Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker från den traditionella varianten främst i utformningen av tentamina. Sftet är att försöka öka genomströmningen genom en betoning av grundläggande färdigheter. En biprodukt kan förhoppningsvis också vara att det skapas en stabilare grund för de kommande analskurserna. Eamination. En skrivning kommer att vara uppdelad i en basdel och en fördjupningsdel. (Eempel på skrivning finns på sidan 9.) Basdelen består av 5 uppgifter av grundläggande karaktär. Deras lösning kräver normalt inte många steg. För att bli godkänd på skrivningen krävs godkänd basdel. Inte bara svar utan även lösningar ska redovisas på basuppgifterna. En principiellt korrekt lösning men behäftad med räknefel behöver då inte dömas ut helt. Varje korrekt löst basproblem ger poäng. Avdrag görs i steg om poäng. Ett normalt avdrag för räknefel är poäng. Sammanlagt 6 poäng på basdelen är tillräckligt för betget.0 på kursen. För överbetg i intervallet. till 6.0 krävs dels godkänd basdel, dels att fördjupningsuppgifter också klaras av. På skrivningen finns tre fördjupningsuppgifter. Varje fördjupningsuppgift ger maimalt poäng och rättas på vanligt sätt. En person som är godkänd på basdelen och erhållit.9 poäng på fördjupningsdelen får alltså betget.9 på skrivningen. Poäng på fördjupningsdelen kan inte kompensera otillräckliga basfärdigheter. Studenter från tidigare årskurser kan följa kursen men tenterar på vanligt sätt. För att tentera enligt eperimentsättet krävs dispens. Undervisning. Ändring av eaminationsformerna påverkar också upplägget av undervisningen. Övningsprogrammet upptar vid varje övning både basproblem och fördjupningsproblem. Till övningssamlingen finns nedan en sammanställning av de uppgifter, som kan räknas som basproblem. Inför varje övning kommer också programmet att innehålla förslag på både basproblem och fördjupningsproblem. Den som har målet att enbart bli godkänd kan alltså öva enbart på basproblem. Utöver uppgifterna i övningssamlingen presenteras nedan en samling basproblem. Dessa är grupperade i 8 basområden. Även föreläsningar och seminarieövningar får en ökad dragning åt bashållet.
BASOMRÅDEN.. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Potens- och eponentiallagar. 7. Logaritmlagarna. 8. Invers funktion och sammansatt funktion. 9. Enkla trigonometriska samband. 0. De elementära funktionernas grafer.. Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem.. Enkla asmptotundersökningar.. Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning.. Användning av derivata. 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer.. 6. Polnomkunskap. 7. Grundläggande definitioner och satser inom ovanstående områden. En samling tpiska basproblem.. Algebraiska förenklingar. (Behandlar eempelvis konjugatregeln, kvadreringsregler, att göra liknämnigt, förlänga, förkorta, dubbelbråk, polnomdivision o.dl.) Innan några övningar presenteras ges här en kort repetition. I detta basområde använder du flitigt tre grundregler nämligen:
