Tillägg till Physics Handbook Delemittansen I, (W/mm 2 )/nm 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 6000 K 5000 K 4000 K 3000 K 0 0 500 1000 1500 2000 Våglängd, nm Oktober 2007
2
Innehållsförteckning 1 Mekanik 1 1.1 Newtons lagar............................................... 1 1.2 Kinematik................................................. 1 1.3 Kinetik.................................................. 2 1.4 Plan rörelse................................................ 2 1.5 Potentiell energi............................................. 3 1.6 Energisatsen................................................ 3 1.7 Rörelsemängd, impuls och stöt..................................... 4 1.8 Rörelsemängdsmoment, impulsmoment................................. 4 1.9 Partikelsystem.............................................. 4 1.10 Stela kroppar............................................... 5 1.11 Bestämning av masscentrum...................................... 6 1.12 Bestämning av masströghetsmoment.................................. 6 1.13 Fria odämpade vibrationer........................................ 6 1.14 Egenskaper hos homogena kroppar................................... 7 1.15 Egenskaper hos plana figurer...................................... 11 2 Modern fysik 13 2.1 Relativitetsteori.............................................. 13 2.2 Kärnfysik................................................. 14 2.3 Kvantmekanik............................................... 14 2.4 Temperaturstrålning........................................... 15 3 Termodynamik 17 3.1 Grunder.................................................. 17 3.2 Temperatur och värme.......................................... 17 3.2.1 Termisk expansion........................................ 17 3.2.2 Värmeöverföring......................................... 17 3.3 Medieegenskaper............................................. 18 3.3.1 Slutet system........................................... 18 3.3.2 Andra huvudsatsen........................................ 19 3.4 Kretsprocesser.............................................. 20 4 Tabeller 21 i
ii INNEHÅLLSFÖRTECKNING
1 Mekanik Vektorer anges med överstreckad symbol, t ex F. 1.1 Newtons lagar I. Tröghetslagen Varje kropp förblir i sitt tillstånd i vila eller likformig rätlinjig rörelse så länge den inte av yttre krafter tvingas att ändra det. II. Kraftlagen Accelerationen för en partikel är proportionell mot den resulterande kraften och har samma riktning som denna. F = m a. III. Lagen om verkan och motverkan Kraftverkningarna mellan två kroppar är alltid lika och motriktade. IV. Gravitationslagen F = G m 1m 2 r 2 där G = 6, 672 10 11 Nm 2 /kg 2. 1.2 Kinematik Allmänt v = ds dt a = dv dt a ds = v dv Konstant acceleration v = v 0 + at RÄTLINJIG RÖRELSE s = s 0 + v 0 t + 1 2 at2 v 2 = v 2 0 + 2a(s s 0 ) Allmänt ω = θ = dθ dt α = θ = dω dt α dθ = ω dω ROTATIONSRÖRELSE Konstant vinkelacceleration ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2 ω 2 = ω 2 0 + 2α(θ θ 0 ) 1
