Örebro univerie Iniuionen för Ekonomi, Saiik och Informaik Saiik C Handledare: Sune Karlon Examinaor: Sune Karlon VT 07 Säongrenning En komparaiv udie av TRAMO/SEATS och X- ARIMA Marin Odencran 7530 Fredrik Rahm 7506
Sammanfaning E yfe med iderieeori är a dekomponera en oberverad iderie Y i en umma icke oberverbara komponener. Dea komponener är Trend, Cykel, Säong, Kalendereffeker, Exremvärden am Irreguljära effeker. De finn vå olika eorier för dekomponering av iderier, modellbaerad dekomponering och icke modellbaerad dekomponering. De vå olika eorierna kiljer ig å i grunden. Den här uppaen yfar ill a uvärdera de vå äongrenningmeoderna TRAMO/SEATS och X- ARIMA am a äongrena iderien över den oala löneumman, vilken är en del av aiikproduken Löneummor arbegivaravgifer och preliminär A-ka (LAPS) producerad av SCB. X- ARIMA är e exempel på en icke modellbaerad meod medan TRAMO/SEATS är modellbaerad. Uvärderingen av de vå äongrenningmeoderna baerade på en imuleringudie där de vå meoderna jämförde med aveende på krierie idempoency. Här viade ig TRAMO/SEATS vara effekivare än X- ARIMA. Den äongrenade erien över den oala löneumman beräknade i åväl TRAMO/SEATS om X- ARIMA. Beräkningarna i den här udien är gjorda med öd av verkygen SAS, Demera, TRAMO/SEATS och Excel. Simuleringen av de ex äongmodeller vilka analyerade i imuleringudien är uförda i SAS. I SAS idenifierade även den modell viken låg ill grund för dekomponering av den oala löneumman, och äongrenningen genomförde i TRAMO/SEATS. För a kunna uföra dekomponeringen av den oala löneumman i TRAMO/SEATS gick vi en kur för Auguin Marvall, en av grundarna ill programme. Demera är en mjukvara vilken ger användaren möjlighe a dekomponera en iderie med aningen X- ARIMA eller TRAMO/SEATS. I Excel uförde de beräkningarna vilka låg ill grund för jämförele av idempoency mellan de vå meoderna. Excel använde även för a uföra beräkningarna vilka låg ill grund för Wilcoxon ecken rang e. Ovan nämnda äongrenningverkyg var obekana för o vid början av uppaen och mycke id har lag på a lära ig programvarorna.
Förkorningar AKU LAPS TRAMO/SEATS Arbekrafunderökningen Löneummor, Arbegivaravgifer och Preliminär A-ka Spank äongreningmeod X- ARIMA Amerikank dio DEMETRA ARMA ACF PACF AR MA ARIMA AIC SBC SSR Spank programvara innehållande flera äongrenningmeoder Auoregreiv Moving Average Auokorrelaionfunkion Pariell auokorrelaionfunkion Auoregreiv Moving Average Differenierad ARMA Akaike Informaion Crierion Schwarz Bayeian Crierion Summerade reidualkvadraer
Innehållföreckning. Inledning.... Syfe.... Avgränning....3 Daa.... Teori... 3. En iderie variaionkällor... 4. Saionarie... 5.3 A idenifiera en modell... 6.3. Teoreik auokovarian och auokorrelaionfunkion... 6.3. Pariella auokorrelaionfunkionen... 8.3.3 Spekrum... 8.4 Vi bru... 0.5 Skaning av auokovarian, auokorrelaion, pariell auokorrelaion och pekrum... 0.6 Sandardmodeller....6. Auoregreiv modell....6.. Föra ordningen auoregreiv modell... 3.6.. Random Walk... 5.6. Moving average modell... 7.6.. Föra ordningen moving average modell... 8.6.3 Auoregreiva moving average modeller... 0.6.3. ARMA(,)....6.4 Saionarie ranformaioner....6.5 Diagnoika e och krierier för a välja modell... 4.6.6 TRAMO/SEATS... 6.6.6. TRAMO... 6.6.6. SEATS... 8.6.7 X- ARIMA... 9.6.7. regarima... 9.6.9. X-... 30.6.0 Te för idempoency... 33.6.0. Wilcoxon ecken rang e... 34 3. Simuleringudie... 35 3. Simulerade äongmodeller... 35 3.. Jämförele av idempoency mellan TRAMO/SEATS och X- ARIMA... 36 3. Dikuion... 37 4. Säongrenning av löneumman... 39 4. Sudie av aionarie villkore... 40 4.. Originalerie... 40 4.. Logarimerad erie... 4 4..3 Idenifiering av modeller... 4 4..3. Originalerie... 4 4..3. Logarimerad erie... 44 4..4 Uvärdering av modeller... 45 4..4. Originalerie... 45 4..4. Logarimerad erie... 47 4..5 Slulig modellval... 48 4..6 Säongrenning med TRAMO/SEATS... 48 4..7 Säongrenning med X- ARIMA... 50 4. Dikuion... 5 5. Sluaer... 53 Referener... 54
6 Bilagor... 55 6. Bilaga... 55 6. Bilaga... 55 6.3 Bilaga 3... 56 6.4 Bilaga 4... 56 6.5 Bilaga 5... 57 6.6 Bilaga 6... 57 6.7 Bilaga 7... 58 6.8 Bilaga 8... 58 6.9 Bilaga 9... 59 6.0 Bilaga 0... 59 6. Bilaga... 60 6. Bilaga... 6 6.3 Bilaga 3... 6 6.4 Bilaga 4... 63 6.5 Bilaga 5... 64 6.6 Bilaga 6... 65 6.7 Bilaga 7... 66 6.8 Bilaga 8... 67 6.9 Bilaga 9... 68 6.0 Bilaga 0... 69
. Inledning Tiderier innehållande kvaraldaa uppviar ofa äongvariaioner, denna variaion kan beroende på erie vara or eller lien. Oave orlek å vållar den e vi bevär när man kall jämföra obervaioner i en iderie eller bedöma den långikiga renden eller konjunkurcykeln. Varje kvaral publicerar Saiika cenralbyrån (SCB) äongrenade iderier för e fleral variabler. All eferom eferfrågan på äongrenade daa ökar, ökar även krave på SCB a löpande producera fler äongrenade iderier. Vid SCB publicera reula från underökningen Löneummor Arbegivaravgifer och preliminär A-ka kvaralvi (LAPS). Serien uppviar e ydlig äongmöner med oppar för kvaral vå och fyra. E yfe med iderieeori är a dekomponera en iderie i komponenerna Trend-, Cykel-, Säong-, Kalender-, am Irreguljära effeker. Dea komponener benämn icke-oberverbara komponener. Huvudyfe med äongrenning är a eimera äongkomponenen och ubrahera denna från iderien för a få en klar bild över den långikiga uvecklingen för den uderade variabeln. De finn i huvudak vå meoder a bekriva de icke-oberverbara komponenerna. Den föra meoden eimerar de ingående komponenerna uan a använda ig av en aiik modell för a bekriva iderien. Meoden äg vara modellfri och e exempel på en modellfri meod är X-. X- uvecklade av US Bureau of Cenu och var den föra äongrenningmeoden med fäe på aiikbyråer run om i världen. X- inroducerade 965 och var reulae av e decennium uvecklingarbee vilke arade med Mehod-. X- är baerad på MA-filer av olika längd för a idenifiera de olika komponenerna. Vale av längd på filren kan pecificera av användaren och längden på filren är beroende av variaionen i den uderade erien. Yerligare uvecklingar reulerade edan i X- ARIMA. E alernaiv ill en modellfri meod är a använda ig av en modellbaerad äongrenningmeod. I en modellbaerad äongreningmeod pecificera en aiik modell vilken edan ligger ill grund i äongrenningen. TRAMO/SEATS är e exempel på Maravall, A (998),.55 Findley, D.F e.al..-5
