LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 2 / 68
Potenslagarna med reella exponenter Vi har följande räknelagar för a, b > 0 och x, y R: 1 a x a y = a x+y, 2 (a x ) y = a xy, 3 (ab) x = a x b x, 4 a x a = a x y, ( y 5 a ) x b = a x b. x Dessa måste du behärska! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 3 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 4 / 68
Exponentialfunktionen Med resultaten ovan är vi redo att definiera exponentialfunktionen f (x) = a x för a > 0 och x R. D f = R. V f = (0, ) = {y R : y > 0} = {x R : x > 0}, a 1. f (0) = 1 (a 0 = 1). f (1) = a (a 1 = a). f är strängt monoton om a 1. f är strängt växande om a > 1. f är strängt avtagande om 0 < a < 1. Om a < b så är a x < b x för x > 0 och a x > b x för x < 0 Hur blir det med a = 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 5 / 68
Exponentialfunktionernas grafer, olika baser 8 7 y=(1/2) x =1/(2 x )=2 x y=1 x y=2 x y=e x 6 5 4 3 2 1 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 6 / 68
Den naturliga exponentialfunktionen Definition Talet e är det tal som när vi har det som bas för exponentialfunktionen får en graf vars tangent i (0, 1) skär x-axeln i punkten ( 1, 0). Talet e = 2.718281828... är irrationellt. Decimalutvecklingen fortsätter alltså i all oändliget utan att upprepa sig. Det gäller att den naturliga exponentialfunktionens, e x (= exp(x)), har en graf vars tangent i punkten (x, e x ) har en tangentlinje med lutningen e x (e 0 = 1 så det överrensstämmer med definitionen). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 7 / 68
Exponentialfunktionernas grafer, basen e och andra 10 9 8 y=e x y=e x y=e 2x y=e x/2 7 6 5 4 3 2 1 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 8 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 9 / 68
Den naturliga logaritmfunktionen Eftersom den naturliga exponentialfunktionen är strängt växande finns till varje givet y > 0 ett x så att y = e x. Definition Låt y > 0 vara givet. Det tal x som löser y = e x kallar vi den naturliga logaritmen av y och vi skriver x = ln(y) (= e log(y)). Det gäller alltså att ln(x) = exp 1 (x), d.v.s. den naturliga logaritmen är den naturliga exponentialfunktionens invers. Annorlunda uttryckt har vi att ln(exp(x)) = x, x D exp = R eller exp(ln(x)) = x, x D ln = {x : x > 0}. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 10 / 68
Den naturliga logaritmfunktionens graf 3 y=ln(x) 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 11 / 68
Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 7 6 y=ln(x) y=e x y=x 5 4 3 2 1 0 1 2 2 0 2 4 6 8 10 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 12 / 68
Logaritm- och exponentialfunktionernas grafer 3 y=exp(x) y=ln(x) y=x 2.5 (a,exp(a))=(a,b) 2 1.5 1 (b,a)=(b,ln(b)) 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 13 / 68
Egenskaper hos den naturliga logaritmfunktionen D ln = (0, ) V ln = R ln(x) är en strängt växande funktion. ln(1) = 0 ln(e) = 1 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 14 / 68
Räkneregler för logaritmer Theorem Låt x, y > 0 och p R. 1 ln(xy) = ln(x) + ln(y) ( ) 2 ln 1 y = ln(y) ( ) 3 ln x y = ln(x) ln(y) 4 ln(x p ) = p ln(x) Dessa regler bör du kunna bevisa och absoulut kunna! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 15 / 68
Ett vanligt fel Det gäller i allmänhet inte att ln(a + b) = ln(a) + ln(b). FEL!!! Ett sådant räknefel ger stora avdrag på tentan. På överbetygsdelen kan det ge noll poäng på uppgiften. Övning: Undersök för vilka kombinatoner av a och b likheten faktiskt gäller. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 16 / 68
Allmänna logaritmer Mer generellt så vet vi att om a > 0, a 1 och y > 0 så finns det ett unikt x R så att y = a x. Det motiverar följande definition. Definition Låt a, y > 0. Det tal x som löser y = a x kallar vi a-logaritmen av y och vi skriver x = a log(y). De viktigaste logaritmerna är 2 log(x), e log(x) = ln(x) samt 10 log(x) = lg(x) (i boken, ibland är 10 log(x) = log(x).). Räknereglerna för den naturliga logaritmen gäller även för a-logaritmer. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 17 / 68
