Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Relevanta dokument
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1


Matris invers, invers linjär transformation.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

14. MINSTAKVADRATMETODEN

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

Sammanfattning, Dag 9

9. Vektorrum (linjära rum)

vara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Sfärisk trigonometri

October 9, Innehållsregister

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

Tavelpresentation grupp 5E

1.1 Sfäriska koordinater

Explorativ övning Vektorer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

23 mars 2006, kl Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

SF1625 Envariabelanalys

IE1204 Digital Design

13 Generaliserade dubbelintegraler

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

1 Vektorer i koordinatsystem

SF1625 Envariabelanalys

24 Integraler av masstyp

Vektorgeometri för gymnasister

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

Matematiska uppgifter

Finaltävling den 20 november 2010

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Definition: Linjär avbildning

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

a sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

===================================================

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Vektorgeometri för gymnasister

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Vektorgeometri för gymnasister

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

TATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

N atom m tot. r = Z m atom

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

Vektorgeometri för gymnasister

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

SF1624 Algebra och geometri

9. Bestämda integraler

Komplexa tal. j 2 = 1

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

LYCKA TILL! kl 8 13

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Vektorgeometri för gymnasister

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

Kan det vara möjligt att med endast

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Vektorgeometri för gymnasister

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht Block 5, översikt

Vektorgeometri för gymnasister

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

Sidor i boken

Transkript:

Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53

. p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl

3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen kn t.ex. representer en punkts position i det 3-dimensionell rummet, där, och är punktens koordinter i ett givet koordint-system bestående v tre (oberoende) koordintriktningr, som t.ex. väst-öst, söder-norr, ner-upp, representerde v tre koordintxlr motsvrnde den reell tllinjen med ett gemensmt origo, se figur. g replcements. p.3/53

3D Linjär lgebr En sådn tripel kn också tänks representer smm punkts läge reltivt origo, och beskrivs då med fördel v en pil utgående från origo med utsträckning, resp i de tre koodintriktningrn. Vi noterr tt en sådn pil eller vektor hr sin spets i punkten. tillämpningr representerr punkter position och vektorer förskjutningr (reltivlägen), hstigheter, ccelertioner och krfter.. p.4/53

3D Linjär lgebr Sklning och ddition v vektorer: Vektorer/pilr kn (till skillnd från punkter) på ett nturligt sätt skls, dvs multiplicers med sklärer, dvs tl: och dders:. p.5/53

3D Linjär lgebr 2.5 b +b 1.5 Som vnligt skriver vi som och som. Vektorn klls nollvektorn. Noter de två olik typern v nollor här!. p.6/53

3D Linjär lgebr Följnde räknelgr kn nu verifiers: dvs dditionen kommuttiv! och ssocitiv # $ $ och distributiv lgrn # $ $,, %. p.7/53

( ' (. p./53 3D Linjär lgebr En vektors norm, dvs Euclidisk längd ges enligt Längden v en vektor PSfrg Pythgors replcements v ' (. Mtlb: length() ger 3, norm() ger

* + ) + + + * * ) ) *, + +, ) 3D Linjär lgebr Polär frmställning v vektorer: Vektorer kn även beskrivs med hjälp v s.k. (rymd)polär koordintern, och (se figur) som sin cos sin ) sin cos ) där lltså. eplcements -/. -/., ) * 2, 10 -/. + 2, 0) + *. p.9/53

3D Linjär lgebr Vi noterr speciellt tt riktning som med längd 3 354, dvs prllell med. 3 4 3 4 ger en vektor med smm, men normliserd, dvs. p.10/53

3D Linjär lgebr Bs Vektorern, och utgör (tills.) en bs för vektorern i rummet, dvs vrje vektor kn skrivs som en linjärkombintion v, och som 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ty PSfrg replcements 6 6 6 6 6 6. p.11/53

3D Linjär lgebr Sklär produkt: Hr tidigre definiert sklning v en vektor genom multipliktion med ett (reellt) tl, och (i Mtlb) hr vi stött på komponentvis multipliktion v vektorer betecknd. Vi skll nu definier en ny typ v produkt v två vektorer där resulttet är sklärt, dvs ett tl, klld sklär produkten v och, och definerd som 7 9. p.12/53

* * 3D Linjär lgebr Hr tidigre sett tt signifiktivt för denn produkt är tt vektorern och är ortogonl, dvs vinkelrät mot vrndr, om och endst om. Mer llmänt gäller: 9 9 cos där är vinkeln melln och. b θ. p.13/53

: 3D Linjär lgebr Sklärprodukt och längd: Noterr speciellt tt, dvs, dvs det finns en nturlig koppling melln sklärprodukt och längd.. p.14/53

3D Linjär lgebr Projektion v en vektor på en vektor : En vektor s komponent i riktning klls projektionen v på, beteckns, och definiers ; 4 ; 4 b P (b). p.15/53

