Kapitel 1 Inledning MMV025 Strömningslära Repetitionsfrågor (14 januari 2010) 1.1 Ge en praktisk definition av en fluids densitet. Illustrera med figur. 1.2 Diskutera och illustrera med diagram några tänkbara uppträdanden för icke-newtonska vätskor. 1.3 Utgående från normaltillstånd (1 atm, 15 C) och generellt för vätskor resp. gaser, hur inverkar tryck och temperatur på dynamisk resp. kinematisk viskositet? 1.4 Förklara kortfattat begreppet kavitation. Förklara speciellt varför kavitation ibland kan uppträda i ett strömningsfält. 1.5 Definiera alt. beskriv kortfattat (a) strömlinje, (b) partikelbana, (c) stråklinje. 1.6 Nämn två framstående forskare inom strömningslära verksamma (a) före 1800-talet, (b) under 1800-talet, (c) under första halvan av 1900-talet. Efternamn räcker. Ange för en ur varje grupp något väsentligt personligt bidrag till strömningslärans utveckling. Kapitel 3 Integralanalys 3.1 Låt B vara en godtycklig massberoende storhet och b samma storhet uttryckt per massenhet. För en fix (stillastående) och stel kontrollvolym med ett homogent inlopp (1) och ett homogent utlopp (2) lyder Reynolds transportteorem, vid stationära förhållanden: d dt B sys = (b ρ V A) 2 (b ρ V A) 1 Ange Reynolds transportteorem för en godtyckligt rörlig men stel kontrollvolym vid instationära förhållanden. Illustrera det konvektiva bidraget med en figur. 3.2 Ange impulsekvationen för en kontrollvolym med ett inlopp och ett utlopp vid stationär, endimensionell och inkompressibel strömning. Definiera ingående termer och storheter. Hur kan denna ekvation korrigeras vid kända hastighetsprofiler vid in- och utlopp? Bestäm korrektionsfaktorns värde β vid fullt utbildad laminär strömning i ett rakt rör med cirkulärt tvärsnitt. 3.3 Ange Bernoullis utvidgade ekvation (energiekvationen) tillämpad mellan två snitt i ett rör vid stationär, endimensionell och inkompressibel strömning. Definiera ingående termer och storheter. Hur kan denna ekvation korrigeras vid kända hastighetsprofiler vid in- och utlopp? Bestäm korrektionsfaktorns värde α vid fullt utbildad laminär strömning i ett rakt rör med cirkulärt tvärsnitt. 3.4 Acceleration för fluidpartikel relativt ett icke-accelerande koordinatsystem (inertialsystem): a rel = d2 R dt 2 + dω r + 2Ω V + Ω (Ω r) dt Vad representerar de två sista termerna? Illustrera ingående storheter i figur. Kapitel 4 Differentialanalys 4.1 Ett hastighetsfält är beskrivet i ett Cartesiskt koordinatsystem, (x,y,z). Använd kedjeregeln för att uttrycka den materiella (totala) accelerationen i en lokal och en konvektiv del. Förklara fysikaliskt vad de båda delarna betyder. 4.2 Visa att Ma 2 1 är ett nödvändigt villkor för approximationen inkompressibel strömning. Ange en ingenjörsmässig uppskattning av det Machtal över vilket strömningen måste betraktas som kompressibel. 1
4.3 (a) Definiera spänningstensorn σ ij uttryckt i komponenter av den viskösa spänningstensorn τ ij samt trycket p i ett strömmande medium. Vilken symmetriegenskap har normalt σ ij? (b) Illustrera spänningskomponenterna σ 11, σ 22, σ 12 och σ 21 i en figur (σ 12 = σ xy, o.s.v.). (c) Definiera τ xy för en Newtonsk fluid (Cartesiska koordinater). 4.4 Skriv ut kontinuitetsekvationen samt x-komponenten av impulsekvationen i ett Cartesiskt koordinatsystem vid inkompressibel strömning av en Newtonsk fluid med konstanta ämnesstorheter. 4.5 Betrakta tvådimensionell inkompressibel strömning i ett plan, V = (u, v, 0), där u(x, y), v(x, y). Definiera strömfunktionen ψ samt visa att ψ uppfyller Laplaces ekvation 2 ψ = 0 om strömningen är rotationsfri. 