Punktskriftens skrivregler

SVENSK PUNKTSKRIFT Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap Andra upplagan

I skriftserien Svensk punktskrift har följande titlar utkommit: Fonetik och punktskrift, av Lillemor Andersson och Catharina Johansson (2005) Kortskrift. Nivå 1 och 2 (1997) Kortskrift. Nivå 3 och 4, för anteckningar (1997) Louis Braille Skapare av ett skriftsystem, av Beatrice Christensen Sköld (andra upplagan, 2011) Punktskriften och dess användning (andra upplagan, 2010) Punktskriftens termer (2001) Redigering och avskrivning (1999) Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap (andra upplagan, 2012) Svenska skrivregler för punktskrift (andra upplagan, 2009) Tactile maps Guidelines for the production of maps for the visually impaired (2003), av Yvonne Eriksson, Gunnar Jansson och Monica Strucel Taktila kartor Handledning i kartframställning (2003), av Yvonne Eriksson, Gunnar Jansson och Monica Strucel Teckentabell som norm för svensk åttapunktsskrift (1997) Tidigare utgivning: Handledning i reliefbildframställning på svällpapper (1994), av Yvonne Eriksson och Monica Strucel A guide to the production of tactile graphics on swellpaper (1995), av Yvonne Eriksson och Monica Strucel Distribution: Talboks- och punktskriftsbiblioteket Box 5113 121 17 Johanneshov E-post: info@tpb.se www.punktskriftsnamnden.se www.tpb.se 2012 Punktskriftsnämnden, Talboks- och punktskriftsbiblioteket Redaktör: Björn Westling Omslag: Helena Lunding Hultqvist, Tecknar nu Tryck: Elanders Sverige AB, 2012 ISBN 978-91-88132-42-0

Innehåll Förord till den andra upplagan 7 Inledning 9 Om denna bok 9 Blanktecken i matematisk punktskrift 10 Aritmetiska operatorer 10 Pilar 10 Streck 10 Jämförelseoperatorer 10 Mängdlära och logik 10 Del 1 TECKEN OCH SKRIVREGLER FÖR MATEMATIK OCH NATURVETENSKAP 1 Speciella punktskriftstecken 13 1.1 Förtecken 13 1.2 Blanktecken 14 1.3 Hjälptecken 14 1.3.1 Avslutnings- och avskiljningstecken 14 1.3.2 Varningstecken 16 1.3.3 Fortsättningstecken 16 1.3.4 Hjälpparentes 16 1.3.5 Bråksammanhållare 16 1.4 Tecken som inte har ett definierat skrivsätt i punktskrift 17 1.5 Regler för radbrytning 17 2 Bokstäver 19 2.1 Latinska bokstäver 19 2.2 Grekiska bokstäver 19 2.3 Enstaka framhävda tecken 22 2.4 Strukna tecken 23 3 Siffror 25 3.1 Arabiska siffror 25 3.1.1 Blanktecken i sifferföljder 25 INNEHÅLL 3

3.1.2 Komma och punkt i sifferföljder 25 3.2 Romerska siffror 26 4 Storheter och enheter 28 4.1 Några särskilda enhetstecken 28 4.2 Övriga enheter 28 5 Aritmetiska operatorer 30 6 Bråk 34 6.1 Tal och variabler i bråkform 34 6.2 Bråk i blandad form 36 6.3 Komplicerade bråk 36 6.4 Bråk med huvudbråkstreck 38 6.5 Bråkliknande uppställningar 39 7 Exponenter, rötter och index 40 7.1 Övre och nedre index 40 7.2 Rotuttryck 45 8 Parenteser, streck och pilar 47 8.1 Parenteser 47 8.2 Parenteser över flera rader 48 8.3 Streck 51 8.4 Vanliga pilar 54 8.5 Övriga pilar 55 9 Övriga operatorer och tecken 57 9.1 Jämförelseoperatorer 57 9.2 Mängdlära och logik 60 9.3 Geometriska tecken 63 9.4 Analys (derivator och integraler) 64 9.5 Övriga tecken 66 9.6 Tecken i datorsammanhang 67 4 INNEHÅLL

Del 2 EXEMPELSAMLING, ÄMNESVIS ORDNAD 10 Matematik 71 10.1 Aritmetik och algebra 71 10.2 Analys 75 10.2.1 Några funktionstyper 75 10.2.2 Intervall och gränser 77 10.2.3 Derivator 78 10.2.4 Integraler 80 10.2.5 Differentialekvationer 80 10.2.6 Exponential- och logaritmfunktioner 81 10.2.7 Gränsvärden, talföljder och serier 81 10.3 Komplexa tal 83 10.4 Mängdlära och logik 84 10.5 Geometri 86 10.6 Trigonometriska funktioner 87 10.7 Sannolikhetslära och statistik 88 11 Fysik och astronomi 90 12 Kemi och biologi 93 12.1 Kemiska beteckningar och formler 93 12.2 Strukturformler 97 13 Programmering och Internet 99 BILAGA förändringar i den andra upplagan 102 Tecken med nytt utseende i punktskrift 102 Pilar med nytt utseende i punktskrift 105 Nya tecken i punktskrift 106 Borttagna tecken 108 Alfabetiskt register 109 Teckenregister 129 INNEHÅLL 5

Förord till den andra upplagan Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är en samling regler och rekommendationer för hur man skriver matematik och andra naturvetenskapliga ämnen i svensk punktskrift. Denna andra reviderade upplaga har tagits fram av Ulf Aldener, Lillemor Andersson, Stig Becker, Fredrik Larsson, Björn Nyqvist, Anders Sennerö och Björn Westling. Den tidigare upplagan utgavs 1997. I den nya utgåvan har bland annat ett nytt förtecken för matematiska tecken ï (p12456) införts. En lista över gjorda ändringar på teckennivå finns mot slutet av boken. Förändringar har gjorts för att göra det lättare att använda matematisk punktskrift. De matematiska tecknens utseenden i punktskrift har valts för att vara lättare att minnas än tidigare. Det rekommenderas vidare att större uppmärksamhet ska ges till den matematiska punktskriftens layout, bland annat genom att blanktecken kan användas för att skapa bättre läsbarhet i en följd av tecken och att varje ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. En grundläggande förutsättning för utformningen av den matematiska punktskriften är att få så stor överensstämmelse med skrivregler för övrig punktskrift som möjligt. Detta har lyckats i princip fullt ut och kan tjäna som en förebild för konstruktion av motsvarande skrivregler för punktskrift i andra länder. Att till exempel 3 4 m² skrivs på samma sätt i punktskrift i en roman som i en vetenskaplig artikel tycker vi är mycket viktigt för att punktskriften ska vara läsbar och tillgänglig. Johanneshov, augusti 2012 Björn Westling Sekreterare i Punktskriftsnämnden FÖRORD 7

Inledning Om denna bok Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är en sammanställning av regler med tillhörande exempel för punktskrift i matematik och naturvetenskap. Skriften består av två delar. I nio kapitel i den första delen presenteras skrivregler och olika grupper av tecken och symboler. I den andra delen ges exempel sorterade i fyra kapitel för olika områden eller ämnen. Skrivreglerna för matematik och naturvetenskap bygger på och är en utvidgning av de skrivregler som finns beskrivna i Svenska skrivregler för punktskrift. Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap täcker behovet av punktskriftstecken till och med gymnasiet och i många fall även högskolenivån. Med ledning av hur punktskriftstecknen är utformade går det att vid behov skapa ytterligare punktskriftstecken för att på så sätt även helt täcka behovet för högskolelitteraturen. Svartskriftsböcker har ofta en layout som för ögat ger en snabb överblick över ganska komplicerade samband. Sådan layout kan vara svår att återge i punktskrift och kan ibland bli till mer hinder än hjälp för punktskriftsläsaren. Typiska skrivsätt i svartskrift som är svåra att exakt efterlikna i punktskrift är till exempel uppställningar där man med hjälp av pilar visar ett korsvist flöde, trappan som illustrerar divisionsuträkning samt atom- och molekylstrukturer i kemi. Sådana svartskriftsillustrationer bör kommenteras och kan även kompletteras med reliefbilder. Exemplen i Punktskriftens skrivregler för matematik och naturvetenskap är i huvudsak autentiska och har valts för att illustrera företeelser som inte alltid framgår klart av texten. Notera att exemplen i vissa fall introducerar skrivsätt och tecken som tas upp först senare i boken. INLEDNING 9