Egenskaper hos logaritmer Egenskaperna för den naturliga logaritmen gäller för a-logaritmer med lite modifikation. Da log = (0, ) Va log = R om a 1. a log är en strängt monoton funktion om a 1. a log är en strängt växande funktion om a > 1. a log är en strängt avtagande funktion om a < 1. a log(1) = 0 a log(a) = 1 Övning: Vilka motsvarande egenskaper gäller då 0 < a < 1? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 18 / 68
Konvertering mellan logaritmer med olika baser Theorem Med a, b > 0, a, b 1 gäller att a log(x) = b log(x) b log(a). Bevis. Om x = a y så gäller att a log(x) = y och b log(x) = b log(a y ) = y b log(a) = a log(x) b log(a) så satsen följer efter divison med b log(a). Studera vad detta innebär med a, b = 2, e, 10... F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 19 / 68
Tillämpningar av logaritmer Viktiga tillämpningar av 10-logaritmer för självstudier: Decibel. Viktigt bl.a. vid studier av förstärkare. (Se Ex. 4.16. ) ph. (Se Ex. 4.17.) Kan komma på tentan... F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 20 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 21 / 68
Gränsvärden Skapandet av differentialkalkylen är en av de största prestationerna i vetenskapens historia och och teorin bakom differentialkalkylen har haft ett stort inflytande på det vetenskapliga tänkandet 1 Differentialkalkylen är helt beroende av begreppet gränsvärde. 1 Håkan Blomqvist i Grundläggande analys för högskolestudenter. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 22 / 68
En liten motivering Betrakta den rationella funktionen R(x) = x2 1 x 1. D R = R \ {1} = (, 1) (1, ). Om x D R så är x2 1 x 1 = (x 1)(x+1) x 1 = x + 1. Funktionen h(x) = x + 1 har D h = R. Det gäller att h R ty D R D h. Men h(x) = R(x) för alla x D R (D R D h ). Om vi låter x D R närma sig talet 1 så kommer R(x) närma sig talet 2 = h(1). Om vi gör definitionen g(x) = så gäller att D h = R och h = g! { R(x), x 1 2, x = 1 Detta är möjligt då R har gränsvärdet 2 då x går mot 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 23 / 68
Grafen till R(x) = x 2 1 x 1 4 3.5 (x 2 1)/(x 1) x=1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figur: Funktionen är odefinierad i x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 24 / 68
Fler frågeställningar När x = 1 i föregående exempel fick vi att R(1) = 0 0. Vi kunde då utvidga definitionsmängden genom att sätta (Farligt!) 0 0 = 2. Det kan man absolut inte alltid göra! P.s.s. som innan så är 2(x2 1) x 1 funktionen blir 0 0 = 4. = 2x + 2 och om vi ska utvidga den Att betrakta det hela som att 0 0 har något värde är inte fruktsamt (det är dessutom farligt). Vi bör istället ställa oss frågan: Vilket värde närmar sig en funktion f (x) när x närmar sig a? Den frågan kan vi ställa oss även om f (a) är definierat. Om a D f men vi får uttryck på formen f (a) = 0/0, f (a) = ± / eller f (a) = ±( ) så kan gränsvärdet då x närmar sig a finnas. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 25 / 68
Informell definition av gränsvärde Vi säger att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a om f (x) kan fås att anta ett värde godtyckligt nära G om x är tillräcklig nära a. Vi skriver lim f (x) = G x a eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 26 / 68
Några exempel Det gäller att x 2 4 då x 2. Skriv x = 2 + h med 0 < h 1, dvs h nära noll. Då är x 2 = (2 + h) 2 = 2 2 + 2 2h + h 2 2 2 = 4 då h 0 d.v.s. då x 2. sin(x) Det gäller att lim x 0 x = 1. Man kan (och vi ska, senare) visa att cos(x) < sin(x) x < 1 om 0 < x < π/2. Vi vet att cos(x) 1 då x 0 så instängningsregeln (se nedan) ger påståendet! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 27 / 68