4.6 (a) Ange den allmänna definitionen av vorticitetsvektorn i en punkt. Skriv ut vektorns komposanter i cartesiska koordinater. Vad beskriver denna vektor fysikaliskt? (b) Hur kan ett strömningsfält som från början är rotationsfritt lokalt behäftas med rotation (vorticitet)? Ange minst två fysikaliska mekanismer. Kapitel 6 Strömning i rör och kanaler 6.1 Skissera hur trycket och hastighetsprofilens utseende varierar med avståndet från inloppet vid strömning i ett horisontellt rör (strömningen kan antas ske in i ett rör med ett avrundat inlopp som är helt under ytan). Ange ett approximativt uttryck på inloppsträckans längd vid laminär strömning. 6.2 Definiera Darcy-Weisbachs friktionsfaktor vid rörströmning. Hur bestäms tryckförlusten p.g.a. väggfriktion? Vad gäller allmänt för friktionsfaktorn vid fullt utbildad laminär strömning i rör med konstant men inte nödvändigtvis cirkulärt tvärsnitt? 6.3 Beskriv hur Moodys diagram (eller likvärdig formel) kan användas för att på bästa sätt bestämma tryckförlusten p.g.a. friktion över en viss rörlängd, vid fullt utbildad turbulent strömning i (raka) rör med konstant icke-cirkulärt tvärsnitt. Det förutsätts att uttrycket för friktionsfaktorn vid laminär strömning är känt. 6.4 Skissera i ett semi-logaritmiskt diagram hur den tidsmedelvärderade lokala hastigheten längs en fast vägg varierar (tvärs väggen) genom ett turbulent gränsskikt utan tryckgradient. Väggytan är (hydrauliskt) slät. Använd s.k. väggvariabler (+) vid skalning av axlarna (ingående storheter skall definieras). Markera olika områden (skikt) i diagrammet samt ange ev. samband för hastigheten i dessa. Hur inverkar (positiv och negativ) tryckgradient på profilens utseende? Hur inverkar ytråhet? 6.5 Härled m.h.a. massbalans, impulssatsen och Bernoullis utvidgade ekvation ett uttryck för engångsförlustkoefficienten K vid en plötslig areaökning i ett rör (stationär, inkompressibel och turbulent strömning). K skall baseras på förhållandena innan areaökningen. Ledning: Trycket över snittet med areaökningen kan betraktas som konstant. 6.6 Förklara detaljerat hur ett s.k. Prandtlrör (Pitot-static tube) fungerar samt härled ett uttryck på hastigheten. Ange ett approximativt villkor för att uttrycket skall gälla samt diskutera föroch nackdelar med denna metod att mäta lokal strömningshastighet. 6.7 Illustrera och beskriv två metoder att mäta volymflöde vid rörströmning. Metoderna skall bygga på olika principer. 6.8 Beskriv kortfattat metoden för att mäta lokal strömningshastighet m.h.a. varmtrådsteknik (HWA). Ange några fördelar och ev. nackdelar med HWA jämfört med någon annan metod. 2
Kapitel 7 Gränsskikt och omströmmade kroppar 7.1 (a) Definiera impulsförlusttjocklek θ för gränsskikt vid inkompressibel, 2-D strömning. (b) Integralanalys av en plan platta i tangentiell anströmning med konstant hastighet U ger c f = 2τ w /(ρu 2 ) = 2 dθ dx. För ett laminärt gränsskikt kan hastighetsprofilen grovt approximeras med en linjär funktion, u/u = f(η) = A + B η, där η = y/δ. Bestäm konstanterna A och B samt härled ett uttryck på c f som funktion av Re x = Ux/ν. Ledning: θ = δ/c, där C är en konstant och δ beror av x. 7.2 Redogör för hur hastighetsprofilens utseende nära en fast vägg vid tvådimensionell inkompressibel gränsskiktsströmning beror på rådande tryckgradient. Förklara dessutom varför avlösning endast är möjlig i områden med lokalt avtagande hastighet utanför gränsskiktet. 7.3 Definiera motståndskoefficient C D och Reynolds tal Re vid strömning kring en sfär. Beskriv detaljerat i kurvform hur C D för en slät sfär vid inkompressibel strömning beror av Reynolds tal. Med detaljerat menas att vissa värden på koordinataxlarna skall anges, lämpligast med logaritmisk skalning på bägge dessa axlar. Vilken asymptotisk funktion gäller då Re 1? Hur inverkar ytskrovlighet? 