2 1. MEKANIK 1.3 Kinetik RÄTLINJIG RÖRELSE ROTATIONSRÖRELSE Massa Kraft m F Kraftekvationen F = m a Tröghetsmoment Moment I = m i r 2 i I = r 2 dm τ Momentekvationen τ = I θ = Iα (partikelsystem) (stel kropp) Arbete W 1 2 = F d r Arbete W 1 2 = τdθ Effekt P = dw = F dt v Kinetisk energi K = 1 2 mv2 Rörelsemängd p = m v Effekt P = dw = τω dt Kinetisk energi K = 1 2 Iω2 Rörelsemängdsmoment L = Iω 1.4 Plan rörelse Rektangulära koordinater Kinematik v x = dx dt = ẋ v y = dy dt = ẏ a x = d2 x dt 2 = ẍ a y = d2 y dt 2 = ÿ v = vx 2 + vy 2 a = a 2 x + a 2 y Kinetik Fx = ma x Fy = ma y
1.5. POTENTIELL ENERGI 3 Normal- och tangentialkoordinater Kinematik v = r θ = rω a rad = a n = v2 r a tan = a t = dv a = a 2 n + a 2 t v dv = a t ds dt = v Kinetik Fn = ma rad = ma n Ft = ma tan = ma t Polära koordinater Kinematik v r = ṙ v θ = r θ = rω v = vr 2 + vθ 2 Kinetik Fr = ma r Fθ = ma θ a r = r r θ 2 a θ = r θ + 2ṙ θ a = a 2 r + a 2 θ 1.5 Potentiell energi Potentiell lägesenergi En kropps potentiella lägesenergi U grav = U g är lika med det negativa arbetet utfört av tyngd-kraften på kroppen när denna förflyttas från en fix punkt (nollnivån) till sitt aktuella läge. Om förflyttningen h är motriktad tyngdkraften erhålls då att U g = mgh OBS! Detta gäller under förutsättningen att tyngdaccelerationen g kan antas vara konstant. Gravitationskraftens potentiella energi ges generellt av: U = G m 1m 2 r Elastisk potentiell energi En fjäders elastiska potentiella energi U e är lika med arbetet utfört på fjädern när denna trycks ihop eller förlängs. Om hoptryck-ningen/förlängningen är x erhålls U e = 1 2 kx2 där k är fjäderkonstanten. OBS! x = 0 och följaktligen U e = 0 för fjäder som har sin naturliga (ospända) längd. 1.6 Energisatsen Mekaniska energisatsen K 1 + U g1 + U e1 + Wövr = K 2 + U g2 + U e2 där Wövr är arbete utfört av andra krafter än tyngdkraft och fjäderkraft, t ex friktionskraft och linkraft. För ett system där inga andra krafter än tyngdkrafter och elastiska krafter utför arbete gäller att Wövr = 0, dvs K + U g + U e = 0.
4 1. MEKANIK 1.7 Rörelsemängd, impuls och stöt Rörelsemängd p = m v Impulslagen t 2 F dt = p2 p 1 t 1 Stöttal: Rak, central stöt e = v B2 v A2 Rel. hastigheten efter stöt v A1 v B1 = Rel. hastigheten före stöt Specialfall, Elastisk stöt: Relativa hastigheten efter stöt = Relativa hastigheten före stöt 1.8 Rörelsemängdsmoment, impulsmoment Rörelsemängdsmoment runt fix axel O och motsvarande impulsmoment för partikel. Rörelsemängdsmoment (för partikel, för stel kropp, se nedan) L O = r m v Impulsmomentlagen t 2 τo dt = L O2 L O1 t 1 1.9 Partikelsystem Kinetisk energi K = 1 2 mv2 cm + 1 2 mi ρi 2 där ρ i är partikel i:s hastighet relativt masscentrum cm. Rörelsemängd P = m i v cm = m v cm Rörelsemängdsmoment L O = ( r i m i v i ) Rörelseekvationer F = P = mi ri = m a cm τo = LO ; τcm = Lcm