en modellbaerad meod. TRAMO/SEATS är uveckla av Vicor Gomez och Auguin Marvall vid Spanka cenralbanken under 980-ale. Meoden bygger på a en ARIMAmodell anpaa ill den uderade iderien, denna dekomponera edan med hjälp av frekvenanaly. Då de vå meoderna eoreika grund kiljer ig förväna de ge olika reula när de illämpa. E ä a jämföra de vå meoderna är a uföra en imuleringudie där meoderna egenkaper uvärdera. SCB har bedrivi e iderieprojek vilke yfa ill a ge rekommendaioner kring äongrenning. SCB gör bedömningen a TRAMO/SEATS är a föredra vid äongrenning. 3. Syfe I den här uppaen kommer de vå äongrenningmeoderna X-ARIMA och TRAMO/SEATS a bekriva och uvärdera genom en imuleringudie. I imuleringudien udera iderier genererade från ex äongmodeller am vibru och dea erier kommer edan a äongrena med de vå ovan nämnda meoderna. Reulaen från de vå meoderna kommer a uvärdera. Vidare kommer erien för den oala löneumman a äongrena.. Avgränning Vid uvärderingen kommer krierie idempoency a använda. Idempoency innebär a då äongrenningmeoden illämpa på en redan äongrenad erie ka denna lämna erien oförändrad. 4 Vid äongrenning av den oala löneumman kommer den äongrenningmeod vilken uppviar bä egenkaper med aveende på idempoency a använda. I de båda meoderna ingår a finna en lämplig ARIMA-modell för a bekriva den underliggande proceen..3 Daa Ingående daa i imuleringudien kommer imulera i SAS. I SAS kommer ex proceer imulera och varje proce kommer a imulera 50 gånger och innehålla 00 obervaioner. 3 SCB (003),. 4 4 Maravall, A. (998),. 55
Vidare kommer den oala löneumman i priva ekor under perioden 988-003 a äongrena. I begreppe löneumma inbegrip föruom lönen ockå arbegivaravgifer och preliminär A-ka. Sammanällningen är en bearbening av maerial från Skaeverke (idigare Rikkaeverke). Redoviningen av avdragen A-ka och arbegivaravgif äger rum varje månad. A-ka, om dragi av under månaden, kall illamman med arbegivaravgifen på under månaden ugivna löner redovia och beala ill kaemyndigheen ena förfallodagen i närma påföljande månad. Skaedeklaraioner regirera och kommer via kaemyndigheer in ill Skaeverke varje månad. SCB: bearbeningar av kaedeklaraioner är en månalig oalunderökning av uppgifer från e adminiraiv regier. Reulaen illförlilighe är beroende av a uppgiferna från kaedeklaraionerna är rikiga och a SCB får illgång ill amliga kaedeklaraioner. Underlage granka och räa upp i de fall om de är nödvändig. Underäckningen orlek är okänd men bör vara mycke lien p.g.a. de kaemäiga urprung. För borfalle gör impueringar i de fall då föreag akna och om påverkar redoviningen i or uräckning. ex. för en vi branch. Reulaen publicera kvaralvi. Användare av aiiken är främ Finandeparemene, Rikbanken, Konjunkuriniue och SCB: enhe för naionalräkenkaper. 5. Teori I de följande avnie redogör för hur en iderie kan bekriva eoreik med ARMAmodeller am pecialfallen av AR-modeller och MA-modeller. Avnie behandlar även aionarie och aionarieranformaioner. Vidare via hur dea modeller kan idenifiera i både iddomänen och frekvendomänen. I iddomänen idenifiera modellerna med hjälp av proceen auokorrelaion- och pariella auokorrelaionfunkion. Med modell aver vi en funkion vilken bekriver den underliggande proceen om genererar en iderie. Då modellen idenifiera i frekvendomänen udera pekralähefunkionen. Den enare bekriv enda för a ge läaren en inuiiv föråele ill hur dekomponeringen av iderien i SEATS genomför. Vidare bekriv e anal diagnoika e och modellvalkrierier vilka genomför i yfe a uvärdera de eimerade modellerna. Avnie avlua med en bekrivning av TRAMO/SEATS och X--ARIMA, en bekrivning av ee för idempoency am Wilcoxon ecken rang e. 5 SCB (007) 3
. En iderie variaionkällor En iderie bekriver en variabel uveckling över id. Varje obervera värde i en iderie Y är umman av e anal icke oberverbara fakorer. Dea fakorer är Trend, Cykel, Säong, Kalendereffeker, Exremvärden am Irreguljära effeker. För en addiaiv modell kan en iderie Y kriva om umman av dea effeker 6 : Y = T + C + S + K + E + I () Genom a ubrahera äongkomponenen S från Y erhåll den äongrenade erien, dv. SRY = Y S = T + C + K + E + I () För en muliplikaiv eckna modellen Y = T C S K E I (3) Den äongrenade erien erhåll genom a dividera Y med äongkomponenen S. Y = T C K E I (4) SRY = S Vale mellan a använda en addiaiv eller en muliplikaiv modell avgör genom a udera erien äongmöner. Säongmönre i en muliplikaiv modell ökar med erien rend, jämför med en addiaiv modell där äongmönre är konan. 7 Med rend ave den långikiga uvecklingen i en iderie. Uvecklingen ana bero på rukurella förändringar i de bakomliggande fakorer om inverkar på variabeln. I uppaen är en ådan fakor yeläninguvecklingen vilken i hög grad inverkar på löneumman orlek. Den cyklika komponenen beror på periodika fakorer. Vad om kall räkna ill 6 SCB (003).. 5 7 Bowerman, B. B & O Connell R. (993).. 356 4
rend och cykel är ine hel give uan dea brukar ofa ammanföra ill komponenen rendcykel. Säongeffeker kan oraka av väder, iniuioner eller konumener beeenden ex julhandeln. Med kalendereffeker ave effeker vilka beror på ex anal arbedagar under en period. Även ammanäning av dagar under e kvaral ex anal måndagar och perioden längd i anal dagar ingår i begreppe kalendereffeker.. Saionarie Saionarie är e cenral begrepp inom iderielierauren. Med aionarie mena a en realiaion av en iderie Y, Y,,Y n kan dela upp i e anal idinervall å a de olika delarna har liknande aiika egenkaper. Mer preci beyder dea a den proce om generera iderien har aiika egenkaper om ine varierar över id. En proce med denna egenkap äg vara aionär medan en proce om ine uppviar denna egenkap äg vara icke-aionär. Om Y är en aionär proce å förändra ine de aiika egenkaper över id. Av dea följer a Y, Y, Y 3,, Y måe ha amma annolikhefördelning. Även den bivariaa fördelningen [ Y ], [ Y, Y ], [ Y, Y ],...[ ] Y, 4 5 3 6 Y, Y + 3 ka vara likadan. Deamma gäller för den rivariaa fördelningen ov. Sammanfaningvi äg en proce vara ark aionär, om för e godycklig anal idpunker,,, n fördelningen [ Y Y,... ], Y n, är oförändrad om idperioden kifa lika mycke för varje obervaion. Sannolikhefördelningen för en ark aionär proce är ålede oberoende av e kif av idperiod. 8 Sark aionarie är e väldig rik anagande, i prakiken använd vanligvi aionarie av ordning vå, även kallad kovarianaionarie. 9 En proce Y äg vara kovarianaionär om; ( Y ) = E( Y ) = µ [( Y ) ] = E ( µ ) E E E Y [ ] σ µ = (5) [( Y )( Y µ )] = E ( Y µ )( Y µ ) y [ j j ] γ µ =, j Sammanfaningvi äg en proce vara kovarianaionär om; 8 Wei, W.W.S. (990),. 6f 9 Ender, W. (995),. 68-70 5
