Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin
|
|
- Marie Martinsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Statistikteori för F vt Begt Rosé Några grudläggade begrepp och termer i statistikteori Om matematisk statistik Matematisk statistik omfattar delområdea saolikhetsteori och statistikteori, det seare ofta också kallat statistisk iferesteori. Eftersom de två områdea igår i samma äme, bör de rimlige ha ära relatio till varadra, och det har de också. Saolikhetsteori Saolikhetsteori är lära om hur slumpe uppför sig. Äve om slumpe står för det "tillfälliga", det "e förutsägbara", föler de vissa bestämda lagar. Särskilt går dessa ut på att slumpe ämar ut sig i det låga loppet, och hur de utämige sker. Exempel på mer precisa resultat är de stora tales lag och cetrala gräsvärdessatse. Statistik och statistikteori I vardagsspråket står "statistik" för att ma samlar i data och seda sammaställer dem till ust statistik (geom att beräka atal, medelvärde, mediaer, stadardavvikelser, o. dyl.). Såda dataisamlig medför valige att ma vier kuskap, och syftet är att ma med hälp av statistike ka dra slutsatser om "verklighete", eller med fiare ord göra iferes frå observatioer till "verklighet". Om slumpe varit med och "stört" isamlade data, vilket de ofta varit, är det dock lätt att bli "lurad av slumpe" i slutsatssteget. E huvuduppgift för (de statistiska) iferesteori ka formuleras så här : Statistikteori / iferesteori tillhadahåller förfarade för att dra slutsatser frå slumpstörda data uta att bli vilseledd av slumpes spel. () Om slumpstörda data Slumpstörda data förekommer ymigt i praktike. Neda ages ågra huvudtyper av situatioer där slumpe fis med i bilde. Slumpmässiga mätfel Vid så gott som alla slags mätigar (fysikaliska, kemiska, biologiska, mm.) råkar ma oftast ut för fölade. Vid upprepad mätig av, som ma tycker, precis samma sak på precis samma sätt, får ma ite precis samma resultat. Då "skyller" ma på slumpe, och talar om slumpmässiga mätfel. E syoym är att (slumpmässigt) brus föreligger. Iheret slumpvariatio Exempel : Ma sätter 0 likadaa rädisfrö i ett lad. Efter viss tid skördas rädisora. De vägs (på e mycket precis våg), och kostateras väga åtskilligt olika. Exempel : Ma sätter ya glödlampor av samma märke att lysa, och oterar hur läge de brier ia de går söder. Ma kostaterar att lamporas livslägder varierar åtskilligt. För de typ av variatio som föreligger i exemple ova har ma ofta ige bättre förklarig ä att de beror på "tillfälligheter", eller syoymt på "slumpe". Trots att fröa och lampora ser likadaa ut leder de ite till samma mätvärdr. I frösammahaget talar ma om biologisk slumpvariatio. E mer allmä term är iheret slumpvariatio, varmed avses ågotig i fölade stil : "Trots till syes lika utgågsförhållade får olika eheter olika mätvärde".
2 Slumpmässiga urval När ma är itresserad av förhållade i e populatio (t.ex. alla hushåll i ladet) brukar det bli för dyrt och tidskrävade att göra e totaludersökig. Valigt är, äve är itresset gäller hela populatioe, att ma öer sig med att observera ett urval av populatioes eheter. Valigt är också, och det fis goda skäl för det, att ma låter slumpe vara med och dra urvalet, och att ett slumpmässigt urval udersöks. Föreligger verklige risk att bli vilseledd av slumpe? Eligt () går statistikteori ut på att udvika att bli "lurad / vilseledd av slumpe" är ma drar slutsatser frå slumpstörda data. Är det verklige risk att bli lurad av slumpe? Jo, vi är (og?) faktiskt lättlurade, såtillvida att vi har dålig ituitio för hur slumpe slår). Trots att vi uder lågliga tider klarat oss i e värld full av slump (agtlycka, väder, skördeutfall, köet på ett yfött bar, och mycket mer) har vi förvåade dålig ituitio för slumpes spel. Sake exemplifieras eda. Exempel 3: Ma täker sigla slat 00 gåger, med "kroa" och "klave" som möliga utfall i de eskilda slatsiglige. Betrakta fölade frågor : a) Hur måga klave kommer ma att få på ett ugefär? b) Hur stor är chase att ma får mist 57 klave? Notera att frågora är högst begripliga vare sig ma läst saolikhetsteori eller e. På a) svarar de flesta uta lägre betäketid : Cirka 50. Så lågt häger ituitioe med. På b) däremot brukar svare bli högst varierade, det mesta mella 50 och 0 % förekommer. Rätt svar är :?. E sesmoral frå exemplet är fölade : För att ite bli vilseledd av slumpe är ma drar slutsatser frå slumpstörda observatioer räcker det ite med ituitio, ma måste kua "räka sig fram". Det är som statistikteori ger metoder för. De är förvisso litet krågliga, såväl begreppsmässigt som tekiskt. Me, om ma försöker "käa / tycka sig fram" istället för att "räka sig fram" är det stor risk att hama sett i slutsatsera. 