1.10. STELA KROPPAR 5 1.10 Stela kroppar Rotation runt fix axel. Kinetik Fn = mr cm w 2 Ft = mr cm α τo = I O α Allmän plan rörelse. Kinetik Fx = ma cmx Fy = ma cmy τcm = I cm α Momentekvation m a p momentancentrum τc = I C α Rullvillkoret s = rθ, v O = rω, a O = rα Kinetisk energi K = 1 2 mv2 cm + 1 2 I cmω 2 Om C är momentancentrum K = 1 2 I Cω 2 Rörelsemängdsmoment (ren rotationsrörelse) L = Iω Rörelsemängdsmoment med avseende på fix punkt O, allmänna fallet med både translations- och rotationsrörelse L O = mv cm d + I cm ω där d är momentarmen för v cm med avseende på O. Impulsmomentlagen (med avsende på fix punkt) t 2 τo dt = L O2 L O1 t 1 Impulsmomentlagen (med avseende på masscentrum) t 2 τcm dt = L cm2 L cm1 t 1
6 1. MEKANIK 1.11 Bestämning av masscentrum Enstaka kroppar x cm = xdm m ; y cm = ydm zdm m ; z cm = m där x, y, z betecknar koordinaterna för masscentrum för masselementet dm. Sammansatta kroppar X cm = Σm ix i Σm i ; Y cm = Σm iy i Σm i ; Z cm = Σm iz i Σm i där x i, y i, z i betecknar koordinaterna för delkropp i:s masscentrum. 1.12 Bestämning av masströghetsmoment Allmänt I = r 2 dm För partikelsystem I = Σri 2 m i För tunn skiva i x y-plan I zz = I xx + I yy Tröghetsradie, k, definieras enligt I = mk 2 Förflyttningssatsen (Steiners sats) I O = I cm + md 2 1.13 Fria odämpade vibrationer Svängningsekvationen (ω 2 betecknar termen framför x) ẍ + ω 2 x = 0 Stelkropps-svängning θ + ω 2 θ = 0 Utslaget som funktion av tiden x = A cos (ωt + φ), kan alternativt skrivas x = A cos (ωt) + B sin (ωt) Svängningstiden T = 2π ω
1.14. EGENSKAPER HOS HOMOGENA KROPPAR 7 1.14 Egenskaper hos homogena kroppar Cirkulärt cylindriskt skal l/2 Tröghetsmoment: I x = Mr2 2 + Ml2 12 x 1 l/2 x cm z I x1 = Mr2 2 I z = Mr 2 + Ml2 3 y 1 y r Halvt cirkulärt cylindriskt skal Masscentrum: x cm = 2r π Tröghetsmoment: I xx = I yy = Mr2 2 I x1 x 1 = I y1 y 1 = Mr2 2 I zz = Mr 2 I cm z = + Ml2 12 (1 4π 2 ) Mr 2 + Ml2 3 x 1 l/2 r y 1 x l/2 cm y z Cirkulär cylinder Volym: πr 2 l Tröghetsmoment: l/2 x l/2 z I xx = Mr2 4 + Ml2 12 x 1 cm I x1x 1 = Mr2 4 + Ml2 3 r y 1 y I zz = Mr2 2
8 1. MEKANIK Halv cirkulär cylinder Volym: πr 2 l 2 Masscentrum: x cm = 4r 3π Tröghetsmoment: I xx = I yy = Mr2 4 + Ml2 12 y 1 l/2 y l/2 cm z I x1 x 1 = I y1 y 1 = Mr2 4 + Ml2 3 r x I zz = Mr2 2 I cm z = ( 1 2 16 9π 2 ) Mr 2 x 1 Rektangulärt rätblock Volym: abl Tröghetsmoment: l/2 x l/2 z I xx = M(a2 + l 2 ) 12 b cm I yy = M(b2 + l 2 ) 12 y 1 y I zz = M(a2 + b 2 ) 12 a y 2 Rät cirkulär kon Volym: π 3 r2 h Masscentrum: z cm = 3h 4 x h z Tröghetsmoment: cm I cm y = 3 20 Mr2 + 3 80 Mh2 I y1y 1 = 3 20 Mr2 + 1 10 Mh2 r y 1 y y 2 I zz = 3 10 Mr2
1.14. EGENSKAPER HOS HOMOGENA KROPPAR 9 Koniskt skal Masscentrum: z cm = 2h 3 Tröghetsmoment: I y1 y 1 = Mr2 4 + Mh2 6 x h cm z I y2y2 = Mr2 4 I zz = Mr2 2 + Mh2 2 r y 1 y y 2 I cm y = Mr2 4 + Mh2 18 Halvkon Volym: π 6 r2 h Masscentrum: x cm = r π h z cm = 3h 4 y 1 y y 2 z Tröghetsmoment: I xx = I yy = 3 20 Mr2 + 3 5 Mh2 I x1x 1 = I y1y 1 = 3 20 Mr2 + 1 10 Mh2 r cm x I zz = 3 10 Mr2 I cm z = ( 3 10 1 ) π 2 Mr 2
