H Å L L FA S T H E T S L Ä R A

L I N D S T R Ö M ( R E D. ) U P P L A G A 1 - β P R O B L E M S A M L I N G H Å L L FA S T H E T S L Ä R A

Denna problemsamling är riktad till ingenjörsstudenter på teknisk högskola, och omfattar problem grundläggande hållfasthetslära. De flesta problemen är hämtade från samlingen Hållfasthetslära, problemsamling med svar och anvisningar, Volym 1, TRU, Stocksund 1977, och har sedan bearbetats. Problemsamling: Hållfasthetslära Stefan B. Lindström (red.) upplaga 1-β Copyright c 2017 Mekanik och hållfasthetslära, IEI, Linköpings universitet Omslagsbild: Projektion av ett rambärverk som representerar mikrostrukturen hos ett lågdensitetsmaterial av cellulosafiber.

Innehåll 1 Normal- och skjuvspänning 5 2 Materialmodeller 7 2.1 Linjär- och termoelastiska material 2.2 Elastiskt idealplastiska material 3 Vridning, cirkulära tvärsnitt 11 4 Balkteori 13 4.1 Snittstorheter 4.2 Normalspänning vid balkböjning 4.3 Skjuvspänning vid balkböjning 4.4 Elastiska linjens ekvation 4.5 Superposition av elementarfall 5 Elastisk instabilitet 21 5.1 Fjädermodeller 5.2 Axiellt belastade balkar 6 Fleraxliga tillstånd 25 6.1 Tvåaxliga tillstånd 6.2 Treaxliga tillstånd

4 7 Hookes generaliserade lag 29 8 Tjockväggiga rör 31 9 Flythypoteser 33 A Facit 35

1 Normal- och skjuvspänning Problem 1.1. Nedan visas en schematisk bild av en koppelstång till ett lokomotiv. Beräkna normalspänningen i tvärsnitten mitt emellan A och B, emellan B och C samt emellan C och D. Problem 1.3. Beräkna normalspänningarna i stängerna i nedanstående stångbärverk. Stängerna (1) till och med (5) har tvärsnittsarean 1000 mm 2, medan stång (6) har tvärsnittsarean 2000 mm 2. Det gäller att F = 50 000 N. Problem 1.4. En stång ABC, som är belastad med en kraft F enligt figur, är upphängd i en gångjärnsled och en vertikal lina. Beräkna spänningen i linan, vars tvärsnittsarea betecknas A. Problem 1.2. En rak homogen stång med tyngden Q, längden L och tvärsnittsarean A hänger fritt i sin ena ände. Bestäm normalspänningen i ett tvärsnitt på avståndet x från upphängningspunkten. Ange också den maximala normalspänningen (d.v.s. påkänningen) till storlek och läge.

6 problemsamling: hållfasthetslära Problem 1.5. En skylt med vikten 100 kg är upphängd vertikalt i tre länkar enligt figur. Bestäm normalspänningen i de tre länkarna om de har samma tvärsnittsarea 1 cm 2. Skyltens tjocklek kan försummas när jämviktsekvationen ställs upp. Måttangivelserna är i cm. Problem 1.8. En maskindetalj enligt nedanstående figur befinner sig i jämvikt. Bestäm diametern på stången AB så att normalspänningen i den blir 3 av skjuvspänningen i bulten vid D. Bultens diameter är 25 4 mm. Problem 1.6. En kraft F belastar en stång med rektangulärt tvärsnitt enligt figur. Stången är fastgjord med en sprint med diametern d. Bestäm medelskjuvspänningen i sprinten. Problem 1.7. Bestäm medelskjuvspänningen i niten för nedanstående nitförband då friktionen mellan plåtarna försummas. Diametern för den färdigslagna niten är 2,5 cm, vilket är samma som håldiametern. Beräkna också påkänningen, d.v.s. maximala medelnormalspänningen, i plåten. F

2 Materialmodeller 2.1 Linjär- och termoelastiska material Problem 2.1. En stav är sammansatt av tre delar enligt figur. Den utsätts för enaxlig dragning med kraften F. Beräkna stavens förlängning. Problem 2.3. Vid icke helsvetsad räl har man ett spel med jämna mellanrum för att rälen skall kunna röra sig fritt vid temperaturförändring. I annat fall kan s.k. solkurvor uppstå p.g.a. temperaturutvidgningen, se bild. Vid en viss temperatur är spelet noll. För materialet gäller E = 200 000 MPa och α = 11 10 6 / C. Hur stor normalspänning får man i rälen om temperaturen stiger ytterligare 35 C en varm sommardag? Problem 2.2. En stav består av två lika långa delar med olika tvärsnittsareor A respektive 2A enligt figur. Beräkna stavens förlängning på grund av sin egen tyngd, om den hänger vertikalt. Hela stavens massa är m. Problem 2.4. Stängerna i stångbärverket är tillverkade av ett material med längdutvidgningskoefficienten α. Beräkna förskjutningarna u x och u y i punkt A vid en temperaturhöjning T. y b x A 2b