3 Populatio och stickprov Två för fortsättige grudläggade begrepp är populatio och stickprov. Termera aväds, på gott och ot, med dels vardagsspråkliga, dels mer tekiska iebörder. Slumpmässigt stickprov i vardagsspråklig meig De vardagliga iebörde av "populatio" brukar i statistikteori åberopas med de mer fullstädiga terme ädlig populatio. Med e såda avses e specificerad uppsättig eheter (elemet och obekt är syoymer som förekommer) av type : Alla sågverksföretag i Sverige per () Ofta är det av itresse att skaffa iformatio om e eller flera aspekter på förhålladea i e såda populatio, iformatio som avser eheteras värde för e eller flera variabler. Exempel 4: För populatioe () ka det t.ex. vara av itresse att få veta värdea på variablera "atal aställda " och "beskattigsbar vist för år 003", t.ex. för att kua beräka geomsittlig vist per aställd. (3) E mölighet är då att totaludersöka populatioe, dvs. att samla i värdea på variablera av itresse för samtliga populatioseheter. E aa mölighet är att observera variabelvärdea för bara ett slumpurval av populatioes eheter. Ma talar då om att ma observerar ett slumpmässigt stickprov frå populatioe. Slumpmässigt stickprov = utfall av oberoede likafördelade stokastiska variabler Nyssämda iebörd av "slumpmässigt stickprov" är (väl?) vad vardagsspråket får e att täka på. I Bloms bok, och därmed i de här kurse, aväds terme för det mesta med e aa, och mer tekisk iebörd. Då hadlar det, åtmistoe i eklaste versioe, om mät-
3 värde som framkommit uder tillsyes lika förutsättigar, me ädå blir olika på grud av slumpmässiga mätfel och / eller iheret slumpvariatio, varvid det är aturligt att betrakta observatioera som utfall av oberoede, likafördelade stokastiska variabler. Äve i de slags situatioer sägs mätvärdea utgöra ett "slumpmässigt stickprov". Neda ges Bloms defiitio, på sida. (Sidrefereser går fortsättigsvis till Blom B.) DEFINITION : Ett slumpmässigt stickprov x, x,..., x frå (saolikhets)fördelige F utgörs av utfallet av (observatioer på) oberoede stokastiska variabler X, X,.., X, vilka alla har fördelige F. (4) Kommetar : De gemesamma fördelige F i ovaståede defiitio kallas ofta för de populatio som observatioera kommer frå ; X, X..., X är ett slumpmässigt stickprov frå populatioe F. (5) Iblad sägs F utgöra e oädlig populatio (till skillad frå e "ädlig populatio"). Kokretiserade bakgrud för de termiologi ges eda. Ett slumpmässigt stickprov om 0 mätfelsstörda observatioer uppfattas som ett "utplock" av 0 värde ur e täkt oädlig föld av upprepade mätigar. Fördeligsfutioe F uppfattas som ett "idealt" (kumulativt) histogram för de oädliga mätserie. (Blom sida 5). Kommetar : På sida i Blom iförs e utvidgad defiitio av slumpmässigt stickprov. Där släpps förutsättige om att ett stickprov är utfallet av likafördelade s.v. X, X..., X står då för oberoede observatioer som ka ha olika fördeligar F, F..., F. Kommetar 3 : Terme "slumpmässigt stickprov" aväds alltså med två ågot olika iebörder, dels för ett utfall av oberoede s.v., dels för variabelvärdea för ett slumpurval av eheter frå e ädlig populatio. Skillade mella de två begreppe består framför allt i fölade. När ma frå e ädlig populatio drar ett slumpurval uta återläggig (vilket ma ormalt gör), blir observerade värde ite oberoede av varadra (i saolikhetsteoretisk meig). För ett slumpmässigt stickprov eligt (4) är, som vi kommer att se, förutsättige om observatioeras oberoede e vital del av defiitioe. Dock, om de ädliga populatioe är "stor" i förhållade till urvalet är skillade försumbar, vilket vi kommer att tala mer om lägre fram. Relatio mella saolikhetsteori och iferesteori Skillade mella saolikhetsteori och statistikteori ka formuleras på fölade sätt. Vid e saolikhetsteoretisk problemställig förutsätts att populatioe är käd, dvs. att fördelige F (eller alla variabelvärde i e ädlig populatio) är käd. Givet detta vill ma beräka saolikhete för att stickprovsutfallet x, x,..., x satisfierar ågot agivet villkor. (6) Vid e iferesteoretisk problemställig gäller att stickprovstfallet x, x,..., x är kät, meda populatioe är mer eller midre okäd. Det ma vill är att utifrå observatioera uttala sig om förhållade i populatioe. (7) 4 Statistisk modell Att de populatio F som geererat observatioera är mer eller midre okäd iebär att flera fördeligar F betraktas som täkbara "saa" fördeligar, att e hel famil av möliga "saa" fördeligar föreligger. Vid formell beskrivig av situatioe är e ytterlighetsvariat att ma ite aser sig kua säga mer om fördelige F ä att F är e av "världes alla saolikhetsfördeligar". Ofta är dock förhålladet att ma, äve om ma ite vet allt om F, vet e hel del (eller åtmistoe atar sig veta). Specifikatio av sådat vetade / atagade kallas de statistiska modell som iferese baseras på. Stokastisk modell är e förekommade syoym. De statistiska modelle ager "ramar" för hur slumpe kom i är observatioera geererades. 3
