VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018

VEKTORANALYS Kursprogram VT 2018 Allmänt om kursen Målsättningen med kursen är att lära ut ett antal grundläggande matematiska metoder, som under de fortsatta studierna kommer att tillämpas i flera olika sammanhang. I kursen betonas det nära sambandet mellan matematik och olika delar av fysiken. Därför ingår som ett viktigt inslag i kursen diskussioner av olika fysikaliska problemställningar och de metoder som används för att kunna göra matematiska beräkningar för olika tillämpningar. Innehållet i kursen definieras av nedanstående kursprogram. De grundläggande matematiska begreppen gås igenom på föreläsningarna, som också kommer att ge exempel på ett antal olika fysikaliska tillämpningar. På övningarna ges praktisk övning i problemlösning. Kursmaterialet har sammanställts på avdelningen för matematisk fysik. All material och information om kursen kommer att finnas på kursens hemsida: http://www.matfys.lth.se/education/fmff01/index.html Sidan uppdateras kontinuerligt och senast måndagarna efter föreläsningen. Varje vecka publiceras ett nytt övingsblad (som delas ut i föreläsningen och publiceras på hemsidan för nerladdning) med alla för kursen rekommenderade övningsexempel (fler repetitionsuppgifter kommer att finnas tillgängliga på hemsidan inför tentamen). Till några uppgifter finns lösningar, till de flesta andra svar, som publiceras på hemsidan veckan efter det aktuella övningstillfället. (Det är mycket viktigt att ni först försöker lösa uppgifterna själva!!!) Kursen är helt definierad av kursprogrammet och övningarna. Kursboken är D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition, Pearson (på Engelska) samt för vissa avsnitt den så kallade Analysboken (Arne Persson och Lars- Christer Böiers, Analys i flera variabler, tredje upplagan, 2005), denna mest för fördjupning, bredvidläsning och repetition. Kursprogrammet upptar 8 avsnitt. Dessa är definierade med tanke på innehållet. Ett avsnitt motsvarar därför inte exakt ett föreläsningstillfälle. Vissa av de enklare avsnitten kräver mindre tid, medan de avsnitt, som normalt brukar uppfattas som svåra, kommer att ges mera utrymme, vilket även framgår av veckoschemat. Under varje avsnitt ges först en redovisning av vad avsnittet omfattar. Därefter ges en del allmänna kommentarer till avsnittet samt ett stycke som inleds med När du förstått detta avsnitt... Tanken är att du skall utnyttja detta stycke för att under kursens gång och i samband med kursinläsningen inför tentamen pricka av de olika kursmomenten efter hand som du anser dig behärska dem. 1

1. INLEDANDE AVSNITT Skalärer, skalärfält, vektorer, vektorfält, rymdkurvor, rymdytor, nivåyta (för skalärfält), fältlinjer (för vektorfält), olika typer av produkter, derivering av vektorvärda funktioner, partiella derivator, differential, ortsvektor, gradient, normal till yta, tangentplan, riktningsderivata Detta avsnitt är i huvudsak en repetition av begrepp som redan är kända från matematiken. Stor vikt ges åt att ge fysikaliska tolkningar av de olika begreppen genom att diskutera ett antal fysikaliska problemställningar. När du förstått detta avsnitt skall du kunna beräkna och fysikaliskt tolka innebörden av gradienten, normalen till en yta, tangenten till en kurva, skärningsvinkeln mellan två ytor eller mellan en kurva och en yta. Du skall kunna beräkna nivåytor och fältlinjer samt ge dem en fysikalisk tolkning. Du skall också kunna derivera och integrera vektorvärda funktioner. Griffith: sidorna 1 23 Analysboken: sidorna 23 31, 74 85 samt 119 128 2. OPERATORKALKYL Räkneregler för operatorer, nablaoperatorn, sammansatta uttryck med nablaoperatorn, Laplaceoperatorn Derivator, inte minst partiella derivator, spelar en stor roll inom fysiken. Därför är det i många sammanhang bekvämt att införa operatorer, som innebär att derivering skall göras enligt någon viss föreskrift. Den i vektoranalysen oftast förekommande deriveringsoperatorn är nabla, definierad som = (,, ). I detta avsnitt visas x y z hur nablaoperatorn och vissa sammansatta operatoruttryck, till exempel Laplace operatorn, =, kan utnyttjas för att förenkla beräkningar inom vektoranalysen. När du förstått detta avsnitt skall du kunna genomföra beräkningar med hjälp av nablaoperatorn. Speciellt skall du ha förstått och kunna härleda de viktigaste operatoruttrycken. Du skall också kunna tolka och använda fysikaliska formler och ekvationer, som innehåller operatorer. Griffith: sidorna 13 23 Analysboken: sidorna 386 389 3. LINJE- OCH YTINTEGRALER Linjeelement, linjeintegraler, potential, ytelement, ytintegraler Även i detta avsnitt ingår en del moment som är en repetition av matematikkursen. Integralbegreppen utvidgas till att omfatta olika typer av linje och ytintegraler, t.ex 2