cos(x) < sin(x) x < 1 1.1 1 cos(x)<sin(x)/x< 1 for x close to 0 y=sin(x)/x y=1 y=cos(x) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 Figur: Funktionen sin(x) x är odefinierad i x = 0 men måste ha gränsvärdet 1 då funktionen är instängd mellan 1 och cos(x) 1 då x 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 28 / 68
Godtyckligt och tillräckligt nära Definition När vi säger att f (x) kan fås godtyckligt nära G så menar vi att vi kan välja vilket (litet) tal ɛ > 0 som helst och det finns ändå x D f så att f (x) G < ɛ. Definition När vi säger att x är tillräcklig nära a för att något påstående skall vara sant så menar vi att det finns ett δ > 0 så att påståendet är sant för alla x a som är närmare a än δ, dvs om 0 < x a < δ δ < x a < 0 0 < x a < δ a δ < x < a a < x < a + δ. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 29 / 68
Punkterad omgivning Definition En punkterad omgivning till talet a är en mängd Ḃ a,δ0 = {x : 0 < x a < δ 0 } där δ 0 > 0. Den punkterade omgivningen innehåller alltså inte a men alla andra tal tillräckligt nära a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 30 / 68
Formell definition av gränsvärde Definition Låt f vara en funktion och låt talet a ha en punkterad omgivning som tillhör D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett tal δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) G < ɛ, så säger vi att f (x) går mot G när x går mot a eller, alternativt, att f (x) har gränsvärdet G då x går mot a. Vi skriver lim x a f (x) = G eller f (x) G då x a. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 31 / 68
Illustration av gränsvärde. 9 8 funktionen f(x)=x 2 a=2 lim x >a f(x)=g=4 7 6 5 y=4+ε 1 4 y=4 ε 2 y=4 ε 2 3 y=4 ε 1 2 1 x=2 δ 2 x=2+δ 2 x=2 δ 1 x=2+δ 1 0 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figur: Illustration av den formella definitionen av gränsvärde. Om x tillhör den punkterade omgivningen (2 δ 1, 2) (2, 2 + δ 1 ) så är x 2 4 < ɛ 1. Om x tillhör (2 δ 2, 2) (2, 2 + δ 2 ) så är x 2 4 < ɛ 2. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 32 / 68
Räkneregler för gränsvärden Låt f, g, h vara funktioner med definitonsmängder D f, D g och D h och anta att a har en punkterad omgivning Ḃ(a, δ 0 ) D f D g D h. Antag att lim x a f (x) = A och lim x a g(x) = B. Då gäller att 1 lim x a (f (x) + g(x)) = lim x a f (x) + lim x a g(x) = A + B. 2 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = A B. 3 lim x a (f (x) g(x)) = lim x a f (x) lim x a g(x) = AB. f (x) limx a f (x) 4 lim x a g(x) = lim x a g(x) = A B om B 0. 5 f (x) g(x) lim x a f (x) lim x a g(x) A B. 6 (f (x) h(x) g(x)) (A = B) lim x a h(x) = A. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 33 / 68
Gränsvärde då x ± Definition Antag att f är en funktion sådan att för något tal M gäller att (M, ) D f. Om det för varje ɛ > 0 finns ett tal ω sådant att f (x) G < ɛ om x > ω så säger vi att f (x) går mot G, eller att f (x) har gränsvärdet G, då x går mot oändligheten. Vi skriver lim f (x) = G x eller f (x) G då x. Övning: Definiera gränsvärde då x går mot! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 34 / 68
y=g ε 2 x=ω1 x=ω 2 Illustration av gränsvärde i oändligheten 3 f(x)=exp( x) lim x f(x)=0 2.5 2 1.5 1 0.5 y=g+ε 1 y=g+ε 2 0 0.5 y=g ε 1 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figur: Funktionen exp( x) har gränsvärdet 0 då x. Om x > ω 1 så är exp( x) 0 < ɛ 1. Om x > ω 2 så är exp( x) 0 < ɛ 2 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 35 / 68
Höger- och vänstergränsvärde. Definition Antag att f är en funktion och att det finns ett δ 0 > 0 sådant att (a, a + δ 0 ) D f. Om det för varje ɛ > 0 existerar ett δ > 0 sådant att f (x) G < ɛ för alla x (a, δ) så säger vi att f har högergränsvärdet G i punkten a eller att f (x) går mot G då x går mot a uppifrån (från höger). Vi skriver lim x a + f (x) = G eller f (x) G då x a +. Ibland skrivs x a istället för x a +. Övning: Definiera begreppet vänstergränsvärde! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 36 / 68