4 Exempel 5 : E valig typ av statistisk modell iebär bl.a. att ma käer forme på fördelige F. Ett exempel är att F är e ormalfördelig med käd stadardavvikelse σ =, me med okät positivt medelvärde m. Då är de statistiska modelle att famile av möliga fördeligar utgörs av {F N(m, ), 0 < m < }. De famile illustreras grafiskt eda. Statistik modell = famil av möliga fördeligar / populatioer : Helt allmät gäller att e statistisk aalys måste baseras på ågo modell / premiss. Ju mer detalerad modell ma aser sig kua age, desto säkrare slutsatser ka ma dra, vilket vi kommer att se måga exempel på. Me u mer detalerad modell ma aväder desto större blir riske för e felaktig modellspecifikatio (att modelle är "icke realistisk"). Kommetar 4 : De skillad mella statistikteori och saolikhetsteori som pekas på i (6) och (7) iebär ite att de är åtskilda disciplier. Tvärtom, för att kua dra föruftiga slutsatser om e okäd fördelig F gäller det, åtmistoe i pricip, att kua räka på hur stickprovet X, X..., X skulle uppföra sig för var och e av de möliga fördeligara F, dvs. att utföra saolikhetsteoretiska beräkigar. E sesmoral frå detta är att ma måste vara hyggligt varm i klädera ifråga om saolikhetsteori är ma skall lära sig statistikteori. Kommetar 5 : I (4) beteckas stickprovet med versaler X, X,..., X, vilket idikerar att de betraktas som stokastiska variabler. Små bokstäver x, x,.., x aväds också, t.ex. i (4). Beteckigsskillade aväds för att göra distiktio mella observatioera / mätvärdea ia de ihämtas respektive de (tal)värde som faktiskt observerades. Med saolikhetsteoris språkbruk står x, x,..., x för utfall / realiserige av de s.v. X, X,..., X. Som vi kommer att se är detta e viktig distiktio. Iblad vill vi resoera på de ea sida ("före observatio"), och iblad på de adra ("efter observatio"). [Ekoomer brukar göra distiktioe geom att säga att X, X,..., X står för stickprovet ex ate ( = före) och x, x,..., x för stickprovet ex post ( = efter)]. Blom reserverar "stickprov" förhålladevis strikt för utfallet x, x,..., x. I det avseedet kommer vi att vara litet mer lättsiiga, och kalla såväl X, X,..., X som x, x,..., x för stickprov. Parametrar i aslutig till e famil av möliga populatioer De aspekt på (de okäda) fördelige F som ma är itresserad av brukar kallas för e parameter. Som allmä bokstav för e såda aväds företrädesvis θ (= grekiskas "täta"). Ofta är θ "edimesioell", dvs. ett tal, me ka också vara två (eller mer) - dimesioell. I och med att vi laborerar med e hel famil av möliga fördeligar F, blir det också fråga om e famil av möliga värde för e parameter θ. Totalitete av möliga parametervärde kallas parameter - rummet, och beteckas i det allmäa fallet med A (θ A). Kommetar 6 : För de två begreppe "mölig fördelig F" och "parameter θ" föreligger ofta ett "höa - ägg - förhållade". (Vem kommer före de adra?) Iblad är det aturligt att uppfatta parameter θ som de primära storhete, som i si tur bestämmer fördelige F. (T.ex. i situatioer där θ har e ekel kokret, t.ex. fysikalisk, tolkig, och slumpe kommer i via mätfel.) I adra fall är det aturligt att uppfatta fördelige F som det primära, som i si tur bestämmer parameter. (T.ex. om θ står för vätevärdet i fördelige F.) Här får ma laga efter läge. 4
5 5 Huvudtema iom de statistiska iferesteori Teori för statistisk iferes rymmer särskilt fölade tre huvudtema. Skattig (Itroduceras i Blom Kap 0. Där prefereras terme puktskattig.) Osäkerhetsgräser (Itroduceras i Blom Kap. Där kallat itervallskattig.) Hypotesprövig (Itroduceras i Blom Kap.) Vi kokretiserar med hälp av ett exempel. Exempel 6 : Ett företag tar emot ett parti om 000 kompoeter (av samma slag) frå e uderleveratör. Eligt giva regler ka e kompoet klassas som "felfri" eller "defekt". Låt p = adele defekta kompoeter i hela partiet (dess felkvot). (8) I e första omgåg öer ma sig med att göra e stickprovsispektio av partiet. Ma väler på måfå ut 50 kompoeter, som ispekteras. Det visar sig att 3 är defekta. Vad ka sägas om p? Ma ka u alltid gissa, och e högst aturlig gissig är (väl?) att p har värdet : p* = 3 / 50 = 6 %. Med statistikteoretisk termiologi sägs att partiets felkvot (pukt)skattas till 6 %. Äve om ma tror att 6 % är e bra skattig, tror ma ite att ma hamat mitt i prick. Skattige 6 % är föread med viss osäkerhet. Det är öskvärt att kua age gräser för osäkerhete. Med hälp av förfarade som behadlas lägre fram ka ma komma till fölade typ av utsaga : Det är så gott som säkert att felkvote ligger i itervallet.5 % p 0.5 %. (9) Det fis olika sätt att uttrycka iehållet i (9) på. Ett är att säga att [.5 %, 0.5 %] är ett osäkerhetsitervall för p, eller att.5 % och 0.5 % ger osäkerhetsgräser för p. Ett aat, och det aväds företrädesvis i Blom, är att säga att [.5 %, 0.5 %] ger e itervallskattig av p. Ett trede sätt är att säga att [.5 %, 0.5 %] är ett kofidesitervall för p. Mer om det lägre fram. Atag att kotraktet mella företaget och uderleveratöre stipulerar att fullvärdiga partier får ha e felkvot om högst %. Ger ispektiosresultatet uderlag för att "kräva böter" av uderleveratöre? Vi fördupar oss ite i fråga, uta öer oss med att otera de ka formuleras som att det hadlar om pröva hypotese att felkvote är högst %. Läsavisigar till Bloms Kapitel 8 och 9 Som framgår av kapitelrubrikera är temat i de två kapitle "beskrivade statistik". Det ligger på gräse till gymasiestoff, och lämas i stort sett helt till sälvläsig. Neda listas begrepp som bör käas till. Sidhävisigara går som valigt till Blom B. Ogrupperade data, grupperade data, klassidelade data (sid 8-30). Absoluta och relativa frekveser, kumulativa relativa frekveser (sida 9). Stolpdiagram och kumulativt