1 På föreläsningen går jag relaiv snabb igenom grunderna fourierserieuveckling av periodiska signaler, bild 7. Genomgångens syfe: En kor repeiion av begrepp som jag huvudsakligen ugår från a du känner ill från någon idigare kurs i ransformeori/fourieranalys. Förydligande av vilka variabeldefiniioner som används i SigSys-kursen.
Periodisk summa av cos/sin Lå x( ) = Acos( ω a + α ) + Bsin( ω b + β ) Om ω a ω b! x( ) är -periodisk, dvs. x( ) = x( + ), med = π, ω 0 där ω 0 = SGD( ω a,ω ) b Sörsa Gemensamma Delare (SGD) = Greaes Common Devisor (GCD) ω a = k π, k,m! ω b = m π + ω a = k ω 0 ω b = m ω 0, där ω 0 = π
3 5 4 3 1 0-1 - -3-4 Summa av cos/sin x( )! = 3sin 6 + π 3 + cos 10 3π 4 " $$ # $$ % " $$ # $$ % röd kurva blå kurva grön kurva ω a = 6 ω b 10! ω 0 = SGD 6,10 = π = π sek ω 0 ( ) = rad/s -5 - -1 0 1 3 4
4 Fourierserieuveckling av periodiska signaler En fysikalisk -periodisk signal x( ), dvs. x ( ), kan uryckas ( ) = x + som en fourierserie: ( ) = C 0 + C n cos( nω 0 + θ ) n x n=1 = π ω 0 ( ) (al. fourierserie- = Fourierserien ill x uvecklingen av x( )) på kompak form Mindre fokus på den allmänna rigonomeriska formen x() = a 0 + (a n cos(nω 0 ) + b n sin(nω 0 )) ω 0 = πf 0 : grundvinkelfrekvens f 0 = 1 : grundfrekvens C 0 : medelvärdesnivå C 1 sin( ω 0 + θ 1 ): grundon C n cos( nω 0 + θ n ), n =, 3, 4 : överoner deloner
5 Fourierserieuveckling Java-demo Generering av periodiska signaler med hjälp av (co)sinusformade basfunkioner: www.falsad.com/fourier OBS esa även dea själv!
6 Frekvensspekrum grafisk frekvensbeskrivning av signal Delon m: ( ) = C m C m cos mω 0 + θ m e jθ m " $ # %$ e jmω 0 + C m " $ # %$ e jθ m e jmω 0!D m =D m =D m C m D m D m mω 0 ( m ω n ) mω 0 mω 0 ω ( m n ) θ m argd m mω 0 ( m ω n ) mω 0 argd m mω 0 ( m ω n ) Enkelsidig ampliudspekrum resp. fasspekrum Dubbelsidig ampliudspekrum resp. fasspekrum
7 Fourierserie ill -periodisk signal, sammanfaning x() = e jnω 0 = C 0 + C n cos(nω 0 + θ n ) n= n=1 Fourierserien på exponenialform (komplex fourierserie) Komplexa fourierseriekoefficiener: = 1 x()e jnω 0 d >0 = C n e jθ n <0 = x ( ) reellvärd =D n Ampliudspekrum C 0 = D 0 C n = ; ( n>0) Fasspekrum θ n = arg (Enkelsidiga spekra)
8 Signal(medel)effek för periodiska signaler Fö 1: Signaleffek för allmän signal x(): 1 P x = lim T T T x() d Specialfall; om x() är -periodisk Signal(medel)effek: T P x = T = k 1 = lim k k k k x() d = lim k 1 k k x() d = 1 T 0 x() d Parsevals formel/eorem: P x = 1 T x() d = 0 n= Bevis (kolla själv!): 1 x() d = X T e = C 0 + C = ne C ne = 0 T n=1 0 cos! C n = = D 0 + = n=1 n=
9 Fourieranalys: Fourieranalys & fouriersynes x() och ω 0 (eller ) är givna. Besäm = 1 x( )e jnω 0 d Signalens frekvensspekrum, dvs. riad som funkion av n, frekvens f eller vinkelfrekvens ω, är ofa av inresse. Vanligen riar man då ampliudspekrum och fasspekrum: x() 7f 0 5f 0 D n = D * n 5f 0 3f 0 f 0 f 0 3f 0 5f 0 7f 0 arg f 0 3f 0 7f 0 n f 0 7f 0 3f 0 f 0 5f 0 n f 0
10 Fouriersynes: Fourieranalys & fouriersynes och ω 0 (eller ) är givna. Besäm/skapa x I prakiska sammanhang nöjer man sig med en approximaion: x N D N, D N+1,, D N 1, D N ( ) = e jnω 0 n= N ( ) = e jnω 0 n= N x N ( ) x( ) 7f 0 5f 0 3f 0 f 0 f 0 3f 0 5f 0 7f 0 n f 0 arg 5f 0 f 0 3f 0 7f 0 7f 0 3f 0 f 0 5f 0 n f 0
e jω 0 TSDT18/84 SigSys 11 Periodiska signaler & sabila LTI-sysem x( ) ( ) y ( ) x Sabil energifri LTI-sysem ( ) y H ( ω 0 ) e jω 0 H ω { } ( ) = F h( ) e jnω 0 H ( nω 0 ) e jnω 0 = ˆ e jnω 0 n= n= n= ˆ = H ( nω 0 ) C 0 C cos( ω 0 + θ ) C 0 + n= C n cos( nω 0 + θ n ) C 0 H ( 0) C H ω 0 C 0 H 0 ( ) cos ω 0 + θ + argh ( ω 0 ) ( ) ( ) + C n H ( nω 0 ) cos nω 0 + θ n + argh ( nω 0 ) n= ( )
1 Exempel, LTI-sysem med periodisk insignal x() = e jnω 0 y() = ˆDn e jnω 0 Sabil n= LTI-sysem n= ˆ = H ( nω 0 ) Ex.1: y() = x 0 Ex.: y() = x Ex. Allmän samband: ( ) = ( ) = e jnω 0 0 e jnω 0 0!# "# $ e jnω 0 n= ˆ n= ( ) d e jnω0 ( ) = = D d n jnω!# " $# e jnω 0 0 n= ˆ n= för den periodiska signalen x() kan erhållas från x för derivaasignalen x (): = x jnω 0
13 Exempel, kresberäkningar med periodisk källa. Fourierserieuveckla källan x() : x() = e jnω 0 = C 0 + C n cos(nω 0 + θ n ) n= n=1 Besäm sröm/spänning y() i kresen 1. Den elekriska kresen a. Komplexschema frekvensfunkion H(ω) [kap. 7] eller b. Laplaceoperaorschema sysemfunkion H(s) [kap. 4] H(ω) = H(s) s=jω [kap. 4] 3. Beraka medelvärde C 0 och varje delon separa (med liksrömseori resp. jω-meoden) RLC-nä = LTI-sysem Summera delkomponenerna!! där y() = ˆ e jnω 0 = Ĉ0 + Ĉ n cos(nω 0 + ϕ n ) n= ˆ = H ( nω 0 ) och/al. n=1 ( ) ( ) Ĉ 0 = C 0 H 0 Ĉ n = C n H nω 0, ϕ n = θ n + argh ( nω 0 )