freeleks NpMB ht006 1(31) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 NpMB HT 006 LÖSNINGAR 3 Del I: Digitl verktg är INTE tillåtn 3 Del 1 # 1 (/0) Lös ekvtionen.................... 3 Del 1 # (1/0) Rit linje....................... 4 Del 1 # 3 (/1) Linjärt ekvtionssstem............... 5 Del 1 # 4 (1/0) Vilken v funktionern................. 6 Del 1 # 5 (/0) Chokldhjul...................... 7 Del 1 # 6 (/1) Logotp i cirkel.................... 8 Del 1 # 7 (1/) Beräkn och förenkl................. 10 Del 1 # 8 (0/1/ ) Tringel........................ 11 Del II: Digitl verktg är tillåtn 1 Del 1 # 9 (1/0) Utveckl och förenkl................ 1 Del 1 # 10 (/0) Linje genom punkt.................. 13 Del # 11 (4/0) Tringel med prllell linje............. 14 Del # 1 (/1) Lådgrm....................... 16 Del # 13 (0/) Punkt ovnför linje.................. 18 Del # 14 (0/) Linjler........................ 19 Del # 15 (1/1) Ringmärkt hvsörnr................ 0 Del # 16 (0// ) Låd med volmen 000 cm 3............. Del # 17 (0/3/ ) Ekvtionssstem................... 5 Del # 18 (3/4/ ) Stoppsträck..................... 7 c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 (31) Förord Skolverket hr endst publicert ett kursprov till kursen M. Innehållet i den äldre kursen M B hör nu till M 1 och/eller M. I tbellen nedn frmgår vilk uppgifter som är lämplig till respektive kurs. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 M 1bc 5 15 M 1 3 4 6 8 9 10 16 17 M bc 1 3 4 6 6 8 9 10 11 1 13 14 16 17 18 Kom ihåg Mtemtik är tt vr tdlig och logisk Använd tet och inte br formler Rit figur (om det är lämpligt) Förklr införd beteckningr Du sk vis tt du kn Formuler och utvecklr problem, nvänd generell metoder/modeller vid problemlösning. Anlser och tolk resultt, dr slutstser smt bedöm rimlighet. Genomför bevis och nlser mtemtisk resonemng. Värder och jämför metoder/modeller. Redovis välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB NpMB ht 006 Version ht006 1 3(31) Del I NpMB HT 006 LÖSNINGAR Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din svr på denn del ges på seprt ppper som sk lämns in innn du får Del tillgång I: till Digitl din miniräknre. verktg är INTE tillåtn Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del 1 # 1 (/0) Lös ekvtionen Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs 1. Lös ekvtionen 0 + 36 = 0 (/0) 1(4) Ekvtionen är en : grdsekvtion. Lös ekvtionen med pq-formeln som finns i FORMELSAMLINGEN. Algebr. Rit i ett koordintsstem en rät linje som går genom punkten (0, ) och hr riktningskoefficienten 3 Endst svr fordrs (1/0) Regler Andrgrdsekvtioner ( + b) = + b + b + p + q = 0 + = 15 3. ( b) ) = Lös ekvtionssstemet b + b (/0) 3 + = 4 p p ( + b)( b) = b = ± q I en kiosk betlde Pelle 15 kr för en korv med bröd. Dett beskrivs i den först ekvtionen 0 = i ekvtionssstemet 0 + 36 ovn. }{{}}{{} p= 0 q=36 b) Låt vr priset i kronor för en korv. Tolk den ndr ekvtionen i ord. Aritmetik 1, = 3 ± 10 36 = 10 ± 64 = 10 ± 8 (0/1) 1 = 18 Prefi = Svr 4. T ) Vilken G v funktionern M k A-F h viss d 1 = 18 och = c m µ n p ter som gig grf i meg figuren? kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Kommentr 10 1 10 A) All 10 6 : grdsekvtioner 10 3 10 10-1 kn 10 - löss med 10-3 pq-formeln 10-6 10-9 men 10-1 om en v p eller q skns kn ekvtionen = löss enklre utn pq-formel. B) = C) = + 1 Potenser D) = 1 + = E) = 1 F) = 1 b = ( b) b 1 = ( ) = = 1 = n n b = 0 = 1 Endst svr fordrs (1/0) Logritmer c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18 = 10 = lg lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg
Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din svr på denn del ges på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. freeleks NpMB ht006 4(31) 1. Lös ekvtionen 0 + 36 = 0 (/0) Del 1 # (1/0) Rit linje. Rit i ett koordintsstem en rät linje som går genom punkten (0, ) och hr riktningskoefficienten 3 Endst svr fordrs (1/0) Rit 3. linjen ) Lös... + = 15 ekvtionssstemet 3 + = 4 (/0) 5 I en kiosk betlde Pelle 15 kr för en korv med bröd. Dett beskrivs i den först ekvtionen i ekvtionssstemet ovn. 4 3 b) Låt vr priset i kronor för en korv. Tolk = 1den ndr ekvtionen i ord. (0/1) 1 = 3-5 -4-3 - -1 3 4 5 4. Vilken v funktionern A-F viss -1 som grf i figuren? - A) B) = = C) = + 1-3 -4-5 D) = 1 Strtegi 1) Mrker E) = först 1 punkten på linjen, (0, ) ) Hitt F) en = ndr 1 punkt. Tg 1 steg i -led och -3 steg i -led 3) Drg en linje genom de två punktern Endst svr fordrs (1/0) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
1. Lös ekvtionen 0 + 36 = 0 (/0) freeleks. Rit i ett koordintsstem en rät linje NpMB som går ht006 genom punkten (0, ) och hr 5(31) riktningskoefficienten 3 Endst svr fordrs (1/0) Del 1 # 3 (/1) Linjärt ekvtionssstem 3. ) Lös ekvtionssstemet + = 15 3 + = 4 (/0) I en kiosk betlde Pelle 15 kr för en korv med bröd. Dett beskrivs i den först ekvtionen i ekvtionssstemet ovn. b) Låt vr priset i kronor för en korv. Tolk den ndr ekvtionen i ord. (0/1) ) 4. Lös Vilken ekvtionssstemet v funktionern A-F viss Det finns som två grf olik i figuren? metoder för tt lös linjär ekvtionssstem med fler obeknt. För ekvtionssstem med br två obeknt är det betdelselöst vilken metod du väljer. Substitutionsmetoden A) = är enkel och fungerr utmärkt för två obeknt. B) + = = 15 (1) 3 C) + = + 1= 4 () Skriv om ekvtion (1) till D) = 1 = 15 (3) Substituter E) = i1ekvtion () med hjälp v ekvtion (3). Vi får 3 F) + (15 = 1 ) = 4 3 + 30 = 4 = 1 Endst svr fordrs (1/0) (4) Med ekvtion (3) och (4) kn beräkns. = 15 1 = 3 Svr ) = 1 och = 3 Svr b) Ekvtionen beskriver tt priset för 3 korvr och bröd är 4 kronor. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
3 + = 4 I en kiosk betlde Pelle 15 kr för en korv med bröd. Dett beskrivs i den först ekvtionen i ekvtionssstemet ovn. freeleks b) Låt vr priset i kronor för NpMB en korv. ht006 Tolk den ndr ekvtionen i ord. (0/1) 6(31) Del 1 # 4 (1/0) Vilken v funktionern... 4. Vilken v funktionern A-F viss som grf i figuren? A) B) = = C) = + 1 D) = 1 E) F) = 1 = 1 Endst svr fordrs (1/0) A = + C = + +1 E = +1 B = D = + 1 F = 1 Svr Alterntiv C är korrekt, = + 1. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 7(31) Del 1 # 5 (/0) NpMB ht Chokldhjul 006 Version 1 5. Robin och Jennifer är på ett nöjesfält och spelr på Chokldhjulet. Hjulet är indelt i 4 likdn delr som är numrerde från 1 till 4. Vid en spelomgång snurrs hjulet och det nummer som är vid pilen när hjulet stnnt ger vinst. NpMB ht 006 Version 1 Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng 5. M /0 ) Godtgbr förklring med korrekt svr ( Robin hr fel. Snnolikheten för 1 vinst är lltid ovsett vilket nummer mn stsr på. ) +1 g 4 Elevlösning ) Robin 1 (0 g) påstår tt det är lättre tt vinn om de lltid spelr på smm nummer. Hr Robin rätt eller fel? Förklr. (1/0) b) De plnerr sedn tt spel på tre nummer i smm spelomgång. Jennifer påstår tt det är lättre tt vinn om de spelr på tre nummer intill vrndr, t.e. 3, 4 och 5, än om de spelr på tre nummer som inte är intill vrndr. Hr Jennifer rätt eller NpMB fel? Förklr. ht 006 Version 1 (1/0) Kommentr: Elevens svr ger inget underlg för tt vgör om Robin hr rätt eller fel. Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng Svr ) De olik utfllen är oberoende v vrndr. I Skolverkets rättningsnorm finns 6. På en reklmbrå sk en cirkulär logotp tillverks för en kunds räkning enligt följnde Elevlösning 5. svr. (1 g) M /0 skissen nedn. För tt kunn tillverk logotpen måste vinklrn bestämms. ) Godtgbr förklring med korrekt svr ( Robin hr fel. Snnolikheten för Beräkn och. 1 (/1) vinst är lltid ovsett vilket nummer mn stsr på. ) +1 g 4 Kommentr: Eleven ger ett godtgbrt svr trots tt snnolikheten för vinst (1/4) ej Svr nämnts. Elevlösning b) De 1 (0 olik g) utfllen är oberoende v vrndr. I Skolverkets rättningsnorm finns följnde svr. b) Godtgbr förklring med korrekt svr ( Jennifer hr fel, ovsett vilk tre 3 nummer du väljer blir snnolikheten för vinst = 0,15 = 1,5% ) +1 g 4 c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18 6. Skiss Färdig logotp M /1 Kommentr: Elevens svr ger inget underlg för tt vgör om Robin hr rätt eller fel. Godtgbr bestämning v + 1 g Godtgbr bestämning v ( = 45, =,5 ) Elevlösning (1 g) + 1 g