. Proceen har amma vänevärde, µ, för alla idpunker.. Proceen har amma varian,, för alla idpunker. 3. Kovarianen mellan vå godyckliga idpunker, och, beror enda av (-), inervalle mellan idpunkerna och ine beroende av var på idaxeln de vå punkerna välj..3 A idenifiera en modell I följande avni inför eori för e anal vanlig förekommande andardmodeller. Auoregreiv modell av ordning p, [AR(p)], moving average modell av ordning q [MA(q)] am blandade auoregreiva moving average modeller av ordning p q [ARMA(p,q)]. Modellerna idenifiera genom a udera auokorrelaionfunkionen (ACF), pariella auokorrelaionfunkionen (PACF) och den pekrala ähefunkionen. Dea funkioner kan e om verkyg vilka använd för a idenifiera den bakomliggande proceen. Varje proce ger upphov ill e pecifik möner och genom a idenifiera dea möner går de a avgöra vilken yp av proce om generera erien. Nedan redogör för ACF, PACF am den pekrala ähefunkionen..3. Teoreik auokovarian och auokorrelaionfunkion Kovarianen mellan vå värden ge av: 0 γ ( ) ( Y, Y ) = E[ ( Y µ )( Y µ )] = cov (6) där anger förkjuningen mellan de vå idpunkerna. Auokovarianfunkionen för en aionär proce har följande egenkaper:. γ ( 0) = σ. γ ( ) γ ( 0) (7) 3. γ ( ) = γ ( ) Då är lika med noll ger ekvaion (6) a auokovarianen är lika med varianen vilke via av egenkap e ovan. Egenkap vå ovan innebär a kovarianen mellan vå idperioder 0 Wei, W.W.S. (990).. 0f 6
kilda med inervalle allid kommer a vara mindre än varianen. Egenkap re innebär a auokovarianfunkionen är ymerik. För en ekven av auokovarianer, =0, ±, ±, ±3,, definiera den auokovarian genererande funkionen om: ( ) = = γ B γ B (8) Där B benämn lagoperaor, B y =y -. Varianen för proceen, 0, är koefficienen för B 0. Kovarianen mäer ambande mellan vå värden vilka är eparerade av e inervall av längden. För e pecifik kan man bilda ( ) ( 0) γ ρ( ) = (9) γ () benämn auokorrelaionfunkionen för Y och denna använd vid idenifiering av lämplig modell. () kan kriva om ( ) cov[ ( Y, Y )] [ var( Y ) var( Y )] / ρ = (0) Auokorrelaionfunkionen har följande egenkaper:. ρ ( 0 ) =. ( ) ρ () 3. ρ ( ) = ρ( ) För varje, repreenerar () korrelaionkoefficienen mellan vå värden eparerade av e inervall av längden. För en kovarianaionär proce förväna korrelaionen mellan de vå uderade värdena a minka då ökar. Den auokorrelaion genererande funkionen definiera om: Wei, W.W.S. (990).. 0f 7
( B) = ( B) γ ρ = ρ B = () γ 0.3. Pariella auokorrelaionfunkionen Den pariella auokorrelaionfunkionen (PACF) kan e om e komplemen ill ACF. Skillnaden mellan de vå funkionerna är a effeken av alla mellanliggande värden mellan Y och Y - eliminera i PACF. Den pariella auokorrelaionen kan beräkna uifrån auokorrelaionfunkionen enlig: 3 φ = ρ φ = ( ρ ρ ) /( ) (3) ρ φ k +, k+ ρ k k+ j= = k φ ρ j= φ kj kj ρ k+ j j där φ φ φ j =,,,k k+, j = kj k+, k+ φk, k+ j När ACF och PACF använd för a idenifiera den underliggande proceen äger man a erien udera i iddomänen. En alernaiv meod ill a använda ACF och PACF vilken bekriver proceen variaioner i rigonomerika funkioner är frekvenanaly..3.3 Spekrum De primära yfe med frekvenanaly är a dekomponera en idvarierande funkion i en umma eller inegral av inu och coinu funkioner. 4 Dea gör med Fourier erier. Här redovia dea för a ge läaren en inuiiv föråele ill hur dekomponeringen i SEATS går ill. Wei, W.W.S. (990).. 5. 3 Ender, W. (995).. 8f 4 Brown, J.W & Churchill, R.V,. (00),. 89-9 8
Om Y är en aionär proce med auokovarianfunkionen och om auokovarianfunkionen är abolu ummerbar då exierar en Fourier ranformaion av, denna ge av: 5 f iω ( ω) = γ e π ω π π = π π (4) iω γ = f ( ω) e dω (5) f ( ω) har följande egenkaper.. f ( ω) är icke negaiv ( ω) f ( ω) f =.. f ( ω) = f ( ω + π ) därför är f ( ω) periodik med perioden och f ( ω) = f ( ω) funkionen är ymmerik. Eferom funkionen är ymmerik brukar de graf enda via för 0 ω π. 3. Från (5) erhåll varianen för Y om π ( ω) dω Var( Y ) = γ 0 = f (6) π Dea viar a pekrume kan olka om en dekomponering av varianen för en erie. Termen f ( ω) dω viar illkoe ill varianen för komponenen med frekvener i inervalle ω, ω + dω. En opp i pekrume viar e vikig illko ill varianen. 4. Ekvaionerna (4) och (5) viar a pekrume och auokovarianfunkionen bildar e Fourier ranform par, den ena funkion är unik beämd av den andra. Därför är iddomänanaly konien med frekvendomänanaly. De finn e amband mellan den auokovarian genererande funkionen och pekrume. Genom a kombinera (4) och (5) och definiionen av den auokovariangenererande funkionen, erhåll pekrume för proceen. f iω ( ω) = γ ( e ) π (7) Dea reula använd då pekrume för iderieproceer härled. 5 Wei, W.W.S. (990).. 3-4 9
.4 Vi bru En proce ( ) benämn en vi bru proce om den beår av en ekven av okorrelerade lumpvariabler med konan medelvärde E( )=0=µ, konan varian V( )= och =Cov(, - )=0 för alla 0. 6 Av dea följer a en vi bru proce är kovarian aionär med auokovarianfunkionen: γ γ = σ då = 0 = 0 då 0 (8) Och auokorrelaionfunkionen: ρ = ρ = 0 då = 0 då 0 (9) Och den pariella auokorrelaionfunkionen: φ = då = 0 (0) φ = 0 då 0 Och pekrume: 7 f ( ω) = π = γ e iω σ = π π ω π () vilke är en vågrä linje. Bidrage ill varianen för alla frekvener är ålede lika..5 Skaning av auokovarian, auokorrelaion, pariell auokorrelaion och pekrum I prakiken är medelvärde µ, varianen, auokovarianen (), auokorrelaionen (), den pariella auokorrelaionen och pekrume f() okända. Give n ycken obervaioner Y, Y,,Y n vill man ålede kaa de okända paramerarna. För varje idpunk ugör varje obervera värde Y enda e av alla möjliga ufall på proceen. Om vi kunde flya o illbaka i iden och kaffa en ny obervaion på proceen å kulle denna förmodligen kilja ig från den föra. Alla möjliga ufall för en proce benämn proceen enemble. I prakiken är denna okänd och man har enda illgång ill en realiaion av proceen. 6 Wei, W.W.S. (990).. 6 7 Ibid.. 44 0
Eferom enemblen är okänd går de ine a beräkna de anna parameervärdena uan dea måe kaa. Sickprovmedelvärde ge av: Y = n n Y = vilke ger en vänevärderikig kaning av µ. Eimaorn är även konien eferom ( Y ) 0 lim V = n. () Den kaade auokovarianfunkionen ge av: ( Y Y )( Y Y ) n γ = (3) n = Eimaorn är poiiv emidefini preci om ana vara. Auokorrelaionfunkionen (ACF) kaa med: γ ρ = (4) γ 0 ACF kan edan jämföra med olika eoreika alernaiv för a idenifiera den underliggande proceen. Den pariella auokorrelaionen kaa med: φ φ = ρ = ( ρ ρ ) /( ρ ) k ˆ ρ + ˆ k φ ˆ kjρ k+ j ˆ j= φ k +, k+ = (5) k ˆ φ ˆ ρ och j= k +, j = φ kj φk +, k+ φk, k + j kj j φ j =,,,k (6)
