knten till själa modellyggandet. För att alidera en modell kan en jämförelse med systemet göras, till eemel se om en iss insignal ger samma tsignal från åde modellen och systemet. Skillnaden i tsignalen ör ara liten om modellen ska ara ålitlig, men det eror å syftet med modellen och störningarna som åerkar signalen. När modellen sätts samman till en total systemeskrining har man också möjlighet att tärdera olika aroimationer som har gjorts. Aroimationsgraden i ett delsystem kan testas och se hr mycket tsignalen ändras, alltså roa att ändra aroimerade arametrar och se hr det åerkar tsignalen. Blir ändringen stor ör mer arete läggas å aroimationerna...7 Modellers giltighetsområde Alla modeller har ett isst giltighetsområde, det ill säga för ilka ärden å systemarialer och systemarametrar som modellen gäller. Det är iktigt att ha klart för sig att alla modeller har egränsade giltighetsområden. Till eemel är Newtons rörelselagar ra i de flesta fall men för hastigheter i närheten a ljsets hastighet kan de inte alls eskria en kros rörelse, ds det är inte ra att anända en modell i områden den inte är giltig för. En modell kan ara alideras inom det område som systemet tillåts areta. 5

17 . Grndläggande teori och metoder. Linjärisering Enligt Glad och Ljng (99) är främsta skälen att linjärisera en modell analys och reglerdesign. I rolem där reglering ska tillämas är det intressant att hålla issa storheter konstanta, till eemel en insignal. Det etyder i sin tr att tillstånden för modellen är konstanta. Det rkar kallas att systemet är i jämikt. Ett olinjärt system kan ha flera jämiktsnkter i motsats till ett linjärt system. För att linjärisera ett tidskontinerligt system kan man etrakta systemet i ekation (- ), ds där & = f (, ) (-) y = h(, ) (-3) = M n och och y etecknar in- resektie tsignal Vidare gäller f f f (, ) = f n h(, ) = h( ( ( (,...,,...,,..., M,..., n n n n, ), ), ), ) (-4) Om det finns = och = så att f, ) (-5) ( = kallas, en stationär nkt. Om fnktionen f har kontinerliga deriator i omginingen till nkten =, = fås för k=,...,n 6

18 . Grndläggande teori och metoder 7 ), ( ) )(, ( ) ) ( )(, ( ) ) ( )(, ( ), ( ), ( r f f f f f k k n n n k k k k = K (-6) där resttermen r k är liten nära den stationära nkten. Med eteckningarna = = f f B f f f f A n n n n n M L M O M L och där de artiella deriatorna tärderats i = och = kan man skria ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( r B A r B A f f + + = = = (-7) Med z = = (-8) fås ), ( z r B Az z + + = & (-9) På samma sätt kan ekation (-3) skrias om till ), ( ~ z r D Cz w + + = (-) med hjäl a ), ( h y w = och h D h h C n = = K (-) där man tärderar de artiella deriatorna i = och =. Om restermerna r och r ~ försmmas, fås en linjär modell a tyen D Cz w B Az z + = + = & (-)

19 . Grndläggande teori och metoder.3 Simlering och simleringserktyg Enligt Glad och Ljng (99) är simlering ett ra sätt att gå tilläga när en matematisk modell finns tillgänglig för ett system. Det är inte alltid lätt att tföra eeriment å grnd a att det kan ara dyrt eller tsätter ersoner för fara, till eemel inom kärnkraftsindstrin. Genom att anända sig a simlering kan en god fattning fås om hr ett system för sig när olika arametrar ändras. Om eerimenten tförs å ett system kräs förmodligen en stor omyggnad för att se hr systemet åerkas a ändringen,och istället kan simlering anändas. Det finns en rad olika rogram för att göra simleringar å matematiska modeller. Simlink ilket är en toolo till rogrammet Matla, Mathworks (99), kommer att anändas för simlering a modellen. Simlink är ett grafiskt rogram med färdiga lock som har olika tyer a fnktioner. De olika locken kolas samman genom att dra ledningar mellan dem. Ett eemel å en simlinkmodell isas i figr. Constant Manal Switch ' = A+B y = C+D State-Sace Sine Wae Manal Switch Scoe Ste Figr Eemel å Simlink modell, där state-sace locket kan ara modellen som ska simleras och locken till änster är olika tyer a insignaler till modellen. 8