7.4 Hur förhåller sig motståndskoefficienten för en sfär resp. en halvsfär till varandra (halvsfären anströmmad mot sin runda sida)? Motivera svaret samt ange särskilt betydelsen av Reynolds tal. Strömningen som kropparna ger upphov till antas turbulent. 7.5 Härled integralvillkoret D(x) = ρ b U 2 θ(x) för ett plant gränsskikt utan tryckgradient (θ är impulsförlusttjockleken, x avståndet från framkanten, b plattans bredd och U hastigheten utanför gränsskiktet). 7.6 För ett tvådimensionellt gränsskikt vid inkompressibel stationär strömning kan rörelseekvationerna förenklas kraftigt genom storleksuppskattningar. Genomför detta och visa särskilt vad som gäller för tryckfältet. Rörelseekvationer vid försumbara effekter av gravitation: u x + v y u u x + v u y u v x + v v y = 0 1 p = ρ x + ν 1 p = ρ y + ν ( 2 ) u x 2 + 2 u y 2 ( 2 ) v x 2 + 2 v y 2 Gränsskiktstjockleken δ är mycket mindre än karakteristisk kroppsdimension L och ev. krökningsradie på kroppsytan; karakteristisk hastighet på stora avstånd U o ; Reynolds tal Re = U o L/ν får antas mycket högt. Introduktion till turbulens T.1 Beskriv kortfattat (minst) fyra karakteristiska egenskaper hos turbulens (fullt utvecklad turbulent strömning). T.2 Inför Reynolds dekomposition av hastighets- och tryckfältet samt genomför tidsmedelvärdering av kontinuitetsekvationen i Cartesiska koordinater (inkompressibel, stationär strömning). T.3 Betrakta ett turbulent tvådimensionellt gränsskikt, gränsskiktstjocklek δ. Antag att gränsskiktet kan delas upp i två delvis överlappande områden, ett väggnära område med mycket stora medelhastighetsvariationer vinkelrätt mot väggen, samt ett yttre område med små d:o. (a) Ange och definiera en karakteristisk hastighetsskala för turbulensrörelser genom hela gränsskiktet. 3
(b) Ange relevanta längdskalor (karakteristiska storlekar för energirika turbulensrörelser) i resp. område. Ange dessutom ett villkor som motiverar antagandet med uppdelning i två områden enligt ovan. (c) I det yttre området kan viskösa effekter försummas. Visa att medelhastigheten i ett överlappningsområde då borde variera logaritmiskt med avståndet från väggen (u = C 1 ln y + C 2 ). T.4 Definiera RMS-värdet av en storhet vars tidsmedelvärde är skild från noll (RMS = Root-Mean- Square). Skissa hur RMS-värdena av hastighetens fluktuationer i olika riktningar skalat med friktionshastigheten u varierar genom ett turbulent gränsskikt över en plan platta utan tryckgradient. Kapitel 8 Inkompressibel potentialströmning 8.1 Vid rotationsfri strömning ( V = 0) existerar den s.k. hastighetspotentialen φ. (a) Definiera φ samt härled en differentialekvation för densamma vid friktionsfri, rotationsfri och inkompressibel strömning. Vad kallas ekvationen? (b) Ange randvillkor för φ vid strömning kring en fast kropp utan inverkan av fria vätskeytor. (c) Hur bestäms tryckfältet p vid givet potentialfält φ? 8.2 (a) Definiera cirkulation Γ kring en sluten kurva C. (b) För en linjevirvel placerad i origo är v θ = K/r, övriga komposanter noll. Bestäm cirkulationen kring en kurva som omsluter denna virvel. 8.3 Den tvådimensionella potentialströmningen kring en cirkulär cylinder ges utav en superposition av en dubblet (ψ 1 = λr 1 sin θ) samt en parallellströmning (ψ 2 = U r sin θ). Bestäm: (a) hastighetsfältet (v r = r 1 ψ θ samt v θ = ψ r ), (b) radien a, (c) tryckfördelningen längs cylinderytan uttryckt som en tryckkoefficient C p = p p 1 2 ρ U, där p 2 är trycket på stora avstånd längs stagnationslinjen. 