Blanktecken i matematisk punktskrift I de flesta fall har blanktecken inte någon betydelsebärande funktion i matematisk punktskrift utan kan användas för att skapa en bättre läsbarhet åt längre teckenföljder. I vissa fall måste punktskriftstecken omges av blanktecken för att undvika missförstånd. Aritmetiska operatorer Aritmetiska operatorer (kapitel 5) kan som i svartskrift skrivas med eller utan blanktecken på ömse sidor. Pilar Punktskriftstecken för olika pilar presenteras i avsnitt 8.4 och 8.5. De representationer som vanliga pilar (avsnitt 8.4) har i punktskrift är tänkta att grafiskt efterlikna de utseenden tecknen har i svartskrift. Denna princip gäller inte för de flesta andra tecken. Samtliga punktskriftstecken som representerar vanliga pilar måste omges av blanktecken. Övriga pilar (avsnitt 8.5) representeras i punktskrift genom att betydelsen av tecknet skrivs inom hjälpparentes i en förkortad form. Streck Streck presenteras i avsnitt 8.3. Två enkla lodstreck intill varandra bör skiljas av blanktecken för att inte misstolkas som ett dubbelt lodstreck. Jämförelseoperatorer Jämförelseoperatorer presenteras i avsnitt 9.1. Det är ofta lämpligt och ibland nödvändigt att låta dessa punktskriftstecken omges av blanktecken. Mängdlära och logik De tecken och symboler som används i mängdlära och logik presenteras i avsnitt 9.2. Även för dem gäller att det ofta är lämpligt att motsvarande punktskriftstecken omges av blanktecken. 10 INLEDNING

Del 1 TECKEN OCH SKRIVREGLER FÖR MATEMATIK OCH NATURVETENSKAP

1 Speciella punktskriftstecken 1.1 Förtecken Förtecken ger det närmast följande punktskriftstecknet eller de närmast följande punktskriftstecknen en särskild betydelse. Betydelsen av förtecknet upphävs av blanktecken, avslutningsoch avskiljningstecken eller annat förtecken om inget annat nämns. _ Förtecken för versal bokstav. Se avsnitt 2.1. Förtecken för flera versala bokstäver i följd. Se avsnitt 2.1. Förtecken för flera ord med versaler i följd. Se avsnitt 2.1. " Förtecken för en grekisk gemen bokstav. Se avsnitt 2.2. "_ @ ^ Förtecken för en grekisk versal bokstav. Se avsnitt 2.2. Förtecken för enstaka framhävt tecken. Se avsnitt 2.3. Även förtecken för plusminustecken och minusplustecken. Förtecken för struket tecken, ofta med betydelsen inte/ej. Se avsnitt 2.4. # Förtecken för siffror. Se avsnitt 3.1. Förtecken för exponent eller övre index. Se avsnitt 4.2 och 7.1. ê Förtecken för nedre index. Se avsnitt 7.1. 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 13

Förtecken för centrerat övre index. Se avsnitt 7.1. êê Förtecken för centrerat nedre index. Se avsnitt 7.1. ï Förtecken för flera matematiska tecken. Se kapitel 9. ~ Förtecken för några tecken som bland annat förekommer i datorsammanhang, exempelvis snabel-a, @. Se avsnitt 9.6. Tecknet används även som varningstecken, se avsnitt 1.3.2. 1.2 Blanktecken Blanktecken liksom radbyte upphäver betydelsen av närmast föregående förtecken om inget annat sägs. Då blanktecken är en del av en sifferföljd upprepas siffertecknet. I sifferföljder grupperade med blanktecken får man inte använda. för att återge blanktecken. Se även avsnittet Blanktecken i matematisk punktskrift i inledningen till denna bok. 1.3 Hjälptecken 1.3.1 Avslutnings- och avskiljningstecken Tecknet används som avskiljningstecken mellan siffra och de gemena bokstäverna a j för att undvika feltolkning, se även Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 5.5 Siffror och bokstäver. Ibland används tecknet även mellan olika gemener för att markera växlingen mellan rak och kursiv stil. Se avsnitt 2.3. Tecknet används också som avslutningstecken för att avsluta komplicerade exponenter, index, rotuttryck, tecken med streck ovanför, samt understrukna tecken som inletts med varningstecknet ~. Se kapitel 7. 14 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER

Ex. 1.1 4a 5B 7ab #4a<<#5_b<<#7ab<<<<<<<<<<<< Om siffran följs av versal behöver man inte något avskiljningstecken. Då citattecken förekommer före fristående latinsk bokstav i matematisk text ska citattecknet följas av för att undvika förväxling med förtecken för grekisk bokstav (gäller både gemener och versaler). " Avslutnings- och avskiljningstecken efter citattecken, för att undvika förväxling med förtecknen för grekiska bokstäver. Ex. 1.2 Han sa: p är ungefär 3,3. _han<sa:<"p<är<ungefär<<<<<< #3,3".<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 1.3 π är ungefär 3,14 "p<är<ungefär<#3,14<<<<<<<<<< När bokstaven o kombineras med jämförelseoperatorer där punktskriftstecknet o ingår ska blanktecken användas för att undvika sammanblandning med tecknet för mycket större än. Alternativt kan avskiljningstecknet användas. Det samma gäller när bokstaven ö kombineras med jämförelseoperatorer där punktskriftstecknet ö ingår för att undvika sammanblandning med tecknet för mycket mindre än. Se även avsnitt 9.1. Ex. 1.4 a > o b a<#o<o<#oo<b<<<<<<<<<<<<<<<<< 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 15

1.3.2 Varningstecken Varningstecken ~ föregår långa uttryck som behöver hållas ihop. Det kan gälla komplicerade exponenter, index, tecken med streck ovanför, understrukna tecken eller rotuttryck. Varningstecken avslutas med. Se exempel 7.6 och 7.10. 1.3.3 Fortsättningstecken Om radbrytning måste göras i punktskrift i en teckenföljd som inte får delas i svartskrift måste fortsättningstecken ïï användas. Den radbrytning som då görs i punktskrift ska inte tolkas som blanktecken, därför ska exempelvis ett siffertecken inte upprepas, se exempel 1.5 nedan. Ex. 1.5 π är ungefär lika med 3,14159265358979323846264338327950288 _Pi<är<ungefär<lika<med<<<<<< #3,141592653589793238462643ïï 38327950288<<<<<<<<<<<<<<<<<< 1.3.4 Hjälpparentes Text i en punktskriftsupplaga som inte finns i motsvarande svartskriftsupplaga ska markeras på något sätt, till exempel med hjälpparentes ~(<~). För att återge tecken som inte har någon representation i punktskrift kan man skriva ut betydelsen eller teckennamnet inom hjälpparentes. Se avsnitt 1.4 och exempel 12.1. 1.3.5 Bråksammanhållare Bråksammanhållare, som består av bråkbörjan é( samt bråkslut é), ska skrivas för att synliggöra början och slut av ett bråk när det krävs för att den matematiska innebörden ska förmedlas rätt. Se vidare kapitel 6. 16 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER

1.4 Tecken som inte har ett definierat skrivsätt i punktskrift När man vill återge ett tecken som saknar representation i punktskrift bör man skriva ut betydelsen i klartext alternativt en intuitiv förkortning inom hjälpparentes. Alternativt kan ett tecken ges en tillfällig representation. Att i detta sammanhang använda punktskriftstecken som grafiskt liknar ett tecken i svartskrift rekommenderas inte, sådana avbildningar är inte alltid intuitiva utan kan vara svåra att tolka. Ex. 1.6 I följande exempel har tecknen för hona respektive hane återgivits i klartext inom hjälpparentes. ~(hona~) hona ~(hane~) hane ~(alltså~) alltså ~(därför<att~) därför att Alternativ skrivning i förkortad form: ~(aå~) alltså ~(d.a.~) därför att 1.5 Regler för radbrytning Punktskriftsraderna bör delas där det är naturligt, exempelvis efter plustecken, minustecken, multiplikationstecken, bråkstreck eller före eller efter jämförelseoperatorer, till exempel likhetstecken. Plustecken, minustecken, plusminustecken, minusplustecken, likhetstecken, multiplikationstecken samt divisionstecken bör upprepas på nästa rad för att underlätta läsbarheten. Se exempel 6.12 och 6.15. Dessa rader bör skrivas med två blankteckens indrag jämfört med den första raden, även detta för att underlätta läsbarheten. 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER 17

Tecken som i punktskrift består av flera punktskriftstecken får inte delas. Index, exponenter och rotuttryck bör inte heller delas. Man ska om möjligt undvika att dela en ekvation på två rader. När en ekvation måste delas ska man i regel främst söka få vänstra och högra ledet på var sin rad; delningen sker alltså vid likhetstecknet. Om sådan delning inte är möjlig eller lämplig, bör ekvationen delas vid till exempel plustecken, minustecken eller multiplikationstecken. Ett tal, en storhetsbokstav eller ett kort uttryck bör dock inte stå för sig i den ena raden. Ett parentesinnehåll ska om möjligt inte delas. Korta parentesinnehåll, till exempel (A B), får inte delas. Om radbrytningen i punktskrift måste ske där svartskriften inte får byta rad, där det inte finns en operator, måste fortsättningstecken ïï sättas sist på punktskriftsraden. I dessa fall ska inte heller något indrag göras på följande rad. Ex. 1.7 ( a + b) 6 = ( a + b)( a + b)( a + b)( a + b)( a + b)( a + b ) (a$b) #6=(a$b)(a$b)(a$b)ïï<<< (a$b)(a$b)(a$b)<<<<<<<<<<<<<< 18 1 SPECIELLA PUNKTSKRIFTSSYMBOLER

2 Bokstäver 2.1 Latinska bokstäver Gemena latinska bokstäver skrivs utan förtecken. Versal skrivs med _ före bokstaven. Flera versaler i följd skrivs med _ före varje bokstav eller med före den första bokstaven. Versaltecknen upphävs av blanktecken eller andra ickebokstavstecken. Flera ord med versaler i följd kan skrivas med före den första versalen och avslutningstecknet efter den sista. För att markera gemener i en lång följd av versaler, kan antingen en versalmarkering upprepas före den sista versalen (se exempel 2.2) eller kan ett avslutningstecken användas efter den sista versalen. Ex. 2.1 kwh k_wh<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.2 ABCDEFGHijklm ABCDEFG_Hijklm<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.3 E[X + Y] = E[X] + E[Y] _Eà_X<$<_Yù<=<_Eà_Xù<$<_Eà_Yù 2.2 Grekiska bokstäver Gemena grekiska bokstäver skrivs med " före bokstaven och versaler med "_ före bokstaven. Förtecknet gäller endast den närmast följande bokstaven. 2 BOKSTÄVER 19

Gemener Versaler α "a Α "_a alfa β "b Β "_b beta γ "g Γ "_g gamma ξ "d "_d delta ε "e Ε "_e epsilon ζ "z Ζ "_z zeta η "j Η "_j eta θ "h Θ "_h teta ι "i Ι "_i jota κ "k Κ "_k kappa λ "l Λ "_l lambda µ "m Μ "_m my ν "n Ν "_n ny ξ "x Ξ "_x xi ο "o Ο "_o omikron π "p Π "_p pi ρ "r Ρ "_r ro σ "s Σ "_s sigma τ "t Τ "_t tau υ "u Υ "_u ypsilon ϕ "f Φ "_f fi χ "\ Χ "_\ chi ψ "y Ψ "_y psi ω "w Ω "_w omega 20 2 BOKSTÄVER

Ex. 2.4 x( y) = y( x + h) y( x) "_dx(y)<=<y(x<$<h)<-<y(x)<<<< Ex. 2.5 1, η ( t) #1,<"j(t)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.6 ω = 2π T "w<=<#2"p/_t<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.7 T ( αu + βv) = αtu + βtv _T("au<$<"bv)<=<"a_Tu<$<"b_Tv Ex. 2.8 ϕ = arctan1 a "f<=<arctan<#1/a<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.9 ϕ(0) = ϕ( a) = 0 "f(#0)<=<"f(a)<=<#0<<<<<<<<<< Ex. 2.10 r α = θ r<=<"aü"h<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2 BOKSTÄVER 21

Ex. 2.11 ( ψ f ϕ) = ( f ψϕ) ("yf "f)<=<(f "y"f)<<<<<<<<<< 2.3 Enstaka framhävda tecken Enstaka framhävda bokstäver och andra tecken, fetstilta eller kursiva, föregås av @. Då framhävd bokstav är versal är ordningen mellan förtecknen följande: @_. Förtecknet för framhävt tecken gäller endast närmast följande punktskriftstecken. När man vill återge att ord eller stycken har en viss stilsort, eller i de fall det är viktigt att visa på vilket sätt ett tecken är framhävt, ska reglerna för markering av olika stilsorter användas. Se Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 3.4. Notera att kursiva bokstäver som beteckning för variabler normalt inte markeras i punktskrift. Vid risk för feltolkning av rak och kursiv stil kan avskiljningstecken eller blanktecken användas, se exempel 2.12. Ex. 2.12 Bestäm h så att sin hx = sinh x Kommentar till exemplet: Lägg märke till att det finns två funktioner i detta exempel: sin = sinus sinh = sinus hyperbolicus _Bestäm<h<så<att<sin<hx<=<<<< <<=<sinh<x<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Alternativ skrivning i punktskrift: avskiljningstecken i stället för blanktecken. _Bestäm<h<så<att<sinhx<=<<<< <<=<sinhx<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 22 2 BOKSTÄVER

Ex. 2.13 x @x<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.14 Ag = λg _a@g<=<"l@g<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.15 λ0 = 0 "l@#0<=<@#0<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 2.16 AX = 0 _a@_x<=<@#0<<<<<<<<<<<<<<<<<< 2.4 Strukna tecken För att markera strukna tecken (tecken med streck på eller genom) används ^ före punktskriftstecknet. Ex. 2.17 3/ (överstruken trea) ^#3<(överstruken<trea)<<<<<<< Ex. 2.18 (ej lika med, skild från) ^=<(ej<lika<med,<skild<från)< Ex. 2.19 /b (överstruket gement b) ^b<(överstruket<gement<b)<<<< 2 BOKSTÄVER 23

Ex. 2.20 /R (överstruket versalt r) ^_R<(överstruket<versalt<r)<< Ex. 2.21 λ/ ^"l<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< För flera exempel på strukna tecken, se avsnitt 9.1 och 9.2. 24 2 BOKSTÄVER

3 Siffror 3.1 Arabiska siffror Betydelsen av siffertecknet # upphävs av blanktecken eller andra punktskriftstecken med undantag för komma och punkt. Ex. 3.1 1 2 3 4 35 148 #1<<#2<<#3<<#4<<#35<<#148<<<< 3.1.1 Blanktecken i sifferföljder Blanktecken i sifferföljder, för till exempel tusental, återges med blanktecken på samma sätt som i svartskriften. Detta innebär att man upprepar siffertecknet efter varje blanktecken. Notera att man i svartskrift och i punktskrift kan skilja siffror i en uppräkning från en talföljd med extra mellanrum (extra blanktecken). Ex. 3.2 18 305 116 är ungefär 18 miljoner. #18<#305<#116<är<ungefär<#18< miljoner.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 18 305 116 är en uppräkning av tre tal. #18<<#305<<#116<är<en<uppräkning<av<tre<tal.<<<<<<<<<<<<< 3.1.2 Komma och punkt i sifferföljder Komma och punkt i sifferföljder återges på samma sätt som i svartskrift. Siffertecknet upprepas inte efter komma eller punkt. I engelskspråkig litteratur kan decimalpunkten stå först. 3 SIFFROR 25