20 . Grndläggande teori och metoder.4 Grndläggande gasteori.4. Ideala gaser Enligt Boyles och Gay-Lssacs lagar för en ideal gas gäller där V = m R T (-3) är asolttrycket i Pa V är den secifika olymen i m 3 R är gaskonstanten i J/kgK T är temeratren i K m är gasens massa i kg Se Schmidt m.fl., (993)..4. Termodynamiska rocesser Om aretet i en nematisk cylinder enart inneär olmetriskt ändringsarete, kommer tillståndet att ändras å något a följande sätt enligt Ryderg (997).. Isoarisk tillståndsändring, ds med konstant tryck.. Isokor tillståndsändring, ds med konstant olym. 3. Isotermisk tillståndsändring, ds med konstant temeratr. 4. Isotroisk (adiaatisk) tillståndsändring, ds tan ärmetyte med omginingen. 5. Polytroisk, ds nästintill reersiel men ändå inte fllt t adiaatisk. Isotermiska och adiaatiska rocesser reresenterar tå fall a tillståndsändringar, ilka inte kan tillämas i raktiken. En mer generell formlering har introdcerats, olytroisk tillståndsändring. Den kan anändas för alla raktiska termodynamiska tillämningar såsom komressions- och eansionsrocesser. För en ideal gas gäller att V n = k (-4) där n är olytroeonenten och k är en konstant. Polytrolagen är giltig för åde kontrollolymer, det ill säga olymer som ses som skilda från åerkan från omginingen och system, ds den del som alts att göra termodynamisk analys å. 9

21 . Grndläggande teori och metoder.5 Pnematiska system Pnematiska system är system som anänder sig a lft som kraftöerföringsmedim, t.e. från lftkomressor ia entil till cylinder för att tföra ett arete. Vanliga anändningsområden är inom tillerkning, rocessindstrin (aersmaskiner), fordon och grindstrin..5. Lft Lft är en landning a olika gaser, som id torrt tillstånd estår a 78 % käe, % syre och % ädelgaser, koldioid mm. Eftersom lft är en landning a olika gaser så skiljer sig dess egenskaer ifrån en ideal gas. Pga att nematiska system aretar med relatit låga tryck, mindre än, MPa, och temeratrer nära grader Celsis, kan man ortse från skillnaderna från en ideal gas..5. Lftens komressiilitet Enligt Ryderg (997) har lftens höga komressiilitet en äldigt stor inerkan å hr nematiska system för sig. Komressiiliteten för lft eräknas enligt relationen β = n (-5) e där n är olytroeonenten, som arierar mellan och,4 eroende å ilken termodynamisk rocess som anänds och är trycket. Hög komressiilitet hos lften medför att nematiska cylindrar har låg mekanisk styhet, den fjädrar mellan ändlägena. Det medför i sin tr att laständringar å cylinderkolen är såra att asorera, ds att kolen hålls å lats enart a lfttrycket. Komressiiliteten gör äen att det lir tidsfördröjningar i långa rör och tryckändringar i stora olymer, t e id önande a en entil. Ett annat resltat a komressiiliteten är energilagringen. En fördel med energilagringen är att en liten lftm kan förse ett system med snaa toförrkningar a lft, men id hög kontinerlig förrkning a lft klarar men inte a snaa förändringar lika ra. En nackdel med att anända sig a nematik är att erkningsgraden för lftmarna är låga, rnt 4 % - 7 %.

22 . Grndläggande teori och metoder.5.3 Tömning och fyllning a olym Enligt Ryderg (997) innehåller nematiska system ofta olymer med etydelse för hr systemet för sig. Dessa är ledningar, cylindrar och öriga komonenter. På grnd a lftens komressiilitet tar det en iss tid att framkalla en tryckändring i en olym. De dynamiska rocesser som träder i ett nematiskt systems olymer är a en sån karaktär att det måste tas hänsyn till dem id systemdimensionering. En komlett teoretisk modell för att eskria fyllnings- och tömningsrocesser lir äldigt komlicerad, mycket eroende å att temeratrariationerna i systemet är såra att modellera å realistiskt sätt. Praktiskt anänds förenklade modeller, trots datoraserade eräkningshjälmedel..5.4 Fyllning a olym Enligt Ryderg (997) är det anligt id fyllning a en olym, V, att fyllningstrycket, s, ds trycket å lften som mas in i olymen ia en stryning med arean, A e, ändras nära momentant för att sedan anta ett konstant ärde, se figr 3. A e s s V,, T T s m& t Figr 3. Vänstra figren isar massflödet in i en olym ga tryckskillnad före och efter stryningen. Högra figren isar tryckändring id fyllning a en slten olym. Vid härledning a tryckderiatan för fyllning a en olym anänds ideala gaslagen. V = m R T (-6) När lft mas in i en olym sker en ändring a trycket och massan men olymen är konstant. Om ändringen etecknas med fås efter differentiering a ttrycket (-6) V = V m + m T + T (-7)