8 problemsamling: hållfasthetslära Problem 2.5. En stav med cirkulärt tvärsnitt är inspänd mellan två fasta väggar så att normalspänningen i staven är σ 0 > 0. Staven består av ett termoelastiskt material (E, α). Beräkna normalspänningen i staven efter en temperaturhöjning T. Problem 2.8. Ett stångbärverk består av tre ledlagrade stänger enligt figur. Stängerna (2) och (3) är lika långa. Stängerna har lika stora tvärsnittsareor och är gjorda av samma linjärt elastiska material. Beräkna de stångkrafter som uppstår vid montering av modellen om mittstången före monteringen skjuter ut stycket utanför leden D. A, E, α L Problem 2.6. Ett förband består av ett rör (1) placerat mellan två horisontella stela ok med en genomgående bult (2). Vid temperaturen T 0 dras bulten till spänningen σ 0. Bestäm spänningen i bulten sedan anordningen värmts upp till temperaturen T. Försumma tjockleken hos de horisontella oken. Problem 2.7. En stel stav ABC är horisontellt upphängd i två vertikala elastiska linor BD och CE. Sträckorna AB och BC har lika längd. Gångjärnsleden vid A är friktionsfri. Hur mycket ökar dragkrafterna i linorna om staven belastas med en kraft F i sin mittpunkt?

materialmodeller 9 2.2 Elastiskt idealplastiska material Problem 2.9. Bestäm flytlastförhöjningen i stångbärverket i figuren. Stängerna är av samma elastiskt idealplastiska material och har lika stora tvärsnittsareor. Problem 2.11. Ett rör (1) och en axel (2) är sammankopplade enligt figur och spänningsfria då F = 0. Bestäm flytlastförhöjningen om båda materialen kan betraktas som elastiskt idealplastiska med olika flytgränser enligt diagram. Axelns tvärsnittsarea är dubbelt så stor som rörets, A 2 = 2A 1. Problem 2.10. En stav med cirkulärt tvärsnitt är spänningsfritt fastgjord mellan två fixa väggar vid rumstemperatur (20 C). Staven består av ett elastiskt idealplastiskt material med elasticitetsmodulen E = 210 GPa, längdutvidgningskoefficienten α = 12 10 6 / C och sträckgränsen σ s = 250 MPa. Temperaturen höjs till 200 C för att sedan sänkas till rumstemperatur. Beräkna normalspänningen i staven efter denna process. E, α, σ s L Problem 2.12. Tre stänger av elastiskt idealplastiskt material är monterade enligt figuren. Stängerna har samma tvärsnittsarea. Hur stor flytlastförhöjning fås vid belastning med en kraft riktad längs diagonalen?

10 problemsamling: hållfasthetslära Problem 2.13. Två tunnväggiga rör är hopkopplade via en stel platta enligt figur. Anordningen belastas med ett vridande moment. Vid vilket moment flyter anordningen om materialet är elastiskt idealplastiskt med flytgränsen τ s? Problem 2.16. En axel är spänningsfritt inspänd mellan två väggar vid rumstemperatur (20 C) enligt figur. Axelns material är elastiskt idealplastiskt med σ s = 200 MPa, E = 2,0 10 5 MPa och α = 1,2 10 5 / C. Beräkna den kvarvarande normalspänningen i den klenare delen om axeln först upphettas till 120 C och därefter får svalna till rumstemperatur igen. Under hela förloppet är avståndet mellan väggarna oförändrat. Problem 2.14. Bestäm de kvarvarande spänningar som uppstår för anordningen i problem 2.11 efter avlastning från nätt och jämnt genomplasticerat tillstånd. Problem 2.15. Efter avlastning i problem 2.14 appliceras en tryckbelastning. Bestäm med hjälp av diagrammet vilken tryckkraft som behövs för reverserad flytning respektive genomplasticering i tryck.

3 Vridning, cirkulära tvärsnitt Problem 3.1. En homogen axel har diametern 80 mm och längden 2,0 m. Hur stor blir den maximala skjuvspänningen och förvridningen p.g.a. ett vridande moment Mv = 3,6 kn m? Skjuvmodulen är G = 6,0 104 MPa. Problem 3.4. En cirkulär stav av linjärt elastiskt material är fast infäst i båda sina ändar. Staven är belastad med ett vridande moment M0 på avståndet L från den vänstra änden och på avståndet 2L från den högra änden enligt figur. Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor är K. Bestäm förhållandet M0 /ϕ, där ϕ är vridningsvinkeln vid momentpunkten. (M0 /ϕ är anordningens fjäderkonstant m.a.p. vridning) Problem 3.2. Axeln i problem 3.1 borras ur till halva sin längd med ett hål på 40 mm diameter. Hur stor blir den maximal skjuvspänning och förvridning nu? Problem 3.5. En axeltapp med diametern d = 8,0 cm belastas med ett vridande moment Mv enligt figur. Beräkna den fria ändens förvridning vid ett moment som ger skjuvspänningen τv = τv,max = 50 MPa i axeln för vilken skjuvmodulen är G = 8,0 104 MPa. Problem 3.3. En homogen axel med ett cirkulärt tvärsnitt på 60 mm diameter överför ett vridande moment. Maximalt tillåten skjuvspänning är härvid 40 MPa. Axeln skall ersättas med en röraxel vars ytterdiametern är dubbelt så stor som innerdiametern. Beräkna röraxelns dimensioner under förutsättning att den maximala skjuvspänningen är lika stora i båda fallen. Hur många procent lättare blir röraxeln? Hur mycket ändras axelns förvridning per meter om G = 8,0 104 MPa? Problem 3.6. En rundstav, tillverkad i ett material med konstitutivt samband enligt diagram, är utsatt för ren vridning. Inträdande plasticering uppträder vid Mv = Ms och fullplasticering vid Mv = Mf. Beräkna flytlastförhöjningen.