A dr, A dr, Φdr Φdr, A ds, A ds, ΦdS, ΦdS. Ett antal fysikaliska exempel när de olika typerna av integraler kommer till användning diskuteras. När du förstått detta avsnitt skall du korrekt kunna beräkna linje- och ytelement samt lösa de olika typer av linje- och ytintegraler som kan förekomma. Du skall också kunna avgöra om ett vektorfält har en potential samt veta hur man utnyttjar potentialen för att beräkna en linjeintegral. Griffith: sidorna 24 31 Analysboken: sidorna 304 310, 325 334, 359 366 samt 389 392 Exempel på symmetrier, utnyttjande av symmetrier vid problemlösning I många fysikaliska problem förekommer olika symmetrier. Dessa kan ofta utnyttjas för att underlätta lösningen av ett problem. Ganska vanligt är att man behöver beräkna en integral av en udda funktion över ett jämnt område. Värdet av en sådan integral är noll. Har man insett symmetrin i problemet kan man direkt sluta sig till värdet av integralen utan att behöva göra några ytterligare beräkningar. Problem av detta slag dyker ofta upp i vektoranalysen. När du förstått detta avsnitt skall du kunna avgöra om ett problem innehåller symmetrier samt utnyttja dessa vid till exempel beräkning av integraler. Analysboken: sidorna 295 (Ex. 6) samt 366 (Ex. 6) 4. GAUSS SATS Gauss sats, källor, sänkor, divergensfria fält, kontinuitetsekvationen I detta avsnitt härleds Gauss sats, vilken lyder S A ds = V div A dv. Man ersätter alltså integralen över en sluten yta av ett vektorfält A med en volymsintegral av divergensen av A över den inneslutna volymen. Satsen är användbar i ett stort antal fysikaliska sammanhang. Ett flertal exempel kommer att diskuteras. Vidare kommer den fysikaliska innebörden av källor, sänkor samt divergensfria fält att gås igenom. Kontinuitetsekvationen presenteras och tolkas fysikaliskt. När du förstått detta avsnitt skall du obehindrat kunna använda Gauss sats och kunna tillämpa kontinuitetsekvationen. Du skall kunna avgöra när det kan löna sig att sluta en öppen yta för att kunna använda Gauss sats för att beräkna en ytintegral över en öppen yta. Du skall också ha förstått att Gauss sats inte kan användas om den inneslutna volymen innehåller singulariteter. (Hur man handskas med singulariteter behandlas i ett senare avsnitt i kursen). Griffith: sidorna 31 33 Analysboken: sidorna 367 375 samt 395 399 3