23 . Grndläggande teori och metoder Om det antas att tillståndsförändringen är olytroisk gäller förhållandet mellan temeratr och tryck T n = T n (-8) Genom att sätta in i (-7) och anända att olymen är konstant fås m = n m (-9) Derieras ekation (-9) med aseende å tiden och sätts in i ekation (-6) fås d n R T dm = (-) dt V dt

24 . Grndläggande teori och metoder Massflöde genom stryning Massflöde genom en stryning, se figr 4, ges a s e s T N K A m = & (-) där + + = κ κ κ κ K > + = + + N s s s s för för κ κ κ κ κ κ κ + = κ κ κ Figr 4. Schematisk ild a stryning, se figr 3. A e s T s T m&

25 . Grndläggande teori och metoder.6 Friktion Friktion är ett fenomen som kommer i alla tyer a system med rörliga delar. Det finns olika tyer a friktion, torrfriktion (Colomfriktion), iskös friktion, inre friktion i fasta kroar mm. I en nematisk cylinder finns tå hdsakliga dominerande friktioner, iskös friktion och Colomfriktion..6. Colomfriktion Enligt Meriam och Kraige (993) är Colomfriktion, c c, ett fenomen som kommer mellan tå kontaktytor och fngerar som ett motstånd när de tenderar att glida från arandra. Fenomenet kommer å grnd a att ytorna inte är helt jämna och hakar i arandra när de åerkas a krafter. Colomfriktionen är alltid motriktad kroens rörelseriktning, se figr 5. F c m F F c Figr 5 Colomfriktion som fnktion a hastighet, där F är kraften som åerkar ojektet och F c är Colomfriktionen som kommer i mellan kontaktytorna 4

26 . Grndläggande teori och metoder.6. Viskös friktion När kraften å en kro, se Meriam och Kraige (993), lir så stor att den öerinner Colmfriktionen, örjar kroen röra sig i kraftens riktning. När det sker tillkommer iskös friktion. Viskös friktion är hastighetseroende och äer linjärt. Se figr 6. F f Figr 6 Den iskösa friktionen och Colomfriktionens hastighetseroende. För att lättare realisera Colomfriktion i till eemel en matematisk modell, förenklas friktionen genom att ortse från minskningen i örjan. Se figr 7. Totala friktionen ges då a F f = c sign( ) + c (-3) c f F f c c -c c Figr 7 Aroimation a iskös friktion och Colomfriktion. 5

27 . Grndläggande teori och metoder.7 Reglerteknik Reglerteknik är ett område som har fått allt större etydelse å senare tid mycket ga att miljön har fått mer inflyttade i årt samhälle. Ett ra eemel å det är motorstyrning i ilar. Där anänds aancerad reglerteknik för att minska de skadliga tsläen. Reglatorer finns i olika arianter, allt från enkla PID till mer sofistikerade som tillståndsåterkoling med oseratör. Det är oftast en aägning mellan kostnad och systemets yggnad som agör ad som anänds..7. Frekensanalys För att få en ra förståelse för ett systems förande är ett sätt att titta å dess Bodediagram för det öna systemet, se figr 8. F(s) U(s) G(s) Y(s) Figr 8. Öet system. F(s) är reglatorn och G(s) är modellen Bodediagrammet kan issa arametrar aläsas och ge förståelse a systemet. Det som tas i den här tredningen är skärfrekens ω c och fasmarginalen ϕ m. Skärfrekensen isar hr snat det återkolade systemet är. Högre skärfrekens ger ett snaare återkolat system, ds ger större andredd för det återkolade systemet, se figr 9. Skärfrekensen läses a id den frekens där amlitdkran skär ett, se figr 9. Fasmarginalen isar hr stailt det återkolade systemet är. Fasmarginalen aläses mellan faskran och 8 grader id skärfrekensen ω c. Mindre fasmarginal ger ett mindre stailt system, se figr. R(s) Σ - F(s) U(s) G(s) Y(s) Figr 9. Återkolat system. F(s) är reglator och G(s) är modellen. 6

28 . Grndläggande teori och metoder Bodediagram Amlitd -9 Fas ϕ m -8 ωc Frekens Figr. Bodediagram som förklarar samanden skärfrekensen ω c och fasmarginalen ϕ m..7. PID Reglator DeLaal anänder sig idag a en reglermetod som heter ollacering med olynommetod (RST). När tärderingar sker anänds en roortionell, integrerade och derierande (PID) reglator. P delen är den del som kommer att anändas i första hand. RST reglering kommer inte att anänds ga att P reglering är mycket enklare att anända. 7