4 Balkteori 4.1 Snittstorheter Problem 4.1. Rita q-, T - och M-diagrammen för konsolbalken i figuren. Placera origo vid balkens fria ände med x-axeln åt höger. Problem 4.3. En skidåkare går över en L = 1,0 m bred isränna och står ett ögonblick med sina 90 kg så att benet är 30 cm från iskanten, medan åkaren lyfter den andra skidan. Rita upp tvärkrafts- och momentdiagram om stödkraften mot stavarna kan försummas. Problem 4.2. Rita q-, T - och M-diagrammen för en flygplansvinge med längden L = 5 m där vi antar att lyftkraften ökar linjärt från vingspetsen mot flygplanskroppen. Den totala lyftkraften är Q = 100 kn. Problem 4.4. Rita diagram över belastningsintensitet, tvärkraft och böjande moment för gaffeln på en gaffeltruck, som bär upp en låda med vikten Q placerad enligt figuren. Belastningsfallet idealiseras till en i högeränden fast inspänd balk med lasten Q jämnt fördelad över sträckan L 2.

14 problemsamling: hållfasthetslära Problem 4.5. En konsolbalk påverkas av lasten Q + 1 2 Q enligt figur. Bestäm tvärkraften T (x) och det böjande momentet M(x). Problem 4.6. En konstruktion består av en fritt upplagd balk ABC med en stelt anslutande del BDE. Rita T - och M-diagram för delen ABC. Placera origo i A med x-axeln åt höger. Problem 4.7. En fritt upplagd balk belastas med fyra punktkrafter enligt figur. Rita T - och M-diagram. Placera origo vid vänster ändpunkt med x-axeln åt höger.

balkteori 4.2 15 Normalspänning vid balkböjning Problem 4.8. En stång med cirkulärt tvärsnitt har diametern d och längden 8d samt påverkas av en vertikal kraft F i den nedre änden enligt figur. Stångens tyngd kan försummas. Bestäm stångens maximala vinkel αmax mot en lodlinje om normalspänningen skall vara positiv i hela stången. Problem 4.9. Betrakta den triangulära balkprofilen i figuren. För böjning i xz-planet, använd direkt integration för att beräkna (a) neutrallinjens läge e vid ren böjning, och (b) yttröghetsmomentet kring y-axeln. z h Problem 4.11. En rälsprofil förenklas enligt figuren. För böjning i xz-planet, beräkna (a) neutrallinjens läge e vid ren böjning, samt (b) yttröghetsmomentet kring y-axeln. Problem 4.12. Ett tunnväggigt rör med medelradien a och godstjockleken h a belastas med en last, så att dess resultant i ett tvärsnitt blir F riktad enligt figuren. Bestäm maximala dragspänningen i tvärsnittet. y e b Problem 4.10. En konsolbalk belastas i sin fria ände med en punktlast F, enligt figur. Balken har kvadratiskt tvärsnitt med varierande sidlängd H(x). Beräkna H(x) så att den maximala spänningen i varje tvärsnitt av balken blir σ0. Problem 4.13. En balk, som har rektangulärt tvärsnitt med bredden b och höjden h = 2b, belastas enligt figuren. Dimensionera balken om den högsta tillåtna normalspänningen sätts till 100 MPa.

16 problemsamling: hållfasthetslära Problem 4.14. En balk med T-format tvärsnitt är ledlagrad vid A och har ett rörligt stöd vid B samt uppbär last enligt figuren. Beräkna den maximala drag- och tryckspänningen i balken. Problem 4.15. Beräkna I y och W by för nedanstående tre profiler, som alla är symmetriska m.a.p. y-axeln. Jämför också massan per längdenhet för de tre profilerna.

balkteori 4.3 17 Skjuvspänning vid balkböjning Problem 4.16. Beräkna skjuvspänningen τxz (z) p.g.a. tvärkraften T för det rektangulära tvärsnittet i figuren. z Problem 4.19. En balk med T-tvärsnitt är sammansvetsad av två plattstänger enligt figur. Bestäm skjuvspänningen i svetsarna. Ingenjörspraxis säger att spänningsupptagande bredd för en svetssträng är dess a-mått, vilket i detta fall är a = 2 cm. T h y b Problem 4.17. En balk med tvärsnitt som i problem 4.16 belastas enligt figur. Försumma balkens egenvikt och bestäm maximum för skjuvspänningens belopp p.g.a. tvärkraften. Problem 4.20. En balk är hopsvetsad och belastad enligt figur. Bestäm den största skjuvspänningen i svetsmaterialet p.g.a. tvärkraften. L αl A B g m Problem 4.18. En linjärt elastisk balk med triangulärt tvärsnitt är upplagd och belastad enligt figur. Bestäm maximal drag- och tryckspänning samt maximal skjuvspänning på grund av tvärkraften. Vissa tvärsnittsdata är givna: Iy = 1 BH 3, 36 S(z) = B 3H b(z) = 2 H z 3 B H 2 2 H z, 3 1 H +z. 3

