Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar. Av dessa timmar avsätts 15 timmar till prov, repetition inför NP, grafritarövningar mm. Resterande 70 timmar används till bokens fyra kapitel, inklusive eventuella fördjupningar och repetitioner. Vi har här uppskattat hur lång tid som behövs till varje moment i en normalklass. Det är givetvis viktigt att tidsplanen anpassas till klassens nivå och kursens timtilldelning. 1 Ekvationer och funktioner sidor i boken antal timmar Förenkling av uttryck, ekvationer 1-5 2 Tillämpningar 6-8 1 Andragradsekvationer 9-13 2 Uppdelning i faktorer 14-16 1,5 Faktorisering och ekvationer 16-18 1,5 Förenkla rationella uttryck 19-22 1 Funktionen y = k + m 23-30 2 Teckna funktionen mm 30-34 2 Andragradsfunktioner 35-38 1 Olikheter 40-46 2 Mer om funktioner 47-50 2 Olikheter med teckenstudium 51-55 2 Blandade uppgifter och Test 60-66 2 summa 22 timmar 2 Derivator Förändringar 67-73 1,5 En kurvas lutning 74-78 1,5 Beräkning av gränsvärden 79-81 1 Deriveringsregler 82-88 2 Tolka derivatan 1 89-90 1 Tillämpningar på derivata 91-94 2 Tangenten till en kurva 95-96 1,5 Väande och avtagande 97-101 1,5 Kurvritning med hjälp av derivata 102-105 2 Största och minsta värde 107-109 2 Konstantbestämning 110 1 Derivatans graf 111-114 2 Andraderivatan och dess betydelse 115-117 1 Maimi- och minimiproblem 117-119 2 Tolka derivatan 2 119-121 1 Blandade uppgifter och Test 125-133 2 summa 25 timmar
3 Eponentialfunktioner och talföljder Räkneregler för potenser 134-137 1,5 Ekvationer av typen 8 = 2 138-140 1 Talföljder 141-142 0,5 Geometriska talföljder 143-148 2 Successiva inbetalningar 149-154 1,5 Eponentialfunktioner 155-157 1 Funktionen y = 10 och 10-logaritmer 159-163 1 Ekvationer av typen 2 = 3 164-167 2 Tillämpningar 168-170 1 Teckna modeller 171-172 1 Konstantbestämning 173-174 1 Blandade uppgifter och Test 178-183 1,5 summa 15 timmar 4 Funktionen y = e Inledning, Euler och talet e 184-187 1 Derivatan av y = e 188-191 1,5 Naturliga logaritmer 192-195 1,5 Tillämpningar med basen e 196-198 2 Skriv på formen y = e k 199 1 Blandade uppgifter och Test 203-206 1 summa 8 timmar Övrigt Prov, repetition inför NP, grafritare mm 15 timmar Summa totalt 85 timmar
Övningsprov i Matematik kurs C Provet kan lämpligen göras efter de tre första kapitlen i Holmström/Smedhamres C-bok. Tid: ca 2 timmar Hjälpmedel: Formelblad samt till del 2 även räknare. Del 1 Följande uppgifter ska göras utan räknare. 1 Utgå från funktionen f() = 4 3 3 + 5. Bestäm a) funktionsvärdet f ( 1) b) f ( ) c) f ( 1) d) Lös ekvationen f ( ) = 0 2 Bestäm följande gränsvärden. a) lim h 0 h 2 3h h b) lim 2 2 4 2 3 Figuren visar grafen till y = f() och en tangent som är ritad i punkten (5, 3). y J (5, 3) 1 1 a) Bestäm f(1) b) Bestäm f (5) c) Lös ekvationen f ( ) = 0 d) Lös olikheten f() > 0 4 Skissa grafen till en funktion p() då du vet att p(2) = 5 p (2) = 0 p (2) = 1 5 Denna bild visar grafen till g ( ). A B C 1 g () 1 D E I vilken/vilka av de markerade punkterna har g() en a) minimipunkt b) maimipunkt?