29 . Grndläggande teori och metoder.7. Parameterstyrning Parameterstyrning är en reglerform som lämar sig ra när man ill ta hand om olinjäriteter i ett system. Taell r(t) Reglator System y(t) Figr. Blockschema för arameterstyrning. Parameterstyrning inneär att reglatorarametrarna ställs in ia systemets aretsnkt. Parametrarna hämtas från en Parameterstyrning inneär att reglatorarametrarna ställs in ia, till eemel systemets aretsnkt. Värdet å arametrarna hämtas från en förtestämd taell, se figr. Praktiskt ändras förstärkningsfaktorn i en t.e. roortionell reglator eroende å aretsnkt. 8

30 3. Modellering a systemet 3. Modellering a systemet 3. Modellering a cylinder och entil Det system som idag anänds för att styra mjölkningsrootens arm estår a nematiska cylindrar och roortionalentiler. Vi kommer dock enart att stdera en ael. Den cylinder som sitter å rootarmen är en delerkande asymmetrisk cylinder a lågfriktionsty och har en slaglängd å 4 mm. Att den är asymmetrisk kan ses i figr, Stången i cylindern minskar arean för olym. Det medför att kraften å kolen som kommer när cylindern trycksätts arierar mellan olymerna id samma storlek å trycket. Här lir kraften mindre i olym. Det kommer i sin tr att medföra att hastigheterna lir olika eroende å i ilken riktning kolen rör sig. Cylindern styrs a en 5/3 öerlaad entil. Nedan isas en schematisk ild a cylinder och entil. Den fngerar genom att entilen styrs t och skaar ett massflöde som fyller olymen till änster med ett isst tryck som kallas systemtrycket. Trycket åerkar kolen med en kraft ilken kommer när fyllningstrycket åerkar kolarean i olymen till änster. Samtidigt genereras ett massflöde t r olym, ilken tsätts för atmosfärstryck., &, & m, n,v, T, A m, n, V, T, A m F L m& m& F f, T, T s,t s Figr. Schematisk ild a nematisk cylinder och entil, för närmare eskrining se asnitt 3. 9

31 3. Modellering a systemet 3.. Matematisk modell a cylindern För gasen (lften) antas att den är ideal och att rörelseenergin och ärmetytet med omginingen är försmar, ds en olytroisk rocess. Samanden som resenterades i asnitt..3 för tömning och fyllning a olymer kan anändas. En skillnad som måste eaktas är olymändringen i cylindern å grnd a kolförflyttningen. Temeratrerna antas fylla T=T s =T =T =T =T (3-) Enligt ekation (-7) och (-8) kan med ariael olym följande samand ställas m V = n (3-) m V Derieras ttrycket (3-) och sätts in i (-6) fås & ( R T m& V& ) n = (3-3) V där V& är olymändringsaretet er tid. För cylindern i figr kan olymen V ttryckas V = V + A (3-4) där V är olymen id =. Derieras olymen fås V & = A & (3-5) Cylindern antas läckfri och det ger med (3-3), (3-4) och (3-5) tryckderiatan för olym & n ( R T m& A & ) = (3-6) V + A

32 3. Modellering a systemet Volymändring i V i cylindern eräknas å samma sätt som för V. Det måste eaktas att olymändringen lir negati i V å grnd a kolens rörelse, se figr. Volymen V fås som V = V A (3-7) där V är olymen id =. Derieras olymen fås V & A & = (3-8) Cylindern antas läckfri äen här. Det ger med ekationerna (3-3), (3-7) och (3-8) tryckderiatan för V & = n (3-9) ( A & R T & ) m V A Kraftjämikt hos kolen ger ( ) A ( ) A cc sign & c f & ( FL m & = ) (3-)

33 3. Modellering a systemet 3.. Matematisk modell a entilen Ventilen är som tidigare nämnts en 5/3 öerlaad entil. 5/3 entil inneär att entilen har 5 öningar och öerlaad etyder att entilsliden inte täcker entilöningarna recis tan öerlaar dem en aning, se figr 3. Öerlaningen och Colomfriktion mellan entilsliden och entillocket medför ett isst dödand, ds det kräs en iss kraft för att öerinna Colomfriktionen innan entilsliden örjar röra sig och en iss förskjtning a entilsliden innan entilen släer igenom ett massflöde. Ventilsliden styrs elektriskt ia en magnet som öerför de elektriska signalerna till en kraft som åerkar entilsliden. F f P P Ventilslid P P s P Figr 3. Schematisk ild å en 5/3 öerlaad nematisk entil, där är den elektriska insignalen. Om entilsliden förs åt änster leds systemtrycket, s, ia och ia släs lft t till atmosfärstryck, Ventilen kommer att ses som statisk, ds som tå stryningar. Detta antagande görs för att entilen anses ara så sna att dess dynamik inte åerkar systemets totala dynamik.