18 problemsamling: hållfasthetslära Problem 4.21. Beräkna skjuvspänningsfördelningen i det tunnväggiga tvärsnittet i figuren p.g.a. tvärkraften T. Problem 4.22. En balk är hoplimmad av två delar enligt figur. Den är fast inspänd i sin ena ände och belastas i den andra änden med en kraft F. Bestäm maximala värdet på F med hänsyn till skjuvpåkänningen i limmet, som inte får överstiga 7,0 MPa. Problem 4.23. Bestäm skjuvspänningsfördelningen på grund av tvärkraften T i det tunnväggiga tvärsnittet enligt figur. Ange skjuvspänningens maximum i tvärsnittets två olika delar.

balkteori 4.4 Elastiska linjens ekvation Problem 4.24. Ett tak över ytterdörren kan idealiseras till en konsolbalk. När det har snöat, är balken utsatt för en jämt fördelad last. Beräkna utböjningen w(x). Problem 4.25. En fördämning i en bäck är tillverkad av ett antal plankor ställda på varandra. Den översta plankan kan idealiseras enligt den övre figuren. (a) Hur stor är största utböjningen och var är denna belägen? (b) Hur mycket skulle största utböjningen ändras, jämfört med fall a, om hela kraften ansågs samlad till mitten, som i den nedre figuren? Problem 4.26. Framgaffeln på en cykel kan approximativt betraktas som en konsolbalk med längden L och den konstanta böjstyvheten EI. När man drar åt vingmuttern utsätts gaffeln för ett kraftparsmoment M1. Vilken blir vinkeländringen w0 (x) och utböjningen w(x)? Placera origo vid vingmuttern. Problem 4.27. Beräkna utböjningen för en flygplansvinges spets då den belastas av lyftkraften Q enligt figur. Modellera vingen som en balk med konstant tvärsnitt. 19

20 problemsamling: hållfasthetslära 4.5 Superposition av elementarfall Problem 4.28. En balk AB med böjstyvheten EI är fast inspänd i en vägg och i en stel kropp med massan m enligt figur. Beräkna balkens nedböjning δb vid B p.g.a. tyngdkraften. Problem 4.33. En gaffeltrucks lyftblad kan idealiseras enligt figur. Bestäm nedböjningen av bladet m.h.a. de tre elementarfallen i tabellen nedan. Antag att EI är konstant längs bladet och låt L1 = L2 = L. g B A m 1 2L L Problem 4.29. Beräkna reaktionskrafter och moment för vidstående balk. Problem 4.30. Man vill minska böjspänningen i en konsolbalk enligt figur a genom att placera en linjär fjäder som i figur b. Fjädern är obelastad då balken är obelastad. Hur stor ska fjäderkonstanten k vara för att σmax i balken ska minska till en tiondel av värdet i a? Balken är linjärt elastisk med böjstyvheten EI. Problem 4.34. En balk med elasticitetmodulen E, och ett rektangulärt tvärsnitt med bredden b och höjden h = 4b, är upplagd och belastad enligt figur, där Q är den utbredda lastens resultant. Bestäm den till beloppet största vertikala förskjutningen som förekommer längs balken. Q Problem 4.31. En elastisk konsolbalk med rektangulärt tvärsnitt är belastad enligt figur. Elasticitetsmodulen är E = 2,0 105 MPa, tillåten spänning är σtill = 100 MPa och tillåten utböjning är δtill = 2,0 mm. Hur stor bredd B hos tvärsnittet erfordras? Problem 4.32. En balk med böjstyvheten EI är upplagd och belastad enligt figur. Samtliga stöd medger rotation. Stöden vid B och C medger förskjutning i sidled, men inte i höjdled. Beräkna balkens lutningsvinkel θa vid A. P A B L L C L A B 4L C L

5 Elastisk instabilitet 5.1 Fjädermodeller Problem 5.1. Bestäm den största last P = P k för vilken anordningen i figuren återtar sitt odeformerade tillstånd efter en yttre störning i sidled. Det nedre stödet medger rotation men ingen förskjutning. Problem 5.3. Anordningen i figuren blir instabil för en viss last P = P k. Bestäm denna last. Fjädrarna har samma fjäderkonstant k. I övrigt är anordningen stel. Problem 5.2. En konstruktion består av två ledlagrade stela stänger AB och BC. Stödet vid A medger rotation och vertikal förskjutning. En fjäder med fjäderkonstanten k är fäst i punkten B. Fjädern är ospänd då punkterna A, B och C ligger längs en rät linje. Bestäm den last P = P k vid vilken konstruktionen blir instabil. Problem 5.4. En ram enligt figur består av tre ledat hopkopplade stela stänger. Ramen stöds av två långa fjädrar, vardera med fjäderkonstanten k. Den horisontella stången belastas med lasten P. Beräkna den kritiska lasten P k då ramen förlorar sin stabilitet och deformeras i papperets plan.