( ( ( ( 3D Linjär lgebr Motivet för denn konstruktion är bl.. tt mn vill kunn del upp en vektor i en komponent prllell med och en komponent ortogonl mot, så tt. Klrt tt det här räcker tt bestämm eftersom sedn bestäms v. Komponenten prllell med ges v projektionen. ; 4 d b c = P (b). p.16/53

( 3D Linjär lgebr skll vr ; 4 motivers v tt ; 4, dvs Formeln för prllel med ; 4 skll vr ortogonl mot ; 4, och tt som ju ger för något tl, dvs 9 dvs ; 4 9. p.17/53

3D Linjär lgebr Vektorprodukt v vektorer: och Denn produkt v 3d-vektorer definers då < < Vi noterr tt i specilfllet med vektorer i plnet, dvs med reducers denn produkt till < vilket vi tidigre tillåtit oss tt förkort till <. p.1/53

< @ = @ =?>?> B A 4 4 < < < < 3D Linjär lgebr Vilk egenskper hr då denn ny produkt? Jo, är ortogonl mot såväl som : Anlogt är. Vektorern, och bildr ett högersystem. Noterr också tt ntikommuttiv!, dvs kryssprodukten är. p.19/53

< C @ =?> = @?> * 3D Linjär lgebr är proportionell mot. < Vidre klrt tt längden v vektorn såväl s längd som s längd, dvs Mer precist gäller tt < 3D 3B 3D 3 4 HDB E 4GF * sin ; 4 är ren v och <.. p.20/53 där är vilkeln melln och, dvs prllellogrmmen som spänns upp v

J 3D Linjär lgebr Rät linjens ekvtion: Ekvtionen genom punkten replcements representerr en rät linje prllell med :. p.21/53

J N P O 3D Linjär lgebr Plnets ekvtion: Ekvtionen pln genom punkten ortogonlt mot representerr ett : < eplcements KM Q O KL. p.22/53

( (. p.23/53 3D Linjär lgebr Plnets ekvtion: Vi noterr tt plnets ekvtion även kn skrivs, dvs där. R9 R R9 med norml Exempel: Plnet genom punkten kn skrivs R dvs S

( R @ = @ @ = @ = =?>?>?>?> T U T 3D Linjär lgebr Plnets ekvtion: Ett pln givet på formen. Omvänt kn ett pln givet på formen och kn kn förstås lätt skrivs på formel eller genom tt t skrivs om på formen genom tt t som godtycklig vektor ortogonl mot sedn t som, t.ex Exempel: R R < R R9 < R V U, med skrivs som och. < < R. p.24/53

K 3D Linjär lgebr Skärning linje - pln: Skärningspunkten melln en linje och ett givet pln bestäms förstås genom insättning i ekvtionern för plnet. PSfrg replcements. p.25/53

>? >? >? S Y S. p.26/53 3D Linjär lgebr Exempel: Linjen UX UD UW @ = @ = @ = S S i punkten motsvrnde skär plnet, ty bestäms v. S

3D Linjär lgebr Skärning melln två pln ger en rät linje: frg replcements Exempel: Plnen och skär vrndr längs linjen, där punkten på linjen erhållits genom tt sök lösning till de två plnens ekvtioner med, och linjens riktningsvektor erhållits genom tt kryssmultiplicer de två plnens normler. <. p.27/53

Y Y S Y Y 3D Linjär lgebr Vi noterr tt en linje därför även kn ges som ett system v ekvtioner motsvrnde två pln. Två sådn pln-ekvtioner kn erhålls t.ex. genom tt eliminer prmetern i som följer: S kn skrivs t.ex. som motsvrnde två pln.. p.2/53

( (. p.29/53 3D Linjär lgebr Avståndet melln två punkter: och melln punktern ges enligt Pythgors v Avståndet

( 3D Linjär lgebr Avståndet från en punkt Söker först ger bestämms. till en given linje : sådn tt är ortogonl mot vrefter vståndet lätt kn Y. Dett g replcements Finns också en vståndsformel som bygger på kryssprodukt: <. p.30/53

R R 3D Linjär lgebr Avståndet från en punkt till ett pln R : Följer normlriktningen från till plnet, dvs bestämmer så tt ligger i plnet. Sedn fås vståndet lätt. R frg replcements R. p.31/53

$ 3D Linjär lgebr Avståndet linje-linje: Avståndet melln två givn linjer och ges v tt kortste sträckn melln de två linjern skll vr ortogonl mot både och. Dett bestämmer och vrefter vståndet kn beräkns. Exempel:.. $ Z,. p.32/53

R R R R 3D Linjär lgebr Projektion på ett plns norml: Ett elegntre sätt tt beräkn vståndet från en given punkt till ett pln genom med norml, är tt helt enkelt projicer vektorn på plnets norml, dvs beräkn R ; T och dess belopp ; T som ger det sökt vståndet. frg replcements ; T i figuren. p.33/53