Ex. 3.3 5,37 #5,37<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 3.4 3.1415926535... #3.1415926535...<<<<<<<<<<<<< Ex. 3.5 2, 4, 8, 16,... #2,<#4,<#8,<#16,<...<<<<<<<<< Ex. 3.6 Semikolon används här för att tydligt skilja x- och y-värdet. (0,4; 2) (#0,4;#2)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 3.7.5 = 0.5 -.#5<=<-#0.5<<<<<<<<<<<<<<<<< 3.2 Romerska siffror Romerska siffror behandlas som motsvarande bokstäver. Detta gäller både gemener och versaler. Ex. 3.8 I II _I< II<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 26 3 SIFFROR

Ex. 3.9 1989 = MDCCCCLXXXVIIII = MCMLXXXIX #1989<=< MDCCCCLXXXVIIII<=<< <<=< MCMLXXXIX<<<<<<<<<<<<<< Ex. 3.10 Förordet omfattar sidorna i xii. _Förordet<omfattar<sidorna<<< i--xii.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 3 SIFFROR 27

4 Storheter och enheter 4.1 Några särskilda enhetstecken Några enheter m.m. skrivs i svartskrift med särskilda enhetstecken (inte bokstäver) och har därför också särskild representation i punktskrift: ïg gradtecken ' minut, fot " sekund, tum % ô procent ôô promille Ex. 4.1 0 C = +32 F = 273,15K #0ïg_C<=<$#32ïg_F<=<#273,15_K Ex. 4.2 29 15 #29ïg<#15'<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 4.3 6 % av 7,50 kr = 45 öre #6<ô<av<#7,50<kr<=<#45<öre<<< 4.2 Övriga enheter Snedstreck i enhet skrivs med /. I mätetal används vanligtvis blanktecken mellan storheten och enheten på samma sätt som i svartskrift. I enheter med exponent används omedelbart före exponenten. Se även avsnitt 7.1. 28 4 STORHETER OCH ENHETER

Ex. 4.4 1 l = 10 dl = 100 cl = 1000 ml #1<l<=<#10<dl<=<#100<cl<=<<<< <<=<#1000<ml<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 4.5 4,5 m/s = 4,5 3600/1000 km/h = 16,2 km/h #4,5<m/s<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<#4,5ï.#3600/#1000<km/h<=< <<=<#16,2<km/h<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 4.6 3,9 MW = 3,9 10 6 W #3,9< MW<=<#3,9<ï.<#10 #6<_W Ex. 4.7 6 m #6<m<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 4.8 50 db #50<d_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 4.9 8 m² #8<m #2<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 4.10 13 kg/dm³ #13<kg/dm #3<<<<<<<<<<<<<<<<< 4 STORHETER OCH ENHETER 29

5 Aritmetiska operatorer Aritmetiska operatorer ska skrivas som i svartskrift, det vill säga antingen med eller utan blanktecken på ömse sidor. Beträffande radbrytning se avsnitt 1.5. + $ plustecken, additionstecken - minustecken ± @$- plusminustecken @-$ minusplustecken ï. multiplikationstecken (punkt) i @ï. multiplikationstecken (punkt i fetstil) ïx multiplikationstecken (kryss) * * multiplikationstecken (asterisk) ü divisionstecken (horisontellt bråkstreck) / / divisionstecken (snett bråkstreck) : : skaltecken (kolon, relationstecken) ~(fkom~) funktionskomposition Ex. 5.1 5 + 12 #5<$<#12<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.2 9,99 + 0,001 #9,99$#0,001<<<<<<<<<<<<<<<<< 30 5 ARITMETISKA OPERATORER

Ex. 5.3 1 2 + 1 2 #1/#2<$<#1/#2<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.4 y = 5 + x y<=<#5<$<x<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.5 613 221 #613<-<#221<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.6 10,1 3, 05 #10,1-#3,05<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.7 1 3 3 1 4 4 #3#1ü#4<-<#1#3ü#4<<<<<<<<<<<< Ex. 5.8 0,5 + 3, 4 + 6 7,5 0, 02 #0,5<$<#3,4<$<#6<-<#7,5<-<<<< <<-<#0,02<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.9 α ± 2π "a@$-#2"p<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 5 ARITMETISKA OPERATORER 31

Ex. 5.10 15 13 #15<ï.<#13<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.11 4.5 1.4 #4.5ï.#1.4<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.12 2ab 2ab 2ab #2ab<ï.<#2ab<ï.<#2ab<<<<<< Ex. 5.13 rin = sin @r<@ï.<@n<=<@s<@ï.<@n<<<<<<<< Ex. 5.14 LET C=A*B LET<_C=_A*_B<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.15 24 36 #24<ïx<#36<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.16 231 7 #231ü#7<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 32 5 ARITMETISKA OPERATORER

Ex. 5.17 0,64 0,08 #0,64ü#0,08<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.18 0, 2 / 0,004 #0,2/#0,004<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.19 Ritningen var i skala 1:100. _Ritningen<var<i<skala<<<<<<< #1:#100.<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 5.20 Förhållandet mellan triangelns sidor är 2:3:4. _Förhållandet<mellan<tri-<<<< angelns<sidor<är<#2:#3:#4.<<< 5 ARITMETISKA OPERATORER 33

6 Bråk 6.1 Tal och variabler i bråkform / / snett bråkstreck ü horisontellt bråkstreck é( bråkbörjan (del av bråksammanhållare) é) bråkslut (del av bråksammanhållare) Bråksammanhållare, bråkbörjan é( respektive bråkslut é), ska skrivas för att synliggöra början och slut av ett bråk. Bråksammanhållare behövs för att översätta det tvådimensionella skrivsättet i bråkuppställningar till punktskriftens linjära skrivsätt och används när täljaren och/eller nämnaren innehåller mer än ett tal, variabel eller konstant. Detta gäller även bråk i samband med grundläggande funktioner, av typen ln, lg, tan, sin och cos, samt summa och produkt (se exempel 6.7 och 6.8). Ex. 6.1 x = 9 2 xü#2<=<#9<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.2 5 5 = 1 #5/#5<=<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till ovanstående båda exempel: Notera att blanktecknen enbart finns där för att öka läsbarheten. 34 6 BRÅK

Ex. 6.3 3 1 9 4 13 + = + = 4 3 12 12 12 #3ü#4<$<#1ü#3<=<<<<<<<<<<<<<< <<=<#9ü#12<$<#4ü#12<=<#13ü#12 Ex. 6.4 ( x + 1) ( x 1) (x$#1)ü(x-#1)<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.5 x + 1 x 1 é(x$#1üx-#1é)<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.6 2 2 a = a b b #2é(aübé)<=<é(#2aübé)<<<<<<< Kommentar till exemplet: Bråksammanhållare används både i vänster- och högerleden för att tydligare visa de båda bråkens utseenden. Ex. 6.7 lg x = 0,1lg x 10 é(lg<xü#ajé)<=<#j,a<lg<x<<<<< Ex. 6.8 x lg = lg x 1 10 lgé(xü#10é)<=<lg<x<-<#1<<<<<< 6 BRÅK 35