34 3. Modellering a systemet 3 Enligt CETOP RP 5 P standard, Ryderg (997), skris ekation (-) om till ekation (3-) och (3-) för att enklare knna realisera en entil. Massflödet för fyllning a olym ges a. ω ρ = t m s K C m& (3-) där. T T K t = > = s s s för för ω Tömning a olym tå ges a. ω ρ = t C m K m& (3-) där. T T K t = > = för för ω Koten mellan och, ma anger entilöning.

35 3. Modellering a systemet 4 Massflödet genom entilen fås med hjäl a ekationerna (3-), (3-) och (3-), ilka ger =,ma s m s C m ρ & (3-3) =,ma m C m ρ & (3-4)

36 3. Modellering a systemet Matematiska modellen a entil och cylinder Sltligen sätts ekationerna (3-6), (3-9), (3-), (3-3) och (3-4) samman och då fås följande differentialekationer + = s m s A C T R A V n & &,ma ρ (3-5) =,ma m C R T A A V n ρ & & (3-6) ( ) ( ) ( ) L f c F c sign c A A m = & & & & ) ( (3-7) För att lättare knna anända modellen för simleringar skris den om å tillståndsform. För ekationerna (3-5), (3-6) och (3-7) ansätts följande tillstånd = (3-8) = & (3-9) 3 = (3-) 4 = (3-) =,ma (3-)

37 3. Modellering a systemet 6 Efter insättning a tillstånden fås tillståndsmodellen = & (3-3) ( ) ( ) L f c F c sign c A A A A m = 4 3 ) ( & (3-4) + = A C T R A V n s m s ρ & (3-5) = C T R A A V n m ρ & (3-6)

38 3. Modellering a systemet Linjärisering 3.5. Linjärisering a tillståndsmodellen För att få en förståelse för modellens egenskaer kan modellen linjäriseras rnt en aretsnkt. Det görs genom att Taylorteckla f kring,. Colomfriktionen kommer ses som en konstant ga att den diskontinerlig. Enligt asnitt. ildas artialderiatorna för de fyra tillståndsekationerna och de lir = f (3-7) = f (3-8) 3 = f (3-9) 4 = f (3-3) = f (3-3) c f m f = (3-3) 3 A m f = (3-33) 4 A m f = (3-34) + = ) ( A C T R A V A n f s m s ρ (3-35) 3 3 A V A n f + = (3-36)

39 3. Modellering a systemet 8 ( ) + = A C T R A V n f s s s m s ρ (3-37) 4 3 = f (3-38) ) ( = C R T A A V A n f m ρ (3-39) 4 4 A V A n f = (3-4) 3 4 = f (3-4) + + = C RT A A V n f m ρ (3-4)

40 3. Modellering a systemet 9 = f (3-43) = f (3-44) = C T R A V n f s s m ρ (3-45) = C T R A V n f m ρ (3-46)

41 3. Modellering a systemet Stationär nkt för modellen Om de stationära nkterna för,, 3, 4 och sätts till,, i3, i och i den linjäriserade modellen, ger det följande A och B matriser å symolisk form. För nmeriska ärden se ilaga och ilaga. = 3 V i A n V i A n A m A m c m A f (3-47) = 3 i V i C T R n i V C T R n B m s m s ρ ρ (3-48) Ett Bodediagram för öerföringsfnktionen som ses a matriserna A och B ses i figr 3 Vidare analys a den linjäriserade modellen tförs i kaitel 7..

42 3. Modellering a systemet Bode Diagram Phase (deg) Magnitde (as) Freqency (rad/sec) Figr 4. Bodediagram för modellen id den stationära nkten =[ i 3, i ] T och = 3

43 4. Prorigg 4. Prorigg För att knna göra tester å systemet estående a nematisk cylinder och entil yggs en rorigg. Mätningarna anänds för alidering a modellen. 4. Riggens ställning Riggen är yggd å ett fndament arå en ställning setsats iho där rootarmen är monterad tillsammans med cylinder och entil. På cylindern sitter en lägesgiare monterad, se figr 5. Lägesgiaren och entilen är kolade till en dator. Systemet försörjs med ett lfttryck å.4 MPa, ilket regleras ia en lfttrycksreglator. Cylinder och entil Rootarm Lägesgiare Figr 5. Bild å roriggen. 3