R R R T B 3D F 3 T 3D Linjär lgebr Projektionen v en vektor på ett pln R : ges v (se figur) ; T frg replcements ; T ; T Klrt tt denn ortogonl mot R9 R9 R ; T, dvs ligger i plnet, ty. Vidre är ju ortogonl mot plnet, dvs är den ngivn projektionen. ; T ; T ; T. p.34/53

3D Linjär lgebr Alterntivt måste projektionen v på ett pln genom origo förstås ges v för något och. För tt skll bli ortogonl mot såväl som måste gäll: # # # dvs, och därmed projektionen. Noterr tt i ortonormerde gäller. och och vilket ger specilfllet. p.35/53

[ R R R [ 3D Linjär lgebr En punkts spegelbild i ett pln: Spegelbilden v en punkt beräkns enligt (se figur) i ett givet pln R kn nu R frg replcements. p.36/53

R 3D Linjär lgebr En stråles reflektion i ett pln: nfllnde ljus (?) med riktning i riktning (se figur) reflekters i plnet R9 ; T replcements ; T. p.37/53

T _ \ T T T bbcbb d bbcbb. p.3/53 3D Linjär lgebr Linjär ekvtionssystem: ` \ \^] med skrivs på kompkt form som bbcbb bbcbb och bbcbb bbcbb T ed ed ed

R ` 3D Linjär lgebr Geometrisk tolkning: pln i -dimensionellt -rum:. p.39/53

\ \ \ \ \. p.40/53 3D Linjär lgebr Noterr tt \ \ \ \ är en (linjär)kombintion v dvs betyder tt kolonnern i.

f Mtris-vektor multipliktion Exempel: S med lösning och. Ekvtionssystemet hr lösning om ingår i s kolonnrum.. p.41/53

3D Linjär lgebr Geometrisk tolkning: och. hr två 3-dimensionell kolonner PSfrg replcements ingår i s kolonnrum, gör det inte.. p.42/53

3D Linjär lgebr och spänner upp en prllellogrm med volym (re) skild från noll, och därmed ett helt pln! Säger tt och är oberoende och bildr en bs för vektorern i plnet. bs = oberoende och spänner upp PSfrg replcements g och däremot är beroende, spänner (endst) upp en prllellogrm med volym, och därmed inte hel plnet! g. p.43/53

* @ = @ =?>?> * 3D Linjär lgebr Anlogt spänner tre 3-dimensionell vektorer upp en prllellogrm med volym, och < < bsre cos höjd PSfrg replcements <. p.44/53

_ h k j h j h j h Mtrislgebr Volymen v den prllellogrm som kolonnern i en kvdrtisk mtris spänner upp, räknd med tecken, klls mtrisens determinnt och beteckns det : det R Erinrr oss tt dett ger volymen (ren) v prllellogrmmen: k j i h j i i Sfrg replcements i i. p.45/53

l = @ = @?>?> 4 X det. p.46/53 Mtrislgebr Anlogt: det det det det Noterr tt D A4 4 W

m Mtrislgebr För determinnter gäller vidre det det om två kolonner byter plts byter determinnten tecken om två kolonner är lik (eller prllell) är determinten om en kolonn skls skls determinten lik mycket två rd/kolonnekvivlent mtriser hr smm determinnt. p.47/53

p T ] @ @ = @ = =?>?>?> n o Mtrislgebr Mtrislgebr: \ bcbbb bcbbb bcbbb \ r Tqp \ p bcbbb bcbbb bcbbb \ T o n. t s s u. s u s och u Observer: llmänhet gäller tt Däremot gäller s u s. p.4/53

x j j h v w y \ \ ) \ \ ) Mtrislgebr Guss elimintionsmetod: Om kvdrtisk och det : t hw i mtlb där betecknr en enhetsmtrisen, med ettor på digonlen och nollor för övrigt. Noterr tt ) ) ). p.49/53

h v w w Mtrislgebr Anlogt: Jcobis metod: j w j z hw inv i mtlb där inversmtrisen. {z z hr egenskpen z och. p.50/53

Mtrislgebr Crmers regel: det det _ }. p.51/53

@ =?> ~ u w u u u u u Mtrislgebr För kvdrtisk mtriser gäller lltså: Om det så är entydigt lösbrt för ll, då ju z t, och z z Omvänt, om är entydigt lösbrt för ll så finns mtris sådn tt vrv måste gäll tt det (ty kn även viss tt det det det ) vrv följer tt är inverterbr med invers. {z t. p.52/53

R ` ` R m m R m m Minst kvdrtmetoden Överbestämd ekvtionssystem: Ett överbestämt ekvtionssystem med i llmänhet exkt lösning, eftersom kolonnern i till ntlet i ett -dimensionellt rum. Minst kvdrtmetoden: sknr br är ger den (linjär)kombintion v de kolonnern i som ligger närmst, dvs är projektionen v på det pln som spänns upp v kolonnern i. Dett frmgår v tt dvs residulen (rdern i ). är ortogonl mot s kolonner. p.53/53