Del 2 Till följande uppgifter får räknare användas. 6 Lös ekvationerna. Svara med två decimaler. a) 2 7 = 48 b) 6 = 18 c) lg (5) = 1,4 7 Utgå från funktionen f() = 6 2 + 2. Bestäm funktionens största och minsta värde i intervallet 1 6. 8 En geometrisk talföljd beskrivs med formeln a n = 4. 2 n 1. a) Vilken är talföljdens kvot? b) Bestäm talföljdens tionde element a. 10 c) Bestäm summan av de tio första elementen s 10. 9 Grafen till funktionen y = 3 2 8 + 4 har en tangent i den punkt där grafen skär y-aeln. Bestäm tangentens ekvation. Grafen och tangenten ska inte ritas. 10 a) En bostadsrättslägenhet har ökat i värde från 230 000 kr till 650 000 kr på 4 år. Vilken är den årliga procentuella värdeökningen? Svara i procent med en decimal. b) Skriv en tet till ekvationen 230 000. 1,13 = 650 000. c) Lös ekvationen i uppgift b). 11 Summan av tre sidors längder i en rektangel är 124 m. Vilken är rektangelns maimala area? 12 Idag lånar Monica 400 000 kr. Lånet ska betalas med 8 stycken lika stora årliga annuiteter, där den första betalningen görs om ett år. Hur stor är annuiteten om ränta beräknas efter 6 %? 13 Vi har funktionen f() = 5 5 3 30 3 a) Visa att funktionen är avtagande för = 1. b) För vilka värden på har funktionen maimi- och minimipunkter? Svara eakt. 14 Hur många termer ska adderas i talföljden 50 + 50. 1,03 + 50. 1,03 2 + 50. 1,03 3 + för att summan ska bli större än 10 6?
Lösningar och tips till övningsprov kurs C 1 a) f( 1) = 4 b) f ( ) = 12 2 3 c) f ( 1) = 9 d) = ± 0,5 2 a) 3 b) 4 3 a) 5 (y-värdet då = 1) b) 2 (tangentens lutning) c) = 4 (här är kurvans lutning noll) d) 2 < < 6 (här finns kurvan ovanför -aeln) 4 p (2) = 0 antingen ma eller min i punkten (2, 5). Eftersom andraderivatan är negativ, så är det en maimipunkt. y (2, 5) 5 a) minimipunkt i E b) maimipunkt i D 6 a) = 24 1/7 = 1,57 b) lg 6 = lg 18 = 1,61 c) 5 = 10 1,4 = 5,02 7 f ( ) = 6 2 f ( ) = 0 då = 3 Undersök f(1) f(3) och f(6)! f(1) = 6 1 + 2 = 7 f(3) = 18 9 + 2 = 11 f(6) = 36 36 + 2 = 2 Svar: Största värde = 11, minsta värde = 2 8 a) 2 b) a 10 = 4 2 9 = 2048 c) 4092 9 Skärning med y-aeln då = 0, dvs. tangeringspunkten är (0, 4). Tangentens k-värde = kurvans lutning då = 0. y = 6 8 y (0) = 8 dvs. k = 8 Sätt in = 0, y = 4 och k = 8 i tangentens ekvation: y = k + m 4 = 8. 0 + m m = 4 Svar: Tangentens ekvation är y = 8 + 4
10 a) 230 000 4 = 650 000 4 = (65/23) = (65/23) 1/4 1,297 Svar: 29,7 % b) Hur lång tid tar det för 230 kkr att väa till 650 kkr med 13 % ränta? c) 1,13 =(65/23) lg 1,13 = lg(65/23) lg 1,13 = lg(65/23) = 8,5 Svar: 8,5 år 11 Antag att rektangelns sidor är och y meter. Tre sidor är tillsammans 124 m 2 + y = 124 y = 124 2 Arean A = y = (124 2) dvs A = 124 2 2 A = 124 4 A = 0 då 124 4 = 0 4 = 124 = 31 A = 4 dvs. A har ma för = 31 Sidan y = 124 2 = 124 2 31 = 62 A = 31 m 62 m = 1922 m 2 Svar: Maimal area är 1922 m 2 12 Antag annuiteten = kr (1, 06 1) Svar: Annuiteten är 64 414 kr 8 (1, 06 1) = 400 000 1,06 8 64 414 13 a) f ( ) = 5 4 5 2 30 f ( 1) = 5 5 30 = 30 dvs. negativt Att f ( 1) är negativt betyder att f() avtar för = 1. Vilket skulle visas! b) Derivatans nollställen: 5 4 5 2 30 = 0 Division med 5 ger 4 2 6 = 0 som liknar en andragradsekvation! Sätt 2 = p! p 2 p 6 = 0 p = 0,5 ± 025, + 6 p = 3 eller p = 2 Vi återgår till! 2 = 3 ger = 3 eller = 3. 2 = 2 saknar reella rötter. Alltså gäller att = 3 eller = 3. Nu undersöks andraderivatan! f ( ) = 20 3 10 f ( 3) = 20 3 3 10 3 = 50 3 dvs. min. f ( 3) = 20 3 3 + 10 3 = 50 3 dvs. ma. Svar: Maimipunkt för = 3 och minimipunkt för = 3. 50(1,03 1) 14 Summan av st termer skrivs 1, 03 1 = 10 6 1,03 1 = 600 lg 1,03 = lg 601 = 216,47 Eftersom summan ska vara större än 10 6 blir svaret 217 termer. Svar: 217 termer