Exempel 1, Ch.3 Givet: H 2 O, P = 2.5 MPa = 2500 kpa, T = 265 C = 538.15 K. Sökt: v (volymitet). Table A-4: T = 265 C > T sat@2.5mpa = 223.95 C Table A-5: P = 2500 kpa < P sat@265 C = 5085.3 kpa Överhettad ånga, Table A-6 (2.5 MPa): T [ C] v [m 3 /kg] 250 0.08705 265? 300 0.09894 Linjär interpolation: v [m 3 /kg] = 0.09894 0.08705 (265 250)+0.08705 = 0.09062 300 250 Svar: v = 0.0906 m 3 /kg. Kommentar: Ideal gas? v IG = RT/P; R = 0.4615 kjkg 1 K 1 (Table A-1) v IG = 0.09934 m 3 /kg, vilket är 9.6% högre; nej. 400 350 300 T [ C] 250 200 H 2 O, sat. 5085 kpa 2500 kpa v = RT/P, P = 2500 kpa 150 10 3 10 2 10 1 v [m 3 /kg] 1
Exempel 2, Ch.3 Givet: H 2 O, P = 15 MPa = 15000 kpa, T = 265 C = 538.15 K. Sökt: ρ = 1/v (densitet); h (entalpi per massenhet). Table A-4: T = 265 C < T sat@15mpa = 342.16 C Table A-5: P = 15000 kpa > P sat@265 C = 5085.3 kpa Komprimerad vätska, Table A-7 (15 MPa): n T [ C] v [m 3 /kg] h [kj/kg] 1 260 0.0012560 1134.0 265?? 2 280 0.0013096 1233.0 Linjär interpolation (x = T, y = v,h): y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 )+y 1 v = 0.0012694 m 3 /kg, ρ = 1/v = 787.78 kg/m 3 ; h = 1158.8 kj/kg. Svar: ρ = 788 kg/m 3 ; h = 1.16 MJ/kg. Kommentar: Approximationer med endast tillgång till mättnadsdata, komprimeradvätska:y(p,t) y f@t,y = v,h,...;tablea-4:v f@265 C = 0.001289m 3 /kg ρ f@265 C = 775.8 kg/m 3 ( 1.5%); h f@165 C = 1159.8 kj/kg (+0.09%). 380 360 340 T [ C] 320 300 280 260 240 10 3 10 2 v [m 3 /kg] H 2 O, sat. 15 MPa 5085 kpa 2
Example 4-10 Givet: Luft i cylinder med rörlig kolv, begränsad nedåt m.h.a. stoppklots; V 1 = 400 dm 3, P 1 = 150 kpa, T 1 = 27 C 300 K; värmning; kolven börjar röra sig (uppåt) då P = P 2 = 350 kpa, V 2 = V 1 ; värmning fortsätter tills V 3 = 800 dm 3 = 2V 1,2. Sökt:(a) T 3, (b) W (av/frånluften),(c) Q (tillluften) 3 P/P 1 = 2.333V 1 /V (T = 700 K) 2 P/P1 1 0 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 V/V 1 (a) Betrakta luften som ett slutet system. Luften förutsätts vara en ideal gas, PV = mrt; konstant massa m, gaskonstant R P 3 V 3 /T 3 = P 1 V 1 /T 1, d.v.s. T 3 = (P 3 /P 1 )(V 3 /V 1 )T 1 = (350/150)(2/1)300 K = 1400 K. (b) W = W b +W other ; enbart volymändringsarbete W = W b = W b,out. Processen förutsätts vara kvasistatisk, W b = P dv; lättrörlig kolv P 3 = P 2, d.v.s. W b = P 2,3 (V 3 V 1,2 ) = 350(0.800 0.400) kj = 140 kj. (c) Energibalans, E in E out = E sys. Enkelt kompressibelt system ( KE = PE = 0) E sys = E = U = m(u 3 u 1 ); E in = Q in, E out = W b,out Q = Q in = m(u 3 u 1 )+W b,out. Ideal gas, m = P 1 V 1 /(RT 1 ). Med R = 0.2870 kjkg 1 K 1 (Table A-1), fås m = 0.69686 kg. Ideal gas, u(t); Table A-17 u 1 = 214.07 kj/kg, u 3 = 1113.52 kj/kg Q in = (626.79+140) kj = 766.79 kj. Svar: (a) T 3 1400 K, (b) W out = 140 kj, (c) Q in = 767 kj. Kommentar: (a,c) Med T 1 = 300.15 K fås T 3 = 1400.7 K (+0.05%), Q in = 766.85 kj (+0.01%). (c) Alternativ (sämre noggrannhet): u 3 u 1 = c v,avg (T 3 T 1 ),c v,avg = c v (T avg ),T avg (T 1 +T 3 )/2 = 850K.LinjärinterpolationiTableA- 2(b)ger c v,avg 0.823kJkg 1 K 1 U 630.9kJ, Q in = 770.9kJ(+0.53%). 3
Exempel, Ch. 5 Ångturbin (vatten). Givet: Stationära förhållanden; ṁ = 10 kg/s, P 1 = 2.5 MPa, T 1 = 500 C, P 2 = 10 kpa, x 2 = 0.95, Q out = 25 kw; ke 0, pe 0. Sökt: Ẇ sh,out Lägg en CV runt turbinen. Energibalans, stationära förhållanden, ett inlopp, ett utlopp, θ = h Q Ẇother = Q out Ẇsh,out = ṁ(h 2 h 1 ), d.v.s. Ẇ sh,out = ṁ(h 1 h 2 ) Q out. Tillstånd 1 (inlopp) är överhettad ånga, T 1 > T sat@2.5mpa = 223.95 C (Table A-5); Table A-6: h 1 = 3462.8 kj/kg. Tillstånd 2 är mättad blandning, h 2 = h f + x 2 h fg ; Table A-5 (10 kpa): h f = 191.82 kj/kg, h fg = 2392.1 kj/kg h 2 = 2464.3 kj/kg (T 2 = 45.81 C). h 1 h 2 = 998.48 kj/kg, ṁ(h 1 h 2 ) = 9984.8 kw Ẇsh,out = 9959.8 kw. Efter avrundning till två värdesiffror, vilket kan uttydas från indata, fås Ẇ sh,out = 10 MW. Svar: Ẇ sh,out = 10 MW. 500 400 H 2 O, sat. 2.5 MPa 10 kpa Z = 0.99 T [ C] 300 200 100 10 3 10 2 10 1 10 0 10 1 v [m 3 /kg] Kommentar: (i) Om värmeförlusten Q out försummas fås samma svar; Q out motsvarar endast 0.25% av Ẇsh,out; turbinen kan betraktas som adiabatisk. (ii) Ändringen i kinetisk energi (mellan ut- och inlopp) kan inte alltid försummas; ke = V2 2 /2 V1 2 /2, Ẇ sh,out = ṁ(h 1 h 2 ke) Q out. Med V 1 = 20 m/s, V 2 = 100 m/s fås ke = 4.8 kj/kg, ṁ ke = 48 kw, vilket reducerar axeleffektentillẇ sh,out = 9912kW( 0.48%);litenskillnad.Utloppshastighetenkan dock vara klart högre. Med V 2 = 200 m/s och samma V 1 fås ṁ ke = 198 kw, Ẇ sh,out = 9762 kw ( 2.0%). (iii) Z 1 = 0.981; ingen ideal gas. 4
Example 5-8 Strypning av R-134a (köldmedium) i ett kylskåp. Givet: P 1 = 800 kpa, x 1 = 0 (mättad vätska); P 2 = 120 MPa. Sökt: x 2 ; T = T 2 T 1 Lägg en CV runt strypanordningen, ett inlopp, ett utlopp; stationära förhållanden förutsätts. Energibalans (per massenhet), homogena förhållanden över inoch utlopp: q w other = h e h i + ke+ pe. Strypningen kan förutsättas ske adiabatiskt; försumbart värmeutbyte, q = 0; dessutom inget tekniskt arbetsutbyte, w other = 0. Om ke och pe kan försummas fås h e = h i, d.v.s. h 