8.4 För en linjevirvel i ett plan gäller vid polära koordinater: v θ = K/r, v r = 0, där K = konst. är virvelstyrkan. Antag att hastighetsfältet för en tromb (tornado) i sina yttre (radiella) delar kan modelleras som en linjevirvel, i sina inre som en ren stelkroppsrotation (v θ = Cr, C = konst., v r = 0). Skissera hastighetsvariationen samt härled och illustrera hur trycket varierar med radiellt avstånd r från virvelns centrum med denna enkla modell. Ledning: Radiell impulsbalans ρ vθ 2 p /r = r 8.5 (a) Vid plan, inkompressibel potentialströmning kring en cylinder med centrum i origo och med cirkulation Γ är hastigheten längs kroppsytan (r = a): v θ = 2 U sin θ + Γ 2πa där U är den ostörda hastigheten på stora avstånd (polära koordinater r och θ). Visa (via integrationer) att strömningsmotståndet D är noll samt att lyftkraften per breddenhet L/b är ρ U Γ. OBS! 2π 0 (sin θ)2 dθ = π. (b) Beskriv grafiskt m.h.a. strömlinjer hur hastighetsfältet förändras med β = K/(U a), där K virvelstyrkan. Hur är K relaterad till Γ? 8.6 Formulera Joukowskys (Zhukovskiis) lyftkraftsteorem vid plan, tvådimensionell, inkompressibel potentialströmning. Definiera ingående storheter. Illustrera schematiskt i figur. 8.7 En långsträckt (AR ), symmetrisk och tunn vinge bibringas plötsligt en hastighet. Anfallsvinkeln är liten men skild ifrån noll. Beskriv hur strömningsfältet utvecklas med särskild betoning på strömningen kring vingens bakkant samt uppkomsten av cirkulation och därmed lyftkraft. 4
8.8 (a) Ange det s.k. Kutta-villkoret vid strömning kring tvådimensionella vingprofiler. Hur kan detta villkor motiveras fysikaliskt? (b) Betrakta en välvd tvådimensionell vingprofil (maximal tjocklek t C; maximal välvning h C, där C är kordan). Ange ett approximativt uttryck för hur lyftkraftskoefficienten C L varierar med anfallsvinkeln α då α 1. Ange även positionen för profilens aerodynamiska centrum (Center of Pressure, CP). Illustrera schematiskt i figur. 8.9 (a) Diskutera kortfattat och illustrera med figur hur lyftkraften på en ändlig vinge ger upphov till ett inducerat strömningsmotstånd. (b) Ange ett teoretiskt uttryck för lyftkraftskoefficienten C L vid små anfallsvinklar, elliptisk planform och givet vingspann/korda-förhållande AR (tunn vinge med liten välvning). (c) Skissera hur AR inverkar på C D och C L som funktion av anfallsvinkeln α. 8.10 Beskriv vad som menas med konceptet adderad massa ( hydrodynamisk massa ). Hur kan denna uppskattas vid känd potentialströmning kring en viss kropp? Ange utan härledning den adderade massan vid potentialströmning kring en sfär. Kapitel 9 Kompressibel strömning 9.1 Härled, via impuls- och massbalans, ett uttryck för hastigheten C för en tryckpuls med ändlig styrka som rör sig i ett stillastående medium. Vågfrontens utsträckning i strömningsriktningen är så liten att strömningen kan betraktas som endimensionell. Specialisera till infinitesimalt liten amplitud och adiabatiska förhållanden. 9.2 (a) Definiera stagnationstemperatur och stagnationstryck. (b) Härled sambandet mellan stagnationstemperatur T o, (statisk) temperatur T, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. (c) Härled sambandet mellan stagnationstryck p o, statiskt tryck p, k = c p /c v och Machtal Ma vid kompressibel strömning av en perfekt gas. 9.3 (a) Ställ upp ett komplett ekvationssystem som beskriver det termodynamiska tillståndet alldeles nedströms en stillastående stöt i ett munstycke vid endimensionell adiabatisk strömning av en perfekt gas. (b) Hur förändras stagnationstemperatur, Machtal, tryck, temperatur, densitet, entropi och stagnationstryck över en rak stöt enligt (a)? 