Hr Robin rätt eller fel? Förklr. (1/0) b) De plnerr sedn tt spel på tre nummer i smm spelomgång. Jennifer påstår tt det är lättre tt vinn om de spelr på tre nummer intill vrndr, t.e. 3, 4 och 5, än om de spelr på tre nummer som inte är intill freeleks vrndr. NpMB ht006 8(31) Hr Jennifer rätt eller fel? Förklr. (1/0) Del 1 # 6 (/1) Logotp i cirkel 6. På en reklmbrå sk en cirkulär logotp tillverks för en kunds räkning enligt skissen nedn. För tt kunn tillverk logotpen måste vinklrn bestämms. Beräkn och. (/1) Skiss Färdig logotp A C M 4(4) Rndvinkelstsen finns i FORMELSAMLINGEN. B Kordstsen Rndvinkelstsen b = cd u = v BMC Pthgors är centrumvinkel sts till rndvinkeln BAC och Trigonometri BMC = 90 vilket ger BAC = = 45 enligt rndvinkelstsen. c = + b sin v = c b cos v = c tn v = b c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 9(31) A C M B Enligt uppgiftens figur gäller tt MBA och MCA är lik. MAB är likbent med två lik vinklr. MAC är också likbent med två lik vinklr. För BAC också klld gäller tt = + vilket ger =,5. Svr = 45 och =,5 c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 10(31) Del 1 # 7 (1/) NpMB ht Beräkn 006 Version 1 och förenkl 7. Låt f + ( ) = (1 ) (1 ) ) Beräkn f () (1/0) b) Förenkl uttrcket f ( ) f ( b) så långt som möjligt. (0/) ) Beräkn f() 8., och z är ttervinklr = till = {}}{{}} tringeln { nedn. f() = (1 ) (1 + ) Vis tt + + z = 360 (0/1/ ) f() = (1 ) (1 + ) = 8 }{{}}{{} ( 1) =1 3 =9 1(4) Svr Formler ) 8 till ntionellt prov i mtemtik kurs b) Förenkl f() f(b) f() = (1 ) (1 + ) Algebr f(b) = (1 b) (1 + b) Använd kvdreringsreglern i FORMELSAMLINGEN. Regler Andrgrdsekvtioner ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b + p + q = 0 p = ± p q Vi får (1 ) (1+) {}}{{}} { f() = 1 + (1 + + ) Aritmetik f() = 1 + 1 ) = 4 (1 b) (1+b) {}}{{}}{ f(b) = 1 b + b 1 + b + b = + b T G f(b) M = 1k b + h b 1d b c b ) = m 4b µ n p Prefi f() f(b) = 4 ( 4b) = 4 + 4b = 4(b ) ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 10 1 10 9 10 6 10 3 10 10-1 10-10 -3 10-6 10-9 10-1 Svr b) 4(b ) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18 Potenser = + = ( ) = = 1 1 0
7. Låt f + ( ) = (1 ) (1 ) ) Beräkn f () (1/0) freeleks b) Förenkl uttrcket f ( ) fnpmb ( b) så långt ht006 som möjligt. 11(31) (0/) Del 1 # 8 (0/1/ ) Tringel 8., och z är ttervinklr till tringeln nedn. Vis tt + + z = 360 (0/1/ ) Inför vinklr, och z enligt figuren. Tringelns vinkelsumm är 180. 180 = + + z Det gäller tt = 180 = 180 z = 180 z Vi får 180 = (180 ) + (180 ) + (180 z) 180 = 3 180 z + + z = 180 = 360 z z Vilket skulle viss. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
NpMB ht 006 Version 1 freeleks NpMB ht006 1(31) Del II Del II: Digitl verktg är tillåtn Denn del består v 10 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Del 1 # 9 (1/0) Utveckl och förenkl 9. Utveckl ( 3)( + 7) och förenkl uttrcket så långt som möjligt. Endst svr fordrs (1/0) Vrint I 10. Bestäm en ekvtion för den linje som går genom punkten (15, 8) och hr riktningskoefficienten k = 0, (/0) ( 3)( + 7) = ( + 7) 3 ( + 7) = ( + 7) (3 + 3 7) = ( + 14 ) (3 + 1) = + 14 3 1 11. I tringeln ABC är DE prllell med AB. = + 11 1 Vrint II ( 3)( + 7) = ( 3) + ( 3) 7 ( 3 ) + ( 7 3 7) ( 3 ) + (14 1) 3 + 14 1 + 11 1 Figuren är inte sklenligt ritd Svr + 11 1 ) Bestäm längden v sträckn AC. (/0) b) Bestäm längden v sträckn DE. (/0) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