Illustration av höger och vänstergränsvärde 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) f:s hgergrnsvrde f:s vnstergrnsvrde 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Figur: Funktion som saknar gränsvärde då x 0 men har ett vänstergränsvärde (0) och ett högergränsvärde (0.2). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 37 / 68
Oegentliga gränsvärden (f (x) ± ) Vi vill ibland slå fast att en funktion f antar hur stora värden som helst när x a. Därför inför vi följande begrepp. Definition Om det för varje N > 0 existerar ett δ > 0 sådant att om 0 < x a < δ så är f (x) > N så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot a och skriver lim f (x) = eller f (x) då x a. x a Definition Om det för varje N > 0 existerar ett ω > 0 så att f (x) > N om x > ω så säger vi att f (x) går mot oändligheten då x går mot oändligheten och skriver lim f (x) = eller f (x) då x. x F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 38 / 68
Ytterligare oegentliga gränsvärden Övning: Definiera vad som borde menas med lim x a f (x) =, lim x a + f (x) = ( ) lim x a f (x) = ( ), lim x f (x) =, lim x f (x) = ( ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 39 / 68
20 15 10 5 0 5 10 15 y=1/(x 1) y=1/ x+1 } y=e x y=x 3 x 20 3 2 1 0 1 2 3 4 1 Figur: Funktioner med oegentliga gränsvärden. x 1 saknar oegentligt gränsvärde i 1 x = 1 men lim x 1 + x 1 =, lim x 1 1 x 1 =. Det gäller 1 attlim x 1 1+x =, lim x e x =. lim x x 3 x 2 = och lim x x 3 x 2 =. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 40 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 41 / 68
Kontinuitet Låt f (x) = x 2. Vi har sett att lim x 2 f (x) = 4 = f (2). Det gäller för varje a D f = R att lim f (x) = x a a2 = f (a). Denna egenskap är inte så självklar som man först kan tro, men viktig, vi kallar en sådan funktion kontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 42 / 68
Kontinuerlig funktion i en punkt Definition Antag att f är en funktion och att a D f samt att det finns punkter i D f godtyckligt nära a. Vi säger att f är kontinuerlig i a om lim f (x) = f (a). x a Definition Om I är ett intervall sådant att I D f och f är kontinuerlig i varje punkt x I, då säger vi att f är kontinuerlig på intervallet I Definition Om f är kontinuerlig i varje x D f, så säger vi att f är en kontinuerlig funktion F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 43 / 68
Illustrationer av begreppet kontinuitet 80 70 f(x) g(x) Grafen till en kontinuerlig funktion f och en diskontinuerlig i x=1, g 60 50 40 30 20 10 0 10 20 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Figur: Funktionen f är kontinuerlig i varje punkt och varje intervall i sin definitionsmängd. Den är alltså kontinuerlig. Funktionen g är kontinuerlig i alla punkter utom x = 1. Den är således inte kontinuerlig, men väl kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller x = 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 44 / 68
Mer diskontinuitet 20 f(x) 15 10 5 0 5 10 2 1 0 1 2 3 4 Figur: Funktionen är diskontinuerlig i varje heltalspunkt. Den är kontinuerlig på varje intervall som inte innehåller något heltal. Särskilt är den kontinuerlig på varje intervall på formen (n, n + 1) där n Z. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 45 / 68
Höger- och vänsterkontinuitet Definition Om a D f och det finns punkter x < a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a så säger vi att f är vänsterkontinuerlig i a. Definition Om a D f och det finns punkter x > a : x D f som ligger godtyckligt nära a och lim f (x) = f (a) x a + så säger vi att f är högerkontinuerlig i a. Övning: Definiera höger-, respektive vänsterkontinuitet i ett intervall och höger- respektive vänsterkontinuerlig funktion! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 46 / 68