På movarande ä kan PACF jämföra med olika eoreika alernaiv för a idenifiera den underliggande proceen. Eimae av f() erhåll genom a eräa den med γ. f() kaa ålede med f ( ω) = (7) π Eferom iωk γ k e k = γ är aympoik vänevärderikig å är även ( ω) f vänevärderikig..6 Sandardmodeller I följande avni kommer vi a redogöra för auoregreiv moving average modell, ARMA (p,q), am för pecialfallen av denna, auoregreiv modell AR(p) och moving average modell MA(q). Vi kommer även via dea modeller karakeriika egenkaper i form av auokorrelaionfunkion, pariell auokorrelaionfunkion och pekrum am redovia aionarie ranformaioner..6. Auoregreiv modell En iderie benämn auoregreiv modell AR(p) om de nuvarande värde kan urycka med en linjär funkion av de p föregående värdena och en lumperm för innevarande idperiod. 8 y = a y +... + a p y p + ε (8) eller med anna krivä 9 : a ( B) ε p y = (9) p där a ( B) = ( a B a B... a B ) p p a i är den auoregreiva parameern om bekriver effeken på de nuvarande värde av en enheförändring i de föregående värde. För a modellen ka vara aionär ka röerna ill de karakeriika polynome: p a B a B... a p B 0 (30) = ligga uanför enhecirkeln. 0 Slumpermerna ana vara vi bru. Ordningen på modellen följer av anale idförkjuna värden om inkludera i denna. Om en lag inkludera benämn modellen AR(). 8 Wei, W.W.S. (990).. 3 9 Ibid.. 4 0 Ender, W. (995),. 47
.6.. Föra ordningen auoregreiv modell En föra ordningen auoregreiv modell AR(), kriv: y = a y + ε (3) eller ( a B) y = ε (3) För a modellen ka vara aionär kräv a röerna ill ( B) = 0 enhecirkeln. Sålede måe a <. a ligger uanför Auokovarianen ge av: γ = a γ, (33) Auokorrelaionen ge av: ρ = a = a, (34) ρ Pariella auokorrelaionen ge av: φ φ = ρ = 0, =, > (35) Den auokovariangenererande funkionen ge av: ( B) γ = σ (36) ( a B)( a B ) Spekrume ge då av : f ( ω) σ = (37) π ( + a a coϖ ) Nedan via eoreik auokorrelaionfunkion, pariell auokorrelaionfunkion och pekrum för modellen. Wei, W.W.S. (990),. 3f Wei, W.W.S. (990).. 44 3
( 0, 5B) y = ε (38) Roen ill ( B) = 0 a ligger uanför enhecirkeln, modellen är ålede aionär. Diagram : Teoreik auokorrelaion auokorrelaion 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 3 4 Lag Diagram : Teoreik pariell auokorrelaion pariell auokorrlaion 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,0 3 4 Lag Diagram 3: Spekrum 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0.5.5.5 3 Lag 4
Dea funkioner ligger ill grund för idenifieringen av den proce vilken genererade obervaionerna. De kaade funkionerna jämför med eoreika funkioner för a idenifiera den underliggande proceen..6.. Random Walk 3 Random walk proceen är e pecialfall av en AR() modell vilken ine är aionär. A den är e pecialfall kommer av a koefficienen a ä ill e. Tiderien vandrar då run uan a konvergera mo någo långikig medelvärde och förändringar i lumpermen ger en permanen förändring i erien medelvärde. Random walk beeende är karakeriik för ekonomika variabler åom växel- och akiekurer. För en random walk proce gäller: y = y0 + ε (39) i= i Vänevärde ge av: E( y ) = y (40) 0 Eferom a förändringar i lumpermer ger en permanen förändring i erien medelvärde blir de beingade vänevärde för Y +. + = y + E i= E y ε = y (4) Varianen ge av: V + i ( y ) V ( ε + ε +... + ε σ ) = = (4) Vänevärde för en random walk är konan men varianen är dock beroende av iden och då går varianen för y mo oändligheen. Kovarianen mellan y och y - ge av: γ = E = E[ ( y y0 )( y y0 )] = E[ ( ε + ε +... + ε )( ε + ε +... + ε )] ( ε ) + ( ε ) +... + ( ε ) = ( ) σ [ ] (43) Korrelaionkoefficienen ρ erhåll genom a dividera γ - med andardavvikelen för y muliplicera med andardavvikelen för y -. Då erhåll: 3 Ender, W. (995)..66ff 5
[( ) / ] 0, 5 ρ = ( ) / ( ) = (44) Ekvaion (44) är användbar för a idenifiera en icke-aionär erie. För de föra auokorrelaionerna kommer vara or i förhållande ill anale auokorrelaioner om bilda. För må värden på kommer kvoen (-)/ vara approximaiv lika med e. Men då ökar kommer ρ aka a ava. En vag avagande auokorrelaionfunkion är därför e ecken på a proceen är icke-aionär. Pariella auokorrelaionen ge av: φ φ = ρ = 0, =, > (45) Spekrume ge av 4 : σ f ( ω) = ϖ 0, π, 4π,.. (46) 4π ( coϖ ) Nedan via eoreik auokorrelaionfunkion, pariell auokorrelaionfunkion och pekrum för modellen. Diagram 4: Teoreik auokorrelaion auokorrelaion,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 3 4 Lag 4 Wei, W.W.S. (990).. 44 6
Diagram 5: Teoreik pariell auokorrelaion pariell auokorrelaion,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 3 4 Lag Diagram 6: Spekrum 40 0 00 80 60 40 0 0.5.5.5 3 Lag Spekrume för en random walk proce är ine definiera för ω = 0, π, 4π,.., πn En opp vid nollfrekvenen är ålede ockå e ecken på a en proce ine är aionär..6. Moving average modell En iderie benämn moving average modell MA(q) om de nuvarande värde kan urycka med en linjär funkion av de q föregående lumpermerna och en lumperm för innevarande idperiod. 5 y = ε β... ε ε β q q (47) eller y ( B) ε = β (48) där 5 Wei, W.W.S. (990)..46 7
β q ( B) = ( βb β B... β ) qb och i är moving average parameern vilken bekriver effeken på de nuvarande värde av en enheförändring i de föregående värde. De finn inga rerikioner på paramerarna vilka medför aionarie. Däremo finn de krav på paramerarna för a modellen ka vara inveribel. En MA(q) modell är inveribel om röerna ill: q β B βb... β qb = 0 (49) ligger uanför enhecirkeln. Slumpermerna ana vara vi bru. Ordningen på modellen följer anale idförkjuna värden om inkludera i modellen. Om en idförkjuning inkludera benämn modellen MA()..6.. Föra ordningen moving average modell 6 En föra ordningen moving average modell MA(), kriv: y eller y = βε ε (50) ( β B) ε = (5) För a modellen ka vara inveribel kräv a röerna ill ( B) = 0 enhecirkeln. Sålede måe β <. β ligger uanför Auokovarianen ge av: γ = ( + β ) σ ε = 0 γ = β σ ε = (5) γ = 0 > Auokorrelaionen ge av: β ρ = + β = ρ = 0 > (53) 6 Ibid..47ff 8
Pariella auokorrelaionen ge av: ( β ) β φ = ( ) (54) + β Den auokovariangenererande funkionen ge av: ( B) = σ ( βb)( βb ) γ ε (55) Spekrume ge ålede av 7 : σ ( ω) = ( + β β coω) f (56) π Nedan via eoreik auokorrelaionfunkion, pariell auokorrelaionfunkion och pekrum för modellen. y ( + 0,3B) ε = (57) Roen ill ( + B) = 0 β ligger uanför enhecirkeln och modellen är ålede inveribel. Diagram 7: Teoreik auokorrelaion auokorrelaion 0,3 0,3 0, 0, 0, 0, 0,0 3 4 Lag 7 Wei, W.W.S. (990).. 45f 9