Denn del består v 10 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. 9. Utveckl ( 3)( + 7) och förenkl uttrcket så långt som möjligt. freeleks NpMB ht006 Endst svr fordrs 13(31) (1/0) Del 1 # 10 (/0) Linje genom punkt 10. Bestäm en ekvtion för den linje som går genom punkten (15, 8) och hr riktningskoefficienten k = 0, (/0) (4) IFunktioner FORMELSAMLINGEN på sidn finns rät linjens ekvtion. 11. I tringeln ABC är DE prllell med AB. Rät linjen Andrgrdsfunktioner = k + m 1 k = = + b + c 1 0 Med Potensfunktioner k = 0, blir ekvtionen Eponentilfunktioner = C = 0, + m = C > 0 och 1 Linjen går genom punkten (15, 8) =8 =15 {}}{{}}{ = 0, Figuren + }{{} mär inte sklenligt ritd m=5 Geometri ) Bestäm längden v sträckn AC. (/0) Svr = 0, + 5 Tringel b) Bestäm längden v sträckn DE. Prllellogrm (/0) bh A = A = bh Prllelltrpets h( + b) A = Cirkel d π A = πr = 4 O = πr = πd Cirkelsektor Prism v b = πr 360 v br A = πr = 360 V = Bh c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18 Clinder Prmid
Endst svr fordrs (1/0) 10. Bestäm en ekvtion för den linje som går genom punkten (15, 8) och hr freeleks riktningskoefficienten k = 0, NpMB ht006 14(31) (/0) Del # 11 (4/0) Tringel med prllell linje 11. I tringeln ABC är DE prllell med AB. Figuren är inte sklenligt ritd ) Bestäm längden v sträckn AC. (/0) b) Bestäm längden v sträckn DE. (/0) ) Kll sträckn AC för z. Pthgors sts ger z = 14 + (5,4 +,3) z = 196 + 59,9 = 55, 9 z = 15,978... Svr ) Sträckn AC är 16 cm. Kommentr All i uppgiften givn längder är givn med siffror. Då är det också lämpligt tt ge svret med siffror, 15,798 är lltså olämpligt. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
Kon Klot πr h 3 4πr 3 V = V = freeleks NpMB ht006 3 15(31) A = πrs A = 4πr (Mntelre) b) Tringlrn ABC och DEC är likformig då de hr två lik vinklr, en rät vinkel och vinkel C. När två tringlr är likformig gäller enligt FORMELSAMLINGEN följnde. Likformighet Tringlrn ABC och DEF är likformig. d = b e = c f Skl Areskln = (Längdskln) Volmskln = (Längdskln) 3 Kll sträckn DE för u. Likformigheten ger Topptringel- och trnsverslstsen u 14 = 5, 5 5,4 +,3 Om DE är prllell 14 5, 5 med AB u gäller = = 10 7,7 DE CD CE = = och AB AC BC Svr b) Sträckn DE är 10 cm. CD CE = AD BE Bisektrisstsen AD = BD AC BC Vinklr u + v = 180 Sidovinklr w = v Vertiklvinklr L 1 skär två prllell linjer L och L 3 v = w Likbelägn vinklr u = w Alterntvinklr 13-01-4 Skolverket c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 16(31) Del # 1 (/1) NpMB ht 006 Lådgrm Version 1 1. Sr ville t red på hur vnligt det är tt mn skickr SMS i hennes klss. I klssen går det 9 elever. En dg lämnde Sr ut lppr med frågn Hur mång SMS skickde du förr veckn? All i klssen utom Sr svrde på frågn. Det lådgrm som hon ritde över resulttet ser du här nednför. Med lådgrmmet dels ntlet elevsvr in i fr lik stor delr. Till eempel så finns en fjärdedel v elevsvren melln det minst värdet och nedre kvrtilen, se figur. ) Bestäm vritionsbredden. Endst svr fordrs (1/0) b) Medelvärdet är 3 skickde SMS. Förklr vilket lägesmått (medelvärde eller medin) som är lämpligst tt nvänd om du vill beskriv hur mång SMS en elev i klssen skickr under en veck. (1/0) c) Sr hde själv skickt 5 SMS. Undersök om medinen ändrs om Srs SMS räkns med. (0/1) ) 13. Figuren visr en vritionsbredden del v ett koordintsstem med linjen = + 70 }{{} = } störst {{ värdet } minst }{{ värdet } Vilk koordinter hr punkten A? (0/) Svr ) 59 65 6=59 65 6 c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