Illustration av höger- och vänsterkontinuitet. 2 1.5 Hgerkontinuerlig Vnsterkontinuerlig Varken h. eller v. kont. 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Figur: Tre funktioner med diskontinuitet. Den blå är höger- och den röda vänsterkontinuerlig. Den svarta är varken höger- eller vänsterkontinuerlig. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 47 / 68
Kontinuitet på slutna intervall Om f är en funktion med D f = [a, b] så säger vi att f är kontinuerlig på D f om den är (egentligt med vår definition) kontinuerlig på (a, b), högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b. Med bokens definition av kontinuitet behöver man inte göra denna omdefinition. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 48 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 49 / 68
Sekant 9 8 y=f(x) En sekant till f En annan sekant till f 7 (x+h 1,f(x+h 1 )) 6 5 4 3 2 1 0 (x+h 2,f(x+h 2 )) (x,f(x)) 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Figur: En sekant är en linje som skär en graf i två punkter säg (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 50 / 68
Derivata 30 y=f(x) tangent Sekant till f 25 20 15 10 5 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Figur: Derivatan till f (x) är gränsvärdet av lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) få h 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 51 / 68
Derivata 30 y=f(x) Sekant till f 25 20 15 10 f(x+h) f(x) 5 h 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Figur: Lutningen hos sekanten som skär (x, f (x)) och (x + h, f (x + h)) är f (x+h) f (x) h. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 52 / 68
Derivatans definition Definition En funktion f säges ha derivatan f (x) i punkten x som ges av f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h om gränsvärdet existerar. Om så är fallet säger vi att f är deriverbar i punkten x. En funktion som är deriberbar i varje punkt i ett intervall I säges vara deriverbar på I och om den dessutom är deriverbar i hela sin definitionsmängd så är den en deriverbar funktion. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 53 / 68
En deriverbar funktion är kontinuerlig Theorem Om en funktion f är deriverbar i en punkt x så är f kontinuerlig i x. Det innebär att om en funtkion är diskontinuerlig i någon punkt så är den inte deriverbar där. Det finns kontinuerliga funktioner som inte är deriverbara t.e.x. f (x) = x. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 54 / 68
Theorem Det gäller att Dx k = kx k 1 för alla reella tal k. Notera att Dx 0 = 0 och att det inte finns någon funktion på formen ax k som har derivatan x 1! Notera också att det är flera tryckfel i boken där detta behandlas! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 55 / 68
Kurvtangent och derivata Om en kurva är grafen till en deriverbar funktion f så ges dess tangent i punkten (x 0, f (x 0 )) av y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (Genom varje punkt går en och endast en linje med en bestämd lutning. Den givna linjen går genom den givna punkten och har rätt lutning! Se kapitel 7.3!) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 56 / 68
Höger- och vänsterderivator Med hjälp av höger- och vänstergränsvärden så kan vi definiera höger- och vänsterderivator. Definition Högerderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f +(x) och ges av f +(x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 + h Definition Vänsterderivatan av en funktion f i en punkt x betecknas med f (x) och ges av f (x) f (x + h) f (x) = lim. h 0 h F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 57 / 68