5. STOKES SATS Greens formel i planet, Stokes sats, virvelfria fält, vektorpotential I detta avsnitt behandlas först Greens formel i planet. Därefter härleds Stokes sats, vilken lyder L A dr = S rot A ds. Man ersätter här integralen över en sluten kurva av ett vektorfält A med en ytintegral av rotationen av A över en yta, som har den givna kurvan som randkurva. Ytan kan i övrigt väljas godtyckligt. Satsen är användbar i ett stort antal fysikaliska sammanhang. Ett flertal exempel kommer att diskuteras. Den fysikaliska innebörden av virvelfria fält diskuteras och begreppet vektorpotential införs. När du förstått detta avsnitt skall du obehindrat kunna använda Stokes sats. Framför allt skall du ha insett att valet av yta har stor betydelse för att du skall få en integral som är lätt att lösa. Du skall också ha förstått innebörden av en vektorpotential och kunna beräkna denna om den existerar. Griffith: sidorna 34 36 Analysboken: sidorna 335 343, 375 386 samt 392 394 6. ALLMÄNNA INTEGRALSATSER Generaliseringar av Gauss och Stokes satser, Greens satser, partiell integration Gauss och Stokes satser är specialfall av de generella integralsatsena S ds(...) = V dv (...) och L dr(...) = S (ds )(...). I detta avsnitt behandlas dessa generella integralsatser och exempel ges på olika fysikaliska situationer då de kommer till användning. De olika varianter som kan förekomma av de generella integralsatserna finns beskrivna i kursprogrammets övningsdel. I avsnittet ingår också Greens satser samt partiell integration. När du förstått detta avsnitt skall du utan svårighet kunna använda dig av de generella integralsatserna vid problemlösning. Du skall dessutom kunna använda Greens satser samt vid behov kunna utnyttja partiell integration. Griffith: sidorna 37, 38 7. KROKLINJIGA KOORDINATER Sfäriska koordinateroch cylinderkoordinater. Ortogonala system: skalfaktorer, ortsvektordifferentialen, linjeelement, ytelement, volymselement, operatorer i kroklinjiga system. Som exempel på kroklinjiga koordinatsystem behandlas sfäriska koordinater och cylinderkoordinater. Begreppet skalfaktorer införs och utnyttjas för att beräkna linjeelement, ytelement och volymselement i dessa koordinater. Vidare behandlas allmänna uttryck för vissa operatorer i kroklinjiga koordinater. 4

När du förstått detta avsnitt skall du obehindrat kunna genomföra beräkningar i ett ortogonalt kroklinjigt koordinatsystem. Du skall kunna bestämma ortsvektordifferentialen, linjeelement, ytelement, volymselement samt operatorer i det kroklinjiga koordinatsystemet. Griffith: sidorna 38 45 Analysboken: sidorna 27 29 (Ex. 19, 20) och 312 313 (Ex. 11) samt 258, 293 8. SINGULARITETER, Deltafunktionen Punktkällor, punktsänkor, dipolfält, virveltråden I många fysikaliska tillämpningar inträffar det att ett fält har singulariteter, dvs att dess värde går mot oändligheten i vissa punkter eller längs en viss kurva. Som ett exempel kan nämnas det elektriska fältet i närheten av en punktladdning. Vissa av de satser, som vi tidigare behandlat i kursen kan inte utan vidare tillämpas om det förekommer singulariteter, bland annat Gauss sats (singulariteter får inte före komma i den inneslutna volymen) och Stokes sats (singulariteter får inte förekomma på den yta, som har den givna kurvan som randkurva). I detta avsnitt visas hur man behandlar problem med singulariteter. Förutom punktkällor och punktsänkor behandlas dipolfält samt virveltråden. Ett antal fysikaliska exempel på fält med singulariteter diskuteras. När du förstått detta avsnitt skall du kunna lösa problem som innehåller singulariteter samt vara förtrogen med några i fysiken ofta förekommande fält, som innehåller singulariteter. Griffith: sidorna 45 52 5