) Redovisd godtgbr metod, t.e. ställer upp Pthgors sts korrekt +1 g med korrekt svr (16 cm) +1 g b) Redovisd godtgbr metod, t.e. nvänder likformighet korrekt +1 g med korrekt svr (9,8 cm) +1 g freeleks NpMB ht006 17(31) 1. NpMB ht 006 Version 1 M /1 Svr b) Medin är lämpligst eftersom enstk krftigt vviknde värden inte påverkr medinen. I Skolverkets rättningsnorm står följnde. ) Korrekt svr (59) +1 g Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng 11. b) Godtgbrt svr ( Eftersom fördelningen är sned så är medinen lämpligst M 4/0 tt nvänd ) +1 g ) Redovisd godtgbr metod, t.e. ställer upp Pthgors sts korrekt +1 g c) Med c) jämt Godtgbr ntl personer, undersökning 8, kring blir medinen vd som kn medelvärdet ske medinen med v de två mitterst tlen. om Srs korrekt SMS svr räkns (16 cm) med ( Medinen kn ändrs eller vr densmm ) +1 +1 vg g Elevlösning b) Redovisd 1,..., 13, 14, 15 1 (1 vg) godtgbr metod, t.e. } nvänder, {{} 16, likformighet..., 8 korrekt +1 g medin = ( 15 + 14 )/ med korrekt svr (9,8 cm) +1 g Med udd ntl personer, 9, blir medinen mitterst tlet som i dett fll är större än den tidigre medinen. 1. M /1 1,..., 13, 14, }{{} 15, 16,..., 8, 9 ) Korrekt svr (59) +1 g medin = 15 Svr b) c) Godtgbrt Medinen i svr de tvåfllen ( Eftersom är fördelningen lik endst då är sned de två så mitterst är medinen tlen lämpligst är lik. I Skolverkets tt rättningsnorm nvänd ) står följnde. +1 g c) Godtgbr undersökning kring vd som kn ske med medinen om Srs SMS räkns med ( Medinen kn ändrs eller vr densmm ) +1 vg Elevlösning 1 (1 vg) Kommentr: Eleven beskriver vd som sker kring medinen då ett etr värde till höger tillkommit. Elevens vl v tl i eemplet beskriver inte situtionen i uppgiften men eemplet förtdligr elevens förklring. Kommentr: Eleven beskriver vd som sker 1 kring medinen då ett etr värde till höger tillkommit. Elevens vl v tl i eemplet beskriver inte situtionen i uppgiften men eemplet förtdligr elevens förklring. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
en fjärdedel v elevsvren melln det minst värdet och nedre kvrtilen, se figur. b) Medelvärdet är 3 skickde SMS. Förklr vilket lägesmått (medelvärde eller medin) som är lämpligst tt nvänd om du vill beskriv hur mång SMS en elev i klssen skickr under en veck. (1/0) freeleks c) Sr hde själv skickt 5 SMS. NpMB ht006 18(31) Undersök om medinen ändrs om Srs SMS räkns med. (0/1) Del # 13 (0/) Punkt ovnför linje 13. Figuren visr en del v ett koordintsstem med linjen = + 70 Vilk koordinter hr punkten A? (0/) ) Bestäm vritionsbredden. Endst svr fordrs (1/0) b) Medelvärdet är 3 skickde SMS. Förklr vilket lägesmått (medelvärde eller medin) som är lämpligst tt nvänd om du vill beskriv hur mång SMS en elev i klssen skickr under en veck. (1/0) c) Sr hde själv skickt 5 SMS. Undersök om medinen ändrs om Srs SMS räkns med. (0/1) 13. Figuren visr en del v ett koordintsstem med linjen = + 70 Vilk koordinter hr punkten A? (0/) = 130 10 10 {}}{ = }{{} + 70 5 Punkten A hr -koordinten 130. Vi söker -koordinten för punkten A men -eln är inte grderd. Punkten på linjen med -koordinten 10 hr smm -koordint som punkten A. Stopp in = 10 i linjens ekvtion = + 70 och ut trillr = 5. Svr Koordintern för punkten A är (5, 130). c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 19(31) Del # 14 (0/) NpMB ht 006 Linjler Version 1 14. Firm Plstsker & Sånt tillverkr blnd nnt linjler. Vrje veck tillverks 50 000 linjler. All linjler som tillverkdes under en viss veck såldes till en kund i Lund. Efter ett tg börjde firmn få klgomål från kunden och beslöt tt gör en kvlitetskontroll i form v en stickprovsundersökning. Under en veck kontrollerdes kvliteten på vr 00:e linjl som tillverkdes. Mn hittde 11 linjler som vr v dålig kvlitet. Hur mång v de linjler som skickdes till Lund kn nts h vrit v dålig kvlitet? (0/) 15. Veckns Sveriges produktion störst rovfågel är hvsörnen. Uppskttningsvis 50 00070 linjler % v de svensk hvsörnrn är ringmärkt. Hvsörnr som lever i pr håller under hel sin Stickprovets livslängd ndel ihop med smm prtner. 1 00 1 Stickprovets storlek 50 000 50 linjler 00 Antl dålig i stickprovet 11 linjler Andel dålig i stickprovet Antl dålig i veckns produktion 11 50 11 50 000 50 00 linjler Svr Antlet dålig i veckns produktion är 00 under ntgndet tt stickprovet är representtivt. ) Beräkn snnolikheten tt ett hvsörnspr består v två ringmärkt fåglr. (1/0) b) Beräkn snnolikheten tt ett hvsörnspr består v en ringmärkt och en omärkt fågel. (0/1) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