10 1. MEKANIK Halvt koniskt skal Masscentrum: x cm = 4r 3π y cm = 2h 3 h Tröghetsmoment: I xx = I yy = Mr2 4 I x1 x 1 = I y1 y 1 = Mr2 4 + Mh2 2 + Mh2 6 z r cm x y I zz = Mr2 2 I cm z = ( 1 2 16 9π 2 ) Mr 2 y 1 Sfäriskt skal r z Tröghetsmoment: cm I zz = 2 3 Mr2 Sfär Volym: 4πr 3 3 Tröghetsmoment: r z I zz = 2 5 Mr2
1.15. EGENSKAPER HOS PLANA FIGURER 11 Halvsfär Volym: 4πr 3 6 Masscentrum: x cm = 3r 8 Tröghetsmoment: z r cm y I xx = 2 5 Mr2 I zz = 2 5 Mr2 x Halvt sfäriskt skal Masscentrum: x cm = r 2 Tröghetsmoment: I xx = I yy = Izz = 2 3 Mr2 z r cm y I cm x = I cm y = 5 12 Mr2 x Sfärisk sektor 2π 3 r2 h Sfäriskt segment Volym: πh 6 (3a2 + 3b 2 + h 2 ) 1.15 Egenskaper hos plana figurer Cirkelbåge Geometrisk centrum (C): x a = r sin α α α α r C x a
12 1. MEKANIK Halvcirkelbåge Geometrisk centrum (C): y a = 2r π ya C r Triangulär area Geometrisk centrum (C): x 1 c x 1 x a = c + b 3 x a C h y a = h 3 a y a a x b x Cirkulär sektor y Geometrisk centrum (C): x a = 2 r sin α 3 α x α α r C x y x a Fjärdedels cirkelskiva Geometrisk centrum (C): y x a = 4r 3π r C y a = 4r 3π x y a y x a x
2 Modern fysik 2.1 Relativitetsteori Relativistisk massa m rel = m 1 v2 /c 2 där m är vilomassan Relativistisk rörelsemängd p = m v 1 v2 /c 2 Relativistisk kinetisk energi ( ) K = mc 2 1 1 v2 /c 1 2 Total energi, viloenergi och rörelsemängd E 2 = ( mc 2) 2 + (pc) 2 Tidsdilatation t = t 0 1 u2 /c 2 Längdkontraktion l = l 0 1 u2 /c 2 Dopplereffekt för elektromagnetiska vågor f = f 0 c u c + u då sändaren avlägsnar sig från observatören f = f 0 c + u c u då sändaren närmar sig observatören 13
14 2. MODERN FYSIK 2.2 Kärnfysik Sammanfattning av olika sönderfallsprocesser α sönderfall A Z X A 4 Z 2 Y +4 2 He β sönderfall A Z X A Z+1 Y + e + ν Här är: X moderelement β + sönderfall A Z X A Z 1 Y + e+ + ν Y dotterelement Z atomnumret, protontalet γ sönderfall A Z X A Z X + γ A masstalet Elektroninfångning A Z X + e A Z 1 Y Massdifferens m = ZM ( 1 H) + Nm n A Z M (Z = atomnumret och N = neutrontalet) Bindningsenergi E B = mc 2 2.3 Kvantmekanik Tunneleffekt för barriär med höjden U 0 och vidden L. Tunnelsannolikheten T ges av T = Ge 2KL, där G = 16 E U 0 ( 1 E U 0 ), och K = 2m(U0 E) h
2.4. TEMPERATURSTRÅLNING 15 2.4 Temperaturstrålning Plancks strålningslag I(λ, T ) = 2πhc 2 c λ ( 5 e hc/λkt 1 ) = c 1 = 3, 7417749 10 16 Wm2 1 λ ( 5 e c 2/λT 1 ) där c 2 = 1, 438769 10 2 m K I(λ, T ) är delemittansen för våglängden λ för en fullkomligt svart kropp. 0.1 Delemittansen I, (W/mm 2 )/nm Wiens förskjutningslag di(λ, T ) dλ 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 6000 K 5000 K 4000 K 3000 K 0 0 500 1000 1500 2000 Våglängd, nm = 0 = λ m T = b där b = 2, 8978 10 3 m K λ m är den våglängd för vilken delemittansen har maximum. Stefan-Boltzmanns lag I(T ) = 0 I(λ, T )dλ = σt 4 där σ = 5, 6705 10 8 Wm 2 K 4 I(T ) är emittansen för en fullständigt svart kropp med temperaturen T. Kirchhoffs lag ε λ (λ, T ) = a λ (λ, T ) där ε λ är emissionstalet och a λ absorptionstalet. Emittansen från en icke-svart kropp I ε (T ) = ε(t )I(T ) Effekten P = I ε (T ) A