Diagram 8: Teoreik pariell auokorrelaion pariell auokorrelaion 0,30 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00-0,05 3 4-0,0 Lag Diagram 9: Spekrum 0.3 0.5 0. 0.5 0.5.5.5 3 Lag För en AR() modell finn en pik i den pariella auokorrelaionfunkionen och e avagande möner i auokorrelaionfunkionen. Förhållande är de omvända för en MA() modell, vilke ockå yn i diagrammen ovan. Diagrammen ligger ill grund för idenifieringen av den proce vilken genererade obervaionerna. De kaade funkionerna jämför med eoreika funkioner för a idenifiera den underliggande proceen..6.3 Auoregreiva moving average modeller 8 En iderie benämn ARMA(p,q) modell om de nuvarande värde kan urycka med en linjär funkion av de p föregående värdena, de q föregående lumpermerna am en lumperm för innevarande idperiod. 8 Wei, W.W.S. (990)..56 0
y p q = ai y i ( iε i ) i= i= eller a p där β ( B) y β q ( B) ε β + ε (58) = (59) q p ( B) = ( βb β B... β β ) a p ( B) = ( a B ab... a pb ) qb Serien är ålede en linjär funkion av idigare värden och idigare lumpermer. Slumpermerna ana vara vi bru, dv. med vänevärde noll och konan varian σ am vara eriell okorrelerade. En ARMA-modell måe både vara aionär och inveribel för a illförlilig inferen kall kunna uföra..6.3. ARMA(,) 9 En ARMA(,) modell kriv om: y = a y β ε + ε (60) eller ( a B) y = ( β B) ε (6) Auokovarianen ge av: γ 0 γ = = ( + a aβ ) ( a ) ( a β )( a β ) ( a ) σ σ (6) γ k = aγ k k 9 Ibid..57-64
Auokorrelaionen ge av: ρ ρ k k = = k = 0 ( a β )( a β ) + β a β k = (63) ρ k = a ρ k k Auokorrelaionfunkionen för en ARMA(,) modell innehåller komponener från både AR och MA modeller. MA parameern uppkommer i beräkningen av. Efer uppviar funkionen amma möner om en AR() modell. Den auokovariangenererande funkionen ge av: ( B) ( + β B) ( + β B ) γ = (64) ( a B)( a B ) Spekrume ge av: ( + β B) σ ( + β B ) f ( ω ) = (65) π ( a B)( a B ).6.4 Saionarie ranformaioner Ekonomika ideriedaa karakeriera av röreler run en rend. Trenden kan vara deerminiik eller okaik. När iderien innehåller en rend kommer villkore om konan medelvärde ine vara uppfyll. För a illförlilig inferen kall kunna göra uför en differeniering eller rendrenning av daamaeriale beroende på om renden är okaik eller deerminiik. Trendrenning uför när renden är deerminiik. Då renden är okaik uför en differeniering. Programvaran TRAMO/SEATS illåer enda differeniering. Anledningen ill dea är a programvaran är uvecklad i yfe a äongrena ekonomika iderier. Dea ana ofa innehålla en okaik rend. E exempel på dea kan vara uvecklingen av löneumman där den poiiva uvecklingen ill vi del kan förklara av en poiiv uveckling av inflaionen. Inflaionen kan i in ur ana uveckla okaik. För a en generell ARIMA modell ka vara aionär och inveribel måe röerna ill de karakeriika ekvaionerna: p a B a B... a p B 0 (66) =
q βb β B... β qb = 0 ligga uanför enhecirkeln 30 E exempel på en icke aionär modell med en okaik rend är Random Walk modellen. ( B) y = ε (67) De karakeriika ekvaion ge av: B = 0 Roen ill ekvaionen ligger på enhecirkeln vilke medför a modellen ine är aionär. Men genom a bilda differenen y enlig: y = y y = ε (68) Så erhåll en vi bru proce, ålede är y aionär. En AR() modell är aionär om koefficienen a <. 3 På movarande ä finn de krav på koefficienerna för en AR() modell för a aionarievillkore ka vara uppfyll. Proceer vilka blir aionära efer en differeniering äg vara inegrerade av ordning e I(). 3 De kan även vara nödvändig a differeniera en proce d gånger, denna äg då vara inegrerad av ordning d I(d). Då daamaeriale uppviar e äongmöner kan de vara nödvändig a differeniera på laggar örre än e. I dea fall uför differenieringen enlig: d y = y y d (69) Då renden innehåller en deerminiik rend rendrena erien genom en linjär regreion av y på e polynom av lämplig ordning där iden är förklarande variabel enlig: y = a... n 0 + α + α + + αn (70) Där ordning på polynome beäm med -e eller F-e. Här ea aningen om en enkild parameer är ignifikan kild från noll, dea genomför med -e. Alernaiv kan en grupp av paramerar ea för a underöka om någon av eller några är kild från noll. Den eimerade renden ubrahera edan från orginalerien. 30 Wei, W.W.S. (990).. 3 3 Ibid..33 3 Wei, W.W.S. (990)..7 3
Vid udie av iderier är de vikig a använda ig av rä meod för a uppnå aionarie. Trendrenning då renden är deerminiik eller differeniering då renden är okaik. 33 Anag a en erie är rendaionär och är på formen: a ( B) y α + α + ε (7) p = 0 Där röerna ill (B) a p ligger uanför enhecirkeln och är på formen ε = β ( B) ε. I dea fall medför en rendrenning a erien blir aionär. Uför en differeniering blir reulae: a p ( B) y = α + ( B) β ( B) ε (7) Här blir reulae av en differeniering a e icke inveribel MA polynom inroducera i modellen. På liknande ä är de ine heller möjlig a ubrahera renden från en erie innehållande en okaik rend..6.5 Diagnoika e och krierier för a välja modell I prakiken är de eoreika medelvärde, varianen och auokorrelaionen okänd och dea paramerar eimera ålede från daamaeriale. Vid idenifiering av modell underök vilka auokorrelaioner och pariella auokorrelaioner om är ignifikana och uifrån dea välj edan modell. Under nollhypoeen a y är aionär med normalfördelade reidualer ge varianen för ρˆ av: 34 Var( ˆ ρ ) = T då = (73) Var( + ˆ ρ ) ˆ = ρ j T då > (74) j= där T är anale obervaioner. Dea varianeimaorer använd för a uföra e vilka avgör om en auokorrelaion är ignifikan. De är även möjlig a uföra e på koefficienerna i PACF. Under nollhypoeen a en AR(p) modell paar daamaeriale, allå a φ p + i, p+ i noll är varianen för eimaorn aympoik lika med T -. Med e or anal obervaioner är är 33 Ender, W. (995)..79f 34 Ender, W. (995)..86f 4