2 = h 1. Table A-12: h 1 = h f@800kpa = 95.48 kj/kg. Tillstånd 2 är mättad blandning, ty h g@120kpa = 22.47 kj/kg < 95.48 kj/kg < 236.99 kj/kg = h g@120kpa ; x 2 = (h 2 h f )/(h g h f ) = (h 2 h f )/h fg. Med h fg = 214.52 kj/kg fås x 2 = 0.3403. T 1 = T sat@800kpa = 31.31 C, T 2 = T sat@120kpa = 22.32 C T = 53.63 C. Svar: x 2 = 0.340; T = 53.6 C. 100 80 R-134a, sat. 800 kpa 120 kpa 60 T [ C] 40 20 0 20 10 3 10 2 10 1 v [m 3 /kg] Kommentar:Kan ke = (V 2 2 V 2 1 )/2verkligenförsummas?Konstantmassflöde V 1 A 1 /v 1 = V 2 A 2 /v 2. Med A 2 = A 1, typiskt för en enkel strypanordning i ett kylskåp (kapillärrör), fås V 2 /V 1 = v 2 /v 1. Med data ur Table A-12 fås v 1 = 0.0008457 m 3 /kg, v 2 = 0.055673 m 3 /kg, d.v.s. V 2 /V 1 = 65.83. Inloppshastigheten V 1 är typiskt ganska låg, oftast klartlägre än 1 m/s; med V 1 = 50 cm/s fås V 2 = 32.92 m/s, vilket innebär ke = 0.541 kj/kg. Med h 2 = h 1 ke fås h 2 = 94.94 kj/kg, vilket ger x 2 = 0.3378 ( 0.73%), även efter uppdatering av v 2 = 0.055265 m 3 /kg, V 2 = 32.67 m/s; små skillnader. Med V 1 = 25 cm/s fås ke = 0.135 kj/kg, x 2 = 0.3397 ( 0.18%); försumbar skillnad. 5
Example 7-10+ Kompression av luft i cylinder med lättrörlig kolv. Givet: Internt reversibel och adiabatisk kompression; P 1 = 95 kpa, T 1 = 295 K; V 1 /V 2 = 8. Sökt: T 2 ; P 2 ; w b,in Slutet system = luften i cylindern. Eftersom processen är både internt reversibel och adiabatisk är den också isentrop; s 2 s 1 = (δq/t) int.rev. = 0, ty δq = 0 (försumbart värmeutbyte). Antag att luften kan behandlas som en ideal gas; 8 = V 1 /V 2 = v 1 /v 2 = (v 1 /v 2 ) s=const. = v r,1 /v r,2, där v r (T) ur Table A-17; v r,1 v r,2 T 2. Pv = RT P 2 /P 1 = (v 1 /v 2 )(T 2 /T 1 ) = 8(T 2 /T 1 ) P 2 = 8(T 2 /T 1 )P 1. Energibalans, enkelt kompressibelt system ( ke = pe = 0): q w b = u = u 2 u 1 ; q = 0, w b = w b,in ; u(t) ur Table A-17 w b,in = u 2 u 1. Table A-17: u 1 = 210.49 kj/kg, v r,1 = 647.9 v r,2 = 80.9875. Linjära interpolationer i Table A-17 ger u 2 = 483.16 kj/kg, T 2 = 662.75 K P 2 = 1707 kpa, w b,in = 272.67 kj/kg. Kan luften behandlas som en ideal gas? Ja, se s. 64 i gröna häftet, Z 1,2 1 < 0.01 ideal gas. Svar: T 2 = 663 K; P 2 = 1.71 MPa; w b,in = 273 kj/kg. Överdriven skillnad i lutning på isokorerna! 6
