013-03-14 Tentamen i Meani SG1130, basurs. OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och srivdon får användas KTH Meani 1. Problemtentamen En ub med massa m står lutad mot en vertial sträv vägg och med stöd på ett horisontellt strävt golv. Bestäm den ritisa vineln " för vilen uben riserar att börja glida. Fritionstalet är µ mot både vägg och golv. Tyngdaccelerationen g är änd. (3p). En liten bil är på väg upp för ett bacrön. Bilen sa då rulla (utan rullmotstånd) den sista sträcan upp till rönet, som innebär höjdsillnaden H. Vilen högsta utgångsfart an bilen ha utan att risera att tappa ontaten med vägen på rönet, om röningsradien där är 3H/ Tyngdaccelerationen g är änd. (3p) 3. En rymdsyttel med massan m retsar ring jorden i en cirulär bana på höjden h över jordytan när den önsar övergå till en landningsellips som tangerar jordytan, dvs har ett minsta avstånd till jordens centrum lia med jordradien R. Detta görs med hjälp av en bromsraet som ritas mot färdritningen och som tänds en mycet ort stund. Beräna ändringen i inetis energi som inbromsningen medför. Tyngdaccelerationen g är änd. (3p) 4. En massa M släpps från höjden H ovanför en massa m, som i sin tur vilar på ett fjäder-/dämparesystem mot underlaget enligt figuren. Stöten blir fullständigt oellastis och de två lia dämparna är anpassade så att systemet blir ritist dämpat efter stöten. Bestäm dämpningsonstanten c så att svängningarna blir ritist dämpade. Bestäm för detta värde på c även den tid det tar tills fjädern är maxmalt sammantryct. Tyngdaccelerationen g är änd. (3p) Obs: Använd vetorstrec för vetorstorheter. Motivera införda evationer och symboler
SG1130 Meani, basurs 013-03-14 Teoritentamen 5. a) Ett tunt, homogent hyllplan (plana) med massan m är fäst i en led (gångjärn) i den vertiala väggen och hålls i horisontellt läge med hjälp av ett lätt, stelt stag. Staget är ocså ledad i väggen och stödjer planan i dess yttersta högra ände i en annan led. Alla leder är fritt vridbara i figurens plan. Frilägg hyllplanet (dvs identifiera och rita rafter på hyllplanet). Angreppspunter och raftritningar sall vara realistisa. b) Betrata en raft som angriper i punten r A. Bevisa att raftmomentet av raften med avseende på en punt r P inte ändras, om raften förflyttas från r A längs sin verningslinje till den nya angreppspunten r B. c) Formulera Newtons 3 lagar för en partiel. 6. a) Vila meanisa storheter an betratas som onstanta för en partiel som påveras av en centralraft? Definiera dessa. (p) b) En satellit befinner sig i sin bana ring jorden. I det läge som illustreras, rita i en figur accelerationsomposanterna a r och a n som pilar. 7. a) Härled momentlagen för en partiel. b) Härled effetlagen för en partiel. (p) 8. a) Antag att ett meanist system satisfierar svängningsevationen: x + x M + x = a, där, M, och a är onstanter. Avgör M dämpningstypen (odämpat, ritist, start, svagt) för systemet, samt ange jämvitsläget (p) b) Nämn två egensaper som ännetecnar en meanis resonans? /KET Obs: Använd vetorstrec för att betecna vetorstorheter. Motivera införda evationer
Problemlösningar SG1130 Meani, basurs 013-03-14 Lösningar: 1.. Lösning: Krafter ritas ut i det ritisa läget. Kraftjämvit ger: " N B # µn A = 0, " N A + µn B # mg = 0. Löser N A ur dessa: N A = mg 1+ µ (1). Momentjämvit moturs m a p ontatpunt B: N A Lcos" # µn A Lsin" # mgcos" L # mgsin" L = 0. Sätter in (1) i denna 1 och förenlar: 1+ µ cos" # µ 1+ µ sin" = 1 cos" + 1 sin". Dividerar med cos och 1" µ µ +1+ µ förenlar ytterligare: = ( 1+ µ ) ( 1+ µ ) tan#. En sista förenling ger svaret: tan" = 1# µ 1+ µ. Den ritisa farten på rönet inträffar då normalraftens storle N=0. Vi an använda Newtons :a lag och energiprincipen (ty ingen frition). På rönet verar då endast tyngdraften. e n : m v 0 = mg (på rönet), 3H / N: " v 0 = 3Hg. Utgångsfarten fås ur energiprincipen: 1 mv = 1 mv 0 + mgh " v = 7Hg. Obs: Använd vetorstrec för att betecna vetorstorheter. Motivera införda evationer