6.2 Bråk i blandad form I bråk i blandad form behöver inte heltal åtskiljas med blanktecken utan bråkdelarna kan skrivas omedelbart efter heltalet. Siffertecknet upprepas i både täljare och nämnare. Ex. 6.9 1 3 5 3 2 1 3 1 = 2 1 = 1 = 1 4 4 4 4 4 2 #3#1ü#4<-<#1#3ü#4<=<<<<<<<<<< <<=<#2#5ü#4<-<#1#3ü#4<=<<<<<< <<=<#1#2ü#4<=<#1#1ü#2<<<<<<<< Ex. 6.10 3 1/4 1 3/4 = 2 5/4 1 3/4 = 1 2/4 = 1 1/2 I svartskrift är det inte ett rekommenderat skrivsätt att använda snedstreck i bråk skrivet i blandad form (heltal och delar). När det ändå förekommer skriver man i punktskrift blanktecken på samma sätt som svartskrift: #3<#1/#4<-<#1<#3/#4<=<<<<<<<< <<=<#2<#5/#4<-<#1<#3/#4<=<<<< <<=<#1<#2/#4<=<#1<#1/#2<<<<<< 6.3 Komplicerade bråk I svartskrift är det enkelt att se vad som hör till täljare respektive nämnare, till exempel genom placeringen av ett likhetstecken mitt för ett huvudbråkstreck. Vad som hör till täljare respektive nämnare i punktskriften är inte lika lätt att uppfatta, eftersom den skrivs linjärt, och måste i många fall markeras med bråksammanhållare. Då täljaren och/eller nämnaren innehåller mer än ett tal, variabel eller konstant måste bråket omges av bråksammanhållare. Bråksammanhållare kan även behövas i bråk med huvudbråkstreck, se avsnitt 6.4. En bråkuppställning med enbart text behandlas på samma sätt som komplicerade bråk. (Se exempel 6.14.) 36 6 BRÅK

Ex. 6.11 13 7 2 é(#13<ï.<#7ü#2é)<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.12 55 + ( 18) 2 ( 63) ( 3) ( 7) é(#55$(-#18)<ï.<#2-(-#63)<ü<< <<ü<(-#3)-(-#7)é)<<<<<<<<<<<< Ex. 6.13 n( n 1)... ( n k + 1) k! é(n(n-#1)<...<(n-k$#1)ük!é)<< Ex. 6.14 Number of outcomes in A P( A) = Total number of outcomes _P(_A)<=<é(_Number<of<out-<<< <<comes<in<_a<ü<_total<number <<of<outcomesé)<<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.15 b 0 a1 + a2 b1 + an b2 +... + b n bê#0<$<é(aê#1übê#1<$<é(aê#2ü< <<übê#2<$<...<$<aênübêné)é)<< 6 BRÅK 37

6.4 Bråk med huvudbråkstreck Då ett bråk består av bråk i täljare och/eller nämnare kan det vara nödvändigt att särskilt ange vilket av bråkstrecken som är huvudbråkstreck. Detta återges av dubbeltecknade raka eller sneda bråkstreck. I svartskrift är huvudbråkstrecket ofta längre än övriga bråkstreck eller anges genom att ett likhetstecken står mitt för det. üü horisontellt huvudbråkstreck / // snett huvudbråkstreck Ex. 6.16 7x 6y 5x + 8y z = 7x 6y 8y + 5x z<=<é(#7x-#6yü#5x$#8yé)<üü<<< <<üü<é(#7x-#6yü#8y$#5xé)<<<<< Ex. 6.17 1 7x 6y + 5 x + 8 y z = 7x 6y 8y + 5x z=é(#1$é(#7x-#6yü#5x$#8yé)<üü <<üü<é(#7x-#6yü#8y$#5xé)é)<<< Ex. 6.18 x + y x + y = 1 6x 2x 3 é(x$yü#6xé)//é(x$yü#2xé)<=<<< <<=<#1ü#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 38 6 BRÅK

Ex. 6.19 9 6 9 9 6 1,5, 3 och betecknar talet 3 6 3 3 é(#9ü#6üü#3é),<é(#9ü#6//#3é)< och<é(#9/#6üü#3é)<betecknar<< talet<#1,5ü#3<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 6.20 α + β tan a + b = 2 a b α β tan 2 é(a$büa-bé)<=<<<<<<<<<<<<<<<< <<=<é(tané("a$"bü#2é)<üü<<<<< <<üü<tané("a-"bü#2é)é)<<<<<<< 6.5 Bråkliknande uppställningar ~ü osynligt bråkstreck I matematiken förekommer skrivsätt där symboler står ovanför varandra liknande bråkuppställningar, fast utan bråkstreck. I punktskriften används då ett så kallat osynligt bråkstreck ~ü (se exempel 6.21 nedan och exempel 10.74). Ex. 6.21 n n! = k ( n k )! k! (n~ük)<=<é(n!ü(n-k)!k!é)<<<<< 6 BRÅK 39

7 Exponenter, rötter och index 7.1 Övre och nedre index För att visa att ett huvudtecken har ett övre index används. För att visa att ett huvudtecken har ett nedre index används ê. Nedre index skrivs före övre index. Index till vänster om huvudtecknet skrivs före och index till höger om huvudtecknet skrivs efter detta. Se exempel 7.11 7.13. Centrerade index skrivs efter huvudtecken och före eventuella högerställda index. Notera att detta skiljer sig från hur diakriter skrivs. För bokstäver med diakritiska tecken, se Svenska skrivregler för punktskrift, avsnitt 4.1. Normalt anger man inte i punktskrift att index är högerställda eller centrerade, men ibland behöver man ändå markera att vissa index skrivs rakt ovanför/nedanför huvudtecken. Ett sådant exempel är när både centrerade och högerställda index förekommer i samma sammanhang. I dessa fall ska följande indexförtecken användas (se även exempel 12.11 och exempel 12.16): êê rakt nedanför (centrerat nedre index) rakt ovanför (centrerat övre index) Ett index inleds av ett indexförtecken och slutar efter närmast följande tal, konstant, variabel eller symbol. För alla övriga (längre) index inleder man med varningstecknet ~ före indexförtecknet och avslutar indexet med. För att undvika förväxling då ett huvudtecken med ett högerställt index följs av ett huvudtecken med ett vänsterställt index används blanktecken alternativt som avskiljningstecken för att skilja dem åt och underlätta tolkningen. Se exempel 7.31. Om ett index är rakt ovanför eller rakt nedanför flera huvudtecken måste varningstecken skrivas före och avslutningstecken efter huvudtecknen (se exempel 7.21 7.23). 40 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

Här följer några konstruktioner som använder ovanstående regler: - streck (rakt ovanför huvudtecken) ~ : tilde (rakt ovanför huvudtecken) ^! toppvärde (tak) (rakt ovanför huvudtecken) _ êê- streck (rakt nedanför huvudtecken) ˇ êê= bottenvärde (bock) (rakt nedanför huvudtecken) êê= dubbla streck (rakt nedanför huvudtecken) :o vektorpil - vektor Exempel 7.24 nedan ger en översikt av tillämpningarna av reglerna för skrivning av index. Ex. 7.1 5 3 15 (2 ) = 2 (#2 #5) #3<=<#2 #15<<<<<<<<<< Ex. 7.2 2 3 2 x y x y x #2y<ï.<x #3y #2<<<<<<<<<<<< Ex. 7.3 f (2m 1) f (#2m-#1)<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.4 10 12 #10 -#12<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 41

Ex. 7.5 z = ( re θ ) = r e n i n n inθ z n<=<(re~ i"h) n<=<<<<<<<<< <<=<r ne~ in"h<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.6 e π ( + 2 nπ ) + iln 2 2 e~ -("pü#2$#2n"p)<$<iln#2<<< Ex. 7.7 1 2 2 n #2 #2~ n-#1<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.8 log x + log y = log xy a a a alog<x<$< alog<y<=< alog<xy< Ex. 7.9 e 2 2 2 -x /4 a y /4 b z /4c e~ -x #2/#4a-y #2/#4b-<<<<< <<-z #2/#4c<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.10 x1, x2,..., x m 1 xê#1,<xê#2,<...,<x~êm-#1<<<< Ex. 7.11 238 92 U ê#92 #238_U<<<<<<<<<<<<<<<<<< 42 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

Ex. 7.12 2 SO 4 SOê#4~ #2-<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.13 1 + 1H 1 ê#1 #1_Hê#1 $<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.14 lim a existerar lim a a = 0 n n m m n n lim~êên:o#é<aên<existerar<<< <<ö=o<lim~êêm:o#é<ïï<<<<<<<< <<~êên:o#é< aêm-aên <=<#0<<< Ex. 7.15 b a a -b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.16 ab ab -<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.17 ɶy = y y :<=<y<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.18 v = v vêê=<=<vêê-<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 43