ρˆ normalfördelad med vänevärde noll och de är möjlig a underöka om någon auokorrelaion ρ är lika med noll. 35 Dea kan genomföra genom a.ex. bilda e 95 procenig konfideninervall för. Om konfideninervalle för den kaade korrelaionen ine omfaar noll finn de arka indikaioner på a den amma korrelaionen är kild från noll. Med e or anal kaade auokorrelaioner kan några av dem vara kilda från noll ro a de anna värdena i proceen är noll. Dea ignifikana auokorrelaioner har ålede uppå lumpmäig. I dea läge ea en grupp auokorrelaioner med Ljung-Box Q- aiika. 36 Q = T ( T + ) ˆ ρ /( T k) (75) k= k där T är lika med anale obervaioner och är anale korrelaioner om ea. Här ea nollhypoeen a auokorrelaionerna ρ ρ =... = ρ 0 mo = = alernaivhypoeen a min en är kild ifrån noll. Den ovan nämnda aiikan är aympoik χ -fördelad med frihegrader, där är anale eade auokorrelaioner. Då modellen paramerar är eimerade måe modellen uvärdera i yfe a underöka om modellen anaganden är uppfyllda. De grundläggande villkore är a reidualerna är vibru. I en eimerad modell är reidualerna εˆ eima av ε. De är ärkil vikig a reidualerna är okorrelerade. Skulle de finna ignifikan auokorrelaion i reidualerna eller reidualkvadraerna använder ine den eimerade modellen all illgänglig informaion beräffande förändringar i y ekvenen. Auokorrelaion i reidualerna och reidualkvadraer ea med amma meod om auokorrelaion i y. De är möjlig a de finn fler än en modell vilken paar ill den uderade erien. Två vanlig förekommande krierier för a välja ARIMA modell i de falle är Akaike Informaion Crierion (AIC) och Schwarz Bayeian Crierion (SBC). 37 35 Ibid..86f 36 Ibid..87 37 Ender, W. (995)..88 5
AIC = Tln(SSR)+n (76) SBC = Tln(SSR)+nln(T) (77) där n är anale eimerade paramerar (p+q+evenuell inercep) och T är anale använda obervaioner. Där SSR är den variaion den uppaa modellen förklarar. AIC och SBC använd edan för a avgöra vilken av e anal änkbara modeller om är a föredra. En modell A är bäre än en modell B då värde på AIC och/eller SBC är mindre för A än för B. Tanken bakom de vå krierierna är a raffa modeller där regreorer om ine förklarar någo inkludera d v eimering av yerligare en regreor medför a n ökar uan nämnvärd minkning av SSR..6.6 TRAMO/SEATS Säongrenning med TRAMO/SEATS uför i vå eg där TRAMO är e föreg ill SEATS. I TRAMO pecificera en regreionmodell var lumperm bekriv med en muliplikaiv ARIMA modell. De kaade regreioneffekerna ubrahera från erien. Den renade erien för edan över ill SEATS där den dekomponera..6.6. TRAMO 38 Give en iderie beående av n obervaioner Y, Y,,Y n kaar TRAMO regreionmodellen: y = x ' β + ν där x är en vekor beående av m regreionvariabler, kalendereffeker, evenuella nivåkifen am oulier. ( x x ) m (78) x =,..., (79) och ' β är en en vekor beående av m okända paramerar ( β ) β =,..., (80) β m och ν följer en ARIMA modell. En ARIMA modell är en differenirerad ARMA modell. TRAMO har en auomaik ökalgorim för auomaik idenifiering av ARIMA modellen men den kan även pecificera av användaren. I TRAMO är de möjlig a a hänyn ill följande regreioneffeker: 38 SCB (003) 6
. Addiaiva oulier, nivåkifen am emporära nivåkifen.. Anal arbedagar i perioden. 3. Anal dagar i perioden. 4. Påkeffek. Med oulier mena en effek vilken enda påverkar e pecifik värde i y. Lå y vara den oberverade erien och lå x vara movarande erie men fri från oulier. Där x kan bekriva av en ARMA(p,q) modell. 39 a p ( B) x β q ( B) ε = (8) En oulier definiera enlig: y y = x = x + ωi ( T ) T = T (8) och y = x ω a ( B) + I = ε ωi β ( B) + ( T ) p ( T ) q (83) En oulier påverkar ålede enda nivån på obervaion T. Anale arbedagar är beroende av anale helgdagar i de land och för den idperiod om erien obervera. I DEMETRA är de möjlig a välja kalender för e fleral länder, dea gör de möjlig a a hänyn ill anale arbedagar i de akuella lande. Användare kan även välja a lägga in egna helgdagar i de fall den förprogrammerade kalendern ine är fulländig. Påkeffeken ugör av anale dagar i påkhelgen. Då erien juera för evenuella kalendereffeker, oulier och nivåkifen för den renade erien över ill SEATS. 39 Wei, W.W.S. (990)..95f 7
.6.6. SEATS 40 Dekomponeringen ugångpunk är a ARIMA modellen från TRAMO är känd. SEATS illämpar modellbaerad dekomponering då de icke oberverbara komponenerna ka idenifiera. Anag a enda rend och äong ka idenifiera och a modellen är på formen ( B) ε 4 y = θ (84) 4 d Där = ( B ) De icke oberverbara komponenerna, rend, äong och irreguljär ka idenifiera å a dea ummerar ill ovanående modell. Fakorn 4 kan kriva 3 S där S ( + B + B + B ) = och =. Sålede kan modellen kriva om ill a beå av e AR polynom för renden, vilken repreenera av polynom för äongkomponenen om repreenera av S. Serien dekomponera ill y = p + + u (85) Där θ och e AR p, och u repreenerar rend, äong och irreguljär komponen. Om ordningen på ( B) < 5 erhåll följande modeller för komponenerna. p ( B) ε p p = θ (86) S ( B) ε = θ (87) Genom a illämpa 4 på båda idor av (85) erhåll ( B) ε p + θ ( B) + u θ ( (88) B) ε = Sθ p ε 4 Nu behöv koefficienerna för modellerna för de icke oberverbara komponenerna. Om ordningen på θ ( B) ä ill och ( B) p θ ä ill 3 å beår båda idor av MA(5) modeller. De okända komponenerna erhåll genom a äa AGF för V.L i (88) lika med AGF i H.L. Dea ger e ekvaionyem med 6 ekvaioner, de obeämda koefficienerna i yeme beår av de vå paramerarna i θ ( B) och de re paramerarna i ( B) p θ am varianen för ε p, ε am u. Eferom yeme beår av ex ekvaioner och åa obeämda är yeme underbeäm, yeme har ålede oändlig många löningar. Probleme med a yeme är underbeäm löe genom a maximera varianen för den irreguljära komponenen. Dea medför a e nollälle inroducera i repekive pekrum. Nollällena i pekrumen beyder a både θ ( B) och ( B) p θ innehåller enheröer och ålede är dea ine inveribla. Ovanående löning ill idenifieringen av de icke oberverbara komponenerna benämn kanonik dekomponering, av alla änkbara löningar ill 40 Keier, R. & Maravall, A.. 55f 8
ekvaionyeme å maximerar den kanonika löningen abilieen i rendkomponenen och äongkomponenen. Med ovanående meodik kommer de icke oberverbara komponenerna repekive pekrala ähefunkioner a kilja ig å. Trendkomponenen ugör den långikiga förändringen av erien med en pekralopp nära nollfrekvenen. Säongkomponenen har en pekralopp för äongfrekvenerna. Den lumpmäiga komponenen ka vara vi bru. Sålede ka de pekrum vara en jämn linje. Vid kaning av komponenerna prognoiera originalerien vå år framå och bakå i iden..6.7 X- ARIMA 4 Grunden för äongrenningmeoden X- ARIMA byggde 965 då The Cenu Bureau lanerade X-. X- var reulae av e decennium uvecklingarbee vilke började med Mehod-. X- blev nabb en populär meod och användningen pred ig ill aiikbyråer run om i världen. Under 980 lanerade en ny verion X- ARIMA. Meoden var en uveckling av X- och den öra uveckling låg i möjligheen a förlänga den uderade iderien framå och bakå i iden. Genom a förlänga iderien minka reviionen av den äongrenade iderien vilken uppkommer då nya daa publicera och erien äongrena på ny. X- ARIMA är en uveckling av X- ARIMA. Här ge möjligheen a juera den uderade iderien med regarima innan iderien dekomponera. I X- ARIMA är även de filer vilka använd vid dekomponeringen uvecklade och användaren kan välja bland fler filer än i idigare verioner. Nedan redogör för regarima am dekomponeringen med X-..6.7. regarima 4 I dea eg anpaa en ARIMA modell med e anal regreorer ill den uderade iderien. Modellen är uppbygd på amma ä om regreion modellen (78). Den renade erien förläng edan framå och bakå i iden genom a ARIMA modellen nedan kaa. 4 Findley, D.F e. Al..7-4 Findley, D.F. e. al..30-33 9