stolpdiagram (sida 9). Histogram och kumulativt histogram (sida 3). När ett datamaterial x, x,..., x (dvs. e uppsättig tal) ordas i stigade storleksordig med mista värdet först osv., fås det ordade stickprovet som beteckas x (), x (),.., x () (sida 33). Ytterligare beteckigar är : x mi = x (), x max = x (). För ett tal p mella 0 och defiieras p - percetile, beteckad x p, som x p = x ([p ]+), där [ ] står för heltalsdel (sida 35). x p är, åtmistoe i stort sett, det värde i talmaterialet för vilket adele p av värdea är midre ä x p och adele - p är större. (Am. De precisa defiitioe av percetil ka skila ågot frå e statistikbok till e aa, me kommer ite att spela ågo roll i fortsättige.) Percetilera svarade till p = 5 %, 50 % och 75 %, dvs. x 0.5, x 0.5 och x 0.75, kallas också första kvartile, mediae respektive trede kvartile. Puktdiagram (sida 34). Lådagram (sidor 8 och 35), 5
6 Det valigaste lägesmåttet (syoym ivåmåttet) för ett talmaterial x, x,..., x är det (aritmetiska) medelvärdet, beteckat. x. Ett alterativt läges / ivåmått är mediae. Medelvärdet är x = (x + x +... x ) /. + Det valigaste spridigsmåttet (syoymt variabilitetsmåttet) är stadardavvikelse, beteckad s, vilke erhålls som kvadratrote ur variase, beteckad s ; s = = (x x ) s = s. (0) För kvadratsumma i (0) iför Blom åtmistoe två specialbeteckigar, ämlige Q (sida 35) och S xx (sida 44). Se äve Formel - och Tabellsamlige (i fortsättige kallad FT - samlige) Avsitt.. xx = Q = (x x) = S, vilket ger s = Q / ( - ) = S xx / ( - ). () Neda ages ett par räkeregler för kvadratsumma Q. De mellerst återfis på sida 35 (och fis äve i FT - samlige), meda de högra (kostigt og) ite fis utskrive ågostas i Blom. Q = (x x ) = x ( x ) = x x. () = = = Det som står om regressio i Kapitel 9 ka hoppas över. Det återkommer i Kapitel 3, som kommer att behadlas rätt oggrat. Begrepp som bör käas till är tvådimesioellt puktdiagram, syoymt spridigsdiagram (sida 4), kovarias, beteckad c xy (sida 47) och korrelatioskoefficiet, beteckad r (sida 47), för ett tvådimesioellt datamaterial. = xy = Sxy /( ) där Sxy = (x x) (y y) = c. (3) r = c /(s s ) där s x och s y står för stadardavvikelse för x - resp. y - värdea. (4) xy x y Korrelatioskoefficiete r är ett mått på hur starkt x - och y - värdea samvarierar (liärt) med varadra. E såda atar ett värde mella - och +. Ytterlighetsvärdea - och + erhålls är x - och y - värdea ligger lägs e rät lie med egativ resp. positiv lutig. Värdet r = 0 återspeglar att det ite föreligger ågot sambad / beroede mella x - och y - värdea (sida 67.) Storhete S xy i (3), som kallas produktsumma krig de aritmetiska medelvärdea, behadlas på sidora 44 och 45. Där pekas också på (åtmistoe de mellersta av) fölade räkeregler (vilke också fis i Avsitt.3 i FT - samlige) ; Sxy = x y ( x ) ( y ) = x y x y. (5) = Bevis av () : = = = Q = (x x ) = ( x x x + x ) = x x x + x = = = x = Formlera i (5) ka härledas aalogt. = = x ( x) + x = x x = x ( x ) = = = =. 6
Några grundläggande begrepp och termer i statistikteorin
Matematisk statistik för STS vt 004 004-05 - 03 Begt Rosé Några grudläggade begrepp och termer i statistikteori Om matematisk statistik Som tidigare ämts brukar matematisk statistik delas upp i huvudområdea
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grudläggade matematisk statistik Puktskattig Uwe Mezel, 2018 uwe.mezel@slu.se; uwe.mezel@matstat.de www.matstat.de Saolikhetsteori: Saolikhetsteori och statistikteori vad vi gjorde t.o.m. u vi hade e give
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merMinsta kvadrat-metoden, MK. Maximum likelihood-metoden, ML. Medelfel. E(X i ) = µ i (θ) MK-skattningen av θ fås genom att minimera
Matematisk statistik slumpes matematik Saolikhetsteori hur beskriver ma slumpe? Statistikteori vilka slutsatser ka ma dra av ett datamaterial? Statistikteori översikt Puktskattig Hur gör ma e bra gissig
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsig 5 732G70 Statistik A Egeskaper hos stickprovsstatistikora Stickprovsmedelvärde Stickprovssumma Stickprovsadel Lägesmått Spridig Medelfel EX VarX 2 2 E X Var X E P Var P X X 1 1 P Eftersom respektive
Läs merIntervallskattningar, synonymt konfidensintervall eller statistiska osäkerhetsgränser
Matematisk statistik ör STS vt 004 004-05 - 04 Begt Rosé Itervallskattigar, syoymt koidesitervall eller statistiska osäkerhetsgräser Allmät om koidesitervall För att börja kokret återväder vi till det
Läs merAntalet sätt att välja ut r objekt bland n stycken med hänsyn till ordning är np r = n(n 1) (n r + 1).
Harald Lag Formelsamlig och Tabeller i Statistik och Saolikhetsteori (15/11-10) Datareducerig Om x 1,..., x är ett stickprov ur e populatio så defiieras medelvärdet x x = 1 k=1 x k och stadardavvikelse
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 6 732G70, 732G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 6 Iferes om e populatio Sid 151-185 Puktskattig och itervallskattig Statistisk iferes om populatiosmedelvärde
Läs merSkattning / Inferens. Sannolikhet och statistik. Skattning / Inferens. Vad är det som skattas?