Example 8-7 Arbetspotential för komprimerad luft. Givet: Stel behållare med luft; P = 1000 kpa, T = T 0 = 300 K; P 0 = 100 kpa, V = 200 m 3 ; index 0 motsvarar luftens tillstånd i jämvikt med omgivningen. Sökt: X (för luften; X = exergi = arbetspotential) X = mφ, där φ = u u 0 +P 0 (v v 0 ) T 0 (s s 0 ). Luften är en ideal gas, m = PV/(RT); se s. 64 i gröna häftet. Ideal gas u(t), d.v.s. u u 0 = 0. P 0 (v v 0 ) = P 0 v 0 (v/v 0 1) = RT 0 (P 0 /P 1), ty Pv = RT, T/T 0 = 1. T 0 (s s 0 ) = T 0 (s s 0 RlnP/P 0) = RT 0 lnp/p 0, ty s (T) för ideal gas. X = PV(P 0 /P 1+lnP/P 0 ) = P 0 V[1 P/P 0 +(P/P 0 )lnp/p 0 ]. Insättning med PV = 200 MJ, P/P 0 = 10, ger X = 280 MJ (77.9 kwh). Svar: X = 280 MJ (oberoende av vilken ideal gas det är). Kommentar: (i) Arbetspotentialen X motsvarar grovt sett ett fulladdat batteri i personbilen Tesla 75 (batterikapacitet 75 kwh; körsträcka, maximalt ca. 400 km); Teslans litiumjon-batteri har dock väsentligt mindre volym; batterikapacitet per liter är troligen ca. 1.5 MJ/dm 3 batterivolym 180 dm 3. (ii) Exergiinnehållet ökar med ökat tryck P. Med P/P 0 = 100 (P = 10 MPa) och ideal gas fås X = 280 MJ om V = 7.74 m 3 ; med P = 30 MPa fås istället V = 1.99m 3.ObserveraattökadtemperaturT germinskadarbetspotential(vid given volym); luftmassan minskar snabbare än φ ökar; ex. T = 330 K = 1.1T 0 och luft (Table A-17) X = 240 MJ; T = 600 K = 2T 0 X = 150 MJ. X/(P0V) 1,000 500 T/T 0 = 1.0 T/T 0 = 1.1 T/T 0 = 1.5 T/T 0 = 2.0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 P/P 0 (iii) Det finns konceptbilar som enbart använder komprimerad luft för framdrivning, ex. MDI AIRPod; typiskt är V = 300 dm 3, P = 30 MPa, vilket med luft som ideal gas (som ovan) ger X = 42.4 MJ = 11.8 kwh. Med T = T 0 = 300 K är dock Z = 1.12; ingen ideal gas. Med hänsyn taget till effekter av kompressibilitet (överkurs) fås X 41 MJ ( 3.3%). 7
Exempel 1, Ch. 9 Ideal Dieselcykel; jämför uppgift 9-46 (8th edition). Givet: Arbetsmedium = luft (ideal gas); r = v 1 /v 2 = 17, r c = v 3 /v 2 = 1.3; Ẇ net,out = 140 kw; P 1 = 95 kpa, T 1 = 25.5 C. Sökt: T max ; P max ; Q in T max = T 3 ; P 3 = P 2, Pv = RT T 3 = (v 3 /v 2 )T 2 = r c T 2 ; P max = P 2 = P 1 (T 2 /T 1 )(v 2 /v 1 ) = P 1 (T 2 /T 1 )r; T 1 = 298.65 K. Kretsprocess: Q in = Ẇnet,out/η th, där η th = 1 q out /q in. Slutet, enkelt kompressibelt system: q w b = u, där w b = P dv; v 4 = v 1 q out = u 4 u 1 ; P 3 = P 2, w b,12 = P 2,3 (v 3 v 2 ) q in = (u+pv) 3 (u+pv) 2 = h 3 h 2 ; Table A-17: u(t), h(t). s 2 = s 1 17 = r = v 1 /v 2 = v r,1 /v r,2, där v r (T). Linjära interpolationer i Table A-17 u 1 = 213.10 kj/kg, v r,1 = 628.42 v r,2 = 628.42/17= 36.966 h 2 = 907.40 kj/kg, T 2 = 877.16 K T 3 = 1140.31 K = 867.16 C, P 2 = 4743.4 kpa, h 3 = 1207.9 kj/kg. s 4 = s 3 v r,4 /v r,3 = v 4 /v 3 = v 1 /v 3 = (v 1 /v 2 )(v 2 /v 3 ) = r/r c = 