Efter ett tg börjde firmn få klgomål från kunden och beslöt tt gör en kvlitetskontroll i form v en stickprovsundersökning. Under en veck kontrollerdes kvliteten på vr 00:e linjl som tillverkdes. Mn hittde 11 linjler som vr v dålig kvlitet. freeleks Hur mång v de linjler som skickdes NpMB till ht006 Lund kn nts h vrit v 0(31) dålig kvlitet? (0/) Del # 15 (1/1) Ringmärkt hvsörnr 15. Sveriges störst rovfågel är hvsörnen. Uppskttningsvis 70 % v de svensk hvsörnrn är ringmärkt. Hvsörnr som lever i pr håller under hel sin livslängd ihop med smm prtner. ) Beräkn snnolikheten tt ett hvsörnspr består v två ringmärkt fåglr. (1/0) b) Beräkn snnolikheten tt ett hvsörnspr består v en ringmärkt och en omärkt fågel. (0/1) Uppgiften behndlr drgning ur två popultioner, hnr och honor. Snnolikheten för tt en fågel är ringmärkt är 0,7. Låt R beteckn ringmärkt fågel och O beteckn icke märkt fågel. I träddigrmmet viss drgning v hne och därefter hon. Med P (RO) mens snnolikheten för tt hnen är ringmärkt och honn icke ringmärkt med P (OR) mens tt snnolikheten för tt hnen är icke ringmärkt och honn ringmärkt popultion P (R) = 7 10 P (O) = 3 10 popultion popultion P (R) = 7 10 P (O) = 3 10 P (R) = 7 10 P (O) = 3 10 P (RR) = 7 10 7 10 = 49 100 P (RO) = 7 10 3 10 = 1 100 P (OR) = 3 10 7 10 = 1 100 P (OO) = 3 10 3 10 = 9 100 Resulttet v drgningen kn smmnftts i följnde tbell. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 1(31) snnolikhet R R 0,49 R O 0,1 O R 0,1 O O 0,09 Svr ) Snnolikheten tt få ett pr där båd är ringmärkt är 0,49. b) Snnolikheten tt få ett pr där hnen är märkt och honn icke märkt är 0,1 och snnolikheten tt få ett pr där hnen är icke märkt och honn märkt är 0,1. Snnolikheten tt ett hvsörnspr består v en ringmärkt och en icke ringmärkt fågel är 0,1 + 0,1 = 0,4. Svr b) 0,4. Kommentr Vi brukr skilj på drgning med återläggning och drgning utn återläggning. I dett fll är denn skillnd icke ktuell då vi drr hne och hon ur olik popultioner och br gör ett drg ur vrje popultion. Skillnd melln drgning med respektive utn återläggning märks först vid ndr drget. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 (31) Del # 16 (0// ) Låd med volmen 000 cm 3. NpMB ht 006 Version 1 16. Klle och Lis sk tillverk vr sin öppen låd. De hr någr krtongrk i A4-formt med måtten 1,0 cm 9,7 cm. Först tr de vr sitt rk och viker upp kortsidorn och sedn klipper de till två remsor v ett nnt rk och tejpr fst dem på långsidorn, se figuren. Bredden på remsorn blir höjden på lådn. De vill båd tillverk en låd med volmen 000 cm 3. Efter en stunds psslnde hr de gjort vr sin låd. Klles remsor är bredre än Liss. Är det möjligt tt Klle och Lis hr tillverkt vr sin låd med volmen 000 cm 3? (0// ) 17. ) = 3 + 1 I ekvtionssstemet är k en konstnt. = k + För vilket eller vilk värden på k sknr ekvtionssstemet lösning? Förklr. (0/1) = 3 + 1 b) I ekvtionssstemet är och b konstnter. = + b Hur mång lösningr får ekvtionssstemet för olik värden på och b? Förklr. (0// ) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 3(31) bottent A (9,7 ) 1,0 1,0 9,7 1(4) Lådns bottent A är A = (9,7 ) 1,0 Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs och med höjden blir volmen V = (9,7 ) 1,0. Välj så tt volmen blir 000 cm 3. Lös ekvtionen 000 = (9,7 ) 1,0. Använd Algebr pq-formeln som finns i FORMELSAMLINGEN och skriv på normliserd form. Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 p = ± p q Aritmetik Prefi T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 10 1 10 9 10 6 10 3 10 10-1 10-10 -3 10-6 10-9 10-1 c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18 Potenser = + = ( ) = = 1
freeleks NpMB ht006 4(31) 000 1 = 9,7. 0 = + 9,7 000 1 0 = 9,7 }{{} p= 14,85 + 000 4,0 }{{} q=47,619 = 7,45 ± 7,45 47,619 = 7,45 ±,4707 1 = 10,166 = 4,684 4,7 10, bottent A 0,3 1,0 1,0 bottent A 9,4 1,0 1,0 4,7 10, 4,7 0,3 4,7 10, 9,4 10, Svr Det finns två olik möjlig lådor med volmen 000 cm, en med låg knter och stor bottent och en med hög knter med liten bottenre. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