3. SG1130 Meani, basurs 013-03-14 Vi bestämmer farter i två banor, den cirulära och den elliptisa. Båda banorna har änd geometri, speciellt vet vi de ända storaxlarna (R+h) respetive R+h. Då vet man sattelitens totala energierna i banorna enligt den ända formeln: storaxelns längd betecnas a. Vi får i landningsellipsen: E e = " mgr. I den ursprungliga cirelbanan fås: R + h Fartändringen ser i ett läge där potentiella energin är: inetisa energierna: "T = "E = # mgr R + h + mgr R + h $ = #mgr R + h & %( R + h) R + h = #mgr h R + h ( ) # R + h ( R + h) ( R + h) ( )( R + h). ' ). ( V = " mgr R + h E = " mgr a, samma. Dvs, för, där E c = " mgr R + h. 4. Den nedersta massan i jämvit innan stöten. Den övre massan faller från höjden H, bara tyngdraften verar, och energiprincipen ger att dess fart omedelbart innan stöt blir v 0 = gh. Stötlagen ger därefter: " Mv 0 = ( M + m)v 1. Den gemensamma rörelsen börjar således i ursprungligt jämvitsläge med farten v 1. Inför x-axel nedåt med origo där fjädern är ospänd. Newtons :a lag: ( M + m) x = "x " c x + ( M + m)g. Vi får svängningsevationen: x + c x + x = g. Nya jämvitsläget, där svängningen inte börjar är då enligt ( M + m) ( M + m) 14 43 14 43 "# n # n Obs: Använd vetorstrec för att betecna vetorstorheter. Motivera införda evationer
SG1130 Meani, basurs 013-03-14 svängningsevationen x j = ( M + m)g. Nu sa svängningen vara ritist dämpad, dvs " =1, så att " n = c ( M + m) och " n =. Uträning av c ger c = ( M + m). ( M + m) Allmän rörelse: x( t) = ( M + m)g +exp (-" n t) [ B + Ct]. Begynnelsevilloren för rörelsen bestämmer B och C: B = " Mg och C = v 1 " Mg # n. Rörelsen är nu änd och ger hastighetsuttrycet x ( t) = [-" n B + C - " n Ct]exp( -" n t). Maxutslaget bestäms ur ravet att hastigheten blir noll. Dvs tiden t max = C "# n B # n C = v 1, där " $ Mg' n = ( M + m) och # n v 1 "# %& n () utgångsfarten v 1 = Mv 0 M + m = M gh M + m. Obs: Använd vetorstrec för att betecna vetorstorheter. Motivera införda evationer
5. a) Teoridelen SG1130 Meani, basurs 013-03-14 Krafter på hyllplanet inritade: mg= tyngdraft, L= stagets raft (normalraf), samt R= ledens raft (normalraft). Rimliga ritningar för jämvit är vitigt här ( ) # F respetive ( ) $ F. b) Definitionen av raftmoment ger M P = r A " r P M P " = r B # r P Sillnaden blir M P " M P # = ( r A " r B ) $ F. Om r A och r B ligger på samma verningslinje som raften så är vetorn r A " r B parallell med raften F. Kryssproduten för två parallella vetorer blir nollvetorn. Alltså M P = M P ". c) N1: En partiel förblir i rörelse med onstant hastighet om ingen raft verar på den. N: För en partiel gäller att ma = F, där partielns massa är m, dess acceleration a och raften som verar är F. N3: Krafter uppstår i par så att raftsumman är noll. def } 6. a) Rörelsemängdsmomentet H O = r " mv, där O är raftcentrum (origo), r är läget, m massan och v hastigheten. Om raften är onservativ är den meanisa energin E ocså onstant. (p) b) 7. a) Definitioner: Rörelsemängd p = mv, där v är hastigheten, rörelsemängdsmoment H O = r " p. Tids derivering ger H O = d( r " p ) = v " p + r " p dt = r " p, ty v och p är parallella. Newtons :a lag: p = F medför att r " p = r " F. Sammantaget fås momentlagen: H O = M O, där vi inför raftmomentet enligt definitionen M O = r " F. Obs: Använd vetorstrec för att betecna vetorstorheter. Motivera införda evationer
SG1130 Meani, basurs 013-03-14 b) Härledning: Newton : m v = F. Båda leden multipliceras scalärt med hastigheten Man får då: m v v = F v. Enligt definition är HL raftens effet P. VL är tidsderivatan av inetisa energin, ty d mv def regel " % } $ ' = d mv v dt # & dt ( ) = } m ( v v + v v regel } ) = m ( v v ) = m v v. def } Dvs T mv = P, där T =. (p) 8. a) Om man jämför x + x M + M x = a med x + "# n x +# n x = a, så ser man att dämpningsförhållandet är " = 1, dvs ett svagt dämpat system. Jämvitsläget är x = am. (p) b) Vid meanis resonans an (respons)amplituden bli mycet stor och fasen i svängningen riserar att plötsligt astas om till motfas relativt den yttre fasen (och vise versa). v. Obs: Använd vetorstrec för att betecna vetorstorheter. Motivera införda evationer