17/1.3. Table A-17: v r,3 = 16.932 v r,4 = 221.42 u 4 = 323.93 kj/kg (T 4 = 451.79 K = 178.64 C). Insättning ger q out = 110.83 kj/kg, q in = 300.54 kj/kg, η th = 0.63123 Q in = 221.8 kw. Svar: Q in = 222 kw; T max = 867 C; P max = 4.74 MPa. 4 P/P1 10 1 T/T1 2 10 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 v/v 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 (s s 1 )/R Kommentar: Approximation perfekt gas med ämnesdata vid 300 K (k = 1.40), ger T max = 933 C (+66 C), P max = 5.02 MPa (+5.7%), Q in = 212 kw ( 4.3%), η th = 0.660 (+4.5%). 8
Exempel 2, Ch. 9 Braytoncykel med regenerering. Givet: Arbetsmedium = luft (ideal gas); P 1 = 100 kpa, T 1 = 300 K; r p = P 2 /P 1 = 6; P 3 = P 2 = P 5 ; T 3 = 1200 K; η C = 0.85, η T = 0.88, ǫ = 0.80; försumbara ändringar i kinetisk och potentiell energi, ke = pe = 0. Sökt: η th Kretsprocess, slutet system: η th = 1 q out /q in. Stationära förhållanden, komponenter med ett inlopp, ett utlopp: q w other = h e h i q out = h 6 h 1, q in = h 3 h 5 ; h(t), Table A-17; linjär interpolation. ǫ = q regen /q regen,max = (h 5 h 2 )/(h 4 h 2 ) h 5 = h 2 +ǫ(h 4 h 2 ). Välisolerad regenerator, energibalans h 4 h 6 = h 5 h 2 h 6 = h 4 +h 2 h 5. η C = (h 2s h 1 )/(h 2 h 1 ), s 2s = s 1, P 2s = P 2, r p = P r,2s /P r,1, P r (T) h 2 = h 1 +(h 2s h 1 )/η C. η T = (h 3 h 4 )/(h 3 h 4s ), s 4s = s 3, P 4s = P 4, r p = P r,3 /P r,4s h 4 = h 3 η T (h 3 h 4s ). Table A-17: h 1 = 300.19 kj/kg, P r,1 = 1.3860 P r,2s = 8.316 h 2s = 501.36 kj/kg h 2 = 536.86 kj/kg (T 2 = 533 K). Table A-17: h 3 = 1277.79 kj/kg, P r,3 = 238.0 P r,4s = 39.47 h 4s = 780.30 kj/kg h 4 = 840.00 kj/kg (T 4 = 816 K > T 2, OK!) h 5 = 779.37 kj/kg, h 6 = 597.48 kj/kg. Insättning ger q out = 498.4 kj/kg, q in = 297.3 kj/kg, η th = 0.4035. Svar: η th = 0.404. 1,200 100 kpa 600 kpa 1,000 T [K] 800 600 400 200 23 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5 27 27.5 28 s/r Kommentar: Utan regenerering, ǫ = 0: η th = 0.2714 ( 32.7%). 9
Exempel, Ch. 10 Adiabatisk ångturbin, vatten; ångkraftsprocess, Rankine. Givet: Inlopp: P 3 = 10 MPa, T 3 = 550 C; η T = 0.88; utlopp: P 4 = 10 kpa; försumbara ändringar i kinetisk och potentiell energi, ke = pe = 0. Sökt: Uppfylls kravet x 4 0.90? (x = specifik ångmängd, ångkvalitet) η T = (h 3 h 4 )/(h 3 h 4s ) h 4 = h 3 η T (h 3 h 4s ); s 4s = s 3, P 4s = P 4. Table A-6: h 3 = 3502.0 kj/kg, s 3 = 6.7585 kjkg 1 K 1. Table A-5 (10 kpa) visar att tillstånd 4s är mättad blandning, s f < h 4s < s g h 4s = h f +x 4s h fg, där x 4s = (s 4s s f )/s fg. TableA-5:s f = 0.6492kJkg 