Klles remsor är bredre än Liss. Är det möjligt tt Klle och Lis hr tillverkt vr sin låd med freeleks NpMB ht006 5(31) volmen 000 cm 3? (0// ) Del # 17 (0/3/ ) Ekvtionssstem 17. ) = 3 + 1 I ekvtionssstemet är k en konstnt. = k + För vilket eller vilk värden på k sknr ekvtionssstemet lösning? Förklr. (0/1) = 3 + 1 b) I ekvtionssstemet är och b konstnter. = + b Hur mång lösningr får ekvtionssstemet för olik värden på och b? Förklr. (0// ) ) = 3 + = 3 + 1 Svr ) k = 3. Linjer med lik k är prllell och skär ldrig vrndr. Lösning skns då c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 6(31) b) Tre olik fll finns. entdig lösning k 3 = 3 + 1 lösning skns k = 3 och b 1 = 3 + b = 3 + 1 oändligt ntl lösningr k = 3 och b = 1 = 3 + 1 k 3 två icke prllell linjer skär vrndr entdig lösning k = 3 och b 1 två prllell skild linjer skär icke vrndr lösning skns k = 3 och b = 1 två identisk linjer ger tt ll punkter på linjen är lösning oändligt ntl lösningr Svr b) Se ovn. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
Vid bedömningen v ditt rbete med följnde uppgift kommer lärren tt t hänsn till: Hur väl du genomför din beräkningr Hur väl du redovisr och kommenterr ditt rbete freeleks Hur väl du motiverr din slutstser NpMB ht006 7(31) Vilk mtemtisk kunskper du visr Hur väl du nvänder det mtemtisk språket Del # 18 (3/4/ ) Stoppsträck Hur generell din lösning är 18. I smbnd med bilkörning brukr mn tl om stoppsträck i situtioner då förren upptäcker ett hinder, bromsr in och stnnr. Stoppsträckn s kn dels in i två delr. Den först delen, rektionssträckn, är den sträck bilen kör från det tt förren ser ett hinder till dess tt förren regerr och trcker på bromspedlen. Den ndr delen, bromssträckn, är den sträck som bilen kör då förren bromsr in och stnnr, se figur. Stoppsträckn s vid ett visst väglg kn beräkns enligt följnde formel: där stoppsträckn s nges i meter och hstigheten v nges i km/h. Beräkn rektionssträck, bromssträck och stoppsträck för någr hstigheter, t.e. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rit en tbell och fll i din värden. Hstighet (km/h) 70 90 110 Rektionssträck (m) Bromssträck (m) Stoppsträck (m) Vid lndsvägskörning i mörker lser hlvljusen upp vägen c 50 meter frmför bilen. Det är vid det vståndet förren tidigst kn upptäck ett hinder. Kommenter möjligheten tt kunn stnn på 50 meter. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 8(31) NpMB ht 006 Version 1 Enligt formeln för stoppsträckn s = 0,7v + 0,005v hinner förren inte stnn före ett hinder som upptäcks då vståndet till hindret är 50 meter och förren kör med hstigheten 110 km/h. Om bilen kn psser hindret och förren fortsätter tt broms, hur långt bortom hindret stnnr då bilen? Vilken hstighet hr bilen när den är vid hindret? Om du vill kn du t hjälp v digrmmet nedn. Rektionssträck och bromssträck som funktion v hstigheten Undersök och beskriv smbndet melln den ursprunglig hstigheten v 1 km/h en bil hr när en förre upptäcker ett hinder på 50 meters håll och den hstighet v km/h bilen hr när den är vid hindret. (3/4/ ) c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 9(31) NpMB ht 006 Version 1 Vid bedömningen v ditt rbete med följnde uppgift kommer lärren tt t hänsn till: Hur väl du genomför din beräkningr Hur väl du redovisr och kommenterr ditt rbete Hur väl du motiverr din slutstser Vilk mtemtisk kunskper du visr Hur väl du nvänder det mtemtisk språket Hur generell din lösning är 18. I smbnd med bilkörning brukr mn tl om stoppsträck i situtioner då Beräkn förren rektionssträck, upptäcker ett hinder, bromssträck bromsr in och stnnr. och stoppsträck för någr hstigheter, t.e. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rit en tbell och fll i din värden. Stoppsträckn s kn dels in i två delr. Den först delen, rektionssträckn, är den sträck bilen kör från det tt förren ser ett hinder till dess tt förren regerr Iflld ser och tbellen trcker ut på bromspedlen. på följnde sätt. Den ndr delen, bromssträckn, är den sträck som bilen kör då förren bromsr in och stnnr, se figur. Hstighet Rektionssträck Bromssträck Stoppsträck (km/h) (m) (m) (m) 70 0, 7 70 = 18,9 0,005 70 = 4,5 18,9 + 4,5 = 43,8 90 0, 7 90 = 4,3 0,005 90 = 40,5 4,3 + 40,5 = 64,8 110 0, 7 110 = 9,7 0,005 110 = 60,5 9,7 + 60,5 = 90, Kommenter möjligheten tt kunn stnn på 50 meter Denn uppgift Stoppsträckn löss s vid nltiskt ett visst väglg ellerkn numeriskt/grfiskt. beräkns enligt följnde formel: Alterntiv: nltiskt lösning. Stopp in s = 50 i formeln för stoppsträckn och lös ut v med pq-formeln. 50där stoppsträckn s nges i meter och hstigheten v nges i km/h. {}}{ s = 0,7 v + 0,005 v }{{} pq-formeln ger v Beräkn rektionssträck, bromssträck och stoppsträck för någr 0 = hstigheter, 0,7 v + t.e. 0,005 70 km/h, v 90 50km/h och 110 km/h. Rit en tbell och fll i Normliser ekvtionen, din värden. lltså ordn så tt koefficienten frmför v blir 1. Divider ll termer i ekvtionen med 0,005. 0 Hstighet = v + 54Rektionssträck v 10 000 Bromssträck Stoppsträck (km/h) (m) (m) (m) v 1, = 7 ± 7 70 + 10 000 v 1 = 90 7 + 7 + 10 000 76, 6 v 110 130, 6 negtiv rot, ej intressnt Vid lndsvägskörning i mörker lser hlvljusen upp vägen c 50 meter frmför bilen. Det är vid det vståndet förren tidigst kn upptäck ett hinder. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18 Kommenter möjligheten tt kunn stnn på 50 meter.
freeleks NpMB ht006 30(31) Alterntiv: grfisk/numerisk lösning. Den ekvtion som sk löss är vänsterled {}}{ 50 = högerled {}}{ 0,7 v + 0,005 v. Använd grfritnde miniräknre. Plott vänsterled och högerled och bestäm skärningspunkten. Kommndon till Tes-räknre Y= mt in funktion GRAPH WINDOW TRACE ND CALC rit grf välj fönster, stndrd är Xmin = 10, Xm = 10, Ymin = 10, Ym = 10 i dett problem är det lämpligre med Xmin = 0, Xm = 100, Ymin = 0, Ym = 100 ger cursorns och koordint på kurv välj intersect i denn uppgift för tt bestämm skärningspunkt stoppsträck m 100 s = 0,7 v + 0,005 v 75 50 s = 50 76,6 km/h hstighet 70 90 110 km/h Uppgiften gäller tt bestämm för vilk hstigheter det är möjligt tt stnn vid hindret. Den högst möjlig hstigheten v är 76,6 och den lägst är 0 < v km/h. Hstigheten noll är inte möjlig. Svr Möjlig hstigheter är 0 < v 76,6 km/h. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18
freeleks NpMB ht006 31(31) Om bilen kn psser hindret och förren fortsätter tt broms, hur långt bortom hindret stnnr då bilen? Enligt tbellen är stoppsträckn 90, meter, det är 40, meter efter hindret. Svr 40, meter Vilken hstighet hr bilen när den är vid hindret? Enligt uppgiften gäller tt stoppsträckn s är s = 0,7 v }{{} rektionssträck + 0,005 v. }{{} bromssträck Antg tt bilens hstighet vid hindret är u km/h. Enligt tidigre är bromssträckn efter hindret 40, meter. Formeln för bromssträck ger 40, = 0,005 }{{} u u=89,666 Svr Hstigheten vid hindret är 89,7 km/h. Undersök och beskriv smbndet melln den ursprunglig hstigheten v 1 km/h en bil hr när en förre upptäcker ett hinder på 50 meters håll och den hstighet v km/h bilen hr när den är vid hindret. Låt v vr utgångshstighet och u hstigheten vid hindret. Utgångspunkt för smbndet u och v är bromssträck från u km/h {}}{ 0,005 u = stoppsträck bortom hindret {}}{ 0,7 v + 0,005 v 50 som kn förenkls till u = 54 v + v 10 000. Dett smbnd gäller för sådn v tt högerledet är positivt. För v 0 gäller tt lösning skns och för utgångshstigheter så låg tt hindret inte pssers gäller tt u = 0. Svr u = lösning skns : v 0 0 : 0 < v 7 + 7 + 10 000 54v + v 10 000 : 7 + 7 + 10 000 v Kommentr I Skolverkets rättningsnorm förekommer endst svret u = 54v + v 10 000 på deluppgiften undersök och beskriv smbndet melln... Skolverkets rättningsnorm behndlr lltså enbrt fllet tt bilen psserr hindret. c G Robertsson 016 buggr robertrobertsson@tele.se 016-0-18