9.4 Ett Lavalmunstycke är ansluten till en stor behållare med konstant tryck p o. Trycket utanför behållaren är p b (< p o ), det strömmande mediet är en perfekt gas. Strömningen kan betraktas som endimensionell, adiabatisk och friktionsfri. (a) Skissera tryckvariationen genom munstycket (samt strax utanför densamma) vid olika tryckförhållanden p b /p o. Markera speciellt var stötar resp. expansionsvågor kan tänkas uppträda. (b) Hur varierar massflödet med tryckförhållandet? 9.5 Vid adiabatisk strömning med friktion av en perfekt gas i ett rakt rör drivs strömningen mot soniska förhållanden, Ma = 1. Vid givet Machtal Ma 1 uppströms sker detta efter en viss kritisk längd L. Förklara i detalj vad som händer om rörets längd är större än den kritiska, L > L. Behandla separat fallen med under- resp. överljudshastighet uppströms. Observera att förhållanden vid sektion 1 kan ändras. Illustrera i figur. 9.6 (a) Beskriv geometriskt omlänkningen som sker vid en sned stöt. Markera speciellt stötvinkel β och omlänkningsvinkel θ. (b) Visa genom kontrollvolymsanalys att tangentialhastigheten inte förändras över en sned stöt. (c) Skissera sambandet mellan omlänkningsvinkel och stötvinkel i ett diagram med Machtalet Ma 1 som parameter (perfekt gas). Markera områden för rak stöt, svaga och starka stötar samt Machvågor. Hur påverkar Ma 1 maximal omlänkningsvinkel? Markera även linjen där Ma 2 = 1. 5
9.7 (a) Beskriv strömningsbilden kring en tunn långsträckt (bred) vinge med spetsig framkant i supersonisk strömning vid liten anfallsvinkel. Vingens tvärsnitt är prismatiskt (plana ytor). (b) Vid tillräckligt små θ och supersonisk tvådimensionell strömning gäller: p 2 p 1 = kma2 1 p 1 Ma 2 1 1 θ där index 1 svarar mot tillståndet innan omlänkningen (Ma 1 > 1). Härled härur approximativa uttryck på C L och C D för en plan platta vid små anfallsvinklar α och vid supersonisk strömning med Machtalet Ma. Plattans bredd b är mycket större än dess längd (korda) C. Kapitel 10 Strömning med fria vätskeytor 10.1 Härled uttrycket på utbredningshastigheten c för en ytvåg med amplituden δy i en öppen rektangulär kanal med bredd b och ostört djup y. Hastighetsvariationer över tvärsnitt försummas. Våglängden är mycket lång i förhållande till djupet (grunt vatten). Specialisera till fallet δy/y 0. 10.2 Betrakta endimensionell vattenströmning i en öppen (grund) kanal med konstant tvärsnitt (area A, bredd vid ytan b 0, hastighet V ). (a) Ange utbredningshastigheten c 0 för små ytvågor i denna kanal. Definiera Froudes tal. (b) Ange c 0 samt specifik energi E för det rektangulära tvärsnittet (b 0 = b, A = by). 10.3 Vatten strömmar med fri vätskeyta utefter en sluttande kanal med konstant tvärsnitt och djup. Kanalen är lagd med en viss lutning mot horisontalplanet, S o = tan θ (θ 1). Enligt Manning (1891) gäller 8g/f R 1/6 h /n, där hydrauliska radien R h är i meter och n är en konstant. Definiera R h samt redogör för hur flödet Q kan beräknas. Utgångspunkt: Bernoullis utvidgade ekvation. Hastighetsvariationer över tvärsnitt kan försummas. 10.4 Härled ett uttryck på det kritiska djupet y c vid givet volymflöde per breddenhet (q) i en öppen kanal med rektangulärt tvärsnitt. Visa att Froudes tal är ett vid detta djup (Fr c = 1). 10.5 Vatten strömmar horisontellt i en rak öppen kanal med rektangulärt tvärsnitt. Vinkelrätt mot strömningsriktningen och på botten av kanalen finns en långsträckt kulle ( bump ) med vertikal höjd (amplitud) h. Strömningen över kullen kan betraktas som endimensionell och förlustfri. Kullens höjd h samt hastighet och vattendjup uppströms är givet. (a) Härled ett implicit samband för vattendjupet vid toppen av kullen. (b) Beskriv vattenytans form över kullen vid olika h < h max samt olika värden på Froudes tal för strömningen uppströms (Fr 1 < 1 och Fr 1 > 1). Illustrera med diagram (djup y som funktion av specifik energi E). Christoffer Norberg, tel. 046-2228606 6