Skattig / Iferes Saolikhet och statistik Puktskattig Försöket att beskriva e hel populatio pga ågra få mätvärde! Oberservatio = Populatio HT 2008 UweMezel@mathuuse http://wwwmathuuse/ uwe/ Populatio har
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merFöreläsning G04 Surveymetodik 732G19 Utredningskunskap I
Föreläsig 5 732G04 Surveymetodik 732G19 Utredigskuskap I Dages föreläsig Klusterurval Estegs klusterurval Tvåstegs klusterurval Klusterurval med PPS 2 Klusterurval De urvalsdesiger som diskuterats hittills
Läs mer1. Test av anpassning.
χ -metode. χ -metode ka avädas för prövig av hypoteser i flera olika slag av problem: om e stokastisk variabel följer e viss saolikhetsfördelig med käda eller okäda parametrar. om två stokastiska variabler
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A. Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Föreläsig 5 73G70, 73G01 Statistik A Föreläsigsuderlage är baserade på uderlag skriva av Karl Wahli Kapitel 5 Stickprovsteori Sid 15-150 Statistisk iferes Populatio (äve målpopulatio) = de (på logisk väg
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs merF10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlista till NCT Iferece Parameter Estimator Estimate Ubiased Bias Efficiecy Cofidece iterval Cofidece level (Studet s) t distributio Slutledig,
Läs merStatistik. Språkligt och historiskt betyder statistik ungefär sifferkunskap om staten
Statistik Språkligt och historiskt betyder statistik ugefär sifferkuskap om state E Statistisk udersökig består av fyra delar: Plaerig Dataisamlig Bearbetig Beskrivade statistik (kap 1) Statistisk aalys
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 2)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del ) Pukt- och itervallskattig (LLL Kap 10) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level
Läs merb) Bestäm det genomsnittliga antalet testade enheter, E (X), samt även D (X). (5 p)
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF922, SF923 och SF924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 29:E MAJ 208 KL 0800 300 Examiator för SF922/SF923: Tatjaa Pavleko, 08-790 84 66 Examiator för SF924:
Läs merIntervallskattning. c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad. Antag att vi har ett stickprov x 1,..., x n på X som vi vet är N(µ, σ) men vi vet ej
Itervallskattig c 005 Eric Järpe Högskola i Halmstad Atag att vi har ett stickprov x,..., x på X som vi vet är Nµ, σ me vi vet ej värdet av µ = EX. Då ka vi beräka x, vvr skattig av µ. För att få reda
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065, HT-15 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade
Läs merFöreläsning 2: Punktskattningar
Föreläsig : Puktskattigar Joha Thim joha.thim@liu.se 7 augusti 08 Repetitio Stickprov Defiitio. Låt de stokastiska variablera X, X,..., X vara oberoede och ha samma fördeligsfuktio F. Ett stickprov x,
Läs merDatorövning 2 Fördelningar inom säkerhetsanalys
Luds tekiska högskola Matematikcetrum Matematisk statistik STATISTISKA METODER FÖR SÄKERHETSANALYS FMS065 Datorövig 2 Fördeligar iom säkerhetsaalys I dea datorövig ska vi studera ågra grudläggade frå saolikhetsteori:
Läs merFör att skatta väntevärdet för en fördelning är det lämpligt att använda Medelvärdet. E(ξ) =... = µ
1 February 1, 2018 1 Förel. VII Puktskattigar av parametrar i fördeligar 1.1 Puktskattig För att skatta vätevärdet för e fördelig är det lämpligt att aväda Medelvärdet ξ = 1 ξ j. Vi tar u vätevärdet av
Läs merF19 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Hypotesprövning för en differens mellan två medelvärden
Stat. teori gk, ht 006, JW F19 HPOTESPRÖVNING (NCT 11.1-11.) Hypotesprövig för e differes mella två medelvärde Samma beteckigar som vid kofidesitervall för differes mella två populatiosmedelvärde: Medelvärde
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det fis iget så praktiskt som e bra teori" November 2011 Bakgrud Stadardiserig E saolikhetsekvatio Kosekves av stora tales lag Stora tales lag ger att är slumpvariablera X i är oberoede, med e och samma
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT ) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F13 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.1-10.3) Ordlista till NCT Hypothesis testig Null hypothesis Alterative hypothesis Simple / composite Oe-sided /two-sided Reject Test statistic Type
Läs mer4.2.3 Normalfördelningen
4.2.3 Normalfördelige Biomial- och Poissofördelige är två exempel på fördeligar för slumpvariabler som ka ata ädligt eller uppräkeligt måga olika värde. Sådaa fördeligar sägs vara diskreta. Ofta är ett
Läs merSannolikheter 0 < P < 1. Definition sannolikhet: Definition sannolikhet: En sannolikhet kan anta värden från 0 till 1
Saolikheter E saolikhet ka ata värde frå 0 till 1 0 < P < 1 Beteckas: P Pr Prob Saolikhete för e hädelse Hädelse A P(A) Pr(A) Prob(A) Defiitio saolikhet: De frekves med vilke hädelse av itresse iträffar
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS063 Tetame 208-05-30 Tid: 8:30-2:30 Tetamesplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamlig och tabell samt Chalmersgodkäd räkare. Kursasvarig: Olof Elias Telefovakt/jour: Olof Elias,
Läs merStatistik för ingenjörer 1MS008
Statistik för igejörer MS8 Föreläsig Kursmål: För godkät betyg på kurse skall studete käa till ett flertal metoder och tekiker för visualiserig av datamaterial; kua geomföra ekla beräkigar av saolikheter;
Läs merS0005M V18, Föreläsning 10
S0005M V18, Föreläsig 10 Mykola Shykula LTU 2018-04-19 Mykola Shykula (LTU) S0005M V18, Föreläsig 10 2018-04-19 1 / 15 Hypotesprövig ett stickprov, σ okäd. Stadardiserig av stickprovsmedelvärdet då σ är
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 4 (del 1)
Fiasiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsig 4 (del 1) Sampligfördeligar (LLL Kap 8) Departmet of Statistics (Gebreegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Fiacial Statistics (Basic-level course,
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 5 juni 2004, kl
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för statistik Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 5 jui 004, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Asvarig lärare: Övrigt: Bifogad formel-
Läs mera) Beräkna E (W ). (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF19 och SF191 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 13:E MARS 18 KL 8. 13.. Examiator: Björ-Olof Skytt, 8 79 86 49. Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 13 mars 08
TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Datum: 3 mars 8 Te i kurse HF3, 6H3, 6L3 MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse HF ( Tidigare k 6H3), KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: 8:5-:5 Hjälpmedel:
Läs merHögskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00
Lösigsförslag UPPGIFT 1 Kvia Ma Högskoleutbildad 0,90*0,70=0,63 0,80*0,30=0,24 0,87 Ej högskoleutbildad 0,07 0,06 0,13 0,70 0,30 1,00 Pr(ej högskoleutbildad kvi=0,07=7% Pr(högskoleutbildad)=0,87 c) Pr(Kvi*Pr(Högskoleutbildad)=0,70*0,87=0,609
Läs merTentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 mars 2004, klockan
Karlstads uiversitet Istitutioe för iformatiostekologi Avdelige för Statistik Tetame i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäg) 6 mars 004, klocka 14.00-19.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formelsamlig (med
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs mer2. Konfidensintervall för skillnaden mellan två proportioner.