22 problemsamling: hållfasthetslära Problem 5.5. Vid uppställning av behållare för farligt avfall skyddas dessa mot jordskalv genom att de placeras på ett fjädrande underlag. Detta system kan idealiseras enligt figur. Antag att den cylindriska behållaren har diametern D, höjden H och tyngden Q, med tyngdpunkten i behållarens mittpunkt. Det elastiska underlaget har en fjäderkonstant k (kraft/volymsenhet). Bestäm det minsta värdet på fjäderkonstanten för vilket systemet är stabilt.

elastisk instabilitet 23 5.2 Axiellt belastade balkar Problem 5.6. Härled knäckkraften för Eulers fjärde fall, d.v.s. en i båda ändar fast inspänd sträva med längden L och böjstyvheten EI belastad med en axiell last P. Utnyttja därvid den allmänna lösningen w(x) = C 1+C 2x+C 3 sin(nx)+c 4 cos(nx), n = P EI, Problem 5.10. En en termoelastisk stav med längden L är ledlagrad i A. Vid temperaturen T 0 är spelet mellan dess fria ända B och en sträv vägg δ L enligt figur. Bestäm temperaturen T k då staven blir instabil p.g.a. axiell last. A för utböjningen hos en axiellt belastad balk. Problem 5.7. Beräkna det värde på P för vilket balken i figuren blir instabil. Stödet vid balkens mittpunkt medger rotation samt förskjutning i sidled, men inte förskjutning i höjdled. L E, I, A, α δ B Problem 5.8. En stagad mast enligt figur belastas vid A med en vertikal kraft P. Beräkna knäckvärdet för P om man antar att stagen är så kraftiga att punkterna A och B inte förskjuts i sidled. Problem 5.11. Bestäm knäcklasten för anordningen i figuren. Problem 5.9. Två parallella lika strävor är inspända i ett fundament och i en stel platta enligt figur. På plattan verkar en kraft P med sin verkningslinje mitt emellan de båda strävorna. Vid vilket värde för P blir anordningen instabil?

6 Fleraxliga tillstånd 6.1 Tvåaxliga tillstånd Problem 6.1. Vid ett plant spänningstillstånd är σ x = 40 MPa, σ y = 50 MPa och τ xy = 20 MPa. Bestäm huvudspänningarna med hjälp av Mohrs spänningscirkel. Problem 6.2. En stav med rektangulärt tvärsnitt är belastad med tryckspänning, σ x = σ 0, medan ingen annan spänningskomponent är nollskild. Betrakta detta som ett plant spänningstillstånd i xy-planet. Undersök vilken den maximala skjuvspänningen är och bestäm i vilket plan detta maximum uppstår. y Problem 6.4. En rombformad plåt ABCD är enligt figur utsatt för belastningar p 1 och p 2 [Pa] av sidparen AB, CD respektive BC, AD, så att p 1 verkar parallellt med BC och p 2 verkar parallellt med AB. Beräkna huvudspänningarna med tillhörande huvudspänningsriktningar i plåten. Speciellt antas att α = 45 och att p 1 = 2p 2. σ 0 z σ 0 x Problem 6.3. Följande spänningar är kända genom mätningar: σ x = 3,0 MPa, σ y = 3,0 MPa, τ xy = 4,0 MPa. Övriga spänningar är noll. Kan man vrida koordinatsystemet så att detta spänningstillstånd motsvarar ett rent skjuvspänningstillstånd, d.v.s. så att τ x y är den enda nollskilda spänningskomponenten? Om så är fallet, ange hur koordinatsystemet ska vridas och värdet på τ x y. Problem 6.5. Ett tunnväggigt rör med medelradien R ska tillverkas av en plåt med tjockleken h R. Plåtremsor limmas så att fogarna bildar spiraler med vinkeln 30 mot rörets längdaxel. Limmets vidhäftningsförmåga är betydligt sämre än limmaterialets eller plåtens hållfasthet. Detta gör att man vill beräkna den normal- och skjuvspänning, som råder i kontaktytan mellan plåt och lim. Vad blir dessa spänningar om röret överför ett vridande moment M v?

26 problemsamling: hållfasthetslära Problem 6.6. En sluten tunnväggig behållare utsätts för ett inre övertryck p och en axiell dragkraft F. Töjningen mäts med trådtöjningsgivare, varvid man i axiell riktning erhåller töjningen ε x = 0,090 %, medan man i tangentiell riktning erhåller ε ϕ = 0,155 %. Beräkna förhållandet F/(pa 2 ), där a är behållarens radie. Antag att materialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodulen E och Poissons konstant ν = 0,30.

fleraxliga tillstånd 27 6.2 Treaxliga tillstånd Problem 6.7. Spänningstillståndet i en punkt i ett belastat kontinuum är givet i form av spänningsmatrisen 30 10 20 σ = 10 40 60 MPa. 20 60 50 Beräkna spänningsvektorn s på ett snitt med normalriktningen n = 1 14 [1 2 3]. Problem 6.8. För så kallad enkel skjuvning ges förskjutningsfältet av u x = γ(y y 0), u y = u z = 0, där γ och y 0 är konstanter. Beräkna alla normal- och skjuvtöjningar. y deformerad y 0 z x odeformerad γ xy Problem 6.9. Ett volymselement utsätts för spänningar enligt figur. Beräkna huvudspänningarnas storlek och riktning. Problem 6.10. Töjningstillståndet i en punkt ges av ε x = 3,0 10 4, ε y = 1,0 10 4, ε z = 0, γ xy = 4,0 10 4, γ yz = 2,0 10 4, γ zx = 0. Beräkna huvudtöjningarna.