Ex. 7.19 σ ˆ 2 = s 2 "s! #2<=<s #2<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.20 ω 2 = K M ~"w - #2<=<_Kü_M<<<<<<<<<<< Ex. 7.21 b* a = a * b b*a=~a*b -<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.22 AB ~ AB :o<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.23 x + y = xˆ + y ˆ ~x$y!<=<x!$y!<<<<<<<<< Ex. 7.24 Detta exempel har konstruerats endast för att visa på ordningen mellan olika index, exemplet betyder alltså inte något i sig. Huvudtecknet är en bokstav x med tecknen för bottenvärde och toppvärde under respektive ovanför, samt fyra index, två stycken före och två efter, nedre respektive övre index. 2 b x^ 1 a ˇ ê#1 #2xêê= +êa b<<<<<<<<<<<< 44 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

Indexen skrivs i följande ordning: Nedre vänsterställt index (1). Övre vänsterställt index (2). Huvudtecknet x. Centrerat index under huvudtecknet ( ˇ ). Centrerat index över huvudtecknet (^). Nedre högerställt index (a). Övre högerställt index (b). 7.2 Rotuttryck î rottecken, kvadratrot Rottecknet skrivs omedelbart före det uttryck som roten omfattar. Punktskriftens rottecken gäller endast närmast följande tal, konstant eller variabel (eller det av parentes eller absolutbelopp sammanhållna uttrycket). För övriga längre rotuttryck inleder man med varningstecknet ~ före rotuttrycket och avslutar med. Då rottecknet har ett övre index, exempelvis en trea för kubikrot, skrivs indexet före rottecknet. Se även avsnitt 7.1 och exempel 7.31 och 7.32. Ex. 7.25 25 = 5 î#25<=<#5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.26 1,5 î#1,5<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.27 5c n î #5cên <<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX 45

Kommentar till exemplet: Notera att används som avskiljningstecken för att skilja siffran 5 från bokstaven c (se även exempel 1.1). Ex. 7.28 a a = 2 2 ~î1ü#2=î(1ü#2)<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.29 a 50 + 22 5 r = 4 5 r<=<aü#4îé(#50$#22î#5<ü<#5é)< Kommentar till exemplet: Notera att blanktecknen enbart finns här för att öka läsbarheten. Ex. 7.30 2 a sa = bc 1 + c b sêa<=<~îbcà#1<-<(aüb$c) #2ù< Ex. 7.31 3 27 = 3 #3î#27<=<#3<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 7.32 n m mn m n a a = a + nîa mîa<=<~ mnîa~ m$n<<<< Kommentar till exemplet: Notera att används som avskiljningstecken för att inte m ska tolkas som ett övre index till a i det första rotuttrycket. 46 7 EXPONENTER, RÖTTER OCH INDEX

8 Parenteser, streck och pilar 8.1 Parenteser ( ( vänster rundparentes ) ) höger rundparentes [ à vänster hakparentes ] ù höger hakparentes { _à vänster klammerparentes, vänster spetsparentes } _ù höger klammerparentes, höger spetsparentes _( vänster vinkelparentes _) höger vinkelparentes ~( vänster hjälpparentes ~) höger hjälpparentes Ex. 8.1 ( a, b) = ( c, d) (a,b)<=<(c,d)<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.2 s( s( s (0))) s(s(s(#0)))<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.3 3 2 p q D = + 3 2 _D<=<(pü#3) #3<$<(qü#2) #2<<< 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 47

Ex. 8.4 S = { 0, 1} _S<=<_à#0,<#1_ù<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.5 [(4x + 4)-(4x + 3)] = [4x + 4-4x - 3] = 1 à(#4x$#4)<-<(#4x$#3)ù<=<<<<<< <<=<à#4x$#4-#4x-#3ù<=<<<<<<<< <<=<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.6 a = a _(a_)<=<a -<<<<<<<<<<<<<<<<<< 8.2 Parenteser över flera rader Parenteser som omfattar flera rader i svartskrift (enkelsidiga och dubbelsidiga) består i punktskrift av ett parentestecken i början och avslutas alltid med. Exempelvis inleds ensidig vänsterklammer, som används i ekvationssystem, med ï_à och avslutas med. Ensidig högerklammer inleds med ï_ù och avslutas med. Notera att dubbelsidiga parenteser i punktskrift inleds med båda parentestecknen och avslutas med (trots att högerparentesen i svartskrift avslutar uttrycket och står till höger). ( ï( ) ï) ensidig vänster rundparentes över flera rader ensidig höger rundparentes över flera rader 48 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

( ) ï(ï) [ ïà ] ïù [ ] ïàïù { ï_à } ï_ù { } ï_àï_ù ï_( ï_) ï_(ï_) dubbelsidig rundparentes över flera rader ensidig vänster hakparentes över flera rader ensidig höger hakparentes över flera rader dubbelsidig hakparentes över flera rader ensidig vänsterklammer (ensidig vänster spetsparentes) över flera rader ensidig högerklammer (ensidig höger spetsparentes) över flera rader dubbelsidig klammerparentes (dubbelsidig spetsparentes) över flera rader ensidig vänster vinkelparentes över flera rader ensidig höger vinkelparentes över flera rader dubbelsidig vinkelparentes över flera rader 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 49

För samtliga ovanstående tecken gäller att de ska skrivas ensamma på en rad, det samma gäller det tillhörande avslutningstecknet. De rader som omfattas av en parentes över flera rader ska skrivas med två teckens indrag jämfört med raden med parentesen. Ex. 8.7 x + y = 3 (1) 2x + 3y = 8 (2) ï_à<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< (#1)<x<$<y<=<#3<<<<<<<<<<<<<< (#2)<#2x<$<#3y<=<#8<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Varje ny ekvation i ett ekvationssystem ska skrivas på ny rad. När en ekvation inte ryms på en rad i punktskrift byter man rad enligt reglerna för radbrytning. Se exempel 10.5. Några skillnader mellan lösning av ekvationssystem med svartskrift och med punktskrift: I punktskrift skrivs ekvationernas nummer före respektive ekvation, i svartskrift skrivs de vanligtvis efter. Ekvationerna i punktskrift skrivs i vänsterkant på ny rad, medan övriga uträkningar och mellanled skrivs med två blankteckens indrag. Före varje ekvationssystem skrivs ï_à på en egen rad. Punktskriftstecknet betyder vänster klammerparentes över flera rader. Efter varje ekvationssystem skrivs avslutningstecknet på en egen rad. Det anger här att omfattningen av vänster klammerparentes, det vill säga ekvationssystemet, avslutas. Ex. 8.8 W = F s F = 0N W = 0Nm s = 10m Kommentar till exemplet: Notera att här används en uppställning som liknar ett ekvationssystem fast med högerklammer över flera rader. 50 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

ï_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _W<=<_F<ï.<s<<<<<<<<<<<<<<<<< _f<=<#0<_n<<<<<<<<<<<<<<<<<<< s<=<#10<m<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< _W<=<#0<_Nm<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.9 1 0 A = 10 1 2 1 _A=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï(ï)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#1<<<#0<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#10<<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<#2<<<#1<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 8.3 Streck / / ï ï / ^ snedstreck lodstreck, delare, mängdbyggare, sådana att, vänster och höger absolutbelopp, determinant dubbelsidigt lodstreck över flera rader ej delare till dubbelt lodstreck; norm 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 51