Föreläsig 12 LV1, Torsdag 12/10 Upplägg 1. Kofidesitervall för proportioer. 2. Kofidesitervall för skillade mella två proportioer. 3. Grafteori Kofidesitervall för proportioer Atag att vi vill skatta adele
Läs merFöljande begrepp används ofta vid beskrivning av ett statistiskt material:
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Besrivade statisti BESKRIVANDE STATISTIK. GRUNDBEGREPP Följade begrepp aväds ofta vid besrivig av ett statistist material: LÄGESMÅTT (medelvärde, media och typvärde): Låt
Läs merUppsala Universitet Matematiska institutionen Matematisk Statistik. Formel- och tabellsamling. Sannolikhetsteori och Statistik
Uppsala Uiversitet Matematiska istitutioe Matematisk Statistik Formel- och tabellsamlig Saolikhetsteori och Statistik IT2-2004 Formelsamlig, Saolikhetsteori och Statistik IT-2004 1 Saolikhetsteori 1.1
Läs merF3 Lite till om tidsserier. Statistikens grunder 2 dagtid. Sammansatta index 4. Deflatering HT Laspeyres index: Paasche index: Index.
F3 Lite till om tidsserier Deflaterig, att justera för iflatioe tatistikes gruder dagtid 4 3,5 3,5,5 Mjölk ockerdricka HT,5 975 976 977 978 979 98 98 98 Löpade priser År Mjölk ockerdricka KPI 945 = 975,34,
Läs merHöftledsdysplasi hos dansk-svensk gårdshund - Exempel på tavlan
Höftledsdysplasi hos dask-svesk gårdshud - Exempel på tavla Sjö A Sjö B Förekomst av parasitdrabbad örig i olika sjöar Exempel på tavla Sjö C Jämföra medelvärde hos kopplade stickprov Tio elitlöpare spriger
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs mer(a) Skissa täthets-/frekvensfunktionen och fördelningsfunktionen för X. Glöm inte att ange värden på axlarna.
1 0,5 0 LÖSNINGAR till tetame: Statistik och saolikhetslära (LMA120) Tid och plats: 08:30-12:30 de 6 april 2016 Hjälpmedel: Typgodkäd miiräkare, formelblad Betygsgräser: 3: 12 poäg, 4: 18 poäg, 5: 24 poäg.
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 2013-10-26 med lösningar
TMS36: Dataaalys och statistik Tetame 03-0-6 med lösigar Examiator och jour: Mattias Sude, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkäd räkare och formelsamlig formelsamlig delas ut med teta). Betygsgräser:
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs merStokastiska variabler
TNG006 F2 11-04-2016 Stoastisa variabler Ett slumpmässigt försö ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöet. Talet är ite ät före försöet uta bestäms av vilet utfall som ommer att uppstå,
Läs merMS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del I
MS-A0409 Grudkurs i diskret matematik Sammafattig, del I G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 2 oktober 2013 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0409 Grudkurs i diskret matematiksammafattig, del 2Ioktober
Läs merTentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 20 januari 2007, kl. 09.00-13.00
0.01.007 Tetame i Statistik, STA A13 Deltetame, 5p 0 jauari 007, kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig lärare: Haah Hall Övrigt:
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs merFormelblad Sannolikhetsteori 1
Formelblad Saolikhetsteori Bayes formel: Låt A och D vara två hädelser Då gäller P A D = P D AP A P D Chebyshevs olikhet: Låt X vara e stokastisk variabel med vätevärde µ och varias Då gäller för alla
Läs merVid mer än 30 frihetsgrader approximeras t-fördelningen med N(0; 1). Konfidensintervallet blir då
Stat. teori gk, ht 006, JW F7 ENKEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT.5-.7) Statistisk iferes rörade β Vi vet reda att b är e vätevärdesriktig skattig av modellparameter β. Vi vet också att skattige b har
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II Estimerig 2 Kofidesitervall G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 3 februari 205 3 Hypotesprövig 4 Korrelatio och regressio G. Gripeberg Aalto-uiversitetet
Läs mer1. (a) Eftersom X och Y har samma fördelning så har de även samma väntevärde och standardavvikelse. E(X 2 ) = k
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Matematikcetrum Tetame: 5 kl 8 Luds tekiska högskola FMS, FMS, FMS, FMS 5, MAS 9 Matematisk statistik för ED, F, I, FED och fysiker. a Eftersom X och Y har samma fördelig
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601. Fördelning Väntevärde Varians. p x (1 p) n x x = 0, 1,..., n np np(1 p) ) x = 0, 1,..., n np.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, FMS601 Valiga fördeligar Fördelig Vätevärde Varias Biomialfördelig, Bi (, p ) P (X = x) = ( x) p x (1 p)
Läs merSAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grundkurs