16 2. MODERN FYSIK
3 Termodynamik 3.1 Grunder Termodynamikens nollte huvudsats Två kroppar som var för sig är i termisk jämvikt med en tredje kropp, står även i termisk jämvikt med varandra. Termodynamikens första huvudsats Energi kan inte förintas eller nyskapas; den kan endast omvandlas mellan olika energiformer. Termodynamikens andra huvudsats Clausius: Det finns ingen cyklisk process vars enda resultat är att värme överförs från en kallare till en varmare kropp. Kelvin-Planck: Det finns ingen cyklisk process vars enda resultat är att värme från en enda värmekälla helt omvandlas till mekaniskt arbete. Termodynamikens tredje huvudsats (Nernsts värmeteorem) Entropin för en ren kristallin substans är noll vid absoluta nollpunkten 3.2 Temperatur och värme 3.2.1 Termisk expansion Längdutvidgning L = αl 0 T Volymsutvidgning V = βv 0 T 3.2.2 Värmeöverföring Ledning H = Q = dq dt = kadt dx H = Q = ka T H T C L H = Q = dq dt = A T R, där R = L k 17
18 3. TERMODYNAMIK Konvektion (allmänt) Newtons lag för värmeöverföring Strålning H = Q = dq dt = αa(t T omgivning), H = Q = dq dt = Aeσ(T 4 T 4 omg), där α är värmeövergångstalet där e är emissionstalet 3.3 Medieegenskaper Specifik värmekapacitet Q = mc T Fasomvandling Q = ±ml Ideala gaser Allmänna gaslagen pv = nrt pv = mr T Specifik värmekapacitet C v = 3 R monoatomär gas 2 Allmänt C v = 5 R diatomär gas 2 C p = C v + R γ = C p C v 3.3.1 Slutet system Första huvudsatsen U = Q W Inre energi du = nc v dt du = mc v dt Värmemängd Konstant p: dq = nc p dt Konstant V : dq = nc v dt
3.3. MEDIEEGENSKAPER 19 Volymändringsarbete W 12 = V2 V 1 pdv Isokor process V = 0; W = 0 Isoterm process T = 0; W 12 = nrt ln V 2 V 1 och U 12 = 0 för ideala gaser Isobar process p = 0; W 12 = p V = p(v 2 V 1 ) Adiabatisk process Q = 0; W 12 = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ) för ideala gaser T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2, p 1 V γ 1 = p 2V γ 2 för ideala gaser 3.3.2 Andra huvudsatsen Isolerat system ds 0, { ds = 0 för reversibla processer ds > 0 för irreversibla processer Generellt ds system + ds omgivning 0 Entropi för reversible processer ds = δq T S = S 2 S 1 S = S = 2 1 2 1 δq T δq 2 T = mcdt 1 T 2 1 = mc 1 T dt = mc ln T 2 för fasta eller flytande medier T 1
20 3. TERMODYNAMIK 3.4 Kretsprocesser Q = W för kretsprocesser Verkningsgrad e = W = 1 + Q C = 1 Q H Q H Carnotprocess Q C Q H T H Q H e Carnot = T H T C T H = 1 T C T H W Q C T C Köldfaktor K R = Q C W Värmefaktor K HP = Q H W = Q C Q H Q C = Q H Q H Q C T H Q H W Q C T C
4 Tabeller 21