\ ~/ ':, "=; omvänt snedstreck, backstreck, backslash, differens (vid mängder) enkelstreck (enkelbindning) dubbelstreck (dubbelbindning) él trippelstreck (trippelbindning) Punktskriftstecknen för dubbelsidigt lodstreck över flera rader skrivs på egen rad i början av uttrycket. Detta avslutas alltid med, likaså på egen rad. Se ex. 8.12 nedan. För jämförelse med parenteser över flera rader, som skrivs enligt samma principer, se avsnitt 8.2. För enkelstreck, dubbelstreck och trippelstreck, se även avsnitt 12.2. Ex. 8.10 { x x } A = N är jämt _A<=<_àx<ï_t<@_N< <x<är<<<<<< <<jämnt_ù<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.11 A\B _A~/_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.12 a 11 1n m1 a A = a a mn Kommentar till exemplet: Dubbelsidigt lodstreck över flera rader skrivs enligt samma principer som parenteser över flera rader, se avsnitt 8.2. 52 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

_A<=<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ï ï <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<aê#11<<<...<a~ê#1n<<<<<<<< <<<<<<<<<<...<<<<<<<<<<<<<<<< <<a~êm#1<...<a~êmn<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.13 5 + 2i = 25 + 4 = 29 #5<$<#2i <=<~î#25<$<#4<=<< <<=<î#29<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.14 x y Kommentar till exemplet: Multiplikation av två absolutbelopp ska i punktskrift skrivas med mellanrum så att de båda enkla lodstrecken inte misstolkas som ett dubbelt lodstreck, alternativt med multiplikationstecken emellan. x < y <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.15 x y x y x-y <#o=< < x - y < <<<<<<<< Ex. 8.16 yɶ y y = 0.495 y :<-<y <ü< y <=<#0.495 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 53

8.4 Vanliga pilar Före och efter följande tecken ska blanktecken användas. :o ö: enkel högerriktad pil enkel vänsterriktad pil ö:o :oö: enkel dubbelriktad pil enkel högerriktad pil ovanför enkel vänsterriktad pil ö::o =o ö= enkel vänsterriktad pil ovanför enkel högerriktad pil dubbel högerriktad pil (implicerar, medför) dubbel vänsterriktad pil (nödvändig för) ö=o :o dubbel dubbelriktad pil (ekvivalent med) högerpil med tvärstreck ( funktionspil ) Ex. 8.17 A + B AB _A<$<_B<:o<_A_B<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.18 1 mol NaCl 1 mol Cl #1<mol<_Na_Cl<ö:o<#1<mol<_Cl< 54 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

Ex. 8.19 CO + H O HCO + OH 2- - - 3 2 3 Coê#3~ #2-<$<_Hê#2_O<:oö:< << HCOê#3 -<$< OH -<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Här är det för läsbarhetens skull lämpligt att omge plustecknen med blanktecken, de kemiska beteckningarna framträder bättre. Ex. 8.20 x = = 2 2 x 4 x<=<#2<=o<x #2<=<#4<<<<<<<<<< Ex. 8.21 C κ 0 _C<ö=o<"k<==<#0<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.22 2 x x + x x< :o<x #2<$<x<<<<<<<<<<<<<<< 8.5 Övriga pilar Följande pilar återges (inom hjälpparentes) med förkortningar av teckennamnen. Versalt p i pil betyder här att pilen är dubbel. ր ~(nopil~) տ ~(nvpil~) ւ ~(svpil~) ց ~(sopil~) nordostpil (pekar mot nordost) nordvästpil (pekar mot nordväst) sydvästpil (pekar mot sydväst) sydostpil (pekar mot sydost) 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR 55

~(upil~) ~(npil~) ~(vharpun~) ~(hharpun~) ~(vhharpun~) ~(hvharpun~) ~(avbildas< på~) Alternativ kortform: ~(avb~) ~(u_pil~) ~(n_pil~) pil uppåt pil nedåt vänsterriktad harpun högerriktad harpun vänsterriktad harpun ovanför högerriktad harpun högerriktad harpun ovanför vänsterriktad harpun enkel böjd högerriktad pil (avbildas på) dubbel uppåtriktad pil dubbel nedåtriktad pil Ex. 8.23 P Q Q P _P<~(upil~)<_Q<ö=o<_Q<<<<<<<< <<~(upil~)<_p<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 8.24 A + H O HA + OH - - 2 _A -<$<_Hê#2_O<~(hvharpun~)<< << HA<$< OH -<<<<<<<<<<<<<< 56 8 PARENTESER, STRECK OCH PILAR

9 Övriga operatorer och tecken 9.1 Jämförelseoperatorer De här listade operatorerna inkluderar långtifrån alla de tecken som förekommer i svartskrift, det finns därför behov av att kunna konstruera egna tecken. Se avsnitt 1.4 för hur man hanterar tecken och symboler som inte har någon representation i punktskrift. Det är ofta lämpligt att omge jämförelseoperatorerna med blanktecken för att göra punktskriften tydligare. Det är dessutom ibland nödvändigt, se avsnitt Blanktecken i matematisk punktskrift i bokens inledning. = = lika med (likhetstecken) ^= ej lika med, skild från :$ negationen av == identisk med ^== ej identisk med (eller) ~: proportionell mot, likformig med ^~: ej likformig med ~:- likformig eller lika med ^~:- ej likformig eller lika med ~:= kongruent med ^~:= ej kongruent med ~:: ungefär lika med > #o större än (större än-tecken) ^#o ej större än #o= större än eller lika med ^#o= ej större än eller lika med 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 57

#oo mycket större än < #ö mindre än (mindre än-tecken) ^#ö ej mindre än #ö= mindre än eller lika med ^#ö= ej mindre än eller lika med #öö mycket mindre än #oö större eller mindre än #öo mindre eller större än parallell med ^ ej parallell med Ex. 9.1 3 + 4 = 7 #3<$<#4<=<#7<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.2 5 3+ 8 = 15 + 8 = 23 #5<ï.<#3<$<#8<=<#15<$<#8<=<<< <<=<#23<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.3 5 3 23 #5<ï.<#3<^=<#23<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.4 P P :$<:$<_P<ö=o<_P<<<<<<<<<<<<<< 58 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

Ex. 9.5 P Q _P<~:<_Q<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.6 εa ε a a a 0 "eêaüa<~::<"eêaüaê#0<<<<<<<<< Ex. 9.7 π > 3 "p#o#3<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.8 a b a#o=b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.9 x y x<^#o=<y<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.10 0 < b 5 #0<#ö<b<#ö=<#5<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.11 T T C _T<#öö<_Tê_c<<<<<<<<<<<<<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 59

Ex. 9.12 a > o b a<#o<o<#oo<b<<<<<<<<<<<<<<<<< Alternativ skrivning i punktskrift: avskiljningstecken i stället för blanktecken. a#oo#oob<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Kommentar till exemplet: Blanktecken eller avskiljningstecknet ska användas de gånger bokstaven o eller ö kombineras med vissa jämförelseoperatorer. Detta för att undvika sammanblandning med tecknen för mycket större än respektive mycket mindre än. Se även avsnitt 1.3.1. 9.2 Mängdlära och logik Se även avsnitt 10.4. Det är ofta lämpligt att omge följande tecken med blanktecken det är inte nödvändigt men gör punktskriften tydligare. ^o ï_t ^ï_t ïi ^ïi ï_ö= ^ï_ö= ï_ö ï_o ï_o= ^ï_o= tomma mängden tillhör tillhör inte innehåller innehåller inte innehålls i innehålls inte i innehålls strängt i innehåller (som äkta delmängd) innehåller (som delmängd) innehåller inte (som delmängd) 60 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

\ ~/ ïu ïs ïo ïe ~(xor~) ~(nor~) ~(nand~) ïa ^ïa #é ï_a ï_k ï_e =o ö= ö=o ï-c ï$c differens (även backstreck, omvänt snedstreck, backslash) union snitt och eller XOR-tecken NOR-tecken NAND-tecken assertion spegelvänd assertion oändligheten allkvantor komplement existenskvantor implicerar, medför (dubbel högerriktad pil) nödvändig för (dubbel vänsterriktad pil) ekvivalent med (dubbel dubbelriktad pil) cirkel med minus cirkel med plus Ex. 9.13 P Q Q é(_p<:o<_q<ü<~(aå~)<_qé)<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 61