a b a b a b (Konjugatregeln) a b a ab b (Kvadreringsregel) a b a ab b (Kvadreringsregel) a c b c a b a b a c b c De tre första bör man känna igen även från höger till vänster. Låt a b c och d vara positiva heltal utan annan gemensam faktor än. För att bråken (Förkortning med c) (Förlängning med c) a 7 b 5 c 9 d och a b c 6 ska gå att addera eller subtrahera behöver vi förlänga varje bråk så att de får gemensam d7 nämnare. Det är då räknemässigt fördelaktigt att välja den minsta gemensamma nämnaren (mgn). I detta fall blir mgn a 7 b c 9 d 7 Bråket a 7 b 5 c 9 d ska alltså förlängas med b6 d och det andra bråket med a c. Alltså är a 7 b 5 c 9 d a b c 6 d b 6 d 7 a 7 b c 9 d a c 7 a 7 b c 9 d 7 b 6 d a c a 7 b c 9 d 7 Motsvarande gäller även för polnom. Eempelvis är mgn till och 5 polnomet 5. Således är 5 5 5 Nedan kommer du också att lösa ekvationer. Tänk på att den rot du får fram ska gå att sätta in i uttrcken i ekvationen i fråga. Övningar.. Lös ekvationen. Lös ekvationen 5 5 5
. Lös ekvationen 5 5. Faktorisera uttrcket 7 5 7 5. Förenkla 5 5 5 5 6. Förenkla 7. Förenkla 6 8 8. Förenkla a b b c a b b c a b 9. Förenkla 0. Lös ekvationen. Lös ekvationen
. Lös ekvationen med avseende på a a a a där a.. Lös ekvationen med avseende på a a a a a a a. Lös ekvationen där a 0 a a a 9a 5. Dividera polnomet 6 med polnomet 5 6. 6. Dividera polnomet 5 a 5 med polnomet a.. Reella andragradsekvationer. (Ekvationerna kan lösas via kvadratkomplettering eller känd formel.) 7. Låt a b och c vara konstanter. Uttrck b och c i a så att a b c för all (Högerledet är en kvadratkomplettering av uttrcket i vänster led.) 8. Kvadratkomplettera uttrcket 9. Kvadratkomplettera uttrcket 5 9 dels med avseende på, dels med avseende på. 0. Lös ekvationen. Lös ekvationen 0 0 0 5 0 5
. Lös ekvationen 5. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot. (I många fall kan dessa uppgifter behandlas enligt receptet: Kvadrera, lös, pröva.) Lös ekvationerna i uppgifterna... 5. 6. 7. 8. 9 9. 0.. 8. 5.. Enkla absolutbeloppsproblem.. För vilka reella gäller att? 5. För vilka reella gäller att? 6. För vilka reella gäller att? 7. För vilka reella gäller att 8. För vilka reella gäller att? (Tänk på att.)? 6
9. För vilka reella gäller att? 0. För vilka reella gäller att?. För vilka reella gäller att 5 7. För vilka reella gäller att 7 5 7? 5 7?. För vilka reella gäller att?. Rita kurvan. 5. Rita kurvan. 5. Binomialsatsen. Beräkning av koefficienter. 6. Beräkna 6. 7. Beräkna 8 5 8 6 9 6. 8. Utveckla 5. 9. Utveckla. 50. Utveckla. 5. Bestäm koefficienten för 9 i utvecklingen av 5. Vilken är högstagradspotensen (inklusive koefficienten) i 9 5? 6. Potens- och eponentiallagar. 5. Förenkla a a a. 5. Förenkla a a 5 a. 55. Förenkla 7 8 z 8 z. 7
56. Förenkla 57. Förenkla 8 7 8 z z.. 58. Lös ekvationen 5 6. 59. Förenkla a a. a 60. Lös ekvationen 7. 6. Bestäm om 6 6. Lös ekvationen 6. Förenkla. 6. Förenkla. 65. Förenkla e e. 66. Lös ekvationen 0 5 67. Förenkla. 7. Logaritmlagar. 68. Förenkla ln6 ln. 69. Förenkla ln. 70. Förenkla ln a b ln a b. 7. Förenkla ln a b ln a b. 7. Förenkla ln ln ln. 7. Lös ekvationen 0 0. 8
7. Lös ekvationen. 75. Lös ekvationen 6 8 0. (Sätt t.) 76. Lös ekvationen 9 6 7. 77. Lös ekvationen ln ln ln6. (Glöm inte att pröva!) 78. Lös ekvationen ln ln. 79. Lös ekvationen ln ln 6. 80. Lös ekvationen ln ln. 8. Lös ekvationen ln ln ln. 8. Bestäm talet k i form av ett enda logaritmvärde så att k ln5 lg5. 8. Hur ska eponenten se ut för att e? 8. Invers funktion och sammansatt funktion. Bestäm inversen och dess definitionsmängd till funktionerna i uppgifterna 8 86. 8. f 7 85. f 0 86. f 0 87. Beräkna f! g om f och g e. 88. Beräkna och förenkla f! g g! f om f sin och g ". 89. Betrakta funktionen f α. Bestäm α så att f! f f för alla 0 90. Betrakta funktionerna f och g # a b. Bestäm de reella konstanterna a och b så att f! g " g! f för alla reella 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g " sin 5 Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9