p ( B) Φ P ( B )( B)( B )( y xβ ) = θq ( B) ΘQ ( B ) a φ (90) där x är en vekor beående av m regreionvariabler, kalendereffeker, oulier och nivåkifen. ( x x ) x =,..., (9) och m ' β är en en vekor beående av m okända paramerar ( β ) β =,..., β m I (90) kan vara aningen 4 eller då man uderar en iderie med äongmöner. Polynomen ( B) φ, Φ ( ), θ ( B) och ( ) p P B q Θ har ordningen p, P, q repekive Q. Q B Då erien juera för regreioneffeker, oulier, nivåkifen och kalendereffeker am förläng framå och bakå i iden dekomponera erien med X-..6.9. X- En äongrenad erie i X- beräkna genom a e anal filer illämpa på den uderade erien. De illämpade filren beår av ymmerika äongfiler am ymmerika rend filer. Meoden är uppdelad i re eg. I de föra ege eimera preliminära komponener, i andra ege beräkna luliga äongfakorer och äongrenningen uför. I ia ege eimera rend och den irreguljära komponenen. De ymmerika äongfilrena i eg e och vå beräkna på amma ä. De beår av 3 ermer glidande medelvärden illämpade på glidande medelvärden med längd (n+). För månaddaa har äongfilre följande ueende 43 : n+ n+ n ( S + S + S ) + + 3x(n+ ) S = (9) 3 Där n n+ S = SI + j n + j= n och SI = Y T (93) 43 Findley, D.F. e. al..7f 30
Här beecknar Y variabeln värde vid idpunk och T beecknar en preliminär rendkaning vilken beräkna med (95). De ymmerika rend filrena vilka använd i eg vå och re är benämn Henderon rend filer. Vikerna i filre, h ( H + ) j, beräkna å a dea ka förändra med j å jämn om möjlig. 44 H j= H Där h j A A + j = + β + ν + 3 α γ (94) = Y S och S beecknar äongkomponenen vid idpunk. I (94) beecknar,, och paramerarna i e redjegradpolynom, vikerna h j i (94) välj å a renden ka eferlikna e redjegradpolynom. I X- ARIMA är de möjlig a välja rendfiler filer med udda längd (H+) 45. Seg (i) Preliminär kaning av renden via 3 ermer glidande medelvärde. T = Y 6 + Y 5 +... + Y +... + Y+ 5 + Y+ 6 (95) 4 4 (ii) Preliminär kaning SI kvoen ge av SI = Y T (96) (iii) Preliminär äongkomponen beräkna med lämplig filer.ex. 3 3 ermer glidande medelvärde () ( ) ( ) 3 ( ) ( ) S ˆ = SI 4 + SI + SI + SI + + SI + 4 (97) 9 9 9 9 9 44 Ibid. Appendix A 45 Ibid..9-3
(iv) Preliminär äongkomponen ge av ˆ () ˆ () ˆ () ˆ () = ˆ () S 6 S 5 S+ 5 S+ 6 S S + +... + + (98) 4 4 Den preliminära äongrenade erien ge av A ( ) = Y S (99) Seg (i) Beräkning av Henderon rend T = H i= H h (H + ) i A ( ) + j (00) (ii) SI kvoen beräkna enlig SI = Y T (0) (iii) Preliminär äongkomponen beräkna via lämplig filer beroende på graden av lumpmäighe. Vid hög variaion bör e filer av hög ordning använda. () ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) S ˆ = SI 36 + SI 4 + SI + SI + SI + + SI + 4 + SI + 36 (0) 5 5 5 5 5 5 5 (iv) Säongfakorer beräkna enlig ( ) ˆ () ˆ () ˆ () ˆ () = ˆ () S 6 S 5 S+ 5 S+ 6 S S + +... + + (03) 4 4 (v) Slulig äongrenad erie ge av 3
A = Y S (04) Seg 3 (i) Beräkning av lulig rend T 3 = H j= H h H + j A ( ) + j (05) (ii) Slulig irreguljär fakor ge av I 3 ( ) ( 3) = A T (06) (iii) Den eimerade erien ge av ( 3) ( ) ( 3) Y = T + S + I (07).6.0 Te för idempoency Idempoency innebär a då en äongrenningmeod illämpa på en redan äongrenad erie ka denna lämna erien oförändrad. I den här uppaen uvärdera idempoency genom a för varje modell uföra följande beräkningar:. Beräkna den kvadrerade killnaden mellan de äongrenade värde i eg e och de äongrenade värde i eg vå.. Beräkningen i eg uför för var och en av de 50 imulerade erierna. 3. För repekive erie ummera de kvadrerade avvikelerna. För varje modell och erie bilda ålede: 00 i= ( ) D = j=,,3,,50 j i i Där är äongrena värde i föra ege och är äongrena värde i andra ege. D / / och D j X ARIMA 4. Bilda j TRAMO SEATS / j=,,3,,50 där D j TRAMO / SEATS / är de ummerade kvadrerade avvikelerna för TRAMO/SEATS och D j X ARIMA / är de ummerade kvadrerade avvikelerna för X- ARIMA. 33
En äongrenningmeod A är bäre än en äongrenningmeod B om den ummerade kvadrerade avvikelen är mindre för A än för B. Differenerna i eg fyra kan underöka med Wilcoxon ecken rang e för repekive modell..6.0. Wilcoxon ecken rang e 46 Give a man har n ycken parade obervaioner (X i,y i ) å vill man ea hypoeen a fördelningen för X och Y är denamma mo alernaivhypoeen a fördelningarna kiljer ig å. Wilcoxon ecken rang e uför genom a för beräkna differenerna (D i ) för de n ycken paren. Differener lika med noll uelu och anale par vilka är med i beräkningen minka. Sedan rangordna de abolua värdena på differenerna där de läga abolua värde ge rang e, de nä läga ge rang vå o..v. Om vå differener är lika illdela dea medelvärde av de vå rangerna. Om vå differener är lika för rang re och fyra illdela dea rangvärde 3,5 och näföljande rangvärde blir då fem. När de abolua differenerna har illdela rangvärden beräkna rangumman för de negaiva differenerna och edan beräkna rangumman för de poiiva differenerna. Vid e dubbelidig e använd T, de läga av de vå värdena om eaiika, deo lägre dea värde är deo örre anledning finn de a ro a de vå fördelningarna kiljer ig å. För a genomföra e enkelidig e, d v a fördelningen för X ligger ill höger om fördelningen för Y, använd T - och nollhypoeen förkaa för låga värden på T -. Om man vill ea a fördelningen för Y ligger ill höger om fördelningen för X använd T + och nollhypoeen förkaa för låga värden på T +. Gräner vilka definierar förkaningområde för T finn abulerade för olika ignifikannivåer för e innehållande n ycken par. Då n är örre än 5 kommer T+ och T- vara approximaiv normalfördelad. E e där n är örre än 5 har följande rukur. 46 Wackerly, D.D. e. al..76ff 34