44 4. Prorigg 4. Dator med dspace och Controldesk För att mäta å systemet och styra systemet är lägesgiaren och entilen kolade till en dator som är trstad med dspace. dspace är I/O kort och rogramara som samerkar med Simlink i Matla. En stor fördel med kortet är att man kan anända sig a samma reglatorer som när simlering körs i Simlink. Det som ändras i Simlinkmiljön är att simleringsmodellen yts t mot DA/AD omandlingslock, ilka finns i tillhörande simlinkiloteket i Matla. Dessa lock möjliggör kontakten med systemet. Det lir äldigt lätt att samla in data för alidering a modellen. För interaktion med dspace anänds det grafiska gränssnittet Controldesk, se figr 6. Controldesk anänds för att få t lottar och ändra arametrar nder realtidskörningen. Figr 6. Det grafiska gränsnittet Controldesk för styrning och mätning å rootarmen. Här kan te olika al a insignaler göras och ändra reglatorarametrarna nder drift. 33

45 5 Utärdering a arametrar 5 Utärdering a arametrar Det flesta arametrarna i modellen är fasta, ds de kan inte ändras å grnd a hårdarans konstrktion. Detta gäller till eemel olymer och areor i cylindern. För att se hr arametrarna för Colomfriktion, c c, iskös friktion, c f, och entilens flödeskonstant, C m, åerkar modellen görs simleringar. Massan, m, är en känd arameter men kan arieras genom att ha rootarmen inkolad eller ortkolad. Variation a den kommer också att göras för att se dess åerkan å modellen i komination med de öriga arametrarna. Eerimentet görs för att knna förstå arametrarnas inerkan och knna ta hänsyn till det id intrimning a modellen, ds om alla okända arametrarna måste trimmas in ar för sig eller om det isar sig att det räcker att trimma in någon eller några a dem. Vid samtliga simleringar är modellen återkolad med en P-reglator med förstärkning, K=3. 5. Inerkan a flödeskonstanten Flödeskonstanten är en arameter som isar sig ha stor inerkan å simleringsresltaten. Figr 7 isar resltatet a tå olika simleringar, som har gjorts med tå olika ärden å flödeskonstanten, C m =3-9 resektie C m =3-8. Skillnaden är en faktor tio, och med ökande C m ärde kortas stigtiden id ett stegsarseeriment. 5 Kolosition [mm] Tid [s] Figr 7. Stegsarsro med C m =3-8 resektie C m =3-9. Det större C m - ärdet ger snaare stigtid. 34

46 5 Utärdering a arametrar 5. Inerkan a friktionen och massan För att se hr modellen åerkas a massan, Colomfriktionen och den iskösa friktionen, har åtta olika körfall röats. Colmfriktionen arieras mellan N och N, den iskösa friktionen mellan Ns/m och Ns/m och massan mellan,6 kg och 6 kg i roen. Massan å.6 kg motsarar endast kolen, och 6 kg motsarar rootarmens massa. Variationen hos arametrarna är en tiootens för att tydligt se deras inerkan å modellen id simleringar och för att ara konsekent id de olika ändringarna a arametrarna. Flödeskonstanten kommer att hållas konstant nder simleringarna och med ärdet 3-9, ilket genom simleringar isade sig ara ett lämligt antagande. I första körfallet görs en simlering med Colomfriktion å N, iskös friktion å Ns/m och en massa å.6 kg. Resltatet lir ett stailt system som kan ses i figr Kolosition [mm] Tid [s] Figr 8. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=,6 kg. Resltatet lir ett stailt system I andra körfallet ehålls samma friktionsarametrar som i första körningen men massan ändras till 6 kg, ds motsarande att rootarmen är inkolad. Detta försök isar att ändringen a massan inte åerkar simleringsresltatet märkart, se figr 9. 35

47 5 Utärdering a arametrar 5 5 Kolosition [mm] Tid [s] Figr 9. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=6 kg. Resltatet lir ett stailt system. I tredje körfallet är förtsättningarna lite annorlnda än i de tå första. Colomfriktionen har ökats till N och den iskösa friktionskoefficienten minskats till Ns/m. Massan har minskats till.6 kg. I örigt är förtsättningarna likadana som för de tå första körfallen. Ändringen a friktionen åerkar inte simleringsresltatet nämnärt, se figr. 5 5 Kolosition [mm] Tid [s] Figr. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=,6 kg. Resltatet lir ett stailt system. 36

48 5 Utärdering a arametrar I det fjärde körfallet stderas resltatet när massan ökas till 6 kg. Colomfriktionen är fortfarande N och den iskösa friktionen Ns/m. Annars är förtsättningarna desamma som tidigare. Resltatet a simleringen isar att kominationen med massan motsarande rootarmen och liten iskös friktion medför ett högfrekent oscillatit förande, se figr. 5 5 Kolosition [mm] Tid [s] Figr. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=6 kg. Resltatet lir ett oscillatit system. I det femte körfallet görs ro med en Colomfriktionen å N, iskösa friktionen å Ns/m och en massa å.6 kg. Resltatet lir densamma som för försök ett, se figr 8 och. 37