7 Hookes generaliserade lag Problem 7.1. Beräkna σ x, σ y och σ z i en punkt B i malmkroppen på ett djup av 800 m under ytan enligt figur. Bergtrycket i ostört berg är på horisontella snittytor hgϱ och på vertikala hgϱ/α. Här är h djupet under ytan, g tyngdaccelerationen, ϱ bergets densitet och α en dimensionslös materialkonstant. För gråberget antas gälla ϱ = 2700 kg/m 3, och för malmen gäller ϱ = 4500 kg/m 3, α = 5. Problem 7.3. En kub av ett linjärt elastiskt material, med elasticitetsmodulen E och Poissons konstant ν, är fast inspänd i z-riktningen, fri i x-riktningen och belastad med trycket p y i y-riktningen enligt figur. Beräkna (a) spänningar och töjningar, samt (b) det tryck p x som måste påläggas i x-riktningen för att kuben inte ska deformeras i x-riktningen. Problem 7.2. En stav med längden L och ett kvadratiskt tvärsnitt med sidan a är tillverkad i ett linjärt elastiskt material (E, ν). Hur stor blir stavens volymändring V om den belastas med en dragspänning σ enligt figur? σ y z x L a σ Problem 7.4. En kub tillverkad i ett termoelastiskt material (E, ν, α) passar precis i ett kvadratiskt hål med stelt omgivande material vid temperaturen T 0. Försumma friktionen mellan kubens och hålets ytor, och beräkna spänningarna i kuben vid temperaturen T > T 0. z y x y z x

30 problemsamling: hållfasthetslära Problem 7.5. Två kuber A och B med elasticitetsmodulerna E A respektive E B, men med samma Poissons konstant ν, är nedsänkta i en hålighet enligt figur. Omgivande material kan betraktas som stelt. Kuberna kan glida friktionsfritt mot varandra och mot omgivande material. De belastas med trycket p ovanifrån. Ange hur höjderna hos kuberna härvid ändras. Problem 7.6. En skiva av elastiskt material är limmad mellan två stela plattor. En spänning σ z > 0 pålägges. Limfogen är så stark att glidning inte förekommer i gränsytorna. Den elastiska skivans dimensioner i x- och y-riktningen är mycket större än dess tjocklek h. Beräkna den skenbara elasticitetsmodulen E = σ z/ε z uttryckt i E och ν.

8 Tjockväggiga rör Problem 8.1. En tunn skiva är utsatt för det yttre övertrycket p enligt figur. Beräkna spänningstillståndet i skivan, speciellt för a = 21 b. Problem 8.2. En cirkulär hålskiva av ett linjärt elastiskt material med elasticitetsmodulen E och Poissons konstant ν passar exakt i ett hål i en stel kropp. Bestäm kontakttrycket py, som uppkommer längs skivans ytterrand om dess innerrand belastas med trycket p enligt figur. Problem 8.3. En skiva i form av en cirkelring har ett stelt centrumparti. Beräkna ytterdiameterns relativa diameterändring b/b p.g.a. ett yttre övertryck p enligt figur. Skivans tjocklek är liten så att ett plant spänningstillstånd kan antas råda. Relativa diameterändringen b/b ska uttryckas i diameterförhållandet κ = a/b. Materialet är linjärt elastiskt med elasticitetsmodulen E och Poissons konstant ν. Problem 8.4. En tunnväggig cylindrisk hylsa krymps på en axel. Båda delar är av samma linjärt elastiska material med elasticitetsmodulen E. Det gäller att a är axelns radie, h a är rörets godstjocklek och δ h är det radiella greppet enligt figur. Bestäm kontakttrycket p mellan röret och axeln. Problem 8.5. En tunn skiva med ytterdiametern 4d ska krympas på en axel med diametern d, så att kontakttrycket blir p0. Beräkna erforderligt grepp δ, då både axeln och skivan är tillverkade i samma linjärt elastiska material (E, ν).

32 problemsamling: hållfasthetslära Problem 8.6. Två tjockväggiga cylindriska hylsor av lika längd passar exakt i varandra då de monteras. Hylsorna är av olika material enligt figur. Båda materialen är linjärt elastiska. Bestäm kontakttrycket p mellan hylsorna om temperaturen höjs med T [K] och α 2 > α 1. Problem 8.7. En cylindrisk kropp av linjärt elastiskt material är spänningsfritt monterad mellan två stela väggar enligt figur. Bestäm spänningen i axelriktningen om den cylindriska mantelytan belastas med ett tryck p enligt figur.