Wilcoxon ecken rang e: Nollhypoe: Alernaivhypoe: Teaika: ( ( ) ) n( n + )( n + ) / 4 H 0 : Fördelningen för X och Y är denamma. H a : Vid e dubbelidig e underök om de båda fördelningarna placering kiljer ig å. H a : Vid e enkelidig e underök om fördelningen för X ligger aningen ill höger eller ill väner om Y. + T n n + / 4 Förkaningområde: Vid e dubbelidig e förkaa H 0 om z z α / eller om z z α /. Vid e om fördelningen för X ligger ill höger om fördelningen för Y förkaa H 0 då z z. För a uppäcka e kif av fördelningarna i moa rikning förkaa H 0 om α z zα. 3. Simuleringudie I de följande avnie genomför en imuleringudie där de vå äongreningmeoderna X- ARIMA och TRAMO/SEATS uvärdera med aveende på idempoency. Då meoderna kiljer ig å i grunden, X- ARIMA är modellfri medan TRAMO/SEATS är modellbaerad, är de rolig a dea meoder ger olika reula då de använd. I yfe a uvärdera de vå meoderna kommer vi a äongrena e anal genererade erier med kän urprung. Euroa har uveckla programvaran Demera och i denna programvara finn både X- ARIMA och TRAMO/SEATS. Vid äongrenning av de imulerade erierna använd Demera. 3. Simulerade äongmodeller I SAS Time erie imulaion yem genererade 50 erier vardera från varje följande modeller: 4 ( 0,5B ) y = ε 4 ( 0,5B ) y = a0 + ε 4 ( 0,5B )( B) y = ε 35
4 ( 0,5B )( B) y = a0 + ε 4 ( 0,5B )( B) y = ( 0,5β ) ε 4 ( 0,5B )( B) y = a0 + ( 0,5β ) ε Där ε är vi bru. Varje erie beår av 00 obervaioner. Vid imuleringen av erierna använde lumpalfrön ill 50 för a generera de 50 erierna. 3.. Reula av idempoency mellan TRAMO/SEATS och X- ARIMA Idempoency för de vå meoderna jämför genom a uföra beräkningarna bekrivna i avni.6.0. Om TRAMO/SEATS idenifierar en modell liknande den om använ i dekomponeringen vid beräkning av äongrenade värden i eg vå kommer killnaden mellan de äongrenade värde i eg e och vå a vara lie. X- ARIMA kommer roligvi a ge e högre värde då killnaden mellan de äongrenade värde i eg e och vå beräkna. Anledning ill dea är a meoden borde idenifiera äong i eg vå även om orleken på denna borde vara mindre. Eferom de ummerade differenerna per modell borde vara högre för X- ARIMA än för TRAMO/SEATS am a SCB påvia a TRAMO/SEATS är effekivare jämför med X- ARIMA uför e enkelidig Wilcoxon ecken rang e för a uvärdera idempoency för de vå meoderna. Tee har följande ueende: H 0 : fördelningarna för d TRAMOSEATS och d X ARIMA är lika d H a : fördelningen för d TRAMOSEATS ligger ill väner om fördelningen för X ARIMA Där d TRAMOSEATS är umman av den kvadrerade killnaden mellan äongrenade erien ifrån eg och eg. Signifikannivå: =0,05 Teaiika: T n ( n( n + ) / 4) ( n + )( n + ) / 4 36
Beluregel: H 0 förkaa om Z 0,05 <,64. De femio erierna äongrenade med de vå meoderna och auomaik idenifieringprocedurer använde för båda meoderna. Därefer genomförde en ny äongrenning på de redan äongrenade värdena. Tabellen nedan viar värde på T -, värde på Z am p-värden för repekive modell. Tabell : Te av imulerade erier Modell T - Z p-värde Modell 0-6,53 <0,00 Modell 0-6,53 <0,00 Modell 3 36 -,660 <0,00 Modell 4 409 -,06 <0,00 Modell 5 44-5,79 <0,00 Modell 6 38-5,787 <0,00 Nollhypoeen a fördelningen för differenerna mellan de äongrenade värde i eg e och vå är lika för de vå meoderna förkaa för amliga modeller. Dea pekar på a TRAMO/SEATS med aveende på idempoency är effekivare än X- ARIMA. 3. Dikuion Simuleringudien baerade på ex äongmodeller, 50 erier imulerade från varje modell och varje erie innehöll 00 obervaioner. 00 obervaioner ger goda möjligheer för de båda programvarorna a idenifiera den underliggande proceen viken generera erien. De båda meoderna jämförde med aveende på egenkapen idempoency. Idempoency innebär, om vi idigare via, a då en äongrenade erie äongrena yerligare en gång, ka killnaden mellan de äongrenade värde i eg e likna de äongrenade värde i eg vå. För a kunna uföra en jämförele mellan de äongrenade värde i eg e och vå för repekive modell och för de vå meoderna beräknade ammanlag 00 äongrenade erier. En äongrenningmeod A är bäre än en äongrenningmeod B om värde på umman av de kvadrerade killnaderna mellan de föra äongrenade värde och de andra äongrenade värde är lien. Skillnaderna mellan de vå meoderna uvärderade med Wilcoxon ecken rang e för varje modell. SCB har bedrivi e projek med yfe a a fram rekommendaioner kring den meod om ka använda vid äongrening på SCB. Projeke kom fram ill luaen a TRAMO/SEATS är a föredra framför X- ARIMA. Denna 37
lua medförde a vi valde en enkelidig hypoe eade med Wilcoxon ecken rang e. Nollhypoeen a fördelningarna för differenerna mellan de äongrenade värde i eg e och vå var deamma för de båda meoderna förkaade för amliga modeller ill förmån för hypoeen a fördelningen för X- ARIMA ligger ill höger om fördelningen för TRAMO/SEATS. TRAMO/SEATS uppviade ålede bäre egenkap gällande idempoency jämför med X- ARIMA. Till grund för beräkningarna av idempoency för de imulerade modellera använde den auomaika idenifieringproceduren i både X- ARIMA och TRAMO/SEATS. Den auomaika idenifieringproceduren kaar de i modellen ingående paramerarna. E alernaiv ill a använda den auomaika proceduren kulle vara a låa de i modellen ingående paramerarna i eg e och edan använda den auomaika proceduren i eg vå. Sålede använd den imulerade modellen vid dekomponering i eg e. Tanken bakom a använda de kända parameerkaningarna i föra ege är a då dea är kända kulle äongrenning med dea ge den eoreik bä lämpade äongrenade erien. Då äongrenning med X- ARIMA enda är beroende av den ingående ARIMA modell ill en mindre del valde vi a enda använda den auomaika proceduren i båda egen. De imulerade erierna innehåller inga oulier, kalendereffeker eller nivåkifen. Samidig innehåller varje erie 00 obervaioner. I prakiken kan en iderie innehålla både oulier, kalendereffeker och nivåkifen, illfälliga eller permanena. Samidig innehåller ine allid en erie å många obervaioner. De kan vara på in pla a påpeka a imuleringudien ine peglar en verklig iuaion. De är möjlig a reulaen kan bli annorlunda vid imulering av erier innehållande färre obervaioner am a de imulerade erierna innehåller oulier, kalendereffeker och nivåkifen. Reulae av hypoeee viade enydig a TRAMO/SEATS med aveende på idempoemcy var effekivare än X- ARIMA. När man grankar de enkilda differenerna mellan äongrenad erie i eg och eg är de lående a killnaden i många fall var noll mellan obervaionerna om äongrena med TRAMO/SEATS. Vi fann ine en enda differen om var lika med noll med X- ARIMA. A differenen är lika med noll beyder a de auomaika modellvalkrierie i TRAMO/SEATS har lycka a idenifiera amma modell för äongeffeken i båda egen. 38