49 5 Utärdering a arametrar 5 5 Kolosition [mm] Tid [s] Figr. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=.6 kg. Resltatet lir ett stailt system. Om rootarmens massa läggs till id sjätte körfallet, lir resltatet oscillatit och tämligen högfrekent, liknade det i ro fyra. Se figr och Kolosition [mm] Tid [s] Figr 3. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=6 kg. Resltatet lir ett oscillatit system. 38

50 5 Utärdering a arametrar I det sjnde fallet är Colomfriktionen N, iskösa friktionen Ns/m och massan.6 kg. Resltatet a simleringen ses i figr Kolosition [mm] Tid [s] Figr 4. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=.6 kg. Resltatet lir ett stailt system. I det åttonde och sista försöket görs samma simlering som i försök sj fast med massan 6 kg. Resltatet lir likadant som i försöket innan, se figr Kolosition [mm] Tid [s] Figr 5. Stegsarsro med c c = N, c f = Ns/m och m=6 kg. Reslatet lir ett stailt system. 39

51 5 Utärdering a arametrar Resltaten a simleringarna i detta kaitel isar issa tmärkande samand mellan iskös friktion och massa. Kominationen stor massa och liten iskös friktion ger ett oscillatit eteende. Kominationen liten massa och stor resektie liten iskös friktion ger ingen skillnad stailitetsmässigt sinsemellan. Varierad Colomfriktion erkar inte ha någon märkar inerkan å systemets stailitet id dessa simleringar. Generellt åerkar inte Colomfriktionen, iskösa friktionen och massan stigtiden nämnärt. Variation a flödeskonstanten isade sig åerka stigtiden märkart. Sltsatsen för dessa tester är att flödeskonstanten kommer ha störst inerkan id intrimning a modellen 4

52 6. Intrimning a arametrar och modellalidering 6. Intrimning a arametrar och modellalidering För att få en modell att eskria ett system måste ofta intrimning a okända arametrar göras. Det enklaste sättet att se om en modell stämmer är att jämföra resltat som fås från mätning å systemet och resltat som fås genom simlering. Simleringar a modellen isar att entilens flödeskonstant åerkar modellen mycket, och därför kommer denna arameter att stderas tförligare. 6. Intrimning a flödeskonstanten För att trimma in ärdet å entilens flödeskonstant görs eeriment å systemet tan återkoling. Eerimenten tförs genom att entilen ställs t till konstanta öningar. Tiden mäts för arje konstant entilöning för att se hr lång tid det tar för kolen att röra sig en iss sträcka inom ett område. Ventilen ställs t i området olt, med en ökning å. olt er försök, se figr 6. Detta motsarar ositi entiltstyrning, se figr 3, kaitel 3. Aretsområdet för entilen är mellan 5- olt i ositi riktning, men entilen lir mättad redan rnt 6 olt. Kolosition [mm] 4 8 Os. 5. V 5. V Tid [s] Figr 6. Kolens rörelse i ositi riktning id olika konstanta entilinsignaler, där entilen är stängd id 5 Volt och arje kra reresenteras a en konstant ökande entiltstyrning å. Volt. 4

53 6. Intrimning a arametrar och modellalidering Motsarande eeriment tförs för kolrörelse i negati riktning, se figr 3 kaitel 3. I Figr 7 ses resltatet. Det isar sig är att flödeskonstanten skiljer sig markant för de tå riktningarna. Området som Figr 7 isar är olt. Kolosition [mm] V -4-6 Os. 4.8 V Tid [s] Figr 7. Kolens rörelse i negati riktning med olika konstanta entilinsignaler, där entilen är stängd id 5 Volt och Varje kra reresenteras a en konstant minskande entiltstyrning å. Volt. För att få krorna från simlering och eeriment att stämma öerens trimmas flödeskonstanten in för entilen i modellen. Det görs genom att köra samma test i simleringsmodellen och ändra flödeskonstanten efter entiltstyrning för att få den att stämma öerens med systemet Figr 8. Från figr 6 och 7 fås kolhastighet eroende å entiltstyrning. Resltatet isar att kolhastigheten inte är roortionell mot entilinsignalen. 4