9 Flythypoteser Problem 9.1. Ett element belastas med spänningar enligt figur. Beräkna effektivspänningen enligt (a) Trescas flytvillkor, respektive (b) von Mises flytvillkor. Problem 9.2. Ett tunnväggigt cirkulärt rör av elastiskt idealplastiskt material är belastat med ett inre övertryck p och ett vridande moment M. För vilket värde på M uppstår plastisk deformation i röret om följande data gäller: p = 15 MPa, r = 50 mm, h = 5 mm, σs = 600 MPa. Utför beräkningen för både von Mises och Trescas flytvillkor. Problem 9.3. En axel av mjukt stål med cirkulärt tvärsnitt är utsatt för lika stora böjande och vridande moment M. Axelns diameter är 100 mm och flytgränsen är 300 N/mm2. För vilket värde på M börjar axeln deformeras plastiskt enligt (a) von Mises hypotes, respektive (b) Trescas hypotes. Problem 9.4. En i sin ena ända fast inspänd stång är krökt i rät vinkel i horisontalplanet och påverkas av en vertikal kraft enligt figur. Hur stor kan kraften vara innan flytning inträder enligt von Mises hypotes, då d = 4,0 cm, a = 64 cm och σs = 250 MPa?

34 problemsamling: hållfasthetslära Problem 9.5. I den fria änden av en konsolbalk med homogent rektangulärt tvärsnitt angriper två vertikala krafter enligt figur. Balkens tjocklek är h = 10 mm och dess material är elastiskt idealplastiskt med flytgränsen σ s = 300 MPa. Bestäm värdet på P så att tvåfaldig säkerhet mot flytning erhålles enligt von Mises hypotes. Skjuvspänningar på grund av tvärkrafter behöver inte beaktas. Problem 9.6. Ett tunnväggigt cylindriskt rör av elastiskt idealplastiskt material (E, ν, σ s) är inbyggt mellan två stela väggar med konstant inbördes avstånd enligt figur. Röret belastas med ett inre övertryck p. (a) Beräkna reaktionskraften P samt huvudspänningarna vid elastiskt tillstånd. (b) Beräkna vid vilket tryck p som flytning inträder enligt von Mises flythypotes. Problem 9.7. Ett öppet cirkulärcylindriskt tjockväggigt rör, med innerradien a och väggtjockleken h = a, är tillverkat av ett elastiskt idealplastiskt material och belastas med ett inre övertryck p. Rörmaterialet börjar flyta plastiskt då p = p 0. Om väggtjockleken fördubblas till h = 2a, hur stort blir då värdet på p vid inträdande plasticering? Antag att Trescas flythypotes gäller samt att σ z = 0.

A Facit Statik 1.1: σ AB = 7,5 MPa; σ BC = 15,0 MPa; σ CD = 7,5 MPa 1.2: σ = Q(L x) AL ; σ max = σ(0) = Q A 1.3: σ 1 = σ 2 = 50 MPa; σ 3 = 71 MPa; σ 4 = 0; σ 5 = 71 MPa; σ 6 = 50 MPa 1.4: σ = 3F 2A 1.5: σ 1 = 13,9 MPa; σ 2 = 19,6 MPa; σ 3 = 9,8 MPa 1.6: τ = 2F πd 2 1.7: τ = 20,4 MPa; σ = 60,6 MPa 1.8: d = 36,7 mm 2.1: δ = 8F L 3EA 2.2: δ = mgl 2EA 2.3: σ = 77 MPa 2.4: u x = 2bα T ; u y = bα T 2.5: σ = σ 0 E 1 α T 2.6: σ = σ 0 + E1E2A1(α1 α2)(t T0) E 1A 1+E 2A 2 2.7: S 1 = 3 11 F ; S 2 = 4 11 F 2.8: S 1 = EA L 2 sin 3 ϕ 2.9: β = 2 sin α cos2 α 1+2 sin 3 α 2.10: σ = 204 MPa 2.11: β = 33,3 % 2.12: Ingen flytlastförhöjning 2.13: M vs = 18πa 2 hτ s 1+2 sin 3 ϕ ; S 2 = S 3 = EA L 2.14: σ 1k = 2 3 σ 0; σ 2k = 1 3 σ 0 2.15: F s,rev = 2A 1 σ 0 ; F rev = 4A 1 σ 0 2.16: σ 1k = 120 MPa 3.1: τ v,max = 36 MPa; ϕ = 0,030 rad 3.2: τ v,max = 38 MPa; ϕ = 0,031 rad sin 2 ϕ 1+2 sin 3 ϕ 3.3: ytterdiameter 61,4 mm; innerdiameter 30,7 mm; viktbesparing 21,7 %; förvridningsminskning 2,1 % 3.4: M 0 ϕ = 3GK 2L

36 problemsamling: hållfasthetslära 3.5: ϕ = 3.6: β = 4.1: 4.2: q(x) = 33L 8Gd τv,max 1 3 0,35 Q 3 T (x) = LQ2 x2 ; M (x) = 3L 2x 2Q L2 x; 4.3: 4.4: 4.5: 0<x<L: ( Q 2 T (x)= 2L 2x Q 3, M (x)= 6L 2x L < x < 2L : ( Q T (x)= Q Lx 2 Q 2 M (x)= 2L x Q 2x+ Q 6L 4.6: 4.7: 4.8: αmax = 0,9 1 4.9: e = 31 h; Iy = 36 bh3 1/3 4.10: H(x) = 6F σ0 x 4.11: a) e = 6,2 cm; b) Iy = 785 cm4 4.12: σx,max = 3F 2πah 4.13: b = 3,64 cm; h = 2b = 7,28 cm 4.14: σmax = 131 MPa (vid punktlasten); 4.15: 4.16: 1 Iy = 12 (BH 3 bh3 ); 2 2 ) τxz (z) = 3T (h2bh 4z 3 Wby = σmin = 158 MPa (vid B) BH 3 bh3 ; 6H Profilernas linjedensiteter är lika