Deriverbarhet på slutna intervall När vi säger att en funktion är deriverbar på ett slutet intervall [a, b] så menar vi att den är deriverbar i varje inre punkt ( i varje x (a, b)) och högerderiverbar i a och vänstrederiverbar i b. Övning: Med bokens definition av gränsvärde behövs inte den här anmärkningen. Varför? F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 58 / 68
Deriveringsregler Theorem Om f och g är deriverbara i punkten x och C är ett givet reelt tal så gäller följande. 1 D (f (x) + g(x)) = Df (x) + Dg(x) ( summaregeln ) 2 D (f (x) g(x)) = Df (x) Dg(x) ( differensregeln ). 3 D (Cf (x)) = CDf (x). 4 D (f (x) g(x)) = (Df (x)) g(x) + f (x) (Dg(x)) ( produktregeln ). ( ) 5 D f (x) g(x) = om g(x) 0 ( kvotregeln ). (Df (x))g(x) f (x)(dg(x)) g(x) 2 6 D (f (g(x))) = f (g(x))g (x) ( kedjeregeln ). 7 Df 1 1 (x) = om f är inverterbar i en omgivning av f (f 1 )(x) y = f 1 (x). (Se nedan för en precisare behandling.) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 59 / 68
Derivata och inverterbarhet, inversens derivata Theorem Om f är en deriverbar funktion på ett intervall I och f (y) 0 om y I så är f inverterbar på I och dess invers f 1 är deriverbar. Om I är ett öppet intervall ges inversens derivata av Df 1 = 1 f (f 1 (x)) om x är bilden av något y I under f (y = f (x), x I ). F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 60 / 68
Outline 1 Lite repetition (och fördjupning) Potenser och rötter 2 Exponentialfunktionen 3 Logaritmer 4 Gränsvärden 5 Kontinuitet 6 Derivata 7 Viktiga derivator Potenser Exponentialfunktioner och logaritmer Trigonometriska funktioner Arcusfunktioner Logaritmisk derivering Implicit derivering F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 61 / 68
Potensfunktioner! Vi har sett att d C = 0, (1) dx d dx Cx n = ncx n 1 n Z. (2) Dessa resultat är specialfall av d 1 x = dx 2 x (3) d dx Cx α = αcx α 1 α R. (4) Vi skall visa detta med hjälp av derivator för exponetialfunktionen och den naturliga logaritmen! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 62 / 68
Exponentialfunktioner och logaritmer Det gäller att d dx ex = e x, (5) d dx ax = ln(a)a x, a > 0, (6) d dx ln x = 1, x 0, (7) x d a log x = 1, x 0, (8) dx x ln a F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 63 / 68
Trigonometriska funktioner Det gäller att d sin x = cos x, (9) dx d cos x = sin x, (10) dx d dx tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x, (11) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 64 / 68
Arcusfunktioner Det gäller att d dx arcsin x = 1, (12) 1 x 2 d dx arccos x = 1, (13) 1 x 2 d dx arctan x = 1 1 + x 2, (14) F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 65 / 68
Logaritmisk derivering Det gäller att Om d dx ln f (x) = f (x), f (x) 0, (15) f (x) f (x) = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) så är ln f (x) = ln g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) = ln g 1 (x) + ln g 2 (x) +... + ln g k (x). forts. på nästa sida. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 66 / 68
Det följer att f (x) f (x) = g 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) +... + g k (x) g k (x) varvid ( g f (x) = f (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) +... + g k (x) ) g k (x) ( g = g 1 (x) g 2 (x)... g k (x) 1 (x) g 1 (x) + g 2 (x) g 2 (x) +... + g k (x) ) g k (x) = g 1(x) g 2 (x)... g k (x) + g 1 (x) g 2(x)... g k (x) +...... + g 1 (x) g 2 (x)... g k (x). Detta är en generalisering av produktregeln. Tekniken med logaritmisk derivering är användbar även i tillämpningar! F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 67 / 68
Implicit derivering Beräkna lutningen för tangenterna till kurvan x 2 + y 2 = 1 i de punkter där y = 1 2. Sätt y = y(x) lokalt. Det måste gälla att d dx y 2 + x 2 = d dx 1 = 0 2yy + 2x = 0 y = x y. Det finns två x värden där y = 1 2 nämligen x = ± 1 2. I punkten ( 1 2, 1 2 ) har tangenten således lutningen 1 och i punkten ( 1 2, 1 2 ) har den lutningen 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 68 / 68