SAMMANFATTNING TAMS79 Matematisk statistik, grudkurs LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 2015 Versio: 1.0 Seast reviderad: 2016-02-01 Författare: Viktor Cheg
Läs merTentamen i Matematisk statistik för V2 den 28 maj 2010
Tetame i Matematisk statistik för V de 8 maj 00 Uppgift : E kortlek består av 5 kort. Dessa delas i i färger: 3 hjärter, 3 ruter, 3 spader och 3 klöver. Kortleke iehåller damer, e i varje färg. Ata att
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig, del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistiksammafattig,
Läs merTENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004 TEN kl
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF004 TEN 0-04-5 kl 8.5-.5 Hjälpmedel: Formler och tabeller i statistik, räkedosa Fullstädiga lösigar erfordras till samtliga uppgifter. Lösigara skall vara
Läs merId: statistik.tex :48:29Z joa
UTDRAG UR FÖRELÄSNINGSANTECKNINGAR I STATISTIKTEORI PUNKT- OCH INTERVALLSKATTNINGAR SAMT HYPOTESTEST MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F, E, D, I, C, È; FMS 012 JOAKIM LÜBECK, SEPTEMBER 2008 Iehåll 1 Puktskattigar
Läs mer================================================
rmi Halilovic: ETR ÖVNINGR TVÅ STICKPROV Vi betraktar två oberoede ormalfördelade sv och Låt x, x,, x vara ett observerat stickprov, av storleke, på N (, ) och låt y, y,, y vara ett observerat stickprov,
Läs merSannolikhetsteori FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00. Kap 2: Sannolikhetsteorins grunder
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-00 Saolikhetsteori Kap : Saolikhetsteoris gruder Följade gäller för saolikheter: 0
Läs merTentamen i Statistik STG A01 (12 hp) 5 mars 2010, kl. 08.15 13.15
Karlstads uiversitet Fakultete för ekoomi, kommuikatio och IT Statistik Tetame i Statistik STG A0 ( hp) 5 mars 00, kl. 08.5 3.5 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt
Läs merSANNOLIKHETER. Exempel. ( Tärningskast) Vi har sex möjliga utfall 1, 2, 3, 4, 5 och 6. Därför är utfallsrummet Ω = {1, 2, 3, 4, 5,6}.
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE BEGRE OH BETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast med Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrummet.
Läs merTENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
TETAME I MATEMATISK STATISTIK Te i kurse 6H, KÖTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK, Te i kurse 6H, 6L MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, Skrivtid: :-7: Lärare: Armi Halilovic Kurskod 6H, 6H, 6L, 6A Hjälpmedel:
Läs merAnmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[, [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
MÄNGDER Stadardtalmägder: N={0,, 2, 3, } mägde av alla aturliga tal (I ågra böcker N={,2,3, }) Z={ 3, 2,,0,, 2, 3, 4, } mägde av alla hela tal m Q={, där m, är hela tal och 0 } mägde av alla ratioella
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merNormalfördelningens betydelse. Sannolikhet och statistik. Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)
Normalfördeliges betydelse Empirisktse gur: måga storheter approximativt ormalfördelade Summa av måga ugefär oberoede och ugefär likafördelade s.v. är approximativt ormalfördelad CGS Exempel: mätfel =
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merKompletterande kurslitteratur om serier
KTH Matematik Has Thuberg 5B47 Evariabelaalys Kompletterade kurslitteratur om serier I Persso & Böiers.5.4 itroduceras serier, och serier diskuteras också i kapitel 7.9. Ia du läser vidare här skall du
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del II
Stickprov MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Sammafattig del II G Gripeberg Aalto-uiversitetet 4 februari 04 Estimerig 3 Kofidesitervall 4 Hypotesprövig 5 Korrelatio och regressio G Gripeberg
Läs mer1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x
BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom
Läs merSannolikheten. met. A 3 = {2, 4, 6 }, 1 av 11
rmi Halilovic: EXTR ÖVIGR SOLIKHETER GRUDLÄGGDE EGRE OH ETEKIGR Utfall Resultat av ett slumpmässigt försök. Utfallsrummet ägde av alla utfall (beteckas oftast medd Ω ). Hädelse E delmägd av utfallsrumm
Läs merInduktion LCB Rekursion och induktion; enkla fall. Ersätter Grimaldi 4.1
duktio LCB 2000 Ersätter Grimaldi 4. Rekursio och iduktio; ekla fall E talföljd a a 0 a a 2 ka aturligtvis defiieras geom att ma ager e explicit formel för uträkig av dess elemet, som till exempel () a
Läs merb 1 och har för olika värden på den reella konstanten a.