54 6. Intrimning a arametrar och modellalidering Figr 8 isar att kolhastigheten inte är roortionell mot entiltstyrningen. Flödeskonstanten måste ställas om löande nder simleringar å grnd a att den är olika id olika entilöningar. Det görs genom att anända ett seciellt lock i Simlink som kallas Look Tale. I det locket anges nkter med olika flödeskonstantsärden eroende å entiltstyrning och sedan interolerar locket mellan nkterna. Resltatet a intrimningen för de åda riktningarna ses i figr 9 och 3, där de simlerade och mätta ärdena är lottade i samma graf Till synes sammanfaller de ra med arandra. Kolosition [mm] 3 8 Os. 5. V 5. V Tid [s] Figr 9 Kolens rörelse i ositi riktning för system och modell med intrimmad flödeskonstant. Resltatet isar god öerensstämmelse med den intrimmade modellen. Kolosition [mm] V -6-8 Os. 4.8 V Tid [s] Figr 3. Kolens rörelse i negati riktning för system och modell med intrimmad flödeskonstant. Resltatet isar god öerensstämmelse med den intrimmade modellen. 43

55 6. Intrimning a arametrar och modellalidering 6. Modellalidering Efter intrimning a flödeskonstanten jämförs systemet med den olinjära modellen. Det görs genom att göra ett stegsar i ett återkolat system för att få med hela aretsområdet. För åde systemet och simleringsmodellen anänds en P-reglator med förstärkning 3. Resltatet kan ses i Figr 3. Eerimentet har tförts i ett område där styrsignalen inte når t till mättat tillstånd för att ndika att detta inerkar å eerimentet. Kolosition [mm] Tid [s] Figr 3. Stegsarsro å systemet, kra och simleringsmodellen, kra. Resltatet isar att modellen stämmer ra mot systemet. Att krorna inte når t riktigt till referenssignalen eror å dödandet i entilen. Stderas de åda krorna ses att de inte når t riktigt till referenssignalen. Det eror till en stor del å dödand i entilen. Om inte dödand anänts i modellen, kommer kolen att nå t till referensniån, ilket isar att det är dödandet som är den stora orsaken till felet som kommer. Jämförs sedan resltaten, ses att de öerensstämmer ra. Sltsatsen som kan dras är att arametrarna trimmats in ra för modellen. 44

56 7. Reglering 7. Reglering 7.. Verifiering a linjäriserad modell Som tidigare nämnts kräs en linjäriserad modell för att skaa en ra reglator eller få en ra fattning om systemets frekensegenskaer. För att eta att den linjäriserade modellen stämmer, ehöer den dock erifieras. Det görs genom att jämföra den med den ickelinjära modellen. För att erifiera den linjäriserade modellen äljs en aretsnkt, där cylindern står i mitten, flödeskonstanten är fi för åde den linjära och olinjära modellen, samt äen de öriga arametrarna är lika för de åda modellerna, se ilaga. Testet tförs genom att göra ett stegsarsro för åda modellerna i ett återkolat system med en P reglator å förstärkning 3. I figr 3 isas krorna för den ickelinjära och den linjära modellen. Krorna stämmer ra öerens, ilket isar att linjäriseringen stämmer och kan anändas för analys och reglatordesign. 5 5 Kolosition [mm] Tid [s] Figr 3. Stegsarsro för ickelinjär modell, kra och linjär modell, kra. Resltatet isar att den linjäriserade modellen stämmer ra mot den olinjära modellen. 45

57 7. Reglering 7. Analys a arameternas inerkan I kaitel 5 ndersöktes hr massan, flödeskonstanten, iskösa friktionen och Colomfriktionen inerkar å den olinjära modellen. I detta asnitt ska en närmare analys göras med hjäl a den linjäriserade modellen, se asnitt 3.5. Syftet med analysen är att se hr skärfrekensen och fasmarginalen åerkas när massan, flödeskonstanten, linjäriseringsnkt och iskösa friktionen ändras. Under analysen kommer endast den arameter som ndersöks att arieras, medan de andra kommer att hållas konstanta. Initialt sätts iskösa friktionen till Ns/m, massan till 6 kg, flödeskonstanten till 3-9 och aretsnkten för kolen till, ds i mitten a cylindern. Bodediagrammen för kretsförstärkningen F(s)G(s) då F(s)=3 ritas för att knna jämföras med simleringsresltaten. Simlering görs i ett återkolat system med F(s)=3 7.. Variation a iskösa friktionen För att se den iskösa friktionens inerkan, ndersöks en liten och en stor friktion, här Nm/s och Nm/s. De andra arametrarna hålls konstanta id tidigare angina ärden. De tå resltaten ritas i Bodediagram, se figr Bode Diagram Phase (deg) Magnitde (as) Nm/s Nm/s Nm/s Nm/s Freqency (rad/sec) Figr 33. Bodediagram för det öna systemet med den iskösa friktionen satt till c f =Nm/s resektie c f =Nm/s. Skillnader mellan de tå iskösa friktionerna är en resonansto id ca 4 rad/s för den lägre iskösa friktionen. Fasmarginalen lir -8 där resonanstoen skär amlitdkran i. Det medför instailt system. 46