facit 37 4.17: max τ xz = { 3(1 α)mg 2bh, 0 α 1 2 3αmg 2bh, 1 2 < α 1 4.18: σ max = 4kL3 3 ; σ 3BH 2 min = 8kL3 3 ; τ 3BH 2 zx,max = kl2 BH 4.19: τ svets = (340 m 2 )T 4.20: τ svets = 9Q 976h 2 4.21: τ(ξ) = 6T 5hl 2 ξ; 4.22: F = 9,07 kn τ(η) = 6T 5hl 3 (3l 2η)η 4.23: τ 1 (y) = 3T 4a 2 h y; τ 1,max = 3T 8ah ; τ 2(z) = 3T 16a 3 h (3a2 4z 2 ); τ 2,max = 9T 16ah 4.24: w(x) = Q 24EIL (x4 4xL 3 + 3L 4 ) 4.25: a) δ max = 5 384 QL 3 EI vid plankans mitt; QL 3 EI M1 w(x) = b) Utböjningen ökar med 1 128 4.26: w (x) = M1 EI (x L); 4.27: w(0) = QL3 15EI mgl 3 EI 2EI (x L)2 4.28: δ B = 5 48 4.29: R A = 1 2 F (2 3α2 + α 3 ); R B = 1 2 F (3α2 α 3 ); M A = 1 2 F L(2α 3α2 + α 3 ) 4.30: k = 27 EI L 3 4.31: B 4,8 cm 4.32: θ A = 1 P L 2 6 EI 4.33: δ A = 41 QL 3 24 EI 4.34: δ max = 15 128 5.1: P k = kl 5.2: P k = 1 4 kl 5.3: P k = 6ka2 L 5.4: P k = 2kL 5.5: k min = 32QH πd 4 5.6: P k = 4π 2 EI L 2 5.7: P k = 1,36 EI L 2 5.8: P k = π 2 EI L 2 5.9: P k = 2π 2 EI L 2 5.10: T k = T 0 + 1 α QL 3 Eb 2 ( ) δ L + π2 I AL 2 5.11: P k = 2π 2 EI L 2 cos α 2 6.1: σ 1 = 44 MPa; σ 2 = 54 MPa 6.2: τ x y = ± 1 2 σ 0; Plan som bilder 45 med x-axeln. 6.3: Ja, vid vridning ϕ = 18,4 + n90 medurs, n heltal; τ x y = ±5,0 MPa (negativt för udda n) 6.4: σ 1 = 3,71 p 2 ; σ 2 = 0,54 p 2 ; 1-riktningen är 13,4 moturs från x-riktningen 6.5: σ = 3M v 4πR 2 h ; τ = Mv 4πR 2 h 6.6: F pa 2 = 1,57 6.7: s = 1 14 [70-110 50] MPa 6.8: ε x = ε y = ε z = 0; γ xy = γ; γ yz = γ zx = 0

38 problemsamling: hållfasthetslära 6.9: σ 1 = 8,8 MPa, n 1 = [0 0,82 0,57] ; σ 2 = 2,0 MPa, n 2 = [1 0 0] ; σ 3 = 0,2 MPa, n 3 = [0 0,57-0,82] 6.10: ε 1 = 4,3 10 4 ; ε 2 = 0,7 10 4 ; ε 3 = 1,0 10 4 7.1: σ x = 5,5 MPa; σ y = 5,5 MPa; σ z = 27,0 MPa 7.2: V = σ E (1 2ν)a2 L 7.3: a) σ z = νp y ; ε x = ν(1+ν) E p y; ε y = 1 ν2 E p y; b) p x = ν 1 ν p y 7.4: σ x = σ y = E 1 ν α(t T 0); övriga spänningskomponenter är noll. 7.5: δ ya = (1+ν)(1 2ν) 1 ν 7.6: E = 1 ν 8.1: σ r = p 3 8.2: 8.3: pa E A ; 1 ν 2ν 2 E δ yb = (1+ν)(1 2ν) 1 ν ( 4 b2 r 2 ); σ ϕ = p 3 2 p y = 1 + ν + b2 a (1 ν) p 2 b b = p E 8.4: p Ehδ a 2 8.5: δ = 32 15 p 0d E (1 + ν)(1 κ 2 ) κ 2 + 1+ν 1 ν 8.6: p = 3E1E2(α2 α1) T E 1(5 3ν 2)+E 2(5+3ν 1) 8.7: σ z = 2νp 9.1: a) σ e,t = 134 MPa; b) σ e,vm = 116 MPa 9.2: M vm = 27 kn m; M T = 23 kn m pa E B ( ) 4 + b2 r 2 9.3: M vm = 22,3 kn m; M T = 20,9 kn m 9.4: P = 1,13 kn 9.5: P = 445 N 9.6: a) P = πpa 2 (1 2ν); σ 1 = pa h ; σ 2 = ν pa h ; σ 3 = 0; b) p = σ sh a 1 ν+ν 2 9.7: p = 1,185 p 0