Första häftet 649. a) A och B spelar cigarr, vilket som bekat tillgår på följade sätt. Omväxlade placerar de ibördes lika, jämtjocka cigarrer på ett rektagulärt bord, varvid varje y cigarr måste placeras
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1917/SF1918/SF1919 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 8 JANUARI 2019 KL 8.00 13.00. Examiator för SF1917/1919: Jörge Säve-Söderbergh, 08-790 65 85. Examiator
Läs merSannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:
Läs merTentamen 19 mars, 8:00 12:00, Q22, Q26
Avdelige för elektriska eergisystem EG225 DRIFT OCH PLANERING AV ELPRODUKTION Vårtermie 25 Tetame 9 mars, 8: 2:, Q22, Q26 Istruktioer Skriv alla svar på det bifogade svarsbladet. Det är valfritt att också
Läs merTolkning av sannolikhet. Statistikens grunder, 15p dagtid. Lite mängdlära. Lite mängdlära, forts. Frekventistisk n A /n P(A) då n
Tolkig av saolikhet Statistikes gruder, 15p dagtid HT 01 Föreläsigar F4-F6 Frekvetistisk A / A) då Klassisk atal(a) / atal(ω) = A) storlek(a) / storlek(ω) = A) Subjektiv (persolig) isats/total vist = A)
Läs merMA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 2014-08-23
1 MA018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp, 014-08-3 Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merTentamen i matematisk statistik
MSTA3, Saolikhetsteori A, 5 p 5--7 Tetame i matematisk statistik Saolikhetsteori A, 5 poäg Skrivtid: 9.-5.. Tillåta hjälpmedel: Tabellsamlig, ege miiräkare. Studetera får behålla tetamesuppgiftera. På
Läs mer1. Hur gammalt är ditt barn?
Förskoleekät 2017 Filtrerigsvillkor: Villkor: 1: Svarsalterativ Björkduge (Fråga: Vilke förskola går ditt bar i?) 1. Hur gammalt är ditt bar? 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 1-2 22% 3-4 50% 5-6
Läs merTentamen Metod C vid Uppsala universitet, , kl
Tetame Metod C vid Uppsala uiversitet, 160331, kl. 08.00 12.00 Avisigar Av rättigspraktiska skäl skall var och e av de tre huvudfrågora besvaras på separata pappersark. Börja alltså på ett ytt pappersark
Läs merKonsoliderad version av. Styrelsens för ackreditering och teknisk kontroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkning av färdigförpackade varor
Kosoliderad versio av Styrelses för ackrediterig och tekisk kotroll föreskrifter (STAFS 1993:18) om EEG-märkig av färdigförpackade varor Rubrike har dea lydelse geom (STAFS 2008:11) Ädrig iförd: t.o.m.
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik, 7.5hp Hjälpmedel: Räkedosa och medföljade formelsamlig! Täk på att dia lösigar ska utformas så att det blir lätt för läsare att följa dia takegågar.
Läs merZ-Testet. Idè. Repetition normalfördelning. rdelning. Testvariabel z
Repetitio ormalfördelig rdelig Z-Testet X i. Medelvärdets fördelig:.stadardiserad ormalfördelig: N (, ) X N, X X N (, ) N (,) X N, X N(,) 3. Kvatiler: uwe.meel@math.uu.se Vad gör g r Z-testetZ? H : e ormalfördelad
Läs merTentamen i statistik för STA A13, 1-10 poäng Deltentamen II, 5p Lördag 9 juni 2007 kl
Avdelige för atioalekoomi och Tetame i för STA A13, 1-10 poäg Deltetame II, 5p Lördag 9 jui 007 kl. 09.00-13.00 Tillåta hjälpmedel: Bifogad formel- och tabellsamlig (skall retureras) samt miiräkare. Asvarig
Läs merHandbok i materialstyrning - Del F Prognostisering
Hadbok i materialstyrig - Del F Progostiserig F 71 Absoluta mått på progosfel I lagerstyrigssammahag ka progostiserig allmät defiieras som e bedömig av framtida efterfråga frå kuder. Eftersom det är e
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 14 februari 014 G. Gripeberg (Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs merÖvningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp
Övigstetame i MA08 Tillämpad Matematik III-Statistik,.hp Hjälpmedel: Pea, radergummi och lijal. Räkedosa och medföljade formelsamlig är tillåte! Tetame består av 0 frågor! Edast Svarsblakette ska lämas
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II
MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistik Exempel etc., del II G. Gripeberg Aalto-uiversitetet 11 februari 014 G. Gripeberg Aalto-uiversitetet) MS-A0509 Grudkurs i saolikhetskalkyl och statistikexempel
Läs merRESTARITMETIKER. Avsnitt 4. När man adderar eller multiplicerar två tal som t ex
Avsitt 4 RESTARITMETIKER När ma adderar eller multiplicerar två tal som t ex 128 + 39..7 128 43..4 så bestämmer ma först de sista siffra. De operatioer som leder till resultatet kallas additio och multiplikatio
Läs mer= (1 1) + (1 1) + (1 1) +... = = 0
TALFÖLJDER OCH SERIER Läs avsitte - och 5 Lös övigara, abcd, 4, 5, 7-9, -5, 7-9, -abcd, 4, 5 Läsavisigar Avsitt Defiitioe av talföljd i boe är ågot ryptis, me egetlige är det ågot väldigt eelt: e talföljd
Läs merLaboration 5: Konfidensintervall viktiga statistiska fördelningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 033, HT-02 Laboratio 5: Kofidesitervall viktiga statistiska fördeligar Syfte I dea laboratio
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK
UMEÅ UNIVERSITET Istitutioe för matematisk statistisk Statistiska metoder, 5 poäg MSTA36 Peter Ato LÖSNINGSFÖRSLAG 005-10-6 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statistiska metoder, 5 poäg
Läs merUppgifter 3: Talföljder och induktionsbevis
Gruder i matematik och logik (017) Uppgifter 3: Talföljder och iduktiosbevis Ur Matematik Origo 5 Talföljder och summor 3.01 101. E talföljd defiieras geom formel a 8 + 6. a) Är det e rekursiv eller e
Läs mer