9. Ange funktioner f och g sådana att f! g " e sin Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Ange funktioner f och g sådana att f! g cos cos Ingen av funktionerna f eller g får vara identiteten. 9. Enkla trigonometriska samband. (Eempel på samband kan vara dubbla och halva vinkeln, additions- och subtraktionsformler, hjälpvinkelteknik. Vidare krävs kännedom om de trigonometriska funktionernas värden för vinklar av tp 6 o.dl.) Finn i uppgifterna 9 05 alla lösningar till respektive ekvation. 9. sin 95. cos.. 96. cos 97. sincos.. 98. cos sin. 99. cos cos. 00. cos sin cos. 0. sin sin. 0. cos sin. 0. sin sin. 0. tan. 05. tan. 06. Skriv sin cos 7 cos sin 7 som ett enda sinusuttrck genom att använda lämplig additionssats. 0
07. $ Använd hjälpvinkelteknik för att bestämma A i omskrivningen sin cos Asin δ. 08. Betstäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 09. Bestäm något värde på δ sådant att sin cos sin δ. 0. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då %'&.. Bestäm största och minsta värdet av sin cos då 0 ( (. 0. De elementära funktionernas grafer.. Skissera grafen för α 0 dels då α, dels då α.. Skissera grafen för e %)&.. Skissera grafen för e %*&. 5. Skissera grafen för sin %)&. 6. Skissera grafen för cos %'&. 7. Skissera grafen för tan %'&. Vissa är dock undantagna. Vilka? 8. Skissera grafen för ln 0. 9. Skissera grafen för ln 0. 0. Skissera grafen för arcsin. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arctan. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Skissera grafen för arcsin arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd.. Kombinera de fra graferna nedan med funktionerna arcsin arccos sin + ( ( cos 0 ( (. a) b) c) d)
. Standardgränsvärden och smärre modifikationer av dem. Beräkna gränsvärdena i uppgifterna 5. 5 7 5. lim,.- 5 6. 6. lim,.-. e 7. lim,.- e 5. 8. lim n,.- / n0 n. 9. lim n,.- / n0 n. 0. lim n,.- /. lim n,.-. lim n,.- n n n n. n! n. n0 n. sin. lim, 0. sin., lim. 5. lim, 0 sin. 6. lim, 0 e. e sin 7. lim, 0 sin. 8. lim, 0 e sin.
ln 9. lim, 0 ln 0. lim,.- ln cos. lim, 0 cos.... lim, 0. lim, 0. lim, 0 ln. lg. sin ln sin.. Enkla asmptotundersökningar. (Notera att om f a b g, där g # 0 då så är a b en sned asmptot till f då.) Bestäm i uppgifterna 5 5 samtliga asmptoter. 5.. 6.. 7. 5. 8. 5 e. 9. sin. 50.. 5. 7 ln 0. 5..
. Derivation av de elementära funktionerna inklusive summa, produkt, kvot och sammansättning. Derivera funktionerna i uppgifterna 5 66. 5. 5. 5. 5. 55. 5 e. 56. sincos. 57. 58. sin cos. e sin cos. 59. ln. 60. ln. 6. ln. 6. e sin cos. (Jfr uppgift 58.) 6. arcsin arccos. 6.. 65. cosh sinh. 66... Användning av derivata. (Tangent, samband mellan derivatans tecken och funktionens monotonitet, enkel kurvritning o.dl.) 67. Bestäm en ekvation för tangenten till 8 i den punkt där. 68. Markera i en teckentabell i vilka intervall som derivatan av funktionen f # är negativ respektive positiv. Markera också var funktionen avtar respektive väer.