Ex. 9.14 ( x) P( x) P( a) é((ï_ax)_p(x)<ü<<<<<<<<<<<<<< <<ü<~(aå~)<_p(a)é)<<<<<<<<<<< Ex. 9.15 ( x) P( x ) (ï_ex)_p(x)<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.16 a A a<ï_t<_a<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.17 A ( B C) = ( A B) ( A C ) _A<ïs<(_B<ïu<_C)<=<<<<<<<<<<< <<=<(_A<ïs<_B)<ïu<(_A<ïs<_C)< Ex. 9.18 A B _A<ï_ö<_B<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.19 B A A B _B<ï_ö=<_A<=o<_A<ï_o=<_B<<<<< Ex. 9.20 B ^o<ï_ö<_b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 62 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

Ex. 9.21 ], [ (obegränsat intervall) ù-#é,<#éà<(obegränsat<inter-< vall)<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.22 A = G \ A ï_k_a<=<_g~/_a<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.23 AiB = ( A B) B _A<@ï.<_B<=<(_A<ï$c<_B)<<<<<< <<ï-c<_b<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 9.3 Geometriska tecken I representationen i punktskrift av alla geometriska tecken används förtecknet ï följt av en bokstav. Se även avsnitt 10.5. ïn normal mot, vinkelrät mot ïd diameter ïc cirkel ït triangel ïv vinkel ïk kvadrat ïr rektangel Ex. 9.24 DAE CAB ït< DAE<~:<ït< CAB<<<<<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 63

Ex. 9.25 AB CD AB<ïn< CD<<<<<<<<<<<<<<<<< 9.4 Analys (derivator och integraler) Se även avsnitt 10.2.3 och 10.2.4. ' '' '''. ; ;. prim (även fot, minut) biss (notera att tum och sekund har ett likartat utseende i svartskrift, men skrivs annorlunda i punktskrift) triss, trippelprim tidsderivata (punkt ovanför bokstav) tidsderivata (dubbelpunkt ovanför bokstav, trema ovanför bokstav) tidsderivata (trippelpunkt ovanför bokstav) ï"_d ï"d ï_n è èè èèè ïè Laplace delta partiell derivata nabla (gradient) integral dubbelintegral trippelintegral cirkelintegral, konturintegral Det nedre av en integrals gränsvärden ska skrivas före det övre (i likhet med hur index skrivs). 64 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

Ex. 9.26 d r = r d( x) düd(x)<r''<=<r'''<<<<<<<<<<<< Ex. 9.27 a = vɺ = ɺɺ r a<=<.v<=< ;r<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.28 ɺɺ r vt ɺ n = ɺɺ r vt ɺ n<=<é( ;r<-<.vt<ü<<<<<<<<<<< <<ü< ;r<-<.vt é)<<<<<<<<<<< Ex. 9.29 ( fg) = f g + g f ï_n(fg)=fï_ng<$<gï_nf<<<<<<<< Ex. 9.30 b f ( x ) dx a èêa b<f(x)<dx<<<<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.31 f ( z ) dz = 0 C ïèê_c<f(z)dz<=<#0<<<<<<<<<<<< 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 65

Ex. 9.32 r ds = 3π S èèê@_s<@r<ï.<d@_s<=<#3"p<<<<< 9.5 Övriga tecken "_s summatecken "_p produkttecken!! fakultetstecken ïm modulo ℵ ï~a alef ב ï~b bet ד ï~d dalet ג ï~g gimel ï.c cirkel med punkt ïxc cirkel med kryss Ex. 9.33 n i= 1 x i "_s~êi=#1 n<xêi<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.34 n k = 1 2 k= 1 x x x... x n "_p~êk=#1 n<xêk<=<xê#1xê#2<< <<...<xên<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 66 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

Ex. 9.35 n lim (1 + ak ) = p = n k 1 lim~ên<:o<#é<"_p~êk=#1 n<<< <<(#1<$<aêk)<=<p<<<<<<<<<<<<< Ex. 9.36 n! = n( n 1)...2 1 n!<=<n(n-#1)<...<#2<ï.<#1<<<< Ex. 9.37 n! k! k!... k! 1 2 r é(n!ükê#1!<kê#2!<...<kêr!é)<< Ex. 9.38 P F Q F _P<ïm<_F<ö=o<_Q<ïm<_F<<<<<<<< 9.6 Tecken i datorsammanhang Se även kapitel 13. Några tecken som förekommer i datorsammanhang: " citattecken (varianter på citattecken, t.ex. raka citattecken, har samma utseende i punktskrift) ~ ~: fristående tilde (äv. likformig med) ` ~? fristående grav accent ~* fristående akut accent _ ~- fristående understreck 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN 67

^ ~! fristående cirkumflex # ~# nummertecken, fyrkant @ ~à snabel-a, at-tecken < #ö mindre än (mindre än-tecken) (se även avsnitt 9.1) > #o större än (större än-tecken) (se även avsnitt 9.1) \ ~/ backstreck, omvänt snedstreck, backslash (se även avsnitt 9.2) Observera att teckensträngar (med citattecken eller apostrof runt) inte bör delas på två rader. Det kan, om uttrycket är långt, trots allt bli nödvändigt i punktskrift och i sådana fall sätts fortsättningstecken ïï ut sist på punktskriftsraden för att göra läsaren uppmärksam på att uttrycket fortsätter på nästa rad. Detta gäller även kommentarer i programkod. Lägg märke till att det i punktskrift framgår tydligt var blanktecken finns, i svartskrift däremot kan det vara svårt att se beroende på teckensnitt. Blanktecken markeras därför i svartskrift ibland med ett överstruket b eller ett tecken som liknar en liggande/undre hakparentes. I punktskrift kan man använda ^b respektive ~. 68 9 ÖVRIGA OPERATORER OCH TECKEN

Del 2 EXEMPELSAMLING, ÄMNESVIS ORDNAD

10 Matematik 10.1 Aritmetik och algebra Ex. 10.1 15 (7 4) = 15 3 = 45 #15ï.(#7-#4)=#15ï.#3=#45<<<<< Ex. 10.2 2 ( a + b) = 2 ( a a + 2 a b + b b) = 2 ( a + 2 ab + b ) = 2a + 4ab + 2b 2 2 2 2 2 #2ï.(a$b) #2<=<<<<<<<<<<<<<<< =<#2ï.(aï.a$#2ï.aï.b$bï.b)<=< =<#2ï.(a #2$#2a2$b #2)<=<<<< =<#2a #2$#4ab$#2b #2<<<<<< Kommentar till exemplet: För att undvika att göra radbrytning i parentesuttryck har inte indrag gjorts vid raderna 2 4. Ex. 10.3 ( a b)( a + b) = a b 2 2 (a<-<b)(a<$<b)<=<a #2<-<b #2< Ex. 10.4 x 6x + 9 = ( x 3) 2 2 x #2<-<#6x<$<#9<=<(x<-<#3) #2 10 MATEMATIK 71

Ex. 10.5 Kommentar till exemplet: Ekvationer separeras från löpande text med blankrad före textrader. Se även exempel 8.7. 2x - y = -3 (1) 4x - 5y + z = -8 (2) 8x - 3y + 6z = 14 (3) 1 ger ( ) y = 2x + 3 ( 4) ( ) ( ) ( ) x ( x + ) + z = - x ( x + ) + z = 4 insatt i 2 och 3 ger 4 5 2 3 8 (5) 8 3 2 3 6 14 (6) 4x 10x 15 + z = 8 (7) 8x 6x 9 + 6z = 14 (8) 6x + z = 7 (9) 2x + 6z = 23 (10) (9)+3 (10) ger (, ) ( ) ( ) ( ) 6x + z + 6x + 18z = 7 + 69 11 19z = 76 z = 76 / 19 z = 4 z = 4 insatt i 9 ger 6x + 4 = 7 6x = 3 x = 3 / 6 x = 0, 5 x = 0, 5 insatt i 4 ger y = 2 0 5 + 3 y = 2 Svar: x = 0, 5 y = 2 z = 4 72 10 MATEMATIK