1 K 1,s fg = 7.4996kJkg 1 K 1,h f = 191.81kJ/kg, h fg = 2392.1kJ/kg x 4s = 0.8146 h 4s = 2140.4kJ/kg h 4 = 2303.8kJ/kg x 4 = (h 4 h f )/h fg = 0.8829 < 0.90. Svar: Nej. 600 H 2 O, sat. x = 0.90 500 400 T [ C] 300 200 100 0 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 s [kjkg 1 K 1 ] Kommentar: Med ökad överhettning kan kravet uppnås; T 3 = 600 C h 4 = 2359.7 kj/kg x 4 = 0.9063 > 0.90 (markerat med i figur). Även turbinarbetet ökar, w T = h 3 h 4 = 1266.1 kj/kg (+5.7%). 10
Example 13-3+ Adiabatisk blandning av syrgas och kvävgas. Givet: Stel gasbehållare med två gaser, syrgas (O 2 ) och kvävgas (N 2 ), separerade via en skiljevägg; m O2 = 7 kg, T 1,O2 = 40 C, P 1,O2 = 100 kpa; m N2 = 4 kg; T 1,N2 = 20 C, P 1,N2 = 150 kpa; skiljeväggen tas bort, gaserna blandas, nytt jämviktstillstånd (index m); T surr = 20 C; ideal gasblandning; perfekta gaser, ämnesdata vid 300 K. Sökt: T m ; P m ; X destroyed Slutet, enkelt kompressibelt system = O 2 + N 2 (membranets massa försumas). Stel behållare W = 0; adiabatisk blandning Q = 0; energibalans U = ( U) O2 +( U) N2 = 0. I sluttillståndet har resp. gaskomponent samma tryck och temperatur, P 2,O2 = P 2,N2 = P m, T 2,O2 = T 2,N2 = T m. Perfekta gaser: U = mc v T; [mc v (T 2 T 1 )] O2 +[mc v (T 2 T 1 )] N2 = 0 T m = (mc v) O2 T 1,O2 +(mc v ) N2 T 1,N2 (mc v ) O2 +(mc v ) N2 Table A-2(a): c v,o2 = 0.658 kjkg 1 K 1, c v,n2 = 0.743 kjkg 1 K 1. Insättning ger T m = 32.16 C = 305.31 K. Ideal gas: PV = NR u T, där R u = 8.31447kJkmol 1 K 1 (TableA-1).Ideal gasblandning P m = N m R u T m /V m, där N m = N O2 +N N2 = (m/m) O2 +(m/m) N2 ; V m = V 1,O2 + V 1,N2, där V 1,O2 = R u N O2 (T/P) 1,O2, V 1,N2 = R u N N2 (T/P) 1,N2. Med M O2 = 31.999 kg/kmol, M N2 = 28.013 kg/kmol (Table A-1), fås N O2 = 0.2188 kmol, N N2 = 0.1428 kmol, N m = 0.3616 kmol, vilket med T 1,O2 = 313.15 K, T 1,N2 = 293.15 K, ger P m = N m T m N O2 (T/P) 1,O2 +N N2 (T/P) 1,N2 = 114.5 kpa X destroyed = T surr S gen,tot, där T surr = 293.15 K. Systemet behöver inte utvidgas; adiabatisk process. Entropibudget S gen,tot = S = ( S) O2 + ( S) N2. Perfekta gaser: s 2 s 1 = c p lnt 2 /T 1 T lnp 2 /P 1 S gen,tot = [m(c p lnt 2 /T 1 RlnP 2 /P 1 )] O2 +[m(c p lnt 2 /T 1 RlnP 2 /P 1 )] N2 P 2,O2 = y O2 P m, P 2,N2 = y N2 P m ; y = N i /N m y O2 = 0.605, P 2,O2 = 69.3 kpa; P 2,N2 = P m P 2,O2 = 45.2kPa.InsättningmedR O2 = 0.2598kJkg 1 K 1,R N2 = 0.2968 kjkg 1 K 1 (Table A-2a), samt c p = c v + R, ger S gen,tot = 2.097 kj/k, X destroyed = 614.6 kj. Svar: T m = 32.2 C; P m = 114 kpa; X destroyed = 615 kj. 11