69. Bestäm största och minsta värdet av e då 0 ( (. 70. Bestäm största värdet av ln då 0. 7. Visa att funktionen f e 5%)&6 är strängt väande. 7. Visa att funktionen f arcsin arccos 7 ( (, är konstant. Vad är konstanten? 7. Rita funktionen f arctan arctan 0. 7. Låt f t vara antalet mobiltelefonabonnemang vid tiden t. Vilket tecken har f 898 f t avtar? 75. En partikel (kanske en planet) rör sig längs ellipsen 9 (Se figuren till höger!) Hur nära kommer partikeln 0? (Kvadraten på avståndet från en punkt på ellipsen till 0 ges av uttrcket, där kan hämtas från ellipsens ekvation.) t om ökningen av 0 76. En partikel rör sig längs ellipsen 9 Hur nära kommer partikeln 0? 77. En partikel rör sig längs ellipsen 9 Hur nära kommer partikeln 5 0? 78. En tank har en halvsfärisk form med diametern 0 cm. Tanken är flld med vatten till djupet h cm. Då ges vattenvolmen av V 0 cm och ökar med 0.0 cm/s? h 60 h cm. Med vilken hastighet ökar volmen då djupet är 79. I en ideal gas, där temperaturen är konstant, gäller enligt Bole att pv konstant, där p är trcket och V volmen. Vid ett visst tillfälle är trcket 5 och ökar med 5 enheter per s. Vid samma tillfälle är volmen 60 enheter. Med vilken hastighet ändras den? 5. Beräkning av realdel, imaginärdel, absolutbelopp och argument av komplea tal. Polär form. Konjugering. Geometrisk tolkning. Komplea andragradekvationer och binomiska ekvationer. 80. Bestäm imaginärdelen av i i 8. Bestäm absolutbelopp och argument för det komplea talet i. 5
8. : Skriv i i polär form. 8. Bestäm absolutbeloppet av e iθ då θ är reellt. 8. Vilket är det minsta absolutbelopp, som förekommer bland de komplea talen e i e i5 e i; och e iθ där θ är reellt? 85. Vilket av de komplea talen ligger längst från origo? i e - i 86. Bestäm det komplea talet z så att i z iz i 0 i 87. Bestäm argumentet av i 0 i i 88. Bestäm absolutbeloppet av i 0 i i 89. Markera i det komplea talplanet de z för vilka z i< 90. Lös ekvationen 9. Lös ekvationen 9. Lös ekvationen z 0z 6 0 z i z 8 6i 9. Lös ekvationen z iz 9 6i 9. Lös ekvationen z 9 6i z i 6
95. = Lös ekvationen z i (Halvera högerledets argument och dra roten ur högerledets absolutbelopp och du har en rot.) 96. Lös ekvationen z i 97. Lös ekvationen z i 98. Lös ekvationen 99. Lös ekvationen 00. Lös den binomiska ekvationen z 0z 5 i z iz i z 5 Svara i polär form. 0. Lös z 8 6. Polnomkunskap. (Konjugerade nollställen till polnom med reella koefficienter. Faktorsatsen.) 0. Tredjegradspolnomet p har reella koefficienter och bl.a. nollställena och i Vilka andra nollställen har p? 0. Skriv upp ett femtegradspolnom med reella koefficienter och med nollställena i i och. 0. Ekvationen z z 5z 9 0 har bl.a roten z 5i. Bestäm samtliga rötter. 05. Polnomet z 6z z 6 har nollställen, som alla har samma realdel. Bestäm samtliga nollställen. 7