VECKOSCHEMA 2017 (preliminär!) Föreläsningar Läsvecka 1: Inledande avsnitt samt operatorkalkyl (delvis). Läsvecka 2: Operatorkalkyl (avslutning) samt linje- och ytintegraler. Läsvecka 3: Symmetrier samt Gauss sats (delvis). Läsvecka 4: Gauss sats (avslutning) och Stokes sats (delvis). Läsvecka 5: Stokes sats (avslutning) samt allmänna integralsatser. Läsvecka 6: Kroklinjiga koordinater. Läsvecka 7: Singulariteter. [Eventuell även Tensorer (kort genomgång)]. 6

VEKTORANALYS SYMBOLER OCH NOTATION Under er utbildning kommer ni att stöta på många olika skrivsätt för t ex vektorer. Den här texten innehåller inga regler för hur saker måste skrivas, utan är bara tänkt som en sammanfattning av några vanliga skrivsätt. Vektorer och skalärer Flera olika skrivsätt förekommer för vektorer: a = a = a Man kan också skriva vektorer med versaler, t ex A. Om man ser en liten hatt ovanför vektorn, som t ex ˆn eller ˆn, så betyder det att det är en enhetsvektor, alltså en vektor med längden ˆn = 1. Skalära variabler skrivs på vanligt sätt, till exempel T eller x. Om man använder Cartesiska koordinater, finns ett par olika sätt att skriva en vektor i komponentform: a = a xˆx + a y ŷ + a z ẑ = (a x, a y, a z ) = Här är t ex ŷ en enhetsvektor som pekar i y-riktningen. För andra koordinatsystem, t ex sfäriska eller cylindriska koordinater, så använder man bara skrivsättet där basvektorerna ingår, för annars uppstår det lätt missförstånd. I en-dimensionell analys så använder man ofta beteckningen x för en godtycklig variabel, argumentet till en funktion, eller bara som en positionsangivelse. På motsvarande sätt använder man i tre dimensioner ofta vektorn r = r = (x, y, z). Ibland kallar man r för ortsvektor. Funktioner Skalärvärda funktioner av flera variabler (kallas också skalärfält), kan t ex vara temperaturen T (r) = T (x, y, z) som då varierar beroende på var i rummet man är. Men man kan också ha vektorvärda funktioner, alltså en funktion A(r) som för varje punkt i rummet returnerar en vektor istället för en skalär. Ett exempel är vindhastigheten i ett rum, en storhet som måste anges med både magnitud och riktning, alltså en vektor. En sådan vektorfunktion är egentligen bara tre olika funktioner som man kombinerat till en vektor: A(r) = A ( r ) = A x (r) A y (r) A z (r) = a x a y a z A x (x, y, z) A y (x, y, z) A z (x, y, z) Precis som för skalärvärda funktioner så låter man ofta bli att skriva ut argumenten till funktionen, och det är då underförstått att ett vektorfält A beror på rumskoordinaterna. 7

Derivering Ofta används operatorn inom vektoranalysen. Den är en vektoroperator, och skrivs ibland, men eftersom symbolen aldrig används till något annat så utelämnar man oftast pilen, även om man har för vana att använda pilen för andra vektorer. utläses nabla eller del. Den definieras av (i Cartesiska koordinater): = = ( x, y, ) = z x y z Viktigt: Förväxla inte med, ett vanligt skrivsätt för Laplace-operatorn. Den så kallade divergensen av ett vektorfält A kan skrivas som (där betecknar den vanliga skalärprodukten mellan vektorer): div A = A = x y z A x A y A z = A x x + A y y + A z z Divergensen av ett vektorfält har ingenting med divergerande funktioner (som t ex 1/x) att göra det råkar bara vara samma ord. Notera att A är en skalärvärd storhet. Rotationen är ett annat sätt att derivera ett vektorfält (här är den vanliga kryssprodukten för vektorer): rot A = curl A = A = x y z Notera att A är en vektorvärd storhet. A x A y A z 8