7. > Definitioner och satser o.dl. Definitioner och resultat Sidor Namn eller beskrivning Sats 5 Faktorsatsen Sats 5 0 Geometrisk summa Sats 6 5 Binomialsatsen Sats 8 8 Sats 0 5 Formlerna (57) (6) 7 7 Sats 79 Cosinussatsen Sats 79 Sinussatsen Sats 85 Sats 06 Gränsvärdesregler Sats 6 0 Talet e Definition Talet e Sats 7 Formlerna () () 5 6 Standardgränsvärden Definition 9 Derivata Sats 56 Derivationsregler Sats 58 kedjeregeln Sats 6 Inversens derivata Sats 5 6 69 De elementära funktionernas derivator Definition 70 Lokal etrempunkt Sats 7 Sats 5 7 Sats 6 75 Sats 6 8 de Moivres formel Definition 8 0 Komple eponentialfunktion Sats 8 8 Algebrans fundamentalsats Sats 0 9 Konjugerade rötter (Bruksanvisning: Satserna och definitionerna ovan behöver du kunna dels som grund för problemlösningen, dels för att det kan förekomma rena teorifrågor på tentamen.) 8
Eempel? på skrivning LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS EXPERIMENTVERSION 999-- kl +5 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. BASDEL.. Förenkla. Lös ekvationen ln ln ln. Finn alla lösningar till ekvationen cos sin. Bestäm absolutbeloppet av i 0 i i 5. Lös ekvationen 6. För vilka reella gäller att? 7. Bestäm koefficienten för 9 i utvecklingen av. 8. Skissera grafen för arccos. Ange tdligt definitionsmängd och värdemängd. 9. Skriv upp definitionen av att funktionen f är deriverbar då a. 0. Beräkna lim, 0 e.. Bestäm samtliga asmptoter till sin. 9
. Derivera arcsin arccos.. Bestäm största och minsta värdet av e då 0 ( (.. Visa att funktionen f 5. Lös ekvationen z i e %)&6 är strängt väande. FÖRDJUPNINGSDEL. 6. Rita funktionskurvan arctan med angivande av asmptoter och lokala etrempunkter. 7. Gas får epandera isotermiskt genom ett hål i en behållare, i vilken trcket är p, till en ttre behållare där trcket är 0 ( p Under vissa idealiserade antaganden (friktion försummas, gravitation försummas, @ A ) kan man visa att massflödet per tidsenhet genom hålet är f A ln p 0 ( p Här är A en konstant som vi genom lämpligt val av enheter kan sätta lika med. Uppgift. Bestäm det värde på trcket för vilket massflödet f har störst värde, och ange detta maimum. Rita också kurvan f 8. Låt n beteckna ett heltal B. Finn alla komplea rötter till ekvationen z n z n z n @ @ z 0 Ledning: Vad är summan av en geometrisk talföljd? Svar till basproblemen... 5. 0. 7 5. 9 60 5 7. 8. 9. 0. 8 7 9 b c 5 6.. Lösning saknas. 0
. a a a. a. a 5. 6. a a a a 7. b 8. 9. a och c a 5 5 5 resp. 5 9 0. 6. 5. och 5. 6. C eller 7. och 8. 9. 0. och. 0. 0. Inga och.... 5. Lösning saknas. 6. 5. 7. Lösning saknas. 8. 5 9. 6 0... 8 6. 5 7. 0 8. 5 5 0 0 5 9. 6 96 6 6 8. Lösning saknas.
50. 6 96 6 6 8 5. 760 5. 60 5. a 5 6 5. a 55. z 56. 57. 6 58. CD 6 a 5 5 z 7. ln 7. 7. 75. 76. 0 77. 78. 79. e ln0 ln0 lg 80. 0 e 59. a 5 8 8 a 5 8. e 60. 8 6. 5 6. 6 6. 6. 8. k lge 8. ln 8. f 7 %)& 85. f 86. f 0 65. e 66. 0 5 87. e 88. cos 67. 68. 69. ln ln 70. lna lnb 7. 5lna 0lnb 89. α 0 eller α 90. a b 0 9. f 5 och g sin 9. f e och g sin 9. f och g " cos
6 n eller 5 n n hel- 6 9. tal. 95. CD 8 n n heltal 96. CD 5 8 n n heltal 97. n eller 5 n n heltal 98. CD n n heltal 6. 99. n 7 n heltal 00. n n heltal 0. n eller n n heltal 7 e n 7 eller n n hel- 0. tal 0. n eller n n heltal 6. 0. n n heltal e 05. n n heltal 06. sin 7 07. A 5 5. sin 08. δ 09. δ 6. cos 0. Största värde är och minsta. Största värde är och minsta
7. $ 0. tan arcsin Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: ( ( Undantagna är n n heltal.. 8. ln arccos Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: 0 ( ( 9.. ln ln arctan Definitionsmängd: & Värdemängd:
. E arcsin arccos 8. 9. 0. 0 Definitionsmängd: ( ( Värdemängd: F G. a) sin b) arccos c) cos d) arcsin 5. 6. 7. 8 7 8. e 9. e 0. e.... 0. ln. 0. 0. 0 5. är sned asmptot då HD. 6. är sned asmptot då HD. 7. 5 är sned asmptot då ID och 0 är lodrät asmptot. 8. 5 är sned asmptot då I men inte då J. 9. är sned asmptot då HD. Notera att asmptot. 0 inte är någon lodrät 50. är sned asmptot då KD. Ingen lodrät asmptot. 5. 7 är sned asmptot då I och 0 är lodrät asmptot då 0 -. 5. Ingen sned asmptot men är lodrät asmptot. 5. 6. 7. 5. 5 8 5. 5 55. e 5 56. cos 5
57. 58. e 59. 60. 6. cos 6. e 6. sin cos tan sin cos arccos arcsin 6. ln 65. 0 66. 67. 8 68. f 8 0 0 f L M L 69. Största värde: e Minsta värde: e 70. e e 8 7. f # 0 utom i en enda punkt, nämligen. Detta ger att f är strängt väande. 7. f 8 7 0 för alla i intervallet. Detta ger att f är konstant. Det konstanta värdet kan bestämmas i vilken punkt som helst. Eempelvis är f 0 ". 7. Derivatan är 0 för 0. Alltså är f N f O för alla 0. För 0 gäller att f P f 7Q f 7 7. Negativt. Grafen får utseendet f 75. Kortaste avstånd är 5 5. 76. Kortaste avstånd är. 77. Kortaste avstånd är. 78. Volmen ökar med 9 cm /s. 79. Volmen minskar med volmsenheter/s. 80. 5 8. Absolutbeloppet är och argumentet n n heltal 8. e i; 8. 6
8. R 85. i 86. z i 87. n n heltal 88. 6 89. z i 9. z z i 9. z z i 95. z CD 96. z CD 97. z CDS i i i T 98. z i z 6 i 99. z i z i 00. z e ik; 5 k 0 90. z 5 D i 9. z CD 9. z CD i i i 0. z z U D i 0. i 0. z 5 5z 7z z 8z 6 0. Samtliga rötter är z V och z D 5i. 05. Samtliga rötter är z och z D i. 7
Baspr W oblem i övningssamligen Kapitel Uppgifter,, 6 a-c, - 7, 9-0, - 0, a,,, 9, 0, a,, 5, 7 a, 9, 5-6 a, 6 a, b,c, e, 7-80, 88, 89, 97-0, 0, 06, 09, a, 8 a, 9 a - e, 0 a - d - 6, 7 c, 9, 0, 6, 7,, 6, 7 a,, a - c, f - k, 7 a, 8 a, b, 9 a, b,, b, c, 5-0, b, a, b, 5, 9,, 6, 8, 9, ( f ) a, b, c, e,, a -c, 7 a, 8, 9 a, 0,, 7,,, 9 Appendi A -, 8-5, 7 a, 8, a, c, e, f,, 5, 5, 5, 56, 6, 65 JG 999-0-0 8